厯算全书卷三十九
厯算全书卷三十九
宣城梅文鼎撰目録第一平分线第二平方线【原名分面】
第三更面线【原名变面】
第四立方线【原名分体】
第五更体线【原名变体】
第六割圆线第七正▯线【旧名节气】
第八切线【旧名时刻】
第九割线【旧名表心】
第十五金线【附三线比例】以上十线并如旧式，惟平方、立方改从古名，取其易晓。又正▯改附割圆切线，分为时刻，取其便用。割线去表心之目，以正其名，免悮用也。説见各条之下。又按罗序言，此器百种技艺，无不赖之，功倍用防，为造玛得玛第嘉之津梁。然则彼中借此制器，如工师之用矩尺，则日晷等制并其恒业，乃书中图説反有参错，非故为靳秘也。良由仿造者众，未必深知法意，爰致承讹，抑或译书时语言不能尽解，而强以意通，遂多笔误耳。今于其似是而非之处，彻底厘清，以合测量正理，起立法之人于九京，必当莫逆。
比例尺式【即度数尺也，原名比例规，以两尺可开可合，有似作圆之器，故亦可云规】
用薄铜板或厚纸或坚木【黄杨木等】作两长股，如图，任长一尺上下，广如长八之一，两股等长等广，股首上角为枢，以枢心为心，从心出各直线，以尺大小定线数，今折中作五线，两股两面共十线，可用十种比例之法，线行相距之地，取足书字而止，尺首半规余地，以固枢也，用时张翕防移。
比例尺又式前式两股相叠，此式两股相并。股上两用之际，以为心规余地，以安枢。其一规面与尺面平，而空其中；其一剡规而入于彼尺之空，令宻无罅也。枢欲其无偏也，两尺并欲其无罅也。枢心为心，与两尺之合线欲其中绳也。张尽令两首相就，成一直线，可作长尺；或以两尺横直相得，成一方角，可作矩尺。
规式【此本为画圆之器，尺算赖之以取底数，葢相湏为用者也】
用铜或鐡，亦如尺作两股，但尺式扁方，此可圆也。首为枢，可张可翕，末鋭，以便于尺上取数也。当其半腰，缀一铜条，横贯之势，曲而长，如割圆象限之弧，与枢相应，得数后，用螺钉固之。凡算例假如有言取某数为底线者，并以规之两鋭于平分线上量而得之。其用底线为得数者，并以规取两尺上▯线相等之距于平分线上量而命之。故规之两鋭可当横尺数度，衍以横尺比量，反不如用规之便利，而得数且真也。
第一平分线此线为诸线之根，取数贵多，尺大可作一千，然过宻又恐其不清也，故以二百为率。分法如设一直线，欲作百分，先平分之为二，又平分之为四，又于每一分内各五分之，则已成二十分矣。于是用更分法，取元分四改为五分【如甲乙丙有丙戊丁三防，是元分之四也，今复匀作五分，加己庚辛壬四防】则元分与次分之较【如壬丙及巳戊】皆元分五之一，亦即设线百分之一分凖此为度，而周布之，即百分以成。解曰：元分为设线，百分为二十分之一，即每一分内函五分也。今壬丙、己戊既皆五分之一，则甲壬、己乙皆五分之四，亦即百分之四也。又丙辛、庚戊皆三，而辛丁、丁庚皆二也。任用一度参差作防，互相攷订，即成百分匀度矣【每数至十至百皆作字记之】或取元分六，复五分之，亦同。何则？元分一内函五分，则元分四共函二十分，故可以五分之。若元分六，即共函三十分，故亦可五分之，其理一也。用法一凡设一直线，任欲作几分，假如四分，即以规量设线为度，而数两尺之各一百以为▯。乃张尺以就度，令设线度为两▯之底，置尺【置尺者，置不复动，故亦可云定尺，下仿此】数两尺之各二十五以为▯，敛规取二十五两防间之底以为度，即所求分数【即四分中一分也，以此为度而分其线，即成四分】若求极微分，如一百之一，如上以一百为▯，设线为底，置尺。次以九十九为▯，取底比设线，其较为百之一。若欲设线内取零数，如七之三，即以七十为▯，设线为底，置尺。次以三十为▯，敛规取底，即设线七之三。谨按尺筭，上两等边三角形分之，即两句股也。两句聫为一线，而在下直谓之底，宜也。若两尺上数原系斜▯，改而称腰，于义无取，今直正其名曰▯。用法二凡有线求几倍之，以十为▯，设线为底，置尺如求七倍，以七十为▯，取底即元线之七倍；若求十四倍，则倍得线，或先取十倍，更取四倍，并之。用法三有两直线欲定其比例，以大线为尺末之数【尺百即百，千即千】置尺敛规，取小线度于尺上，进退就其两▯等数，如大线为一百，小线为三十七，即两线之比例若一百与三十七，可约者约之【约法以两大数约为两小数，其比例不异，如一百与三十约为十与三】用法四有两数求相乗，假如以七乗十三，先以十防为▯，取十三防为底，置尺，次检七十之等▯，取其底得九十一为所求乗数【若以十为▯，七为底，置尺而检一百三十防之底，得数亦同】【论曰：乗法与倍法相通，故以七乗十三，是以十三之数七倍之，是七个十三也。以十三乗七，是以七数十三倍之，是十三个七也。故得数并同】用法五有两数求相除，假如有数九十一，七人分之，即以本线七十为▯，取九十一为底，置尺次，检十防之▯，取底必得十三为所求。又法以九十一为▯，用规取七十为底，置尺敛规，取一十为底，进退求其等▯，亦得十三，如所求。【论曰：筭家最重法实。今当以七人为法，所分九十一数为实。乃前法以法数七为▯，实数九十一为底。又法反之而所得并同，何也？曰：异乗同除，以先有之两率为比例筭。今有之两率虽曰三率，实四率也。徴之于尺，则大▯与大底，小▯与小底，两两相比，明明四率较若列睂。故先有之两率当▯，则今所求者在底，是以▯之比例例底也。若先有之率当底，则今所求者在▯，是以底之例例▯也。但四率中原缺一率，比而得之，固不必先审法实，殊为简易矣】【然则乗除一法乎？曰：凡四率中所缺之一率，求而得之，谓之得数。乗则先缺者必大数也，故得亦大数；除则先缺者必小数也，故得亦小数。所不同者，此耳。是故乗除皆有四率，得尺筭而其理愈明，亦诸家所未发也】假如有银九十六两，四人分之，法以人数取四十分为底，置银数九十六两为▯，定尺敛规，取一十分为底，进退求其等▯，得二十四两，为每人得数。又法，取银数九十六两为底，置一百分为▯，定尺敛规于二十五分等▯，取其底亦得二十四两为每人数。又如，有数一百二十三，欲折取三分之一，法以规取三十分为底，置一百二十三等数为两▯，定尺敛规，取一十数为底，进退求其等数为▯，必得四十一，命为三分之一，如所求。
用法六 凡所求数大尺所不能具则退位取之假如有数一百二十欲加五倍即退一位取一十二为底以尺之一十防为两▯定尺取两▯五十防之底【即五倍】得六十进一位命所得为六百【以一十二当一百二十是一而当十故进位命之也凡用尺筭湏得此通融之法】又法以规取一十数为底，于尺之一十二防为两▯【一十二以当一百二十，是一当十也，或二十四亦可为一当五】定尺展规取五十数【以当五倍】为底，进退求其等数之▯，必得六十，进位成六百。假如有银十三两，每两换钱一千二百文，法退二位，以规取十二分【当一千二百，以尺上一数当一百】为底，置一十防【即每两之位】为▯，定尺，然后寻一百三十防【即十三两之位】为▯，展规取其底，得一百五十六分，进二位，命之得共钱一十五千六百。又如，有银四两，每两换钱九百六十文，法作两次乗。先乗六十，取六数为底，置一十防为▯，定尺展规，取四十防之底，得二十四。次乗九百，取九数为底，置一十防为▯，定尺展规，取四十防之底，得三十六。进一位，并之得三八四，末増一○为进位，得三千八百四十文。【二四三六】因每两是九百六十，故末位増○【三八四○千百十文】假如有数一百二十，欲折取三分之一，法以规取六十【折半法也】为底置九十分为▯，定尺然后寻两▯之三十分防【即三之一】取其底于本线比之，必二十，命所得为四十【加倍法也，先折半故得数加倍】凡所用数在一十防以内，近心难用，则进位取之。如前条所设，宜用六数九数为底，其防近心，取数难清，即进位作六十取数用之，是进一位也。但先进一位者得数后，即退一位命其数，此可于前假如中详之【用尺时有退位得数后进位命其数，用尺时有进位得数后退位命其数，其理相通故不另立假如】或先进二位者得数，亦退二位，或先加倍者得数折半，并同一法。用法七。凡四率法，有中两率同数者，谓之连比例，假如有大数【三十六】小数【二十四】再求一小数与此两数。为连比例法，以大数为▯【如辛甲】小数为底【如辛巳】定尺，再以辛巳底为▯【如甲丁】而取其底【如丁戊】其数必【十六】则三十六与念四之比。例若念四与十六也【其比例为三分损一】若先有小数【十六】大数【二十四】而求连比例之大数，则以小数为底【如丁戊】大数为▯【如丁甲】定尺。再以丁甲▯为底【如辛巳】取其▯【如辛甲】其数必三十六，则十六与念四，若念四与三十六也【其比例为三分増一】他皆仿此【原书有断比例法，今按断比例即古法之异乗同除，西法谓之三率。前各条中用尺取数，皆异乗同除之法，故不更立例】
