厯算全书卷十

厯算全书卷十

宣城梅文鼎撰环中黍尺卷三之四初数次数法【加减代乗除之法，从初数次数而生，故先论之】【上卷之法，用角旁两正▯相乗今则兼用两余▯故别之为初数、次数。其法有二：其一，次数与对弧余▯相加；其一，相减也。相加又有二：一鋭角，一钝角也。相减有四：或余▯内减次数，或次数内减余▯而又各分锐角、钝角也】

约法　三边求角角求对边余▯次数相加例【锐角法，钝角法各一】丁乙丙形，有三边，求乙锐角。角旁大弧丁巳【正▯辛戊，余▯巳戊】小弧丙乙【正▯丙癸，余▯巳癸】两正▯相乗，全数除之，成初得数戊庚。又以两余▯相乗，全数除之，成次得数戊丑【即卯巳】乃以次得数卯巳加对弧之余▯已戌，成卯戌【即申戊】

一　初得数　　戊庚二【次得数与对弧余▯相并】申戊。

三　半径　　　亥已四　角之余▯　已干【以余▯检表得乙锐角之度】

若先有角求对边则反之一　半径　　　亥巳二　角之余▯　巳干三　初得数　　戊庚四【次得数与对弧余▯相并】申戊【以次得数戊丑减之，得对弧余▯丑申，即巳戌】论曰：辛戊正▯与亥巳半径同为乙丁弧所分，则辛戊全与丁戊分若亥巳全与干巳分也。而辛戊▯与丁戊小▯又若戊庚句与申戊小句也。故戊庚与申戊必若亥巳与干巳。若用丁甲丙形，其算并同，何以明之？甲丁者，乙丁半周之余；甲丙者，乙丙半周之余。其所用正▯并同，又同用丁丙为对角之弧。甲角又同乙角，皆以干已为余▯故也。右系对边小于象限角，旁弧异类，故其法用加，而为锐角。仍用前图，取丁甲寅三角形，有三边，求甲钝角。角两旁弧同类，对角边大为寅丁，其正▯酉戌，余▯戌已。旁弧丁甲，其正▯辛戊，余▯已戊。又旁弧寅甲，其正▯寅壬，余▯壬已。初得数戊庚【半径除两正▯矩】次得数卯巳【半径除两余▯矩】所用三率与前锐角形并同，亦以卯已加已戌，成申戊为三率，所得四率干已，亦为甲角之余▯【末以余▯检表得度，以减半周，余为甲钝角之度】若先有甲钝角，求对边丁寅，则反用其率，一半径亥已，二甲角余▯干已，三初数戊庚，四申庚末，以次数戊丑去减得数甲戊，余丑申为对弧余▯。论曰：对弧寅丁，系过弧与锐角形。对弧丁丙相与，为半周之正余度同。用酉戌为正▯，戌已为余▯。角旁弧丁甲，即乙丁半周之余度同。用辛戊为正▯，戊已为余▯。甲寅弧又与乙丙弧等度，其正▯壬寅同癸丙，余▯壬巳同癸巳。故加减数并同，所异者对弧大而两旁弧又同类，故为钝角。若用寅乙丁形，其算并同。以同用丁寅对弧，而两弧在角旁者，寅乙为寅甲半周之余，丁乙为丁甲半周之余。所用之正▯、余▯并同，故也。甲角同乙角，皆以干已余▯度转减半周为其度。右系对边大于象限而角旁两弧同类，故其法用加而为钝角。

正余交变例若角旁两边以象限相加减而用其余弧，则正▯余▯之名互易，而所得初数次数不变，三率之用亦不变。解曰：弧小以减象限，得余弧；弧大以象限减之而用其余，亦余弧也。其故何也？凡过弧与其减半周之余度同，用一正▯故过弧内减象限之余，即反为过弧之余弧亦曰剰弧，而此剰弧之正▯即过弧之余▯也。若两弧内，一用余度，则其初数、次数皆为正▯乘余▯半径除之之数。然其数不变，何也？一弧既用余度，则本弧之正▯变为余弧之余▯而其又一弧仍系本度，则正▯不变。然则先所用两正▯相乗为初数者，今不变而为余乘正乎？次数仿此。试仍以前图明之，丁乙丙形，任以乙角旁之乙丁弧【即辛乙】内减去亥乙象弧，其剰弧亥辛之正▯戊已，即乙辛过弧之余▯也。又亥辛之余▯辛戊，即过弧乙辛之正▯也。然则先以辛戊正▯乗丙癸正▯者，今不变为辛戊余▯乘丙癸正▯乎？然但变其名为余乘正，而辛戊之数不变，则其所得之初数戊庚亦不变也。次数仿论【按此法即测星时第二法所用】若角旁两弧俱改用余弧，则初数变为两余▯相乘，次数变为两正▯相乗盖以正变余，余变正，而所得之初数、次数不变。试仍以前图明之，丁乙丙形，乙角旁两弧，乙丁改用辛亥【义见前】乙丙改用丙亥，皆余弧也。则丙癸辛戊两正▯皆变余▯【丙癸为丙亥弧余▯，辛戊为辛亥弧余▯】癸已戊已两余▯皆变正▯【癸已为丙亥弧正▯，戊巳为辛亥弧正▯】然则先以两正相乘者，今为两余，然虽变两余，而其为丙癸与辛戊者不变，故其所得之初数戊庚亦不变也。次数仿论。

总例凡弧度与半周相减之余，则所用之正▯同，余▯亦同。凡弧度与象限相减之余，则所用之正▯变余，余▯变正。余▯内减次数例【钝角法，锐角法各一】

丁乙丙弧三角形有三边求乙钝角　丙乙小弧其正▯丙辰余▯辰巳　丁乙大弧其正▯癸甲余▯甲已　是为角旁之两弧不同类　癸干初得数【两正】【▯乗半径除之数】午已次得数【两余▯乗半径除之数】丁丙对边大其正▯壬卯余▯卯已，对边大于象限而角旁弧不同类宜相减，对弧余▯大于次数法当于余▯卯巳内减去次得数午已，余午卯【即艮丁】为二率。

一　初得数　癸干二　【次得数减余▯】　艮丁三　半径　　辛已四　角余▯　寅已对边大角旁弧异类而次数小减，对弧余▯，其角为钝，宜以四率寅已捡余▯表得度，以减半周度，其余即为乙钝角之度【即寅酉大矢之度】若先有乙钝角，求对弧，则反用其率。

