五百万尺为初商之实

○五百万尺为初商之实

视立方积有○○一小于○○五商一百尺【三防故商百尺】得立方积一百万尺【商一数宜用常法书于防之上一位，今因纵多致亷法升为十万法，上一位为单，单上一位为十，今初商是百尺，故改用进法书之，亷法之升见后】就以初商一百尺乘纵方，得一百九十六万尺，为纵方积。又以初商一百自乘，一万乘纵亷，得二百八十万尺，为纵亷积。合计立方纵方纵亷积共五百七十六万尺，以减原实，余一十万○六千一百八十一尺【初商百尺宜有续商】初商一百尺髙也，加纵共二百四十尺方也。次以方倍之，四百八十尺，用乘髙数，得四万八千尺。又以方自乘之，得五万七千六百尺，并之得一十万○五千六百尺，为平亷法。又以方倍之，并髙得五百八十尺，为长亷法。乃列余实，以亷法酌定初商，改进一位书之。

以平亷法用筹除余实视筹第一行○一○五六小于余实次商一尺于初商一百尺之隔位【所减是○一○五六首位○宜进书然犹与初商隔位故知为单一尺】就以次商一尺乘平亷法如故，又以次商一尺自乘以乘长亷法亦如故，就命为平亷长亷积。又以次商自乘再乘，仍得一尺如故。合计三积共一十万○六千一百八十一尺，除实尽。乃以所商数命为台髙，加纵为方。

计开台髙一百○一尺，方二百四十一尺。

此常法改用进法也假如有方池积五十万丈，但云深不及方五十尺。先以纵【五十】尺，倍之一百，为纵亷。又纵自乘之，得【二千五百】尺，为纵方。

列位　加防视防在第三位合商之以五十万○○尺为初商之实视立方筹有三四三小于五○○宜商七十尺【二防商十尺】因纵改商六十尺，得立方积二十一万六千尺。次以初商六十尺自乘，三千六百尺，用乘纵亷一百尺，得三十六万尺，已大于实，不及减，不必求纵方积矣。改商五十尺，用筹求得立方积一十二万五千尺。就以初商五十尺乘纵方，得纵方积亦一十二万五千尺。又以初商五十尺自乘，二千五百尺，用乘纵亷，得纵亷积二十五万尺。并三积，共五十万尺，除实尽。以商数命为池深，加纵为方。

计开　池深五十尺　方一百尺此进法改为超进也【假有次商则其平亷法二万尺矣假有命分则其命分二万○二百五十一矣】亦有髙与长同而濶不及数者，准此求之，但以初商命为濶，而加纵为髙与长。

带两纵纵数不相同图二此长多于濶而髙又多于长也是为两纵而又不相同凡为大纵亷小纵亷各一纵方一并立方形而四立方形长濶髙相等大纵亷横直等如其方而髙如大纵　小纵亷髙濶等如其方而厚如小纵纵方形之两头髙如大纵厚如小纵其长也则如立方大纵　小纵以辅立方之两面而纵方补其阙合为一长立方形如图初商有立方有大纵廉小纵廉纵方各一共四只图其二余为平廉所掩也次商平廉三内带小纵者一带大纵者一带两纵者，一长廉【在初商大纵立方之背面】三内带小纵者一带大纵者一小隅一共七在初商大纵立方之带小纵平亷濶如初，商长如初，商加小纵之数，髙如次商。带大纵平亷濶如初，商髙如初，商加大纵之数，厚如次商。带两纵平，亷濶如初，商加小纵之数，髙如初，商加大纵之数，厚如次商。带小纵长亷长如初商加小纵之数，带大纵长亷髙如初商加大纵之数，无纵长亷长如初商数，其两头横直皆如次商之数。

小隅横直髙皆如次商之数用法曰：以两纵相并为纵亷，以两纵相乘为纵方。列位作防，求初商之实。以立方筹求得初商立方积，以初商求得纵方、纵亷两积，皆如前法。乃以初商命为濶，各加纵命为长为髙。求次商者，以初商长濶髙维乘得数，而并之为平亷法。又以初商长濶髙并之，为长亷法。乃置余实列位【以平亷酌定初商之位】以平亷为法，求次商及平亷积、长亷积、隅积，以减余实。乃命所商为濶，各以纵加之为髙为长【如所设】皆如前法。不尽者，以所商长濶髙维乘并之【如平亷】又以长濶髙并之【如长亷】又加单一【如隅】为命分。假如有长立方形积九十尺，但云髙多濶三尺，长多濶二尺。先以两纵相并，五尺为纵亷，以两纵相乘，六尺为纵方。

列位　作防视防在第二位，合商之以○九十。

○尺为初商之实乃视立方筹有○六四，小于○九○，宜商四八，因有纵改商三尺，得二十七尺为立方积【原实只一防，故初商是单商三，故书于防之上，两位用进法也】次以初商三尺自乘，九尺乘纵亷，得四十五尺，为纵亷积。又以初商三尺乘纵方得一十八尺，为纵方积，并三积共九十尺，除实尽。乃以初商命为濶，各加纵为髙为长。

