防何补编卷一
防何补编卷一
四等面形算法先算平三角形平三角形三边同者求中得中长线【乙甲】其三之一，即内容平圆。半径【心甲】其三之二，即外切。
圆之半径【乙心或心丙】
又法以边半之【丙甲】自乘得数【丙庚方】取其三之一开方【甲壬小方】得容圆之半径【壬癸或甲癸俱与心甲等】又取自乘数【丙庚方】三分加一【丙庚方加壬甲小方】并而开方得外切圆之半径【丙心】论曰：三边角等，则半边之角六十度【丙心甲角】其余角三十度【心丙甲角】内容圆半径为三十度之正▯【心甲】外切圆半径如全数【丙心】其比例为一与二，故内容圆半径【心甲】正得外切圆半径【丙心】之半也【此论可解前一条】形内丙心甲与乙心丁两小句股形相等，又并与乙甲丙大句股形相似【何则乙角丙角并分原等角之半，丁甲等为正角，则三角皆等而边之比例等】而大形之句【丙甲】旣为其▯【乙丙】之半，则小形之句【心丁亦即心甲】自必各为其▯【心乙亦即心丙】之半，故知心甲【原同心丁】为乙甲之半也。心甲旣为心丙之半，则心甲一，心丙必二，而丙戊必三矣【乙甲同】何也？以乙心与丙心同为二，心甲与心戊同为一也。联心乙二与心甲一，岂不成三？今以内圆半径为股【心甲】外圆半径为▯【心丙】三边之半为句【丙甲】成心甲丙句股形。则心丙自乘，内【▯幂】有心甲【股幂】及甲丙【句幂】两自乘之积也。而心甲股与心丙▯旣为一与二之比例，则心甲之幂一，心丙之幂必四也。以心甲股幂一减心丙▯幂四，其余积三，即丙甲句幂矣。故心甲之幂一，则丙甲之幂三，心丙之幂四。今先得边，故以丙甲三为主，而取其三之一为心甲股幂，又于丙甲三加三之一为四，即成心丙▯幂也【此论可解后一条】
以上俱明三等边平面之比例今作四面等体求其心法自乙顶向子向甲剖切之，成乙子甲三角面。
心者面之心中者体之心前图所谓心者面之心也今所求者体之心即后图所谓中也故必以剖而后见次求甲丑线乙子边平分于丑从丑向甲得垂线此丑甲垂线在体中必小于乙甲在外之垂线故乙甲如▯，丑甲如股，乙丑如句也。法以甲乙▯自乘，内减乙丑句幂，余为股幂，开方得丑甲。
又法凖前论乙丑之幂三【即丙甲皆半边故】则乙甲之幂九【乙甲三倍大于心甲故心甲幂一则乙甲幂九】以三减九余六亦即甲丑股幂矣以开方得甲丑捷法倍原半边【甲丙】自乘数以开方得【甲乙】中垂线 或半原边【丙己】自乘之数开方亦得【甲丑】 丙甲之幂三【乙丑同】则甲丑之幂六而丙己之幂十二也【甲丑与丙己幂积之比例为一与二】次求心中线捷法但半心甲自乘即心中幂论曰：心甲与心中，犹甲丑与乙丑也。甲丑幂与乙丑幂为六与三，则心甲与心中之幂亦如二与一。又捷法，心中之幂一，心甲之幂二，则乙丑之幂六【即丙甲】而心丙之幂八【亦即乙心】俱倍数。但以半边【乙丑或丙甲】之幂，取六之一，即心中幂，开方得心中，即四等面形内容小浑圆之半径也【心中线者，即各面之心至体心也，故为内容小浑圆半径】以心中之幂一【句】加乙心之幂八【股】并之为▯幂九，开方得中乙【或中子，或用前总图则为甲丙为甲己，并同】是即四等面形外切浑圆之半径也。外切圆之幂九【中乙】内切圆之幂一【心中】得其根之比例为三与一。故四等面形内容浑圆之径一，则其外切浑圆之径三。又捷法，但以乙丑半边之幂加五【即二之一】为中乙【或中子等】幂，开方得外切圆之半径【葢乙丑之幂六，中乙之幂九，其比例为一有半也】此四边不等形【又为三角立锥形】为四等面形四之一各自中切至边线成此形其底三边等即四等面形之一面，其髙为中，心即内容小浑圆之半径，其中乙等三楞线，三倍大于中心之髙，即外切浑圆之半径。
取四等面形全积捷法先取面幂【即前图乙己丙平面，依前比例求其幂】以内容圆半径【心中】乘之，得数四因，三归，见积。法曰：丙甲半边之幂三，则甲乙中长之幂九，开方得中长【乙甲】以乘丙甲，得乙己丙三等边之幂积，即四等面形之一面也。次求本积四之一【即各面辏心剖裂之形，如右图】丙申，半边之幂六，则中心之幂一，开方得中心髙，以乗所得面幂，而三分取其一，即为四等面形四之一，于是四乗之，即为全积也。又防法以丙甲乗心甲，又以中心乗之，即得本形四之一【即同三除以心甲为乙甲三之一故也】此带纵小立方形，与右图四等面形四之一等积。又防法以丙己全边【亦即丙乙】乗乙心再以中心乗即得本形全积【乙心为心甲之倍数，丙己为丙甲之倍数，用以】【相乗，则得丙甲乗心甲之四倍数也】
边设一百依上法求容丙己边一百，其幂一万；丙甲半边五。十其幂，二千五百。三因之，得七千五百。为乙甲中垂之幂【丙甲股幂减丙己▯幂得句幂也丙己亦即丙乙】平方开之得八十六【六○二五】为乙甲，其三之一得二十八【八六七五】为心甲，其三之二得五十七【七三五○】为心乙。又置丙甲幂二千五百，取六之一为心中幂得四百一十六六六，不尽，开方得心中之髙二十零四一二四，亦即内容浑圆之半径。依上法，以丙己全边一百乘乙心五十七【七三五○】得五千七百七十三半。又以心中二十零【四一二四】乘之，得全积一十一万七千八百五十一弱【与厯书微不同】
四等面体求心捷法准前论心中幂一则心甲幂二中乙幂九乙丑幂六以句股法考之，则中甲与中丑之幂俱三也。何也？心中甲句股形，以中甲为▯，故心中句幂一，心甲股幂二，并之为中甲▯幂三也。而乙中丑句股形，以中丑为句，故乙中▯幂九内减乙丑股幂六，其余为中丑句幂，亦三也。由是徴之，则中丑与中甲正相等。但如法求得甲丑线折半，得中防，即为体心。又捷法取乙丑幂【即原设边折半自乗】半之为中丑幂，开方得中丑，亦得甲中【或乙子全边自乘，取八之一为甲中幂，亦同】中丑即原边乙子，距体心之度；甲中即原边丙己，距体心之度。而中为体心。想甲防在丙己边折半之处，今从侧立观之，则线化为防。
而丙己与甲成一防故从丙己原边依楞直剖至乙子对边即成甲丑线其线即所剖面之侧立形此图即前图甲丑线所切之面葢面侧视则成线矣原设四等面全形今依子丑乙楞剖至甲则成纵剖图故甲防内有丙己线若依丙甲己楞剖至丑则成横剖图故丑防内有子乙也纵剖有三：依子乙楞剖至甲而平分丙己边于甲一也；依丙乙楞剖而平分子巳边二也；依己乙楞剖而平分子丙边三也。横剖亦三，依丙己楞剖至丑而平分，子乙边于丑一也。依子丙边剖而平分乙己边，二也。依子巳楞边剖而平分丙乙边，三也。其所剖之面并相似，皆以中防为三对角垂线相交之心。
一率 一一七八五一 例容二率，一○○○○○○，例边之立方积。
三率 一○○○○○○ 设容四率，八四八五二九○，设边之立方积。开方得根二百○四弱，为公积一百万之四等面体，楞与比例规解合。若商四数，则其平廉积四十八万，长廉积九千六百，其隅积六十四，共得四十八万九千六百六十四。不足四千三百七十四，为少百分之一弱，故比例规解，竟取整数也。
计开四等面诸数边一百积一十一万七八五一积一百万边二百○三九六内容浑圆，半径二十○【四一二四】内容浑圆，全径四十○【八二四八】外切浑圆，半径六十一【二一○○】外切浑圆，全径一百念二【四二○○】
互剖求心之图设边一百，其幂一万【丙己乙子，乙丙】乙己子丙子己并同为外切浑圆径幂三之二】半边五十，其幂二千五百【丙甲。甲己、乙丑、丑子等，并同为边幂四之一】斜垂线之幂七千五百【乙心甲子】角甲、丙、亢、丑、己、氐、丑，并同为边幂四之三】
其根八十六六○二五斜垂线三之一二十八八六七五其幂八百三十三三三【即外切浑圆径幂十八之一为边幂十二之一】即各面内容平圆半径【心甲角甲亢丑氐丑并同】斜垂线三之二五十七七三五○其幂三千三百三十三三三【乙心子角丙亢己氐并同】
内容浑圆半径二十○四一二四其幂四百一十六六六不尽【为边幂二十四之一即外切浑圆三十六之一】即分体中髙【心中角中亢中氐中并同】 若内圆全径之幂则一千六百六十六六六【为边幂六之一外切浑圆径幂九之一】外切浑圆半径六十一二三七二，其幂三千七百五十，即分体之立面楞【乙中、子中、丙中、己中并同】四因之为浑圆全径幂一万五千，其径一百二十二四七四四。又外切正相容之立方，其幂五千，为四等面边幂之半，即斜方之比例。又为外切浑圆径幂三之一。一率，外切浑圆径一百二十二，四七四四。
二率 四等面之边一百三率 浑圆径一百四率，内容四等，面边八十一，六四九六。又捷法，浑圆径幂一万五千，则内容四等面边幂一万，或内容立方面之斜，亦同为浑圆径幂三之二。若设浑圆径一百，其幂一万，则内容四等面边之幂六千六百六十六六六，亦三之二也。平方开之得八十一，六四九六为四等面边，即内容立方之斜。内容立方面幂三千三百三十三三三，为浑圆径幂三之一，即方斜之半幂，亦即四等面边幂之半。平方开之得五十七七三五○，是为浑圆径。一百内容立方之边，亦即浑圆内容立方立方，又容小圆之径。若于四等面内又容浑圆，则其径幂一千一百一十一一一，为浑圆径幂九之一，为四等面幂六之一，立方面幂三之一。开得平方根三十三三三不尽【幂九之一则其根必三之一也】为内容小浑圆之径。以径乗幂，得三万七千○三十七，为径上立方积。以十一乗，十四除，得二万九千一百○○半，为圆柱积。柱积取三之二，得一万九千四百，为小浑圆积，得大浑圆二十七之一。以小浑圆积二十七因之，得五十二万三千九百，为四等面外切大浑圆积【即径一百之浑圆积也】
