句股阐微卷一

句股阐微卷一

句股正义首题句股▯者，横曰句，纵曰股【亦可云勾纵，股横】斜曰▯。三线相聨而成句股▯形也。如图甲乙丙形，甲乙为股，乙丙为句，甲丙为▯。亦可云【甲乙为句，乙丙为股】也。凡三角形，或三角俱鋭，或两鋭一钝，或两鋭一正【鋭钝正説具三角形算法中】句股▯形者，两鋭一正形也。其句股两线纵横相遇而成者，为正角，如乙防；句▯两线及股▯两线相遇而成者，为鋭角，如甲丙两防。此三线者，或三线俱不等，其最大者必▯；或两线等，其等者必句股，而无三线等。何者？以句股▯形一角正故也。

一题句股求▯法曰：句股各自乘，并之，开方得▯。如图，甲乙句自乘，得乙丁方；乙丙股自乗，得乙戊方。两方相并，即甲巳方。开之，得甲丙▯。论曰：试移庚实形补辛虚形，移丑实形补卯虚形，移壬实形补子虚形，移卯午实形补壬辰虚形。所移者恰尽，所补者恰足，得乙丁与乙戊两方，并恰与甲巳方等。又论曰：更以句与股相等之形观之。夫句与股既等，则句股各自乗固方也，即句股互相乗亦方也【凡句股不等，则句股互相乗必是矩形】如丁戊大方平分方边于方形中，纵横作线中分四小方形必等，又句与股既等，则▯上方边为句股各自乗，两方之对角线亦为句股互相乗，两方之对角线，如于四小方形中作四对角线相聨而成一中方形也。此中方形者，割小方形四之半，即涵小方形二之全，就此图观之，尤为明显。又法曰：句与股相乗，倍之，另以句股差自乗，并入倍数，开方得▯。论曰：甲乙股，乙丙句，相乗得乙丁矩形，中分为庚戊两形。夫庚形即辛形也，倍之者再，加癸卯两形也。乙丙为句，丙巳为股，乙巳为句，股差自乗得乙子方，并入倍数，共成甲壬方，为甲丙▯上方也。又法曰：句自乗，倍股，依长濶相差法求之，得股▯差，加股为▯。论曰：甲乙丙，句股形。甲丙，▯也。丁已，亦▯也。丁戊，▯上方也。乙丙，股也。乙壬，亦股也。乙子，股上方也。余乙戊子，磬折形，即句自乗之数也。而已壬矩，与乙丑矩等，即丙戊矩亦。句自乗之数也。此丙戊矩形中，乙丙为股，加乙壬为倍股，曰长濶相差者，丙午为长，午戊为濶，与壬午等，即壬丙倍股为长濶之差也。依法求之，得壬午为股▯差。

二题句▯求股法曰：▯自乗，内减句自乗，余开方得股。论曰：一题，句股求▯，苐一法。句股各自乗，并之，即▯自乗数。则▯自乗数中有句股各自乗之数也。今于▯自乗数中减去句自乗，所存者，即股自乗数矣。就一题之图观之，自见。又法曰：句▯相并，得数；相减，得数；两数相乗，得数；开方，得股。如图，甲乙丙句股形，乙丙句，甲乙股，甲丙与乙丙相并，即乙丁线，相减即乙巳线【乙巳与乙子等】两线【乙丁，乙子】相乗，得子丁矩，即甲乙股上方论曰：己午方者，已丙线上方，即甲丙▯上方也。内减子午形为乙丙句上方，所存卯巳未磬折形，即甲乙股上方矣。而巳未矩又与丁卯矩等，则丁子矩形，即卯巳未磬折形矣，亦即甲乙股上方矣。又法曰：句自乗，倍▯，依长濶相和法求之，得股▯差，用减▯，得股。论曰：甲乙丙，句股形。甲丙，▯也。丁己，亦▯也。丁戊，▯上方也。乙丙，股也。乙壬，亦股也。乙子，股上方也。余乙戊子，磬折形。即甲乙句自乗之数也。而己壬矩与乙丑矩等，即丙戊矩亦甲乙句自乗之数也。此丙戊矩形中，乙午为▯，乙丙并午戊为倍▯，曰长濶相和者，丙午为长，午戊为濶，即丙午午戊并为长濶相和也。依法求之，得壬午为股▯差。

三题股▯求句法同二题句▯求股附长濶相和法如图，丁乙矩形积九百七十二尺，丁甲为长，乙甲为濶，两边之和共六十三尺，求甲丁、甲乙二边各若干。法以和数自乗得三千九百六十九尺，次以积四倍之，得三千八百八十八尺，与和自乗相减，存八十一尺，开方得九尺【即丁甲乙甲二边之较数】以与和【六十三尺】相并，折半得三十六尺，为甲丁长边，又与和相减，折半得二十七尺，为甲乙矩边长濶相差法【图同上】丁乙矩形积九百七十二尺，甲乙为濶，戊乙为长，丙戊九尺【乙丙即甲乙】为长濶相差数，甲乙、戊乙二边各若干？法：以较数【九尺】自乗，得八十一尺；次以积四倍之，得三千八百八十八尺，与较自乗相并，得三千九百六十九尺，开方得六十三尺【即戊乙、甲乙二边之和数】以与较九尺相并，折半得三十六尺，为戊乙长边；又与较【九尺】相减，折半得二十七尺，为甲乙短边。解曰：甲午矩形，作乙丙对角线，成甲乙丙句股形。甲丙长句也，甲乙濶股也，丙丑长濶和也【甲丑即乙甲】自乗得丙。子大，方四倍矩，积也，并大方内，戊丁。庚辛四矩形之积【大方内所容四矩俱与元形等，如丙壬矩即甲午矩，其八句股形亦俱等元形】相减，存己壬小。方开方得巳未边，即甲乙、甲丙二边之较数也【卯亥即甲乙股，卯壬即甲丙句，则壬亥为两边较数，即长濶相差也】既得较数，与所有和数相加减，得甲乙、甲丙二边矣。若长濶相差法，是先有巳未较数，故以上法反用之，求得丙丑。和得丙丑，亦得甲乙与甲丙矣。

