弧三角举要卷四

弧三角举要卷四

弧三角用次形法次形之用有二正弧三角、斜弧三角，并有次形法，而其用各有二：其一，易大形为小形，则大边成小边，钝角成锐角；其一，易角爲弧，易弧为角，则三角可以求边，亦二边可求一边。

第一正弧三角形易大为小　用次形如图戊己甲乙半浑圜以【戊丙甲己丙乙】两半周线分为弧三角形四【一戊丙乙二己丙戊三己丙甲并大四乙丙甲为最小】今可尽易为小形一戊丙乙形易为乙甲丙形【戊丙减半周余丙甲又戊乙减半周余乙甲而乙丙为同用之弧则三边之正▯同也乙丙甲角为戊丙乙外角甲乙丙为戊乙丙外角戊角又同甲角则三角之正▯同也故算甲丙乙即得戊丙乙】

二己丙戊形易为乙甲丙形【乙甲己及甲己戊并半周内各减己甲则乙甲同己戊而乙丙于己丙及甲丙于戊丙皆半周之余又甲戊并正角丙为交角而乙角又为己角之外角故算乙丙甲得己丙戊】三己丙甲形，易为乙丙甲形【乙甲为己甲减半周之余，乙丙为丙己减半周之余，而同用甲丙。又次形丙角为元形之外角，乙角同己角，甲同为正角，故算乙丙甲得己丙甲】

用法凡正弧三角内有大边及钝角者，皆以次形立算，但于得数后以次形之边与角减半周，即得元形之大边及钝角【其元形内原有小边及锐角与次形同者，径用得数命之，不必复减半周】斜弧同以上易大形为小形，而大边成小边，钝角成鋭角，为正弧三角次形之第一用【大边易小，钝角易鋭则用算画一，算理易明，其算例并详第二用】

第二正弧三角形弧角相易　用次形【内分四支】

一乙甲丙形易为丁丙庚次形解曰：丁如北极，戊己壬甲如赤道圈，己庚乙如黄道半周，辛丁壬如极至交圈【壬如夏至，辛如冬至】戊丁甲如所设过极经圈，乙如春分，己如秋分，并以庚壬大距爲其度，丙如所设某星黄道度，丙乙如黄道距春分度，其余丙庚即黄道距夏至，为次形之一边，丙甲如黄赤距度，其余丙丁即丙在黄道距北极度，为次形又一边，庚丁如夏至黄道距北极，而为乙角余度，是角易为边也【壬庚为乙角度，其余庚丁】是为次形之三边。

又丙交角如黄道上交角，庚正角如黄道夏至，甲乙如赤道同升度，其余壬甲如赤道距夏至，即丁角之弧是边易为角也，则次形又有三角。

用法假如有丙交角乙春分角而求诸数，是三角求边也【乙丙两角幷甲正角而三】法为丙角之正▯与乙角之余▯，若半径与丙甲之余▯，得丙甲边，可求余边。

一　丙角正▯　　　　　　　丙角正▯二　乙角余▯　　　　　　　丙角正▯三，半径【甲角在次形】半径【庚角】

四　甲丙余▯　　　　　　　丁丙正▯右以三角求边也。若三边求角，反此用之。若先有乙丙边，乙甲边，而求甲丙边，则为乙甲余▯【即次形丁角正▯】与乙丙余▯【即庚丙正▯】若半径【甲角即次形庚角】与甲丙余▯【即丁丙正▯】或先有乙丙边，甲丙边，而求乙甲边，则为甲丙余▯【即丁丙正▯】与乙丙余▯【即庚丙正▯】若半径【甲角即庚角】与乙甲余▯【即丁角正▯】或先有乙甲边、甲丙边，而求乙丙边，则为半径【甲角即庚角】与甲丙余▯【即丁丙正▯】若乙甲余▯【即丁角正▯】与乙丙余▯【即庚丙正▯】右皆以两弧求一弧，而不用角也。以上爲乙甲丙形，用次形之法。本形三边皆小一正角，偕两锐角；次形亦然。所以必用次形者，为三角求边之用也。是为正弧三角次形，第二用之第一支。

