歴算全书卷五十六

歴算全书卷五十六

宣城梅文鼎撰方圆幂积一卷方圆幂积说歴书周径率至二十位，然其入算仍用古率【十一与十四之比例，本祖冲之径七周二十二之宻率】岂非以乗除之际难用多位欤？今以表列之，取数殊易，乃为之约法，则径与周之比例，即方圆二幂之比例【径一则方周四，圆周三一四一五九二六五，而径上方幂与员幂亦若四与三一四一五九二六五，尾数八位，并以表为用】亦即为立方立圆之比例【同径之立方与圆柱若四与二一四有竒，则同径之立方与立员若六与三一四有竒】殊为简易直截。癸未歳，匡山隠者毛心易干干偕其壻中州谢野臣惠访山居，共论周径之理，因反覆推论方员相容相变诸率。庚寅在吴门，又得锡山友人杨昆生定三方员订注圗说，益觉精明甚矣，学问贵相长也。

方圎相容新法厯书》曰：「割圆亦属古法。盖人用圭表等测天，天圎而圭表直，与圎为异类，讵能合欤？此所以有割圎之法也。」新法名为《八线表》云。又云：径一围三，絶非相凖之率。然径七围二十二，则盈；径五十围百五十七，则朒。或详绎之，则径一万围三万一四五九，虽亦小有竒零不尽，然用之颇为相近。今算得平方与同径之平圆，其比例若四○○与三一四五九。平方内容平员，平员内复容平方，则内方与外方，内员与外员之幂，皆加倍之比例。假如戊己庚辛，平方内容甲乙丙丁。员员内，又容甲、乙、丙、丁小平方，小方。内又容壬丑、癸子、小平、员，如此逓互。

相容则其幂积皆如二与一也假外大平方【戊己庚辛】之积，一百，则内小平方之积【甲丁乙丙】必五十，平员亦然。若求其径，则成方斜之比例。大径如斜，小径如方。假如内小平方积一百，以甲丁或丙乙为径【甲丙或丁乙并同】开方求一百之根，得径一十。其外大平方积二百，以甲乙或丁丙为径【或用戊庚或己辛或己戊或辛庚为径并同】开方求二百之根，得径一十四一四有竒。甲乙为甲丁方之斜，故斜径自乗之幂与其方幂若二与一，而其径与斜径若一十与一十四【一四竒】也。折半则为五与七【○七竒】故曰方五则斜七有竒也。三邉形内容平员平员内又容三邉，则其幂之比例为四与一，甲乙丙三邉形内容，丁戊己。平员，平员内又容丁、戊、己小三邉，则内小三邉形，为外大三邉形四之一。内外两平员之幂，其比例亦为四与一。

若有多层皆以此比例逓加浑员内容立方，立方内又容浑员，如此逓互相容，则外员径上幂与内员径上幂为三倍之比例，外立方与内立方之径幂亦然。丙庚丁浑员内容丙甲丁乙立方，丙戊及戊甲皆立方边【丙辛及甲辛并同，丙乙及甲丁等亦同】丙戊甲辛为立方面【余六面并同】丙甲【为方面斜线】丙丁【为立方体内对角线】即浑员径【乙甲同，其辛壬及己戊皆亦对角，若作线亦同】丙乙及甲丁等又皆为立楞【戊壬及辛己同】解曰：立方面上斜径之幂为方幂之倍【句股法也】。斜为▯，方为句，又为股，并句股实成▯实，故倍方幂即成斜径之幂】又以斜径为股，立方之立楞为句，求得立方体内両对。角之斜径为▯，此▯实内有股实【即面上斜径之幂为方幂者，二】有句实【即立楞之幂，立楞原即方邉，故其幂即立方面幂】共得方。幂三而此丙对角斜径，即浑员之径，内小员径，又在立方体内，即以方径为径，其径之幂，即立方面也，故曰三倍比例也。立方内又容立员，则内员径，即立方之径。若求其径，则外径大于内径。若一十七有竒与一十，内径之幂百，开方得一十为径。则外径之幂三百，开方得一十七【又三十五之一十一】为径。若有几层互容，皆以此比例逓加，卽得。若求其体积，则为五倍有竒之比例【若有多层，亦以此比例逓加】假如内容立方积一千，则外大立方积五千一百九十四有竒。解曰：立积一千，则其径幂一百；而外大立积之径幂三百，又以径一十七【又三十五之一十一】乗之，得五千一百九十四【又七之二】此言大方积又在圗上浑员之外。