用法八。凡句股形，有句，有股，有▯，共。
三件先有两件而求其不知之一件法以尺作正角取之假如有句【八尺】股【十五尺】欲知其▯法以规量取八十防为底一端指尺上之六十四防一端指又一尺之四十八防以定尺则尺成正角乃于尺上取八十防为句又于一尺上取一百五十防为股，张规以就所识句股之两防，必一百七十，退一位得▯十七尺，如所求【取句股数时，原进一位，故所得▯数退一位，命之説见前】若先有▯【十七尺】股【十五尺】求其句，则以规取一百七十防为句股之▯，乃以规端指一百五十防，以余一端又于一尺上寻所指之防，必八十也。如上退位得句八尺，或先有▯【十七尺】句【八尺】求其股，亦以规取【一百七十】而一端指【八十】寻又一端之所指，必得【一百五十】命【一十五尺】为股，如所求。凡杂三角形内无正角，不可以句股。算法先作角，假如先有一角及角。旁之两边求余一边法于平分线。【任用一笾如甲乙】取数为底，分圆线【六十】度为两▯定尺以规取所设角之底【为平分线上任用甲乙边等度之底】定尺则尺间角如所设【如乙角】乃于两尺上依所设取角旁两边之数，于两尺各作识【如甲乙丙乙】遂用规取斜距之底【如甲丙】即得余一边如所求。
又法 假如乙甲丙三角形有甲角【五十三度○七分】甲乙。边【五十六尺】甲丙边【七十五尺】而求。
乙丙边法以规取一百分为分圆线上六十度之底，敛规取五十三度强之底，移于平分线上，作百分之底，定尺。乃于尺上取五十六防【如甲乙】又一尺上取七十五防【如甲丙】乃以规取两防斜距之底，于尺上较之，即得六十一尺【如乙丙】命为所求邉【分圆线见后】
用法十 有小图欲改作大几倍之图用前倍法假如有小图濶一尺二寸今欲展作五倍即取十二为十防之底定尺展规取五十防之底必得六十命为六尺如所求用法十一平圆形周径相求法，于平分线上作两识，以一百八十八半弱上为周，六十为径，各书其号。假如有径【七十一】求周法，以规取七十一，加于径防为底，定尺展规取周防之底，即得周二百二十三。如所求【以周求径，反此用之】用法十二「求理分中末线法」于线上定三防于九十。
六定全分五十九又三之一为大分三十六又三之二为小分假如有一直线【一百四十四】欲分中末线，即以设线加于全分防为底，取其大小分防之底，即得【八十九强】为大分【五十五弱】为小分。【按平线上既作周径之号，若又作此，则太繁，不如另作一线，其上可寄五金线也。又按原书全分七十二大分，四十二又三之一小分，二十七又三之二大有讹错，今改定】以上十二用法，姑举其概。其实平分线之用，不止于是，善用者自知之耳。
第二平方线【旧名分面线。凡平方形有积有邉。积谓之幂，亦谓之面。边线亦谓之根，即开平方法也】
原为一百不平分，今按若尺小欲其清，则但为五十分亦可。假如有积六千四百，则以平分线之二十自乗，得四百，于积为十六倍之一。若置二十分于一防为底，求十六防之底，则得方根八十；或置于二防为底，则求三十二防之底；或置于三防为底，则求四十八防之底，皆同。
分法有二 以算一以量以算分算法者，自枢心【甲】任定一度，命为十分【如甲乙】即平方积一百分之根。今求加倍平方二百分之根，为十四又念九之四，即于甲乙线上加四分强【如丙】命甲丙为倍积之根。求三倍，则开平方三百分之根，得十七又三十五之十一，即又于甲乙线上加十分半弱【如丁】即甲丁为三倍积之根。求四倍，则平方四百之根二十，即以甲乙倍之得甲戊为四倍积之根。五六七以上并同【按：用方根表甚简易】
以量分以任取之甲乙度作正方形【如丙乙甲】乃于乙甲横边引长之，以当积数；丙乙直边引长之，作垂线，以当根数。如求倍，积之根即于横线上截丁乙为甲乙之倍次平分甲丁于戊，戊为心，甲为界，作半圈截垂线于巳，即己乙为二百分之边，求三倍，则乙丁三倍于甲乙，四倍以上并同。又防法：如前作句股形法，定两尺间成正方角如甲，乃任于尺上取甲乙，命为一防，而又于一尺取甲丙度，与甲乙相等，即皆为一百之根，次取乙丙底加于甲乙。尺上为二百之根，甲丁。又自丁至丙作。斜▯以加于甲乙尺上，为三百之根，甲戊，又自戊至丙作▯，以加于甲乙尺上。为四百之根，甲已如此递加，即得各方。之根其加法俱从尺心起【如求得丙乙即以丙加甲乙加丁成甲丁他皆仿此】试法甲乙为一正方形之边，倍其度，即四倍方积之边，否即不合。三倍得九倍方积之边，四倍得十六，五倍得二十五。又取三倍之边，倍之即十二倍之边【四其三也】再加一倍得二十七倍之边【九其三也】再加倍得四十八倍之边【十六其三也】再加倍得七十五倍之边【二十五其三也】若以五倍之边，倍之得二十倍之边【四其五也】再加倍得四十五倍之边【九其五也】再加倍得八十倍之边【十六其五也】。凡言倍其度者，线上度也，如正方四百分之边二十分，甲乙正方一百分之边十分，其大为一倍也。言几倍方积者，积数也，如边二十者，积四百，即尺上所书】用法一有平方积求其边【即开平方】法先其设数与某数能相为比例，得几倍，如法求之。假如有平方积一千二百二十五尺，欲求其根，以约分法求得。二十五，为设数四十九之一，即以规。于平分线，取五防为平方线上一防。之底定，尺展规于四十九，防取其底。即得一边三十五尺为平方根【积二十五方根五加四十九倍为积一千二百二十五方根三十五】或用四十九为设数【一千二百二十五尺】二十五之一即以规取七防为平方一防之底，而取平方二十五防之底，亦得方根三十五如所求【积四十九方根七加二十五倍为积一千二百二十五，则其方根三十五】，又法若无比例可求者，但以十分为一防之底定尺，有假如在用法七】用法二凡同类之平面形可并为一大形【或方或圆或三角多边等形，但形相似即为同类】假如有平面正方四形，求作一大正方形与之等积。其第一形之幂积为二，第二形之积为三，第三形之积四有半，第四形之积六又四之三。法先并其积得【十六叉四之一】乃任取第一小形之边为底二防为▯定尺【若用第二形之边为底定尺，即用三防为▯】而于十六防又四之一取其底为大形边，其面积与四形总数等。若但有同类之形，而不知面积，亦不知边数，则先求其积之比例，如甲乙丙丁，方形四法，以小形甲之。边为底平方线，第一防为▯定尺。次以乙形边为底，进退求等数，得。
第二防外又五分之一即命其积为二又五之一【此与小形一之比例不拘丈尺】次丙形边为底，求得【二又四之三】丁形边。得【四又六之五】并诸数及甲形一，得【十又六十分之四十七】约为【五之四弱】向元定尺上。寻十防外，十一防内之距，取其五。之四为等数之两▯【即十一弱】用其底。为大方形边其面积与四形并数。
等【此加形法也。圆面及三角等面，凡相似之形，并可相并，其法同上】