二己丙甲形【甲正角余二角丙钝己锐丙甲边小余二边并大】易为丁丙庚次形。

法曰：截己甲于壬，截己丙于庚，使己壬、己庚皆满九十度，作壬庚丁象限弧。又引丙甲边至丁，亦满象限，而成丁丙庚次形。此形有丁丙边为丙甲之余，有庚丙边为己丙之余【凡过弧内去象限其余度正▯即过弧之余▯故己丙内减己庚而庚丙为其余弧】有庚丁边为己角之余，乃角易为边也【庚与壬皆象限，即庚壬为己角之度，而丁庚为其余】又有丙锐角爲元形丙钝角之外角，有庚正角与元形甲角等【壬庚既为己角之弧，则壬与庚必皆正角】有丁角为己甲边之余【己甲过弧，以壬甲为余度，説见上文】乃边易为角也。

用法假如有甲正角，己锐角，丙钝角，而求丙甲边，法为丙钝角之正▯【即次形丙锐角正▯，盖外角内角正▯同用也】与己角之余▯【即次形丁庚边之正▯】若半径【即次形庚正角之正▯】与丙甲边之余▯【即次形丁丙边】

既得丙甲，可求己丙边。法为半径与丙角余▯若甲丙余切【次形为丁丙正切】与己丙余切【次形为庚丙正切】得数以减半周为己丙下同【凡以八线取弧角度者，若系大边钝角，皆以得数与半周相减命度，后仿此】求己甲边，法为己角之余▯【即庚丁正▯】与丙角之正▯若己丙之余▯【即庚丙正▯】与己甲之余▯【即丁角正▯其弧壬甲】

右三角求边又如，有己、甲、己、丙两大边，求丙、甲边。法为：己甲余▯【即丁角正▯】与己丙余▯【即庚丙正▯】若半径与丙甲余▯【即丁丙正▯】或有己甲、丙甲两边，求己丙大边。法为半径与丙甲余▯【即丁丙正▯】若己甲余▯【即丁角正▯】与己丙余▯【即庚丙正▯得数减半周为己丙，下同】或有丙甲己二边求己甲大边法为丙甲余▯与半径若己丙余▯与己甲余▯【即上法之反理】

右二边求一边以上己丙甲形，用次形之法。本形有两大边，一钝角；次形则边小，角锐，而且以本形之边易为次形之角，本形之角易为次形之边【后二形并同】是为正弧三角，次形第二用之，第二支。

三己丙戊形【戊正角，己钝角，丙锐角，己丙与戊丙并大边】易为丁丙庚次形。

法曰：以象限截己丙于庚，其余庚丙截戊丙于丁，其余丁丙为次形之二边，作丁庚弧，其度为己角之余【己钝角与外锐角同，以壬庚之度取正▯其余丁庚为己外角之余，亦即为己钝角之余】角易边也。次形又为元形之截形，同用丙角，又庚正角与戊角等，而丁角即己戊边之余度【试引己戊至辛成象限，则戊辛等壬甲，皆丁角之度，而又为己戊之余】边易角也。

用法假如有丙锐角，己钝角，偕戊正角，求戊丙边。法为丙角正▯与己角余▯【即庚丁正▯】若半径，与戊丙余▯【即丁丙正▯】得数减半周为戊丙【下同】既得戊丙，可求己丙。法为半径与丙角余▯若戊丙余切【即丁丙正切】与己丙余切【即庚丙正切】求己戊边，法为戊丙余▯【即丁丙正▯】与半径，若己丙余▯【即庚丙正▯】与己戊余▯【即丁角正▯】以上，己丙戊形三角，求边为正弧三角，次形第二用之，第三支。四乙丙戊形【戊正角，乙丙并钝角，戊乙，戊丙并大边，乙丙小边】易为丁丙庚次形。

法曰：引乙丙边至庚，满象限，得次形丙庚边【即乙丙之余】于丙戊截戊丁象限，得次形丁丙边【为戊丙之余】而丁即为戊乙弧之极【戊正角至丁九十度，故知之】从丁作弧至庚，成次形庚丁边，为乙角之余，是角易为边也【试引庚丁至辛，则辛丁亦象限，而辛为正角，庚亦正角，乙庚、乙辛皆象限弧，是庚丁辛即乙钝角之弧度内截丁辛象限，而丁庚为乙钝角之余度矣】又庚正角与戊等，丙为外角，丁角为乙戊边之余，是边易为角也【乙戊丙截乙辛象限，其余戊辛即丁交角之弧】