互剖求心法凡四等面体，任以一尖为顶，则其垂线为自尖至相对之平面心【亦即平面容圆之心】而以余三尖为底，其垂线至底之防，旁距三尖皆等【即乙心、丙心、己心三线之距心皆等，而以子尖为顶，其垂线为子中心，其底为乙丙己平三角面，余仿此】此为正形【各尖皆可为顶，其法并同】若以子中心垂线为轴而旋之，则成圆角体。凡四等面体，任平分一边而平分之防为顶，以作垂线，则其垂线自此防至对边之平分防，而以对边为底，底无面但有边，底边与顶边相午直，正如十字形。假如以子乙边平分于丑，以线缀而悬之，则其垂线至所对丙己边之平分正中为甲防，其线为丑中甲，而子乙边衡扵上，则丙己边纵于下，正如十字，无左右之欹，亦无髙下之微差也。若以丑中甲垂线为轴，旋之，则成圆柱体。凡四等面体，以其边为斜线，而求其方，以作立方，则此立方能容四等面体。何以知之？曰：准前论，以一边衡于上而为立方上一面之斜，则其相对之一边必纵于下而为立方底面之斜。
矣又此二边之势旣如十字相午直而又分于上下为立方上下两面之斜线然则自上面之各一端，向底面之各一端，联为直线，即为四等面之余四边，亦即立方余四面之斜。如此则四等面之六边，各为立方形六面之斜线，而为正相容之体。如前所论，圆角体、圆柱体虽亦能容四等面形，而垂线皆小于圆径，故不得为正相容。捷法，四等面之边自乘，折半，开方，即正相容之立方根【即▯倍句股意】设边一百，其幂一万，折半五千，即为立方一面之积。求其立方根，得七十○七一○六，即丑中甲垂线之髙。若以此作容四等面之圆柱，则其髙七十○七一○六同立方之方根，而其圆径一百同立方面之斜，此圆柱内可函立方。其乙中子中等为自四等面体心至各角之线，又为立方心至各角之线，又为外切浑圆之半径，又为四等面分为四体之楞线，又为立方分为六方锥之楞线。又捷法以四等面之边幂加二分之一，开方即外切正相容之浑圆径，亦即立方体内对角线【如自乙至震】折半为自心至角线。四等面设边一百，其幂一万，用捷法二分加一得一万五千，为外切正相容之浑圆全径幂，开方得一百二十二四七四四，为浑圆全径，折半得六十一二三七二，为浑圆半径。
立方内容四等面图设立方边一百其积百万内容四等面边一百四十一【四二】一三】其积三十三万三千三百。三十三【三三三三】为立方积三之一乾坤震防立方【干丙坤己乙防子震与中心之丑甲同髙】内容子乙丙己四等面为立方积三之一。何以明之？凡锥体为同底同髙之柱体三之一。今自立方之乙角依斜线剖至丙巳，成乙丙巳防三角锥。以丙巳防立方之半底为底，又自子角斜剖至丙巳，成子丙巳震锥。以丙巳震立方之半底为底。合丙半底则与立方同底矣，而子震与乙防之髙即立方髙也。是此二锥得立方三之一矣。又自子乙斜线斜剖至巳角，成倒锥。以子乙坤立方之半顶为底，以坤巳立方髙为髙。又自子乙斜剖至丙角，亦成倒卓之锥。以子乙干立方之半顶为底，以干丙立方髙为髙。与前二锥同，亦三之一也。合此二锥，共得立方三之二，则其余为子乙丙巳四等面体者，必立方三之一矣。准此论之，凡同边之八等面积，四倍大于四等面积。何以知之？以此所剖之四锥体合之，则为八等面之半体，皆以剖处为面，而其边、其面皆与四等面等，是同边之体也。而八等面之半体旣倍大于四等面，则其全体必四倍之矣。设八等面边一百四十一【四二一三】与四等面同边，则八等面之积一百三十三万三千三百三十三【三三不尽】为四等面之四倍。若设四等面边一百，则其外切之立方面幂五十，立方根七十○【七一○六】以根乘幂得立方积三十五万三千五百五十三，四等面积一十一万七千八百五十一，为立方积三之一。推得八等面边一百，其积四十七万一千四百○四，此同边之比例。若立方内容之八等面，则其积为立方内容之四等面二之一。何以知之？八等面与立方同髙，则其积为立方六之一，故也。设立方边一百，内容八等面，边七十○【七一○六】其积一十六万六千六百六十六，为四等面之半。若设立方边七十○【七一○六】则内容八等面，积五万八千九百二十五半，其边五十。
四等面体又容小立方小立方内又容小四等面体则内容小立方径为外切立方三之一内小四等面在小立方内其径亦为四等面三之一而其积皆二十七之一何以知之？凡三等边平面之心，皆居垂线三之一。假如子巳丙为四等面之一面，其平面之心必在癸。而子甲垂线分三之一为癸甲，其余三面尽同。而内容之小立方，必以其下方之两角纵切子巳丙之癸心，及乙己丙之壬心。其上方之两防，必横切于子乙己之卯心，及子乙丙之申心。而立方内容之小四等面，亦必以其四角同切此四防也。今壬癸两防旣下距丙己线，为其各斜垂线三之一；而卯申两防又上距子乙线之斜垂线，亦三之一。则其中所余三之一，必为立方所居也。而内小立方，不得不为子乙与丙己相距线三之一矣。问：癸防为三之一者，斜面之垂线也；小立方者，直立线也。何以得同为三之一乎？答曰：癸防所居三之一，虽在斜面，而子乙纵线与丙己横线上下相距，必有垂线直立于其心；此直立垂线即前图之甲丑，与外切立方线同髙者也。丑甲中垂线以上，停三之一之上防，与卯申平对；以下停三之一之下防，与壬癸平对。依句股法，▯与股比例同也。然则丑甲线之中停，即小立方之所居矣。又丑甲者，即外切立方之髙也。故知小立方径，为外切立方径三之一。又小四等面在小立方内，以其边为小立方之斜，而纵横边相午对如十字，其中心亦以丑甲线之中停为其轴，其斜面之势一切皆与大四等面同，而丑甲者亦大四等面之轴也。小四等面之中轴旣为丑甲三之一，其余一切皆三之一矣。夫体积生于边者也，边为三之一者，面必为九之一，体必为二十七之一，无疑也。准此论之，浑圆在四等面内者，亦必为外切浑圆二十七之一，其径亦三之一也。何也？浑圆之切防，与小立方、小四等面之切防并同也。以此推知，小立方与小四等面在大四等面内，或居小浑圆内，以居大四等面内，其径积并同。
求体积浑圆径一百，其径上立方一百万，依立圆法，以十一乘，十四除，得七十八万五千七百一十四，为圆柱积，仍三分取二，得五十二万三千八百○九，为浑圆积。内容立方面幂三千三百三十三【三三】其边五十七【七三五○】以边为髙，乘面得一十九万二千四百五十○，为内容立方积。内容四等面体边幂六千六百六十六【六六】其边八十一【六四九六】依前论，四等面体为立方三之一，得六万四千一百五十○，为四等面积。立方内容小浑圆，以立方之边为径，五十七【七三五○】依立圆法，以立方积十一乘十四除，得一十五万一千二百一十，为圆柱积，取三之二，得一十○万○八百六十六，为小立圆积。四等面内容小浑圆径幂一千一百一十一【一一】其径三十三【三三】以径乘幂得径上立方积三万七千○三十七，以十一乘十四除得二万九千一百○半为圆柱积，又三分取一得一万九千四百为立方内之四等面内容小浑圆积，为大浑圆积二十七之一。若先有内小浑圆积，但以二十七因之得大浑圆积。依此论之，凡浑圆内容立方，立方内又容四等面体，四等面内又容小浑圆，其内外相似之大小二体，皆二十七之比例也。
又捷法用方斜比例立方面之斜设，一百，其幂一万，则其方幂五千，用三。
因之得一万五千开方得立方对角斜线即为外切浑圆全径立方面之斜，一百，即立方内容四等面之边。立方体对角斜线一百二十二【四七四四】即立方外切浑圆之全径，亦即四等面外切浑圆全径，半之得六十一【二三七三】即立方外切浑圆半径，亦即立方体心至各角之线，亦即四等面体心至各角之线。
八等面形图注第一合形甲丁 甲丙 甲己 甲戊丁丙 丙己 己戊 戊丁戊乙 己乙 丁乙 丙乙以上形外之楞凡十有二即根数也其长皆等或设一百为一楞之数，则十二楞皆一百也。甲丁戊，甲戊己，甲己丙，甲丙丁，丙丁乙，己丙乙，戊己乙，丁戊乙。以上形，周之分面凡八，皆等边平三角形也。其容积，其边皆等。或设一百为边数，则三边皆一百，而形周之分面八，皆三边，边皆一百也。
第二横切形【二】
甲丁丙己戊为上半俯形丁丙己戊乙为下半仰形右二形各得合形之半皆从丁戊楞横剖至己丙一俯一仰皆方锥扁形丁丙己戊为方锥之底其边皆等其从四角凑至顶之楞皆与底之边等第三直切形【四】
