方程论卷三

方程论卷三

致用笇之用，惟防其説，惟详。详説之，斯能捷用，省笇。列位诸法，由是以生也。故致用次之。致用有二，一者省笇，一者列位【例襍见诸卷中，故不具列，而备论其理】省算法亦有二，一者行有空则省算，一者数偶同则省乗。凡方程之法，去繁就简，同者去之，异者存之，归于一法一实而已矣。故三色以上，有空位则可径求。若三色方程无空位者，必湏乗减得数变为二色以求之，此常法也。若内有一行中空一位，则以所空之位列于首，而先以其余两行不空者如法乗减得数，即重列之与原有空位者相对，如二色方程也【以两行无空者相乗对减，则减去一色，惟余二色，其有空者原只二色，故可相对如二色也】则省一笇【原法乗减三次，今只两次，故曰省一笇】凡三色方程，不论一行有空，或两行各有空，或三行各有空，皆只省一算，何也？其各行中虽有空位，而不相对，故也。何以知其不相对？若两行有空，而又相对，则径可以二色算之矣，即不成三色方程。三色有空例襍，见前卷。凡四色、五色以至多色，有几行空位者，如上省算，径求最为简防。若中行无空，则必如法乗减，以五色变四色，四色变三色，三色又变二色，渐次求之，不可径求而省算也。今诸书所载，皆其各位之有空者耳，非通法也。而欲以此尽方程，可乎？凡四色方程有乗减六次者，常也。若有一位空，则省一算。一行中空两位，或两行各空一位而相对，则省二算。若一行空两位，又一行空一位，则省三算止矣。或有四行中各空一位而不相对，亦只省一算而已，何也？惟首位空乃能省算，若首位不空而空在下数位，则乗减之后自然补实，不能省矣。亦有两行各空两位而只省二算者，亦以空位相左乗后补实耳，故虽四行中各空两位，亦只省三算也。假如四色中有一行空两位，则将此无空之三行如法乗减变为两行，又将此两行如法乗并变为一行，此减余一行却有二位，恰兴空两位之行相对矣，便以重列如二色方程取之，此最方程中要法，而诸书未及也，故详论之。若四色方程有两行各空一位而又相对，则将其无空之两行如法互乗而减去，此不空之位变为一行，与空位之两行同列，如三色法而之，尤为易见。其四，色各行空两位，而省三算，即今诸书中所载是也。可无更赘，然但欲知其为省算方程，而非常法耳。其四，色无空乗，减六次者，竟无其式，故误以省算为常。然既明其理，亦不必一一为式矣。凡五色方程，无空则有乗减十次者，常法也【五色变四色，则有四算；四色又变三色，则有三算；三色又变二色，则有二算；二色又一算，乃得法实，合之为十算】故五色而为四图者，亦常法也【原列一图以减余，重列为四色而三色而二色，又各一图，合之为四图】若有空一位则省一算，或空两位而省二算【湏两位空在一行，或两行俱空首位乃可】空三位而省三算【湏空在一行，或三行同空首位，或一行首位空，一行首次两空则可】空四位而省四算【湏一行空三位，而一行又空一位，恰与空三位者同，或二行俱空首位，而一行又空首次两位乃可，或两行俱空首次亦可】空五位而省五算【湏两行空首位，而一行空首次三位，或两行空首次，而一行空首位，或一行空首次，而一行空首次三之位乃可】空六位而省六算【湏一行空首位，一行空首次，一行空首次三行位乃可】省至六算止矣。