一　半径　　辛巳二　角余▯　寅已三　初得数　癸干四　【次得数减余▯】　艮丁既得艮丁，乃以次数加之，成卯已余▯，检表得度，以减半周，得丁丙对边之度。凡过弧，与其减半周之余度同，用一余▯故以余▯检表得度，以减半周，即得过弧。

仍用前图取锐角丁戊庚三角形【系锐角○此形有三锐角】有三边，求戊角。戊庚小边，其正▯庚丑，余▯丑巳。丁戊次小边，其正▯癸甲，余▯甲巳。是为角旁弧同类。初得数癸干【半径除两正▯矩】次得数午已【半径除两余▯矩】丁庚对边小，其正▯壬卯，余▯卯巳。对边小于象限，而角旁弧同类，宜相减次数。午已小于对弧余▯卯已，以午已去减卯已，余卯午【即艮丁】

一　初得数　癸干二　【次得数减余▯】　艮丁三　半径　　辛已四　角余▯　寅已对边小角旁弧同类而次数小去减余▯其角为锐，宜以四率寅已检余▯表，得戊锐角之度。若先有戊锐角度，求对边丁度，则反用其度。

一　半径　　辛巳二　角余▯　寅已三　初得数　癸干四　【次得数减余▯】　艮丁以所得艮丁加次数午，已检余▯表，得丁庚对边之度。因锐角角旁弧同类，次数小于余▯得数，后宜加次数为对边余▯。论曰：丁戊庚形与丁乙丙形为相易之形，故丁戊为丁乙减半周之余，戊庚等乙丙。此两弧所用之正▯余▯并同，则初数、次数亦同矣。而丁庚对弧，亦丁丙对弧减半周之余，则所用余边又同，加减安得不同？次数内转减余▯例【锐角法钝角法各一】丁乙丙形三边求乙角【系锐角】丙乙小边正▯辰丙，余▯辰已，丁乙大边正▯癸甲，余▯甲已，是为角旁之两边不同类，初得数甲干【半径除两正▯矩】次得数午。已【半径除两余▯矩】丁丙对边。

大正▯壬卯余▯卯已对边大而角旁弧不同类宜相减　次数午已大于对弧余▯卯已法当于午己内减卯巳，余午卯【即甲艮】

为二率一　初得数　　甲干二　【余▯减次数之余】　甲艮三　半径　　　辛巳四　角余▯　　寅已对边大角旁弧异类而次数大受，对弧余▯之减，其角为锐，宜以四率寅已检余▯表，得乙鋭角之度【即寅辛矢度】若先有乙角而求对边丁丙，则反用其率。

一　半径　　　辛巳二　角余▯　　寅己三　初得数　　甲干四　【余▯减次数之余】　甲艮末以所得甲艮转减次数，午已得对弧余▯卯巳，检表得度，以减半周为对弧丁丙度。

前图取钝角丁戊庚形三边求戊角【系锐角】　戊庚小边正▯丑庚余▯丑巳　丁戊次小边正▯癸甲余▯甲巳　是为角旁两弧同类　初数甲干【半径除两正▯矩】　次数午已【半径除两余▯矩】　丁庚对边小正▯壬卯余▯卯巳　对边小而角旁两弧同类宜相减　次数午巳大于对边余▯卯巳当于午巳内减卯已余午卯【即甲艮】

一　初得数　　甲干二　【余▯减次数之余】　甲艮三　半径　　　辛巳四　角余▯　　寅已对边小角旁弧同类而次数大，内减去余▯其角为钝，宜以四率寅巳检余▯表得度，以减半周得戊钝角之度。若先有戊钝角，而求对边丁庚，则反用其率。

一　半径　　　辛已二　角余▯　　寅巳三　初得数　　甲干四　【余▯减次数之余】　甲艮末以所得甲艮转减次数，午巳得对弧余▯，卯已检表，得对弧丁庚之度。一系半浑员面所成斜三角形，左右皆相对。如左锐角者，右必钝也。对边左小者，右必大也。角旁之边，左为同类者，右必异类也【角旁两弧，一居员周，一居圆面。此员面弧线，左右所同用也。而员周之弧，左右有大小，故同于左者，不同于右】

加减法【以代乗除】初，数次数，并以乘除而得。今以总弧存弧之余▯相加减，而半之，即与乗除之所得脗合。法简而妙，而甲数乙数之用，亦从此生矣。总法曰：凡两弧相并为总弧，相减为存弧【存弧一曰较弧】总弧、存弧各取其余▯，以相加减成初数、次数。法曰：视总弧过弧限，则总、存两余▯相加；总弧不过象限，则相减，皆折半为初数【即原设两弧之正▯相乗，半径除之之数】以初数转减存弧余▯，即为次数【即原设两弧之余▯相乗，半径除之之数】又法【总弧过象限，两余▯相减；不过象限则相加，并折半为次数】又法【初数以相加成者，以总弧余▯减初数；以相减成者，以总弧余▯加，并加减初数为次数，亦同】又取总弧存弧之正▯相加减成甲数乙数。法曰：以总存两正▯相加，折半为甲数【即原设大弧正▯乗小弧余▯半径除之之数】总存两正▯相减，折半为乙数【即原设小弧正▯乘大弧余▯半径除之之数】又法【以存弧正▯减甲数，其余为乙数，亦同】又法【以甲数减总弧正▯即得乙数】

总弧在象限内两余▯相减大弧丙寅，小弧辰丙【即丑丙】二弧相加为总弧辰寅，相减得存弧丑寅，丑寅存弧之余，▯丑癸【亦即丁乙】辰寅总弧之余▯卯辰【即癸子亦即乙午】两余▯相减【丑癸内减子癸，存丑、子，或乙、丁内减乙，午存午、丁】其余半之【丑子半之于壬成壬丑即亥丁】为【丙寅】。

