笔算卷一

笔算卷一

列位法数始于一，究于九，毕于十。十则又复为一矣。等而上之，为百，为千，为万，乃至兆、亿，皆得名之为一，即皆得名之为二、三、四、五、六、七、八、九。故必先稽其位而列之，并减乘除，以此为基，非是则算无可施矣。法具如后【以一位言之，有自一至九之名，此如同軰之有长防。合上下之位言之，有单、十、百、千、万之等，此如己身而上有高曽祖父，己身而下又有子孙云仍。故单以下复有畸零之位也】

列位式万　千　百　十　零【此姑以五位为式，位有多寡，皆以零数为根，零亦曰单】假如有数二万四千七百五十九，依法列之。

二　四　七　五　九【凡列数以最下小数为单，单上有一位，共二位，即是十数；有三位是百，有四位是千，有五位是万。不必更书十、百、千万等字，但稽其有若干位，即得之矣】又如，有数四千○九十六，依法列之。

四　○　九　六【凡数大小相乘中有空者，必作○以存其位。如此式，有千，有十，有单，而无百，故于百作○以存其位】

又如有数一万○八百一　○　八　○　○【凡数以单位为根，今此数无千，无十，而并无单，故必补作三○，以成五位，则知首位是一万矣】

又如有数一十二万九千六百一　二　九　六　○　○【原数四位无空，然无十无单，故必补作两空，以成六位，则知首位为十万】

畸零列位式凡整数自单而陞，若畸零数则自单而析，故单位者数之根也。然整数之陞以十为等，自单而十，而百，而千，而万，皆一法也【万以上有以十万为亿，十亿为兆，十兆为京，自此而垓，而秭，壤，沟，涧，正，载，皆以十而变，谓之小数；有以万万为亿，亿亿为兆，兆兆为京，以上尽然，皆以自乘而变，谓之大数；今所用者，以万万为亿，万亿为兆，万兆为京，以上尽然，皆以万而变，谓之中数。三者不同，然其列位皆以十为等，故曰一法也】若畸零之式，其故多端，约而言之，亦只二法：其一以十为等，其一不以十为等，而各以其所立之率为等。是二法者，又各分二类，列之各有其法【详后】

其一以十为等分二类假如钱粮料则，毎田一亩该五分九厘八毫六▯七忽九微三纎四沙八尘九埃二渺一漠。

依法列之○○五九八六七九三四八九二一两钱，分，厘，毫，丝，忽，微，纎，沙，尘，埃，渺，漠。【右式今所通用，自两而下，以十之一为钱，又以钱十之一为分，分十之一为厘，如是递析为毫、为▯、忽，以至渺漠，皆以十为等】【原科则自分起，以至渺漠，计十二位，今加两○为十四位者，乃列位之法也。何也？分之上有钱，钱之上有两，两为单数，凡列畸零之数，必以单数为根，始便合总，故两数虽空，必存其位也】凡度法，以丈为单，数则其十之一为尺，又十析之为寸，为分，为厘，毫，丝，忽之属【亦有以尺为单，以寸为单者，皆如所设】凡量法，以石为单数，则其十之一为斗，又十析之为升、为合、为勺之属【亦有以斗为单数者，皆如所设命之】法并同上。右法以十为等，即以一位为一名，如上位是两，下一位即是钱，此为一类。假如授时厯法，毎一平朔二十九日五十三刻零五分九十三秒，依法列之。

【右式日为单数而以日百析之为刻，又百析之为分，又百析之为秒，故列位时必作防以志之，使知日下二位始为单刻，由是而分而秒皆隔两位而变其名，然仍是以十为等。凡作防必单位，如日为单位，下又有单刻、单分、单秒之属】凡开平方，尺有百寸，寸有百分，其法同上。凡开立方尺有千寸，寸有千分，则三位而变，即隔三位作防，以志之，法亦同上。右法虽亦皆以十为等，而不以一位为一名，或隔两位，或隔三位。前法只寻单位，即知其余。此法单位之下，仍须各寻单位。盖前法之分秒，只有单，而此法分秒各有十有百，故必以作防之处，知其为单分、单秒，是与前法微别，又为一类也。其一不以十为等，而各以其所设之率为等，亦分二类。假如回囘厯法，以六十分为一度，六十秒为一分，太阳三十日平行二十九度三十四分一十秒，作何排列？

【右以度为单数，下两位为分，又下两位为秒，故作防志之畧，同授时。然皆以六十而进，非以百也。其自秒以下为微、纎等数，凡在授时以百为数者，回回之法皆以六十为之。是虽不以十为等，而所设六十之率，钜细同法。西洋法亦然】又如古量有以四升为豆，四豆为区，四区为釜，皆以四为率。又如杨子云《太▯》以三方统九州，二十七部，八十一家，其递析也，皆以三。又如测量家以矩度分十二度，每一度又分十二分，是又以十二为率也。右诸率皆不用十，而所用之率屡析不易，是为一类。假如物重十六两为一斤，二十四铢为一两。今有物二斤四两半，作何排列？

【此以斤为单数，斤下二位为两，又下二位为铢。铢与两皆斤之分秒也，故作防志之，亦同前法。但铢以二十四为率，两以十六为率，二率不同】又如厯家以甲子六十为旬周，每日十二时，又分初正【西厯谓之二十四小时】每各四刻，每刻有十五分。今依新法筭得辛未年冬至为旬周之第五十日二十二时二刻七分，依法列之。

【此以日为单数，下二位析日为时，又下一位析时为刻，又下两位析刻为分，皆日下之畸零也。然时之率二十，时刻之率四分，之率十五，各率不同，所当细玩】右法既不以十为等，而所用之率又不齐同，是又一类也【此二类不以十分为率，而各有其率，即通分子母之法也。但通分以子母并列，又是一法，别卷详之】并法凡数合总法，当用并。有诸数于此，并而合之为一总数，又名垜积，即珠盘之上法也【数相并则相益而多，故亦名加法。在钱谷之用，则所以稽总撒】法曰：置所有防数，几宗各依列位法，自上而下，对位列之万、千、百、十、单，各以类从。列讫，仍并之。自上而下，如画卦之法。数满十者，进位作号，而本位纪其零。

