方程论卷二

方程论卷二

极数吾论方程至和较之杂之变，尽矣。虽然，不知带分叠脚重审之法，无以穷其致。故极数次之。极数有三，一、带分，二、叠脚，三、重审，皆不离乎和。较之四术，带分、方程例。法曰：视原问中有云「防分之防者」，则以分母通其全数而列之；或云有物「防数又防分之防者」，以分母通其全数而纳其子，如法列位，遍乗减并，以求一法一实。既得法以除实而得者，即所求物之一分也。以所得一分之数分母乗之，则为物之全数矣。或云防分之防，又防分之防者，以两分母相乗为全数，而列之。又以两分母互乗其子为所用之分，而列之。所用之分同在一行者，并而列之。分用于两行者，不并也。并之而所用之分反大于全数者，以全数除之，命为几全数又几分之几。其入算乗除，仍用所并之分，得数后则只以全数之分乗之为全数【以上两法皆化整为零，乗除竟用零分，故先得一分之数】

又法凡较数有以此之全数当彼之防分之防者，则通其一行之内皆以分母乗之而后列焉，则其所得即为全数而非其一分也【如云乙得甲三分之二，则以分母三乗乙全数得全乙者三乗甲之二分得六分，是为全甲者二，则以三乙当二甲而列之，骤视之如倒列其子母，其实皆全数耳】若有正负之数，亦以分母乗而列之【亦全数非零分也，是为以零变整与化整为零之法不同，故径得其全数，所用乗除皆整数非分故也】得即为整【其所用分母只在本一行中，如一物有两分母又分用于各行，则各以其行中分母为用】凡和数中有一位带分而余只全数者，亦可以分母通乗而列之，其所得亦为全数而非分【如甲三乙二又三之一共十六，则以分母三乗甲得九，乗一二得六，乗乙之一得三，亦整一也，并得整七乗共十六得四十八，是为甲九乙七共四十八，变零为整，径以整数乗除所得即为整数】

又法凡带分之法，或化整为零，或变零为整，取其画一也。此外又有杂用零整之法，亦所当知【如行中有几位，或原带有零分者，以化整为零法列之；其原未带分者，只以整数列之。但乗除得数后，整列者所得即为整数，零分列者所得只为零分之数，仍须以分母乗之为全数】

又法视所带之分，有可以分母除之而尽者，则以所除分秒附于整数而列之，则其乗除后得数亦为所求之全数【若分母除其子不能尽者，则不用此法】今有甲字库贮金，丁字库贮银，各不知总。但云取甲四之三，加丁五之二，则一百一十万。若以甲加丁之倍数，则四百四十万。问各若干？畣曰：「甲库金四十万，丁库银二百万。」法以分子甲之三分，丁之二分列右。以分母四通甲，整一得四分；以分母五通丁，整二得十分。列左。

依和数法，互乗对减，余丁之分二十二为法，余八百八十万为实。法除实得四十万，为丁之一分，以丁之分母五乗丁之一分，得二百万，为丁库银数。乃以丁库数倍之，得四百万，减四百四十万，余四十万，为甲库金数。此化整从零法也【原列零分，故得亦零分之数】又法以丁分母五互甲之三得十五，以甲分母四互丁之二得八，列右。乂以两分母【五四】相乗得二十为甲丁共母，以乗一甲得二十，乗倍丁得四十，列左。乃以甲丁共母乗一百一十万得二千二百万，列右；乗四百四十万得八千八百万，列左【分母相乗为母，母互乗子，只是通分之法。妙在以分共母乗其和数，而零数皆为整用矣，此用法之妙】

上　　　中　　　下依法乗减余丁四百四十为法，八亿八千万为实。以法除实，得二百万为丁数。以丁四十计，八千万减八千八百万余八百万，以甲二十除之，得四十万为甲数。此变零为整法也【原列整数，故所得即为整数】又法，以甲分母四除之，三得七分五秒；以丁分母五除之，二得四分。列之，则其余数皆不变。

左甲一乗，右行皆如原数。右甲○七分五秒乗左行，各得四分之三甲，各○七分五秒尽减。丁余一一【上一整数，下一一分乃十分之一】为法，共数减余二百二十万为实。法除实，得二百万为丁数。以丁数倍之，减共数，余四十万即为甲数。此除零附整法也【零分既除，为分秒，则乗除之际，皆以整数为主，故所得亦即为整数】今有甲乙二数，不知总，但云取乙五之三，又取乙四之一，以益甲，则甲之数倍；取甲三之二，又取甲七之二，以与乙较，则乙多数二百四十。问甲乙本数各防何？畣曰：甲本数一千○七十一，乙本数一千二百六十。法以较数，带分取之。本二色也，却有三位。以分母通之，仍二位也。先以乙分母【五四】相乗，得二十，以当乙之全数。又以分母五互乗分子一，得五；以分母四互乗分子三，得十二。并之得十七，以当乙所益甲之分。是为乙二十分之十七以益甲也。次以甲分母【三七】相乗得二十一，以当甲之全数。又以分母三互乗分子二，得六；以分母七互乗分子二，得十四。并之共二十，以当甲所与乙较之分。是为甲二十一分之二十以与乙较也。

