厯算全书卷二十九

厯算全书卷二十九

宣城梅文鼎撰古算衍略古算器攷或有问于梅子曰：「古者算学亦有器乎？」曰：「有。」曰：「何器？」曰：「古用筹。」筹何似？曰：「汉书言之矣：用竹，径一分，长六寸，二百七十一而成六觚为一握，度长短者不失毫厘，量多少者不失圭撮，权轻重者不失黍絫。又世説言王衍持牙筹防计，此用筹之明证也。」曰：「若是则筹可用竹，亦可用牙矣，然则即今之筹笇非欤？」曰：「非也。今西厯用筹，亦起徐李诸公，葢从厯家之立成而成，即立成表之活者耳。故一筹即备九数。若古之用筹，用以纪数而无字画，故一筹只当一数，乘除之时，以筹纵横列于几案，一望了然。观古算字作祘，葢象形也。然则起于何时？曰：「是不可攷。然大易揲蓍，亦以一蓍当一数，则其来逺矣。蓍策所以决疑，非常用之物，故特隆重其制而加长，长则不可以横，故皆纵列。惟分二象两之后，挂一防以别之，使无凌杂，余皆纵列也。又其数只四十九，故四揲以稽其实数。其用専専则诚也。」布算之法，有十百千万之等，以乗除而升降，又日用必需之物，故其制短，使几案可列。其言六寸成觚者，有度量之用，古尺既小于今尺，才四寸竒，葢亦取其便于手握耳【浦江吴氏中馈録有算条，巴子切肉长三寸，各如算子様，亦可以想其长短】然则其用之若何？曰：「五以下皆纵列，六以上则横置，一筹以当五而纵列其余【式详后】然则十百千万何以列之？曰：「其式皆自左而右，略如珠笇之位，亦如西域欧逻写算之位，皆顺手势，不得不同也。」曰：「亦有征欤？」曰：「有之。蔡九峯洪范皇极数所纪算位，一至五皆纵列，六至九皆横一于上以当五，又自一之一至九之九皆并列两位，自左而右，此用于宋者也。又授时厯草所载乘除法实之式，皆纵横排列，自左而右，以万千百十零为序，此用于元者也。」左传史赵言：「亥有二首六身，下二如身，为绛县老人日数。」士文伯知其为二万六千六百六旬，而孟康、杜预、顔师古释之，皆以为亥字二画在上，其下三六为身，如笇之六，葢横一当五，又竪一于横一之下，则为六矣，与皇极同也。又言下亥二画竪置身傍，葢即竪两笇为二万，又并三六为六千六百六旬，而四位平列，与厯草同，此又用于三代及汉晋者也。曰厯草，又有一至五横纪之处，何欤？曰此亦非起于厯草也。何以知之？唐人论书法，横直多者有俯仰向背之法，若直如笇子，便不是书，其言笇子即所列筹也。然兼横直画言之，则唐人用筹为算，亦有横直，可知《干凿度》云：「卧算为年，立算为日。」葢位数多者，恐其相混，故三十三、二十二之类，笇位皆一纵一横以别之，纵即立算，横即卧算也。《干凿度》不知作于何人，然其在汉魏以前，无可疑者，则横直相错之法，古有之矣。五以下既可易纵为横，则六以上横一当五者，亦可易之，而纵又何疑于厯草哉？曰然则今用珠盘起于何时？曰古书散亡，苦无明据，然以愚度之，亦起明初耳。何以知之？曰归除歌括最为简妙，此珠盘所恃以行也。然《九章比类》所载句长而澁，葢即是时所创，后人踵事増华，乃更简快。是书为钱塘吴信民作，其年月可攷而知，则珠盘之来，则自不逺。按钦天监厯科所▯，通轨凡乘除皆有定子之法，惟珠算则可用。然则珠算即起其时，又尝见他书：元统造大统厯，访求得郭伯玉善算，以佐成之，即郭太史之裔也。然则珠盘之法，葢即伯玉等所制，亦未可定。曰：南雷畣牧斋流变三疉之问，既云长水分别算位，本位是竪，进一位即是横；本位是横，进一位即是竪。又引凿度卧算、立算以证之矣。然其所图算位俱作圆防，殊无横直之形，何耶？曰：南雷固言今之算器数分于珠，是指珠算也。又云长水之算只用今器，其所谓横竪者，分别算位。南雷之意，葢谓长水姑借横竪之语以分算位，而实用珠算，非实有横竪也。然以【鼎】观之，疏既以一横二竪当十二，复以一竪二横当百二十，终以一横二竪当千二百，而皆曰进动算位，明是用筹非用珠也。故当十进百之时，则当取去第一叠零位之二竪，而加十位之一横为二横，又添一竪于百位，则成百二十矣。故曰进动算位为第二叠也。百进千，则又取去十位之二横，而増一竪于百位为二竪，又别増一横于千位，成千二百，故亦曰进动算位为第三叠也。説本明晰，与今珠算何涉乎？若如南雷所图，则横竪字为赘文矣。是故布筹可纵可横，此亦一证。又按朱子语类云：「潜虚之数用五，只似如今算位一般。其直一画则五也，下横一画则为六，横二画则为七。」此又一证也【蔡九峯皇极数以横画当五，故下竪一画为六，竪二画为七，与此相反，然理则相通。厯草则兼用之，葢皆本之古法】