积之比例立方同径之立员，其比例为六○○与三一四。立方同径之员柱，其比例为四○○与三一四。员柱与同径之立员，其比例为三与二。

方圎周径相求同积较径，为方变员，员变方之用。凡方圎同积，则员径大，方径小，其比例若一、一、二、八、三、七、九与一○○○○○○。解曰：员径一，一，二，八，三，七，九，则方径一，○，○，○，○，○，○，也。法曰：有员径，求其同积之方径，当以一，○，○，○，○，○，○，乗，以一，一，二，八，三，七，九，除。有方径，求其同积之员径，当以一一二八三七九乗，以一○○○○○○除。凡方员同积，则员径上平方与方径上平方，其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五。解曰：员径自乗，四○○○○○○○○；则方径自乗，三一四一五九二六五。法曰：有员径，求其同积之方，径当以三一四一五九二六五乗之，四○○○○○○○○除之，得数平方开之，得方径。有方径，求其同积之员径，当以四○○○○○○○○乗三一四一五九二六五，除得数平方开之，得员径。凡方员同积，则员径与方径若一○○○○○○与○八八六二二六。解曰：员径一○○○○○○，则方径八八六二二六也。法曰：有员径求同积之方径以八八六二二六乗员径一○○○○○○，除之即得方径有方径求同积之员径，以一○○○○○○乗方径，八八六二二六除之，即得员径。

约法以一一二八二七九乗方径，去末六位，得同积之员径；以○八八六二二六乗员径，去末六位，得同积之方径。同积较周。凡方员同积则员周小方周大，其比例若一○○○○○○与一一二八三七九，亦若八八六二二六与一○○○○○○解曰：员周一○○○○○○，则方周一一二八三七九也。方周一○○○○○○则员周八八六二二六也约法以一一二八三七九乗员周，去末六位，得同积之方周。以○八八六二二六乗方周，去末六位，得同积之员周。凡方员同积，则其径与径、周与周为互相视之比例。解曰：方周与员周之比例，若员径与方径也。论曰：「凡同积之周，方大而员小；同积之径，则又方小而员大。所以能互相为比例。」

约法以方周乗方径为实，员周除之，得员径。若以员径除实，亦得员周。以员周乗员径为实，方周除之，得方径。若以方径除实，亦得方周。皆用异乗同除，例如左。

一　员周一○○○○○○　　一　方周一○○○○○○二　方周一一二八三七九　　二　员周○八八六二二六三　方径○二八二○九四【七五】　三　员径○二八二○九四【七五】四　员径○三一八三○九【八八】　四　方径○二五○○○○积七九五七七【四四八　　　○○○○○○】　　积六二五○○○○○○○○一员径一○○○○○○一方径一○○○○○○，二方径○八八六二二六二员径一一二八三七九，三方周三五四四九○四三员周三五四四九○四，四员周三一四一五九二四方周四○○○○○○，积七八五三九【八一六○○○○○○】积一○○○○○○○○○○○○第四率并与一率乗得四倍积四除之得本积论曰：以上皆方员周径互相求，乃同积之比例。方员交变，用之即比例规变面线之理。同径较积较周，即方内容员，员外切方。凡方员同径则方积大员积小周亦如之，其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五。方径一○○○○，周四○○○○，积一○○○○○○○○。员径一○○○○，周三一四一五竒，积○七八五三九八一六。方径二○○○○，周四○○○○，积四○○○○○○○○。员径二○○○○，周六二八三一竒，积三一四一五九二六五。凡径倍者，周亦倍，而其积为倍数之自乗，亦谓之再加比例。授时厯谓之平差。径二倍，周亦二倍，而其积则四倍；径三倍，周亦三倍，而其积九倍；乃至径十倍，周亦十倍，而积百倍；径百倍，周亦百倍，而积万倍。皆所加倍数之自乗数，亦若平方，谓之再加也。