用法三《平面形求作一同类之他形大于设形几倍》【以设形之邉为一防之底定尺】假如有正方形面。积四百，其邉二十，今求别作一方形。其容积大九倍，法以设形邉【二十】为平。方线一防之底定尺而取平方九防等数之底得【六十】如所求【邉六十，其方积三千六百，以比设形积为大九倍】
用法四 平面形求别作一同类之形为设形几分之几【以设形之邉为命分定尺而于得分取数】 假如有平方形积三千六百其邉六十今求作小形为设形九之四法以设形邉【六十】为平方第九防之底定尺而取第四防之底得【四十】如所求【邉四十其积一千六百以比设形积为九之四也九为命分四为得分】此减积法也圆面三角等俱同一法用法五有两数求中比例【即三率连比例之第二率】假如有二与八两数，求其中比例法。先以大数为平方线，八防之底，而取二防之底，得四，如所求。二与四，如四与八，皆加倍之比例，故四为二与八之中率。用法六有长方形，求作正方形。假如长方形横二尺，直八尺，如上图。求得中比例之数为四尺，以作正方形之边，则其面积与直形等。
直八尺横二尺 其积一十六尺方形各边并四尺，其积亦十六尺。用法七有设积求其方根而不能与他数为比例，则以一十数为比例。假如平积二百五十五，用十数比之为二十五倍半，即取十数为平方线一防之底，而取二十五防半之底，得十六弱为方根【十六自乗积二百五十六，今只欠一小数，故命之为十六弱】
第三更面线【凡平面形，方必中矩，圆必中规，其余各形，并等边等角，故皆为有法之形，而可以相求】
分法置公积四三二九六四，以开方得正方形之根六五八三，边形之根一千五，边形之根五○二六，边形之根四○八七，边形之根三四五八，边形之根二九九九，边形之根二六○，十边形之根二三七，十一边形之根二一四，十二边形之根一九七，圜径七四二，以本线为千平分，而取各类之数，从心至末，取各数加本类之号。用法一有平面积求各类之根【凡三角及多边各平面形其边既等故并以形之一边为根圆形则以径为根】法先以设数于平方线上，求其正方根，以此为度，于更面线之正方号为底定尺，次于各形之号取底，即得所求各形边。假如有平面三等边形，积二千七百七十一寸，欲求其边，法以设积于平方线上，如法开其平方根【依前卷用法七，以设数为十数之二百七十七倍强，各降一位，命为一数之二十七倍，又十之七强，乃以一数为平方一防之底定尺，而于其二十七防十之七强取底数，得五寸二六，进一位作五尺二寸半强】以所得方根为更面线正方号之底定尺，而取三等边号之底，得八尺为三等边形根，如所求。用法二有平面形不同类欲相并为一大形法，先以各形边为更面线上各本号之底，定尺而取其正方号之底作线，为所变正方形之边。次以所变方边于分面线上求其积数，而并之为总积。假如有甲【三角】乙【五边】丙三形欲相并，先以甲边为三角号之底，定尺而取其正方号之底作线于甲形内【如此则甲形已变为正方，下同】书其数曰十次，以乙边为五边号之底，如前取其平方底，向平方线求之得二十一半【其法以甲邉为平方十防之底定尺，而以乙所变方边进退求等度之▯，命之】即于乙形作方底线书之，次以丙圆径。为平圆号之底，如前求得十六弱，并三数得四十七半弱，为总积【此因三形之邉】无数姑以小形命十数定尺而所得各方积并小形十数之比例】若三形内先知一形之面积即用其所变方邉定尺，则所得皆真数，如上。三形但知丙形之积十六【或十六尺，或十六寸】【等】如法以丙形邉变方边于平方线十六防为底定尺余如上法求之亦必得甲为十数乙为二十一半总积四十七半。但前条所得是比例之数，比例虽同而尺有大小，故以此所得为真数也。末以总数于原定尺上寻平方线四十七防半处取其底度为平方邉，则此大平方形与三形面积等。若欲以总积为五邉形，则以所得大平方邉为更面线，正方号之底定尺，而于五邉形之号取其底，即所求五边形之一邉【若欲作三角或圆形，并同一法】用法三有平面形欲变为他形，如上法，以本形邉为本号之底，定尺而取所求他形号之底。假如有三角形，欲改平圆，则以所设三角形之邉加于本尺三角形之号为底，定尺而取平圆号之底，求其数，命为平圆径，所作平圆必与所设三角形同积。用法四，有两平面形不同类，欲定其相较之比例，如前法，各以所设形变为平方。假如有六邉形有圆形相较，即如法各变为平方，求其数，平圆数二十六邉数三十六，即平员为六邉形三十六之二十，以二十减三十六，得十六为两形之较。
第四立方线【旧名分体线。凡平方形如棊局，其四邉横直相等，而无高与厚之数。立方则如方柜，有横有直，又有髙，而皆相等。平方之积曰平积，亦曰面积，亦曰幂积，如棊局中之细分方罫。立方之积曰体积，亦曰立积，并如骰子之积累成方】
【旧图误以尺枢心甲书于一防上，今改正。甲乙一，亦即一十，则其内细数亦不平分。旧图作十平分，亦误。今删去】
分法有二一以算一以量以算分，从尺心甲任定一防为乙，则甲乙之度当十分邉之积为一千【十分自乗之再乗之即成一千，假如立方一尺，其积必千寸】纪其号曰一次，加一倍为立积二千，开立方求其根，得十二又三之一，即于甲乙上加二又三之一为甲丙，纪其号曰二，再加一倍立积三千，开立方得数，纪三以上并同。防法，取甲乙邉四分之一，加甲乙，成甲丙，即倍体邉。又取甲丙七分之一，加甲丙，成甲丁，即三倍体邉。又取甲丁十之一，加甲丁，成甲戊，即四倍体邉。再加，如图。
【右加法与开立方数所差不逺然尾数不清，难为定率，姑存其意】
又防法用立方表以量分，如后图作四率连比例而求其第二。盖元体之邉与倍体之邉为三加之比例也【假如邉为一倍之，则二；若求平方面，则复倍之为四，是再加之比例也。今求立方体，必再倍之为八，故曰三加。三加者，即四率连比例也】几何法曰：第二线上之体与第一线上之体，若四率连比例之第四与第一【第一为元邉线，第二为加倍之邉线，第三以邉线自乗为加倍线上之面，第四以邉线再自乗为加倍线上之体。今开立方，是以体积求邉线，即是以第四率求第二率也】假如有立方体积，又有加倍之积。法以两积变为线【元积如辛庚，倍积如辛巳】作壬巳，辛庚长方形，次于壬巳壬庚。两各引长之，以形心【戊】为心，作圈。分截引长线于子，于午作子午直。线切辛角【如不切辛角，必渐试之，令正相切乃止】即辛庚【一率】午庚【二率】子巳【三率】己辛【四率】为四率连比例。末用第二率午庚为倍积之一边，其体倍大于元积。若辛巳为辛庚之三倍四倍，则午庚邉上体积亦大于元积三倍四倍【以上仿此】
解四率连比例之理试于辛防作卯辛为子午之垂线次。用子壬度，从午作卯午直线，截卯辛。线于卯，又从卯作直线至子，又从辛。防引辛、庚邉至辰，引辛巳邉至丑成。
各句股形皆相似而比例等【卯辛午句股形，从辛正角作垂线至丑，分为两句股形，则形相似而比例。等为午丑辛形，以午丑为句，丑辛为股；辛丑卯形，以丑辛为句，丑卯为股。则午丑与丑辛若丑辛与丑卯为连比例也，卯辛子句股形从辛正角。作垂线至辰分，两句股形亦形相似，而比例等。「卯辰辛形，卯辰为句，辰」辛为股，辛辰子形，辰辛为句，辰子为股，则卯辰与辰辛若辰辛与辰子。亦连比例也。而辰辛即丑卯，故合之成四率连比例】
一率 辛庚 即午丑二率 午庚 即丑辛 亦即辰卯三率 子巳 即辛辰 亦即丑卯四率 己辛 即辰子试法。元体边倍之，即八倍体积之邉。若三之，即二十七倍之邉。四之，即六十四倍体积之邉。五之，即一百二十五倍体积之邉。又取二倍邉，倍之得十六【八其二也】再倍之得一二八，倍体积之邉【六十四其二也】三加比例表【平方、立方同理，即连比例】