古布算式皇极数图【见性理大全】

厯草算式立差　　　　定平差　　　定平积右式皆因数有雷同，故纵横列之以为别，亦自然之理也。

乘除法实式【亦见厯草】

亥字二首六身攷左传·襄公三十年》三月癸未，绛县老人曰：“臣生之嵗，正月甲子朔，四百有四十五甲子矣。其季于今三之一也。”师旷曰：“鲁叔仲恵伯防郤成子于承匡之嵗也【注：鲁文公十一年乙巳嵗】七十三年矣【注：自乙巳嵗至今年戊午，首末七十四年，而曰七十三者，葢计其全数而言，未满七十三年也】史赵曰：“亥有二首六身【注：言亥字上二画为首，六画为身，如算之六者三也，春秋时有此字体□】下二如身，是其日数也【注：如徃也，言除下亥上二画徃置身旁也□，便是此老人从初生年起至今癸未日之日数也，葢以亥之二画为二万之数，以三六之算为六千六百六旬之数也】士文伯曰：“然则二万六千六百有六旬也。”按古法，每年三百六十五日又四分之一，七十三年该二万六千六百六十三日又四分之一，故注以正月甲子为夏正建寅之月，而三月癸未，杜氏长厯及孔疏皆以为当作二月，为夏之十二月也。其癸未日，长厯以为是二十三日。然则春秋所纪者自用周正，而晋人所言者自是夏正，故鲁史纪戊午二月者，晋人所言则仍为丁巳之十二月，所以士文伯云七十三年也。

筹有色以分正负沈存中《括笔谈》曰：天有黄赤二道，月有九道，此皆强名，非实有也。亦由天之有三百六十五度，天何尝有度？以日行三百六十五日而一朞强，谓之度，以步日月五星行次而巳日之所由，谓之黄道；南北极之中间，度最均处，谓之赤道。月行黄道南，谓之朱道；北，谓之黒道；东，谓之青道；西，谓之白道。黄道内外各四，并黄道而九。日月之行有迟有速，难以一术御，故因其合散，分为数段，每段以一色名之，欲以别算位而已。如算法用赤筹、黒筹，以别正负之数。厯家不知其意，遂以为实有九道，甚可嗤也。

按此又宋算用筹之明证方田通法序学必有原，不得其原，不可以为学。九数之学，具列《周官》，而孔子言“游艺在志道，据徳，依仁”。后唐十经博士，期业成以五年，可形下视哉？客嵗之冬，从竹冠先生饮，令弟乐翁所得，观先生捷田歌括，离竒出没杯酒间，未深领其趣。属他故覊，治城且匝月，既无携书可破岑寂，乃稍忆所疑，演而通之，因浩然叹：数学之有源，虽至近若方田，而易简中精深尔。尔也算具不具？仗三寸不聿为之。今年春，里中有事履亩，或见问桐陵法，遂出斯编相质，命曰《方田通法》云。阏逢执徐，日躔在奎。勿庵梅文鼎识。