辰丙】二弧两正▯相乗半径除之之数即初得数也以初得数转减存弧之余▯【以壬丑减丑癸，其余癸壬亦即亥乙】其余为大小二弧两余▯相乗半径除之之数即次得数也。论曰：丙辛大弧之正▯也，丑戊小▯之正▯也。以句股形相似之故，乙丙半径【▯】与丙辛正▯【股】若丑戊正▯【小▯】与丑壬初得数也【小股】其半而得者何也？曰：辰戊同丑戊，则戊巳亦同丑壬，而壬子即已戊，则子丑者初得数【壬丑】之倍数，故半之即得。辛乙大弧之余▯也，戊乙小弧之余▯也。乙丙半径【▯】与辛乙余▯【句】若戊乙余▯【小▯】与亥乙次得数也【小句】又以存弧余▯内兼有初得次得两数，故减初得次也【丑癸余▯内有丑壬初数癸壬次数，故减丑壬即得癸壬也，或于乙丁内减亥丁得亥乙并同】

以上用总存两余▯加减又丑寅存弧之正▯，丑丁【即午子或癸乙】辰寅总弧之正▯，辰午【即卯乙】两正▯相加，半之为大弧正▯，乗小弧余▯，半径除之之数，即甲数也。以甲数转减总弧之正▯【以午已减辰午，其余巳辰，亦即卯未】是为大弧余▯，乗小弧正▯，半径除之之数，即乙数也。论曰：乙辛，大弧之余▯也；辰戊，小弧之正▯也。以两句股形同比例之故，丙乙半径【▯】与乙辛余▯【句】若辰戊正▯【小▯】与辰已乙数也【小句】又丙辛大弧之正▯也，戊乙小弧之余▯也。而丙乙半径【▯】与丙辛正▯【股】若戊乙余▯【小▯】与戊亥甲数【小句】也。又以总弧正▯内兼有甲乙两数，故减乙得甲，减甲亦得乙矣【辰午正▯内有辰巳乙数，巳午甲数，故减辰巳得巳午，若减巳午亦必得辰巳】

以上用总存两正▯加减若以酉丙为大弧，丙丑为小弧，则其总弧酉丑【正▯丑丁，余▯丑癸】其存弧辰酉【正▯辰午，余▯卯辰】但互易存总之名，其他并同。论曰：凡过象限之弧，与其减半周之余弧同用一正▯。如丙酉过弧，以减半周得丙寅，所用正▯【丙辛】余▯【辛乙】皆丙酉弧与丙寅弧之所同也。故但易总存之名，而正余加减之用不变。又法凡过象限之弧，即截去象限，用其余度如法加减，但以总弧为存弧，存弧为总弧，而总存之余▯为正▯，正▯为余▯。如酉丙过弧，截去酉甲象限，只用丙甲为大弧，与丙丑小弧相加减，则丑甲为总弧，其正▯丑癸，余▯丑丁；而辰甲为存弧，其正▯卯辰，余▯辰午。是总存正余名皆互易也。法以总存两正▯相减，而其余折半为甲数【丑癸内减卯辰，余丑子半之得丑壬为甲数】仍以甲数转减总弧正▯【甲数丑壬转减丑癸，其余癸壬即乙数】是其名虽易，而其实不易也。但横易为直论曰：去过弧之象限而用之，则过弧之正▯为余，余▯为正矣。故加减而得之数，皆两弧之正▯乘余，余▯乘正之数，而非复正乗正、余乘余之数也。何也？过弧之正余互易，而小弧之正余如故也。如丙酉过弧去象限为丙甲，则其正▯丙庚即过弧之余▯也【丙庚即辛乙故】其余▯庚乙即过弧之正▯也【庚乙即丙辛故】而小弧丙丑之正▯丑戊，余▯戊乙皆如旧，故先得之丑壬为大弧余▯丙辛乘小弧正▯丑戊而丙乙半径除之也，非两正▯相乘也。乙数转减正▯而得之亥乙【即癸壬亦即戊未】为大弧正▯辛乙乘小弧余▯戊乙而半径除之也，非两余▯相乘也。又论曰：又法即《测夜时篇》中测星距午之第二法也。加减代乗除，只此一例，而絶不与七卷、八卷之乘除求初数、次数者相▯。虽有学者，何从悟入乎？愚故为之详説，以发其覆。又论曰：元法依图直看，直者正▯，横者余▯。又法正余互易，则图当横看，变立体为眠体。本以总存两余▯加减者，变为两正▯加减，然其数并同。又论曰：又法是用大▯之余度，而小弧则用元度。何以言之？测星条用星之赤纬，即去极之余度也。其用赤道髙，则极去天顶之元度也。然而赤纬在南者，则是于星去极度截去象限之数也。何以亦为余度？曰：过弧既与其减半周之余度同一正▯，则此减半周之余度亦即正弧也。然则此截去象限而余者，非即正弧之余度乎？大弧过象限若干度，与不及象限若干度，其正▯并同，故加减可通为一法【此又测星条用法之意】

约法两弧俱用本度，或俱用余度，相加减以取总存二弧，是两正或两余也。则用总存两余▯加减法，取初得数。惟视总存二弧俱在一象限，则相减；或分跨两象限，则相加。皆以初数减存弧之余▯为次得数。若两弧内有一过弧，则总弧之正▯小于存弧，而余▯反大，当以初数减总弧之余▯为次数。若一弧用本度，一弧用余度，相加减以取总存之弧，是一正一余也。则用总存两正▯加减法，其加减皆眎两正▯原法，或加或减取甲数，即以甲数减总弧正▯余为乙数。若过弧节去象限而用其剰度与余度同法【凡余度是以本度减象限而得名，今反以象限减过弧，故别之曰剰】

若两俱剰弧与两余弧同法若只一剰弧与一正一余同法论曰：过弧用剰度为余弧，其法甚简快。凡过弧皆当用之，可不用本度矣【算普天星经纬岁差宜此】又按，凡存弧之余▯内，兼有两正▯相乗，两余▯相乗，两数即初次两得数也。凡总弧之正▯内，兼有此正▯乗彼余▯，彼正▯乗此余▯之数，即甲乙两数也。故易其名以别之也。