从甲尖依前后楞直剖过丁己至乙尖成左右两形从甲尖依左右楞直剖过丙戊至乙尖成前后两形此四形者一切皆与仰俯二形同但彼为眠坐之体故为方锥【仰者即倒卓方锥】而此则立体，即如打倒方锥之形也。第四，横切之面，一直切之面，二。因横剖得正方平面，在立方锥，以此。为底倒方锥，以此为面，在合形则为。腰围其己丁及丙戊两对角斜线相。交于心，即两直切之界也【心即合形中心】因直剖得斜立，方面二，其己丁及戊。丙，横对角线，即横切之界，其从甲至乙，垂线即直剖之界。如立面在前后，互剖之形，则此线为左右直剖之界。彼此互为之也，亦即为全形之中髙。
径线以此知八等面之中，髙线为方斜之比例第五分形因横剖及两直剖，分总形为八，皆三角锥形也皆以等边平三角形面为锥形之。底而以横直剖线相交处之点为其锐顶即合形之中心也其自顶心至角之楞皆等，皆边线。之方斜比例也【底线为方则此线为其斜之半】而此楞线又即为八等面形之外切。
圆之半径设己戊边一百，其幂一万，则心戊。楞之幂五千【倍戊庚半边之幂为半斜幂也】戊心之幂五千内减戊庚幂二千。五百则，其余二千五百为心庚之幂故心庚必与戊庚等从心顶对己庚楞直剖至庚分形为两，则其中剖处成三角平面。己、庚者，乙、己、戊等边三角平面之中垂线也，其幂为边四之三，设边一百之幂，一万则己，庚之幂七千。
五百庚辛者，平面三角容圆之半径也。得己庚三之一，其幂则九之一也。己庚之幂七千五百，则庚辛之幂八百三十三【三三】辛防即各三角平面之中心。以庚辛幂八百三十三【三三】减心庚幂二千五百，得心辛幂一千六百六十六，开方为心辛，即分形之中髙也。求得分形中髙四十○【八二四七】依平面三等边法，设边一百，其中长线八十六【六○二五】其幂积得四千三百三十○【一二五○】取平幂三之一，得一千四百四十三【三七五○】以乘中髙，得分形积五万八千九百二十五【三五一三】再以八因之，得总积四十七万一千四百○二【八一○四】与总算合。设八等面之边一百，其幂一○○○○，即横剖中腰之正方；半之为每角辏心之线之幂，得○五○○○。此线即分形自底角辏顶心之楞【如心戊、心己、心乙】又为八等面形外切浑圆之半径；又半之为分形每面自顶至边斜垂线之幂【即心庚】得○二五○○。此线即设边之半，其幂为设边四之一。设半边之幂，取其三之二，为分形中髙线之幂【即心辛】得○一六六六不尽。又为八等面形内容浑圆之半径防法，取八等面设边之幂六而一，为八分体中髙之幂，开方得中髙。假如设边一百，其幂一万，则分体中髙之幂一千六百六十六不尽。求其根，得四十○【八二四八】以中髙乘三角平面幂三除之，得分体八，因之得全积。又捷法，八等面设边之幂，取三之二为体，内容浑圆之径幂，开方得内容浑圆径，折半为八分体中髙。假如设边一百，其幂一万，则内容浑圆之径幂六千六百六十六，不尽。求其根，得八十一【六四九六】折半为分体中髙。或竟以内容浑圆全径乘设面三角平幂四因三除之得全积。
又捷法 此方斜之比例八等面设边之幂，倍之为体外切圆径幂，开方得径，以乘设边之幂【即腰广平方】得数三归见积。假如设边一百，其幂一万，其斜如▯，▯之幂倍方幂得二万，求其根得一百四十一【四二一三】以乘腰广一万，得一百四十一万四千二百一十三。三除之，得总积四十七万一千四百○四。一系八等面体之边上幂与其外切浑圆之径上幂，其比例为一与二【方斜比例】一系八等面体之边上幂与其内容浑圆之径上幂。
其比例为三与二一系八等面体外切浑圆之径上幂，与其内容浑圆之径上幂，其比例为三与一。准此而知，八等面内容浑圆，浑圆内又容八等面，其浑圆外切之八等面边或径上幂，与内容之八等面边或径上幂，其比例亦必为三与一也。
计开八等面形诸数设边一百，其积四十七万一四○四【与厯书所差甚微】其体外切浑圆之径一百四十一【内外两浑圆之径幂为三与一，其根约为四与七而强】体内容浑圆之八十一。八等面外切立方径一百四十一【方斜比例也，与外切浑圆同】八等面内容立方径四十七。内外切大小立方之径之比例，为三与一。内外两立方之积之比例，为二十七与一。若浑圆内容立方，立方内容八等面体，八等面体内又容浑圆，则大小两浑圆之径亦若三与一，其积亦若二十七与一。
一率 四七一四○四 例容二率，一○○○○○○，例边之立方。
三率 一○○○○○○ 设积四率，二一，二一，三二，二设边之立积。开立方，得根一百二十八，为公积一百万之八等面根【与比例规解合】
防何补编卷二二十等面形，自腰切之，成十等边平面。
先求甲丁 乃十等边平面从心对角之线 亦即二十分形各三角立体一面之中垂斜线法为甲乙【即切形十等边之半，在原设二十等面形边为四之一】与甲丁若十八度之正▯与全数也【十等边各三十六度，其半十八度】设边一百，所切十等边平面之边五十，其半甲乙二十五。
一率 十八度正▯ ○三○九○二率 全数 一○○○○三率 甲乙 二五四率 甲丁 八○【九○六一】
用等边三角求容圆法设边一百，其内容圆半径二十八【八六七五】为心甲。
以心甲为句二十八【八六七五】其幂八百三十三【三三二五】以甲丁为▯八十○【九○六一】其幂六千五百四十五【七九七○】句幂减▯幂，余五千七百一十二【四六四五】为心丁股幂。开方得心丁七十五【五八○八】此即各面切形自各面之心至切体尖之髙也。其切体之尖，即原设二十等面总形之体心，为丁点。
用后法得乙己丙平面幂积四千三百三十○【一二五○】又依三等边角形设边一百【丙己】 其半五十【丙甲】 求到乙甲中长八十六【六○二五】用其三之一即心甲二十八【八六七五】以与丙甲五十相乘得一千四百四十三【三七五○】为各等面平积三之一【三因之得平面幂】又以丁心七十五【五八○八】乘之，得一十○万九千○九十一【四三七二】为二十等面形分切每面至心之积。又以二十乘之，得全积。
依上法求到二十等面全积设边一百，其积二百一十八万一千八百二十八【查比例规解差不多，惟测量全义差逺】按此法，以本形分为二十，各成三角立锥形，而各以分形之髙乘底，取三之一，以为分形积，然后以等面二十为法，乘而并之，得总积，可谓的确不易矣。然与厯书中比例规解及测量全义俱不合，何耶？
计开二十等面形设边一百，其每面中长线八十六【六○二五】其每面幂积四千三百三十○【一二五○】其每面容平圆之心作线至形心之丁七十五【五八○八】即心丁。心丁即内容浑圆之半径。其分形各以每面之幂积为底，心丁为髙，各得三角立锥积一十万九千○九十一【四三七二】其立锥积凡二十合之得总积二百一十八万一千八百二十八。
用上法求形内容浑圆其心丁七十五【五八○八】即内容浑圆半径【以心丁线与各平面作垂线而丁防即体心故】倍之得一百五十一【一六一六】为内容浑圆全径。置小浑圆径一百五十一零，自乘得二万二千八百○一，以十一乘十四除，得一万七千九百一十五，为圆幂。置内容浑圆之平圆幂一七九一五，以圆径一百五十一取三之二，得一百强，以乘平圆幂，得一百八十○万二千二百四十九，为二十等面内容浑圆之积。置内容圆径一百五十一，自乘得【二万二千八百○一】再乘【三百四十四万二千九百五十一】以立员捷法【○五二三五九八七七】乘之，得浑圆积一百八十○万二千七百二十五。先用宻率【十四除十一乘】得浑圆一百八十万二千二百四十九，以较立圆捷法所得，少尾数四百七十六，约为一万。
八千之五弱不足为差也依立圆法，以圆率三一四一五九二乘立圆法六而一，得五十二万三五九八，为径一百之浑圆积。依法求得立方边五十七【七三五○】立方积一十九万二四五○，四等面积六万四千一百五十○，并合前算小浑积一○○七六六。若用捷法，以浑圆率五二三五九八乘立方积得数，后去末六位，亦得一十○万○七六六。内容浑圆，尚且如此之大，况二十等面之形，又大于内圆乎？然则《厯书》之率，其非确数明矣。
二十等面一率 二一八一八二八 例容二率，一○○○○○○，例根一百之体积，三率，一○○○○○○，设容。四率，○四五八三三二，所求根立积。如法算得二十等面之容一百万，其根七十七。比例规解作七十六，尚差不多。测量全义云二十等边，设一百，其容五二三八○九，则大相悬絶矣。乆知其误，今乃得其确算。己未年所定之率，以两书酌而为之，究竟不是。今乃得之，可见学问必欲求根也。
二十等面分体之图亥子戌为二十等面之一面亦即各分体之底亥子子戍戍亥皆其边即根也半之为亥甲甲乙丙为横边切处，即横切成十等边形之一边，丁为体心，亦即切十等边平面之中心。甲乙丙丁，即横切十等边平面之分形。心为二十等面每面之正中。心丁为体周各平面至体心之垂线，亦即分体之中髙，亦即体内容浑圆之半径。丁亥、丁子、丁戌，皆分体之楞线，乃自各分面角辏体心之棱也，亦即为外切浑圆之半径。丁甲、丁丙，皆横切平面各角辏心之线，亦即分体各斜面之中垂斜线也。求法以丁甲为股，亥甲为句【即根之半】两幂相并，开方得▯，即丁亥也【丁子、丁戌同】