同周较积较径凡方员同周则员积大方积小径亦如之，其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五。

方周一○○○○○○径○二五○○○○积六二五○○○○○○○○员周一○○○○○○径○三一八三○九八八积七九五七七四七○○○○方周四○○○○○○径一○○○○○○积一○○○○○○○○○○○○员周四○○○○○○径一二七三二三九五四积一二七三二三九五四○○○○论曰周四则径与积同数但其位皆陞皆视周数之位今用百万为周则积陞六位成万亿矣故虽同而实不同不惟不同而且悬絶定位之法所以当明也问：位既大陞，而数不变，何耶？曰：周径相乗，得积之四倍，于是四除其积，即得所求平积，此平幂之公法也。兹方员之周，既为四，则以乗其径，而复四除之，即还本数矣。惟周数之四，或十，或百，或千万亿，无定；而除法之四，定为单数，故无改数，而有进位也。又论曰：周四倍之径，与周一之径为四倍，其积则十六倍，所谓再加之比例。浑圎内容立方径一万寸，求圎径。法以方斜一万四千一百四十二寸为股，自乗得二亿为股实，以方径一万寸为句，自乗得一亿为勾实，并勾股实为三亿为▯实，开方得▯一万七千三百二十○半寸，命为浑圎之径。又以浑圎径求围，得五万四千四百十四寸弱。周径相乗，得九亿四千二百四十七万六九九四寸，为浑幂。以四除浑幂，得二亿三千五百六十一万九千二百四十八寸竒，为大平圎幂，即立方一万寸外切浑圎之腰围平幂也。圎柱积四万○千八百十○亿四三一八四九八四寸，以浑圎径乗平圎幂得之。倍圎柱积，以三除之，得浑圎积二万七千二百○六九五四五六六五六寸。约法，立方径一千尺，其积一十尺。外切之浑圎径一十七尺三二○五，浑圎积二千七百二十○尺六九五四，约为二千七百二十一尺弱。试再用径上立方求浑圎积法【即立方内求所容浑圎】以浑圎径自乗，再乗得浑圎径上立方，以圎率【三一四竒】乗之，得数六除之，得浑积并同。立方与员柱，若四○○与三一四竒【同径之员柱也】立方为六方角所成，员柱为六员角所成，其所容角体并六，而方与员异，故其比例如同径之周。此条为积之比例员周上自乗之方与浑员面幂若三一四竒与一○○，浑员面幂与员径上平方形亦若三一四竒与一○○，皆员周与径之比例。浑员面幂与员径上平，员若四与一。员柱面幂与员径上平员若六与一【六员角之底皆外向合成此数】平员并为一，而员柱幂为其六倍，浑员幂为其四倍，浑员为员柱三之二，即此可徴积之比例，如其面也。以上四条并面幂之比例，浑员体与员角体若四与一，浑员面既为平员之四倍，从面至心皆成角体，故体之比例亦四倍。立方面与径上平方若六与一【六面故也】立方体与浑员体，若六○○与三一四竒。浑员面与径上平方，既若三一四竒与一○○，而立方面与径上平方若六与一，平方同为一○○，而立方面为其六倍，浑员面为其三倍，一四竒，故立方之面与浑员之面亦若六○○与三一四竒也，而体之比例同面，故亦为六○○与三一四竒。