第一率 第二率 第三率 第四率按第一率为元数，第二率为线，即根数也，第三率为面，平方幂积也，第四率为体，立方积也。开平方、开立方，并以积求根，故所用者皆二率也【比例规觧乃云：本线上量体，任用其邉，其根，其面，其对角线，其轴皆可，其説殊不可晓，今删去】用法一，有立积，求其根【即开立方】假如有立方积四万，法先求其与一千之比例，则四万与一千，若四十与一，即取十数为分体线上一防之底，定尺而取四十防之底，得三十四强，即立方之根【説见平方】用法二，有两数求其双中率【谓有连比例之第一与第四而求其第二第三】法以小数为一率，用作本线一防之底，而取大数之底为二率，既有二率，可求三率。假如有两数为三与二十四，欲求其双中率。法约两数之比例为一与八，即以小数三为本线一防之底，定尺而于八防取底，得六为第二率。末以二率、四率依法求中率，得十二为三率。一率三，二率六，三率十二，四率二十四。用法三设一体求作同类之体大于设体为几倍【此乗体之法】假如设立方体八千，其邉二十，求作加八倍之体为六万四千，问邉若干？法以设体根二十为本线，一防之底定尺，而取八防之底得四十，即大体邉如所求。用法四，《有同类之体欲并为一法，累计其积而并之为总积，求其根，即得》。假如有三立方体，甲容一十，乙容十三又四之三，丙容十七又四之一，并得四十一。即以甲容一十为本线，一防之底定尺，而取四十一防之底为总体邉，如所求。若设体无积数，则以小体命为一十，而求其比例，然后并之。
用法五有两同类之体求其比例与其较【此分体之法】假如甲丙两立方体欲求其较而不知容积之数，法以甲小体邉为一防之底定尺，而以丙邉为底进退求其等数，如所得为九，即其比例为九与一，以一减九，其较八，即于八防取底为较形之邉。用法六有立方体欲别作一体，为其几分之几？假如有立方体欲另作一体，为其八之五，则以设体邉为本线，八防之底定尺，而于五防取底为邉作立方体，即其容为设体八之五。
第五更体线【旧名变体线】
体之有法者，曰立方，曰立圆，曰四等面，曰八等面，曰十二等面，曰二十等面，凡六种。外此，皆不能为有法之体。六等面体，各面皆正方，即立方也。有十二棱八角测量全义曰：「设边一百」。
求其容为一○○○○○○浑圆体，亦曰球体，即立圆也。几何补。编曰：同径之立方积，与立圆积若六。○○○○○○与三一四一五九二。设径一百，求其容，为五二三五九八。此三角平面形，相合而成，有六棱四。角测量全义曰：设边一百，求其容为。
一一七四七二半此体各面亦皆三等边形，有十二棱。六角测量全义》曰：「设边一百，求其容。」
为四七一四二五有竒此体各面皆五等边，有三十棱，二十。角测量全义曰：设边一百，求其容为。
七六八六三八九此体各面亦皆三等边，有三十棱，十。二角按几何补编二十等面体设边。一百，其积二百一十八万，一八二八。测量全义，作边一百，容五二三八○。
九相差四倍故今不用分法置公积百万，依算法开各类之根，则立方六等面体之根为一百，四等面体之根为二○四，八等面体之根为一二八，半十二等面体之根为五○半强，二十等面体之根为七七，圆球之径为一二四【原本十二等面根五○，二十等面根七六，圆径一二六，今并依几何补编改定】因诸体中独四等面体之根最大，故本线用二○四平分之，从心数各类之根至本数加字。用法一，有各类之立体，以积求根【即开各类有法体之方】法皆以设积于立方线，求其根，乃移置更体线，求本号之根，即得。假如有十二等面体，其积八千，问邉若干？法以一千之根十为立方一防之底，定尺而取八防之底，得二十，为所变立方之根。次以二十为本线上立方号之底，而取十二等面号之底，得一十○强，即十二等面之一邉【他仿此】用法二，《有各类之立体以根求积》，法先以所设根变为正方根，乃于立方线求其积。假如有二十等面体，其邉三十一弱，问积法？以根三十一弱为本线，二十等面号之底定尺，而取立方号之底得四十弱，为所变立方之邉。次于立方线，以一十为一防之底，而以四十进退求等数，得【十六】防。命其积【一万六千】如所求【邉一十，其积一千，则邉四十，积一万六千】用法三有不同类之体欲相并为一【此以体相加之法并变为正方体积即可相并】假如有三立体，甲浑圆体【径一百二十四】乙二十等面体【邉七十七】丙十二等面体【邉五十○半】欲相并，用前条法，各以积变为立方积，则三体之积皆一百万，并之得三百万，如所求。用法四有不同类之两体求其比例与其较【此以体相减之法】法各变为立方体，即可相较，以得其比例，并同更面线法。
第六分圆线【即各弧度之通▯也旧名分▯线亦曰分圈】
分法有二一以量一以算以量分，法作半方形，如甲乙丙，令甲丙斜▯与本线。等长以乙方角为心，甲为界，作象限。弧如甲丁丙，乃匀分之为九十度，各识之，次从甲防作直线至各度，移入。尺上识其号，若尺小可作六十度。即本线之长为六十度号，若尺大可作一百八十度，即本线之半为六十度号。以算分，法用正▯表，倍之为倍度之通▯。假如求六十度通▯，即以三十度之正▯【五○○○○】倍之，得【一○○○○○】即六十度之通▯，他皆若是。
试法十八为半周十之一【即全圈二十之一也】三十六为半周五之一【即全圈十之一】四十五为半周四之一【即全圈八之】七十二为半周五之二【即全圈五之一】九十为半周之半【即全圈四之一谓之象限】百二十度为半周三之二【即全圈三之一】用法一：有圆径，求若干度之弧，以半径当六十度取之。假如有甲乙丙全圈，有甲丙径，求五十度之弧，即以甲丙径半之于丁，以甲丁半径为本线六十度之底定尺，而取五十。度之底，如甲乙直线以切圆，分即得甲戊乙弧为五十度，如所求。
用法二 若以弧问径则反之如先有弧分，如甲戊乙为五十度，而问全径。法从弧两端聫之作直线，如【甲乙】用为本线五十度之底。定尺而取六十度之底为半径【甲丁】倍之得全径【甲丙】
用法三 直线三角形求量角度法以角为心，任用规截角旁两线作通▯如法得角度。假如甲丙乙三角形，不知角法，任用甲丁度，以甲为心，作虚圈，截甲丙线于丁，截甲乙线于戊；次作丁戊直线。次即用甲丁原度，以乙为心，如法截甲乙于辛，截丙乙于庚。作辛庚直线末，以甲丁为六十度之底，定尺乃用丁戊为底，进退求其等度之号，得甲角之度；用辛庚为底，亦得乙角之度。合两角减半周，得丙角度。如甲角六十五，乙角四十，则丙角必七十五。
用法四 平面等邉形求其径假如有五等邉平面形，欲求径作图【即对角辏心直线】法，以设邉为分圆线七十二度之底，而取其六十度之底为半径，以作平圆。末以原设边为度，分其周为五平分，即成五等面如所求【他等邉形并同】五等邉形，有一邉如丙乙，如法求。得乙，甲半径，以甲为心，乙为界，作。平圆而以丙乙邉度，分其圆得丁。戊己等防作线聫之，即成五等邉形，而所作圆即外切之圆。
第七正▯线【旧名节气线，以其造平仪时有分节气之用也。然正▯在三角法中为用甚多，不止一事，不如直言正▯，以免挂漏】
正▯线不平分，亦近枢心，大而渐小，与分圆同。分法，全尺为一百平分，尺大可作一千。于正▯表取数，从枢心至各度分之，每十度加号。简法第一，平分线可当此线。其线两傍，一书平分号，一书正▯号。又法，分圆线可当此线，以分圆线两度当正▯一度，纪其号。假如分圆六十度齘，即纪正▯三十。但分圆之号直书，则正▯横书，以别之。
解曰：凡正▯皆倍度分圆之半，故其比例等。然则分圆之一度，即正▯之半度，而半度亦可取用，为尤便也。
如图，甲乙为通▯，甲丙、乙丙皆正▯。
用法一有设弧求其正▯法，以九十度当半径，假如有七十五度之弧，求正▯，即以本圈半径为正▯线，九十度之底定尺，而取七十五之底为正▯，如所求。用法二，有弧度之正▯数求径数，则以前条反用之。假如有七十五度之正▯数，即用为本线，七十五度之底定尺，而取其九十度之底，得半径数。用法三，句股形有角度，有▯，求句，求股法：以▯当半径，正▯当句，与股。假如句股形之▯二丈，有对句之角。三十度，即取平分线之二十，当▯数。为正▯线，九十度之底，而取三十度。