求二十等面外切浑圆之半径依句股法，以丁甲股八十○【九○六一】自乘，幂六千五百四十五【七九七○】亥甲句五十○自乘，幂二千五百，相并为亥丁▯幂九千○四十五【七九七○】平方开之，得亥丁九十五【一○五二】为外切浑圆半径，亦即二十分形自其各角辏心之棱，倍之得一百九十○【二一○四】即外切浑圆全径。
计开二十等面体诸数设边一百，其容二百一十八万一千八百二十八，其内容浑圆，径一百五十一，其外切浑圆一百九十，其每面中心至体心七十五半【即内容浑圆之半径】其每面各角至体心九十五【即外切浑圆之半径】
计开二十等面体诸用数设边一百，外切立方之半径八十○【九○一七】为体心至边之半径【即寅中、卯中、辰中等】倍之为边，至边一百六十一【八○三四】即外切立方全径，外切浑圆之半径九十五【一○五六】为体心至各角尖之半径【即甲中戊，中心中等】倍之为角尖，至角尖一百九十○【二一一二】即外切浑圆全径。内容浑圆及内容十二等面之半径七十五【五七六一】为体心至各面之半径【即己中庚中等】倍之为内容浑圆全径一百五十一【一五二二】为面至面内容十二等面之边五十三【九三四四】每面之幂四千三百三十○【一二五○】二十等面之幂，共八万六千六百○二半。分体积一十○万九千○八十四【六五】为二十等面体积二十之一。合之，得全积二百一十八万一千六百九十三。内容小立方之边八十七【二六，以内容立圆径自乘七七，乏幂取三之一，开方得之】内容灯体边五十【即原边之半】
立方内容二十等边算法亢卯寅房为立方全径一百中寅中卯为半径五十寅卯二点为二十等面边折半之界寅卯线为二十等面边之半中为体之中心，寅中卯角为三十六度。中寅半径，当理分中末之全数，寅卯即理分中末之大分。甲戊戊心心甲皆寅卯之倍数，即二十等面之边其数六十一【八○三三九八】甲辰，半边三十○【九○一六六九，与寅卯同】
心辰垂线五十三【五二三三】 半垂线心箕二十六【七六一六】 甲辰幂九百五十四【九一五○】 三因甲辰幂为心辰幂二千八百六十四【七四五○不尽】
计开立方径设一百 半径五十理分中末线，大分六十一【八○三三九八】即二十等面之边。论曰：以中寅半径五十，求寅卯正，得理分中末大分之半。而甲戊边原倍于寅卯，寅房全径亦倍于寅中，是全数与大分皆倍也。故径以全数当寅房全径，以理分中末之大分当甲戊等二十等边之全边也。又立方边设一百【即寅房径】半之五十【即中寅】内容二十等面之边六十一【八○三三九八即甲戊等】面之中垂线五十三【五二三三，即心辰】中垂线之半，二十六【七六一六，即心箕】面之幂一千六百五十三【九五七八，甲戊心面】中垂线三之一，得一十七【八四一一，即心己】
内容立圆半径四十六【七○八六即己中】 全径九十三【四一七二】二十等面全积五十一万五千○二十六【九五九七】
约法立方根与所容二十等面之边若全数与理分中末之大分，面幂三之一以乘容圆全径得数十之为全积，中垂线三之一心己为句【即平面容员半径】自乘得句幂三百一十八【三○四八四九】以减中寅▯幂二千五百○○，余己中股幂二千一百八十一【六九五一五一】开方得己中根四十六【七○八六】二十等面边设一百用理分中末线求其外切之立方一率，二十等面边六十一【八○三三九八】
二率 外切立方一百○○三率 二十等面边一百○○四率外切立方一百六十一【八○三四】依法求得二十等面边一百，其外切立方一百六十一【八○三四】与先所细算合。
半圆内容正方法以圆径为三率【丙丁】理分中末之小分为二率【庚辛】理分中末全线加小分为首率【丁辛为全线，再加庚辛为小分，共得为丁庚总线也】二三相乘，一率除之，得四率【丙乙即甲丁】为全径之小。分以减全径余【乙丁】乃于乙作。正十字线至圆界【如己乙】即以此线自乘作正方【己甲】如所求。
论曰：己乙即丙乙与乙丁之中率，而丙乙旣为乙丁全径之小分，则己乙即大分也。而甲乙亦为大分，甲丁亦为小分矣。若自甲作甲戊，必与己乙、甲乙等，而其形正方。
半浑圆内容立方法以乙甲圆径自乘之幂取其六之一，开方得容方根【丙丁方，丙戊边】论曰：试倍甲丙乙庚半浑圆为全浑圆体，亦倍丙丁正方形作丙己长立方形，亦必能容矣。然则丙己线在长立方形之内为斜线者亦即浑圆之径也【与甲乙径等】
试于长立方面作戊己斜▯则己壬为之句戊壬为之股而戊己▯幂内有己壬幂与戊壬幂矣而丙己线为▯则戊己又为股丙戊又为句，而丙己自幂内，又兼有戊己幂及丙戊幂矣【丙戊亦即己壬】又戊壬为己壬【即丙戊亦即戊癸】之四倍，则戊壬股幂内有己壬句幂四，合之为戊己▯幂，则戊己幂内有己壬幂五矣。而丙己▯幂内复兼有戊己股幂及丙戊句幂，是丙己幂内有丙戊幂六也。丙己旣同圆径，则取其幂六之一，开方必丙戊容方边矣。立方内容十二等面，其内又容立方【此相容比例】
立圆内容十二等面其内又容立方此立方之面幂为外圆径上面幂三之一而立方之各角即同十二等面角，以切于立圆之面。法以外切浑圆径上幂取三之一为十二等面内小立方幂平方开之得小立方根根乘幂见积。又简法以十二等面之面幂求其横剖之大线，此线即十二等面内容小方之边如图作甲乙线剖一面为二此线在面中最大即为内小立方根以此自乘而三之即小立方外切浑圆径幂凡立方内容二十等面，二十等面内又容浑圆，圆内又容小立方。此小立方之各角能同浑圆之切点，以切于二十等面之平面心。
法以内容浑圆径之幂取三之一为内小立方之幂平方开之得切点相距即小立方根以根乘幂见积简法取内容浑圆之内小立方边，求其理分中末之大分，为内容十二等面边。又简法如前，求得二十等面内容十二等面之一面，乃求其横剖之大线，即二十等面内容小立方之根。以根自乘而三之，即二十等面内容浑圆之径幂。开方得根，即内容浑圆径。折半为分体之中髙。
此二十等面之面作三分之一横剖此十二等面之面在二十等面内此五等面边即前横线所成凡五等边平面，其边即七十二度之通▯，横剖大线即一百四十四度之通▯，各折半为正▯，可以径求一率三十六度正▯二率 七十二度正▯三率 五等边之一边四率 横剖之大线凡十二等面体与二十等面体可互相容而不穷。十二等面体有二十尖，二十等面体有十二尖。其各尖之相距必均。其互相容也，皆能以其在内之尖切在外各面之中心而徧。凡二十等面，内容立圆，仍可以容二十等面。二十等面内容立圆，仍可以容十二等面。
甲心乙 乙心丙 丙心丁丁心戊 戊心甲 皆二十等面之一面其各三边皆等各以庚辛壬癸己为其面之心若内容十二等面体，则十二等面之各尖必切于庚、辛、壬、癸、己等心点。今求内容十二等面之边，则必以庚辛等心点聮为直线，即成五等边面之边，而与十二等面之形相似而可。
以相容矣法当以边【如甲戊】半之【如甲辰】作。对心垂线【如辰心】成心辰甲句。股形既得，己卯倍之为己庚，即内容十二等面之一边，二十等面体内容十二等面之图。
第一图原形如五面扁锥心尖鋭起甲心戊等三等边平面凡五共辏而成一心尖乃二十等面四之一其己、庚、辛、壬、癸五点，皆三等边平面之中心，亦即内容十二等面之棱尖所切，故必先求此点。简法曰：以甲戊边半之于辰，作辰心对角斜垂线。又以心甲、心戊各取三分之二为心子、心丑，乃聮子丑为线，与甲戊边平行，与辰心垂线十字交于己点。则己点即甲心戊平面之心。再从子至午作与边平行线，线之半即庚点。余三面尽如此作平行线，则辛点在午未线，壬点在未酉线，癸点在酉丑线。但半之皆得心矣。
第二图剖形是五等边平面因前图所作子丑等平行线横剖之去其中髙之尖成子午未酉丑五等邉平面此平面之心点在前图心顶之内惟子丑等邉线是原形所作，平行线在体外可见，余皆以剖而成，乃从各角作线至心，如子心等分形为五，皆平面三角形，而心子等线皆小于子丑邉，因子己原邉及子心丑角求得心己垂线及子心对角线。
第三图正用之形即内容十二等面之一面因前第二图各平分其邉得己庚辛壬癸五点即原形之平面心又聮此点作己庚等直线则成此形，以此形为内容，十二等面之一面，则己庚等五点为十二等面之鋭角，而皆切二十等靣之平面心矣。求己庚线法，因心子对角线及心己垂线，子己原半边，得己卯，倍之为己庚。
第一图设二十等面边一百，甲戊等五边，甲心等五辏，顶线并同。则子心六十六【六六】子丑平行线同，皆为原边三之二。心己斜垂线五十七【七三五○】为心辰斜垂线三之二。
以上用第一图乃斜立面也第二图子己半边三十三【三三】子心对角线五十六【七○九九】己心垂线四十五【八七九二】法为全数与五十四度之割线【一七○一三○】若子己边与子心也。子己乘割线，以全数十万而一，得子心。又全数与五十四之切线【一三七六三八】若子己边与己心也。子己乘切线，以全数十万而一，得己心。凡全数除降五位。