大弧寅丙正▯丙辛余▯辛乙　小弧辰丙【即丑丙】正▯辰戊【即丑戊】余▯戊乙二弧相加为总弧辰寅正▯辰午余▯午乙　相减为存弧丑寅正▯丑丁余▯丁乙，存总两余▯【午乙丁乙】相并，成午丁，半之于亥，成亥丁，即初得数，大小二弧两正▯【丙辛辰戊】相乗，半径除之之数也。以初得数亥丁转减存弧之余，▯丁乙，余亥乙，即次得数，大小二弧两余▯【辛乙戊乙】相乗，半径除之之数也。论曰：以句股形相似之故，丙乙半径与丙辛正▯，若戊丑正▯与初数丑壬【即亥丁】也，皆▯比股也。又丙乙半径与辛乙余▯若戊乙余▯与次数亥乙也，皆▯比句也。以上用总存两余▯加减，因总弧跨过象限，故相加。又存弧正▯丑丁，与总弧正▯辰午相加，成辰干【以午干等丁艮，亦即丑丁也】折半得巳午【即戊亥辰子折半为巳子，子干折半为午子，合之成巳午】为甲数。大弧正▯丙辛，乗小弧余▯戊乙，半径丙乙，除之也。以甲数，已午转减总弧正▯，辰午余辰巳，为乙数。大弧余▯辛乙，乗小弧正▯辰戊，半径丙乙除之也。

以上用总存两正▯加减若用酉丙过弧为大弧，丙丑为小弧，则其总弧酉丑，存弧酉辰，但互易存总之名，其它并同。以过弧酉丙所用之正▯丙辛，余▯辛乙，即丙寅弧所同用，故也。

又法于酉丙过弧内截去象限酉甲，只用其剰弧甲丙，则甲丙反为小弧，丙丑反为大弧【説见前条】

图式三总弧在象限内两余▯相减　乙丙小弧其正▯丙辰余▯辰已　丁乙稍大弧其正▯丁甲余▯甲巳戊壬初得数【两正▯相乗半径除】【也即庚甲或戊卯】午戊次得数。【两余▯相乗，半径除也，即巳癸】今改用加减以省乗除。以二弧相加成总弧丁丙，其正▯子丁，余▯子巳。又二弧相较成存弧壬丙，其正▯壬辛【卽午巳】余▯辛巳【卽壬午】于存弧之余▯辛巳，内减去总▯之余▯巳子，存子辛半之于癸，得子癸及辛癸，皆初得数也，亦卽戊壬也【或于壬午丙减午卯半之于戊，得卯戊及戊壬，亦同，亦即庚甲也】又于存弧余▯辛已内，仍减去初得数辛癸，存癸已，即次得数也【壬午内减戊壬，存午戊亦同】此因总弧在象限内，故以总弧余▯减存弧余▯求初数。是初数小于次数。解曰：以句股形相似之故，己丙半径【▯】与丙辰正▯【句】若丁甲正▯【▯】与甲庚初数也。又壬甲等，甲丁，故庚甲亦等戊壬；而戊卯即庚甲，故可以半而得之也。又，已丙半径【▯】与辰已余▯【股】若甲已余▯【▯】与巳癸次数【股】也。

右系总存两余▯用法又丁庚为甲数【丁甲大弧正▯乗辰巳小弧余▯半径除之也亦即庚卯即甲戊】　子庚为乙数【辰丙小弧正▯乗甲巳大弧余▯半径除之也即癸甲】今改用加减法，以存弧正▯子卯【即辛壬】加，总弧正▯子丁成卯丁，而半之于庚，得丁庚为甲数【亦即庚卯即戊甲】仍于总弧正▯丁子内，减去甲数丁庚，存子庚【即癸甲】为乙数。此亦总弧在象限内，亦总存两正▯相加，求甲数。是甲数大于乙数。解曰：以句股形相似之故，已丙半径与辰巳小弧余▯若丁甲大弧正▯与甲数丁庚，皆▯与股之比例也。又丁甲等壬甲，故戊甲亦等丁庚，而戊甲即庚卯，故可以半而得之也。又巳丙半径与丙辰小弧正▯若甲已大弧余▯与乙数，甲癸【即子庚】皆▯与句之比例也。

右系总存两正▯用法一系凡两弧内无过弧则存弧之余▯大，故其中有初次两数；而总弧则正▯大，故其中有甲乙两数。虽两数相加能令总弧跨过象限，此理不变，余▯仍系存弧大，正▯仍系总弧大。

总弧过象限两余▯相加乙丙小弧正▯辰丙余▯辰已　乙丁过弧正▯丁甲余▯甲已　初得数戊丁【半径除两正▯矩，即子癸，亦即癸辛，亦即庚甲】次得数癸巳【半径除两余▯矩】今用加减代乗除，以二弧相加成总弧丁丙，正▯丁子，余▯子已。又二弧相较成存弧壬丙，正▯壬辛，余▯辛巳。乃以总存两余▯相加成子辛【子巳加辛巳】而半之于癸，得子癸及癸辛【亦即丁戊即庚甲】初得数也。又以初数子癸转减总弧之余▯子已，余癸巳，次得数也【此因总弧跨过象限，故两余▯相加求初数，是初数大于次数】解曰：以句股形相似，故半径已丙与正▯丙辰若正▯丁甲与初数丁戊，皆▯与股之比例也。又半径丙已与余▯辰已若余▯甲巳与次数癸已，皆▯与句之比例也。又壬甲等丁甲，则庚甲亦等戊丁，而辛癸亦等子癸，故半而得。

右用总存两余▯加减又甲数丑甲小弧余▯辰已乗过弧正▯丁甲半径除之也。乙数癸甲小弧正▯辰丙乗过弧余▯甲巳半径除之也。今用加减搃存两正▯相加成丑戊【癸戊与正▯丁子等，丑癸与正▯辛壬等，故以相加即成丑戊】半之于甲得丑甲【亦即甲戊】为甲数；仍以甲数丑甲转减存弧正▯丑癸，余癸甲为乙数【或以总弧正▯癸戊减甲数甲戊，亦即得乙数癸甲】此亦总弧跨象限外，仍系总存两正▯相加求甲数【甲数仍大于乙数】解曰：半径丙已与小弧余▯辰已，若大弧正▯丁甲与甲数丑甲，皆以▯比句也。又半径丙已与小弧正▯辰丙，若大弧余▯甲巳与乙数癸甲，皆以▯比股也。又壬甲等丁甲，则甲戊亦等壬庚，而壬庚即丑甲，故半之而得。