纪号式丨□□□□丅□□□【此古算位也，用以别原数，便稽核也】假如有丝八百九十二斤，又一千○八十八斤，又【三百五十斤合之若干】如上式，防数三宗，依法列位，并之。

得总数二千三百三十斤假如有绢四丈五尺六寸，又五丈○三寸，又八丈五尺，合之若干？

九减试法【凡九减之法，不论单、十、百、千之位，亦不计○位，只摢现有之数而合计之。先减，减数首行八九二，合得十九，减去二九，余一，以合次行一八八，共得十八，减去二九，恰尽，只余三行三五，合成八，数纪于右。次减总数二三三，合得八，纪于左。左右相同，知其不误】

【第二图先减防数首行四五成九减去余六合次行三成九减去余五合三行八五共十八成二九减尽纪○于右　次以总数一八九成二九减尽纪○于左　左右相同知其无误　或问九减不计上下之位何也曰此防法也凡九减者数不变假如以九减一十则仍余一减二十则仍余二推之百千万亦然故不论位】七减试法【凡七减与九减不同，须论位减实数。第一图先减防数，自上而下，头一排只有一，作一十算合。第二排八三得十一，共二十一，以七减之尽。第三排九八五合得二十二，以七减之余一，作一十合。第四排八二得十，共得二十，以七减之余六，纪于右。次减总数，亦自上起，首位无七，有二合。第二位作二十三，以七减之余二，又合第三位作二十三，以七减之余二，合末位○作二十，减二七余六，纪于左。左右相同，不误】

【第二图先减防数，头一排四五八合十七，以七减之余三，作三十合第一排两个五成十，共四十，以七减之余五，作五十合下六三成九，共五十九，以七减之余三纪右。次减总数，首两位十八，以七减之余四，合第三位○作四十，以七减之余五，作五十合下位九，共五十九，以七减之余三纪左。左右相同，不误】

畸零并法假如有物十斤四两十二铢，又九斤十一两十二铢，共若干？

答曰二十斤【铢数并得卄四，成一两进位，并原数共十六两，成斤进位，并原数十九斤】共卄斤，铢率卄四两，率十六，不同，故以防隔。之凡率不同，难用九减七减。只以减法。还原其法，于总数内减原防数一宗，其余一宗必合减余，是为无误减法。

见后详通分】假如品官计俸，原厯任过三年○九个月，今又歴任一年十一个月，共若干？

答曰共歴任五年○八个月【先并月得二十，再以十二个月成一年，进位纪号余八个月。次并一年，三年加所进一年，共五年，并得五年○八个月。此因月法十二，非以满十而进，故以防隔之。此亦非满十而进，不用九减七减，只以减法还原】

递加法假如授时厯歳实【三百六十五日二十四刻二十五分】两次加气策【一十五日二十一刻八十四分三十七秒五十微】共若干？答曰【三百九十五日六十七刻九十三分七十五秒】

此递并法，借前总数，当防数用之。如此，则可以层累而加。【前条三百八十○日四十六刻竒，是从嵗前冬至算至本年小寒。此条三百九十五日六十八刻弱，是又算至本年大寒】截小总法【凡并法头项太多者，截分小总，则易清，乃垜积之防法】假如河工一十二宗，一工【五千○十四工】又【三千三百工】又【八百九十一工】又【二千○九十工】又【九百○九工】又【一千○八十工】又【二千○二十工】又【九十一工】又【六百六十七工】又【四千七百工】又【七百三十工】又【八十二工】问共数。

答曰二万一千五百七十四工法曰【先以河工十二宗任分为三段，依法并之，各成小总，再合各小总，依法并之，为一大总，合问】

【或有极多至百十宗者，宜多分小总。小总又并为小总，末乃并为一大总。变繁为简，最便覆核】减法凡数相较法，当用减。有两数于此，以相减，则得其大小之较也。有全数于此，减其所去，则得其留余之数也【在钱糓之用，则减为开除，减余为实在；若收受，则所减为已完，减余为未完。其法与并法正相对，其用亦相需也】法曰：置原数于右，置减数于左，依列位法，自上而下，对位列之【若两数相较，则以大数列右，以当原数；小数列左，为减数】乃以两数相较，以少减多【原数必多，减数必少；若原数反少，则有转减】减讫，列减余之数于左行。凡减自下小数起，本位无可减，借上位一数化十而减之，则于上位作防以为志【还原时即用此防为进位之志，或不用防用短直亦同】假如有库银十万两，支放过五万九千五百○三两，问存库若干？答曰：四万○四百九十七两。

【此因数万以下俱空故皆用借十作防之法，自最下两位起，两位空作防，于上位借十两，减三存七；支数原无十两，因借减之防，宜减十两，而十两亦空，复作防，于上位借一百内减一十，存九十；支数五百，加借防共六百，亦作防，借一千减六百，存四百；支数九千，凑借防成一万，作防于万位，凑原支五万，共六万，又作防于首位，借十万减六万，存四万】还原用并法【即借用本图】从两位起，以支放三两，并存留七两，得十两，作防于十两位。凑存留九十两，成一百两，又作防于百位。凑支放五百，存留四百，并得一千，作防于千位。凑支放九千，成一万，作防于万位。凑支放五万，存留四万，共成十万，作防于首位。至此，存留支放俱无可辏，浄十万两，作一十万字，于原银位合总无差。

递减法假如有应进贡【貂皮一千五百张，收过九百○五张，次年补收四百九十五张，仍欠若干】答曰【一百张】

【以头一次九百○五张，依法减原额一千五百张，得减余五百。九十五张，为欠数，次以补收四百九十五张，减欠。数五百九十五张，得减余一百张，为仍欠数】

因两次递减亦减两次试之【九六七二先以原额减余数列右减□减□合收欠减余数列左】【试一试○次以欠数取减余列右法□法□合续收仍欠减余列左】还原【倒用前图】以仍欠一百，并续收四百九十五，得五百九十五，合前欠数；又以欠五百九十五，并先收九百○五，得一千五百，合原额。凡递减者，亦以递并还原。