之底得一十即其句一丈又于其角之余▯【即六十度正▯】取底得【一十七又三之二弱】即其股为【一丈七尺三寸二分】若以句求▯，则反之。如句一丈，其句与▯所作之角为六十度，其余角三十度。即取一十数为三十度之底定尺，而取九十度之底得二十。命其▯二丈。用法四三角形以邉求角假如三角形有乙甲邉、甲丙邉及丙角度而求乙角，法以乙甲邉数为丙角正▯之底，定尺而以甲丙邉为底进退求其等度，取正▯线上号为乙，角度如所求。
用法五 三角形以角求邉假如三角形有戊角度、己角度及庚己邉，而求庚戊邉，法以庚己邉为戊角正▯之底，定尺而取己角正▯之底，得数即为庚戊邉，如所求。余详《三角法举要》。用法六作平仪求太阳二至日离赤道纬度。
如图以十字分大圆直者为两极横者为赤道横直交于圆心即地心也赤道即春秋分日行之道也地心至两极半径为正▯线九十度之底定尺取二十三度半之底，于地心上下各作防于直线，于此防作横线，与赤道平行为二至日道，近北极者夏至，近南极者冬至也。
又求作各节气日道法先求黄道线法于夏至之一端作斜线过地心至冬至之又一端，即成黄道。日行其上，一嵗一周天者也。以黄道半径为九十度之底，定尺每十五度正▯，取底移至黄道半径上【并从地心起度】
于地心上下各识之，即各节气日躔黄道上度也【或三十度取底，则所得皆中气】乃自黄道上各防作直线，并与赤道平行，即各节气日行之道。此与分至日道皆东升西没，一日一周者。
也其各线两端抵大圆处即各节气赤道纬度也春分以后在赤道北秋分以后在赤道南试法于二至日道两端作横线聫之【如甲乙】次以此横线之半为度【如丙乙】过赤道处【如丙】为心，作半圈于大圆之上【如乙戊甲半圆】亦如法作半圈于下，两半圈各匀分十二分作识【若但求中气可分六分】上下相向作直线聫之，即必与先所作日行道合为一线。又以甲丙为正▯，九十度之底定尺，而于其各正▯取底，亦即与原定日道纬度线合【如丙辛三十度之正▯也与赤道旁第一纬线合，丙丁六十度之正▯也与第二纬线合，左右上下考之并同】
用法七 定时刻【仍用平仪】法以平仪上赤道半径为正▯线，九十度之底定尺，而于各时刻距卯酉之度，取其正▯于赤道作识【过两极轴线处，即夘正、酉正也。距此而上三十度，午前为辰正，午后为申正；距此而下三十度，子前为戌正，子后为寅正；距此而上六十度，午前为巳正，午后为未正；距此而下六十度，子前为亥正，子后为丑正；至圆周处，上为午正，下为子正】即春秋分之时刻也。欲作各时初正及刻凖此求之，并以正▯为用【每时分初正各加距十五度，初正又各分四刻，每刻加距三度，又四分之三，并取正▯如前法】又以二至日道之半径为正。
▯九十度之底定尺如法取各正▯作识即二至之时刻也 末以分至线上时刻作弧线聫之即得各节气之时刻凖此论之，平仪作时刻，亦用正▯比例规觧。以正▯名节气线，切线名时刻线，区而别之，非是。
第八切线【旧名时刻线，今按平仪时刻原用正▯，惟以日景取髙度定时刻，斯用切线耳。又如浑盖、通宪等法，亦皆切线，其用甚多，故不如直名切线】
切线不平分，先小渐大，至九十度竟平行无界，故只用八十度，或只作六十度亦可。分法，简切线本表八十度之切线五六七，即于尺上作五六七平分，次简各度数分之逢十加识。
用法一 三角形求角假如乙甲丁三角形，求乙角？任截角。旁线于丙，得乙丙十寸，自丙作垂线。戊丙量得七寸，次用十数为切线四十五度之底，定尺而以戊丙七数为底，进退求等度，得三十五度为乙角。用法二求太阳地平上髙度【用直表】法曰：凡地平上直立之物，皆可当表。以表高数为切线，四十五度之底定尺，而取表影数为底进退，求等度，得日髙度之余切线。假如表髙一丈，影长一丈五尺。法以丈尺变为数，用一十数当表髙为切线四十五度之底，定尺。次以一十五数当影长为底，进退求等度，得五十六度十九分，为日髙之余度。以减九十度，得日髙三十三度四十一分。
癸丙地平上日高度与壬辛等其余度癸丁为日距天顶与戊辛等甲戊为表长其影戊已乃日距天顶之切线在日高癸丙为余切线也用法三 求太阳髙度用横表植横木于墙，以候日影，即得倒影为正切线之度。假如横表长一尺，倒影在墙壁者长一尺五寸。法用十数，当横表为四十五度之底，定尺；次以十五数当影长，进退求等度，得五十六度十九分，即命为日高之度。凡亭台之内，日影可到者，量其檐际之深，可当横表。
卯寅墙 子甲为横表太阳光从丁过表端，甲射丑，成子丑倒影，丁丙为。
日，在地平上髙度与午子度等，故以子丑倒影为日髙度之正切线也。按直表之影，低度则影长，髙度则渐短，日度益髙则影极短，故以余切线当直影【前图是也】横表之影，低度则影短，髙度则渐长，日度益髙则影极长，故以正切线当倒影【后图是也】比例规觧，乃俱倒説，今正之。用法四求北极出地度分假如江宁府立夏后九日午正立表一丈测得影长为二尺四寸法以一百数当表髙为切线四十五度之底定尺而以二十四数为底进退求等数得一十三度半，如法以减九十度，得七十六度半，为日出地平上髙度。简黄赤距度表，是日太阳北纬一十九度，以减日髙度，得赤道髙五十七度半，转减九十度，得北极髙三十二度半。防法以直表所得一十三度半，加太阳北纬十九度，即得三十二度半，为北极髙度。解曰：直表所得太阳距天顶度也。加北纬，即赤道距天顶度，亦即北极出地度。
又如顺天府立春后四日如法用横表三尺得倒影二尺一寸依切线法求得日髙三十五度简表得本日太阳南纬一十五度以加日髙度得赤道髙五十度以减九十度，得北极髙四十度。
第九割线【旧名表心线，今按割线非表心，又割线之用甚多，非只作日晷一事故直名割线为是】
割线不平分，先小后大，并与切线略同，故亦只作八十度，或只作六十度，亦可。分法，用割线本表八十度之割线五七五，平分之，其初防与切线四十五度等，次依表作度加识。
用法一 三角形以割线求角假如有甲乙丙三角形，求甲角法，任于甲角旁之一邉截戊甲十寸作垂。线如戊丁截，又一邉于丁，得丁甲十。九寸，次以十数为割线，初防之底定尺，而以十九数为底，进退求等数，得五十八度一十七分，为甲角之度。用法二作平面日晷【兼用割切二线】法曰：先作子午直线，卯酉横线，十字相交于甲。以甲为正午时，从甲左右尽，横线尽处为度。于切线八十二度半为底，定尺。次于本线七度半，取底向卯酉横线上识之。自甲防起为第一时，如甲丙、甲乙。次每加七度半，取底如前作识，为各时分【如七度半加之成十五度，即第二时，又逓加如二十二度半、三十度、三十七度半、四十五度、五十二度半、六十度、六十七度半、七十五度，至八八十二度半，合线末，元定之防】若逓加三度四十五分而取底作识即每时四刻全矣【按每七度半加】防乃二刻也。今每三度四十五分则一刻加防】订定法曰：横线上定时刻。
