歴筭全书卷三十七

歴筭全书卷三十七

钦定四库全书厯算全书巻三十八宣城梅文鼎撰笔算巻五开平方法测量句股，全恃开方。开方有平，有立。而平之用博，以其有实无法，故别为一术，以佐乘除之所穷。平方者，面羃也。其形正方，故亦为自乘之积。开平方者，以自乘之积求正方之邉，故西法谓之测面。其邉谓之方根。法先列实，依除法作两直线，以所用方积列于右直线之右，自上而下至单位止，无单作○。次作防定位，自单位作一防起，毎隔一位防之，有一防，则商一位【如有二防，则商数有十；有三防，则商数有百】次定初商，皆自原实最上一防截定为初商之实【如防在首位，即以一位为初商实；防在次位，即合两位为初商实】以自乘数约而商之，皆以防处为本位，防上一位为进位【本位者，单数也，如一商一，四商二，九商三，其自乘皆本位，不论百与万以上皆作单数用；进位者，十数也，如一六商四，二五商五，以至八一商九，其自乘皆有进位，不论千与万以上上皆作十数用】

又法　以初商实入表皆视初商实有与表同数或稍大于表数者用之以命初商【如一商一四商二此与表数相同也如二三亦商一五六七八皆商二此比表数稍大也若至九则商三又为相同之数矣十至十五皆商三皆比表数稍大至十六商四又为相同之数他皆仿此】初商表【凡初商三以下减积在本位四以上减积合两位此表明之】

用表防法【但视初商实不满表上自乘积者退一格即商数如不满○四即商一不满○九即商二他仿此】既得商数即书于左直线之右皆对初防之进位书之【凡商得一二三四书于防之上一位】五以上又进一位【凡商得五六七八九书于防之上两位】次减实　以初商数自乘书于左直线之左皆以本位对初防【如初商一二三自乘一四九皆本位即对初防书之如初商四五六七八九其自乘皆有进位则以下一字对初防】就以此命为减数以对减右直线所列方积如减积不尽则有次商次商之法　倍初商得数为次商亷法对原实位书于右直线之左【视实冇二防则初商是十有三防初商是百四防初商是千各取倍数对原列方积千百十零之位书之倍而言十者亦进位对之】截原实第二防为次商之实【次商减积至此防止】以廉法约实为次商数【并依除法约之】挨书于初商之下即用次商数为隅法亦书于廉法之下为次商廉隅共法【省曰次商法】以与次商数相乘书其数于左直线之左【皆以法首位所乘之进位对次商数书之若言如之数亦以○位对之法有几位徧乘而挨书之　至次防止　又法先以法尾位隅法乘次商数以本位对次防书之进位上一字书之依乘法例自下而上法有几位皆徧乘而迭进书之至次商数止亦同】命为次商减积数以对减右直线余积而定次商【皆减积至次防止】如减数大于余积则改次商【亦改隅法】如上乘减及减而止次商减积不尽则有三商三商之法，合初商、次商数倍之为廉法【简法只以隅法加倍増入次商法内，即三商廉法】截原实第三防为三商之实【三商减积至三防而止】余并同次商。如减积不尽，则有四商。

四商以上并同三商法审○位之法，若次商廉法大于苐二防以上余积，或数适相同，是商得○位也【凡商得一数者，其减积必与廉法同，而多一数以为隅，故仅同者无隅积也，即不能商一数而成○位】则书○于初商之下，以当次商，亦增○于亷法之下为三商亷法，三商以上有○并同【若应商几位而于初商或次商即已减积至尽，是末几位皆商得○也，俱补作○】命分之法，若已商得单数而仍有余积，当以法命之【以商得方根倍之，加隅一为分母，不尽之数为分子，命为几分之几】虽未商得单数而余积甚少，不能成单一数，亦以法命之【前审○位云，亷法大于余积者，但取第二防以上相较，不论千百十零，其所谓不能商一数者，或是一千，或是一百，不拘定是单一也，故商○之后仍有所商，与此不同】还原法，以商得方根，自之，有不尽者，以不尽之数加入之，即得原实。又简法，作直线于左方，以应减之积，依并法并之，必合原实。有不尽数，亦加入之，并同除法还原。初商本位式【凡初商一二三者，减积言如在本位；初商一二三四者，书商数于防之上一位。然以书商数之位言之，亦本位也。两本位法，此一式中皆可明之】假如有方田积二百五十六步，问每面方若干？