透支转减法假如有钱一万五千○三十文，陆续支用过一万六千○五十文，该有透支若干？答曰：净多支一千○二十文。

此因支数多于原数，故以原数转减支数，而得透支之数【凡两数相较多寡，皆仿此】还原以多支一千○二十，并原钱一万五千○三十。

得一万六千○五十合支用数畸零减法假如有地丁银三千五百零三两，徴完三千二百一十两零三钱五分，仍未完若干？答曰：二百九十二两六钱五分。

还原以已完未完相并得数合额编之数【此原数至两而止，因减而有钱与分之数，盖以两为单数，其钱为两十之一分，又为钱十之一，皆畸零也】假如授时厯毎月二节气共三十○日四十三刻六十八分七十五秒，经朔二十九日五十三刻○五分九十三秒，两数不同，是生月闰该若干。答曰：「月闰九十○刻六十二分八十二秒。」

太阳节气　　　　　　　　　此经朔减节气也太阴经朔　　　　　　　　　经朔小节气大相减月闰，之较是为月闰，还原以月闰，并经朔得总，即仍合节气之数。

假如品官计俸以三年为满，今厯任过一年零七个月，该补若干？答曰：该补一年零五个月。【此以十二个月为一年，故减法不同。】先减七个月，月位无可减，作防于年位，借一年为十二月，减七存五。次减一年，并所借一防，共二年，以减三年，余一年】还原以己厯一年○七个月，补俸一年○五个月，相并得三年合总。假如有海濵田一百三十一顷四十亩，被潮坍损二顷八十五亩一百五十九步，仍余若干。答曰：「仍存田一百二十八顷五十四亩八十一步。」解曰【此以百亩成顷，二百四十步为亩，故列位时须作防别之，而减法亦同。】先减一百五十九步，原数无步，作防于亩位，借一亩。为二百四十步，纪号于原位，乃如法减之】

仍存一二□五□○八□还原以坍损田及仍存田相并得原田数，合总右二式畸零之率不同，难用九减、七减，只以并法还原【余详通分】

钱粮四柱法四柱者，旧管、新收、开除、实在也。各衙门造册，必归四柱，则收放可稽。在笔算为减，并合用。盖旧管、新收用并法，开除用减法，其实在则减余也。亦有减尽无余者，则无实在，即于实在项下直注曰无。其事件创立前无所承者，则无旧管。亦有存留不动之项，则有旧管而无新收，其法并同【如无旧管则注曰旧管无，或无新收则亦曰新收无】若所出浮于所入，则为透支，当用转减之法也【开除本用以减，今反将并旧管、新收以减开除，故曰转减】凡转减者，亦当于实在项下注明【如云实在无外多支若干是也】式如后。假如藩库原存地丁银一十二万○三百○三两，今于康熙三十年征收一百四十一万○五十五两六钱，节次支放过一百二十二万二千○五两六钱，问该存留若干？答曰：三十万○八千三百五十三两。【先用并法得旧管新收共一百五十三万○三百五十八】两六钱，再用减法于共数内减去，开除一百卄二万二千。○五两六钱，得实在存留三十万○八千三百五十三两。以旧管新，收共数与开四，除实在，并数各依试法】【四左右列减余相同知其不误九减七减并余】

四可省一图】假如仓内原存米四千四百石，新收某处解到米五百○三石，麦三千六百石。奉文支放兵米五千石，问实在若干？答曰【米支放讫，仍缺额九十七石；麦实在三千六百石存仓】

麦【法以旧管新收共米】旧管，无。【四千九百○三石转】新收，三六○○。【减开除五千石得缺】开除，无。【项九十七石】实在三六○○。

【试法合旧管新收加入缺项，而九减七减之纪余于右又单用「开除」一项，九减七，减纪余于左，以左右相同，知其无误。

凡转减者仿此试之】假如某镇军饷原存二千一百○三两，支放过正月分口粮折银一千八百○九两，续于二月有某处解到协济银三千五百两，于四月内发过草料银八百九十二两，又制造盔甲银用过九百九十九两五钱，续准某军门公文发到饷银一千○九十两。问今库内现存若干？答曰：仍存二千九百九十二两五钱。

以上先用并法，变六宗为两宗，然后相减。

若依四柱法则，当以协济三千五百两，院发一千○九十两，另并为新收四千五百九十两。

【九　六　七　三】【试，□，试，□。右试法，并以旧管新收，并为。一宗而九减之，纪余于右以开除，实在并为一宗而九减。之纪余于左七减亦然。所不同者，▯除实。在减至钱数，则旧管、新收亦必减至○钱位止，然后左右。相较可以无误，此七减之要诀，所当熟翫】

淮仓销算【邸抄附録为式】户部题为差委司属官员事，查得淮仓监督将任内自康熙廿九年九月初六日起至三十年八月初七日止收放钱粮数目，造册具题前来。查册开：旧管银三万八千一百一两五钱三分零，米麦四万五千一百六十九石九斗三升零；新收银一万二千一百四十八两九钱九分零，米麦一万七千三百六十九石二斗六升零；又收过商税等银三万一千六十四两八钱六分零。内相符准销银一万八千三百一十五两一钱五分零，米麦一千一百一十九石八斗四升零；行查催解银三万五百五十四两八钱零，米麦一万三千二百五十石八斗二升零；存剩银三万二千四百四十五两四钱三分零，米麦四万八千一百六十八石五斗三升零。将解支欵项开后：一、解部银一万七千六百二两三钱五分零，米一百三石，毎石九钱折银九十二两七钱；麦一千一十六石八斗四升零，每石五钱折银五百八两四钱二分零等语。查前项银两已经解到收讫，无庸议。一、给门军口粮银七百一十二两八钱等语。查系应给之项，无庸议。一、解河工银五千八百一十三两二钱六分零。查未开解交年月日期，应令开明报部之日查核。一、给淮安等卫廿九年分行粮银五千三百两三钱二分零，米麦一万三千二百五十石八斗二升零；月粮银一万四千七百三十二两九钱。查总漕未奏销，应俟奏销到日查核。一、解淮安府银四千七百八两三钱二分零。查卄八、九两年解府银两尚未动支，今何得又行起解，应令作速解部。一、存剩银三万二千四百四十五两四钱三分零，米麦四万八千一百六十八石五斗三升零。应将此解部米麦存仓备用。又收过房田税契银四百二两六分六厘零。查前项银两已经解到收讫，无庸议者奉。