用法假如三角求边，以丙角正▯为一率，乙角余▯为二率，半径为三率，求得戊丙余▯为四率，以得数减半周为戊丙余，并同前。以上乙、丙、戊形三角，求边为正弧三角，次形第二用之，第四支。论曰：厯书用次形，止有乙、甲、丙形一例。若正角形有钝角及大边者，未之及也。故特详其法。又论曰：依第一用法，大边可易为小，钝角可易为锐，则第二、三四支皆可用第一支之法，而次形如又次形矣【己丙甲形，己丙戊形，乙丙戊形，皆易为乙甲丙形，而乙甲丙又易为丁丙庚，是又次形也】

正弧形，弧角相易。又法：用又次形。甲乙丙正弧三角形，易为丁丙庚次形，再易为丁戊壬形。

法曰：依前法，引乙丙边，甲乙边各满象限，至庚，至己，作庚己弧，引长之至丁，亦引甲丙防于丁，亦各满象限，成丁丙庚次形。又引丙庚至辛，引丙丁至戊，亦满象限。作辛戊弧，引之至壬，亦引庚丁，防于壬，则辛壬、庚壬亦皆象限，成丁戊壬。又次形，此形与甲乙丙形相当。论曰：乙丙边易为壬角【乙庚及丙辛皆象限内减同用之，丙庚则辛庚即乙丙，而辛庚即壬角之弧】乙甲边易为丁角【乙甲之余度己甲，即丁交角之弧】是次形之两角，即元形之两边也。乙角易为丁壬边【丁己及庚壬俱象限内减同用之，庚丁则丁壬即己庚，而为元形乙角之弧】丙角易为戊壬边【丙交之弧弧辛戊，其余为次形戊壬】是次形之两边，即元形之两角，而次形戊丁边，即元形丙甲；次形戊角，即元形甲角。

用法若原形有三角，则次形有戊直角，有戊壬、丁壬二边，可求乙甲边。法为乙角之正▯【即丁壬正▯】与半径，若丙角之余▯【即戊壬正▯】与乙甲之余▯【即丁角正▯】求乙丙边，法为乙角之切线【即丁壬切线】与丙角之余切【即戊壬正切】若半径与丙乙之余▯【即壬角余▯】既得两边，可求余边。以上，又次形三角求边，为正弧三角第二用之。又法。论曰：用次形，止一弧一角相易。今用又次形，则两弧并易为角，两角并易为弧。故于前四支并峙，而为又一法也。

第三斜弧三角易大为小　用次形【内分二支】

一甲乙丙二等边形　三角皆钝如法先引乙丙边，成全图。又引甲丙、甲乙两边出圜周外，防于丁。又引两边各至圜周【如戊，如己】成乙丁丙及戊甲己两小形，皆相似而等，即各与元形相当。而大形易为小形。论曰：次形【甲戊、甲己】二边为元形边，减半周之余则同一正▯。次形【己戊】二角为元形之外角，亦同一正▯【甲乙戊为甲乙丙外角，而与次形己角等；甲丙己为甲丙乙外角，亦与次形戊角等】而次形甲角原与元形为交角，戊己边又等乙丙边【戊乙丙及己戊乙并半周，各减乙戊，则戊己等乙丙】故算小形与大形同法，惟于得数后以减半周，即得大边及钝角之度【置半周减戊甲，得甲丙；减己甲，亦得甲乙。又置半周减己锐角，得元形乙钝角；减戊鋭角，亦得元形丙钝角。其交角甲及相等之戊己边，只得数便是，并不用减】

论曰：凡两大圈相交，皆半周，故丁丙与丁乙亦元形减半周之余，又同用乙丙，而乙与丙皆外角，丁为对角，故乙丙丁形与戊甲己次形等边等角，而并与元形甲乙丙相当。右二边等形，易大为小，为斜弧次形，第一用之，第一支。

二甲、乙、丙三边不等形，角一钝，二锐。

如法引乙丙作圜，又引余二边【甲乙，甲丙】至圜周【己，戊】得相当次形己甲戊【算戊甲得甲丙，算己甲得甲乙，算己戊得乙丙】其角亦一钝二锐【算戊钝角得丙锐角，算己鋭角得乙钝角，而甲交角一算得之】又戊甲乙形，角一钝二鋭。如法引戊乙作圜，又引乙甲至圜周【己】成次形己甲戊与元形相当【算己甲得甲乙，算己戊得戊乙，又同用戊甲边，故相当。算甲锐角得甲钝角，算戊钝角得戊鋭角，算己角即乙角】又甲己丙形，三角俱钝，如上法引丙己作圜，又引丙甲至戊成次形，己甲戊与元形相当【元形甲丙与戊甲，元形己丙与己戊，并减半周之余，又同用己甲，又丙钝角即戊钝角，甲己两锐角并元形之外角】右三边不等形，易大爲小，为斜弧次形。第一用之，第二支。