于是分正负列位依较数法乗减，乙余八十分为法，负数无减，就以五千○四十为实，法除实得六十三为乙之一分，以乙全分二十乗之得一千二百六十为乙本数，乙本数同减负二百四十余一千○二十，即甲与乙较之分也，以左行甲之二十分除之得五十一为甲之一分，以甲全分二十一乗之得一千○七十一为甲本数。乃细攷之，置乙本数【三】因【五】除之，得七百五十六，为五之三；又置一本数【四】除之，得三百一十五，为四之一。并两数共一千○七十一，则与甲数同，故以此益甲而甲倍也。置甲本数【二】因【三】除之，得七百一十四，为三之二；又置甲本数【二】因【七】除之，得三百○六，为七之二。并两数共一千○二十，以此较乙，则不及二百四十。此只是以乙之分与甲较，又以甲之分与乙较也。末卷所列诸率，则是以乙之分益甲，而转与乙所存之分相较；又以甲之分益乙，而转与甲所存之数相较，故自不同合而观之，则见。今有寳泉、寳源二局铸钱，不知总。但云取寳源五之四，又四之三，以益寳泉，则寳泉之数倍。若取寳泉三之二，以与寳源较，则多于寳源四十二贯。畣曰：「寳泉原数一千九百五十三贯，寳源原数一千二百六十贯。」法先以寳源分母【五四】相乗得二十分为全数，又以分母五互乗分子【三】得十五，分母【四】互乗分子【四】得十六，并之共三十一分为寳源，所以益寳泉之分。全数二十分所用以益寳泉者，反有三十一分，是为以寳源全数又二十分之十一以益寳泉也。其寳泉只一分母，故不用乗并。

乃列位如法乗减，中位余二分，为法；下位余一百二十六贯，为实。法除实得六十三贯为寳源局二十分之一分，以分母二十乗之得一千二百六十贯为寳源数，以寳源数异加正四十二贯共一千三百○二贯，即寳泉局三分之二也。于是以分子之二除以分母三乗得一千九百五十三贯为宝泉数【置寳源数四因五除之得一千○八为五分之四，又置宝源数三因四除之得九百四十五为四之三，并两数亦恰得一千九百五十三贯，如寳泉数以加寳泉是为宝泉者倍也】论曰：乗得数后，宝泉分数同。惟右行之寳源多于左行者二分，而遂能与寳泉等。若左行之寳源少此二分，而其少于寳泉者遂一百二十六贯。然则此一百二十六贯者，正是寳源之二分矣【知分数即知全数，知寳源即知寳泉】此二则皆化整为零，而分母不同也。今有货泉刀贝四种之币，各不知数。但云泉八之一，兼刀布七之二，则如货数也。若刀布七之三，兼贝六之四，则其数如泉也。若贝六之五，又外加数八千九百七十，则如刀布也。若货数自加九之一，则其数如贝也。问本数各防何？畣曰：「货五千一百三十，泉九千六百八十。」刀布一万三千七百二十，贝五千七百。法以各分母通其原数，然后以正负列之。货分母九，泉分母八，刀布分母七，贝分母六【丁行货合数一】【又九分之一，共十，是为九分之十。凡全数帯分者，准此】

先以甲行货正九分为法，徧乗丁行得数。又以丁行货负十分为法，徧乗甲行得数【因首位异名，故变一行以相从，而以丁从甲】乃以甲丁两行得数相减。货同减尽。甲行泉负十分，刀布负二十分，皆无对不减。丁行贝负五十四分，亦无对不减。下适足，无乗无减，仍为适足。乃以泉刀同名在甲行者为一类，贝同名在丁行者为一类，分正负重列而求之【丁行之负，甲行之正也】因余行已无货，位当以泉为乗法，寻乙行中有泉，径用与减余相对。

如法徧乗得数乃相减并，泉同减尽，刀布异并得【正】一百九十分，贝同减余负三百九十二分，以减余为主，命其正负而重列之。因余行，又已无泉，当以刀布为乗法。寻丙行有刀布，径用与减余相对。