答曰每面方十六步列实【作两直线，列方积于右直线之右】作防定位【自单位起，毎隔一位作一防，共两防，宜商两次初商是十】

初商【防在实首位，即以实首位○二为初商，实以自乘数约之，得一为初商。初商是一，宜对防上一位，书于左直线之右。有两防，初商是一十，自乘一百为减数，书左线之左，遥对右行初防○二百，书之。就以对减初商实，于二百内减一百，仍余余一百，改书之。初商减积未尽，有次商】次商【倍初商一十作二十，对原列方积十步位，书于右线之左为亷法。以第二防余实一五六为次商实用，亷法约实可商七步，因无隅积，只约六步为次商，以书于初商之下。即用六步为隅法，以书于亷法之下。合亷隅共二十六步为次商法，以乘次商六步得亷积一百二十步，隅积三十六步，皆对次商位书起，每挨一位书之。至次防止，共得次商减数一百五十六，以对减余实恰尽】共开得平方根一十六步，合问。甲乙丙丁四形合为正方形【四面皆一十六步】甲分形正方【四而皆十步，积一百步，即初商积】丙丁二分形皆长方【广六步，长十步，积六十步，两形共积一百二十步即次商廉积】乙小分形亦正方【面皆六步，积三十六步，即次商隅积】自乘还原法，置方一十六步为实，即以十六步为法，乘之，得二百五十六步，合。

原数初商进位式【凡初商四五六七八九，减积言十在进位。初商五六七八九，书商数于防之上两位。凡书商数以防上一位为本位，则此其进位也。两进位法，此一式中皆有之】假如方积三十五万八千八百零一尺，问方若干？答曰：方五百九十九步。

列位【同前】作防定位【有三防，宜商三次。初商是百】

初商【防在实次位，即合两位三五为初商实，入表。表中有小于三五者，是二五，其方根五，即以五为初商数，对实初防上两位书，左直线之右，又即以表中自乘数二五，遥对实三五，书于左直线之左，就以对减初商实，余一○，改书之，以待次商】次商【倍初商五百作一千○百，对实千百位书于右直线之左为亷法。以第二防上余实一○八八为次商实用，亷法约之得九为次商，续书于初商之下。即以次商九为隅法，书亷法之下，合亷隅共一○九为次商法。以乘次商九得亷积九，隅积八一，对次商位书起至次防止，共得减数九万八千一百，以减次商实，余一○七，改书之以待三商】三商【以次商隅法九十倍作一百八十，于次商法一千之下抹去○九，改书一八，共一一入为亷法。以第三防上余积一○七○一为三商实用，亷法约之得九为三商，续书于次商下。即以三商九为隅法，书于亷法之下，合亷隅共一一八九为三商法。以乘三商九步得亷积一万○六百二十，隅积八十一，对三商位书起至第三防止，共得减数一万○七百○一，以对减三商实恰尽】凡开得方根五百九十九尺。初商【甲【方五百尺，积二十五万尺】次商【丁戊】二亷【各长五百尺，濶九十尺，共积九万尺】隅乙【方九十尺，积八千一百尺】三商【已庚】二亷【各长五百九十尺，濶九尺，共积一万○六百二十尺】隅丙【方九尺，积八十一尺】七形合成正方，共积【三十五万八千八百○一○】

商○位式假如方积八十二万六千二百八十一尺，问方若干？答曰：九百○九尺。

列位作防定位【并同前条】

初商【防在次位，合两位八二为初商实，表入表得八一，小于八二，其方根九即为初商，在五以上，对初防上两位书之，亦以表数八一对实八二书于左线之左，以减初商实，余○一，改书之，以待次商】次商【倍初商九百，作一千八百，对原实位书之，为亷法。以第三防上余实○一六二为次商实，以亷法约之。法大实小，不能商一数，是商得○位也。纪○于初商之下，即于实首位销去一○余，俟三商】三商【因次商是○增○于廉法之下共一八○为亷法以第三防上余实一六二八一为三商实用亷法约实得九尺为三商书于次商○之下即以九为隅法书于亷法之下共亷隅法一八○九以乘三商九得亷积一万六千二百隅积八十一减三商实恰尽】凡开得方根九百○九尺。