四题▯与句股较求句股法曰：▯自乗，倍之，较自乗，用减倍数，余开方得句股和。于是和加较半之，得长股；和减较半之，得短句。论曰：甲乙丙，句股形。甲乙，句也；乙丁，句上方也。乙丙，股也；丙戊，股上方也。两方并，共为▯上方。辛壬，亦句上方。庚已亦股上方两方并亦共为▯上。方此即▯自乗倍之之数也，而两句。方两股方并为丙己大方则中间重。叠庚戊方矣，此何方乎？曰：戊子，即句股较也。庚戊方，即较上方也。减之而重叠者去矣，所存者为句股和上方矣。故开之，得丙丑为句股和也。又法曰：▯自乗，内减较自乗，余半之，以较为长濶相差法求之，得短句，加较得长股。论曰：甲乙丙，句股形。甲丙，▯也。甲丁，▯上方也。巳子，较也。己丑，较上方也。两方相减，余壬辛、午未四形半之余，午未二。形而午，形又即戊形，则是余未戊二形也。此未戊二形者，句股矩内形也。故以巳子较，用长濶相差法求之，得子丙短句，句加较得巳丙长股。

五题股与句▯较求句▯法曰：股自乗，内减较自乗，余半之，以较为法，除之得句。句加较得▯。论曰：甲乙丙句股形，甲丙▯也，甲丁▯上方也，甲巳较也，甲戊较上方也。庚甲辛磬折形，股自乗数也，内减甲戊较上。方所余丙戊、戊壬两形，即为句与句▯较矩内形者二矣。取其一，如丙戊形，以戊己较除之，得己丙句【或不用折半倍较为法除之，亦同】又法曰：股自乗，以较为法，除之，得句▯和。于是加较，折半，得▯；减较，折半，得句。论曰：甲乙丙句股形，甲丙▯也。甲丁▯上方也。丙己亦句也。丁戊句上方也。所余庚甲辛折形，即股自乗数也。而壬辛形与戊丙形等，即壬己矩形，亦股自乗数也。以甲巳较除之，得甲壬为句▯和也。又法曰：股自乗，较自乗，相并，倍较为法，除之得▯。▯减较，得句。论曰：甲乙丙句股形，甲丙▯也。甲丁▯上方也，丁己为句上方，即戊甲辛磬折形为股上方矣。又己丙矩与庚壬矩等。即甲辛子，磬折形亦股上方也。加甲子，较上方，共得辛丑矩形。其庚辛边即是倍较。

六题句与股▯较求股▯法同五题七题▯与句股和求句股法曰：▯自乗，倍之内减句股和，自乗，余开方得句股较。于是，较加和，半之得长股；较减和，半之得短句。论曰：甲乙丙，句股形。丙丁，句股和也。丁子，和上方也。丁午未子，两句上方。丙丑壬巳，两股上方。此即▯自乗倍之之数。也以较丁子和，上方则其中重叠一壬丑方矣。而此方之边，即是句股较。又法曰：句股和自乗，内减▯自乗，余半之，以句股和用长濶相和法求之，得句股。论曰：丙丁为句股和，丁巳为和上方，午乙壬磬折形，即▯上方。两方相减，余午丑壬磬折形，分为午丑及丑壬两形，形。

之两边即句股八题股与句▯和求句▯法曰：句▯和，自乗内减股自乗，余半之，以句▯和除之，得句。用减句▯和得▯【或不用折半，倍句▯和除之，亦同】论曰：甲乙丙句股形，甲丁为句▯和，甲巳为和上方。又甲午为▯上方，甲子为句上方，即未午壬磬折形，为股自乗，而子丙矩与午辛矩等，即戊辛矩形，亦股自乗也。于和方中减之，所存者为未丁及戊己两矩形矣。形之一边如甲丁，即句▯和，其一邉如甲未，即句。又法曰：股自乗得数，以句▯和除之，得句▯较。于是用加句▯和半之，得▯；用减句▯和半之，得句。论曰：甲乙丙，句股形。甲丁句，▯和也。甲戊，▯上方也。戊己，句上方也。即午甲未，磬折形，为股自乗矣。而卯巳矩，与午丁，矩等即甲子矩形，亦股自乗矣。形之甲丁边，即句▯和；丁子边，即句▯较。又法曰：句▯和，自乗，股自乗，相并，倍和为法，除之，得▯。▯减和，得句。论曰：甲丁为句，▯和甲戊为和，自乗。戊丑，为句。今试依庚戊矩，作丁卯矩。即卯甲丑，磬折形亦和，自乗矣。又甲。巳为▯，上方未壬为句，上方即未己壬，磬折形为股，自乗矣。而壬子矩与子丑矩等，即未丑矩亦股自乗矣。然此犹在和自乗数中也，今另加一股自乗，如丑卯矩并。前卯甲丑，磬折形共成一庚癸矩形。即为两自乗相并之数，形之甲癸邉。即句▯和之，倍形之甲庚边，即是▯。