六算以上，虽多，空位无闗省算也。今诸书有载五色方程者，皆其各行空三位者耳。总计之有空十五位，而其为法亦必用四算，然后得数。则所省者亦只六算，而竟不知其为省算之法，则习而不察也。假如五色方程内只有行空三位，法当以有空之三色列于上，而先以其无空之四行如法乗减，变为四色者三行，又以乗减变为三色者二行，又以乗减变为二色者一行，则恰与空位之行相对矣。再乗减一次得所求矣，故曰省三算也【变四色时省一算，变三色时省一算，变二色时省一算，共省三算】假如五色方程内有两行各空二位，而相对，法当以有空之二色列于首次，而先以其无空之三行如法乗减，变为四色者二行，又以乗减变为三色者一行，则恰与空位之两行相对矣。于是以三色法取之，得所求矣。故曰省四算也【变四色时省二算，变三色时亦省二算】假如五色方程内有两行空首位，又一行空首次三之三位法，当以无空之两行如法乗减，变为四色者一行，则恰与空首位之两行相对矣。乃以原数两行减余一行相并列之，用相乗减变为三色者两行，又相乗减变为二色者一行，则又恰与空三位者相对矣。乃以原空三位者与减余列而求之，即得之矣。故曰省五算也【变四色时省三算，变三色与二色又各省一算】若五色方程内有两行各空三位者，即如一行空两位，一行空三位也。法以无空之三行先用乗减，变为四色者两行，又以乗减变为三色者一行，则恰与空首位、次位者对矣。取出原空两位者与减余列而求之，变为二色者一行，又恰与空三位者相对矣。又取出与减余列而求之，即得所问，故亦省五算也【变四色、三色时各省二算，变二色时又省一算，共五】其两行虽各空三位而不相对故也【若各空三位而相对，即成二色方程矣】若五色方程各行俱有空位不等，要之省六算止矣。省六算者，必一行空首位而省一算，一行空首次而省二算，一行空首次三之位而省三算。其余空位必不相对，不能省算，与无空同也。其法，先以不空之两行乗减，得数变为四色，与空首位者相对。又乗减，变为三色，与空首次者相对。又乗减，变为二色，与空三位者相对。再乗减，即得所求。诸列不能悉具，智者反隅可也。论曰：「常与变相待而成。告方方程，省算而特详；其不省之算者，欲穷其变，先得其常也。」以上所论，虽止五色，引而伸之，若六色、七色、八色、九色，乃至多色，其理一也。以常言之，二色者一算，三色者三算，四色者六算，五色者十算，六色者十五算，七色者二十一算，八色者二十八算，九色者三十六算，十色者四十五算，十一色五十五算，十二色者六十六算。

以空位言之，三色者有省一算，四色者有省一算至三算，五色者有省至六算，六色者有省至十算，七色者省十五算，八色有省二十一算，九色有省二十八算，十色有省三十六算，十一色有省四十五算，十二色有省五十五算。以省算所用而言之，三色者有只用二算，四色者有只用三算，五色有只用四算，六色有只五算，七色有只六算，八色有只七算，九色有只八算，十色有只用九算，十一色有只十算，十二色有只十一算。总而言之，二色则只一算，三色则有二算或三算，四色则有三算以至六算，五色则有四算以至于十算，六色则有五算至十五算，七色则自六算至二十一算，八算则自七算至二十八算，九色则自八算至三十六算，十色则自九算至四十五算，十一色自十算至五十五算，十二色则自十一算至六十六算。扩而充之，犹举一隅耳。然其法不外于和较与和较之襍与变。愚故不欲以四色、五色等分为之目也。必如此，则方程之法乃为通法。若诸书所列四色者，必各行空二位；五色必各空三位，非通法也。方程者，所以御襍糅正负也。而必逓空相等，乃可用算。是法有所不及，而穷于问也。岂古人立法之意哉？此以上论空位省算，省算者乗减并俱省之也。非若省乗者，但省互乗而不省减乗。凡方程互遍乘者，取其首位齐同耳。故乘减一次，则少一色。以首位之齐同，必减而尽也。然亦有其首位之数偶尔相同者，法当径以对减，而省其互乗。此虽省其乗，而不省其减，并故与前论省算同，而微异也。假如和数方程首位同，则径减矣。若较数者，又湏论其正负之名。同数矣，而又同名，径对减矣。同数而不同名，则更其一行之正负以相较，而后减并焉。此要诀也，不则首位虽减去，而其下之同异淆，则加减皆误矣。若和较襍者，首位之数同，亦必以较数首位之名，名其和数之一行，而后减并之。但省其互乗可也。

