三角形举要法卷一

三角形举要法卷一

测算名义古用句股，有割员、弧背、▯、矢诸名，今用三角，其类稍广，不可以不知，爰摘纲要，列于首简。

防防如针芒，无长短濶狭可论，然算从此起。譬如算日月行度，只论日月中心一点，此防所到，即为躔离真度线。线有弧、直二种，皆有长短，而无濶狭。自一防引而长之，至又一防，止则成线矣。

如测日月相距度，皆自太阳心算至太隂心，是为弧线。如测日月去人逺近，皆自人目中一防算至太阳、太隂天，是为直线。凡句股三角之法，俱论线。线两端各一防，故线以防为其界。

面面有方员各种之形，皆有长短，有濶狭，而无厚薄，故谓之幂。幂者，所以冒物，如量田畴界域，只论土面之大小。

面之方员各类皆以线限之，故面以线为界【面之线亦曰邉】惟员面是一线所成，乃弧线也。若直线，必三线以上始能成形体。体或方或员，其形不一，皆有长短，有濶狭，又有厚薄【或浅深髙下之类】员体如球，如柱；方体如柜，如防，或如员塔，方塔，皆以面为界【图后】

以上四者【谓防线面体】略尽测量之事矣。然其用皆在线。如论防，则有距线；论面，则有邉线；论体，则有棱线【面与面相得则成棱线】凡所谓长短濶狭厚薄浅深髙下，皆以线得之。三角法者，求线之法也。长短、濶狭、厚薄等类，皆以量而得。而量者，必于一线正中。若稍偏于两旁，则其度不真矣。故凡测量所求者，皆线也。三角形欲明三角之法必详三角之形两直线不能成形，成形者必三线以上。而三线相遇，则有三角。故三角形者，形之始也。

多线皆可成形，析之皆可成三角。至三角则无可析矣，故三角能尽诸形之理。凡可算者，为有法之形；不可算者，为无法之形。三角者，有法之形也。不论长短斜正，皆可以求其数，故曰有法。若无法之形，析之成三角，则可量。故三角者，量法之宗也。角三角法异于句股者，以用角也。故先论角。两线相遇则成角【平行两直线不能作角，何也？线既平行，则虽引而长之，至于无穷，终无相遇之理，角安从生？是故作角者，必两线相遇，必不平行也】角有三类：一、正方角；一、锐角；一、钝角。

如右图，以两线十字纵横相遇，皆为正方角【亦曰直角，亦曰方角】

如右图，以两线斜相遇，则一为锐角，一为钝角。凡锐角必小于正方角，凡钝角必大于正方角。正方角止，一锐角，钝角则有多种，而算法生焉。

弧角在小形与在大形无以异也，故无丈尺可言，必量之以对角之弧。法以角之端为员心，用规作员，员周分三百六十度，乃视本角所对之弧于全员三百六十度中得几何度分，其弧分所对正得九十度者为正方角【九十度者，全员四之一，谓之象限】若所对弧分不满九十度者为锐角【自八十九度以至一度，并锐角也】所对弧分在九十度以上者为钝角【自九十一度至百七十九度，并钝角也】如图，丁为角，即用为员心，以作员形。其庚丁丙角【凡论角度并以中一字为所指之角，此言庚丁。丙即丁为角也】所对者庚丙弧，在全员为四。之一正得象限九十度，是为正方角。若乙、丁、丙、角所对者，乙丙弧在象限庚丙弧之内，小于象限九十度，是为锐角。又乙丁壬角所对乙庚壬弧过于壬庚弧【壬庚亦象限九十度弧，故庚丁壬亦方角】大于象限九十度，是为钝角。