也九题句与股▯和求股▯法同八题十题句▯较股▯较求句股▯法曰：先以两较相减，得即为句股较。次以两较各自乗，相并内减句股较自乗，余开方得▯和较【和句股和也】于是加股▯较得句，加句▯较得股。以句▯较加句，或以股▯较加股得▯。论曰：甲乙丙句股形，甲丙▯也，甲巳即股也，巳丙股▯较也，甲壬即句也，壬丙句▯较也，壬己句股较也。今试引甲壬句至丁，令甲丁为句股和，即丙丁为▯和较也。次作甲戊为和，上方午未为句▯较上方，午子为股▯较上方【即庚辰方】两较上方相并，共为午未辰磬折形内减。未子句股较上方，余辰午癸，磬折形。即戊午，▯和较上方，何则？试观丑午。已磬折形，句上方也。子戊形，亦句上。方也，今于丑午、已磬折形中减丑申及辛巳两矩形，即是于子戊形中减卯子亥磬折形也。然则所余之辰午癸磬折形，非即戊午方乎？又法曰：两较相乗，倍之，开方，亦得▯。

和较以下同前法论曰：甲乙丙句股形，试引甲丙至丁。得甲丁为句股和，甲戊为和上方【甲未股未丁句】丁子己子句也，丁辛己壬▯也，子辛子壬句▯较也，未子亥子股也，未申亥卯▯也，子申子卯股▯较也。然则卯辛与申壬两矩形，即是两较相乘倍之之数也。此两矩形者，即戊午▯和较上方【丙丁为▯和较】何则未申亥磬折形句实也，子戊方形亦句实也。今试于未午亥磬折形减辛丙庚亥两矩形【辛未及亥壬皆是▯和较】及子午方，即是于戊子方中减癸子丑磬折形也。然则卯辛与申壬两矩形，非戊午方乎？

十一题句股较，句▯较，求句股▯【句短股长，看此题】法曰：先以两较相减，得即为股▯较。次以两较各自乗，相减余为实，倍股▯较为法，用长濶相差法求之，得句。句加句股较，得股。句加句▯较，得▯。论曰：甲乙丙，句股形。丙乙，股；丙戊，句。丙巳，▯戊，乙，句股较戊己，句▯较乙。巳股▯较乙丁亦为句，丙丁为句股。和丙庚为和，上方辛壬为句股较，上方辛子为句▯较，上方两较，上方相减，余丑子午磬折形。夫乙子卯磬折形，句实也；壬庚方亦句实也。今于壬庚方中作未庚、未申两矩形，与己丑、寅卯两矩形等，即所余壬申形与丑子午磬折形，等矣。于是依壬申形作。壬亥形，此形壬酉为长，壬癸为濶，与壬辰等，即辰未未酉为股▯较之倍。

为长濶之差按此法，句股较、句▯较相减，得股▯较，即三较皆备矣。十题第一法，句▯较、股▯较相减，得句股较，即三较亦皆备矣。既皆备三较，则法可互用，特以就题立法，则法固各有攸属耳。

十二题句股较，股▯较，求句股▯【股短句长，看此题】

法同十一题十三题句▯和股▯和求句股▯法曰：两和各自乗相并，两和相减，即为句股较，自乗用减相并数，余开方为▯和。和【▯和，▯也；句股和也。▯和和，▯与句股和相并也】于是内减句，▯和得股；内减股，▯和得句；内减句股，得▯。论曰：甲乙丙，形；甲乙，股也。丁乙，股。▯和也，乙午股▯和，上方也，乙丙。句也，丙子句▯和也，丙未句▯和。上方也，甲丙▯也，丙丑股也，丑巳。句也，甲己▯和，和也，甲壬▯和，和。上方也，乙午丙未两方，并较甲壬。方则两方多一句股较自乗之数，何则？试观甲壬方中，▯股句三方，即乙午丙末两方中，▯句股三方也。甲壬方中，股▯矩二，句▯矩二，即乙午丙未两方中，股▯矩二，句▯矩二也，无或异也。所异者，惟甲壬方中余句股矩二，与乙午丙未两方中余▯方一，则▯方一与句股。矩二其较为句股较上方何则试观另图，甲丙▯也。甲丁▯，上方也。甲乙，股也；乙丙，勾也。甲乙丙，形句。股矩形之半也，而丙巳丁，丁子丑。丑午甲三形皆与甲乙丙形等共。四形即得句股矩之二也，中余乙巳子午方，即句股较上方，然则乙午、丙未两方并，较甲壬方不多一句股较上方乎？故于两方中减之，即得甲壬方也。又法曰：两和相乗，倍之，开方得▯。

和和以下同前法论曰：甲乙丙形，乙丁股▯和也。丁午句▯和也。乙午两和，矩内形也。丙子句▯和也。丙辛股▯和也。丙未两和，矩内形也。甲丙▯也。丙丑股也。丑巳句也，甲己▯和，和也，甲壬▯和。和上方也，乙午丙未两矩形与甲。壬方形等者，两矩形中有两▯方。甲、壬、形中有▯方，一股方，一句方。一，亦即两▯方也。两矩形中有股。▯矩二句，▯矩二句，股矩二甲壬形，亦有股▯矩二句，▯矩二句，股矩二也。然则乙午、丙未两矩形，不与甲壬方形等乎？」