方田通法太极生生之数数始于天一，终于地十。十亦一也。天地之地，始终乎一，故曰太一。太一者，太极也。自极而仪，而象，而卦，皆加一倍，三加而止。万事托始焉。是故制器者，尚其象。玑衡八尺，周于八方，寻常则之以度，百物葢取诸此。

两地之数一生二，二者两地也。两一则二，两二则四，两四则八，两八则十有六。四象相交成十六事。卦有内外也。庾以命斗，秉以命斛，斤两则之以权百物。葢取诸此。

参天之数一，生二；二，生三。三者，参天也。参一而三，参二而六，参四而十有二，参八而二十有四。作厯者，以纪中节、八节、二十四气、八卦、二十四爻也。是故，玉衡之尺八，而玑围二十有四；斤之两十有六，而铢二十有四。二十有四者，权度之所生，数之纲也。从而十之，以为地纪，而畆法生焉。

畆法二百四十步。古法步百为畆，畆百为夫。今二百四十步为畆，相▯起于唐太宗。

步法五，合参两则。五，犹合四行为土。土之生数也。倍五则十，土之成数也。乗者从生，故平方五尺为步，而用以乗除者，从成，故积步二百四十为畆，而用以除。

方田原法以所丈田横步与其纵步相乗得数为实，以一畆二百四十步为法，除之，满法为畆，不满退除为分厘。田之为字，衡缩相交，矩其外，格其内，象平方也。田不能皆方，或圆，或直，或梯，或斜，或如牛角，或为矢弧，不皆方，故为之法，以方之大约不离横纵者，近是。九章之术首列方田，君子絜矩之道欤？

截归法或八归三归各一次，或四归六归各一次，或五因一十二归。邵子曰：「三八二十四也，四六亦二十四也，倍十二亦二十四也。」丈量家用截法，可以观已。

减法或折半，减二，或减六，减五，各一次。即定身除也。

飞归法进一除二四，进二除四八，进三除七二，进四除九六，五除一二，一四四作六，一六八作七，一九二作八，二一六作九，见一加三隔位四，见二加六隔位八，不尽者留法喝之。

又三六作一五，六作二五，八四作三五，一○八作四五，一三二作五五，一五六作六五，一八作七五，二○四作八五，二二八作九五。

留法一留退四一六六，二留退八三三三，三留一二五，四留一六六六六，五留二○八三三，六留二五，七留二九一六六，八留三三三三三，九留三七。五，其法是除用之似乗，以其为除后得数也，故谓之留。若用以喝稍者，言退者本位不，则进一位，或稍子位多者，喝完总移进之，更妙。凡加留减者，如加减法，只记原实于各挨身加减之。若原用因法者，则又下一位挨加减之，皆记原实以留法喝之。言退者，各又退一位。以上截留飞减四法，皆于乗土之后，用以求畆。惟留法则有不尽，故长于喝稍。后有用两求斤留法附录之。一退六二五，二一二五，三一八七五，四二五，五三一二五，六三七五，七四三七五，八五，九五六二五，十六二五，十一六八七五，十二七五，十三八一二五，十。