右用总存两正▯加减一系凡两弧内有过弧者，总弧之余▯反大，故初次两数皆在总弧余▯内，而总弧之正▯反小，故甲乙两数皆在存弧正▯内也【此必原有一过弧始用此例，非谓总弧过象限也，观图自明】甲数乙数用法【黄赤道经纬相求】黄赤二道经纬相求，用斜弧三角形，以星距黄极为一边，星距北极为一边，并两极之距为三边，此本法也。今不用距极度而用其余度【距极度本为纬度之余，今用三角形以距极度为边，故纬度皆为余度】径取黄纬为一边【此先有黄纬而求赤纬也，若先有赤道而求黄道，即用赤纬为边】二至之黄赤大距为一边【黄赤大距原与两极之距等】而取二边之总，存两正▯为用，以加减省乘除，故在本法为初数、次数者，别之为甲乙数焉。甲数乙数不止为求黄赤而举此为式，其理特着，故命之曰甲数乙数，用法实黄赤相求简法矣。

第一图　黄纬小于黄赤大距甲数大乙数小甲丙亢危大圈为过两极之经圈【即二至经圈】心乙亢轴，即黄道。

二分经线　丙乙室为黄道　心为黄极寅乙危为赤道甲为北极　辰胃娄为黄道北纬【即丙辰之度】丑尾奎为黄道南纬【即丙丑之度】星在箕，箕心为星距黄极纬度，箕女为星距黄道纬【即丙辰之度】甲心箕锐角为黄道经度，其余▯女乙甲心为两极相距【二十三度三十一分半】寅丙为夏至距纬【同甲心之度】今求甲箕为星距北极纬度，其余弧箕翌为星距赤道纬【即氐危之度】用甲心、箕三角形，有心角【黄道经】有心箕弧【星距黄极纬】有甲心弧【为两极之距】而求对角弧甲箕【星赤道北极纬】依加减代乗除改用寅丙、夏至距【即心甲】辰丙、黄道纬【即心箕之余，箕女又即丙丑度】寅丙、辰丙相加为总弧辰寅，其正▯辰午。又相减为较弧丑寅，其正▯丑丁【亦即丁井，亦即午昴，亦即子午】以丑丁正▯【即午昴】加辰午正▯，成辰昴，折半得巳午。甲数【巳子为辰子之半，子午为子昴之半，合之成巳午】甲数【巳午】转减正▯【辰午】余【巳辰】为乙数或以丑丁正▯【即子午】减辰午正▯，余辰子折半，得辰巳为乙数，以乙数转减总弧正▯辰午，得已午为甲数，亦同。法为黄道半径【丙乙】与心角之余▯【女乙】若甲数【巳午】与四率【斗未】也。

一　黄道半径　丙乙二　心角余▯　女乙三　甲数　　　巳午【即戊酉】四【减过乙数之赤纬正▯】斗未【即虚栁】论曰：丙乙半径与女乙余▯原若辰胃与箕胃【辰胃者，箕心黄纬之正▯，即距等圏半径；因箕心角线过箕至女分辰胃正▯于箕，亦分丙乙半径于女，故丙乙与女乙若辰胃与箕胃，皆全与分比例】而辰胃同戊乙，箕胃同斗乙，皆▯也【戊酉乙大句股，以戊乙为▯，戊酉为句；斗未乙小句股，以斗乙为▯，斗未为句】戊酉【同巳午】斗未皆句也，则其比例等，故丙乙与女乙能若戊乙与斗乙，亦即若已午与斗未。以乙数【辰巳即箕虚】加四率【斗未即虚栁】成箕栁，即所求赤道纬度正▯。检表得赤纬在北【即箕翌，亦即氐危】若先有赤纬黄纬而求黄经，则互用其率，以三四为一二法为甲数【戊酉】与赤纬正▯内减乙数之斗，未若黄道半径【丙乙】与心角黄经度之余▯【女乙】也。

一　甲数　　　戊酉【即午巳】二【乙数箕虚减赤纬正▯】半未【即虚栁】

三　黄道半径　丙乙四　心角余▯　女乙　　　检余▯表得心角之度假如前图星在尾为黄道南纬则所用之甲数乙数并同所得之四率亦无不同而赤纬逈异何以言之？曰：心不在箕，而在尾，则心甲弧【两极距度】心角【黄道经度】皆不变，唯尾心。弧大于箕，心故甲，心箕三角形变为甲心尾三角，而所求对角之甲尾弧。