上　　　　　　中　　　　　　下如法徧乗得数，刀布同减尽，贝同减余一千七百九十四分为法，正一百七十万四千三百无减就为实。法除实得九百五十为负之一分。以丙行贝之五分该四千七百五十，异加正八千九百七十，共一万三千七百二十为刀布原数。以刀布分母七除原数得一千九百六十为刀布之一分。以刀布之三分该五千八百八十，贝之四分该三千八百，并之得九千六百八十为泉数【用乙行也】以泉分母八除泉数得一千二百一十为泉之一分。以泉之一分加刀布之二分三千九百二十，共五千一百三十为货数【用甲行也】以货分母九除货数得五百七十为货之一分。以货数加一分共五千七百为贝数【用丁行也】甲丁两行乗减论曰：既互乗，则甲丁之货等，而甲行之泉若刀布及丁行之贝，又各与其首位之货等，则甲之泉若刀布必与丁之贝等也。故对减去货，而径以甲之泉若刀布与丁之贝分正负而命之，适足也。此即西学中比例之理，然方程中自有之，且简快如此。乙行减并论曰：左右两行之正负皆适足。若于右正数内减左正，右负数内减左负，其所余者亦必适足也。今右正内既减去同名之泉，右负内又减去同名之贝，而左负内有刀布不与右同名，不能相减，故反用以加。加则正数多，正数多则负数少，而其数亦必适足矣。又论曰：隔行之异名，乃同名也。今两行之正与负，既皆适足。若以左之正【泉】益右之负【贝】而共为负；以左之负【刀布贝】益右之正【泉刀布】而共为正，则亦适足也。于是以两者【右泉刀布，左刀布贝为一类；左泉，右贝为一类】对减其相同之物【泉各减八十分，贝各减四十分】则其所余之物必亦适足也【左右刀布为正，右贝减余为负】又论曰：右行刀布，正数也，正多于负之数也；左行刀布，负数也，正少于负之数也。合此二数，则是右正之多于左正者，此两行之刀布也。然刀布之数，右正虽多于左正，而贝之数，右负亦多于左负，故两行皆适足也。然则右正之所多，与右负之所多，亦必相当适足矣。丙行乗减论曰：刀布本同，惟右之贝多于左。右之贝多，则左之贝少。左之贝少，则刀布多矣。然则左之刀布布独有盈数者，正是此相差之贝也。此亦化整为零，而又有整帯零【四色有空之例也】问：品官月俸，六品为五品八之五，七品为六品四之三，八品为七品十五之十三，九品为七品十五之十一。倍九品加八品、六品、七品各一则，如五品之倍数而多三石，各若干？法以分母各通其原数而正负列之，五品通为八，六品通为四，七品通为十五，八品、九品以全数原无分母故也【五品倍则为十六】

先以甲行五品十六分遍乗乙行五品六品得数【余空位无乗】次以乙行五品五分遍乗甲行得数，乃对减。五品各八十分同名对减尽，六品同名对减余四十四分乙行之负物也，为乙类。七品、八品、九品，并禄米较数，皆无对不减，皆甲行之。负物负数也，为一类。分正负列之，与丙行相对。

如法以减，余六品分，遍乗丙行，六品七品分得数【余空无乗】又以丙行六品分遍乗减余得数，乃以对减，六品得数各一百三十二分，同名减尽，七品同名减余四百三十五分，丙行之负物也，自为一类，其余三位无减，皆减余之负物，负数也，共为一类，分正负列之，与丁行相对。又因丁、戊两行皆有七品，是多一算也，乃更置之，以八品列首位。

上　　　　　中　　　　下如法以丁行八品负一遍乗减余皆如故【首行同名故两行之正负亦皆不变】又以减余八品负十五分遍乗丁行八品七品得数，乃对减，八品同减尽，七品同减余二百四十分，右行之正物也为一类，九品三十无减，禄米四十五石亦无减，皆右行之负物，负数也同。名共为一类，乃分正负重列之，与戊行相对。