第四斜弧三角形弧角互易　用次形【内分三支】一乙甲丙形【三角俱钝】易为丑癸寅形【一钝二锐】

法曰：引乙甲作圜，次引乙丙至酉，引甲丙至未，并半周。次以甲为心，作丁辛癸寅弧；乙为心，作戊丑癸壬弧；丙为心，作丑子午寅弧。三弧交处，别成一丑癸寅形，与元形相当，而元形之角尽易为边，边尽易为角。论曰：甲角之弧丁辛，与次形癸寅等，则甲角易为癸寅边【丁癸及辛寅皆象限减，同用之辛癸则癸寅同丁辛】乙角之弧己壬，与次形丑癸等，则乙角易为丑癸边【癸己及丑壬皆象限减，同用之癸壬即丑癸同壬己】丙外角之弧午申【引丑午寅至申，取亥申与庚子等，成午申】与次形寅丑等，则丙外角易为寅丑弧【丑午及寅申皆象限各加，同用之午寅即午申等丑寅】是元形有三角，即次形有三边也。又甲乙边之度易为癸外角【乙己及甲辰皆象限内减，同用之甲己则乙甲同己辰为癸外角弧】甲丙边易为寅角【甲辛及丙子皆象限内减，同用之丙辛则甲丙等辛子而同为寅角之弧】乙丙边易为丑角【乙壬及午丙皆象限内减，同用之丙壬则乙丙等午壬而同为丑角之弧】是元形有三边，即次形有三角也。又论曰：有此法则，三角可以求边【既以三角易为次形之三边，再用三边求角法求得次形三角，即反为元形之三边三边求角法详别卷】又论曰：引丙甲出圜外至申，亦引庚亥弧出圜外，防于申，则庚亥与子申并半周内，各减子亥，即子庚同亥申而子寅既象弧，则寅申亦象弧矣。以寅申象弧加午寅，与以丑午象限【午壬为丑角之弧，故丑午亦象限】加午寅，必等而申午者，丙外角之度；丑寅者，次形之边也。故丙角能为次形之边也。又论曰：凡引弧线出圜外者，其弧线不离浑圜面幂，因平视故为周线所掩，稍转其浑形即见之矣。但所引出之线原为半周之余，见此余线时，即当别用一圈为外周，而先见者反有所掩。如见亥申，即不能见子庚，故其度分恒必相当，亦自然之理也。又论曰：依第三用法之第二支，丙未酉形及丙未乙形，丙酉甲形，并可易为甲乙丙，则又皆以癸丑寅为又次形矣。右三角俱锐形，弧角相易为斜弧次形。第二用之，第一支。二未丙酉形【三角俱钝】易为丑癸寅形【一钝二锐】

法曰：引酉未弧作圜，又引两边至圜周【如乙如甲】乃以未为心作丁辛癸寅辰弧，以酉为心作戊丑癸壬己弧，以丙为心作庚子丑寅午申弧，亦引丙甲出圜外，防于申，三弧相交成丑癸寅形，此形与元形相当，而角尽易为弧，弧尽易为角。论曰：未外角之弧丁辛，成次形癸寅弧【癸丁及寅辛皆象限内减同用之癸辛，则癸寅即丁辛】酉外角之弧壬己，成次形丑癸弧【壬丑及癸己皆象限各减癸壬，则丑癸即壬己】丙外角之弧申午，成次形寅丑弧【准前论庚亥及子申并半周，则申亥等子庚而申寅为象限，与午丑象限各减午寅，即寅丑同申午】是三角尽易为边也。酉未边成癸外角【酉戊及未丁皆象限各减未戊，则丁戊即酉未而为癸外角之弧；若以丁戊减戊乙己半周，其余丁乙己过弧亦即为癸交角之弧】未丙边减半周，其余甲丙成寅角【甲辛及子丙皆象限各减辛丙，则辛子即甲丙而为寅角之弧】酉丙边减半周，其余乙丙成丑角【午丙及壬乙皆象限各减丙壬，则壬午即乙丙而为丑角之弧】是三边尽易为角也【寅角丑角并原边减半周，则原边即两外角弧与酉未成癸外角等】故三角减半周得次形三边，算得次形三角，减半周得原设三边。右三角俱钝形，弧角相易为斜弧次形。第二用之，第二支。论曰：若所设为乙未丙形，则未角易为次形癸寅边【径用丁辛子形内以当癸寅，不须言外角】乙外角为丑癸边【亦以己壬当丑癸，与用酉外角同理】丙角为丑寅边【径以丙交角之弧甲午当丑寅，不言外角】若所设为甲酉丙形，则酉角易为丑癸边【己壬径当丑癸，不言外角】甲外角为寅癸边【用丁辛当癸寅，即甲外角】丙角为丑寅边【亦申午当丑寅，不言外角】又论曰：「此皆大边径易次形，不必复言。又次」三甲乙丙形【一钝角两锐角】易为丑癸寅形。