十四题句股和句▯和求句股▯法曰：先以两和相减，得即为股▯较。次以两和各自乗，相减余为实，倍股▯较为法，依长濶相差法求之，得句。句减句股和，得股；句减句▯和，得▯。论曰：甲乙丙形，甲丁句▯和也；甲戊句▯和，上方也；巳丁句股和也；子戊句股和，上方也。两和之较，为甲巳两方之较。为壬甲丑磬折形，此形中，午甲未磬折形，句实也。癸戊方形，亦句实也。夫癸戊方形与壬甲丑磬折形，其余为辛未午丁两矩形。今试作癸寅、寅申两矩形与之等，即戊申矩形与壬甲丑磬折形等矣。此戊申矩形，戊庚为濶，即句，与庚癸等；癸卯、卯申为倍数，为长濶之差。

十五题句股和股▯和求句股▯法同十四题十六题句股▯形中求容方先论曰：凡于句股形中，依句股两边作方形或矩形，则作形之外所余之角形二，自相似，亦与元形相似。如图，甲乙丙元形，作壬丁乙子方形，则此形之外所余甲丁壬及壬子丙两角形，自相似。何则？谓甲丁与壬子相似，丁壬与子丙相似也。若作壬丁乙子矩形亦然。又此两形之各两边与元形之两边相似。何则？谓甲丁壬子两边与甲乙边相似，丁壬子丙两邉与乙丙边相似也。于是遂生求容方之法如左【独不能生求容矩之法者，以容方则甲丁、丁壬两邉即甲乙邉，壬子、子丙两邉即乙丙邉也。若容矩则否】法曰：句股相乗为实，并句股为法，除之得方边。论曰：甲乙股，乙丙句，相乗得甲丙矩，即未午矩。矩之甲。午边甲，乙股，乙午即句，乙子即方。边何则甲丙▯为甲丙矩形之对？角线亦为甲壬、壬丙矩形之对角线，则甲乙丙与甲丑丙、甲丁壬与甲未壬、壬子丙与壬亥丙各角形自相等。今于甲乙丙、甲丑丙相等之两形中，各减去相等之角形，所余之乙壬方与壬丑方必等。次于两方各加一同用之子亥矩，则乙亥矩与子丑矩亦必等。而子午矩与乙亥矩等，亦即与子丑矩等。然则甲丙矩不与未午矩等乎？又法曰：句自乗为实，并句股为法，除之，得余句，用减句，余即方边。论曰：甲乙丙，句股形。乙丙句自乗。得乙，丁方即未已，矩形形之戊丙。即股丙巳，即句丙子，即余句乙子，即方边。何则？丑丁形即子巳形也，壬乙形即壬戊形也。然则乙丁方即未巳矩也。

十七题句股▯形中求容圆法曰：句股相乗，倍之为实，句股▯共为法，除之得容圆径【或句股相乗为实，句股▯共为法，除之得容员之半径；或句股相乗半之为实，句股▯并而半之为法，除之得容圆之半径】论曰：「试于形之三边，截取己子未。」三防令，乙子与乙巳等，甲巳与甲。未等丙，未与丙子等次于已子未。三防各作己丁，未丁子丁，三线为。形三边之垂线，必相遇于丁而相等何则？试先就己甲、未丁四边形论之。甲巳、甲未两边等，己未两角皆正，即巳丁、未丁两线必等。依显，未丁与子丁两线，子丁与巳丁两线亦必各等。然则丁即圆心，三线即圆之半径矣。果何术以求之乎？曰：试作甲丁、丙丁、乙丁三对角线，平分甲乙丙三角及丁角，因平分三个四边形为六个三边形，各两相等。次引乙丙至壬，令丙壬与甲已等，则乙壬线为甲乙丙三边之半。何则？乙子者，乙子、乙巳之半；丙子者，丙子、丙未之半；丙壬者，甲未、甲巳之半。然则乙壬者，甲乙丙三边之半矣。次引长巳丁线至亥，令己亥与乙壬等，必相与为平行。次作壬亥、丙午两线与子丁线等，而相与为平行。末作丙亥对角线，则乙亥矩形与甲乙丙元形等。何则？乙巳丁子方形在元形之内，丙子丁角形亦在元形之内，丁午丙角形虽不全在元形之内，然即丙未丁形而倒置之，凑合丙子丁形而成子午矩形者也。至于壬午矩形全在元形之外，然亦即甲巳丁、甲未丁两形颠倒凑合而成者也。然则乙亥矩形与甲乙丙元形等矣。于是以句股相乗，半之得甲乙丙元形，即乙亥矩形，以乙壬三边之半分之，得子丁为圆半径，或以三邉之全分元形之倍亦。得圆之半径，或三边之全分，元形。