如法以左右七品分互遍乗得数【首行同名故两行之正负皆不变】七品同减尽。九品同减余九十为法。禄米四。百九十五石无减，就为实。法除实，得五石五斗，为九品月俸。置九品俸，以相当之七品之十一分除之，得五斗，为七品月俸十五分之一，而以与八品相当之十三乗之，得六石五斗，为八品月俸。又以七品之分母十五乗其一分，得七石五斗，为七品月俸。又置七品俸，以相当之六品之三分除之，得二石。五斗为六品四之一，而以其分母四乗之，得十石为六品月俸。置六品俸，以相当之五品之五分除之，得二石为五品八之一，而以其分母八乗之，得十六石为五品月俸。计开五品，毎月十六石；六品，毎月十石；七品，毎月七石五斗；八品，毎月六石五斗；九品，毎月五石五斗。论曰：此所列有二种。六品通为四分者，问原云四之三是可以四分者也。七品通为十五分者，原云十五之十三之十一，是可以十五分者也。五品通为十六分者，原云八之五，是可以八分者也。又倍之而十六，则为八分者二矣。此皆以分立算，化整从零之法也。八品则只是原数，九品亦是原数，而又有倍数然。只是原数之倍，非如五品倍其分也。此两者皆不用分，只用整。合而言之，乃零整杂用之法也。零与整杂，似不伦矣。然乗除得数则同。但用分者所得数亦为一分之数，故必以分母乗之，乃合原数。而其原不用分者，得即原数，更不湏乗。能知此理，则用分无误矣。甲乙两行论曰：两行正数内五品本同，而甲有负多于正之较，乙则无有。是此较数，乃甲负多于乙负之较也。于是以两负相减，以去其同之分，而观其所不同之处，则甲有诸品，而乙惟六品之减余。然则甲负之独多，此较者，乃甲诸品多于乙六品减余之较矣。丙行乗减论曰：两得数对减，而六品减尽，是其数同也。其与六品为正负者，又减去相同之七品分，而左仍余七品之余分，右仍余诸品之全分，则是两行诸数皆同，而惟此二者有差也。然则右之独有盈于六品之较者，正此二者之差数也。丁行论曰：两行对减，而于负数内减去相同之八品，惟余九品；于正数内减去相同之七品分，惟余七品之余分。然则右行负数独有盈于正数者，正是右行九品与其七品余分之较也？何也？与之对减者，乃左行适足之数，故于较数无闗也【重列三次皆然】戊行论曰：右行内减去左行，适足数，惟余九品数，则其下盈数必所余九品之数也。此条逓减归一，其理较明，学者翫之。此零整杂列也，亦五色方程。有空例也，有减无并。可悟偶加竒减之非。问：有物一百七十四，以三人分之，乙所分如甲七之三，仍不足单六，丙所分如乙七之三，而多二，数各几何？畣曰：甲数一百一十二，乙数四十二，丙数二十【甲数三因七除，得四十八，多于乙数六；乙数三因七除之，得十八，少于丙数二】法列位，以甲乙分母七，化整为零；丙无分，仍用整。

【○】乙之三分【正】丙一【负】负二【此行无甲数存，与减余重列】此三色有空，先以和较杂法，用两行甲互遍乗之，和数甲全分七乗，较行得数【依其正负】以较数甲正三分乗和行得数【从乗法皆命为正】甲各二十一分同减尽，乙异并七十分【正】丙三无减【正】下数同减余四百八十【正】皆同名不分正负，以和数重列与第三行较数求之。

上　　　　　　中　　　下如法互乗减并，乙同减尽，丙异并七十九为法，下数异并一千五百八十为实，法除实得二十。为丙数，丙数同减负二得一十八，为乙七之三，乃以三分除之，得六，为乙七之一，以分母七乗之，得四十二，为乙数。乙数异加正六，共四十八，当甲七之三，乃以三分除之，得十六，为甲七之一，以甲分母七乗之，得一百一十二，为甲数。此亦零整杂用之法也。若依变零从整法则，以分子母倒位列之，其正负以分母乗之，乃与和数列而求之。论曰：「倒位何也？非倒位也。分母遍乗则然也。以分母七乗子三，而皆七之，则为三分者七，为三分七是为全，全数者三矣。而其所当者全数也，七之则为全数者七矣。是乙以全数当甲七之三者，七乗之则七乙当三甲也，故如倒位然，皆全数也，非分也，故非倒位。正负亦分母乗何也？乙一当甲七之三而少六，则七乙当三甲而共少七个六为四十二也。丙一当乙七之三而多二，则七丙当三乙而共多七个二为十四也。」

如法以前两行遍乗减并，又重列之与第三行遍乗减并。乙减尽，丙异并七十九为法。下数异并一千五百八十为实。法除实，得二十为丙数。七因丙数，得一百四十，同减负十四，余一百二十六，以乙三除之，得四十二，为乙数。七因乙数，得二百九十四，异加正四十二，共三百三十六，以甲三除之，得一百一十二，为甲数。此变零从整而分母同者也，亦有分母不同，但取其本一行中所用之分母遍乗本行以为用，不必齐同，如后条。问：有数不知总，以三人分之，亦不知各所分之数，但云甲如乙丙共数二之一，乙如甲丙三之二，丙如甲乙四之三而不足四又四分之一，总数分数各几何？畣曰：总数十五，甲五，乙六，丙四。乙丙共十，其二之一则五如甲；甲丙共九，其三之二则六如乙；甲乙共十一，其四之三则八义四之一，以丙相较，不足四又四之一也。法曰：此各行分母不同【如甲有三之二，又有四之三；乙有二之一，又有四之三；丙有二之一，又有三之二，皆有两分母】宜用变零从整之法，以不同同之【用分则不同，变而用整则不同而同矣】以分母各遍乗其本行而列之，右行分母二，中行三，左行四。