如法引甲乙边作全圜，引余二边各满半周。又以甲为心作丁壬癸丑辰半周，以乙爲心作戊庚辛癸寅亥弧，以丙为心作己午子丑寅夘弧。三弧线相交成丑癸寅次形，与元形相当，而角为弧，弧爲角。论曰：易甲角为次形丑癸边【于癸丁象限减壬癸成丁壬为甲角之弧，于丑壬象限亦减壬癸，即成癸丑边，其数相等】乙外角为次形癸寅边【于癸戊象限减癸辛成辛戊为乙外角之弧，于寅辛象限亦减癸辛，即成癸寅边，其数相等】丙角为次形丑寅边【于丑午象限减丑子成午子为丙角之弧，于寅子象限亦减丑子，即成丑寅边，其数相等】则角尽为边。又甲乙边为癸角【于甲丁象限、乙戊象限各减乙丁，则戊丁等甲乙而癸角角之弧】乙丙边成寅角【于乙辛及子丙两象限各减丙辛，则辛子等乙丙而为寅角之弧】甲丙边为丑外角【于甲壬及午丙两象限各减丙壬，则午壬等甲丙而为丑外角之弧】则边尽为角。右一钝角两锐角形，弧角相易为斜弧次形。第二用之，第三支。论曰：若所设为甲丙酉形【三角俱钝而有两大边】则以甲外角为次形丑癸边，酉外角为癸寅边，丙外角为丑寅边。又以三边为次形三外角【并与第二支未丙酉形三钝角同理】若所设为丙未酉形，乙未丙形【并一钝二锐而有两大边】皆依上法可径易为丑癸寅次形，观图自明。

甲乙丙形【三边并大，三角并钝】易为次形。

法以本形三外角之度为次形三边【午己为乙外角之度而与癸壬等，丑辛为甲外角之度而与癸寅等，申亥为丙外角之度而与寅壬等】以本形三边减半周之余为次形三角【甲乙减半周其余戊乙，或子甲而并与辰丁等，即癸角之度；甲丙减半周其余戊丙，而与丑庚等，即寅角之度；乙丙减半周其余子丙，而与午亥等，即壬角之度】并同前术。论曰：此即《厯学防通》所谓别算一三角，其边为此角一百八十度之余者也。然惟三钝角或两钝角则然，其余则兼用本角之度，不皆外角。右三角俱钝形，弧角相易同，第二支【惟三边俱大】子戊丙形【一大边，二小边，一钝角，二锐角】

其法亦以次形【癸壬癸寅】二边为本形【子戊】二角之度，寅壬边为丙外角之度，次形【寅壬】二角为本形二小边之度，癸角为大边减半周之度。论曰：此所用次形与前同，而用外角度者惟丙角。其子角戊角，只用本度为次形之边，非一百八十度之减余也。若设戊丙乙形、子丙甲形并同【戊丙乙形惟次形癸寅边为戊外角，其余癸壬边之度为乙角，寅壬边之度为丙角，则皆本度；子丙甲形惟次形癸壬边为子外角，其余寅壬边之度为丙角，癸寅边之度为甲角，则皆本度】右一钝角，二锐角，与第三支同【惟为边一大一小】

第五斜弧正弧以弧角互易【内分二支】

一甲乙丙形【甲乙边适足九十度余二边一大一小角一钝二锐】易为丑癸寅正弧形【癸正角余锐三边并小】

法曰：引乙丙小边成半周【于乙引至夘，补成丙乙夘象限；又于丙引至午，成丙辛午象限，即成半周】作夘亥庚丑寅午，以丙为心之半周【截丙甲大边于庚，使丙庚与丙乙夘等，乃作庚夘弧为丙角之度，即庚与夘皆正角；依此引至午，亦得正角而成半周，以丙为心】作甲丑癸辛戊，以乙为心之半周【引甲乙象限至戊，成半周；于甲、于戊各作正角聨之，即又成半周；而截乙辛成象限，与乙戊等，即辛戊为乙外角度；而此半周以乙为心】作乙壬癸寅弧，以甲为心【甲戊半周折半于癸，成两象限；从癸作十字正角弧，一端至寅，一端至乙，成癸乙象限；其所截甲壬亦象限，即乙壬为甲角之弧，而甲为其心】三弧线相交成一丑癸寅次形，与本形弧角相易而有正角。