计开初商方九百尺　积八十一万尺续商亷【各濶九尺长九百尺】共积【一万六千二百尺】隅方九尺，积【八十一尺】通共八十二万六千二百八十一尺。假如方积二十五亿○七百○○万四千九百尺，问方若干？答曰：五万○七十尺。列位【原积尾位是百补作两○列之】作▯定位【有五防当商五次，初商是万】

初商【以实首两位二五为初商，实入表得五为初商，书于防上。两位次，以自乘数对实列之，相减尽】次商【倍初商五万尺，得一十○万为亷法，对原实位书之。以第二防上余实○○○七为次商实，实有三○无可商，是次商○也。书○于初商五之下，亦于实首销去一○，以待三商】

三商【因次商○增○于亷法下得一○○为亷法　以第三防上余实○○七○○为三商实实仍有两○位是三商亦○也又书○于次商○之下于实首复销去一○以待四商】

四商【因三商亦○又增○于亷法之下得一○○○为亷法以第四防上○七○○四九为四商实用亷法约之得七十尺书于三商○之下即以七为隅法增于亷法下共亷隅法一○○○七以乘四商七得亷积七百万隅积四千九百以对减四商实恰尽】五商【五防宜有五商，而四商已减，实尽无可商作○于四商】凡开得方根五万○○七十○尺。

命分式假如方积五百七十六万四千八百尺，问方根若干？答曰：二千四百尺【又四千八百○一分尺之四千八百】列位【实尽于百位，如前法补作两圏列之】作防定位【有四防，宜商四次，初商是千】

初商【以实首○五为初商，实入表得二为初商，以自乘数○四减实○五，改书余一，以待次商】次商【倍初商二千得四千为亷法以第二防上余实一七六为次商实用，廉法约之得四为次商，即以为隅法，书廉法下共亷隅法四四，以乘次商四得亷积一百六十万，隅积一十六万，共减积一百七十六万，次商实减尽】三商【倍次商隅法四，作八，增入次商法，共四八，为三商亷法。以第三防上余实○○四八，为三商实。有两○无可商，作○于三商位，消去实首一○，以待四商】

四商【三商○亦增○于亷法下共四八○为亷法以第四防上余实○四八○○为四商实仅与亷法相同是无隅积也不能商一数作○于四商位其不尽之数以法命之法以亷法四千八百○加隅一共四千八百○一为命分之母以不尽之数四千八百为分子命为四千八百○一分尺之四千八百即一尺弱也】共开得平方二千四百尺，又四千八百○一之四千八百。此虽未开至单尺之位，而余实甚少，不能成一单尺，故即以法命之。若余实是四千八百○一尺，则商得平方二千四百○一尺矣。今止四千八百尺，是少一尺，故不能成一单尺也。

开方分秒【凡开方欲知分秒法于余实下毎増两○位则多开一位为分秒之数　平方之积尺有百寸寸有百分皆以百为母故增两○】假如有平方积二十四尺，平方开之得方四尺，不尽八尺，问分秒若干？答曰：方四尺零八寸九分八厘九毫有竒。