四八七五　十五九三七五新増径求畆步法其法不用乘土，以所得横纵之歩，先得者为实，后得者为法，径求之，可以抵掌而办。原法二十有二，竹冠道士衍为百二十有三，勿庵氏引而伸之，且三百八十有四也。倚数之妙，乃至斯乎？而岂有外于参两乎？又岂有加于所谓一者乎？法列如后。减二，即十二除，凡法之可以两者皆减二，是为畆法之半，或折半六归之。八除，或二十五于下位加之。凡法之可以参者，皆八除，是为畆法三分之一。四十八除，即折半飞归也。凡法之可以五者，皆四十八除，是两其畆法也。四除，或二十五乗之。凡法之可以六者，皆四除，是为畆法六分之一。六除，凡法之可以四者，皆六除，是为畆法四分之一。三除，凡法之可以八者，皆三除，是为畆法八分之一。下加，凡法之上位得一者，皆下加。上加凡法之下位得一者皆上加。凡加毕，再用留法，或飞归之。折半。凡法之十二者，皆折半为畆法。六分之五，减六。凡法之可以十五者，皆减六，即两求斤留法也。为畆法三分之二，又为六分之四。减五。凡法之可以十六者，皆减五，即十五。除也，为畆法八分之五。加留、减留。凡法之可借上者，皆加留；可借下者，则减留。所以通其穷也。随数喝畆，凡二十四则。随数喝之。倍法，凡四十八，五除之，即二因也。减八，即畆法八分之六也。凡法之可以八分用六者，十八除之，又为四分之三。九除，即畆法八分之三。凡法之可以八分用三者，九除之。二十一除，即畆法八分之七。凡法之可以八分用七者，二十一除。

因法代除　如四十八则二因之如七十二则三因九十六则四因又如十二五因一四四六因一六八七因一九二八因二一六九因又如六用二五因八四用三五因一○八用四五因一三二用五五因一五六用六五因一八用七五因二○四用八五因二二八用九五因加法代除，如三加二五，即一二五乗，所以代八除也。三六加五，即十五乗也。又如四二径加七五，五四二次加五，皆不用除。

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>原法歌诀【出桐陵】量田捷法少人知，不乗一数便留之，二弓折半六而一，三步之中用八归，四步由来六归是，五步还宜六八归，六数四归无走作，八上三归无改移，十二将来折一半，十六三而加倍齐，二十四中。随数喝，廿五中分六八归，三十二上尤甚准，四因还要用三归，四十八上加一倍，八卦宫中谁得知，三归八因尤甚准，胜如神见不差池，七二倍之加遍五，九十六上四因之，十五之中逢二八，七五之中四八归，三七半时当八八，九弓加五，四归竒，十八折之加五定，三六之中加五施，此是明师真口诀，千金不度世人知。

附归除捷法多上空加一【多上者，实多于法也。空者，实首隔一位也。凡实多于法，则于实前隔一位，上一子。若法实两数等，亦同】依前除，莫疑【依前者，即以前法数除之也】少前数上五【少前者实少于法也，即于实之前位上五子不隔位】折半数除之【折半除者，用法数之半而除之也。用五乗代折半，甚捷】无除随上一【无除者，上五之后，不及除半数也。既不及除，随于实前位上一子】化下照前除【化下者，退下一位也；照前除者，即依法数降一位而除之也】

区田图刋误按区田古法，并以方一尺五寸为区，通计毎亩可二千七百区。空一行种于所种行内，隔一区种一区，除隔空外，可种六百七十五区【此亦约畧之説，后又云毎区一斗，每亩可收六十六石，而诗亦云「限将一亩作田规，计区六百六十二」，并大同小异】是四分而种其一也。今农书之图，黑白相间，是二分种一，与説相背。且如所图，既不便于营治，亦不便于浇灌，反不如姜田之用濶沟通，人行之为便矣。谨依古説改作之如左。又按，四分种一，亦是约畧之数。若细求之，则四邉近田堘处，可只空半区。要以随方就圆，使其易行，亦不在拘拘于尺寸之间也。孟子曰：「此其大略也。若夫润泽之，则在君与子。」吾于区田，亦云。如甲乙为田内，毎画方一尺五寸为区【如甲子】直行毎隔一行种一行【如甲戊丙巳】因得横行亦然【如庚甲辛癸】其播种之区四面合之，各成小平方，如丙辛方中间子丑为种地，卯寅方中间午未方为种地，皆居小平方之中央，又蝉聫而下。通计毎田一畆，为种区者约四之一。图中白者是空地，黒者是种区。