防依议　　今以四柱法核之如后【桉此即原题四柱册也，旧管者即四柱之旧管也，新收及商税皆新收也，准销即▯除，存剩即实在。其行查催解银，则四柱中原作开作，而部不准销改入实在之数也】法【以准销查催共数与旧管新收共数相减，即得存剩】

细账【仍原数不动】

以上并依法合总无讹外有房田税契银，另项附销，不在四柱之内。

厯算全书巻三十四钦定四库全书厯算全书巻三十五宣城梅文鼎撰笔算巻二乘法以数生数，是之谓乗。数不能自生，相得乃生，故乗亦曰因【生则不穷，故乘有陻义；生则日积，故乘有载义】有一位乗，有多位乗【或分一位曰因，多位曰乘，然古皆谓之乘，今从古】皆有法，有实，有得数。【凡实数纵列于右，凡法数横列于下，纵横相遇而得。数生焉，直行所对者，法数也，斜行。所对者，实数也。而纪得数，则以横行定之。或问：“实何以对斜行？”曰：“法有进行，故得数斜陞。是故”右第一行是法单位乘出之数也，其次行则法十位。乘出之数也，又次而百，而千，视此矣。故其乗得数不出斜格。此虚位也。单、十、百、千，周流迭居，皆于临时。

定之】凡乘出数皆有本位，有进位。如有十数，又有零数【三四一十二，四四一十六之类】则纪零于本位【本格之右方】纪十于进位【上一格之左方】有十数无零数，则纪十于进位，而本位作○【五四成二十五，六成三十之类】有零数无十数，则纪零于本位，而进位作○【一一如一二，二如四之类】凡法实有空位，则本位进位俱纪○。凡乘皆从法尾位起【即右第一行】对定实数相乗，自下而上，如画卦之法。右行乘毕，挨乗左行，毎移一行，必进上一位。其各行中斜对实数，自下而上，皆如右行法。凡法与实有空位，则无可乘。然必于本位、进位各作○，以存其位【若实尾有空位，则于合摠时补之】凡各行乗讫，必覆核之，乃以并法合总，而纪于左方，以为得数。实尾有几○，皆作于总数之下。凡乗讫，定位皆于原实内，寻原问毎数为根，以横行对定得数，命为法，尾数则上下之位皆定。凡数单乗单成单【甲为本位戊为进位】十乘十成百【乙为本位已为进位】百乘百成万【丙为本位庚为进位】千乗千成百万【丁为本位辛为进位】前图可明。定位又法【法曰：有本数，有大数，有小数。如原问是毎亩之价，而原实恰止于亩数，是本数也。凡本数即用得数尾位命为法尾数。若原问是毎亩之价，而原实只有十亩或只有百亩，是大数也。凡大数当于得数尾位下增○，然后于所增○位命为法尾数。若大几位，亦增几○，皆增至毎位止，即命末○为法尾数也。若原问是每亩之价，而原实不止于亩亩下▯有分厘，是小数也。凡小数当于得数之尾截去之，原▯畸零几位亦截去几位，然后命之，即所截之上一位为法尾数是也】凡乗毕，恐其有误，宜用除法还原【置得数为实，以法数为法，除之即得原实；或置得数为实，以实数为法，除之亦得法数】不则以九减、七减试之，尤防。【先以法数，如法九减之，而纪其余于右，如甲；次以实数，亦九减之，而纪其余于左，如乙，再以左右两减，余相乘，得数仍九减之，而纪其余于上方。如丙，末以得数亦九减之，而纪其余于下方。如丁，丁丙相同，即知无。

误七减亦然】【先以法数实数各如法九减之，而并纪其余，如甲与乙；次以两减余相乗得数仍九减之，而纪其余，如丙以上，并居左方。末以得数亦九减之。而纪其余于右方，如丁，视丙丁相同，卽知无误，如甲乙二者内有一，○卽丙亦○，又或甲爲一数，卽丙数同乙，皆不用乗。七减亦然】

一位乗式假如有熟田三千五百一十九亩，每亩编银六分，问该若干？答曰：二百一十一两一钱四分。【法从下起，先以法数六乘实数九，呼六九五十四，纪四于于本位，纪五，于进位，进乘实数一，呼一六，得六；纪六，于本。位纪○于进位，进乗实数五，呼五六成三十，纪○于本位。纪三，于进位，进乘实数三，呼三六一十八。纪八，于木位，纪。

一于进位　乘毕以倂法合总】定位法因原问是毎亩科则，就于右行原实内寻每亩数为定位之根，横对左行得数命法尾分，则其余皆定【根是九亩，横对是四分，则上位是钱，又上是两，又上十两，又上是百两，定所得为二百一十一两一钱四分】

两位以上乗式假如有金九钱八分五厘，每两价银八两八钱，问该若干？答曰：八两六钱六分八厘。【先以法八钱乗实数五呼，五八成四十纪○于本位纪四，于进位进】乗实数八呼八八六十四纪四于本位纪六于进位进乗实数九呼八九七十二，纪二于本位，纪七于进位。次进一位，以法八两乗实五呼，五八成四十，纪○于本位进，乗实八。呼八八六十四，纪四本位，纪六进位，进乘实九，呼八九七十二，纪二。本位纪七进位乗毕，以并法合总】

定位法【原问毎两之价而实无两当于实九钱上补作○两位为根以横对得数定为法尾钱即上下之位俱定】定位又法【此小数也。原问以毎两价为法，而实有钱分厘，共小三位，即于得数截去尾三位，定第四位为六钱】【法实减余，平列左上，相乘而减之，列左下。得数减余，列右下，以相同为定】假如有钱三十万零五百八十文，每千卖银九钱零五厘，该若干？答曰：「二百七十二两零二分四厘九毫。」【先以法数五乗实数八纪四○，次乘实数五纪二五】次乗实数○○本位进，位俱纪○次乗实数三纪一五。进一位，以法数○乘实○，无可乘于本位，进位各纪。○以存其位，又进一位，以法数九乘实。数八纪七，二进乗实数五纪四，五进乘两○纪○进。乗实数三纪二七乘毕，以并法合总】