如法互乗减并，以三色较数变为二色，而重列之【虽减并不同，皆仍为较数不变，宜翫】

如法互乗，乙同减尽，丙同减余负三十四为法，正一百三十六无减就为实，法除实得四为丙。数六乗丙数得二十四，以相当适足之，四乙除之得六为乙数。以原列右行乙丙各一共十，以相当适足之，甲二除之得五为甲数。论曰：甲为乙丙二之一，则是二甲当一乙一丙也，皆二因之也。乙为甲丙三之二，则是三乙当二甲二丙也，皆三因之也。丙为甲乙四之三而不足四又四之一，则是四丙以当三甲三乙而不足十七也，皆四因之也【甲乙丙各有两分母，若化整为零，当以分母相乗为原数，母互乗子为所用之分，殊多事矣】二因甲得二，二因乙丙二之一得乙丙各一。三因乙得三，三因甲丙三之二，得甲丙各二。四因丙得四，四因甲乙四之三得甲乙各三，四因正四又四之一得正十七【以一丙与甲乙四之三较，不足四又四之一；若以四丙与四个甲乙四之三较，亦不足四个四又四个四之一，是为十七】问：有数九百六十，以四人差等分之。乙与甲如二与八，丙与乙如三与七，丁与丙如四与六，各几何？畣曰：甲六百七十二，乙一百六十八，丙七十二，丁四十八。法以共数命为和，相当数命为较。依和较襍法列之：乙二而甲八，是乙得甲八之二，故八乙可当二甲也。丙三而乙七，是丙得乙七之三，故七丙可当三乙也。丁四而丙六，是丁得丙六之四，故六丁可当四丙也【推此知二八、三七、四六各种差分，皆可以方程御之】

首次两行如法互乗，减并讫，重列之，取出第三行与之为耦。

如法减并讫，又重列之【两次减余皆和数，可见立负之非】

又取末行与之为耦而列之如法乗，丙减尽，丁并得四百八十为法，正二万三千○四十无减就为实，法除实得四十八为丁数，六因丁数得二百八十八，以相当之四丙除之得七十二为丙数，七因丙数得五百○四，以相当之三乙除之得一百六十八为乙数，八因乙数得一千三百四十四，以相当之二甲除之得六百七十二为甲数。试以甲并乙，共八百四十，以八因之，得甲数。若二因，亦得乙数。是乙数甲二八差分也。试以丙并乙，共二百四十，以七因之，得乙数。若三因，亦得丙数。是丙与乙三七差分也。并丙丁，共一百二十，以六因之，得丙数。若四因，亦得丁数。是丁与丙四六差分也。又试以八除甲数，得八十四；以二除乙数，亦得八十四。若以八十四除甲数，必得八；以八十四除乙数，必得二也。又试以七除乙数，以三除丙数，皆得二十四；若以二十四除乙数，必得七；除丙数，必得三也。以六除丙数，以四除丁数，皆得十二；若以十二除丙数，必得六；除丁数，必得四也。问：有数七百四十一，以四人分之。乙于甲为三之二，丙于乙为五之三，丁于丙为七之五，各防何？畣曰：甲，三百一十五；乙，二百一十；丙，一百二十六；丁，九十。法曰：乙得甲三之二，是三乙当二甲也。丙得乙五之三，是五丙当三乙也。丁得丙七之五，是七丁当五丙也。故皆命以适足而列之。

先以孟仲两行如法互乗，减并讫，列其余数，取出叔行相对。

如法减并，又列其余，与季行相较。

如法减并，丁二百四十七为法，正二万二千二百三十为实，法除实，得九十为丁数。七因丁数，五除之，得一百二十六，为丙数；五因丙数，三除之，得二百一十，为乙数；三因乙数，二除之，得三百一十五，为甲数。问：有数七百四十一，以四人分之。乙如甲三之二，丙如甲五之二，丁如甲七之二，各几何？因前问中有疉数，故作此问以互明之。乙三当甲二，而丙五又当乙三，是丙五亦当甲二也。丙五当甲二，而丁七又当丙五，是丁七亦当甲二也【又丁七亦当乙三，今云两者，以甲为主也】