区田説向读嵇叔夜《养生论》，谓区种之法，亩可得粟数十钟。已读王氏《农书》，详着其法。而《农政全书》载《汜胜之书》及《务本书》，谓汤有七年之旱，伊尹作为区田，教民粪种，负水浇田。诸山陵倾坂及田邱城上，皆可为之。王祯田，古人每区收谷一斗，每亩可收六十六石。今人学种，可减半。计贾思协曰：「兖州刺史刘仁之，昔在洛阳，于宅田七十步之地域为区田，收粟三十六石。」然则一亩之收，过百石矣。古説彰彰如是，而或者疑之【徐▯扈先生以为古今斗斛之异】余以为不必疑也。葢徴之于姜芋矣。吾乡土瘠，每亩收稻麦不过数石，而芋则每亩二十余石，多者三十余石。姜之下者二十余石，其上者至四十余石。然而种姜一亩，有稻田六亩以上之工，岂非粪多力勤之効乎？攷姜田营治之法，其畊甚深，在一尺以上。通水沟虽止数寸，而畦土斜杀而上。种姜棱背相距空间与棱背畧相等，是亦空一行种一行也，即区种之遗法也。姜田惟空直行，而区田复空横行，是其功又倍于姜田也。多收之数，又何疑焉【又攷遂宁王灼晦叔《糖霜谱》蔗田亦云区种，而其深畊摩劳，开渠濶尺，深尺五，及今年为蔗田，明年改种五谷以休地诸法，并同姜田】又按区田毎区方一尺五寸【贾氏説又有方深各六寸及方九寸深六寸诸法】葢欲于城上斜坡立区，故为此制。若平田亦可变通。

畸零法解【乗法】假如其处地畆，被水所淹，今涸出五分之四，于中又有髙地居七分之四，问若干？

答曰髙地为三十五之十六法用母乗母子乗子，两母【五七】相乗。三十五为母，两子【四四】相乗，十六为子　乗得三十五之十六解曰：分总地为五分，而涸出居其四，四又将此涸出之四分分为七分，而髙地居其四。若以总地分三十五分，则髙地居其十六矣。本法置实子五之四，以法子七之四乗之，得十六为实，法母七为法，除之得五之二，又小分七之二为髙地。然七除不尽，当用通分法，以小分母七通原分母五为三十五，得数二通为十四，加入之二，共十六，是三十五之十六也。今不用七除其子，而以七乗其母，得数亦同【母既七倍，而子不动，是七之一也，故乗母即同除子】以数明之，设原数三千五百畆，内涸出五之四，是二千八百畆也。以此二千八百畆分为七分，而髙地居其四，是一千六百畆也。则髙地于原数为三十五之十六矣。又假如有米一宗，内分七之四于预备仓收贮，又于预备仓内取五之四先给赈荒，问若干？

答曰三十五之一十六　法见前解曰：分总米为七分，而预备仓得其四；又分预备仓米为五分，而先给赈济者得其四。若以总米分为三十五分，则先给赈济者得其十六。本法置实七之四，以法子之四乗之，得一十六为实，法母五为法，除之得三又五之一。如法用通分，以小分五通大分七，为三十五，又通得数三为十五，加子一为十六，即三十五之十六也。今不用五除子而用五乗母，即得三十五之十六，省通分矣【母乗得五倍，则子为五之一】以数明之，设原米四千二百石，分为七分而取其四，为预备仓，是二千四百石也。预备仓米又分五分而取其四以给赈，是一千九百二十石也。若分原米为三十五分，每分一百二十石，则给赈米得十六分【四千二百是三十五个一百二十石，一千九百二十是十六个一百二十石，故也】

又法法用倒位互除以代乘法。以法子四除实母七，得一七五为母。以法母五除实子四得○八○为子，乗得一七五之八○，各进位而倍之，即三十五之十十六。本法四乗五除，今不以四乗其子，而反以四除其母，即得数同也【母既改为四之一，而子不动，即子为四倍，故除母可代乘子也。然除法多有不尽，不如母乘母、子乘子为便】