定位【原问是毎千之价当于原实内寻干位为根以对得数命为法尾厘则其余皆定】定位又法【此亦小数也实有十丈于原问毎干为小两位当于得数截去末两位定为法尾厘】

【此即前问也，因法有空位，省不乘，但于法首九钱起进二位乘之，即得数无讹，与前法同。本宜进一位，乘九钱，今进两位，以合空位之数。若法有两空，即进三位以上，仿论】假如星命家以年月日时配成八字【以七百二十乗七百二十】问共该若干？

答曰五十一万八千四百【如法乗讫，并之得五一八四】定一【原问七百二十年月下，毎一数中各配七百二十日。时宜于原实下补作○单位为根，以对得数定法，尾十】或用又法【实数止于十，大于毎数一位，乃大数也，宜径于得数増一，○位定法尾一】解曰【六十年各十二月，则前四字七百二十六十日，各十二时，下四字亦七百二十，故以相乘，即能尽八字之变】假如西厯天度毎周三百六十，今有星行天三百周，该若干？答曰：一十万零八千度。【依法乘讫，用并法合，总得一○八】定位【原问是毎周之度，今实数是三百周，当于原实下补作两○至毎周位止】以此为根，横对得数，定法尾十，度而得数，空补作一○，上一位为百，度位得数，亦空。又补作○是得数无百无十也，再上为千，为万，为十万，定所得为一十万○八千】或用又法【星行三百周，大于毎周两位，乃大数也，法径于得数下增两○定末○为法，尾十度，即得数，皆定】【此先置三百六十为实，而以三百周为法乘之也，得数一○八与前法同，但变两位乘为一位乘，其用更。

简】定位【用大数法，以实止十度，无毎位径于得数】下补作一○定为法尾百即得数定为十万○八千】假如有珠子三分五厘，毎两值银二十四两，该若干答曰八钱四分依法乘而并之得八四○定位【原问珠毎两价今实数只有分乃进位作】○于钱位又上作○于两位两为根横对得数为法尾数。两而两位空补作，定所得为八钱四分】

定位又法【此小数法也。实有分厘在原问毎两下三位，宜截去得数末三位，定法尾数两，而得数只三位，无可截，乃补作○于得数之上，然后截之，定为○两】此与前条金价并畸零乘法也【余详通分】

省乘法【古谓之加法】假如有漕粮三百六十石，毎石▯耗米四斗，问正耗共若干？答曰：共五百○四石。此就身加法也【原数即当得数不动，只挨身加四。先于六十石加四六二十四石，又于三百石加三四一百二十石，末。用并法，连原数，并之合总。凡加法，定位依原数，不湏更求，下同】

【加法九试七试略同，并法并合原数加数减余列右，共数减余列左，此及下。

条并九减七减俱无余】假如银五十四两，毎两月息二分五厘，今两个月共本息若干？

答曰共五十六两七钱【此因所加是分在两下二位故隔位加。又因毎月二分半，今两个】月该五分，故以五分为法，先于四两加二○，进于五十加二五，末以。

并法连原数合总】省乘又法【古谓之求一乘法】凡法数之首为一数者，即原数不动，而挨身加之，与前两条同也。若法首非一数者，以法变为一数，则亦可挨加，此为本非一数求而得之，故名求一乗法也。其法，遇法首为二为三，则折半用之，而倍其实；法首遇五、六、七、八、九，则加倍用之，而半其实；法首遇四，则取四之一用之，而四其实【如此则法首成一数，可用省乘】【凡求一乘法定位，亦于原实内寻毎数为根，以横行对得数定之。但此所对得数，恒为法首位数若乘法则为法尾位数，与此不同，乃理势之自然，不可不知】假如前条珠三分五厘价，毎两值银二十四两，用乘法得价银八钱四分。今以法数折半作一十二两，实数加倍作七分，挨身加之，所得正同，而用加防矣。【原数不动，即用为法，首一数所乘也。挨身以法次位二，与原数相乘，呼二七加一十四本位纪一下位纪四加讫，以并法合总，亦连原数作数并之】定位【亦从原数七分上加两○，寻毎两位为定位之根，横对左行总数得法首位是十两，下一位是两，俱空，位补作两○，再下一位即钱，定所得为八钱四分】又如前条，钱三十万○○五百八十文，毎千价九钱○五厘，以钱折半【十五万○二百九十】为实价，加倍【作一两八钱一分】为法。【原数借为得数不动，以法去首位一，只用八一挨身加。之自下起于九加七，二九于二加一六二，其○位无加于。五加四○五，于实首一加八，一加讫合。原数并总】定位【寻原数千位为根，横对左行得数，得法首两位】并乘法【凡有数次乗者，并为一次乗，亦算家简法，旧谓之异乗同乘】假如原本银三千二百两，毎两一年获息一钱五分六厘二毫五丝，已经四年，该息若干？答曰：二千两。【法先以三千二百两乘四年得一万二千八百两，再以息银乘之，是并两次乘为一次乘也】

截乘法【凡乗法位多者，截作数次乘之，以便初学。其法与并乗相反而，其理相通】假如有三十二人，各给布六丈四尺，共若干？

答曰二百○四丈八尺【先置六丈四尺，以十六人为法，用省乘，就身加六，得一百○二丈四尺，又】二乘加倍合总解曰：十六乘，又二乘，即三十二乘也】定位【凡就身加者，原数即可定位，如前条漕粮毎石加四斗是也，此条是十六，加首行六四，虽以原数当得数，而六丈四尺已陞为六十四丈。矣，若加倍，自是本位，此在用算者临时消息之也】或置三十二人，以八丈乘两次，亦同。