亦大于甲箕故赤纬异也然则所用之甲数乙数又同何也？曰：尾心为过弧，则用在女尾【尾心内减去女心象限】女尾为黄道南纬，与箕女北纬同度，亦即同正▯则相加为总弧，相减为较弧，亦同而甲乙数不得不同矣。而三率算法亦必同矣。但所得四率，在北纬则用加，在南纬则用减，纬度迥异，理势自然也。一黄道半径丙乙二　心角余▯　女乙　以乙数【辰巳】减四率斗未减尽三　甲数　　　已午　无余为星在赤道无纬度四　【加过乙数之赤纬正▯】斗未论曰：此因乙数与四率同大，故减尽也。减尽，则甲尾正九十度，而星在赤道，无纬也。亦有四率小于乙数者，则当以四率转减乙数，用其余为纬度正▯在赤道南。又论曰：星在箕为黄道北，在尾为黄道南。然所得赤纬皆在北者，以箕尾经度皆在夏至前后两象限中也。故所得四率在赤道北，而加乙数则北纬大，减乙数则北纬小，皆北纬也。惟四率转减乙数则变为南纬【此亦惟黄南纬星，又近二分，则虽在夏至前后象限中而有南纬】亦有无四率者，心角必九十度，其星必在黄道二分经度，无角度余▯为次率，故亦无第四率可求。但以乙数为用，视星在南北，即以乙数命为南北纬度之正▯。假如前图中有星在胃，是在北也，即以乙数胃张【即辰巳】命为赤道北纬之正▯。若星在房，是在南也，即以乙数乙癸【亦即辰巳】命为赤道南纬之正▯。又有所得四率，北反用减，南反用加者，心角必为钝角，其星必在冬至前后两象限，其角度余▯必为大矢内减仪象限之余，则所得第四率在赤道之外【外即南也】而加减后所得皆赤道之南纬也，故加减皆反【求北纬以加而南纬必减者，星在北也；求北纬以减而南纬必加者，星在南也。盖所得第四率原系在北在南两星纬度之中数星在北在南皆主黄道言】假如前图中有星在兑，为黄道北，而甲心兑三角形心为钝角，其余▯艮乙为艮丙，大矢内。减象限之余，故所得第四率未斗在。赤道之外为赤道南纬【此南纬是黄道轴距赤道。轴】而兑星在黄道之北，则其南纬正。▯小于未斗，故必以乙数牛斗【即辰己，亦即奎巳】减之，其余牛未【同兑庚】即兑星赤道南纬之正▯。若星在巽，亦同用心钝角为甲，心巽三角形，艮乙余▯四率，未斗在赤道外，并同。但巽星又在黄道之南，则其南纬大于未斗四率，故必以乙数虚巽【即辰巳，亦即牛斗】加之，成巽栁，即巽星南纬之正▯。亦有四率小于乙数者，则以四率转减乙数，用其余为纬度，在赤道北。又论曰：星在兑为黄道北，在巽为黄道南。然所得赤纬皆在南者，以兑巽经度皆在冬至前后两象限中也。故所得四率在赤道南，而以乙数减则南纬小，以乙数加则南纬大，皆南纬也。惟四率转减乙数者，则变为北纬【此亦必黄北纬星，又近二分，故虽在冬至前后象限中，而仍有北纬凡以乙数及四率相加减成纬度者，并主纬度之正▯而言，后仿此】总论曰：凡乙数，皆南北两赤纬度相减折半之数；甲数，则两纬度之中数也【如箕女与女尾两黄纬同度，而不能以女庚为两赤纬▯之中数者，弧度有斜正故也】而所得四率，即所求星南北两纬正▯中数，故与甲数为比例。凡所得四率，星在夏至前后两象限，四率在赤道北；星在冬至前后两象限，四率在赤道南。凡总弧正▯内兼有甲数乙数【不论黄南黄北并同一法】但视黄纬之大小，若黄纬小于黄赤大距，则以总存两正▯相并而半之为甲数；若黄纬大于黄赤大距，则以总存两正▯相减而半之为甲数，并以甲数转减总弧正▯为乙数。又法黄纬小于黄赤大距，以总存两正▯相减而半之，则先得乙数；黄纬大于黄赤大距，以总存两正▯相并而半之，亦先得乙数。并以乙数转减总弧正▯为甲数，求赤纬约法。凡星有黄纬之南北，有黄经之南北【黄经南北，即南六宫，北六宫。星在夏至前后先得之，黄经为鋭角，是经在北也。星在冬至前后先得之，黄经为钝角，是经在南也】若星之黄纬南北与黄经同者，其赤纬南北亦与黄纬同。法用四率，乙数相加为纬度，正▯加惟一法。星在黄道北，又系夏至前后两象限，先得黄经鋭角，是经纬同在北，则赤纬亦在北。星在黄道南，又系冬至前后两象限，先得黄经钝角，是经纬同在南，则赤纬亦在南。若星之黄纬南北与黄经异者，赤纬有同有异，皆四率乙数相减为赤纬正▯减有二法。但视乙数大受四率转减者，赤纬之南北与黄纬同。如星在黄道北，而在冬至前后两象限，黄经角钝，是纬北而经南也。而乙数大受四率转减，则赤纬仍在北。星在黄道南，而在夏至前后两象限，黄经角鋭，是纬南而经北也。而乙数大受四率转减，则赤纬仍在南。若乙数小去减四率者，赤纬之南北与黄纬异。如星在黄道北，而在冬至前后，黄经角钝，为纬北经南，而乙数又小去减四率，则赤纬变而南。星在黄道南，而在夏至前后，黄经角鋭，为纬南经北，而乙数又小去减四率，则赤纬变而北。若星在黄道轴线，是正当二分经度也，其角必九十度无余，▯亦无四率，但以乙数为用。星在北，即以乙数命为赤道北纬之正▯星在南，即以乙数命为南纬之正▯若遇乙数四率相减至尽者，其星正当赤道，无纬度。第二图，黄纬大于黄赤大距，甲数小，乙数反大【有黄道经纬求赤纬】

甲北极　心黄极甲心为两极之距丙室黄道　寅危赤道　寅丙为夏至大距【同甲心】　乙为二分以上并与前图无二　所异者黄纬丙丑【即丙辰】大于寅丙故乙数亦大于甲数，寅丙之正▯，丙辛余▯，辛乙；丙丑之正▯，辰戊【或戊丑】余▯，戊乙。甲数戊酉，乃寅丙正▯乗丙丑，余▯半径除之也。法为丙乙半径与正▯丙辛若戊乙余▯与甲数戊酉，乙数辰巳【或巳子，或戊壬】乃辛乙余▯乗辰戊正▯半径除之也。法为丙乙半径与余▯辛乙若辰戊正▯与乙数辰巳。假如星在箕为在黄道北，箕心为距黄极之度，其余箕女黄道北纬也。有箕心甲心【两极距】二边，有心锐角【黄经】用甲心箕三锐角弧形求赤纬，甲箕为对角之弧。依加减代乗除改用寅丙辰丙二弧相加为总弧辰寅，其正▯辰午。又相减成较弧寅丑，其正▯丑丁【即午子】以丑丁正▯加辰午正▯成辰子，折半于巳为乙数【辰巳及巳子】乙数辰已转减总弧正▯辰午，得已午为甲数【即戊酉】本法以丑丁减辰午，折半得已午为甲数。甲数巳午转减辰午，得辰巳为乙数。法为黄道半径，丙乙与余▯女乙，若甲数戊酉与四率斗未也【理见前式，论见】一、黄道半径、丙乙。既得斗未，以乙数箕。二，心角余▯，女乙。虚加之，成箕栁为赤。三、甲数戊酉纬正▯查表得箕翌四【以乙数减赤纬正▯】斗未【即虚栁】赤纬度在赤道北，右系黄纬在北，而心为锐角，黄经亦在北，故法用加，而赤纬仍在北。若先有黄赤纬度，而求黄经，则互用其率，亦同前式。一甲数戊酉二　【乙数减赤纬正▯】　斗未三　黄道半径　丙乙四　心角余▯　女乙　　查余▯表得心角之度假如前图星在尾为在黄道南则所用之甲数乙数及所得之四率并同惟赤纬异论曰：星不在箕，而在尾，则甲心箕三。锐角形变为甲心尾三角形，而心尾。弧大于心，箕故所求对角之甲尾弧。