论曰：次形丑寅边即本形丙角之度【丑夘及寅庚皆象限，各减丑庚，则丑寅即庚夘而为丙角之弧】癸寅边即甲角之度【寅壬及癸乙皆象限，各减癸壬，则癸寅即壬乙而为甲角之弧】癸丑边即乙外角之度【丑辛及癸戊皆象限，各减癸辛，则丑癸即辛戊而为乙外角之弧】是角尽易边也。又寅角为甲丙边所成【庚丙及壬戊皆象限，各减丙壬，则寅角之弧庚壬与甲丙减半周之丙戊等】丑角为乙丙边所成【午丙及辛乙皆象限，各减辛丙，则丑角之弧午辛与乙丙边等】癸正角为甲乙边所成【癸正角内外并九十度，而甲乙象限为癸外角弧，若减半周则乙戊象限为癸交角弧】是边尽为角而有正角也。又辰、戊、丙形【辰、戊边象限，余并同前】易为正弧形【并同前法，观图自明】

乙丙戊形【乙戊边足一象限余并小】易为正角形，则丑寅度即丙外角，丑癸度即乙角，寅癸度即戊角。是角为边也。又寅角生于丙戊，丑角生于乙丙，癸正角生于乙戊，是边为角。

辰甲丙形【辰甲象弧余二边大三角并钝】易为正角形，则丑寅边为丙外角，丑癸边为辰外角，寅癸边为甲外角，角为边也。又寅角生于甲丙，丑角生于辰丙，而癸正角生于辰甲【并准前条诸论推变】是边为角，而且有正角也。

右本形有象限弧，即次形有正角，而斜弧变正弧，为弧角互易之第一支。

丙乙甲形【丙正角余两锐角相等边三小相等者二】易为己癸壬次形【角一钝二锐，锐相等】

法以甲为心作寅己丑半周，则甲角之度【子寅弧】成次形一边【己壬】以乙为心作夘己午半周，则乙角之度【夘辰弧】成次形又一边【己癸】此所成二边相等；以丙为心作亥癸壬未半周，则丙角之度【癸壬象限】即为次形第三边。依法平分次形，以己壬酉形求壬角，得原设甲丙边【壬角之度癸子与甲丙等】乙丙边【壬癸两锐角原同度，而癸角之度辰壬与乙丙等，故一得兼得也】求半己角，倍之成己角，以减半周，得原设乙甲边【己外角之度午寅或丑夘，并与乙甲等】论曰：本形有正角，次形无正角，而有象限弧。得次形之象限弧，得本形之正角矣。若设丙戊丁形【丙正角两钝角同度二大边同度一边小】易为己癸壬次形，与上同法，惟丁戊用外角。若设甲丙戊形【丙正角余一锐一钝而锐角钝角合成半周边二大一小而小边与一大边合成一半周】易为己癸壬次形，亦同上法，惟甲用外角，戊用本角，而同度所得次形之边亦同度【甲外角之度子寅成次形巳壬边，戊本角乏度辰夘成次形己癸边，而四者皆同度】其转求本形也，用次形之壬角得甲丙，以减半周，即得丙戊【或乙丙丁形亦同】右本形有正角，而次形无正角，爲弧角互易之第二支。或三角形无相同之边角而有正角【其次形必有象限边】或无正角而有相同之边角【其次形亦有等边等角】准此论之。