在西法谓之连比例上　　　　　　中　　　　下首行互乗，次行如故。次行乗首行，皆二之。甲减尽，乙异，并得五【正】丙二【正】丁二【正】正一千四百八十。二皆无减【皆仍为和同名在一行故也】次行乗三行，因两首位同，不用乗，竟以对减。甲减尽，乙三【次行负也】丙五【三行负也】皆无减，命为正负适足【同名在两行故为较数】三行末行首位亦同，亦径减。甲减尽，乙空，丙五【三行负也】丁七【末行负也】皆亦无减，命为正负适足【亦同名在两行】乃以减余重列之，如三色有空之法。

如法减并，得二百四十七为法，二万二千二百三十为实。法除实，得丁数，以次求得甲乙丙数，皆如前问之数。问：有米三百八十五石五斗二升，令二等人户以四六差分出之。甲上等二十六户，乙下等四十户。下户出率则如上户六之四。畣曰：上户各七百三斗二升，二十六户共一百九十石○三斗二升；下户各四石八斗八升，四十户共一百九十五石二斗。

法以和较列位如法互乗得四，甲同减尽，乙异并三百一十六户为法，米一千五百四十二石○八升无减就为实，法除实得四石八斗八升为下等戸则例，以下等六户乗其则例得二十九石二斗八升以相当之上等四户除之得七石三斗二升为上等户则例问：有米三百一十七石，给与四色人户，甲二十户，乙三十户，丙四十户，丁五十户。丁每户如丙户七之三，丙每户如乙户六之四，乙毎户如甲户八之二，各几何？畣曰：甲每户八石四斗，二十户共一百六十八石；乙每户二石一斗，三十户共六十三石；丙每户一石四斗，四十户共五十六石；丁每户六斗，五十户共三十石。

法列位首行甲二十户，十倍于次行甲。正二，但以首行甲退一位作二，则齐同矣。甲退十为单，其下各位皆退十为单，即如互遍乗而可以对减矣。乃以减并之余，重与第三行列之。

又以减并之余，重与第四行列之。

依法求得六百三十四为法，三百八十石○四斗为实，法除实得六斗为丁户则例。七因丁则得四石二斗，丙三除之得一石四斗为丙则。六因丙则，四除之得二石一斗为乙则。四因乙则得八石四斗为甲则。

【此条有省算法说见后卷】

此上数条皆变零从整法也有两数相较，而为十之八、十之七者，即非二八、三七差分也。有二例，见末卷。

璎珞方程例璎珞者，言其聨缀而垂，象璎珞也。谓之疉脚。凡算方程，皆以多色逓减至一法一实，以先知一色之数。然此所先求之一色，却原带有不同之数，则法一而实非一，故以一总法而除多实，非疉脚之法不可也【亦有以下为法，上为实者，则实一而法有多，名在合问者之所求而定之，详刋误条】今有大江南北两处粮艘，载米不同，因氷程逺近，给耗米亦不等。但云南船三只，北船两只，共运米一千九百七十石，外给耗米共六百六十八石。又南船一只，北船四只，共运米一千九百九十石，外给耗米五百五十六石。问各船正耗米数，以便稽核。畣曰：「北船每只正运米四百石，给耗米一百石，共正耗米五百石。每正米一石，耗米二斗五升。南船每只正运米三百九十石，给耗米一百五十六石，共正耗米五百四十六石。」

每正米一石给耗米四斗法各列位先以左行，南船一遍，乗右行，各得原数。次以右行，南船三遍乗左行，得数。南船三与右减尽，北船十二减去右二，余十，只为总法。正运米五千九百七十石，减去右一千九百七十石，余四千石，为运米实。耗米一千六百六十八石，减去六百六十八石，余一千石，为耗米实。以总法除正运米，实得四百石，为北船每只运数；以总法除耗米，实得一百石，为北船每只耗米数【总计正耗得北船毎只米五百石】任于左行总运米一千九百九十石，内减北船四只，该运米一千六百石，余三百九十石，为南船一只运数【一故不除；或于右行运一千九百七十石内，减北船二只运八百石，余一千一百七十石，以南船三只除之，亦得三百九十石】于左行总耗米五百五十六名内减北船四只该耗四百石，余一百五十六石为南船一只运数【或于右行耗六百六十八石内减北船二只耗二百石，余四百六十八石以南船三只除之，亦得一百五十六石】总计正耗得南船每只米五百四十六石。以北船四百石，除其耗米一百石，得每石给耗米二斗五升；以南船三百九十石，除其耗米一百五十六石，得每石给耗四斗。此问每船米数，故以船为法，米为实。若问每米一万石该用几船？则以减余船十只，用异乗同除以一万乗，得十万为总船实。以运米减余四千石为法。法除实，得二十五为每运米一万石用北船之数。于是任以右行北船二只，亦用异乗同除以一万石乗之，二十五船除之，得八百石，以减共米一千九百七十石，余一千一百七十石，又用为法。以右行原列南船三乗一万石，得三万石为实，法除实，得二十五只又三十九分之二十五为每米一万石用南船之数。若问耗米给过五千石该得几船者，则亦用异乘同除，以五千石乘减余十只为北船实，以减余耗米一千石为法，除实得五十只为每耗米五千石给北船之数，任以右行北船二只五千石乘之，五十只除之得二百石，以减共耗六百六十八石，余四百六十八石，又用为法，以原列南船三乘五千石为实，法除实得三十二只又三十九分之二为每耗米五千石给南船之数。假如有南运艘二只，以比北三只，则南船运米不及北四百二十石，其南船带耗米反多于北一十二石。若以南船三当北船五，则南船运米不及北八百三十石，其耗米亦不及北三十二石。问各几何？