之四倍得全圆径也又法曰：句▯股三边，半之内减▯。得圆之半径【或倍▯用减三邉之全得全圆径】论曰：甲乙丙元形之乙角，既是正角乙子丁，乙已丁两角，又是正角，即子丁己亦必正角，然则子丁己乙形必是正角方形，而四边等矣。即乙巳、乙子两边必与丁己、丁子圆之两半径等矣。此乙已、乙子之两边果何术以求之乎？依前论，乙壬线为三边之半，而丙壬即甲未也，丙子即丙未也，则子壬线即甲丙▯也。于是子壬▯减乙壬三边之半，得乙子即圆之半径。若倍▯数用减三边之全，得全圆径。又法曰：句股并，以▯减之，得全圆径。论曰：如前图乙丙句也。丙壬与乙巳并，即甲乙股也。何则？以丙壬与甲巳等故也。壬子即甲丙▯也。何则？以丙壬与甲未等，丙子与丙未等故也。于是以子壬▯减壬己句股并，得子巳为圆之全径。何则？以乙子与子丁等，乙巳又与乙子等故也。巳上十七题，除求方、求圆二题，余十五题，已尽句股▯之蕴矣。然论其题，则不止于己上十五题也。今反覆推之，凡得一百四十四题，虽究其归，不出于己上十五题之法，要亦不可不备，使习者得以按题而索之，逐类而通之也。勾股较，勾股和。句股较，句▯和。句股较，股▯和。句▯较，句▯和。句▯较，句股和。句▯较，股▯和。股▯较，股▯和。股▯较，句股和。股▯较，句▯和。已上共九题。

【句】和和▯较较　　　句较较　　　股较较▯和较　　　句和较　　　股和较▯较和　　　句较和　　　股较和巳上十则各以【股】三则配之，得三十题。各以【股▯和】三则配之，得三十题。各以【股▯较】三则配之，得三十题。又巳上十则【股】和和为一则，以下九则配之，得九题；▯较较为一则，以下八则配之，得八题；句较较为一则，以下七则配之，得七题；股较较为一则，以下六则配之，得六题；▯和较为一则，以下五则配之，得五题；句和较为一则，以下四则配之，得四题；股和较为一则，以下三则配之，得三题；▯较和为一则，以下二则配之，得二题；句较和为一则，以下一则配之，得一题。已上共一百四十四题，学者按题而索之，逐类而通之，要不出于前所列之十五题也。又一题【后十四题尽句股之变】容方与余句求，余股与余股求余句，因得全句全股。法曰：方边自乗，以余句除之，得余股；以余股除之，得余句。各以所得加方边，因得全句全股。论曰：乙丁，方边也。自乗得乙壬，方。即壬丑矩【论详前十六题】故以己壬【即丙未余】【句】除之得子壬【即甲丁余股】以子壬除之得己壬，因以己壬加壬丁，共已丁，即句；以子壬加壬未，共子未，即股。又法曰：以余句除方边【余句小于方邉】得数即用以乗方笾，得余股；或以方边除余股【余股大于方邉】得数即用以除方边，得余句。论曰：方边为余句，余股连比例之中率，以前率余句比中率方边，则方边为几倍大，即以中率方边比后率余股，则余股亦必为几倍大，又以后率余股比中率方邉则方边为几倍小，即以中率方边。比前率余句，则余句亦必为几倍。小故得数者，得其几倍大、几倍小之数也。大用乗，小用除。

又二题余句，余股，求容方，因得全句，全股。法曰：余句股相乗，开方得方边，各以余句股加之，得全句股。论曰：「子壬即余股也，己壬即余句。」也丑壬矩即乙壬方也【论详前十六题】因以甲丁【余股】丙未【余句】加之，得全股【甲乙】全句【乙丙】又法曰：以余句除余股【以小除大】得数开方，得中率之比例。于是以中率之比例除余股，得方边；或以中率之比例乗余句，亦得方邉。论曰：余句、余股之于方、边，为连比例之前后率。今以己壬余句比子壬余股，得子壬为几倍大。即是以己壬线上方比己壬线与子壬线上矩，得丑壬矩为几倍大也。而丑壬矩又与乙壬方等，开方得连比例之中率者，以方则边等，边等则比例连，故也。既得连比例之中率，则方边可得而知矣。

右两题宜附前十六题之后又三题句股▯形句股较求句股▯法曰：形四倍之，另以较自乗相并，开方得▯。次依前四题法，求句股。论曰：甲乙丙形，四倍之，即丁已。甲子午丁丙未子，与甲乙丙四形也。乙巳为句股较。乙午为较，上方四形与一方相并，成甲子方，开方得甲丙▯。又法曰：形八倍之，另以较自乗相并，开方得句股和。于是和加较，折半得股；和减较，折半得句。论曰：甲乙丙形八倍之，即甲丙、丙丁、丁己、己甲四矩形也。乙子为句股较，乙午为较上方四矩形与一方并成丑未方，开方得丑壬为句股和。又法曰：形倍之，以句股较，用长濶相差法求之。得句，句加较，得股。论曰：甲乙丙，句股▯形，倍之得乙丁矩形。甲乙股，乙丙句，已甲较，即乙已与乙丙句等。丙巳为句上方，丁句为句与较矩内形。今试商。

得乙丙为句乙巳加已甲为股又四题句股▯形句股和求句股▯法曰：形四倍之，另以句股和自乗相减，开方得▯。次依前七题法求句股。论曰：甲乙丙形，四倍之者，甲乙丙，丙戊丁，丁己辛，辛壬甲，四形并也。乙壬为句股和，乙巳为和上方，内减四形并，余甲。

辛丁丙方开方得甲丙▯又法，形八倍之，另以句股和自乗相减，开方得句股较。于是用加和折半为股，用减和折半为句。论曰：甲乙丙形，八倍之者，即甲丙、丙丁、丁辛、辛甲四矩形并也。午戊为和，戊壬为和，上方内减四矩形并，余子乙未丑。