第三图 仍从第二图生己、庚等两平面心相距线五十三【五八一六】其半己卯二十六【七九○八】法为：子心对角线，与己子半边，若己垂线与己卯也。倍己卯，得己庚。求得二十等面边一百，内容十二等面其边五十三【五八一六】防法但用法聮两平面之中心点，即为内容十二等面之边。两平面心相聮为直线之图。
乙心甲及戊心甲两等边平三角面以甲心边为同用之边而甲心隆起如屋之山▯两平面之中心为己为庚聮为己庚线与甲心为十字然不▯相切何也甲心既隆起则甲心折半之卯在己庚折半之栁点上其距为卯栁试侧视之则甲心戊面变为戊卯线甲心乙面变为卯乙线而甲卯心线变为卯点己庚点在平面原近甲心点为卯戊卯乙三之一，则卯栁之距亦为垂线三之一矣。二十等面从腰横剖之图。
凡二十等面体其面之边皆等而皆斜交故边皆髙于面面之中心如己如庚是距体心最近之处故为内容浑圆及十二等面所切之点也边之两端，又髙于其折半之处，边所辏为尖，如甲、如戊、如乙、如心等，是距体心最逺之处，故为外切浑圆及外切十二等面之尖也。其各边折半之点，如寅、如卯，其距体心在近逺酌中，为外切立方之半径。其内切之己、庚，外切之甲、戊、乙、心等，頼寅卯距心之线为用，然后可知，故其用最要。横剖所成之面【十二等面，从腰横剖，其根亦同】
问各边既髙于面而又斜交何以能横切成平面乎曰从右图观之甲戊尖最髙则其所对之乙心等边似平矣而乙、心等尖亦髙，则其所对之甲、戊等边又平一髙一平，彼此相制而成相等之距。故寅、卯等折半之处，其距体心皆等，联之为线，即成相等之线，而皆平行也。然则何以知其为十等边平面？曰：“准右图，上下各五面，其腰围亦上下各五面，而尖牙相错成十面。今各从其半边剖之，则必为十边平面无疑也。”如图，奎、卯、寅十等边平面，以中为心。
中寅中卯皆原体心与其邉折中处相距之半径亦即为外切立方之半径也于前图作外切之奎角卯寅平图则寅卯等即为分圆线，乃全圈十分之一，当三十六度，理分中末线图。
奎中为全径井中为半径以半径【设五十】为句，全径【设一百】为股。求其▯得一百一十一【八○三三】【九八】为井奎，以井为心，中为界，作圆分如中斗，截井奎线于斗，则井斗亦半径也。以井斗减井奎，其余斗奎即为理分中末线之大分【亦即奎牛】以奎牛为度，作点于倍径之圈周而徧，即成十平分圈周之点。聮其点为线，即成寅卯等十等边，故十等边之寅卯等即木圈半径之理分中末大分也。若奎中为半径，则井中为半半径，亦同。奎中全数【半径】设一百寅卯必六十一【八○三三九八】即半径理分中末之大分【奎牛即奎斗】理分中末线，法以全数一百之幂一万为股幂，其半五十之幂二千五百为句幂，并得一万二千五百为▯幂，开方求其根，得一百一十一【八○三三九八】以半数五十减之，得六十一【八○三三九八】为理分中末之大分，即三十六度之分圆线也。半之为十八度之正▯三○九○一六九九【八线表作三○九○二】二十等面分体之图。
甲戊心为二十等面之一面其三边等中为体心甲中戊中心中皆各面之鋭角距体心之线又为体外切浑圆及外切十二等面之半径以甲戊心面为底依甲中戊中心中三线剖至体心中成三角锥体为二十等面体二十之一锥体之底各以其三边半之于寅于辰于卯从此三点作线而体心之中点，皆为锥体各立面之斜垂线。如辰中，即为甲中戊立面之斜垂线；寅中，为甲中心立面之斜垂线；卯中，为戊中心立面之斜垂线，并同。又聮寅卯辰三点为寅卯、卯辰、辰寅三线，成寅卯辰小等边平三角面，以此为底，依寅中、卯中、辰中三斜垂线剖至体心之中点，成小三角锥体，其积为大三角锥四之一，其寅卯等边为原边二之一。原设边一百，则寅卯五十。其己点为三角面之中心【大小并同】己中即分体之中髙【大小锥体同】是即内容浑圆之半径，亦即内容十二等面体各尖距其体中心之半径。其辰中卯，寅中卯，卯中辰，皆立三角面，皆为横剖成十等边平面之分形。故寅卯与寅中之比例，若理分中末线之大分与其全数也。今求寅中线【即外切立方半径】，卯中亦同】一率，理分中末之大分。六十一【八○三三九八】
二率 全数 一百三率寅卯【剖形十等边之一即原边之半】五十。四率寅中八十○【九○一七】按寅中线为量体之主线，既得此线，即可以知余线，而此线实生于理分中末线。《几何原本》谓分中末线为用最广，盖谓此也。次求己中【即内容浑圆及十二等面之半径】
甲戊原边设一百半之于寅作寅己垂线至己心【乃平靣心】己寅二十八【八六七五】为句其幂。八百三十三【三三三三】用防法。
以边幂一万取十二之一得之寅中八十○【九○一七】为▯其幂。六千五百四十五【○八五○】句幂减▯幂，余五千七百一。十一【七五一七】开方，得股为己中。
七十五【五七六一】
订定寅中线一率，理分中未线大分，六十一【八○三三九八】
二率 全数 一百三率寅卯【剖形十等边之一，即原边之半】五十四率寅中【即外切立方之半径】八十○【九○一七】
订定己中线甲戊边原设一百【半之于寅，作寅己线】己寅句二十八【八六七五】幂八百三十三【三三三三】
寅中▯八十○【九○一七】 幂六千五百四十五【○八五○】己中股幂五千七百一十一【七五一七】 根七十五【五七六一】末求己庚线【两平面心相聮即内容十二等面之边】一率，寅中八十○【九○一七】为大▯。二率，己中七十五【五七六一】为大股。三率，寅己二十八【八六七五】为小▯。四率，己星二十六【九六七二】为小股。倍己星得五十三【九三四四】为己庚。解曰：中寅、己大句股形，与己寅、星小句股形，同用寅角，则其比例等，而为相似之形，故也。己、庚等线相聮，成五等边平靣图。
准前论甲心戊等三角平面合二十面为二十等面体则甲心等边线皆髙于平面而边线之端五相辏，即为尖角【如心】
点】依此推知甲乙丙丁戊点皆必与他线五相辏而成尖角矣。其己、庚、辛、壬、癸各点，为各平面之最中央，在体为最平之处，故内容之浑圆及内容之十二等面各尖，必切此点。今依前法求得己庚等点相联为直线，则凡五平面相辏为尖，必有各中央之点相联为线，而皆成五等边平面形矣【此平面形正与心尖相应】依此推知甲乙丙丁戊各点皆能为尖，则其周围相辏之五平面亦必各以其中央之点相联为线，而皆成五等边平面形。二十等面体以五边线相辏之尖凡十有二，每一尖之周围皆有五平面，即皆有中央之点相联而成五等边平面，亦十有二。如此而内容十二等平面体己成，故曰但联己庚二点为线，即内容十二等面之边也。求甲中线【即外切浑圆及十二等面之半径，心中戊中并同】
寅甲为原边之半设五十其幂二千五百为句幂寅中为外切立方半径八十○【九○一七】其幂六千五百四十。五【○八五○】为股幂，并句股幂九千○四十五【○八五○】平方，开之得甲中▯。依法求得甲中九十五【一○六五】
求体积设边一百，其半五十。斜垂线八十六【六○二五】相乗得面幂四千三百三十○【一二五○】又以己中髙七十五【五七六一】乗面幂，得柱积三十二万七千二百五十三【九六○○】三除之得分体积一十○万九千○八十四【六五○○】以二十乗之，得全积二百一十八万一千六百九十三十二，等面分体之图。戊、辛、庚、己、壬五等边形，即十二等面立体之一面，亦即分体形之底【乃五面立锥形之底】丙为平面心。丙丁为平面，心至体心之垂线，亦即分体形之中髙，又为体内切浑圆之半径，亦即为内切二十等面之半径。丁为全体之中心，又为十二分体之上鋭，即五等面立锥形之顶。戊、辛、壬、庚等，皆各面之外周线【即边也】为体之棱，亦名之。
为根自分面之心丙作垂线至边【如癸丙甲丙】分各边为两，其分处。
为癸为甲【即各边折半处】乃自癸至甲聮为癸乙甲线，又自此线向丁心平剖之，成甲丁癸三角形，面各分形俱如此切之，成十等边平面形，故丁癸、丁甲皆分体形。自顶鋭至各边之斜垂线，在所切之十等边平面形，即为自丁心至平面角之线【甲癸等点在各边为折中，在切形之平面则对角】又自丁至体周各角之线【如丁辛、丁庚、丁戊等】在分体即为自底角至顶鋭之棱，又为外切浑圆之半径，又为外切二十等面之半径。先算十二等面之面【即戊辛庚己壬】法为全数与五十四度之切线若甲辛与甲丙也。以甲丙乘甲辛，又五乘之，得戊辛庚己壬五角面积【甲丙辛角为五等边之半角三十六度，其余角甲辛丙必五十四度】
次算面上大横线【即甲癸】又全数三十六度之正▯若甲丙与甲乙也。倍甲乙，得甲癸。
次算中髙线【丙丁】
法为全数与七十二度之割线若甲乙与甲丁也【因平切十等边为三十六度半之为十八度其余角七十二度即乙甲丁角】乃以甲丁为▯甲丙为句，两幂相减，开方得股，即丙丁也。
次算分体之积法以中髙丙丁乘戊辛庚己壬底而取其三之一为分形积。末以十二为法，乘分形积，得总积。简法以分形，中髙乘底，又四乘之，即得总积【三归三因，对过省用】算甲丙。