法以正负列位上　　中　　　下如法乗减余北船一只为总法运米同减余四百石，为运米实，即为北船每只运数【总法一，故不除下同】耗米异并得一百石，为耗米实，即为北船每只耗数。任以右行，北船三乗，其运数得一千二百石，同减负四百二十石，余七百八十石，以南船二除之，得三百九十石，为南船运数。以右行北船三乗，其耗数得三百石，异加正十二石，共三百一十二石，以南船二除之，得一百五十六石，为南船耗数。若问毎米一万石须几船运者，则以减余北船一，以一万石乘之为船实。以减余四百石为运米法，法除实，得二十五只为北船每运一万石之数。又以一万石任乗右行北船三，以二十五只除之，得一千二百石，同减负四百二十石，余七百八十石，又为法。以一万石乘南船二为实，法除实，得二十五只又三十九分船之二十五为南船毎运一万石之数。若问耗米五千石该给几船者，则亦以五千石乘减余北船一只为船实，以减余一百石为耗米法，法除实得五十只，为北船耗米五千石之船数。又以五千石乗右行北船三，以五十只除之，得三百石，异加正十二石，共三百一十二石，又为法。以五千石乗南船二为实，实如法而一，得三十二只又三十九分船之二，为南船耗米五千石之船数。此因耗米与正运不同，故也。若耗米亦以一万石为问，则北船之实皆同。今有墨一百二十七锭，研六十六枚，给与修史局六十人，校书局六十三人。又有墨五十八锭，研三十二枚，给与修史局二十四人，校书局四十二人。问各防何畣？曰：史局每人墨一锭又六分之四【六人十锭也】研四分之三【四人共三研】校书局毎人墨七分之三【七人共三锭】研三分之一【三人共一研】

法各列位如法乗减，余校书一千○○八人，为总法。

墨余四百三十二为墨实研余三百三十六为研实以总法除墨，实得七分之三，为校书局给墨数【七人得墨三锭】就以七人除右行校书六十三人，以墨三锭乘之，得二十七锭，以减总给一百二十七锭，余一百锭，以史局六十人除之，得一锭又六分之四【六人得四锭，并整数为六人十锭】为史局给墨数。又以总法除研实得三分之一为校书局给研数【三人共一】就以三除校书六十三人，得二十一研，以减总给研六十六，余四十五研，以史局六十人除之，得四分之三【四人三研】为史局给研数。问修艌船只，内有旧船二只，新船一只，共用桐油二百六十斤，麻一百三十斤，钉十七斤，石灰二百一十斤，计工两月有半。又旧船一只，新船三只，共用桐油二百八十斤，麻一百四十斤，钉十六斤，灰二百三十斤，工两月有半。其新旧船各防何？畣曰：「每新船一只，用桐油六十斤，麻三十斤，钉三斤，灰五十斤，每工一月修两只。」每旧船一只，用桐油一百斤，麻五十斤，钉七斤，灰八十斤，每工一月修一只。

法各列位先以左旧船一遍乗右行如故次以右旧船二遍乗左行得数，乃相减，上位旧船对减尽，中位新船减余五为总法。下位油相减，余三百斤，为新船油实【以总法除之，得六十斤，为新船油数】麻相减，余一百五十斤，为新船麻实【以总法除之，得三十斤，为新船麻数】钉相减，余一十五斤，为新船钉实【以总法除之，得三斤，为新船钉数】灰相减，余二百五十斤，为新船灰实【以总法除之，得五十斤，为新船灰数】任以左行新船三只，乗其油数得一百八十斤，以减总油二百八十斤，余一百斤为旧船一只油数。以新船三只乗其麻数，得九十斤，以减总麻一百四十斤，余五十斤，为旧船一只麻数。以新船三只，乘其钉数得九斤，以减总钉一十六斤，余七斤，为旧船一只钉数。以新船三只，乘灰数得一百五十斤，以减总灰二百三十斤，余八十斤，为旧船一只灰数。此为以船求油、麻等故，以船为法，以麻、油等为实。