以上论同数省乗亦有首位数虽不同而可以分数相命者，则以其分数改其一行之数，以从一行，则首位齐同，而可以对减，省其互乗焉，可矣。若较数或和较襍，皆如前法齐同，其首位之名斯减，并无误耳【较数首位同名则仍之，异名者改一行以相从，和较襍者以较首位之名，名其和数之一行】假如两首位为五与十，是倍数也。则半之，盖五与十互乗，各得五十，而其下诸数从之而溢矣。今但以首位十半之为五，而其下诸数皆半之以相减并，则五之之行可无乗，而数亦简明，殊散人怀也。若两首位为二十与二，是十之一也。则以退位之法乗之，使二十之一行皆为十之一。若为八为四，亦倍数也。若为八与二，是四之一也。四除其八之行，则得矣。若九与三，则三之一也。以三除九，则亦三，而其一行皆三除之，则可减倂矣。然三除多有不尽，不如只以三因其三之行也。若为五与三，则六因其五之行而退位。五与二则四因退位。五与四则八因退位，皆同。若六十四与八，则八之一也。八除其六十四之行，犹互乗也。若此类者不可枚举，得其意者酌而用之可也。尤要在首位之必同名，亦有不可强齐者，如七与二、九与四之类，只用互乗为无弊也。省乗者为省事而设也，强齐之反多事矣。此以上论分数省乗。此外又有不拘首位者，但数同则径以对减施之。二色为宜，盖二色方程只湏减去一色，其所余即一法一实矣。然亦湏同名方可减去，若异名者，改而齐之可也。假如较数方程，其中一色同名而又同数，径减去矣。若但同数而不同名，则更其一行之正负，乃减去之。假如和较杂，其中一色同数，则以之为主。使和数一行皆与此一色同名，乃减去之。若和较则不湏尔，但同数者即减去之，此二色捷法。

合此三者省算之理备矣问田粮七则：起科甲，有上田一亩，上次田一亩，输粮七斗；乙有上田一亩，上次四亩，上中一亩，粮一石八斗；丙有上次、上中田各一亩，粮五斗；丁有上中、田中田各二亩，粮五斗；戊有中田三亩，中次五亩，中下五亩；已有中下八亩，下田十三亩；庚有中下田、下田各十亩，皆粮五斗。问各则若何？法曰：此方程防续法也。以甲乙丙借作三色，己庚借作二色，各如法求得田，则则其中两色自知。

先以甲乙两行徧互乗，减去上田。余上次田三亩，上中田一亩。粮一石一斗。用与丙行乗减。上次田减尽，余上中田二亩为法。粮四斗为实。法除实，得二斗为上中田则例。就以上中田则减丙粮五斗，余三斗为上次田则，例以上次田则减甲粮七斗，余四斗为上田则例【以上三色法也】又以上中田则例，乗丁田二亩，得四斗，以减丁粮五斗，余一斗，以二亩除之，得五升，为中田则例。又以戊中田三亩乗其则例，得一斗五升，以减戊粮五斗，余三斗五升，为戊田中、次、中、下各五亩之共数，因此处防而不属，故又先求末两行。再以二色法，用己、庚两行，如法遍乗，减去中下田，余下田五亩为法，粮一斗为实，法除实，得二升为下田则例【以八因庚行而退位省乗法也】以庚下田十亩乗其则例得二斗，以减庚粮五斗，余三斗，以中下田十亩除之，得三升，为中下田则例【以上二色法也】乃以戊中下田五亩乗其则例，得一斗五升，以减戊中下中次共三斗五升，余二斗，以戊中次五亩除之，得四升，为中次田则例。计开上田每亩粮四斗上次田每亩粮三斗，上中田每亩粮二斗，中田每亩粮五升，中次田每亩粮四升，中下田每亩粮三升，下田每亩粮二升。论曰：此虽七色，因行中防续，即非七色，借三色、二色之法，知其首尾，而中行亦见焉。所省良多，然非省乗其势则然也。以其疑于省算也，故附之其末。又有数偶相同，不论三色、四色，但一减之后即得一法一实者，非省算也。然亦省算之类，故亦附録一条，以见其例。假如縀纱绢不知价，但云以縀一匹，纱五匹，易绢九匹，余价二两六钱。又以縀二匹，绢八匹，易纱四匹，余价六两八钱。又以縀三匹，易纱六匹，绢七匹，少价一两二钱。畣曰：縀每匹价银三两，纱每匹一两，绢每匹六钱。