如常列位作防防在次位即以二四两位合商得方四尺减其自乘一十六尺余八尺用命分法以商四尺倍作八尺又加隅一得九为命分母不尽为分子命为方四尺又九分尺之八今欲知其寸【九分尺之八者，是以尺作九分而今有其八，言毎方四尺之外，仍▯此畸零是其中有寸】法，于余实下加两○，化八尺为八百寸【毎尺纵横十寸，故其积百寸】用为次商实，以初商四尺倍之得八尺，亦化八十寸【商数是毎邉之数，故尺只十寸】对余实十寸位书之【即第一○位】为亷法，用廉法约实，可商九寸，因恐无隅积，只商八寸，书于初商四尺之下，亦即以次商八寸为隅法，书于廉法八十寸之下，共亷隅八十八寸，以乘次商八寸，得亷积六百四十寸，隅积六十四寸，共亷隅积七百○四寸，自次商位书起至第二○位止，以对减余实，仍余九十六寸，命为竒数凡商得毎方四尺八寸有奇再求其分法于实，下又加两○，以余九十六寸，化九千六百分【解见上】为三商实。商数四尺八寸，亦化四百八十分，倍之为九百六十分，移对余实百分十分之位，书之为亷法。以亷法约实，商得九分，为三商，书次商之下，亦即以三商九分为隅法，书于亷法九百六十分之下，共亷隅九百六十九分。以乘三商九分，得亷积八千六百四十分，隅积八十一分，共积八千七百二十一分。自三商位书起，至第四○位止，以对减余实，仍余八百七十九分，命为竒数。凡商得每方四尺八寸九分有竒。

再求其厘法于余实下又加两○，以余八百七十九分化八万七千九百厘为四商实。次倍商数四尺八寸九分，作九尺七寸八分化为九千七百八十厘，移对余实，依千百十之位书之为亷法。用亷法约实，得八厘为四商，书于三商之下，即以四商八为隅法，增于亷法末，共亷隅法九千七百八十八厘。以乘四商八厘，得亷积七万八千二百四十厘，隅积六十四厘，自四商位书起至第六○位止，以减余实，仍余九千五百九十六厘。凡商得每方四尺八寸九分八厘有竒。

再求其毫如法于余实下，又加两○，化余实为九十五万九千六百毫，为五商实。次倍商数四八九八，作九尺七寸九分六厘，化为九万七千九百六十毫，为亷法。移对余实万千百十之位，书之。用亷法约实，得九毫，为五商。书四商下，亦即以五商九为隅法，增入亷法下，共亷隅九万七千九百六十九毫。以乘五商九毫，得亷积八十八万一千六百四十毫，隅积八十一毫。对五商位书，起至第八○位止，以减余实，仍余七万七千八百七十九毫。凡商得方四尺八寸九分八厘九毫，又九万七千九百七十九之七万七千八百七十九，即竒数也。右单数下已开四位【尺为单位析为寸分厘毫凡四位】其不尽者是不满一毫之数，于单数为十万分之一【如欲再求忽微，亦如上法】

开方▯纵【▯纵者，长方形也。以方为濶，加纵数为长。其法与▯方无异，但须以商得数乘纵数为纵积，并入方积，以减原积。不及减者，改商之。其次商亦倍初商，加纵为亷法。但倍方而不倍纵。三商以上，并同】假如有长田，积六百二十四步，濶不及长二步，问长濶各若干？答曰：长二十六步，濶二十四步。

列位【以实列右线之右，以纵二步列右线之左，对实步位列之】

如常作防定位初商【以○六为初商，实商得二十步，自乘应减方积四百步，又以商数乘纵二步，得纵积四十步，如法列之，以减原实，仍余一百八十四步】次商【倍初商二十步，作四十步，加纵二步，共四十二歩，为亷法，以约余实，得商四步，即以为隅法，合亷隅纵共四十六，用乘次商四，得亷积一百六十步，隅积十六步，纵积八步，共减积一百八十四步，恰尽】命为濶二十四步。加纵二步，为长二十六步。

合问以图明之甲为初商方形【长濶各二十步，积四十步】已初商纵形【濶二步，长亦二十步，积四十步】戊丙并次商廉【长各二十步，濶四步，积八十步】乙次商隅【方四步，积一十六步】丁次商纵亷【长四步，濶二步，积八步】。以上五者，合之为一长方形，共长二十六步，濶二十四步。

积六百二十四步合原数】若纵数有比例可求者，先以比例分其积，平方开之得濶，因以知长。假如有直田积四百五十步，但云长多濶一倍，问长濶若干？

答曰濶十五步　长三十步法平分其积得二百二十五步，平方开之，得濶十五步。置濶十五步，倍之得长三十步，合问。假如有长田积二百五十二步，但云长比濶多四分之三，问长若干？