角之度生于割员割员弧矢有弧则有矢。弧矢者，古人割员之法也。如图，以乙子直线割平员，则成弧。

矢形所割乙丙子员分如弓之曲，古谓。之弧背，以弧背半之，则为半弧背。

【如乙丙】

通▯正▯割员直线如弓之▯谓之通▯【如乙子】通▯半之，古谓之半弧▯，今曰正▯【如乙甲】

矢线正▯以十字截半径成矢【如丁丙横半径为乙甲正▯所截成甲丙矢】谓之正矢。

【以上二条俱仍前图】

正弧余弧正角余角所用之弧度为正弧，以正弧减象限。为余弧【如庚丙象限内减乙丙正弧，则其余乙庚为余弧】

正弧所对为正角【如正弧乙丙对乙丁丙角则为正角】以正角减正方角为余角【如以乙丁丙正角去减庚丁丙方角则其余乙丁庚角为余角】

正▯余▯正矢余矢有正弧、正角，即有正▯【如乙甲】有正矢。【如甲丙】亦即有余▯【如乙己】有余矢【如己庚】

正▯，正矢，余▯，余矢，皆乙丙弧所有，亦即乙丁丙角所有。自一度至八十九度，并得为乙丙，并得为正弧，即正余▯矢毕具。若用乙庚为正弧，则乙丙反为余弧。

角之正余亦同割线切线每一弧一角各有正▯余▯正矢余矢，己成四线于平员内【古人用句股割员，即此法也。盖此四线己成倒顺二句股】再引半径透于平员之外，与切员直线相遇，为割线、切线，而各有正、余，复成四线【正割、正切、余割、余切，复成倒顺二句股】共为八线，故曰割员八线也。如图，庚乙丙平员切，戊丙直线于丙。又引乙丁半径透出员周外，使两线相。遇于戊，则戊丙为乙丙弧之正切线。亦即为乙丁、丙角之正切线，而戊丁。为乙丙弧之正割线，亦即为乙丁丙角之正割线。又以平员切庚辛直线于庚，与乙丁透出线相遇于辛，则庚辛为乙丙弧之余切线，亦即为乙丁丙角之余切线；而辛丁为乙丙弧之余割线，亦即为乙丁丙角之余割线。割员八线。凡用一弧，即对一角；用一角，亦对一弧。故可互求。凡一弧，即有八线【正▯正矢、正割、正切、余▯余矢、余割、余切】角亦然。凡一弧之八线，即成倒顺四句股角，亦然。如图，庚丙象弧共九十度，庚丁丙。

为九十度十字正方角任分乙、丙为正弧，乙丁丙为正角。

则乙庚为余弧乙丁庚为余角正▯【乙甲同丁己】正矢【甲丙】正切【戊丙】正割【戊丁】余▯【乙己同丁甲】余矢【庚己】余切【辛庚】余割【辛丁】以上八线为乙丙弧所用，亦即为乙丁丙角所用【自一度至八十九度并同】若用乙庚弧，亦同此八线，但以余为正，以正为余。乙甲丁句股形，乙丁【半径】为▯，乙甲【正▯】为股丁甲【余▯】为句，戊丙丁句股形戊丁。【正割】为▯戊丙【正切】为股丙丁【半径】为句。以上两顺句股形，同用乙丁甲角，故其比例等【凡句股形一角等则余角并等】乙己丁倒句股形，乙丁【半径】为▯，己丁【正▯】为股乙己【余▯】为句，辛庚丁倒句，股形辛丁。【余割】为▯，丁庚【半径】为股，辛庚【余切】为句。以上两倒句股形，同用乙、丁、巳角，故其比例亦等。乙甲丁句股形，乙丁【半径】为▯，乙甲【正▯】为股，甲。丁【余▯】为句，丁己乙倒句股形，乙丁【半径】为。

▯己丁【正▯】为股乙己【余▯】为句　此倒顺两句股形等邉又等角【倒形之丁角即顺形丁角之余倒形之乙角即顺形乙角之余】竟如一句股也凖此论之则倒顺四句股之比例亦无不等矣角度凡三角形，并三角之度，皆成两象限【共一百八十度】假如乙甲丁句股形，其丁角五十五。度【当乙丙弧】则乙角必三十五度【当乙庚余弧】两角共一象限九十度，其甲角正方。原系九十度合三角成一百八十度。乙角何以必三十五度也？试引乙丁▯过心至夘则夘丁丑角与丁乙甲角等【夘丁乙同为一线，丁丑线又与乙甲平行，则所作之角必等】而夘丁丑固三十度也，则乙角亦三十度矣。又假如丙乙丁三角形，从乙角作乙甲直线至丁丙邉，分为两句股形【乙甲丁、乙、甲、丙】凖前论乙、甲、丁句股形，以乙分角与丁角合之，成一象限，九十度，又乙甲丙句股形，以乙分角与丙角合之，成一象限，九十度。然则以乙全角【即两分角之合】与丁丙两角合之，必两象限，一百八十度矣【乙为钝角并同】以此推知，三角形有两角，即知余角【并两角以减半周一百八十度得之】句股形有一角，即知余角【句股原有正方角九十度，则余两角共九十度，故得一可知其二】相似形。既知角可以论形，有两三角形，其各角之度相等，则为相似形，而两形中各邉之比例相等【谓此形中各邉自相较之比例，亦如彼形中各邉自相较之比例也】