法列位因中左纱减尽，只余一色，即以绢十九为法，除十一两四钱，得绢价每匹六钱，以绢余二十六匹乗价，得十五两六钱，同减负一两六钱，余十四两纱价也，以纱余十四匹除之，得纱价每匹一两【用中右减余得之】以原左行纱六匹【价六两】绢七匹【价四两二钱】共价十两。二钱同减，负一两二钱，余九两縀三匹价也。三除之，得縀价每匹三两。论曰：此方程之变例也。一减之后，即得其数。若多色方程，除首位外，有减尽者，先虽无空，而减余重列，即成有空方程矣【例见本卷齐军列陈条】若三色俱减尽，则不能成算。或三色方程中，左三色俱减尽，中右只减一色，则所余者二色，而无相较乗减，无因不能别其二色，亦不能成算也。假有问：「水银三斤，硃砂二斤，共价四两四钱；又水银九斤，硃砂六斤，共价十三两二钱。问各价若干？」畣曰：「此不可以方程算，何也？彼虽两宗，而其后一宗之物价皆三倍于先一宗，互乗之后必湏减尽，故也。」凡左行之物俱倍于右行，或俱半，俱四之一等，互乗之后得数齐同，不能分核，具如前论方程立法。正以诸物襍糅，多寡错居，同异参伍，而得其端倪也。又或三色方程，而问只二宗，则减余仍有二色，不能分别。故问三色，必有三宗；问四色，必有四宗；五色、六色以上，悉同。何也？方乗立法，乗减一次，始能分去一色。若少一行，则少一次乗减，而不能得其一法一实矣。故行中可有空位，而不可有空行。行中有空者，分一行言之也。若总列为图，则位皆无空。凡此皆治方程者所当知。知其有不可，算斯无疑于算；知其有必不可省，斯善为省矣。

列位之法亦有二一者，更其上下之位，以互求也。或为省算之计。凡方程立法，务湏首位齐同，以便减去。故每遍乗一次，则减去一色，逓减之，则一法一实矣。今行中有空，则是不待遍乗，而其一色已先减去也。故取而列之于上位，则能省算。不则上位不空，而下反空，则对位无减补，成不空而不能省算矣。其法于列位时，覆视之，有横列中空位多者，取作首位。首位空一行，则省一算矣。若首位原有空位，而欲更定次位者，不必改列，但于重列减余时，检防更定之可也。又横列中有数偶相同或可以分相命者，取作首位，亦省遍乗。或横列中有单一数多者，取作首位，省乗【单一数则不湏乗故也】

以上论上下之位一者更其前后之行也凡首位多空，而其不空者，隔逺则更而聨之，便乗减也。其各行空位不等者，不必更列，但以与减余相对。者取出对列而乗减之【例见前诸卷】若各行首位有可以分相命或数偶相同而为他行所隔，亦可更置，使之相接。又多色方程有各行中对位总空者，取出另列，而先乗其他行之不空者，乃于重列之时，渐次添入，可免细书局蹐【例见后卷】