答曰　濶一十二步长二十一步法以多三分加分母四共七为法，以分母四乘积为实，法除实，得一百四十四步，开方得濶一十二步，置濶一十二步，七因四除之，得二十一步为长【长比濶多九步于十二步为四分之三】

开立方法平方者，方田之属也。但取面羃之积，立方者，方仓之属也。必求其内容之积，故平方曰面，立方曰体。有面而后有体，有线而后有面，故皆以线为根。假如长二尺者，线数也。线有长短，而无广狭。若以此线横展之，长亦二尺，濶亦二尺，则其积四尺，为面。面者，平方形也。面有濶狭，而无厚薄。又以此面层累而厚之，长濶皆二尺，高亦二尺，则其积八尺，为体。体者，立方形也。立方有虚有实，如筑方台则实，凿方池、作方窖则虚。然其立方之积数一也。法先立位【同平方】作防【自单位起每隔二位防之，以最上一防为初商实】定位【视有若干防，则商几位，如有二防则商数有十，有五防则商数有百，并同平方】初商法以自乘再乘数约而商之【如一商一、八商二、二七商三之类】书商数于左线之右【凡商得一数者书于防上一位，商得二三四五者书于防上两位，商得六七八九者书于防上三位】即以自乘再乘数书于左线之左，以对减初商实【初商减积至初防止】次商法，以初商自乘而三之为平亷法【亦曰方法】以初商三之为长亷法【亦曰亷法】皆对原实千百位书之。截第二防上余实为次商实【次商减积至次防止】以平亷法约实得次商【列初商下】即以次商为隅法列长亷次【亦按千百位列之】乃以次商乘平亷法为平亷积，又以次商自乘以乘长亷及隅法为长亷小隅积，俱挨书之以减余积，不及减者改商。三商法，以余实另列之，合初商次商自乘而三之为平亷法，合初商次商三之为长亷法，截第三防上余实为三商实【三商减积至此防止】亦即以三商为隅法【余并同前】

四商以上并同三商命分法，合平亷长亷法，再加隅一，为命分母，不尽之数为命分子【并同平方】还原法，置商数自乘得数，再以商数乘之，即合原实【有不尽者，以不尽之数加入之】

初商表【用法与平方表同】

假如立方积五千八百三十二尺，问方若干？

答曰方一十八尺列实作防定位【有两防，初商是十】

初商【以五千为初商，实约商一十，自乘再乘得一千为应减积，减原实余四千】次商【以初商自乘而三之，得三百，为平亷法；又以初商三之，得三十，为长亷法；以平亷法约第二防上余实，得八尺，为次商，即以为隅法，并如法列之。乃以次商乘平亷法，得二千四百，为平亷积；又以次商自乘，得六十四，以乘长亷及隅法，得长廉一千九百二十，隅积五百一十二，共减积四千八百三十二，恰尽】

以图明之甲为初商方形【长濶皆十尺，积一千尺】乙为次商平亷，凡三以辅于方之三面【长濶皆十尺，厚八尺，积八百尺，共积二千四百尺】

丙为次商长亷亦三以辅三平亷之隙【长十尺，濶与厚皆八尺，积六百四十。

尺共积一千九百二十尺】丁为次，商隅如小立方，以补三长亷之隙【长濶高皆八尺，积五百一十二尺】假如立方积二千二百五十九亿七千七百八十一万一千五百七十尺，问方根若干？答曰：方六千零九十尺【又一亿一千一百二十八万二千五百七十一之一亿一千一百二十八万二千五百七十】列实【实尾无单位补作○】作防定位【有四防初商是】