亦大于甲箕而赤纬大异心尾大于心箕，而甲数乙数悉同者，因用余弧，则女尾南纬与女箕北纬同度，故也。一、黄道半径、丙乙、既得斗未，以转减乙数斗二、心角余▯、女乙、牛得余未牛【即尾申】为赤纬三、甲数、戊酉、正▯查表得尾卯纬度在四【乙数内减赤纬正▯】斗未、赤道南。论曰：此系乙数跨赤道，故乙数内兼有赤纬及四率之数。而减赤纬得四率，以四率转减，亦得赤纬。右系黄纬在南，而心为锐角，是纬南而经北，法当用减，而乙数大，受四率反减，故赤纬仍在南。假如前图星在巽，则所用之甲数乙数亦同，惟四率异【因巽艮黄纬即室奎之度与丙丑同，故甲数酉戊与戊酉同大，而乙数斗牛兊干并同辰巳】又巽星在黄道南，而心为钝角，星在秋分后，春分前，黄经亦在南，则赤纬。

亦在南法当用加一　黄道半径　　　丙乙【即室乙】二【钝角余▯即大矢减半径之余】艮乙【艮丙为心钝角大矢内减丙乙得艮乙】

三　甲数　　　　　酉戊四【赤纬正▯内减乙数】未斗。既得未斗，以乙数斗牛【即辰巳】加之，成未牛，为赤纬正▯【即栁巽】查表得震巽纬度在赤道南。假如前图星在兑，为黄道北所用之。甲数乙数，四率并同，惟赤纬异【兑艮北纬与巽艮南纬并同丙丑之度，故甲数乙数同。甲心巽与甲心兊两钝角形。同用，心钝角，故四率亦同。惟心兊弧小于心巽，故所求对角弧甲兊亦小】

【于甲巽而赤纬异】一、黄道半径、丙乙既得未斗，以转减乙数。二、钝角余▯、艮乙兊干得余，兊离为赤纬。三、甲数酉戊正▯查表，得兊坎纬度。四【乙数内减赤纬正▯】未斗【即离干】在赤道北右系黄纬在北，而心为钝角，是秋分后，春分前，为纬北而经南，法当用减，而乙数大，受四率转减，故赤纬仍在北。

第三图　赤纬大于二极距甲数小乙数大心甲箕三鋭角形，星在箕，有黄极纬。心箕有北极。

赤纬甲箕有黄赤极距心甲【即室危】求甲角为赤经　辰危赤纬大于危室大距【即心甲】与前图略同，故乙数。

亦大于甲数　所异者此求赤经故诸数皆生于赤纬谓总弧较弧皆用赤纬也，而加减正▯反在黄道矣。室危，两极距之正。▯室辛，余▯辛乙。辰危赤纬【即箕女为甲，箕距比极之余】之正▯，辰酉余▯，酉乙甲数戊酉法为半径，室乙与辛室正▯，若酉乙余▯与甲数戊酉也。乙数辰已，法为半径，室乙与辛，乙余▯。若辰酉正▯，与乙数辰已【或娄酉正▯与乙数酉壬】也。依加减代乗除改用辰危室危相加为总弧辰室，其正▯辰午，又相减为较弧娄室，其正▯娄丁【即午昴】又以较弧正▯午昴减总弧正▯辰午余数半之得已午为甲数【即戊酉也。法于辰午内截减辰坤，如午昴其余，坤午半之于已，即得已午】

甲数已午转减辰午正▯余辰巳为乙数【或以甲数已午加较▯午昴成巳昴乙数亦同】箕虚及未牛并同【皆乙数也】又以箕翼黄纬之正▯，箕柳与乙数箕虚相减，得虚柳【即未斗】以为次率【因箕栁黄纬大，乙数箕虚小，故于黄纬正▯内减乙数得未斗】法为甲数戊酉与未斗，若酉乙与未乙，亦即若危乙半径与甲角之余▯，女乙也。

一　甲数　　　　戊酉二【黄纬正▯内减去乙数】未斗。

三　赤道半径　　危乙四　甲角余▯　　女乙论曰：赤道经度，春分至秋分【北六宫】为钝角，秋分至春分【南六宫】为锐角，其角与黄经正相反。此条星在箕，是赤纬在北也，而黄纬亦北，两纬同向，宜相减成次率。而乙数小于黄纬，必以乙数减黄纬而得。未斗乙数减黄纬，而纬在北，赤经必南六宫为锐角。查表得度为甲角度，即赤经也在秋分后，以所得减三象限，在冬至后，以所得加三象限，皆命为其星距春分赤道经度。若星在尾，用甲；心尾三角形，则以黄。纬正▯反减乙数为次率【未牛乙数大于黄纬】斗牛，故以斗牛反减未牛，得未斗】余率并同。

论曰：此条星在尾，是赤纬在南也。而黄纬亦并在南，两纬同向，宜相减而成次率。而乙数大于黄纬，宜于乙数内转减去黄纬，成未斗也。乙数大，受黄纬转减，而纬在南，赤经必亦在南六宫为锐角。

一　甲数　　　　戊酉二　【乙数内减黄纬】　　　未斗三　赤道半径　　危乙四　甲角余▯　　女乙假如前图星在兊，用心甲兊三角形。有心兑边【星距黄极】有甲兑边【星距北极】有心。甲边【两极距】求甲钝角，为赤道经度。

因赤纬同故甲数乙数同星在兊，赤纬在北，黄纬亦在北，纬同向北，宜相减而成次率，而乙数大，以黄纬减之，得斗未【乙数兊干内减去黄纬兊离，余离干即斗未】乙数大受，黄纬转减，而赤纬在北，必赤经亦在北。六宫为钝角。

一　甲数　　　酉戊二　【乙数内减去黄纬】　斗未三　赤道半径　寅乙四　甲角余▯　艮乙以艮乙查余▯表得度，用减半周为甲钝角，即赤经也，在春分后，以象限减钝角，度在夏至后，以钝角度与三象限相减，皆命为星距春分赤道经度。假如星在巽，用心甲巽三角形，有心巽边【距黄极】有甲巽边【距北极】有甲心边【两极距】求甲钝角为赤经。

甲数乙数并同惟心在巽，是赤纬南也。黄纬亦南也。两纬并南，宜相减。成次率，乙数小，黄纬大，故以乙数。减黄纬得斗未【斗牛黄纬即栁巽也，内减乙数，未牛余即斗未矣】乙数小去，减黄纬，而赤纬在。

南赤经必在北六宫为钝角一　甲数　　　酉戊二　【黄纬内减乙数】　　斗未三　赤道半径　寅乙四　甲角余▯　艮乙以艮乙余▯查度，春分后用余▯度减象限，夏至后加象限，皆命为距春分赤经。