次形法补遗【角一，锐一，钝边二，大一小】

附算例　三角求边　三边求角甲乙丙形【甲角一百二十度，乙角一百一十度，丙角八十五度，为一锐二钝】三角求边。

如法易为丑寅癸次形【癸寅边六十度当甲角，丑癸边七十度当乙角，寅丑边当丙角，并以角度减半周得之】求甲乙边【即次形癸外角】法，以【甲乙】两角正▯相乗，半径除之，得数【八一三八○】为一率，半径【一○○○○○】为二率【甲乙】两角相较【十度】之矢与丙角减半周【九十五度】大矢相较，得数【一○七一九七】为三率，求得四率【一三一七二四】爲次形癸角大矢，内减半径成余▯【三一七二四】捡表得癸外角【七十一度三十分】为甲乙边【本宜求癸角以减半周得甲乙，今用省法亦同】论曰：三角求边而用次形实，即三边求角也。故其求甲乙边，实求次形癸角。得癸角，得甲乙边矣。然则两角正▯仍用本度者，何也？凡减半周之余度，与其本度同一正▯也【甲角一百二十度之正▯八六六○三，即次形癸寅边六十度之正▯乙角一百一十度之正▯九三九六九，即次形丑癸边七十度正▯】独丙角用余度大矢，何也？正▯可同用，而矢不可以同用也【丙以外角易为次形丑寅边九十五度，其大矢一○八七一六；而丙角本八十五度，是锐角，当用正矢，故不可以通用】然则两角较矢，又何以仍用本度？曰：两余度之较与本度同故也【甲角乙角之较十度，所易次形之癸寅边丑癸边，其较亦十度】所得四率为大矢，而甲乙边小，何也？曰：余度故也【甲乙边易为癸外角，而四率所得者癸内角也，故为甲乙减半周之余度】用余度宜减半周命度矣，今何以不减？曰：省算也，虽不减犹之减矣【四率系大矢，必先得癸外角七十一度半，以减半周得癸内角一百○八度半，再以癸内角减半周，仍得七十一度半为甲乙边；今径以先得癸外角之度为甲乙边，其理无二】求甲丙边，如上法，以边左右两角正▯【甲八六六○三，丙九九六一九】相乘，半径除之，得数【八六二七三】为一率，半径【一○○○○○】为二率【甲丙】两角相较【三十五度】矢【一八○八五】与乙外角【七十度】矢【六五七九八】相较，得数【四七七一三】为三率，求得甲丙边半周余度之矢【五五三○四】为四率【捡表得六十三度二十七分】以减半周，得甲丙边【一百一十六度三十三分】论曰：此亦用次形三边求寅角也【以甲角所易癸寅边丙角所易寅丑边为角旁二边以乙角所易丑癸边为对角之边求得寅角之度辛子与酉丙等即甲丙减半周余度】求乙丙边。如法以边左右两角正▯【丙九九六一九乙九三九六九】相乘，半径除之，得数【九三六一二】爲一率，半径【一○○○○○】为二率【丙乙】两角较【二十五度】矢【○九三六九】与甲外角【六十度】矢相较【四○六三一】爲三率，求得余度矢【四三四○三】为四率【捡表得五十五度三十二分】以减半周得乙丙边【一百廿四度廿八分】论曰：此用次形三边求丑角也【丙角易寅丑边，乙角易丑癸边，为角旁二边；甲角易癸寅为对边，求得丑角度午壬，与未丙等，即乙丙边减半周余度】又论曰：此所用次形之三边三角，皆本形减半周之余度【甲乙同己辰，即癸外角度，则次形癸角为甲乙边之半周余度也；寅角之度子辛，与酉丙等，甲丙边之余度也；丑角之度午壬，与未丙等，乙丙边之余度也。是次形三角皆本形三边减半周之余度矣。其次形三边爲本形三角减半周之余，己详前注】故所得四率为角之大小矢者，皆必减半周然后可以命度。若他形则不尽然，必须详审。