解曰八乘二次即六十四乗也或置六丈四尺，以四乗之，得数；又以八乗之，所得亦同。

解曰：四乗一次，又八乗一次，即三十二乗也。

除法以数剖数，是之谓除。除其原数，以归各数，故除亦曰归【除与乘对，理精用博，近或谓之分，义则浅矣】有一位除，有多位除【或分一位，曰归；多位，曰除。或曰归除，曰混归。然古皆曰除】皆有法，有实，有得数【得数一名商数】实其物也，法其则也。法实，在乘法或可互用，而除法必须审定。乘法以法与实相遇而生一数，如阴阳相交而生物也，故虽互用，而其交之理不易，其生之用亦不易也。除法以实满法而成一数，如镕金以就型也，故曰「实如法而一」。若倒用之，则非矣【实如法而一，或变文曰「如某数而一」，如用三除者，省文曰「以三而一」，言以三数成一数也。「而」字皆连上为文，或者不察，遂竟以「而一」当「除」之字，义失其防矣】定法实诀。凡审法实有二诀，一曰先有定则，即以定则为法，其所除者必同名之物也【如有定则之银为法而除总银，以定则之米为法而除总米，是也】一曰先无定则而求定则，须详问意，以所用求之者为法，其所除者必异名之物也【如以总米除总银，以总银除总米，是也】何以为先有定则也？以事明之，如银籴米而先知每米一石之银若干，是先有定则之银也，即以此定则之银为法，而以总银为实，以法除实，则得总银所籴之总米矣【此为有总银数，又有米毎石之银数，故以银除银而得总米】若先知毎银一两之米若干，是先有定则之米也。即以此定则之米为法，而以总米为实，以法除实，则得总米所粜之总银矣【此为有总米数，又有银毎两之米数，故以米除米而得总银】是皆所除者同名而所得者异名也。又谓之以毎数求总数【凡以毎数求总数者，以每数为法，毎数即定则也。以比例求之，更明。图具左方】

何以为先？无定则而求定则也。如有总米，又有总银，而无毎数，则当于问意详之。问者若欲知每米一石之银，是以米分银也，则以总米为法，总银为实。问者若欲知每银一两之米，是以银分米也，则以总银为法，总米为实。是所除者异名，而所得者亦异名也。又谓之以总数求每数【凡以总数求毎数，先无定则，故必于问者之所求酌之，亦有比例之理】

又防法凡不动者为法，动者为实。何以明之？如有总米、总银，而欲知毎米一石之银，则将变总银为每米之银，是银动而米不动也，故以米为法。若欲知每银一两之米，则将变总米为毎银之米，是米动而银不动也，故以银为法。其以毎数求总数者，先有定则，不动即用为法，尤为易见。凡布算乗易而除难，除法之难尤在法实。法实无误，则思过半矣。此乃珠算、笔算所同也，故首辨之如右。若笔算除法，更有宜知者数端，具如后方。一列位【法实既辨，即当列位】其法先作两直线，自上而下，平行相望，约其间可容字两行，为率其长短则视位数多寡定之。先以实数列于右直线之右，自上而下，依列位法书之。次以法数列于右直线之左，亦自上而下，其千百十单皆与实相对。或法数有千而实只有百者，即对书于上一位，余皆仿此。亦有实数无分秒而法数有之者，亦对书于实尾之下。次约实以求得数【得数亦名商数】以法约实，纪其得数于左线之右。视法首位是言如之数【如三三如九之▯】则书于实之上一位，而于实首添作○以遥对之。或法首位是言十之数【如二六一十二之类】则书于实首之对位。其次商三商以上，皆依此书之。若书之而不相接辏，是商数有空位也，补作○。此定位之根，慎不可错。次乘商数，求应减之数，以减原实。以商得数与法数相呼乗之，而纪数于左线之左，皆以乘数之进位对商数纪之【如二六一十二，则以一十对商数书之；如三三如九，是为○九，则以九上之○对商数书之，他皆仿此】乃遂以乗出数与右行原实对减【周减法】足减者于原实抹改之，不足减者，改商数，其乗出数亦抹去，便续商也。

次定得数之位先于法数之上一位作□为识，以对得数命为单位，等而上之，则十、百、千万、等；而下之，则分、秒、忽、微，皆从此定。

次命分除有不尽者，以法命之。用法数为母，不尽之数为子，命为几分之几。

次还原凡除法，恐其有误，当以乘法还原。用法数与得数相乗，除有不尽者，并入之，即得原实。又法，仍以除法还原，用得数为法，转除原实，即复得法数。除有不尽者，以减原实为实，然后除之。又法，以九减七减试之。以法数九减七减，皆用其所减之余，纪右。再以得数如法减之，纪其余于左。左右两余数相乗，仍如法减之，纪其余于上方。末以原实亦如法减之，纪其余于下方。上下相同，则无误矣。又简法作直线于左方，以应减之数，依并法并之，必合原实。有不尽数，亦并入之【此法更简更确】按笔除原法，以法实上下相叠，不论数之何等【谓十、单、分、秒之等】而但齐其尾，殊欠条理。又以得数横续于法实之尾，定位易淆。今法与实皆用真数相对，而宜减之数先列左方，对减无误，即古人“实如法而一”之故，了了分明。据法首定位，尤为简快。

一位除式假如有额编地丁银二百一十一两一钱四分，其科则毎亩六分，问原地若干？

答曰三千五百一十九亩审法实诀【此为以毎数求总数也，其毎数六分为先有之定则，不动故以为法】

【右并法还原即用原列应减之数并之必合原实是为简法】列位法【如法作两直线，先以实数二一一一四列于右直线之右，自上而下顺布之；次以法数六列于右直线之左，因法系六分故与实分位相对】商除法【次以法数约实，法是六，实是二，以六除二，当合下位作廿一除之，商作三，以乘法六，呼三六一十八，是言十之数，将商得三以法首二书于左直线之右，以乘得一八书于左直线之左，因是言十之数以乗得进位一字对商数三字书之，遂以此乘得一八用减法与原实二一对减，先于实次位减八，实系一不足减作防，借上一数为十一减八余三，改书三于实一之右，次于实首位减一，实系二因借去一防只作一减尽作○，乃作线抹去二一，存○三，亦于左作线抹去减数一八】【次商以六除三，亦当合下位作三一除之，商作五，以乘法六，呼五六成三十，是言十之数，将次商五对实三字书于初商之下，亦以乗得三○，依法以三字为进位，对次商五字书于左直线之左，依法对减实三】