方开方得子乙为句股较又法曰：形倍之，以句股和用长濶相和法求之，得句。句减和，得股。论曰：甲乙丙，句股▯形，倍之得乙巳。矩形甲乙，股乙丙，句并之为和。今试商得乙丙为句，用减和余，甲乙即股。

又五题句股形中求，从直角【句股相联处】至▯作垂线【与▯相交为直角】分元形为两句股形。法曰：▯上方，句上方，并之内，减股上方，余半之，以▯除之，得数为▯上作垂线之处。于是以所得数与句依句▯求股法作垂线。论曰：甲乙丙，元形求从直角，作乙午线为甲丙之垂线。甲丙▯也，甲丑▯上方也，乙丙句也，乙己句上方也。甲，乙股也。乙，辛股上方也。夫乙，辛方中之子，未方乙午。线上方也，乙巳方中之丁，申方亦。乙午线上方，也即两方等矣。又乙辛方中之子，辛未，磬折形，甲丑方。中之午壬方也，今于甲丑、乙巳两方中减乙辛方，即于两方中减丁申方与午壬方也。两方中所存者为申巳丁磬折形，午丑壬磬折形矣。而申巳丁磬折形，又与丑卯方等半之，即得午丑矩，故以丙丑▯除之，得丙午【若乙辛方与甲丑方并，内减乙巳方，余半之，以▯除之，得甲午，同上论。按此法不但可施诸句股直角形，凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】又法曰：句股相并，得数；相减，得数。两得数相乗，以▯除之，得数。用减▯，余半之，得数为▯上作垂线之处。如图，甲乙丙形，甲乙股，乙丙句，相。加得甲丁，相减得甲巳。甲丁与甲。巳相乗得数，以甲丙▯除之，得甲。子用减▯，余丙子半之于午，即午防为▯上作垂线之处。一论曰：甲丁偕甲已矩内形，及乙巳上方形，并与甲乙上方形等。如图，壬丁矩，甲丁偕甲巳矩内形也【甲壬与甲巳等】辛甲未磬折形，即壬丁矩也【壬未矩与辛丁矩等】未辛方。乙巳，上方也。并之，得甲戊方，即甲乙上方。二论丁已甲线贯圜心于乙庚，甲线切圜周于庚，乙庚甲为直角。夫丁甲偕巳甲矩内形与甲庚线上方形等，何则？乙庚、庚甲两线上方形与乙甲线上方等，而丁甲偕巳甲矩内形及乙已上方并亦与。乙甲线上方等【一论之图可见】此两率者，每减一相等之乙庚，乙巳两线上方则甲丁偕甲巳矩内形与甲庚线上方形必等。三论曰：「丙甲线不贯圜心于乙庚甲。」线切圜周于庚，乙庚甲直角形，乙午。甲亦直角形，两形合一，乙甲▯则乙。庚庚甲两线上方并与乙午午甲两线上方并必等。又乙午子直角形，则乙午午子两线上方并与乙子线上方等。夫午甲上方形中原有【一论之图可见】丙甲偕子甲矩内。形及午子上，方形今于乙甲上，方形中减乙庚，上方形即减去同乙庚之乙子上方，同乙子之乙午、午子两线。上方然则所余之丙甲偕子甲矩形与甲庚上方形必等。四论曰：前甲丁偕甲巳矩内形与庚甲上方等【二论之图】甲丙偕甲子矩内形与庚甲上方亦等【三论之图】则两矩形自相等而等角，防之各两边，彼此互相。视何则试引戊子壬己两线相遇于？丑而成甲，丑形夫甲。戊与甲丑两形。同在戊丑丙己两平行线内，等髙，则两形之比例若其底甲丙与甲己之比例。依显甲壬与甲丑两形之比例，亦若其底甲丁与甲子之比例。夫甲戊与甲壬两矩形元等，则甲戊形与甲丑形，即甲壬形与甲丑形也。即甲丙与甲己之比例，亦即甲丁与甲子之比例也。更之，则甲丙与甲丁之比例，亦若甲己与甲子之比例。于是以甲丙为一率，甲丁为二率。甲己为三率，二三率相乗，一率除。之得四率，甲子也。既得甲子，用减。甲丙，余丙子半之于午，得午。防为▯上作垂线之处。何则？试作乙子线，与乙丙同为圜之半径，即等，而成乙丙子两边等角形。则午点折丙子之半，必是直角【此法不但可施诸句股形，凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】右既得乙午垂线，即分甲乙丙原形为甲午乙、乙午丙两句股形。此两形者，自相似，亦与元形相似。

又六题句股▯形中求依▯一边容方法曰：先依又五题法，求形中垂线；次以▯与垂线相乗，得数并▯与垂线为法，除之得方边。论曰：甲乙丙元形，乙丁为垂线，求依甲乙▯作方边，如子丑而成子午方形。夫甲乙丙元形与己乙午分形相似，何则？以己午与甲丙平行故也。次观己午与未丁等，即乙未。与己午并是乙丁垂线也。然则乙丁偕甲丙并，而与甲丙若乙未偕己午并【即乙丁垂线】而与己午。又法曰：垂线自乗，并▯与垂线为法除之，得数用减垂线，得方边。论曰：乙丁偕甲丙并【一率】而与乙丁【二率】若乙未偕己午并【三率即乙丁】而与乙未【四率】于是以乙未减乙丁，余未丁，即方边【此法不但可施诸句股形，凡鋭角钝角形俱可用】