第四图　赤纬小于二极距甲数大乙数小假如星在箕用心甲箕钝角形有心箕过【距黄极对角边也，其余箕、翼即黄纬】有甲箕边【距北极即辰危之余】有心甲边【两极距寅丙及危室并同】求甲钝角赤道经。

两极距危室之正▯危辛，余▯辛乙。赤纬危辰之正，▯辰戊余，▯戊乙甲数戊酉【为半径，危乙与二极距之正▯，危辛若赤纬余▯戊乙与甲数戊酉也】乙数辰巳【或戊壬为半径，危乙与二极距之余▯，辛乙若赤纬正▯，辰戊与乙数辰巳也】依加减代乗除，以辰危、危室两弧相加为总弧辰室，其正▯辰午。又相减为较，弧娄室其正▯娄丁【或丁井，即午昴】以总弧正▯辰午加较弧正▯午昴成辰昴而半之为甲数巳午【巳坤为辰坤之半坤午为坤昴之半合之为巳午】即戊酉。

又以甲数己午转减正▯辰午得辰巳为乙数【亦即戊壬】星在箕为赤纬北而黄纬亦在北两纬同向宜相减而成次率而乙数大当以黄纬转减之成斗未【牛未乙数内减牛斗黄纬余斗未】

乙数大受黄纬反减而纬在北赤经在北六宫为钝角一　甲数　　　酉戊　　以艮乙余▯查度春分后二　【乙数内减黄纬正▯】　斗未　　用减象限夏至后加象限三　赤道半径　寅乙　　命为距春分经度四　甲角余▯　艮乙若星在尾，用心甲尾三角形，则为南纬，而黄纬亦南两。纬同向宜相减成次率，而乙数小于黄纬故以乙数减黄纬成斗未【虚尾黄纬。内减乙数，氐尾余虚，氐即斗未】其甲数、乙数等算。并同，乙数小去减黄纬，而纬在南。

赤经必在北六宫为钝角一　甲数　　　酉戊二【黄纬正▯内减乙数】斗未。

三　赤道半径　寅乙四　甲角余▯　艮乙若星在兑，用心甲兑三角形。兑为北纬，而黄纬亦北两。纬同向宜相减成次率，而乙数小于黄纬，故以乙数减黄纬，成未斗【兊干】黄纬。内减乙数，兊离余，余离干，即未斗】甲数乙数并同。乙数小，去减黄纬，而纬在北，赤经反。

在南六宫为锐角一、甲数戊酉以女乙余▯度秋分后减二【黄纬正▯内减乙数】未斗三象限冬至后加三象限三赤道半径危乙命为距春分赤经【下同】四甲角余▯女乙若星在巽，用心甲巽三角形，赤纬南，黄纬亦南，两纬同向，宜相减成次率，而乙数大，以黄纬转减之，成未斗【未牛，乙数内减黄纬，斗牛即栁巽，其余即未斗】乙数大受，黄纬转减，而纬在南，赤经。

即在南六宫为锐角一　甲数　　　戊酉二【乙数内减黄纬正▯】未斗。

三　赤道半径　危乙四　甲角余▯　女乙第五图　赤纬小于二极距甲数大乙数小黄纬乙数相加成次率【黄纬在南角鋭钝，黄纬在北角】星在巽，用心甲，巽三。角形有心甲边【二极距】有巽甲边【距北极度为过弧其赤纬女巽在南】有巽心边【距黄极度其余巽为黄纬在北】求对巽心弧之甲角，心甲两极距即危室【或寅丙】其正▯危辛，余▯辛乙。女巽赤纬即危娄【或辰危即丑寅】其正▯辰戊，余▯戊乙。甲数戊酉【两极距正▯危辛乗赤纬余▯戊乙半径危乙除之之数也法为危乙与危辛若戊乙与戊酉】乙数辰巳【两极距余▯辛乙乗赤纬正▯辰戊半径危乙除之之数也法为危乙与辛乙若辰戊与辰巳】依加减代乗除改用辰危、危室相加为总弧辰室，其正▯辰午；又相减为较弧娄室，其正▯娄丁【即午昴及丁井】以总较两正▯相加成辰昴，折半得巳午为甲数即戊酉【巳坤为辰坤之半，坤午为坤昴之半，合之成己午】甲数巳午转减总弧正▯辰午得辰巳为乙数，即戊壬黄纬巽氐在北，赤纬女巽在南，两纬异向，宜以乙数与黄纬正▯相加成次率【以同黄纬正▯巽栁之牛斗加同乙数戊壬之未牛成未斗】乙数黄纬正▯相加，而黄纬在北，其赤经必在南六宫为锐角，法为甲数戊酉与未斗，若戊乙与未乙，亦即若危乙与女乙。一、甲数戊酉以女乙查余▯表得度二【乙数加黄纬正▯】未斗秋分后减冬至后加皆与三赤道半径危乙三象限相加减命为其星四甲角余▯女乙距春分赤道经度又如星在箕，用心甲箕三角形，有心甲边【二极距】有箕甲边【距北极度，其余箕艮赤纬在北】有箕心边【距黄极度为过弧，其黄纬翼箕在南】求对箕心弧之甲角。

甲数乙数同上惟黄纬翼箕在南，赤纬箕艮在北，两纬异向，宜以乙数。与黄纬正▯相加成次率【以黄纬正▯箕张相】同之牛斗，加乙数辰巳相同之牛，未成斗未】乙数与黄纬▯相加，而黄纬在南，其赤经必在北六宫为钝角，法为甲数。酉戊与斗未，若戊乙与未乙，亦即若寅乙与艮乙一甲数戊酉以艮乙查余▯表，得度春二【乙数加黄纬正▯】斗未分后减，夏至后加，皆加减三赤道半径寅乙象限命为其星距春分赤四甲角余▯艮乙赤道经度求赤道经度约法用三边求角【两极距为一边，距北极为一边，此二边为角两旁之弧，距黄极为一边，此为对角之弧】以求到钝角赤道经度在北六宫，锐角赤道经度在南六宫。法为甲数与次率若赤道半径与所求角之余▯其枢纽在次率也。凡黄纬南北与赤纬同向者，并以乙数与黄纬相减而成次率。减有二法。

凡黄纬南北与赤纬异向者，并以乙数与黄纬相加而成次率。

加惟一法厯算全书卷十<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>钦定四库全书