以上论前后之行法曰：凡多色方程，先任意列位竟，乃覆视之。若首位有空，而下则无之，此不必更置也。或首位多空，而下则少，亦不必更置也。惟首位不空，而下反有，或首位空少，而下反多，则更而置之，故上下可以互居，前后亦可易位。或云以末行为主者，非也。问古今厯术屡更，其所用日法无一同者。如以汉太初厯日法十有一，外加四十九，则如殷厯日法也。若以太初日法二，殷厯日法三，再加五十八，则如唐大衍厯日法也。若太初日法十有四，大衍日法二，相并以比宋纪元厯日法，仍少七十六。若太初日法九十倍之，即纪元日法。其各数若干？

法以正负列位甲太初十一【正】殷七一【负】○○负四十九。乙太初二【正】殷六三【正】大衍一【负】○负五十八。丙太初十四【正】○大衍二【正】纪元一【负】负七十六。丁太初九十【正】○○纪元一【负】适足如右图。太初厯横列皆满，须用遍乗对减者三，而后能减去太初之一色。其余虽多空位，自然有无减之对位相补，不能省算。

如法改列以最多不空之太初列下爲第四位，则殷厯居上而成有空位之方程矣。

先如法，以甲乙两行互乗减，并殷厯各正十五对，减尽。大衍负一，无减。太初异并负三十五，下数异并正二百○五【因异并，故并从甲行之名，而大衍在乙行与下数同名，亦改负为正】乃重列之【取出丙行与减余相对】

如法互乗减倂，大衍各正二对减尽。纪元负一无减，太初异倂得正八十四；下数异并得负四百八十六。又重列之【以减余与丁行相对】

首位同名同数，省互乗。纪元各负一对，减尽。太初同减余六为法，负四百八十六无减为实。法除实，得八十一分，为太初日法。以丁行太初九十乗其日法【八十一分】得七千二百九十分，为纪元日法。以甲行太初十一乗其日法【八十一分】得八百九十一，异加负四十九，得九百四十，分为殷厯日法。以乙行殷厯三乗日法【九百四十】得二千八百二十，又太初二乗日法得【一百六十二】又异加负【五十八】共得三千○四十分，为大衍日法。

计开殷厯日法　九百四十分汉太初厯日法　八十一分唐大衍厯日法　三千○四十分宋纪元厯日法七千二百九十分。又按列位之法，原与省乗、省算之法相生，故共为一卷，合观之可也。今以六色无空者为例如后。问齐军千乗，其陈有先驱，申驱为前军，有启与胠为两翼，有戎车贰广为中军，有大殿为后军，各不知数。但以前军居余陈七之三，合两翼二广与殿，多余陈四十乗。合前军两翼与中后较，则多二十乗；前军合殿与翼，中军较则少二十乗。先驱大殿居与陈二之一而少五乗，各若干。

畣曰前军共三乗内先驱一百四十乗申驱一百六十乗两翼共二百一十乗内启与胠各一百○五乗中军共三百乗内戎车一百八十乗【帅】

贰广一百二十乗【副】

后军一百九十乗是为大殿法以和较襍列位有七之三，二之一，依变零为整，以分母各乗，而后列之。

如法互乗，减倂变为五色，有空而重列之。空者，偶也。若不空，亦俨然变为五色矣。

前三行减余，首位申驱皆空，故不湏乗减，但以末二行乗而减之，减去申驱，即变四色矣。又以申驱数本同，故不湏乗而竟以对减，乃以四色法重列之。四色无空法也，虽有空而非首位，不能省算，与无空同。

