厯算全书卷五十九
厯算全书卷五十九
宣城梅文鼎撰少广拾遗开方求亷率作法本原图自开平方至开八乗方古图附説图最上书一者，本数也。本数者，即大方也。大方无隅，无乘除之可言，而数从此起也。次并列【一一】者，方邉也。西法谓之根数，即一十一也。左一即本数，因有次商而进位成一十，为初商之根。右单一为次商之根。既有根数，即有平幂，故第三层者，幂积也。西法谓之面，即一百二十一也。左一百为初商自乗之幂，即大方积也。右单一为次商自乗之幂，即隅积也。小平方也，中二十则两亷积也，并长方也。
如图大小两方幂以一角相聫必得两亷以辅之而其方始全故平方亷积二也第四层，者立方积也。西法谓之体积，即一千三百三十一也。左，一千，初商，再乗之积，大立方也。右，单一，为次商，再乗之积，隅积也，小立方也。中，三百三十，皆亷积也。三百，为三平亷积，扁立方也。三十，为三长亷积，长立方也。
如图析观之，则初商大立方体与次商隅积小立方体相连于一角，必得三平亷之扁立方体，补于大立方之三面；又有三长亷之长立方体，补于小立方之三面，及三平亷之隙，而方体始全。故立方之亷积有二等，而其数各三也。第五层，者三乘方也，即一万四千六百四十一也。左一万者，大三乗方也，初商方积也；右单一者，小三乗方也，次商隅积也。大方积既以三乗之，故而积陞至万，小【隅虽 三 乘】【仍单一也，其相隔已三位，故必有第一亷为】【千数，第二亷为百数，第三亷为十数，以补之，其数始足，其理亦如平方立方也。三乘方以】【上不可为图，诸书有强为之图者非也。然其理则有可言者焉。以其相生之序言之，则皆】【加一筭法也。初商次商如十与一，而其幂则如百与一，故于之下各加，即成如十一之自】【乘也。此平方率也。又以十一乗之成，即立方率也。又以一十乗之成，即三乗方率。四乗】【以上凖此加之，皆加一法。也曰：“若是则诸乗】【方皆以十一逓乗而得，非十一者何以处之】【曰：“根非十一，而其理皆如十与一。何则？凡増一乗，积陞一等，而亦増一亷，亷与亷之积亦】【皆如十与一也。”幂，幂旧名方法，旧名上亷，旧名下亷。一一一一音觅。《周礼》幂人掌共巾幂，説文覆也。开平方四邉俱等，中函纵横之积，亦如覆物之巾，有经纬缕文，故谓之幂，亦谓之面，同上省文也。见张参《五经文字》。▯书或小写】
亷率立成附説凡开方一位除尽者，无亷隅也。亷隅皆生于次商，次商之根必小于初商一等，而其小隅之体▯，必与初商之大方同状【如再乗之隅，即小立方；三乘方之隅，即小三乘方】此可借初商表而降等求之，不必更立隅法也。亷法则不然，每増一乗，则亷増一等【如平方但有亷，立方则有平亷、长亷；三乗方则有三种亷；四乘方则有四种亷，其亷之等并与其乘数同増】而亷亦加多【如平方只二亷，立方则平亷、长亷各三；三乗方则三种亷共有十四；乗以上则更増而多，如图所列】此亷率所由立也。问亷既有等【如平方亷为十，立方亷为十，为百之类】而今亷率只作单数用，何也？曰：此亷之数也，非亷之积也。亷积有等，则既于其次序分之矣。挨次乗之，其等自见【如第一亷必小于初商大方一等，第二亷又小一等，其最末之亷必大于小隅一等，各乗方皆如是】若同一等中应各有若干亷，必先知之而后可用，故立成中所列皆单数。问古图以右为隅法，其序自左而右，今亷率之序自右而左，何也？曰：既皆作单数用，则左右一也。今依笔算自右而左，便于取用故也【亷法相生之序，左右同数，如立方平亷三，长亷亦三也，三乗方第一亷四，第三亷亦四也，其近大方有若干亷，则其近小隅亦有若干亷，故左右并同，可以左为初商大方，右为小隅，亦可以右为大方而左为小隅，此亦见古图之妙也】问旧有方法亷法之目，今防曰：“亷法何也？”曰：“开方法有方，有亷，有隅。其初商自乗即方也，次商自乗即隅也。方与隅之间，次商初商相乗而得者，皆亷也。旧以立方之平亷，有似扁方，故名之方法，而三乗方因之，遂又有上亷下亷之目。故不如一切去之，但以一二三四为序，较画一耳。”问平方之亷，皆平幂也。立方之平亷、长亷，皆体积也。不知三乗方以上之亷积，亦能与方隅并状乎？曰：凡诸乗方之亷积，无不与方隅之乗数等也。试以三乗方言之，其第一亷有四，皆初商之再乗积，而又以次商根乗之，是三乗也。其第二亷有六，皆初商自乗之平幂也，而又以次商之平幂乗之。第三亷有四，皆初商之根数，而又以次商之立积乗之，皆三乗也。又以四乗方言之，其第一亷有五，皆初商三乗积也，又乗次商根，是四乗也。其第二亷有十，皆初商再乗积也，又以乗次商幂，亦四乗也。其第三亷亦十，皆初商幂积也，又以乗次商再乗积。其第四防有五，皆初商根也，又以乗次商之三乗积，皆四乗也。五乗方以上俱如是，观后算例自明。
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>诸乗方根同而积不同，本易知也。惟根之一者，积同为一，似乎无别矣。然有幂积之一，有体积之一，有三乗以上诸乗方之一，虽曰积同为一，其实不同也。今以方根之为单一，为一十，为一百者为例如右。