讫次取甲交防左右各十二刻之度【即元定四十五度之切线，亦即】【半径全数】为割线上北极髙度之底定尺，而取割线初防之底为表长【如壬庚】次以表长当半径，为切线四十五之底定尺，而检北极髙度之正切，取底自甲防向南截之如甲壬以壬为表位又于北极髙度之余切线取底自表位壬向南截之如壬辛以辛为晷心 末自晷心辛向横线上原定时刻作斜直线引长之得时刻 时刻在子午线西者乙为午初，丁为巳正，癸为巳初，又加之即辰正，又加之即辰初，在子午线东者，丙为未初，戊为未正，巳为申初，又加之即申正，又加之即酉初，并逓加四刻。谨按，卯酉线即赤道线也，二分之日，日躔赤道，日影终日行其上，庚甲割线正。对赤道正午时，日影从庚射甲，成庚甲影▯若已末午初，则庚防之影不射甲，而射乙，而庚甲影▯如半径，乙甲如切线矣。以庚甲为切线上半径，而递取各七度半之切线，以定左右各时刻之防，并日影从庚所射也。然此时庚甲之度无所取，故即用赤道线四十五度之切线代之，用切线实用庚甲也【庚甲既为切线之半径，则必与四十五度之切线同长】以四十五度当半径，而取切线以定时刻，此天下所同也。然赤道髙度随各方北极之髙而变，庚甲割线何以能常指赤道？则必于表之长短及表位之逺近别之。故以庚甲当北极髙度之割线，而取其初防为表长。初防者，半径也。本宜以半径求割线，今先有割线，故转以割线求半径也。既以庚壬表长为半径，庚甲为割线，则自有壬甲切线，而表位亦定矣。表位既定，则庚甲影▯能指赤道矣。何以言之？表端壬庚甲角既为极髙度，则庚角必赤道髙度，而庚甲能指赤道也。故北极度髙则庚角大，甲角小，而庚壬表短，壬甲之距逺；北极度低，则赤道髙甲角大，而庚壬表长，壬甲之距近。比例规觧乃以表位定于甲防，失其理矣。遂复误以割线为表长，余割线为晷心，而强以割线名为表心，线名实尽乖，贻误来学。此皆习其业者原未深谙，强为作觧，而即有毫厘千里之差，立法者之精意亡矣。故特为阐明之。庚、壬表上，指天顶，下指地心，为半径。壬，表位壬；甲为正切线，辛晷心；辛壬。为余切线，甲角即赤道髙度，壬庚甲。
角即北极髙度与辛角等用法三，先有表，求作日晷【借用前图可解】法先作子午直线，任于线中定一防为表位，如壬。乃以表长数壬庚为切线四十五度之底，定尺而取本方北极出地度之底，得壬甲正切度，于表位北作防【如甲】次于甲防作卯酉横线，与子午线十字相交，即赤道线，春秋分日影所到也。又取极髙余度之底，得壬辛余切线，于表位南作防【如辛】即晷心也。若自表端庚作直线至晷心辛，即为两极轴线，辛指南极，庚指北极也。次以表长【庚壬】与壬甲正切相连作正方角，则庚壬如句，壬甲如股，而取其▯线庚甲，即极出地正割线也。次以庚甲为切线四十五度之底，定尺而各取七度半之底，累加之于甲防左右，作识于卯酉横线上。末自晷心辛作线，向所识防，即得午前后时刻，并如前法。用法四《有立面向正南作日晷并同平面法》但以北极髙度之余切线定表位，以正切线定晷心，则自晷心作线至表端，能上指北极为两极轴线。又立晷书时刻并逆旋，与平面反。然以立晷正立于北，与平晷相连成垂线，则其时刻一一相符。用法五用横表作向东向西日晷。假如立面向正东，法于近南作直线上指天顶，下指地心，近上作横线与地平相应，两线相交于甲，以甲为心，于两线间作象限弧，自下起数至本方北极出地度止，自此向甲心作斜直线以分弧度。
此线即为赤道次以甲为表位用横表乙甲之长取数为切线四十五度之底定尺递取十五度切线从心向赤道线累加之作识定时即春秋分日影所到也【若分二刻则逓取七度半】【细分每刻则逓取三度四十五分】次于甲心作横斜线如丁戊，为赤道之垂线，其余时刻防各作线与丁戊平行【亦并与赤道十字相交】次于元定尺上【即以表长为四十五度所定】取二十三度半之切线为度，于甲左右截之为界【如丁甲，如戊甲】即二至卯正时日影所到也【二分日卯正则乙甲表正对日光无影，分前后则有纬度而影亦渐生，日日不同，然不离丁戊线，至二至而极，冬至影在北如丁，夏至影在南如戊，以此为界，向西酉正时亦然】仍用元尺取【每十五度之黄赤距纬】切线，作于丁戊线内，从甲防左右作识得各节气卯正日影【或取三十度切线则所得每月中气酉正亦然】次以乙甲表长为割线，初防之底定尺，而取十五度之割线为二分日，在辰初刻之影▯如乙辛，即天元赤道上日离午线十五度，其光过乙至辛所成也。就以乙辛割线为切线四十五度之底而取二十三度半之底自辛防左右截横线并如辛壬为冬夏至辰初刻日影所到之界【辛壬在南为夏至，其在北为冬至，亦然】又逓取【每三十度之黄赤距纬】切线，从辛至壬作防，为各中气界【此向南日影界，乃赤道北半周节气，其辛防向北作界，为南半周，亦然】自此而辰正，而巳初，而巳正，以至午初，并同，乃于节气界作线聫之，即成正东日晷。其面正西立晷作法并同，但其时刻逆书，自下而上，最下为未初，次未正，次申初，次申正，次酉初，而至酉正，则横表正对日光而无影矣。此亦二分日酉正也，其余节气亦有短影，而不出本线，与卯正同。新增时刻线【以切线分时刻，本亦非误，但切线无半度，取度难清，今另作一线，得数既易，时刻尤真】
分法依尺长短作直线【如后图乙丙】于线端作横垂线【如乙甲为乙丙垂线】又作直线略短，与设线平行，交横线如十字【如甲巳线交横线于甲】以甲为心，作象限弧六平分之，为时限，各一分内四平之，为刻限。次于甲心出直线，过各时限至直线，成六时；过各刻限者，成刻，乃作识纪之【并如后图】
尺短移直线近甲心取之【移进线并与原直线平行以遇第六时第二刻为度如已戊虚线遇丁戊线于戊即戊为第六时之二刻】
用法凡作日晷，并以所设半径置第三时为底，定尺而取各时刻之底，移于赤道线上，午前午后并起午正左右为第一时，依次加识，即各得午正前后时刻【并如前法】
第十五金线【即轻重之学】
物有轻重，以此权之。独言五金者，以其有定质也。五金之性情，有与七政相类者，因以为识。金【太阳】水银【水星】铅【土星】银【太隂】铜【太白】铁【火星】锡【木星】
分法 用各分率及立方线比例率【先取诸色金造成立方体，其大小一般无二，乃权其轻重，以为比例】
黄金一水银一，又七十五分之三十八【仪象志作九十五分之三十八】
铅一又二十三分之一十五银一又三十一分之二十六铜二又九分之一铁二又八分之三锡二，又三十七分之二十一【比例规觧：原作三十七分之一，则锡率反小于铜铁，而轻重之序▯今依《仪象志】金体最重，故以为凖。自尺心向外，任定一度为金之根率。自此依各率増之，并以金度为立方线上十分之底。定尺次，依各率为底，进退求等数，取以为各色五金之根率。自心向金率防外作识。解曰：此同重异积之率也。于立方线上求得方根，作识于尺，则同重异根之率也。金体重，则其积最少【谓立方体积】各色之金【谓银、铅等】体并轻于金，故必体积多而后能与之同重。然立积虽有多少，非开方不得其根之大小，故必于立方线求之也。又解曰：先以同大之立方权之，得各率者，同根异重之率也。而即列之为同重异根之率，何也？盖以根求重，则金最重，而他色轻；以重求根，则金最小，而他色大。其事相反，然其比例则皆等。假如金与铜之比例为一与二强，若体同大，则金倍重于铜矣。若其重同者，则铜之体必倍大于金，其理一也。
又法 用立方根比例率黄金一六六弱水银一九一弱铅二○二银二○四铜二一三铁二二二锡二二八用法一有某色金之立方体，求作他色金之立方体，与之同重【或立圆及各种等面体并同】假如有金球之径，又有其重，今作银球与之等重，求径若干？法以金球径数置本线，太阳号为底，定尺而取太隂号之底数，作银球之径，即其重与金球等。用法二若同类之体，其根同大，求其重。假如有金银两印章，体俱正方，而其大等。既知银重，而求金重，法以银图章之根数置太隂号为底，定尺而取太阳号底数，次于分体线上。以银章重数为两▯，太阳号底定尺而转，以太隂底数【即银章根数】进退求等▯，得数即金章之重。
轻重比例三线法【附】重学为西法一种，其起重、运重诸法，以人巧补天工，实宇宙有用之学。五金轻重，又重学中一种。盖他物难为定率，可定者独五金耳。然比例规觧虽载其术，而数多抵牾，未可全据。愚参以灵台仪象志其义，始确。因广之为三线，曰重比例，曰重之容比例，曰重之根比例。既列之矩算，复为之表。若论以发其凡，康熙壬戌长夏，勿葊梅文鼎谨述。重比例【异色之物，体积同，轻重异】