还原畸零除法假如营兵奉裁五之一，留五之四，其所支月饷为某仓米七之四，问未裁时月饷几何？

答曰该支仓米七之五法用倒位互乗以当除法，以法子之四乗实母七得二十八为母，以法母五乗实子之四得二十为子，除得二十八之二十，约为七之五。解曰：兵奉裁留五之四，其原额未裁，则五之五也。故其原支仓米，亦必七之五，乃四而増一之比例。本法置实七之四，以法母五乗之，得七之二十为实。以法子之四为法除之，得七之五。今不用四除其子，而以四乗其母，得数亦同【母既四倍于原母，而原子不动，如四之一故乗母可代除子】

又法法以法母五除实母七得一四为母，又以法子之四除实子之四得一○为子。除得一四之一○，约之亦得七之五。

此不用五乗其子而以五除其母得数亦同【母既五除则为原母五之一而原子不动如五倍矣故除母可当乗子】论曰：以上三法所得，并同。然倒位乗尤妙，葢以乗代除，则无畸零不尽之数，故也。以数明之，设营兵三千，其五之四，则二千四百也。仓米二千五百二十石，其七之四，则一千四百四十石也；七之五，则一千八百石也。兵二千四百，而给米一千四百四十石，则兵三千当给一千八百石。

还原用倒位互除，以代乗法。法子四除实母二十八，得七为母；法母五除实子二十，得四为子。乗得七之四，复合原数。问：仓米七之四，可给营兵五之四，若仓米全发，给兵几何？

答曰给兵五之七如法倒位，以法子之四乗实母五，得二十为母，以法母七乘实子之四，得二十八为子，除得二十○之二十八，约为五之七，子大于母，收为一又五之二，是可给原额兵，而仍多五分之二也。解曰：原给仓米七之四，而今全给七分，是四分而増其三也，故兵亦四分増三【于五之四増五之三，即为五之七】本法置实之四，以法母七乘之，得五之二十八为实，法子四为法，除之得五之七【今以四乗母代四除子，与前条同】以前数明之仓米二千五百二十石，分为七分，则每分三百六十石。营兵三千，分为五分，则每分六百。以仓米四分给兵四分，是每米三百六十石给兵六百名也。今仓米全给，为三百六十石者七，则兵为六百者亦七，是四千二百名也。除三千名，满原额，净多一千二百名之饷为五分之二【以七除五不尽故不用又法】

厯算全书巻二十九<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>筹算自序唐有九执厯，不用布算，唯以笔记。史谓其繁重，其法不传。今西儒笔算，或其遗意欤？笔算之法，详见《同文算指》中。厯书出，乃有筹算，其法与旧传铺地锦相似，而加便防。又昔但以乘者，今兼以除，且益之开方诸率，可谓尽变矣。但本法横书，彷佛于珠算之位，至于除法则实横而商数纵，颇难定位。愚谓既用笔书，宜一行直下为便，辄以鄙意改用横筹直写，而于定位之法尤加详焉，俾用者无复纎疑。即不敢谓兼中西两家之长，而于筹算庶几无憾矣。康熙戊午九月已亥朔，日躔在角。宛陵梅文鼎勿庵撰：筹算有数，便奚囊逺涉，便于佩带一也。所用乘除，存诸片楮，久可覆核二也。斗室匡坐，▯笔徐观诸数，厯然人不能测三也。布算未终，无妨泛应，前功可续四也。乘除一理，不湏歌括五也。尤便学习，朝得暮能六也。原法横书，故用直筹，筹直则积数横。彼中文字，实用横书也。今直书，故用横筹，筹横则积数直，其理一也。亦有数便，自上而下，乃中土笔墨之宜，便写一也。两半圆合一位，便查数二也。商数与实平行，便定位三也。

钦定四库全书厯算全书巻三十宣城梅文鼎撰筹算一作筹之度凡筹以牙为之，或纸，或竹片，皆可。长短任意，以方正为度。凡筹背面皆平分九行，每行以曲线界之，为两半圆状。凡筹背面皆相对，第一筹之隂即为第九，便检寻也。二与八，三与七，四与六，五与空位，皆仿此。共五类，类各五筹，当珠盘二十五位，或更加之亦可。外有开方大筹，为平方立方之用，详见别巻。

筹式列左