立员得员柱三之二论曰：凡员柱之面及底，皆立员径。上平员也，旁周似员，筩亦如截竹。周围并以员径为髙，即员径乗员。周幂也为径上平员之四倍与浑员面幂同积【半径乗半周得平员则全径乗全周必平员之四倍】合面与底共得平员之六倍。而浑员面幂原系平员之四倍。是员柱幂六而浑员幂四也。而体积之比例凖此可知。亦必为三之二矣【三之二即六之四之半】问体积之比例，何以得如面幂？曰：「试于员柱心作员角。」体至面至底，成员角体二，皆以半。径为髙平，员为底，其余则外如截。竹，而内则上下并成虚，员角，于是。纵剖其一邉，而令员筩伸直，以其幂为底，以半径为髙，成长方锥【底濶如全径直如员周髙如半径锥只一防】此体即同四。员角【或纵剖为四方锥，亦同。皆以周四分之一为底濶，以全径为底长，以半径为髙，其体并同员角，何也？以周四之一乗全径与半径乗半周同，故方底同，员底而其髙又同，则方角同，员角】合面底二员用，共六员角矣。而浑员体。原同四员角【浑员面为底，半径为髙，作员锥，即同四员】角】是员柱浑员二体之比例亦三与二也员角体得员柱三之一，凡角体并同。凖前论，员柱有六员角，试从中腰平截为两，则有三员角；而员筩体原当四员角，今截其半，仍为二员角。或面或底，原系一员角，合之成三员角，以为一扁员柱。然则员角非员柱三之一乎？若立方形，各从方楞切至心，则成六方角【皆以方面为底，半径为髙】从半径平切之，为扁立方，则四周之四方角皆得一半，成两方角；而或底或面原有一方角，亦是三方角，合成一扁立方，而方角体亦三之一矣。浑员体分为四则，所分角体各所乗之浑幂，皆与员径上平员幂等。甲戊丙丁浑员体，从丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半径，各自其浑幂透至乙心，而以半径旋行而割切之，则成上下两员角体。一甲卯辰丑乙【以甲丑卯辰割浑员之面为底，乙为其锐，此割员曲径自丑而甲而辰，居员周三之一】一丙癸寅子乙【以子丙寅癸浑员之割面为底，乙为其锐，此割员曲径亦三之一，如三百六十之一百二十】此上下两角体。相等皆居全浑体四之一，中腰成。鼓形而上下两面并穵空，各成虚。员角【其外则周遭皆凸面如丑戊子及辰丁癸之割，员状此割】员曲径自辰而丁而癸，居员周六之一，为三百六十之六十】此鼓形体倍大于上下两角，体居浑员全体之半。若从戊乙丁腰横截之为二，则一如仰盂，一如覆碗，而其体亦浑员四之一也。如此四分浑体，而其割员之面幂，即各与员径上之平员幂等，故曰浑员面幂与径上平员若四与一也。问：何以知中腰鼓体能倍大于上下两角体？曰：试于子丙乙癸角体，从子寅癸横切之，则成子未癸午小员面。为所切乙子寅癸，小员角体之底。乃子寅小半径乗子未癸小半周。所成也。然则以子寅小半径乗子。未癸小半，周又以乙寅半半径为髙乗之而取其三之一，即小角体矣。试又于中腰鼓体，从丑子及卯寅。及辰、癸诸立线，周遭直切之，脱去。其外鼓凸形，即成员柱体之外周。截竹形，又从酉、乙、申横切之为两。【一仰盂，一覆碗】则此覆碗体举一式为例。可直，切断而伸之，亦可成方角体。此体以乙寅半半径乗子未癸午。小员全周为底【其形长方】又以小半径子寅【子寅即乙申】为髙而乗之，取三之。一为长方角体，此长方角体必倍。大于小，员角体何也？两法并以小。半径及半半径两次连乗，取三之。一成角体，而所乗者一，为小员全。

周一为小员半周故倍大无疑也又丙、癸、寅、子，亦可成角体与乙子。寅癸等覆碗体既倍大则兼此两角体矣凖此而论，仰盂体必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑两角体，亦无疑也。又角体内既切去一小角体，又穵去一相同之小角体，则所余者为丙癸寅子员底仰盂体鼓体内既穵去如截竹之体则所余者为内平【如丑子及辰癸】外凸【如子戊丑及辰丁癸】之空圈体，而此体必倍大于员。底仰盂体，何以知之？盖两体并以半径为平面【丑子与癸丙并同】并以员周。六之一为凸面，而腰鼓之平面以半径循员周行，员底仰盂之平面，则以半径自心旋转周行者，两头全用旋转者，在心之一头不动，而只用一头，则只得其半矣。故决其为倍大也。凖此而甲丑卯辰亦为穵空之员，覆碗体而只得鼓体之半矣。由是言之，则上下角体各得中腰鼓体之半，而鼓体倍大于角形浑体，平分为四，夫复何疑？曰：浑体四分，如此真无纎芥之疑。体既均分为四，则其浑体外幂亦匀分为四，亦无可复疑。但何以知此所分四分之一必与径上平员相等耶？曰：此易明也。凡割浑员一分而求其幂，法皆从其所切平面员心作立线至凸面心，而以其髙为股，员面心至邉之半径为勾，勾股求其斜▯，用为半径以作平员，即与所割圎体之凸面等幂。假如前圗所论上下两角体，从丑夘辰横线切之，则以甲夘为股，夘丑为句，求得甲丑▯与半径同，以作平员与丑夘辰甲凸面等。然则此角体之凸面，岂不与径上平员等幂乎？