一率 全数 一○○○○○二率五十四度切线一三七六三八【相乗得六八】三率设根之半【甲辛】五○【八一九○○】四率，甲丙。六八【以全数除之，减五位为畸零】算甲乙。法为全数与三十六度之正▯若甲丙与甲乙也。
一率 全数 一○○○○○二率，三十六度正▯，○五八七七九。
三率 甲丙 六八八一九○四率 甲乙 四○四五一一甲癸为横切十等边平面之一其半为甲乙丁即总形之心亦横切平面之心算甲丁法为全数，与十八度之余割，若甲乙与甲丁也。
一率 全数 一○○○○○二率，七十二度割线，三二三六○七。
三率 甲乙 四○四五一一四率 甲丁 一三○九○二五算丙丁中髙线法以甲丁为▯甲丙为句，求得股为丙丁。算得丙丁一百一十一【三五二六】为中髙线，亦即十二等面形内浑圆之半径。
算五等邉面幂法以甲丙乘甲辛，五十得三千四百四十○九半，又五乘之，得一万七千二百○四七五，为五等边【边各一百】之平幂，亦即十二等面分形之底积。
算总积用简法以底积一七二○四七五四因之得六八九九○，以乘中髙得七百六十八万二千二百一十五八七四○，为十二等面之积。
计开十二等面一率 七六八二二一五 例容二率，一○○○○○○，例边上立积。
三率 一○○○○○○ 设容四率○一三○一七○求得设边上立积立方法开之得其根五十。与比例规解合，与测量全义差四千一百七十四，为二百分之一。算辛丁【庚丁戊丁并用】又即为外切浑圆半径。法以甲丁股幂【一七一三五】甲辛句幂【○二五○○】并为▯幂【一九六三五】求得▯数一百四十○，为辛丁，即外切圆半径，计开。
十二等面之数设边一百，其容积七百六十八万二二一五。内容浑圆径一百二十二，外切浑圆径二百八十。防法十二等面边，求外切内容之立方及外切之立圆。置十二等面边为理分中末之小分，求其大分。为内容立方边。内容立方边自乘而三之，开方得外切立圆全径。又置十二等面边为理分中末之小分，求其全线为外切立方边。一率，理分中末之小分【三十八一九六六○一】理分中末之大分，二率。理分中末之大分【六十一八○三三九八】理分中末之全分，三率。十二等面之边。
四率 内容小立方边 即大横线又一率 理分中末之小分二率 理分中末之全分三率 十二等面之边四率 外切立方边以十二等面边减外切立方边，余为内容立方边。以内容立方边加十二等面边，即外切立方边。又防法但以十二等面边加大横线【即小立方边】即外切立方边。立方内容十二等面算法，用理分中末线。
此五等边面为十二等面之一巳为平面心 中为体心寅卯为戌亥大横线之半【三十】【○九○一六九九】卯中寅中为外切立方半径【五十】戌亥为面之大横线【六十一八○三三九八】为理分中末之大分，亦即内容小立方之根。
巳寅巳卯俱平面容圆半径巳中为内容立圆半径，即分体中髙丑中为外切立圆半径【亥中戌中并同】设立方根一百为径，半径五十为寅中卯中，理分中未大分之半为寅卯【三十○九○一六九九】又半之为寅子【一十五四五○八四九五】为理分中末大分四之一。
一率 全数 一○○○○○二率，五十四度之割线，一七○一三○。三率，寅子【一十五四五○八四九五】四率，寅巳【即卯巳】二六二八六五。
求得卯巳为平面中垂线一率 全数 一○○○○○二率，三十六度之切线，○七二六五四。
三率 卯巳 二十六二八六五四率，卯丑【即半边】一十九○九八二。倍卯丑得丑亥边三十八【一九六四】即十二等面边，乃理分中末大分之大分也。以此知大横线与五等边为理分中末之全分，与其大分之比例也。卯巳句幂【○六九○九八】卯中▯幂【二五○○○○】相减为股幂一八○九○二。开方得巳中【四十二五三二五】为内容浑圆半径。卯丑句幂【○三六四七四一二四三】卯中股幂【二五○○】相并为▯幂【二八六四七四一二四三】开方得丑中【五十三五二三二】为外切浑圆半径。丑亥巳卯相乘，五因二除，为面幂，以乘巳中，而四因之，得十二等面积。
简法十二等面内容小立方【六十一八○三三九八】即理分中末之大分。葢戌亥大横线倍大于寅卯，故也。大横线即小立方之边。以大横线之幂，三因之，开方得亥中，为外切浑圆半径【丑中同】又立方根与所容十二等面边若全数与理分中末之小分。
约法立方根与其所容十二等面体内小立方之根，若全数与理分中末之大分。凡立方外切浑圆，则径上幂三倍于方幂。
计开立方设径一百内容十二等面边三十八【一九六六○一】内容小立方边六十一【八○三三九八】外切浑圆径一百○七【○四六六二五】即丑中亥中倍数。外切浑圆半径【五十三五二三三】即丑中亥中。内容浑圆半径四十二【五三二五】即已中，为分体中髙。内容浑圆全径八十三【○六五一】内容二十等面边四十四【七二一一】
几何补编卷三十二等面体分图，用理分中末线。
辛戌亥五等边形为十二等面之一。
寅卯防为边折半处中为体心卯中为外切立方半径【设五十】卯亢为外切立方全径【设一百】寅卯线与卯中半径若理分中末之大分与其全数也，在圆内为三十六度之分圆。「辛癸、辛戌等俱七十二度之分圆。」乙巳为半径【己丑同】乙癸为三十六度之通▯。乙已半径与乙癸亦若理分中末一之全数与其大分也，故乙已癸三角形与卯中寅相似。若取乙丙切线，如乙癸之度，则丙巳必同亥癸边【即七十二度通▯】折半于甲，则甲乙为十八度正▯，再于寅卯线取子壬，如乙甲，取壬癸如乙己半径，引已子至癸中末，乃自卯作线至中，与壬癸平行，因得寅中与卯中等，则寅中卯即为横切之半面。
一率 全数 一○○○○○二率，三十六度割线，一二三六○七。三率，子寅。一十五【四五○八四九五】四率，丑寅半边，一十九【○九八三】倍丑寅得丑戌三十八【一九六六】与简法合。论曰：凡十二等面，从其半边之防【如寅如卯】聮为线以剖至体之心【中防】则所剖成寅中卯三角形平面，必为全圆十之一，即寅中卯角必三十六度，而中寅或中卯两▯与寅卯底，若理分中末之全分与其大分矣。又十二等面在立方形内，必以卯中【或寅中】自心至边之线，当立方之半径，是立方半径与十二等面之寅卯线，亦若理分中末之全与其大分也。若设立方半径一百，则寅卯必六十一【八○三三九八】如理分中末之大分也。今设立方全径一百，其半径五十，则寅卯亦必三十○【九○一六九九】如大分之半矣。寅卯二防既在【丑戌丑亥】两边之折半，则戌亥大横线必倍大于寅卯，而与理分中末大分之全相应为六十一【八○三三九八】此皆设立方半径五十之数也，而半径五十，其全径必一百，故知设径一百，则十二等面之大横线必六十一【八○三三九八】而竟同理分中末大分之数也。既得此大横线，则诸线可以互知。试先求边，法为酉戌【半大横线】与丑戌等边，若全数与三十。
六度之余割线也一率 全数 一○○○○○二率，三十六度割线，一二三六○七。三率，酉戌半，大横线，三十○【九○一六九九】四率，丑戌全边，三十八【一九六六】论曰：五等边，各自其角作线至心，分形为五，则各得七十二度角【如丑巳戌等，其巳角皆七十二度】其半必三十六度【如寅已丑之巳角，得戊已丑之半正三十六度】而丑戌酉与丑巳寅皆句股，又同用丑角，则戌角与巳角等，为三十六度。
十二等面求积平面中垂线【卯己】二十六【二八六五】
边【即丑亥丑戌等】三十八一九【六六】 半边【即丑卯丑寅】一十九【○九八三】一面之平幂二千五百一十○【一三七○】内容浑圆，半径四十二【四三二五】即分体五面立锥之中髙【已中】中髙三之一一十四【一四四一】分积三万五千四百九十五【八四七三】其形为五面立锥，其体积为十二之一。全积四十二万五千九百五十○【一六七六】
外切立方根一百 其积一百万外切浑圆径一百○七【○四六六】内容，立方根六十一【八○三三九八】外切立方与体内容立方径之比例，若理分中末之全分与其大分。又若外切立方之外，又切十二等面体，体外又切大立方，则大立方之径与今所算外切立方径，亦若理分中末之全分与其大分；而外切之十二等面与其内十二等面径，亦必若理分中末之全分与其大分也。孔林宗云：「外立方与内立方之径为理分中末线，全分与大分之比例是矣。若内立方之内又容立圆，则小立圆之径与小立方之径同，而外浑圆与外立方之径不似，未可以前比例齐之。」若十二等面外切大立方，大立方之外又切大立圆，大立圆外又切十二等面，则大立圆与内容小立圆亦必若理分中末之全分与其大分，而外切十二等面与十二等面亦必若理分中末之全分与其大分。何则？皆外切立方与内容立方之比例也。
十二等面容二十等面图第一图割十二等面之三平面一尖成此形癸丑丙丑戊丑俱五等边平面皆十二等面之一【已庚辛各为其中心一防】丑为三平面棱所聚之尖，亥丑戌、丑乙、丑俱平面边，各为两平面所同用之棱。中为体心，巳中、辛中、庚中皆内切浑圆，半径亦内容二十等面，自尖至体心半径。巳卯、庚卯、巳寅、辛寅、辛壬俱平面中垂线，寅卯、壬皆平面边折半之防。