又七题句股形中，求分作两边等三角形二。法曰：▯半之，即是两边等之一边。论曰：甲乙丙形，半▯于丁，于是以丁为心，甲丙为界，作圜必切乙角，得乙丁与半▯等，因成乙、甲、丁、乙、丙、丁两形，皆两边等三角形也。

又八题斜三角形中，求作中垂线，分元形为两句股形。

法具又五题又九题斜三角形中求积先分别是锐角形或是钝角形【若是正角形法以句股相乗半之即得】法曰大中小三边用小中两边依句股求▯法求之若求得数小于大边即是鋭角形大则是钝角形鋭角形求积法曰：任取一角，依又五题求中垂线【鋭角形求中垂线任取一角皆在形内】分元形为两句股形。次以两分形句与股各相乗，半之得积论曰：甲乙丙鋭角形，先求得乙丁中垂线，分为甲丁乙、乙丁丙两句股形，次以甲丁与丁乙，丁乙与丁丙各相乗，得丁戊与丁己两矩形，各半之，得甲乙丙形之积【或以乙丁因甲丙之半亦得，或以甲丙因乙丁之半亦得】钝角形求积法【于钝角至对边作垂线，则垂线在形内，法同前】于鋭角至对边作垂线，则垂线在形外，而引对边出形外凑之，曰大边上方内减中小两边上方，余半之，以中边除之，得引凑数与小边为股▯，求句得垂线【或以小邉除半数得引凑数，与中邉为句▯，求股亦得垂线】既得垂线，则与引凑数凑成一小句股形，又以垂线与引凑数偕元形之边凑成一大句股形，大小两句股形相减，得所求。论曰：甲乙丙钝角形【乙为钝角】求从丙鋭角作丙丁垂线，而引乙丁线以凑之【从甲角作垂线亦在形外，兹不备述】夫甲丙上方元包。丙丁与甲丁两边上方，今于甲丙上。大方中，减乙甲，乙丙上两方即是减。丙、庚与子、午两方为乙、丙上方减甲。子方为甲乙上方也，而所存者为丁。子子辛两矩形矣，半之为子丁一矩。形以中边，乙子除之，得乙丁为引数。也，丙丁乙为小句股形，丙丁甲为大。句股形，两形相减，得甲乙丙斜三角形积。又法曰：三边数并而半之，以每边数各减之，得三较数。三较连乗【任以二较相乗得数，又以一较乗之】得数又以半数乗之，得数开方得积。

如后图甲乙丙元形求其积一图。一论曰：壬乙矩形，与元形等。

论同前十七题所论乙亥矩形与甲乙丙元形等二论曰：「丁心方与乙戊相乗，又与乙戊相乗，开方与乙」。二图。壬矩形等，如图子壬二，丑壬三相。乗得六为子丑矩形，今以子壬二。自乗得四，为子卯方，即壬寅边以丑壬三乗之得十二，为丑寅矩形。又以三乗之得三十六，为辰寅矩形，即午丑方形。故开方得辰午六与子丑。

三图　　　　矩形等三论曰：丁心偕戊庚矩形，与乙丁相乗，其所得数，与丁心方偕乙戊相乗所得。数等何则？乙丁心形与乙戊庚形相似之形也。戊庚与丁心，若乙戊与乙丁，则戊庚偕丁心矩形【即庚未矩形】与丁心方【即己戊方形】亦若乙戊与乙丁也。四论曰：丙丁偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等【就一图观之】何则？心丁丙形与丙戊庚形相似之形也。夫庚乙线平分丁乙甲角，庚戊为丙戊之垂线，则戊为直角。次依丙戊线截取丙卯线，作卯庚线为丙卯之垂线，则卯为直角。此庚乙、庚戊、庚卯三线必相交于庚防。三线既相交于庚点则丙庚线必平分卯丙戊角而卯丙戊角又即己心丁角因得心丁丙形与丙、戊、庚形为相似之形也。两形既相似，则丁心与丁丙，若丙戊与戊庚也。解庚、乙、庚、卯、庚、戊三线必相交于庚点，所以然之故，庚心乙界作圈。次依甲乙丙形作丙丁辛形。次引乙丁线至癸，引辛甲线至壬，乙庚线平分丙乙甲角，则庚防必是圈心，戊防折乙癸线之。

半则戊防必直角　卯防折壬辛线之半则卯防必直角　乙癸与乙己等　乙丙辛丙为大边甲丙丁丙为中边甲壬丁癸即小边总论曰：二论丁心方与乙戊相乗，又与乙戊相乗，所得数开方与乙壬矩形等。夫乙戊半数也，亦既得之矣。次欲求丁心与乙戊相乗，而丁心不可得。三论丁心戊庚矩形与乙丁相乗所得数，与丁心方偕乙戊相乗所得数等。夫乙丁三较之一也，则又得之矣。次欲求丁心与戊庚两线，而两线又不可得。四论丁丙偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等。夫丁丙丙戊三较之二也，则尽得之矣。今法于四论用丁丙偕丙戊二较相乗，于三论用乙丁一较乗之，于二论用乙戊半数乗之，开方得数与乙壬矩形等。