甲亢半径与甲丑同以作丑亢平员与甲丑夘辰凸面等幂试又作甲戊线为半径之斜线【甲乙与戊乙皆半径为句为股故也】以为半径而作平员，必倍大于半径所作之平员，而浑员半幂与之等，则浑员半幂不又为平员之倍乎？【如图，甲丑为半径，作乙庚房平员，与丙戊甲平员等，亦与甲辰夘丑。】割员凸面等为浑幂，四之一也】【甲戊为半径，作戊心亥平员，与甲丁乙戊半浑幂等，而倍大于乙庚】房亦倍大于丙，戊甲平员，则平员居浑幂四之一】如是，宛转相求，无不脗合，则平员为浑员，幂四之一，信矣。取浑幂四之一法。当以半径为通▯以一端抵圎径之端，为心旋而防之，则所割浑幂为四之一，而其浑幂与圎径上平员幂等。甲辰【即丁乙】之自幂，一百辰夘之自乗幂【七十五】如四与三则辰丑通▯为径以作平，员亦丁戊全径上平。员四分之三也，大小两平，员各为底以半径为髙而作员角体，其比例亦四与三也今浑员径上平员【即下戊径上平员】所作之员角体，既为浑积四之一，则辰丑通▯径所作之员角体，即浑体十六之三矣【即甲丑夘辰角体及乙丑夘辰角体之合】若以丑辰通▯上平员为底，半半径为髙，而作角体，即浑体三十二之三。

分浑体为四又法甲乙丙浑员体，从员周分为三【一丑甲辰，一辰癸丙，一丙子丑，各得周三之一】又从辰、从丙、从丑，依各半径【辰乙丙，乙丑乙，皆是】至乙心旋而切之则成三角体者，三各得浑体。四之一【一辰：甲丑乙一丑子丙乙一丙癸辰乙，说见前】则其所余亦浑体四之一也【此余形有三平】员面以辰、丑、丑、丙、辰、丙为员，径而并穵空，至乙心如员锥之幂有两】【凸面以辰丑、丑丙、辰丙之员周为界，以乙为顶，皆弧三角形，三角并锐】两凸面各得浑员幂八之一。按辰丑即一百二十度通▯也，凖前论，以此通▯为圎径，作平员为底，半半径为髙，而成员角体。此员角体积即为浑员体积三十二分之三【即先所论员角体八之三】若依此切浑员体，成半平半凸之体，其积为浑积三十二之五【即员角体八之五】

环堵形面幂　锥形面幂有正方、正员面，欲于周作立围之堵墙，而幂积与之倍法，于方面取半径为髙，即得。

甲乙丙平方于其周作立起之方围形如环堵取平方乙丙半径为髙，则方围面幂倍大于平方。论曰：从平方心乙对角，分平方为四成四三角形，并以方根为底，半径为髙。于是以此四三角形立起，令乙锐上指，则皆以乙丙半径为髙，而各面皆半幂。故求平方，以半径乗周得幂也。然则依方周作方墙，而以半径为髙，岂不倍大于平方幂乎？凖此论之，凡六等邉、八等邉，以至六十四等邉，虽至多邉之面，而从其各周作墙，各以其半径为髙，则其幂皆倍于各平幂矣。然则平员者，多邉之极也。若于其周作立圈如环，而以其半径为髙，则环形幂积亦必倍大于平员有方锥、员锥，于其周作围墙，而幂积与之倍。法于锥形之各斜面，取其至锐之中线【如乙丙】以为环墙之髙，即得。

方墙如环堵底用方周髙如乙丙即斜面自锐至底之斜立中线解曰此以锥体之斜面较幂也论曰：凡方锥皆有棱，两棱交于锐，各成三角面，而斜立。从此斜立之三角面，自锐至根濶处，平分之得中线【乙丙】于是自棱剖之，成四三角面，而植之，则中线直指天顶，而各面皆圭形，为半幂。故凡锥体，亦可以中线乗半周得幂也。然则于底周作方墙，而以中线为髙，四面补成全幂，岂不倍大乎？凖此论之，凡五棱、六棱以上至多棱、多面之锥体，尽然矣。而员锥者，多棱、多面之极也。则以其斜立线为髙，而自其根作员环，则其员环之幂，亦必倍大于员锥之幂。前条所论切浑员之算，得此益明。盖员仰盂、员覆碗及穵空之鼓形，其体皆一凸面、一平面相合而成。其凸面弧径，皆割浑员圈六之一。其平面之濶，皆半径。然而不同者，其内面穵空之平幂，一为锥形【仰盂、覆碗之内空如笠】一为环形也【鼓体之内空如截竹】准前论穵空之环幂，必倍大于锥形之幂，则其所负之割浑员体，亦必环形所负倍大于锥形。而穵空之鼓体，必能兼员覆碗、员仰盂之二体。