【作○仍作线抹去实三亦于左减数抹去三○三商以六除一合下位作十一商作一呼一六如六是言如之数将三商一对实上位一字书于次商五之下依法以乘得○六对所商一字书于左线之左以对减实一一以六减一不足减作防借上成十一减六余五改书　五于右抹去一一亦于左减数抹去○六末商以六除五亦合下位作五十四商作九呼六九五十四是言十之数将商得九对实五字书于三商一之下依法以乘得五四对所商九字书左线之左以对减实五四恰尽俱改书○而抹去五四左减数亦抹去　共商得三五一九】

定位诀【于右线法数六字上一位作□为单位之识以横对左得数九字定为单九亩进位是十亩又进百亩又进千亩命所得为三千五百一十九亩】乗法还原【以法六分乘得数三千五百一十九亩，仍得原实，见乗法】除法还原【以得数为法，除原实，仍得法数六分，见后条】试法。【九减得数无余，纪○于左。法数余六，纪于右。左右相乗，仍纪○于上。】九减原实，无余纪。○于下凡○位，与他数相乗，所得皆○】

【七减得数，余五，纪左。法数余六，纪右。左右相乗，仍以七减，余二，纪于上七减原实，余二，纪于下。两试皆上下相同，知其不悮】【论曰：除法以乘法还原，犹之乘法以除法还原，此旧法珠算所必需。若除法以除法还原，则旧所无也。《同文算指》用九减、七减试法，可免还原，颇称巧防。今以并法代之，则试法亦省，故称简法焉。兹各具一则，用相参互，以明筭理，握算者择而用之可也。今定笔除只用简法还原，若笔乘仍用试法】

多位除式假如有熟地三千五百一十九亩，共征银二百一十一两一钱四分，问每亩科则若干？答曰：毎亩六分。审法实【此以总数求毎数也，问者欲知毎亩科则，是将以总银变为毎银，银数动，地亩不动，故以地为法，银为实】列位法【先以实数自上而下顺布于右线之右，次以法数对书于右线之左。实首位是二百，法首是三千。法大于实一位，故进一位列之。凡进位列者，皆不满法】

商除法【以法数约实，法首是三，实是二，合两位，二一除之，宜商七，因法有次位，须留余地，改商六，以乗法三，呼三六一十八，是言十之数，以商数六对实首二，书于左直线之右，以乘得一八，书于左线之左，遂以商数六徧乗法次位五，呼五六成三十，乗得三○，挨书于一八之下一位，又以商数徧乗法第三位一，呼一六如六，乘得○六，挨书下一位，又以商数六徧乗法末位九，呼六九五十四，乘得五四，又挨书下一位，如此徧乗法四位讫，乃以乘出数为减数，对减原实恰尽】定位【寻法首上一位为单位，横对左线得数上二位定为两顺，下一位是钱，此二位俱空补作○○，再下是分，定所得为六分】此一次除尽例也。又为法大实小，故所得不能成整数【两为整数，今所得是分在两下二位】【若用乘法，还原同前条还原法；若用除法，还原即前条除法】此所定单位在得数之外，乃借虚位以定实数【下条同】其故何也？曰：法是三千有零，能满此数始能成一两，故曰实如法而一。今法大实小，是实不满法，不能成一数，所得者乃剖一整数而得其若干。如此条所得乃百分两之六也【详命分】假如有银八两六钱六分八厘，换金，毎金一两该银八两八钱，问换金若干？

答曰九钱八分五厘定法实诀【此为以银除银，金价八两八钱，是先有之定则，不动就以为法】

【如前法对列法实于右线之左右，初商法八，实八，宜商一，因无次商，改退商九，以乗法八得七二，又乗法次位八亦得七二，依法挨书，遂以对减实三位八六六，余○七四；次商八，以乘法八得六四，乗法次八亦得六四，依法书之，遂以对减余实七四八，余○四四；三商五，以乗法八八得四四○，依法书之，遂以对减余实恰尽】定位【法数上一位为单位，横对得数上一位是两，定为○两九钱八分五厘。法实首位同，而法次位八，大于实次位六，故亦借虚位以定实数，説在前条】【甪乗法还原，见乗法第二条。用除法还原，以金九钱八分五厘为法，除实得毎两价八两八钱，即畸零法也。详通分】假如有银四万八千两，六十四人分之，该若干？

答曰各七百五十两假如有银二百七十二两○二分四厘，九毫毎钱一千银九钱○五厘，问钱若干？答曰：三十万零五百八十文。定法实【此先有定则九钱○五厘，故以为法】【此法有○位例也，亦是得数有○之例。】初，商三以乗法九，得二七，法次位空无乘，挨作○○，以存其位。再乗法，末位五，得一五，各如式书之，以对减原实二七二○，余。○○○五实空位无可商，次商从实五字起，商作五以乘法。九得四五，法次位空，亦作○，存位。乗法末位五得二五，如式。书之以对，减实五二四九，余○七二四】【初商三乗九得二十七，是言十之数，宜对实首位二字，书得数三次，商五乗九得四十五，亦是言十之数，宜对余实首位五字，书得数五，如此审定而书，则乘出减实之数与实相对，了了分明，便知不误。然初商次商不相接续，所差二位，是得数有二空位也，补作○○于初商次商之间，以存得数之空位，如是则次商之事毕。末商八，以乗法九得七二，法次位无乘，亦作○存之，法末位乗得四○，以对减余七二四，恰尽】定位【此因所问是毎千之价，故千即单数也，从法上一位横对定为千文之位，上为万，又上十万，定所得为三十万○○五百八十文】若以数三十万○○五百八十文为法，除原实二百七十二两○二分四厘九毫，亦复得九钱○五厘为毎千之价，如后图。审法实【此问钱价，是以钱分银，故以总钱为法，总银为实】列位之理【所欲知者，毎千之价，故以千为单以万为十，以十万当百，与原银对列。其书商数如式，不错则得数之空位自明，定位亦自无。舛説见前，此两条互相还原。若以乗法还原并用乘法第三条】

命分法凡除法至单而止，故曰实如法而一。所谓一者，即单一数也。其有除至单数而仍有不尽之余，实或法之数本大于实，皆不能成一整数，则以法命之。其法有二：其一，除之至尽，如计轻重者，不满一两，则除之为若干钱、若干分及厘、毫、丝、忽。前条法大实小及得数单下仍有数位者是也【若授时厯万分为度，百秒为分及钱钞论贯，贯之下有百冇十有零文，尤为易见】其一，以法数为分母，不尽之数为分子，命为几分之几【如以三除五，内除三数满法成一整数，余实二不能成整，则以此二数各剖为三分，共成六分，而以三除之，各得二分，是为三分之二也】假如十九人分银二百五十四两，问各若干？