比例两数相形，则比例生。比例者，或相等，或大若干，或小若干。乃两数相比之差数也。有两数于此，又有两数于此，数虽不同，而其各两数自相差之比例同，谓之比例等。或两小数相等，又有两大数相等，是为相等之比例。数虽有大小，其相等之比例均也。或两小数相差三倍，又有两大数亦相差三倍，是为三倍之比例。或两小数相差为一倍有半，又有两大数相差亦一倍有半，是为一倍有半之比例。数虽有大小，其为三倍之比例及一倍有半之比例均也。

论八线之比例有二一为八线自相生之比例乙甲丁小句，股形与戊丙丁大句。股形相似【见前条】故以半径乙丁比正▯乙甲，若割线戊丁与切线戊。丙之比例也【此为以小▯比小股，若大▯与大股】股求▯亦同又以半径丙丁比正切戊丙，若余▯甲丁与正▯乙甲之比例也【此为以大句比大股，若小句比小股】股求句亦同，余仿此。以故凡八线中，但得一线，则余皆可求，观图自明。一为八线算他形之比例。乙、丁、甲角所有八线为表，中原设之数，亢、丁、房句股形为今所算之数。或先有丁，角有亢，丁▯而求房，丁句则为，以乙丁半径。比甲丁，余▯若亢丁，▯与房丁句。也【以角与句求▯亦同】以上是用八线以求。

他形或先有亢，丁▯有亢，房股而求丁。角则为，以亢丁▯比亢房股，若乙。丁半径与丁角之正▯乙甲也【得乙甲得丁角矣】或先有亢、房、股与房、丁句。而求丁角，则为以亢房股比房丁。句若丁庚半径与庚辛余切也【得庚辛亦得丁角】以上二者是用他形转求八线。总而言之，皆以先有两数之比例为后两数之比例，其乗除之法，皆依三率也。

三率三率算术，古谓之异乗同除，今以句股解之。丁戊大股【十四尺】丙戊大句【十一尺二寸】截丁乙小股【十尺】问乙甲截句？

答曰八尺术以所截小股乗大句得数为实，以大股为法，除之，即得截句。

若先以原股【十四尺】除原句【十一尺二寸】得八寸，为每一尺之句；再以截股【十尺】乗之，亦得八尺。但先除后乗，多有不尽之数，故改用先乗后除，乃古九章中通用之纲要也。先乗后除，何以又谓之异乗同除？曰：今但有截股，而不知句，故以原有之句乗之，股与句异名，故曰异乗。然后以原有之股除之，股与股同名，故曰同除。然则又何以谓之三率？曰：本是以原有之股与句比今截之股与句，共四件也。然见有者只三件【原有之股与句及今截之股】故必以见有之三件相为乗除，而得所不知之第四件，故曰三率。

三率乗除图式一率　原有股十四尺　　为法二率原有句十一尺二寸【相乗】

三率　今截股十尺　　　【为实】四率，所求截句八尺。法除实，得所求。术曰：「以原股比原句，若截股与截句也。」凡言“以”者，为一率；言“比”者，为二率；言“若”者，为三率；言“与”者，为四率。二率、三率常相乗为实，一率常为法。法除实，得四率。四率乃所求之数。其三率者，所以求之也。三率与异乗同，除非有二理，但以横列为异。然数既平列，即可以四率为法，除二三相乗之实，而得一率；并可以一率、四率相乗为实，用二率为法除之，而得三率；或用三率为法除之，亦得二率。是故一、四、二、三之位，可以互居【四可为一，二可为三】法实可以迭用【二与三可居一、四之位，一与四可居二、三之位】变动不居，惟用所适，而各有典常。于异乗同除之理，尤深切而着明者也。

三率互用图反之　　　　　更之　　　　　又反之一句八尺，一股十尺。一句十一尺二寸，二股十尺。二句八尺，二股十四尺。三句十一尺二寸，三股十四尺。三句八尺。四股十四尺，四句十一尺二寸，四股十尺。右并以二率、三率相乗为实，一率为法除之，而得四率。

八线表八线为各弧各角之句股所成，故八线表者，即句股形之立成数也。古人用句股开方，巳尽测量之理。然句股▯皆邉线耳，邉之数无方放之，则弥四逺近之，则陈几案。故所传算术，皆以一端示例而已，不能备详其数也。今变而用角，则有弧度三百六十以限之，而以象限尽全周，有合于举一反三之防。又析象限之度，各六十分，凡为句股形二千七百，角度五千四百【九十度之分五千四百，而句股形并有两角，故其形二千七百，而角数倍之】为正▯、为切线、为割线，共一万六千二百【三项各五千四百，正余互用也】而句股之形略备用之，殊便也。锐角分两句股，钝角补成句股。然惟有八线表中豫定之句股，故但得其角度，则诸数厯然可于无句股中寻出句股矣。