解曰：「重比例者，同积也。积同而求其重，则重者数多，轻者数少。若反其率，则为容积比例矣。」用法假如有金一件，不知重，法以水盛器中，令满，权其重，乃入金其中，则水溢。溢定，出金乃复权之，则水之重必减于原数矣。乃以所减之重变为线于比例尺，置于水防为底，乃于金防取大底，即金重也。又如有玉刻辟邪，今欲作铜者与之同大，问用铜几何？法如前，以玉器入水，取水减重之数，置水防为底，取铜防大底，即得所求【若作诸器，用蜡为模，亦同。或以蜡轻难入水者，竟以蜡重于蜡防为底，而取铜防大底，更妙也】重之容比例【轻重同则容积异，亦谓异色之物】
解曰：容比例者，同重也。同重而求其积，则重者积数少，轻者积数多。反其率，亦即为轻重之比例矣。又觧曰：容积比例，以立方求其根，则为根比例矣。故轻重当为三线也。用法假如有水若干重，盛器中满十分有澒，与水同重，盛此器中，问几何满？法以水满十分之数作水防之底，而取澒防小底，则知澒在器中得几分。用法二，《有同重之两色物，欲知其立方根法，以容比例求其同重之积，再于分体线求其根》。用法三有金或铜锡等，不知重法，如前入水，求得水溢所减之重，变为线，乃以水重置金防为底【若铜锡亦置铜锡防】于水防取大底【此借容比例求重，故反用其率】若用蜡模铸铜器，亦以蜡重置铜防为底【而于蜡防取大底，即得合用铜斤】觧曰：有二法三法，则只须容比例一线足矣。盖反用之可以求重，既得容可以求根【用三线者取其便，用一线者取其简，可任意为之也】
又容比例【附】
又客比例解曰：容比例有三率也。其实一率而已。第一率以水为主，取其便用也。第二率以金为主，取其便擕也。第三率平列，乃立方之积数也。其作线于尺，则皆一率而已矣。此外仍有通分之法，亦愚所演。然其理皆具原表中，故仍载表而附之，故后。
轻重原表右表《灵台仪象志》所引重学一则也。其法同重者以直推见容积，同积者以横推见重。重比例、容比例皆在其中矣。既得容，可以求根，则根之比例亦在其中矣。比例规觧五金线，盖原于此。原书金与蜡之比例讹卄一为廾九，今改定。
通分法【亦容比例之率】
分母澒九五铅廾三乗得二一八五银卅一又乗得六七七三五铜○九又乗得六○九六一五铁○八又乘得四八七六九二○。锡卅七，又乗得一八○四四六○四○为金率。以澒分母九十五除金率，得一八九九四三二，以乗分子卅八，得七二一七八四一六，加金率，得二五二六二四四五六，为澒率。以铅母卄三除金率，得七八四五四八○，以乗子十五，得一一七六八二二○○，加金率，得二九八一二八二四○，为铅率。以银母卅一除金率，得五八二○八四○，以乗子廾六，得一五一三四一八四○，加金率，得三三一七八七八八○，为银率。以铜母九除金率，得二○○四九五六○，以乗子一，得如原数，加金率二，得三八○九四一六四○，为铜率。以铁母八除金率，得二二五五五七五五，以乘子三，得六七六六七二六五，加金率二，得四二八五五九三四五，为铁率。以锡母卅七，除金率，得四八七六九二○，以乗子廾一，得一○二四一五三二○，加金率二，得四六三三○七四○○，为锡率。
按：自古厯算诸家，于尾数不能尽者，多不入算。故曰：半已上収为秒，巳下弃之。其有不欲弃者，则以大半、少强、弱収之。假如一百分则成一整数【九十为一弱，一十为一强】百二十五为少，即四分之一也【若二十为少弱，三十为少强】五十为半【四十为半弱，六十为半强】七十五为太，即四分之三也【七十为太弱，八十为太强】重之根比例【异色同重之立方】
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十九》>附求重心法乙甲癸子形求重心先作乙甲线分为【乙子甲乙癸甲】两三角。形次用三角形求心术求【乙子甲乙】癸甲】之形，心在【丙丁】作丙丁线，聫之。又作子癸线分为【癸乙子癸甲子】两。三角形求【癸乙子癸甲子】形之心在【庚辛】作庚辛线聫之，此二线相交。于壬则壬为本形心即重心也。试作乙巳正角线至子癸线上，又作甲戊线至子癸线上，此两线之比例即两形大小之比例也【法为癸乙子形与癸甲子形之比例若乙巳与甲戊也】以此比例于庚辛两心距线上求得壬防为全形之重心【法为乙巳线与甲戊若辛壬与庚壬】
如图子巳与癸戊之比例若丁壬与丙壬也余并同前图一率 子巳与癸戊二线并二率 子巳三率 丁丙四率 丁壬歴算全书卷三十九<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>方程论自叙方程，于数九之一也？何独于方程乎？论曰：方程犹句股也。数学之极致，故二以殿乎九。今之为数学，往往覃思勾股，而略方程；不宁惟略，抑多沿误佹于阙矣。数九而阙其一，可以无论乎？议者谓勾股测量，用以知道里之修、城邑之广、山之髙、水之深、天地日月之行度；若方程筭术，多取近用，米盐凌杂，非其精且大。是不然，精觕小大，人则分之；而自一至九之数，无分也。且数何兆欤？当其未始有物之初，混沌鸿蒙，杳防恍惚，无始无终，无声无形，无理可名，无数可纪，乃数之根也。是谓真一。真一者，无一也。一且非一，而况其分？及其自无之有，无一而忽然有一。有一则有万，万者一之万也。万各其一，一各其万。即万即一，环应无端，又孰从而精麄之、小大之乎？故果蓏之有理，而星度齐观，理实同源，数亦防防。苟未达此，而侈言髙逺，遗乎目睫，将日用之酬酢，有外乎理数以自立者哉？而二之也。古者数学，大司徒以备乡之三物，教万民而賔兴之。其属保氏掌之，以教国子，具曰九数，未尝右勾股于方程也。虽然，古之人以其进乎数者治数，故用之简易而言之约。今欲于古学既湮之日，出独是以信众疑，使方程之沿误皆正，而九数阙而复全，则意取共明，固不敢谬托简古以自文其疎愚之论，乃不觉其复矣。凡六卷，论成于壬子之冬，写而成帙，则甲寅之夏，勿庵梅文鼎自识。
余论数学有九要之则，二支一者筭术，一者量法。量法者，长短逺近以求其距，西法谓之测线；方圆弧矢幂积周径以相求，西法谓之测面；立方浑圆堆垜之形以求容积，西法之测体。在古九章则为方田，为少广，为商功，为句股。筭术者，消息盈虚，乘除进退以差多寡，騐往以测来，西法谓之比例，通分子母，整齐画一，不尽者以法命之，西法谓之畸零。若夫隠杂重复，参错难稽，即显騐幽，探赜穷深，无例可比，故西法别立借衰互徴以为用，亦比例也。在古九章则为粟布，为衰分，为均输，为盈朒，为方程。此二者相需，不可偏废。虽然，筭术可以济量法之穷，而量法不可以尽筭术之变，何也？可量者其可见也，天下之不可见者多矣，非筭术何以御之？故量法有穷，而筭术不穷也。夫既量之而得其率矣，所量者一，欲知者百，西法之用比例，亦以筭术佐量法也。然以例相比，非量法而有量法之理。吾友桐城方位伯谓九章出于句股，葢以此也。然吾观方程正负同异减并之用，非句股所能御，而能生比例，愚故以筭术必不可废也。言数学者，亦有二家：一古法，一泰西。泰西之説详明晓畅，古人之法径捷简易，可互明也。然古书仅存筭术，而略于测量；泰西详于测量，而或遗在筭术。吾观泰西家言矩度、三角、八线、割圆、几何原本备矣，谓其善用句股，能有新意出于古率之外，未为过也。若所译《同文筭指》者，大约用三率以变古法；至于盈朒方程，则其术不复可行。于是取古人之法以传之，非利氏之所传也。算术之妙，莫盈朒方程若而，泰西皆无之，是九章阙其二也，尚谓之贤于古法乎？且泰西家欲以其説易天下，故必宛转笺疏以达其意，以取信于学者。若盈朒方程立法之意，殊不能言也。不能言盈朒，故别立借衰之法以代之，自谓超妙，可废古法矣；而终不能废盈朒。若方程一章，不但不能言之，亦不能用之，不过取古人之仅存者具数而已，不能别立术以代之也。诸书之谬误，皆沿之而不能察，其必非知之而不用，能言之而不悉，亦可见矣。夫古人之略于量法者，非不能言也，言之略耳。言之详者，别有専书，而人不能习，不传于世耳。学士大夫既苦其难，竟又无与进取弋获之利，遂一切弃置不道，浅猎焉者，率得少以自多，无所发明，遂使古人之精意若存若亡，不复可见。今诸书所载方程法，残缺错乱，视盈朒尤甚，其所仅存，又多为后之不得其説者，参以臆解，而其防益晦，非古人旧也。使古之方程仅仅如此，何必别立一章列于盈朒之后乎？然以好变古率如泰西，而不能变方程；勤于言筭如泰西，而不能言方程，不能尽其用，不能正其沿误，可见古人立法之深逺而决不可易。向使习古法者尽见古人之书，又能如泰西家羣萃州处，穷年累月，研精覃思以为之，引伸而推广，又岂止如斯而已乎？言之三叹。