如甲未丙形【甲角六十度丙角九十五未角一百一十】易丑寅癸次形，则其角易为边。用本度者二【甲角弧丁辛六十度易次形癸寅边，丙角弧申午九十五度易次形寅丑边】用余度者一【未角弧壬戊一百一十度，其半周余度己壬七十度易次形丑癸边】而其边易为角，用本度者二【未丙边五十五度三十二分与午壬等，成次形丑角；甲未边余度未酉七十一度三十分与丁戊等，成癸外角，则次形癸角一百○八度三十分为甲未边本度】用余者者一【甲丙边一百十六度三十三分，其余度酉丙六十三度二十七分与辛子等，成次形寅角】若一槩用余度算次，岂不大谬？又如乙丙酉形【乙角七○丙角九五酉角一二○】用【癸寅丑】次形【前图】求丙酉边。如法以边左右两角正▯【丙九九六一九酉八六六○三】相乗，去末五位得数【八六二七三】为一率，半径【一○○○○○】为二率，以【酉外角丙角】相差【三十五度】矢【一八○八五】与乙角矢【六五七九八】相较【四七七一三】爲三率，求得正矢【五五三○四】为四率【次形寅角之矢】捡表得六十三度二十七分，为丙酉边。论曰：此所用四率与前条求甲丙边之数同，而边之大小迥异，一为余度，一为本度也【前条为余度之矢，故甲丙边大；此条为本度之矢，故丙酉边小】又所用矢较亦以不同而成其同【前条以两角相差，此则以酉外角与丙角相差不同也；而相差三十五度则同。前条用乙外角之矢，此条用乙本角又不同也；而矢数六五七九八则同】其理皆出次形也。求酉乙边，如法以两角正▯【乙九三九六九酉八六六○三】相乗去末五位【得八一三八○】为一率，半径为二率【酉外角乙角】相差【十度】之矢与丙角【九十五度】之矢相较【得一○六一九七】为三率，求得大矢【次形癸角之矢】为四率【一三一七二四】捡表【得一百○八度三十分】为酉乙边【此与前条求甲乙边参防即见次形用法不同之理，如前所论】求乙丙边，与前条同法【因丙乙两内角之正▯及差度并与两外角同，而酉角又同甲角故也】论曰：三角求边，必用次形；而次形之用，数得数并，有用求度，余度之异，即此数条，可知其槩。又论曰：「在本形为三角，求边者，在次形为三边，求角，故此数条即三边求角之例也【余详《环中黍尺】

垂弧捷法【作垂弧而不用其数，故称捷法】亦为次形双法【用两次形，故称双法】设亥、甲、丁形，有甲亥边、亥丁边、亥角【在二边之中】求甲丁边【对角之边】

本法作垂弧分两形，先求甲已边，次求亥已边，分丁巳边，再用甲巳、丁巳二边求甲丁边。今捷法，不求甲、已边，但求亥、已边。分丁、已边，即用两分形之两次形，以径得甲丁。

一　亥已余▯　即次形亥戊正▯二　亥甲余▯　即次形亥丙正▯三　已丁余▯　即次形辛丁正▯四　甲丁余▯　即次形庚丁正▯法引甲亥边至丙，引甲丁边至庚，引甲已垂弧至乙，皆满象限。又引分形边亥已至戊，引丁已至辛，亦满象限。末作辛庚乙丙戊半周，与亥已遇于戊，与丁已遇于辛。成亥丙戊次形，与甲已亥分形相当；丁亥辛次形，与甲已丁分形相当。而此两次形又自相当【戊角、辛角同以己乙为其度，则两角等；丙与庚又同为正角，则其正▯之比例皆等】论曰：半径与戊角之正▯，若戊亥之正▯与亥丙之正▯。又半径与辛角【即戊角】之正▯，若辛丁之正▯与丁庚之正▯。合之，则戊亥正▯与亥丙正▯，亦若辛丁正▯与丁庚正▯。又论曰：辛、丁、已、亥、戊如黄道半周；辛、庚、乙、丙、戊如赤道半周；甲如北极，辛如春分，戊如秋分，已、乙如黄赤大距，即夏至之纬，乃二分同用之角度【即戊角、辛角之度】亥、丙及丁、庚皆赤纬，甲、亥及甲、丁皆距北极之度【即赤纬之度】一、戊亥正▯，黄经。戊亥为未到秋分之度，辛二。亥丙正▯，赤纬。丁为已过春分之度，似有三。辛丁正▯，黄经。不同，而二分之角度既同四。丁庚正▯，赤纬。故其比例等。

一　亥已余▯　　即亥戊正▯二　亥甲余▯　　即亥丙正▯三　已丁余▯　　即戊丁正▯四　甲丁余▯　　即庚丁正▯论曰：此理在前论中，盖以同用戊角，故比例同也。又论曰：乙庚丙戊如赤道，已丁亥戊如黄道，皆象弧戊角如秋分，其弧己乙如夏至距纬【此两黄经并在夏至后秋分前，其理易见】或先有者是丁钝角，甲丁、丁亥二边，则先求丁巳线【亦用前图】一丁已余▯即戊丁正▯二　甲丁余▯　　即丁庚正▯三　亥已余▯　　即亥戊正▯四　亥甲余▯　　即亥丙正▯又论曰：假如星在甲，求其黄赤经纬，则亥丁如两极之距。亥角若为黄经，则丁角为赤经，而亥甲黄纬，丁甲赤纬也。若丁角为黄经，则亥角为赤经，而丁甲黄纬，亥甲赤纬也【弧三角之理，随处可施，故举此以发其例】