答曰各十三两零十九分之七【以十九人为法，除二百五十四两，各得一十三两，不尽七两，以法命。之，其法以法十九命为分母，不尽七数为分子，命为十九分两之。七解曰：一整两，各剖为十九分，则不尽之七两，共剖为一百三十。三分以十九人分之，各得七分，并整数分数为毎人分得一十三两。

零十九分两之七】【若用乘法还原法，以十九人乗得数十三两，得共二百四十七两，加八不尽七两，共二百五十四两，合原实】【若用除法还原，法置原实内减不尽之数七两，余二百四十七两为实，毎人十三两为法，法除实得十九人】论曰：古人只用命分，后世乃有除之至尽之法，然终不能尽【如以十九人除七两，各得三钱六分八厘四毫二丝一忽，终余一忽】故不如命分之简妙【如钱粮尾数一忽之下，仍冇微纎等七位不等，徒滋繁文，无禆实用，然亦终不能尽。若命分之法，只一语喝尽，更无渗漏，然后知古法为无▯】省除法【旧名定身除，亦名减法。凡法首位是一数者，用之】假如漕粮正耗共五百○四石，每正米一石除耗四斗，问正米若干？

答曰三百六十石【先以原数五定正数为三，书直线左以应减耗数四乗所定正三得耗一十二，并正三，共得四二，以减原数五○，余○八，次以余数八定。正数为六书，正数三之下，以减耗四，乗六得二十四，并正六，共得八。四减余数恰尽，合得数减数并之，即还原数，或用。

加四亦同】定位【凡省除皆以原数定位】省除，又法【古谓之求一除法】凡定身除，惟法首是一数者可用。今以倍半之法求之，则法首皆变为一数。其法，遇法首位是二、是三，法实皆折半；遇四，则折半两次；遇五、六、七、八、九，法实皆加倍【如此则法首位皆成一数】假如前条，六十四人分银四万八千两，用除法，各得七百五十两；今以法实各折半两次，用定身除，所得亦同。【先以法六十四折半作三十二，又折半一十六为法，实四万八千折半作二万四千，又折半一万二千为实用，定身除法，先以实首两位。一、二定七为得数，法去首位一不用，只用六以乘得数七，得四十二。书左并得数七，共一，一，二，以减原实一，二，余○○八；次以余实八定。五为得数，亦以法六乗，得三○，挨书于左，以减余实八，恰尽】定位【得数七对原实千因法是有十之数退一等作七百定所得为七百五十石。假如十人七千，即毎人七百，故法有十者退一位也。凖此推之，法有百退二位，有千退三位，万以上仿此论之。凡省除依原实定位，当知此诀】

并除法【旧名异除同除】凡有当除数次者，则以法相乗为法，作一次除之，亦简法也【如以四除之，又以五除之，又以七除之，则以四乘五得二十，又以七乘得一百四十，共为法以除之，是并数次除为一次除也】假如经商获利二千两，原本三千二百两，已经四年，问毎年毎两之息？答曰：「毎两息一钱五分六厘二毫半。」

法曰先以四年乗原本【三千二百】得【一万二千八百】为总法【本法宜以二千二百除二千，得毎两之息；再以四年除之，得毎年毎两之息，今并两次除为一次除，足简法也】

截除法【与并除相反，所以便初学】凡除有法，数位繁者，或可以截为两次除，以从简易。假如五十六人分银【一千五百一十二两】各若干。

答曰各二十七两【此因法五十六是七八相乘之数，故先以八除，得一百八十九两，仍用为实，再以七除之，得二十七两，合问】【或先用七除得数，二百一十六两，复以八除之，亦得二十七两，为毎人数】

【右省除式也，只作一直线，书原实于右，纪得数于左，而以九九数呼而减之，不必另书减数，凡法只一位者，用此为便】假如铜一百二十八斤，价二十两，问毎斤若干？答曰：毎斤一钱五分六厘二毫半【原法三位，今用截除三次，俱一位为法，可用省除】

假如银一千○八十两，置田二百一十六亩，问田价每亩若干？答曰：五两【原法三位，今用六除三次，亦同】

约分法凡命分有可约者，以法约之。古法曰：可半者半之，不可半者，以少减多，更相减损，求其有等，以等约之【以等数除母子数，则皆除尽。西人谓之纽数】假如八十一人分银二十七两，问各数？答曰：各得三分两之一。法曰【以八十一除二十七，不能各得一两，依命分法，八十一为分母，二十七为分子，命为八十一分两之二十七，又以法约之为三之一】解曰【八十一是三个二十七，若剖毎两为八十一分，即各得其二十七分，是三之一也】分母八一【约分法曰：置分母八十一，用递减法以分子二十七减之余五十四，复以二十七减】分子二七【之仍余二十七，如是则两数齐同，是有等也，即用此等数二十七为法，转除分母八】减余五四【十一得三，除分子得一，如此则不用细分，但以毎两均剖为三而各得其一分，即三又减分子】二七【人共一两也，若分子是五十四，则用转减法，以子五四】仍余二七【转减母八一余廿七，又以母余二十七转减子五四亦余卄七，是相等也，就以此等数卄七为法，除母八一得三，除子五四得二，是为约得三之二】假如米八十五石，分结一百○二人，问各若干？

答曰各得六分石之五法曰【人多米少不能各一石依命分法以一○二为分母八五为分子命为一百○二之八十五以法约之为六分之五】【约分法曰置分母一百○二以分子八十五减之得余十七用转减法以余十七减分子八十五余六十八又递减之余五十一又减之余三十四又减之余亦十七是相等也就此等数十七为法转除母数一百○二得六除子数八十五得五约为六分之五解曰一百○二是六个十七八十五是五个十七故曰六之五即六人共米五石也若以米毎石均分六分八十五石共得五百一十分为实以一百○二人为法除之得五是毎　所得为一石米中六分之五也】

厯算全书巻三十五<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>钦定四库全书