第二图内容二十等面体各自其边剖至心成此分体为内容体二十分之一 辛庚巳三角尖即十二等面之中心原防此防以外，俱剖而得。甲防与卯防同，在卯中线，而甲在卯之下，丁在寅下，辰在壬下，俱同。
第三图自卯防起依卯己卯庚二线剖至体心中成此平面形卯即原边折半处卯中即原体外切立方之半径中即体心已庚，即原两平面之中心，防今联为【已庚】线，即内容二十等面之一边。已中庚，即内切二十等面分体之立面，乃三角锥体之一面。甲中为内切二十等面分体之斜垂线。观第二图可明【第二图角防居剖内三角之中心，正对原体之丑尖，而在其下，故角中为内容分体之正髙，而甲中为斜垂线也】今求已庚线【即内容二十等面之边】法于卯中【外切立方半径】内求甲中，以相减得卯甲为股，用与卯已▯【原体之面上中垂线】两幂相减，开方得句为已甲，倍之得巳庚。
卯已中三角形卯中即外切立方半径，设五十为底。卯已，即原体之平面中垂线二十六【二八六五】
巳中即内容浑圆半径亦即内容二十等面分体之斜棱四十二【五三二五】
以卯巳巳中两▯相减为较相并为总，以总乘较为实，卯中底五十为法，除之得亢中二十二【三六○六】以减卯中，余二十七【六三九四】为亢卯，折半得一十三【八一九七】为卯甲。
计开立方根设一百，其半五十【即卯中】亦为十二等面，自体心至边。十二等面之平面中垂线【即卯巳】二十六【二八六五】十二等面内容浑圆半径【即已中】四十二【五三二五】亦为内容二十等面自尖角至体心分体以为锥体之棱。卯巳已中之较一十六【二四六○】总六十八【八一九○】较总相乘一千一百一十八【○三三四】为实，卯中五十为法，除之，得中亢二十二【三六○六】以中亢减卯中，五十余二十七【六三九四】为亢卯，折半得一十三【八一九七】为卯甲，以卯甲减卯中，余三十六【一八○三】为甲中，即内容二十等面分体之斜垂线。卯巳自乘得六百九十○【九八○○】为▯幂。卯甲自乘得一百九十○【九八】
四一】为股幂 相减余四百九十九【九九五九】为勾幂，开方得。巳甲二十二【三六○五】倍之得。巳庚四十四【七二一一】即为内容二十等面边。此法甚确，亦且甚防，无可疑者。偶于枕上，又思得一法：借灯体分形之三角锥，以求十二等面内容二十等面分体之三角锥，是以锥体相截，而知其所截之边即为内容二十等面之边第一图丑为三平面所聚之尖 丑戌丑亥丑乙皆两平面同用之棱 巳庚辛皆五等边平面之心，己寅己卯等皆平面心至边垂线，已牛丑为平面心对角线，寅卯壬皆平面边折半之防，寅中卯中壬中为体心至边线，即外切立方半径，中为心。
第二图聮寅卯卯壬壬寅三线为平三角面横剖之又各依寅中卯中壬中线剖至体心中则成三角锥体二其一为丑寅卯、壬体是三角锥而稍扁者也。其一为寅、卯、壬中体，是三角锥而稍长者也。其寅、卯、壬三角平面为扁形之底，又为长形之面。其寅、卯等线与寅中、卯中之比例，皆若理分中末之大分与其全分也。其扁形锥既剖而去，则成圆灯。所存长锥即灯形分体之一平面，心之防为斗，在丑尖下与牛防平，故丑、牛为▯，则斗、牛如勾，而丑、牛之距如股也。
第三图又于圆灯分体剖去辰甲丁之一截则成甲丁辰中三角锥乃十二等面内容二十等面分体中之分体，其辰甲丁面与巳庚辛脗合为一。葢巳庚辛者，内容二十等面之一面，各于边折半为甲丁辰，而聮之为线，则成小三角于中。故辰丁等线皆居巳庚线之半，而甲中原为二十等面分体之斜垂线者，今则为三角锥之楞。
第四图己牛丑即原平面从心至角尖之线丑斗角中即原体自尖至中心之线，又为外切浑圆半径。依第二图截丑巳于牛而横剖之，亦截丑中于斗，成丑斗牛勾股形。又依第三图截斗中于角，成丑角巳勾股形。此两勾股相似，而比例等。法为丑牛与丑斗，若丑巳与丑角也。
第五图寅中卯三角形为圆灯分体之立面截为甲丁中三角形此两形相似而比例等，法为卯中与卯寅若甲中与甲丁也。又斗中为圆灯，分体之中髙其平面为寅卯壬角，中为截体之中髙其平面为丁甲辰，此两体相似而线之比例等。法为斗中髙与寅卯濶若角中髙与甲丁濶，先求丑斗髙。用截去扁三角锥，以牛卯【即寅卯之半】自乗幂，三分加一，以减丑卯幂，为丑斗幂，开方得丑斗高。
次求丑角髙用巳丑对角线乗丑斗，以丑牛除之，得丑角髙。其丑牛线，以牛卯幂减丑卯幂，开方得丑牛。巳寅、丑寅两幂并，开方为己丑。
末求巳庚线用丑角减丑中，得角中。又用丑斗减丑中，得斗中。以角中乘寅卯，以斗中除之，得甲丁。倍甲丁，得己庚。为内容二十等面之边。
理分中末线 以量代算先以巳为心作图而匀分其边为五作甲庚乙丙丁五等边平面【即十二等面之一面】
乙丁为大横线设一百甲庚等边必六十一【八○三三九八】为大横线理分中末之大分，若乙丁大横线设六十一【八○三三九八】则甲庚等边必三十八【一九六六】亦为大横线理分中末之大分。设立方一百，内容十二等面，边三十八【一九六六】为理分中末之小分，亦即大分之大分。十二等面内，又容小立方，其边与十二等面之大横线等，六十一【八○三三九八】为大立方边，一百与十二等面边三十八【一九六六】之中率，何也？大立方一百乘十二等面边三十八【一九六六】开方得根，即小立方及大横线六十一【八○三三九八】若大横线自乗之幂，以十二等面边除之，即仍得外立方根；而以外立方根除大横线幂，必仍得十二等面之边矣。
求理分中末线防法 用前图作五等边平面，求其大横线【乙丁】聮两角为线，即得之。次以大横线之一端【如乙】为心，其又一端【如丁】为界，作丁戊圆分，乃引五等边与圆分相遇【如引乙丙至戊与圆分遇于戊】则相遇处【如戊】至圆心【如乙】为全分【即乙戊亦即乙丁大横线】原边为大分【即乙丙】引出余边为小分【即丙戊】
又法作平三角，使两角【如戊、如丁】俱倍大于一角【如乙】末乃破一倍。角平分之作线至一边【如平分丁角为两，作丁丙线，至乙戊边】则其斜线即。为理分中末之大分【即丁丙也】解曰：倍破角则与小角等【如破丁角为两皆与乙角等】而乙丙丁形之乙丁两角同大，则【乙丙丁丙】两▯亦同大，而乙丙既为大分，丁丙亦为大分矣。准此，又破丙角，可以递求于无穷诸体比例。
凡诸体之比例有三一曰同边之比例可以求积一曰同积之比例可以求边一曰相容之比例可以互知内相容之比例亦有三一曰立圆内容诸体之比例，所容体又容立圆。一曰立方内容诸体之比例，所容体又容立方。一曰诸体自相容之比例【即同径同髙之比例】或或两体互相容，或数体递相容。等积之比例，比例规解所用。今攷定。立方积，一○○○○○○，其边一百。四等面积一○○○○○○其边二百○四。八等面积一○○○○○○其边一百二十八。十二等面积一○○○○○○其边五十。二十等面积，一○○○○○○，其边七十七方灯。
圆灯凡方灯，依楞剖之，纵横斜侧，皆六等边平面。凡圆灯，依楞剖之，纵横斜侧，皆十等边平面。故皆有法形体。等边之比例，测量全义所用。今攷定。立方边一○○，积一○○○○○○。方灯体边○七○七一○六，积○八三三三三三。
边 一○○ 积二三五七○二一八等面边，○七○七一○六，积○一六六六六六。
边 一○○ 积○四七一四○四四等面边，一○○，积○一一七八五一。十二等面边一○○，积七六八二二一五。二十等面边一○○，积二一八一八二二。圆灯体边○三○九○一七，积○二九○九二九。
边 一○○ 积○九八五九一六等径之比例 皆立方所容立方径一○○，积一○○○○○○边【一○○】内容方灯径一○○，积○八三三三三三边【○七○七一○六】内容四等面径一○○，积○三三三三三三边【一四一四二一三】内容八等面径一○○，积○一六六六六六边【○七○七一○六】内容立圆径一○○，积○五二三八○九。内容二十等面，径一○○，积○五一五二二六，边【○六一八○三四】内容十二等面，径一○○，积○四二五九五○，边【○三八一九六六】内容圆灯，径一○○，积○二九○九二九，边【○三○九○一七】右以立方为主，而求诸体。内立方及灯体之径，为自面至面。四等面、十二等面、二十等面之径，皆自边至边【以边折半处作垂线至对边折半处，形如工字。四等面则上下边遥相午错，如十字】八等面之径为自尖至尖，然皆以其径之两端正切于立方方面之中心一▯。立方面其相切亦必六▯。求积约法。凡立方内容诸体皆与立方之六面同髙同濶，则灯形积为立方积六之五，四等面积为立方积三之一，八等面积为立方积六之一，以上三者皆方斜比。