半径全数全数即半径也，不言半径而言全数者，省文也。凡八线生于角度，而有角有弧，则有半径。八线之数，皆依半径而立也。半径常为一【或五位则为一万，或六位则为十万】则正▯常为半径之分【正▯必小于半径】而不得为全数。惟半径可称全数也【割切二线皆依正▯而生，亦皆有畸零，不得为全数】用全数为半径，有数善焉。一、立表时易于求数也；一、用表时便于乗除也【三率中，全数为除法，则但降位可省一除；若全数为乗法，则但升位可省一乗】厯书中多言全数【或但曰全】以从省便。今算例中直云半径，以欲明比例之理。故质言之。

补遗正▯为八线之主割圜之法，皆作句股于圜内，以先得正▯，故古人祗用正▯，亦无不足，今用割切诸线，而皆生于正▯。平圜径二尺【即戊壬】半之一尺【即戊丙庚】。丙等】为圜里六孤之一面【即乙戊】半径【戊丙】为▯，半面【戊丁】为句，句▯求股，得股【丁丙】转减半径【庚丙】得余【庚丁】为小句。半面【戊丁】又为小股句股求▯，得小▯【戊庚】是为割六弧成十二弧之一面。如是累析为二十四弧，四十八弧，至九十六弧以上，定为径一尺，周三尺一寸四分有竒。论曰：《九章算经》载刘徽割圜术，大畧如此。其以半径为六弧之一面，与八线理合。半径恒为一，即全数；半面为股，则正▯也。平方径十寸，其积百寸。内作同径之平圜，平圜内又作平方，正得外方之半，其积五十寸。平方开之，得七寸○七有竒【即离震等四等面之通▯】乃自四隅之旁増为八角曲圜为第一次【即八等面通▯】至第二次则为曲十六【即十六等面通▯】第三次为曲三十二，每次加倍至十二次则为曲一万六千三百八十四，于是方不复方，渐变为圜矣。其法逐节以大小句股▯幂相求，至十二次所得小▯，以一万六千三百八十四乗之，得三十一寸四分一▯五毫九丝二忽为径，十寸之圜周，与祖冲之径一百一十三，周三百五十五合。论曰：元赵友钦《革象新书》所撰乾象、周髀法，大略如此。所得周径与西术同，其逐节所求皆通▯，所用小股皆正▯也。又论曰：刘徽、祖冲之以割六孤起数，赵友钦以四角起数，今西术作割圜八线，以六宗率，则兼用之。可见理之至者，先后一揆；法之精者，中西合辙。西人谓古人但知径一围三，未深攷也。又论曰：中西割圜之法，皆以句股法求通▯。通▯半之为正▯，割圜诸率皆自此出。总之为句股之比例而巳钝角正▯。钝角不立正▯而即以外角之正▯为正▯钝角之正▯在形外，即外角之正▯也。故乙丙已钝角与乙丙甲外角同，以乙丁为正▯【以钝角减半周得外角，假如钝角一百二十度其所用者，即六十度之正▯】乙丁线能为乙丙甲角正▯，又能为乙丙已钝角。正▯八线表止于象限，以此【因钝角与外角同正▯，故表虽一象限，而实有半周之用】

钝角余▯钝角既以外角之正▯为正▯即以外角之余▯为余▯如前图，乙庚为外角【乙丙甲】余▯而即为钝角【乙丙己】余▯捷法以正角【戊丙巳】减钝角【乙丙巳】得余角【戊丙乙】即得余▯。

过弧钝角之弧为过弧巳、戊为象限弧，而乙、戊、巳为乙丙。巳钝角之弧，是越象限弧而过之。

也故曰过弧大矢钝角之矢为大矢如前图，以乙丁辛▯分全圜，即全径亦分为二，则丁甲为小半圜【乙甲辛】之径，谓之正矢；丁巳为大半圜【乙已辛】之径，谓之大矢。大矢者，钝角所用也。钝角与外角同用乙丁正▯，乙庚余▯，所不同者惟矢【乙丙巳角用大矢丁已，乙丙甲角用正矢丁甲】捷法以乙庚【即丁丙】余▯加已丙半径即得【丁巳】大矢【若以余▯减半径亦得正矢】

正角以半径全数为正▯八线起○度一分至八十九度五十九分，并有正▯，而九十度无正▯。非无正▯也，盖即以半径全数为其正▯，故凡算三角。有用半径与正▯相为比例者，皆正。角也【其法与锐角形钝角形用两正▯为比例同理并详后卷】八十九度竒之正▯至九九九九九而极迨满一象限始能成半径全数，是故半径全数者，正角九十度之正▯也，其数为一○○○○○