计开濶三尺　长五尺　髙六尺假如有立方积一千六百二十尺，但云长多濶六尺，髙多濶三尺。先以两纵相并，九尺为纵亷，以两纵相乘，一十八尺为纵方。

列位　作防视防在首位，独商之以○○一千。

尺为初商之实乃视立方筹有○○一与实同，商一十尺【二防商十】得立方积一千尺。次以初商一十尺自乘，一百尺乘纵亷，得九百尺为纵亷积。又以初商一十尺乘纵方，得一百八十尺为纵方积。合计之，共二千○八十尺，大于实，不及减【商一十故用常法书于防之上一位】改商九尺，得七百二十九尺为立方积【十变为单，则上一防不用，用第二防，故商九书于第二防之上两位，用超进法也】次以初商九尺自乘，八十一乘纵亷，亦得七百二十九尺，为纵亷积。次以初商九尺乘纵方得一百六十二尺为纵方积，并三积共一千六百二十尺，除实尽。乃以商数命为濶，各加纵为长为髙。

计开濶九尺，长一十五尺，髙一十二尺。假如有长立方，积六万四千尺，但云长多濶五尺，髙又多长一尺。先以长多五尺，髙多六尺，并之得【十十】为纵亷；又以五尺六尺相乘，三十为纵方。【解曰：长多濶五尺，髙又多长一尺，是髙多濶六尺也】

列位　作防视防在第二位合商之以○六万四千尺为初商之实视立方筹有○六四与实同宜商四十尺，因有纵，改商三十尺【二防，故商十尺】得二万七千尺，为立方积【商三十，故书于防之上，两位用进法也】次以初商三十尺自乘，九百尺乘纵亷，得九千九百尺，为纵亷积。次以初商三十尺乘纵方得九百尺为纵方积，并三积共三万七千八百尺，以减原实，余二万六千二百尺，再商之【初商十宜有次商】初，商三十尺濶也。加纵五尺，共三十五尺长也。又加一尺，共三十六尺髙也。

乃以初商长濶髙维乘之濶乘长得一千○五十尺，髙乘濶得一千○八十尺，长乘高得一千二百六十尺。并三维乘数共三千三百九十尺为平亷法【又法，并长与髙乘濶，又以髙乘长并之，亦同】次以初商长濶髙并之，共一百○一尺，为长亷法【又法：初商三之，加两纵亦同】乃以平亷用筹为法，以余实列位除之。如后图合视筹第六行是二○三四，小于余实，次商六尺【所减首位不空，故书本位】得二万○三百四十尺为平亷积【次商乘平亷法也】次以次商六尺，自乘三十六尺，乘长亷法，得三千六百三十六尺，为长亷积。又以次商六尺，自乘再乘，得二百一十六尺，为隅积。并三积共二万四千一百九十二尺，以减余实，余二千○○八，不尽，以法命之。法以初商濶髙长各加次商为濶髙长而维乘之，濶乘长得一千四百七十六尺；髙乘濶得一千五百一十二尺；长乘髙得一千七百二十二尺。并得四千七百一十尺【如平亷】又并濶髙，长得一百一十九尺【如长亷】又加一尺【如隅】共得四千八百三十尺，为命分，不尽之数为得分。命为四千八百三十分尺之二千○○八，即竒数也。计开濶三十六尺有竒【音基】长四十一尺有竒，髙四十二尺有竒。假如有长立方形积一十万○一千尺，但云长多濶五尺，髙多濶六尺。先以两纵并得一十一尺，为纵亷。

以两纵乘得三十尺为纵方列位　作防视防在第三位合三位商之以一十万○一千为初商之实乃视立方筹有○六四小于一○一商四十尺【二防商十】得六万四千尺为立方积【商四十故书于防之上两位进法也】次以初商自乘，一千六百尺乘纵亷，得一万七千六百尺，为纵亷积。次以初商乘纵方，得一千二百尺，为纵方积。并三积共八万二千八百尺，以减原实，余一万八千二百尺，再商之。初，商四十尺濶也。加纵五尺，得四十五尺长也。加纵六尺，得四十六尺髙也。

乃以初商濶长髙而维乘之长乘濶得一千八百尺，濶乘髙得一千八百四十尺【又法，并髙与长九十一尺，以濶四十尺乘之，共三千六百四十尺，省两维乘其数亦同】髙乘长得二千○七十尺。并维乘数，共五千七百一十尺，为平亷法。又以濶长髙并之，共一百三十一尺，为长亷法，乃列余实，以平亷用筹为法，除之。合视筹，第三行是，一七一三，小于余实次商三尺【所减首位不空，故本位书之】就以次商三尺乘平亷法，得一万七。

千一百三十尺为平亷积　又以次商三尺，自乘九尺，乘长亷法，得一千一百七十九尺，为长亷积。又以次商三尺，自乘再乘，得二十七尺，为隅积。并之，得一万八千三百三十六尺，大于余实，不及减。

改商二尺就以次商二尺乘平亷法，得一万一千四百二十尺，为平亷积【即用筹第二行取之】次以次商自乘，四尺乘长亷法，得五百二十四尺，为长亷积。又以次商自乘再乘，得八尺，为隅积。并之，共一万一千九百五十二尺，以减余实，仍余六千二百四十八不尽，以法命之。法以濶、长、髙各加次商二尺为濶、长、髙，而维乘之，并髙四十八尺，长四十七尺，共九十五尺，以濶四十二尺乘之，得三千九百九十尺【代两维乘】又以长乘髙，得二千二百五十六尺，并得六千二百四十六尺。又以长、濶、髙并之，得一百三十七尺。又加一尺，共六千三百八十四为命分。命为六千三百八十四之六千二百四十八，即竒数计开。

濶四十二尺有竒长四十七尺有竒髙四十八尺有竒厯算全书卷三十二<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>钦定四库全书