方程论发凡一方程立法之始按《周礼》九数：一曰方田，以御田畴界域；一曰粟米【一作粟布】以御交质变易；一曰差分【一名衰分】以御贵贱廪税；一曰少广，以御▯积方程；一曰商功，以御功程积实；一曰均输，以御逺近劳费；一曰盈朒【一云赢不足】以御隠襍互见；一曰方程，以御错糅正负；一曰句股【一云旁要】以御髙深广逺。是则方程者，九数之一，乃《九章》中之第八章也。《通雅》以九数为周公之法，盖自隶首作筭数以来，有九章即有方程，渊源逺矣。
一方程命名之义方者，比方也。程者，法程也。程，课也。数有难知者，据现在之数以比方，而程课者则不可知，而可知，即互乗减并之用。
一方程残缺之故按七十子身通六艺，则九数在其中。自汉以后，史称卓茂、刘歆、马融、郑▯、何休、张衡，皆明筭术。唐宋取士有明筭科，《六典》筭学十经，博士弟子五年而学成。宋大儒若邵康节、司马文正、朱文公、蔡西山，元则许文正、王文肃，莫不精筭。然则筭学之疎，乃近代耳。夫数学一也，分之则有度有数。度者量法，数者筭术。是两者皆由浅入深。是故量法最浅者方田，稍进为少广，为商功，而极于句股。筭术最浅者粟布，稍进为衰分，为均输，为盈朒，而极于方程【详见末卷方程能御襍法】方程于筭术，犹句股之于量法，皆其最精之事，不易明也。而筭学无闗进取，皆视为贾人胥史之事，而不屑从事。又其用近小，但于方田、粟布取之，亦无不足。故近代诸刻多不具九章，其列九章者不过寥寥。备数学者虽欲推明古法，孰从而求之？此方程残缺之由也。
一方程谬误之故方程、句股皆不为近用所需。然句股测望，自昔恒有専书。近者西学骤兴，其言句股尤备。故九章所载虽简，而不至大谬。至若方程，别无専书可证，所存诸例又为俗本所乱，妄増歌诀，立为胶固之法，印定后贤耳目，而方程不复可用，竟如赘疣。周官九数，几缺其一。愚不自揆，辄以管闚之见，反覆推论以明之，务求其理众晓，而不疑于用，庶不致谬种流传，以乱古法云尔【详第四卷刋误】
一方程条件与旧不同之故旧传方程，分二色为一法，三色为一法，四色、五色以上为一法，头绪纷然，而和较之分疑未清，法无画一，所立假如，仅可施之本例，不可移之他处，然如此则为无用之法，而方程一章为徒设矣。窃以古人立法，决不如此。今按方程，有和有较，有兼用和较，有和较交变，约法四端，巳尽方程之用，不论二色、三色、四色、五色，乃至多色，其法尽同，正不必每色立法，反滋纷扰也。然惟如此，则有定法，而方程为有用，且其用甚多。窃以古人立法，必当如此。夫古人往矣，愚生千载之下，蓬户山居，耳目局隘，不能尽见古人之书，亦何以防其然哉？夫亦惟是反之心而无疑，措之事而可用，则此心此理之同，庶可共信，非敢好为新奇以自▯也。天下大矣，邺架藏书，岂无足攷？尚冀博雅好古君子恵示古本，庶有以证明其説，而广其所未知，则所深望巳【详见第一卷及第四卷刋误】
一方程以论名篇之故算学书有例，无论则不知作法根原。一再传而多误，盖由于此。本书欲明筭理，故论多于例。每卷之首皆有总论，以为之提网，然后举例以实其説【即假如也】而例中或有疑似之端，仍各有説以反覆申明之，令覧者彻底澄清，无纎毫之凝滞。凡为论者十之七，而例居其三，以论名篇，着其实也。
一方程例有详略可以互明既欲推明其理，则无取夸多，故首卷和较襍变四端，不过数例，意在假此例以发吾论，但求大义晓畅，更不繁引多例以乱人思。其后数卷举例稍繁，然每设一例，即明一义，务求委曲尽变，庶令用者不疑。前详者后必略，前略者后乃详，更无重复，细观自见。
一方程著论校刻縁起鼎性耽苦思，书之难读者，恒废寝食以求之，必得其解乃巳。有未能通，则耿耿胸中，虽厯嵗时，未敢忘也。算数诸书，尤性所嗜，虽只字片言，亦不敢忽，必一一求其所以然，了然于心而后快。窃以方程算术，古人既特立一章于诸章之后，必有精理，而中西各书所载，皆未能慊然于懐，疑之殆将二纪。嵗壬子，拙荆见背，閍户养疴，子以燕偶有所问，忽触胸中之意，连类旁通，若干门之乍啓，亟取楮墨，次第录之，得书六卷。于是二十年之疑，涣然冰释，然后知古人立法之精深，必非后世所能易。书虽残缺，全理具存，苟能精思，必将我吿管敬仲之言，不余欺也。论成后，冀得古书为征，而不可得，不敢出以示人。惟亡友温陵黄俞邰太史、桐城方位伯广文、豫章王若先明府、金陵蔡玑先上舍曾钞副墨，而昆山徐扬贡明府、檇李曹秋岳侍郎、姚江黄黎洲征君颇加鍳赏。厥后吴江潘稼堂太史尤深击节。嵗丁夘，薄逰钱塘，同里阮于岳鸿胪付赀授梓，属以理装北上，未遂杀青。续遇无锡顾景范、北直刘继庄二隠君、嘉禾徐敬可先軰、朱竹垞供奉、淮南阎百诗、宁波万季野两征士于京师，并▯印可。又得中州孔林宗学博、杜端甫孝亷、钱塘袁恵子文学共相质正，乃重加缮录以为定本。谬辱安溪李大中丞厚庵先生下询厯算命之论，撰以质同人，获与介弟安卿孝亷晨夕酬对，承其谬赏。兹编录副以归，手挍欹劂，视余稿本倍觉清明。向使湖上匆剧雕版，反不能如是之精良矣。感书成之非偶，惊嵗月之易流，而良朋好我之殷，受益宏多，更仆难数。爰兹略纪以志不忘。
数学存古序【附录】六艺，古圣人用也。所以开物成务，垂泽将来。虽然，器久则毁，声传而失，彼其初非不穷神尽变，而后稍湮没。古圣人无如何也。今不尽亡者，数学耳。数之为物，不借器而存，稽实待虚，其道如易。故礼乐代更，而方圆不易；书契形名，世殊方别，而竒偶自如。数之不亡，不能亡也。顾不能亡者，数仅存者，数之学，尝稽《汉艺文志》：许商《算术》二十六卷，杜忠《算术》十六卷。唐博士肄习，具有十经，今略不一覩。又古人制浑仪，往往有书説详，徴其故。又凡作厯，皆有测验诸书，与厯术并垂，如史所载：晋姜岌，刘宋祖冲之，隋刘焯，唐李淳风、一行，宋沈括，元郭守敬着撰，皆富。今其存逸，皆不可得攷。自汉《赵氏周髀》一经外，无可广证。他纬书占候傅防，难信。然则今《九章》者，果《周官》旧邪？《周官》之旧，既以不可知。近世儒者，又略之弗讲。九数之学，益以荒芜。于是泰西氏者，乃始孤行其测圜、三角诸术，以矜奇创学。其学者，至以大衍填写九执，未尽授时，阴用回回法。子云、康节之书，皆为臆説，而隶首之术，必有所穷。嘻，其果然邪？夫谓西厯能兼古法之长，是也；而反谓古人阴用乎西法，此其説非也。不观之书御乎？御用于骑，书用于楷。楷与骑日以习，而古书御亡。或者未考舆轮，而辄以古御不如今骑；未窥籕篆，而谓古书不及今楷。遂欲驾王武子于造父，尊钟元常于苍颉，过矣。愚生晚，不及见古人，僻处山陬，闻见固陋。闲尝于世传《九章》者，稍稍论列，补葺遗缺，而昰正其纰缪，使读者晓然知九数之学，果不尽于今所传，而其仅存者，犹能与泰西氏并行，而不得以相废。虽不知于古人，万一有当然，天下之大，不乏其人，尚其共出枕秘，以昭明而光大之，使古人之绪晦而复显，或由是以发其端欤？是愚之所望矣。
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