乃以减余新船五只为总实以减余工两月半为法，法除实，得二只，为每工一月修新船之数。就以二只除左行新船三只，得一月有半，以减总工两月半，余一月，以除旧船一只，如故，得每工一月修旧船一只。此以工求船，故以工为法，船为实，与前相反。

重审方程例凡算方程，皆以有总数，无各数，故逓减以求之。然有并其总数亦隠者，此当用两次求之，故曰重审。假如品官禄米不知数，但云甲支三品俸四个月，又带支四品俸五个月；乙支三品俸六个月，又带支四品俸五个月，亦不知甲乙各得数，但云以甲十三分之一益乙，则三百五十石；若以乙十一分之三益甲，亦三百五十石。问两品禄米各几何？

荅曰三品毎月俸三十五石四品每月俸二十四石法曰：此当先求出甲乙两家支过禄米，再求各品月俸，谓之重审。先以带分法列位。

上　　　　中　　　　　下左甲之一分遍乗右行如故右甲之十三分遍乗左行得数甲减尽，乙减余一百四十分为法，余俸四千二百石为实，法除实，得三十石为乙之一分，以乙分母十一乗其一分，得三百三十石为乙支过米数，以乙支过米数减总三百五十石，余二十石为甲之一分，以甲分母十三乗其一分，得二百六十石为甲支过米数。既得两家支过米数，乃重列之以求品俸。

如法左右乗减，余四品十月为法，余俸米二百四十石为实，法除实得二十四石为四品每月俸，以四品五月计一百二十石，减甲支二百六十石。余一百四十石，以甲支三品，四月除之，得三十五石，为三品每月俸。假如品官支俸，本折兼支，不知数。但云甲支一品俸四个月，又带支二品俸五个月；乙支一品俸六个月，又带支二品俸十个月。亦不知甲乙支过数，但云取乙本色三分之一以益甲，共五百六十六石。若取甲本色三分之二以益乙，则八百六十五石。取乙折色五分之二以益甲，共四百九十八石。若取甲四分之一以益乙，则五百七十九石。问各几何？

畣曰一品月俸八十七石内实支本色一半四十三石五斗，折色钞一半数同，二品月俸六十一石。内实支本色六分三十六石六斗，折钞四分二十四石四斗。法当重审，先求本色，依带分法，列位。

上　　　中　　　下如法乗减，余乙之七分为法，余本色一千四百六十三石为实。实如法而一，得二百○九石，为乙本色之一分。以减右行共本色五百六十六石，余三百五十七石，为甲支过本色数。又以乙分母三乗其一分，得六百二十七石，为乙支过本色数。

计开甲支过本色三百五十七石【内一品俸四个月，二品俸五个月】乙支过本色六百二十七石【内一品俸六个月，二品俸十个月】

次求折色　亦依带分列位如法左右乗减，乙余十八分为法，余折色一千八百一十八石为实，法除实得一百○一石为乙折色之一分，以乙分母五乗之，得五百○五石为乙支过折色数，以乙之二分乗其一分，得二百○二石，以减共折色四百九十八石，余二百九十六石为甲支过折色数。计开甲支过折色二百九十六石【内亦一品俸四个月二品】

俸五个月】乙支过折色五百○五石【内亦一品俸六个月，二品俸十个月】既得甲乙两家支过本折，然后乃求各品月俸。依叠脚法，列其所得，本折而重测之。

如法遍乗得数，上位一品减尽，中位二品余十个月为总法，下位本色余三百六十六石为本色实。折色，余二百四十四石为折色实。乃以总法除本色实得三十六石六斗为二品，毎月俸本色数。以乙二品十个月计三百六十六石，减乙共本色六百二十七石，余二百六十一石，以乙一品六个月除之，得四十三石五斗为一品月俸本色。又以总法除折色，实得二十四石四斗，为二品月俸折色。以乙二品十个月，计二百四十四石，减乙共折色五百○五石，余二百六十一石，以乙一品六个月除之，亦得四十三石五斗，为一品月俸折色【其右行亦可互求，则先得甲数也】于是以一品本色折色并之，得每月俸八十七石【本折各半支】以二品本折并之，得毎月俸六十一石【四六支本色，六分折色，四分】

厯算全书卷四十一<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>钦定四库全书