撱圎算法【订厯书之误】偶查撱圎求体法，见其截小分之法有误，今以数考之：假如撱圎形，长径为一千四百尺，短径七百尺，大分截长径一千○五十尺。甲己三百五十，戊乙七百，相并得。

一千○五十　以此乗己乙一千○五十尺　以此除两数相同右依厯书先求得庚壬甲圎角形为苐三率，再用截大分轴己乙为法为苐一率，以截小分轴甲己并戊乙半长径为苐二率，求得小分之容与圎角形等。夫小分之容，形外为弧线圎角之容，形外为直线小分必大于圎角，而今等，是不合也。况自此而截小分渐小，则乙己大分轴反大于甲己小轴及戊乙并之数而求小分之容反将更小于圎角矣，有是理哉【小分渐小如辛癸甲，则其甲己小于己戊，而己乙者己戊与戊乙并也，则其数亦大于甲己与戊乙并矣】又如截大分长七百二十分，己乙。为其轴甲，己为其小分轴，六百八。

十分依厯书法，甲己小分轴【六百八十】为一率，甲乙长径【一千四百】并戊乙短径【七百】共【二十一百】为二率，求到庚壬乙圎角体为三率，则所得四率为大分之容者，比圎角容大三倍有竒，亦恐无是理也？何也？圎角在圎柱形为三分之一，而撱形必小于柱形，不宜有三倍之比例也【虽壬庚畧小于丙丁，在中腰相近，可以不论】今试求之【用苐一圗】依勿庵改法。假如截己乙大分轴一千○五十尺，求庚己壬平圎面法。先求庚己依勿庵补法，以己戊【三百五十尺】自乗【一十二万二千五百尺】与甲戊【七百尺】自乗【四十九万尺】相减，余【三十六万七千五百尺】开方得己庚相当之原数。再以丙戊【三百五十尺】乗之，甲戊【七百尺】除之，为己庚实数，倍之为庚壬线。再以壬庚线上方变为平员，今用简法【因长径甲乙与短径丙丁原是折半之比例故也】竟以减余【三十六万七千五百尺】命为庚壬线上方，以十一乗之，得【四百○四万二千五百尺】又以十四除之，得【二十八万八千七百五十尺】为庚壬线上所截撱体之平圎面。法以平圎面各乗其【大分小分】之轴【一千○五十尺三百五十尺】皆成圎柱形，乃三除之为【大小】分内所容之【大小】圎角形。再以长径【一千四百尺】乗大圎角为实，小轴【三百五十尺】除之，为所截撱形之大分。以长径【一千四百尺】乗小圎角为实，大轴【一千○五十尺】除之，为所截撱形之小分。今用简法，置平圎面三除之，得【九万六千二百五十尺】以小分轴【三百五十】乗之，得庚甲壬小圎角形【三千三百六十八万七千五百尺】置小圎角四因三除之，得【四千四百九十一万六千六百六十六又三之二】为所截小圎分。又置圎面三除之积【九六二五○】以大分轴【一千○五十尺】乗之，得庚子乙大圎角形【一亿○一百○六万二千五百尺】置圎角形【一○一○六二五○○】用四因之，得【四亿○四百二十五万尺】为所截大圎分。小圎分大圎分两形并之【共四亿四千九百一十六万六六六六】为撱形全积。

另求撱形全积置短径【七百】自乗得【四十九万】以长径【一千四百】乗之，得【六亿八千六百万】以十一因之，二十一除之，得【三亿五千九百三十三万三三三】为真撱圎全积。以真撱圎积与两截形并相较，其差为九十分之一而弱。若用厯书法，求得截小分【二千三百六十八万七千五百尺】与小圎角同。截大分【六亿○六百三十七万五千】为大圎角之六倍。相并得【六亿四千○○六万二千五百尺】为撱圎全积，与撱圎真积相较，其差更甚。如是辗转推求，则知撱体大截分不可算。今别立法，凡撱体皆先如法求其全积，再如法求其小分截积，以小分截积减全积，余为大分截积。此法无▯可存。