千初商【合实三位约之，商六千。对初防上三位列之，以六千自乘，再乘得减积二千一百六十亿，其余积改书以待次商】次商【日乘初商而三之，得一亿○八百万，为平亷法；以初商三之，得一万八千，为长亷法。各对原实位列之。以第二防上余实为次商实，实首有两○无可商，是次商○也。作○于初商之下，即于实首消去两○，余俟三商】三商【次商○即以次商法为三商法。以第三防上余实为三商实，以平亷法约之，商九十尺，即以为隅法。对实十位列之，乃以九十乘平亷法，得平亷积九十七亿二千万。又以九十自乘，得八千一百，以乘长亷及隅法，得长亷积一亿四千五百八十万，隅积七十二万九千。共减积九十八亿六千六百五十二万九千】四商【以第四防上余实另列之】，合三次商数六○九自乘而三之，得一亿一千一百二十六万四千三百为平亷。法又以六○九三之得一万八千二百。七十为长亷法，以法约实，仅与两亷法。之数相同，无隅积，不能成一单数，以法命。之合，平廉长亷数，加隅一，为命分母，余实。

为命分子】

命为立方六千○九十尺又【一亿一千一百二十八万二千五百七十一尺之一亿一千一百二十八万二千五百七十】

自乘　　　　　　再乘厯算全书卷三十八<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>比例规用法假如原序康熙癸未，季弟尔素有比例规用法假如之作。又五年丁亥，重加挍録，示予属为序。序曰：形而上者不可得而数，有数可数即有象可见。故算法、量法、理本相通，而尺可为算器也。厯书中有书一卷，耑明尺算，谓之比例规觧。比例云者，谓以尺中原有之两数，求今所问之两数，以例相比，如古者异乗同除，及西人三率之法。而有尺以着其象，则不烦言説，乃作者之意也。规云者，谓以铜铁为规器，两髀翕张，用其末鋭分指两尺上同数，以得横距，而命得数，则用尺之法也。规本画圆之器，于尺▯为借用，故仍其名曰规。本觧有作法、用法，惜无设例，罕能用者。携李、陈献可、荩谟补作例，祗平分一线而已。龙舒、方位、白中通作《数度衍》，以横尺取数而不用规，亦惟平分一线。夫平分用止乘除，聊足以明异乗同除之理，而尺算之善不尽于是。若乃平方、立方、分圆、轻重诸术，其求法多不以异乗同除为用，而数变为线，爰生比例，即尽归于异乗同除，此其所长也。又规端取数，毫牦可辨，而防移进退，简快灵妙。横距虽无数，而取诸本尺，其则不逺，固胜横尺矣。吾弟此书，仍其用规本法，自平分以下十线，一一为之用例，以明之。原书谬误，稍为刋正，然后其书可得而用，为功于度数之学不小也。忆嵗乙夘，余始购得厯书抄本于吴门姚氏，偶缺是觧。至戊午秋，介亡友黄俞邰太史虞稷，借到皖江刘潜柱先生本抄补之，葢逾时而后能通其条贯，以是正其讹阙。又次年己未，始为山隂友人何奕美作尺，亦稍以己意増损推广之，而未暇为立假。如今得尔素是书，可以无作矣。勿庵兄文鼎序。【方尔素撰此书时，安溪相国以冢宰开府，上谷公子世得钟伦，鋭意厯算之学。余兄弟及儿以燕下榻芝轩，与诸同学晨夕问难，甚相得也。无何，尔素挈儿燕南归，相国入参密勿，而世得亡儿相继化去，余亦大病滨死，然犹能偷视息。至今日为尔素序此书，不可谓非不幸中幸也。忆尔素六十时，余有句云：「如稼观登塲，如行将百里，何以収桑榆，无为所生耻。」今当相与念兹弗替，尔勿庵又识】

凡例按西士罗雅谷自序，谓译书草创、润色之増补之，必有其时。今之释例，不嫌小有同异，所以相成。当亦作书者之所欲得也。比例规觧原列十线为十种比例之法，今仍之。比例既有十种，可各为一尺。今总归一尺者，便携也。一尺中列十线，则一尺而有十尺之用。恐其不清，故各线之端书某线以别之。各线并从心起，数惟立方线初，防最大，割线亦然。又五金线之用，近尺末，故俱不到心，以便他线之书字。然其实并从心起算，用者详之【尺心即尺端也，两尺端聫于枢，心成一防，故从兹起算】

钦定四库全书