又十题斜三角形中求容圆法曰：先依又九题求积，次取三边数并而半之，用除积，得员之半径【或置二较连乗数，以半数除之，得开方亦得圆半径】

论曰先依又九题求得乙壬矩形为甲乙丙元形积次以乙戊除之【即三边数之半也】得丁心，即圆之半径【若以三边之全除元形之倍，亦得圆半径；若以三边之全除元形之四倍，得圆全径】

又十一题斜三角形中求容方法同又六题又十二题斜三角形有三和数求三边法曰：三和数相减，得三较数。各置三较数，各以非所较之边加减之，各半之。其加而半者，得大边或中边；减而半者，得小边或中边。如图，戊、己、庚为三和数【戊为大、中两和数，己为大、小两和数，庚为小、中两和数】甲为戊、庚两和之较，乙为己、庚两和之较，丙为戊、己两和之较。于是置甲较数，以己为非所较之边，加而半之得大边，减而半之得小边。置乙较数，以戊为非所较之边，加而半之得大边，减而半之，得中边；置丙，较数以庚为非所较之边；加而半之，得中边；减而半之，得小边。论曰：戊者，大中两和数也。加减用乙者，乙为己庚两和之较。庚者，小中两和数；己者，大小两和数。此两和数中，皆有相等之小数，而余为大中两数矣。此乙所以爲大中两数之较也，余仿此。

又十三题句股测髙【测逺、测广、测深，同法】法曰：先准地平【地平者，必令所测地面自所测之处至髙之根如水之平也】次立表与地平为垂线，退后立望竿，令所测髙、表尖、竿头叅相直。末自竿至髙根量得若干逺，然后以表竿差与逺相乗，而以表竿相去若干除之，加竿长若干，得所求之髙。如图：丙乙髙，乙甲逺，丁甲竿，己戊表，己子为表竿差，戊甲为表竿相去。夫丁子己形与丁辛丙形相似，故丁子与己子若丁辛。

与丙辛也又十四题句股重测，髙逺【测广，测深，同法】法曰：若无髙根之可量者，则用重测法。谓一次立表竿，令表竿与髙叅相直；二次立表竿，令表竿与髙防相直【两表两竿要各相等，又要或前或后立成一直线】然后以表竿之较乗两表相去，而以两表竿相去之较除之，加表髙若干，得所求之髙。又以前表竿相去乗两表相去，而以两表竿相去之较除之，加前表竿相去，得所求之逺。如图，甲乙髙，乙丙逺，各不知数，用重。表测之，丁子为前表，己丙为望竿。子丙为表，竿相去甲丁己三，防叅相。直午壬为后表，丑辛为望，竿壬辛为。

表竿相去甲午丑三防叅相直丁亥为表竿之较子壬为两表相去未辛为两表竿相去之较己上用以测髙借丁卯【元是表竿相去】为表竿相差借卯己【元是表竿相差】为表竿相去辰戊，亦借为表竿；相差戊癸，亦借为表竿。相去甲辰癸三防，亦叅相直；丁辰亦借为两表相去，与丁午等，即庚癸亦为两表竿相去之较，与辛未等。以上用以测逺，解庚癸线与辛未线必等，所以然之故。如图，甲乙矩内形，甲乙为对角线，丙丁及戊己两线与。

矩形之边为平行而交角线于庚　次任作辛壬线亦交角线于庚　次截甲癸线与甲辛线等作癸子线亦交角线于庚则子乙，线与壬乙线必等。论曰：试作午丑及午未两线，与甲辛及甲癸相线为平行。夫庚、甲、辛及庚、午、丑两角形相似之形也。则庚甲与庚午，若甲辛与午丑。依显庚甲与庚午，若甲癸与午未。然则甲辛与甲癸，亦若午丑与午未。夫午丑与午未如是，则子乙与乙壬亦如是矣。先论甲乙矩形，此形甲己为对角线，寅卯、申亥两线交于角线上之丁防，则卯申矩形与亥寅矩形等。次论甲丑矩形，此形甲丑为对角。线寅、酉房、壬两线交于角线之午。

点则房酉矩形与寅心矩形等末总论曰：「夫房酉矩形，与寅心矩」。形既等，而午井形又与卯申形等，即亦与亥寅形等。然则房酉矩形中所余之井酉形，与寅心矩形中所余之丁心形，必等。

于是以丁亥表竿相差乗丁午两表相去得丁心矩形即井酉形而以井女两表竿相去之较除之得女酉加酉辛表共女辛即甲乙髙先论甲己矩形同前次论甲癸矩形，此形甲癸为对角线，申氐、戊亢两线交于角线之辰防，则亢氐矩形与戊申矩形等。末总论曰：夫亢氐矩形与戊申矩形既等，而辰牛形又与亥寅形等，即亦与卯申形等。然则亢氐矩形中所余之牛氐形与戊申矩形中所余之丁戊形，必等。于是以丁卯表竿相差乗丁辰，两表相去得丁戊矩形，即牛氐形，而以牛危两表竿相去之较除之，得危氐，加氐癸表竿差，共危癸，即乙丙逺也。求髙又法，既得危氐线，即以亢牛乗之，得牛辰形。此形即寅亥矩形，亦即申卯矩形也，故以丁卯除之，得丁申髙。求逺又法，既得女酉线，即以房井乗之，得井午矩形。此形即申夘矩形，亦即寅亥矩形也。故以丁亥除之，得丁寅逺。