因首末两行之翼数皆倍于中两行，故省互乗，但以首末两行皆半之，使其翼数齐同，乃原数对减而变为三色，又重列之。

因次行末行戎车同，但首行多于次行二之一，故省互乗，但以次行二分加一与首行对减，其次行与末行竟，以原数对减，变为二色而重列之。

贰广同故省互乗竟以对减尽，大殿异名并得五为法，车同名减余九百五十乗为实，法除实得一百九十乗为大殿车数，以大殿车数异加正五十乗共二百四十乗，以贰广二除之得一百二十乗为二广车数【用末次右行数】二乗大殿车数同减负二十乗戎车二除之得一百八十乗为戎车公卒数【用第四次三色中行数也】二乗戎车异加正六十乗两翼二除之得二百一十乗为两翼共数【用第三次所列四色之次行】又半之即启与胠数，合计两翼【二百一十】戎车【一百八十】贰广【一百二十】共数【五百一十】同减负三十乗余【四百八十】以申驱三除之得一百六十乗为申驱数【用第二次所列五色之第四行】合计申驱【一百六十】两翼【二百一十】戎车【一百八十】贰广【一百二十】共【六百七十】同减负十乗余【六百六十】又减去大殿二计【三百八十】余【二百八十】以先驱二除之得一百四十乗为先驱之数【用原列六色之第五行数】试细攷之，合计两翼【二百一十】戎路【一百八十】贰广【一百二十】大殿【一百九十】共七百乗。合计先驱【一百四十】申驱【一百六十】共三百乗。三七差分也，故曰前军为余阵七之三。合计两翼【二百一十】贰广【一百二十】大殿【一百九十】共五百二十乗。其余前军【共三百】戎路【一百八十】共四百八十乗。故曰翼广殿多余阵四十乗。合计前军【共三百】两翼【二百一十】共五百一十乗。以较中军【共三百】后殿【一百九十】共四百九十乗，则多二十乗。故正二十乗与前军翼同名。合计前军【三百】大殿【一百九十】共四百九十乗。以较两翼【二百一十】中军【三百】共五百一十乗，则少二十乗，故负二十乗。与前军殿异名，合计先驱【一百四十】后殿【一百九十】共三百三十乗。又合计申驱【一百六十】中军【三百】两翼【二百一十】共六百七十乗，其二之一为三百三十五乗。故曰先驱、大殿居余阵二之一而少五乗【以全当其半而少五乗，则以倍当其全而少十乗矣。此与第一行皆变零为整，详见带分条】总计之则千乗矣，故以和数参焉。论曰：此一例中，能兼数法，皆省算之捷诀也。其第二图五色变四色，当有互乗减并者四次，今以申驱空位，省其三次。此空位径求省算之法也。其申驱偶尔数同，径以对减，与第五图二色之贰广数同，径以对减，皆省乗定法也。但皆和较之襍，故虽不乗，必以较行首位之正负，补于和数之行，不然则减并误矣。此要诀也。其第三图，四色之首位，偶有倍数，故半其倍者以相从，此亦省乗法也。其第四图三色之首位为三与二，故加二为三，是二加一也。故其下皆二分加一则如遍乗矣。然亦首位正负偶同也，若不同者，湏更其一行以同之。首位虽同数，又必同名，然后可减而去之，尤省乗之要诀。又论曰：方程无空者，常法也。如第一图六色是也。若不减并五次，何以求之？亦偶而多有首位相同者，故亦能省乗。然虽省乗，不能省减并矣。其有空位者，偶然也。如第二图五色有空是也。空位多，若更置列之所省尤多。虽不更置，而减倂之余自然能补其空，亦可见方程之有常法矣。

若更置之则自五色起如后图因五色始有空也。如此图则省六算。戎翼不空，故更之下位；后行不空者，更之前行以先乗。

正负列位甲乙行如法减去申驱，以其余四位重列之，与丙行相对【一和一较也】

重列如法减去贰广，又重列之，与丁行相对【皆较数也，如后】

如法半减余数，以从丁行，乃对减而重列之，与戊行相对【又以翼同，故更置之】

上　　　　　中　　　下如法径以对减余戎路五为法倂得正负九百乗为实法除实得戎路数既得戎路数以次得余重之数合问又术以一图而为减并，如后所列。

依法先得，戎路亦同。但其间和较交变错然襍陈，非深知猝不能了。不如前术之为安穏明白也。