解几何二卷第九题

解几何二卷第九题

甲丙为股　丁丙为句丁甲句股和　乙丁句股较　壬庚为句幂　辛丙为股幂　丑丁较幂　丁癸和幂　戊巳线上方为句幂之倍　戊甲上方为斜线上方倍于元方图，股幂之倍并和较幂，倍大于句幂，股幂之并，古法倍▯幂内减句股和幂，开方得较，若减较幂亦开方得和，即其理也。

论曰己丁较上方与丁甲和上方并之即己甲上方也戊巳线上方与戊甲线上方并亦即巳甲上方也，而戊巳为句幂，斜线戊甲为股幂，斜线凡斜线上方形倍于原方，故较幂并和幂亦倍大于句幂股幂之并也，而句幂股幂并之即▯幂，古人所以用倍▯幂也。

此第十题与前题同法　甲丙即句　丁丙即股　丁甲全线即和　丁乙引増线即较准前论丁庚【即丁乙】较上方幂与丁甲和上方幂并成庚甲线上幂，而庚甲幂内原兼有丙丁股【即巳戊，亦即己庚】及丙甲句二幂【己壬为股幂，辛丙为句幂】之倍数【庚戊为股斜线，其幂必倍于股幂，戊甲为句斜线，其幂必倍于句幂】故庚甲幂内能兼戊庚及戊甲二幂。

丙丙线皆▯也丙丙方▯幂也，甲丙之长者，皆股也【亦即丙丁】丁】甲丙之短者皆句也【亦即丙丁】丁丁线句股较也丁丁小方较幂也，甲丙甲，句股和也，甲甲，大方和幂也。丁甲长方，皆句股相乗，即倍句股形积也。合而观之，则▯幂内有句股积四及较幂一也。和幂内有句股积八及较幂一也。若倍▯幂，则有句股积八及较幂二也。故以和幂减倍▯幂，得较幂。若以较幂减之，亦得和幂矣。

以句股法解理分中末线之根即几何二卷第十一题，六卷第三十题，四卷第十、第十一题。古法句▯较，癸庚▯，其鼏庚乙，丙癸。

乘句▯和开　　　　　句　其鼏丙戊方得股之图，引庚甲▯至壬，使甲壬如丙。

癸句则庚壬为句▯和丙庚原为句▯较　以较乗和成丙壬长方　长方内截甲丁小长方与戊辛等　其余庚辛合而观之，是▯鼏内兼有句▯较乗和之积及句鼏也。夫▯鼏内原有句股二鼏，而今以句▯较乗和之积可代股鼏，是句▯较乗和即同股鼏也。

句▯和及股　　　　用法及句▯较为，有句▯和，有句▯较。连比例图。求股法，以较乗和，开方得股。

或有股有句▯和求句求▯法以股自乗为实以句▯和除之得较以较减和半之得句句加较得▯若先有较以除股鼏亦得和矣如图，丙戊丁句股形，丙丁▯与丁乙等【亦与丁庚等】丁戊句，亥戊为倍句，乙戊为句▯较，与庚亥等，戊庚为句▯和，与亥乙等。

亥巳为句股和乗句▯较之积与戊癸等丙戊股　其方鼏甲丙准前论甲丙方与亥巳长方等积【戊癸亦同】则庚戊和与丙戊股若丙戊股与戊乙较也。一句▯和庚戊二　股　　　丙戊三　股　　　丙戊四　句▯较　戊乙以戊乙较减亥乙和，余亥戊倍句折半为句【丁戊或丁亥】或戊乙较与丙戊股，若丙戊股与庚戊和也。

一　句股较　戊乙二　股　　　丙戊三　股　　　丙戊四　句股和　庚戊又论曰：「以二图合观之，凡倍句加句▯较，即句▯和；以倍句减句▯和，余即句▯较。」此不论句小股大，如前图；或句大股小，如后图，并同。此可以明倍句与句▯较，必为句▯和之两分线。故以句▯和为全线，则其内兼有倍句及句▯较之两线矣。但倍句有时而大于较，有时而小于较，故不能自为。

连比例而必借股以通之今于句▯和全线内取倍句如股，则先以股线为和较之中率者。今以如股之倍句当之，而倍句原系句▯和全线之大分。于是和与倍句之比例，若倍句与较，亦即为全与大分。若大分与小分，此理分中末线所由出也。下文详之。

丙戊线上取理分中末线先以丙戊线命为股以丙戊折半成丁戊命为句取丙丁▯与丁乙等则戊乙为句▯较变股为倍句成，亥戊倍句与丙戊股等。以理分中末线图，加较成亥乙，即句▯和。

亥巳为和较相乗积与丙亥股鼏等【丙亥为丙戊股之方，即为亥戊倍句之方】准前论，亥乙和与丙戊股。

若丙戊股与戊乙较今亥戊即丙戊则又为亥乙和与亥戊倍句，若亥戊倍句与戊乙较也。夫亥乙者，全线也。亥戊，其大分；戊乙，其小分也。合之，则是全线与其大分；若大分与其小分。论曰：此以丙戊股线为理分中末之大分，而求得其全线亥乙，与其小分戊乙也。而大分与小分之比例，原若理分中末线，全线与大分，故即可以丙戊。比例图。大分为全线，而以小分戊子。【即戊乙也】为大分，则子丙自为小。

分矣以亥乙为全线【亥戊大分即丙戊亦即乙】

【甲　戊乙小分即戊子】亥乙与乙甲【即亥戊大分】若亥戊与子戊也【即亥戊与戊乙】理分中末线，此用亥乙甲大句股比亥戊。

相生不穷图　　　　子小句股若丙戊为全线则又戊子为大分【亦即子巳】子丙。为小分【亦即巳甲】为亥戊与戊子。【即丙戊与戊子】若子巳与巳甲也【即子戊与子丙】此用亥戊子大句股，比子巳甲小句股。亥戊与戊乙，若戊子与子丙，又相视之理也。

又若子巳为全线则子庚又为大分，庚巳又为小分。其法但于大分子巳内截取子庚，如小分丙子作丙庚小方，则戊子【即子巳】与子丙，若子庚与庚巳。

似此推之可至无穷