例灯形及八等面皆以方求斜法，以边自乘，倍之，开方得外切立方径，以径再自乘得立方积，取六之五为灯，六之一为八等面积。四等面则以方求其半斜法，以边自乘，半之，开方得外切立方径，以径再自乘为立方积，取三之一为四等面积。立圆在立方内，则其积为立方积二十一之十一。谨按方圆比例，祖率圆径一百一十三，圆周三百五十五，见郑世子《律学新説》。较径七周二十二之率为宻。又今推平圆居平方四百五十二分之三百五十五，较十四分之十一为宻。又推得立圆居立方六百七十八分之三百五十五，较二十一分之十一为宻。准立方比例以求各体自相比，皆以同髙、同阔、同为立方所容者，较其积。灯内容同髙之八等面，为八等面，得灯积五之一。又立圆内容同髙之八等面，为八等面，得圆积六十六之二十一【即二十二之七】二者皆同髙而又能相容，用课分法，母互乘子得之。
准此而知，立圆内容八等面，其积之比例若围与径也。又立方内容十二等面，其内又容八等面。又立方内容二十等面，其内又容八等面。二者亦同髙，而能相容。同髙之四等面积为灯积五之二【即十之四，以灯面四因退位得四等面积】同髙之八等面积为四等面积二之一。同髙之四等面积为立圆积，十一之七。
此三者，但以同髙、同为立方所容，而不能自相容。若相容，则不同髙。凡立方之灯，形内又容立方，则内小立方边与径得外立方三之二，体积为二十七之八，面幂为九之四。凡灯容立方，以其边为方而求其斜，为外切之立方边，取方斜三之二为内立方边。立方边一○○，面幂一○○○○，体积【一○○○○○○】灯边○七○七一○六面幂○五○○体积【○八三三三三三】小立方边○六六六六六六面幂○四四四四四四体积【○二九六二九六】凡方内容圆，圆内又容方，则内小方之幂得大方三之一。防法以小方根倍之为等边三角形之边，而求其中垂线，即外切立圆之径，亦即为外大方之边。如图三边既等，则乙丙得甲丙之半。若乙丙一，其幂亦一；而甲丙二，其幂则四。以乙丙句幂一减甲丙▯幂四，所余。
为甲乙股幂三内方之幂一而外切浑圆之幂三故其根亦如乙丙与甲乙也，或以小立方之根为句，倍根为▯，求其股，为外切浑圆径，亦同【浑圆径即外方边】
若以量代算则三角形便如以大方求小方者，则以大方为中垂线，而作等边三角形，其半边即小方根也。或用大方为股，而作句股形，使其句为▯之半，即得之。防法句股形，使甲角半于丙角，则▯倍于句，而句与股如小立方根与大方根。或以甲角作三十度，而自乙作垂线引之，与甲丙▯线遇于丙，则乙丙即圆所容方之根。又按，先有大方，求小方者，取大方根，倍之为等边三角形之边，而求其中垂线，以三归之，即得。凡立方内容方灯，灯内又容立圆，圆内又容圆，灯灯内又容八等面。凡四重在内，其外切于立方也，皆同防【切立方有六处，所同者皆在其方面之最中一防。若从此一防刺一针，则五层悉透内。惟方灯以面切面，不可言防。若言防，则有十二，皆切在立方边折半处】凡立方内容方灯，灯内又容十二等面体，体内又容圆灯，灯内又容八等面。凡四重在内，其切于立方也，皆同处【凡六处皆在立方面内，方灯体以面切面，十二等面以边切，余皆以尖切。尖切者皆每面之最中防】凡立方内容方灯，灯内又容二十等面体，体内又容圆灯，灯内又容八等面，同上。凡立方、方灯、立圆、十二等面、二十等面、圆灯内所容之八等面，皆同大。凡立方内容四等面体，体内又容八等面，其切立方皆同处【四等面以边切，为立方六面之斜；八等面以尖切，居立方各面中心，即四等面边折半处】准此而知，立方内所容之八等面，与四等面所容之八等面亦同大，且同髙。各体中所容八等面皆同大，因此可知。凡立圆内容十二等面体，又容立方。其立方之角同十二等面之尖，而切于立圆。故立圆内所容之立方与十二等面内所容之立方同大。凡二十等面体，内容立圆。内又容立方。立方之角，切立圆，以切二十等面之面。故立圆所容之立方，与二十等面内所容之立方，必同大。凡二十等面体，内容立圆。内又容十二等面体，体内又容立方。此立方之角，切十二等面之角，以切立圆，而切于二十等面之面，皆同处。凡诸体能相容者，其相容之中间，皆可容立圆。此立圆为外体之内切圆，亦为内体之外切圆。惟八等面、外切二十等面、十二等面、四等面及圆灯其中间，难着立圆，何也？八等面之切圆灯，以尖切尖，而其切四等面、十二等面、二十等面，则以尖切边，故其中间不能容立圆。其他相切之中间，能容立圆者，皆以内之尖切外之面。凡诸体在立方内，即不能外切他体。惟四等面在立方内，能以其角同立方之角切他体。故诸体所容四等面之边，皆与其所容立方之面为斜线。凡诸体相容，其在内之体为所容，其在外之体为能容。能容与所容两体之相切，必皆有一定之处。凡相容两体之相切，或以尖，或以边【即体之棱】或以面浑圆在立方内，为以面切面，其相切处只一防，皆在立方每面之中央【立方六面相切，凡六防】立方在浑圆内，为以尖切面【立方之角有八，故相切有八防】有一防不相切者，即非正相容也。浑圆在诸种体内皆与在立方内同，谓其皆以面切诸体之面，而切处亦皆一防也。然其数不同，如四等面，则切防有四；方灯则切防有六；八等面则切防有八；十二等面及圆灯则切防有十二；二十等面则切防有二十。其切防之数皆如其面之数，而皆在其面之中央也。方灯则以其方面为数，圆灯则以其五等边之面为数，而不论三角之面者，何也？三角之面距体心逺，故不能内切立圆也。诸体在浑圆内皆与立方在浑圆内同，谓其皆以各体之尖切浑圆之面也。其数亦各不同，如四等面则切防亦四方，灯则切防十二，八等面则切防六，十二等面则切防二，十二十等面则切防十二，圆灯则切防三十，皆如其尖之数也。四等面在立方内，以边棱切立方之面。四等面有六棱，以切立方之六面，皆徧其四尖，又皆切于立方之角。十二等面、二十等面在立方内，皆以其边棱切立方之面。两种各有三十棱，其切立方只有其六，以立方只有六面也。
此三者为以楞切面八等面在立方内，以尖切面，凡六防。圆灯在立方内，亦以尖切面，有六防，皆在立方面中。尖与八等面同，方灯在立方内，则以面切面，皆方面也。方灯之方面六，亦与立方等也。其十二尖，又皆切于立方之十二边楞，皆在其折半处为防。十二等面与二十等面逓相容，皆以内体之尖切外体之面。十二等面在八等面内，以其尖切八等面之面，体有二十尖，只用其八也。方灯在八等面内，亦以面切面，而皆三角面。方灯之三角面有八数，相等也。又其尖皆切于八等面各棱之中央折半处。棱有十二，与灯之尖正等也。圆灯在十二等面内，以面切面，皆五等边平面也。圆灯体之五等边平面原有十二，故也。又皆以其尖切十二等面之边楞，而皆在其中半。圆灯在二十等面内，亦以面切面，皆三角平面也。圆灯体之三角平面原有二十，故也。又皆以其尖切二十等面之边楞，而皆在其中半。问：十二等面与二十等面体势不同，而圆灯之尖皆能切其楞边，何也？曰：圆灯有三十尖，而两等面体皆有三十楞，故也。凡能容之体，皆可改为所容之体，递相容者，亦可递改。如立方容圆，即可刓方为圆；浑圆容方，即可削圆为方。递相容者，如立方内容浑圆，圆内又容十二等面体，体内又容二十等面，即可递改。凡所容之体，皆可补为能容之体，皆以数求之。如立方外切立圆，以其尖角，则求立方心至角之线，为立圆半径。
凡以面切面者其情相通如方灯，以其方面切立方面，又能以其三角切八等边面，则此三者皆方斜之比例也。又如圆灯，以其五等边面切十二等面，又能以其三角面切二十等面，则此三者皆理分中末之比例也。若反用之，而令立方在方灯之内，则立方之尖所切者必三角面；若八等面在方灯之内，则其尖所切又必方面也。若令十二等面在圆灯内，则所切者必三角面；而二十等面居圆灯内，所切者又必五等边面也。故曰其情相通。
诸体相容凡立圆立方皆可以容诸体凡立圆内容立方，立方内又可容立圆，两者不杂他体，可以相生而不穷。凡立圆内容立方，此立方内又可容四等面，四等面又可容立圆。三者以序进，亦可以不穷。凡立圆内容立方，又容四等面。四等面在立方内，以其尖切立圆，与立方尖所切必同防。凡立圆容四等面，在立圆所容立方内，必以其楞为立方面之斜，依此斜线衡转成圆柱形，必为立圆之所容，而此柱形又能含立方。
外圆者柱之底若面内方者立方之底若面直而斜者四等面之边凡四等面体，在立圆内，任以一尖为顶，以所对之面为防旋，而作圆锥，此锥体必为立圆之所容，而不能为立方之容。此两体虽非正相容体，然皆有法之体。凡立方内可容八等面，八等面又可容立方，而相与为不穷。凡立方有六等面，八尖，八等面有八等面，六尖，故二者相容。则所容体之尖，皆切于为所容大体之面之中央而等。凡立方，内容立圆。此立圆内，仍容八等面。其八等面尖切立圆之防，即可为切立方之防。八等面内容立圆，此立圆内仍容立方，则立方尖切立圆之防，亦即可为其切八等面之防。凡立圆可为诸等面体所容，其在诸体内，必以圆面一防切诸体之各面，此一防皆在其各等面之中心，而等而徧。凡八等面，内容立圆，仍容立方。立方内，仍容四等面。而四等面以其角切立方角，即可同立方角。切立圆，以切八等面，叠串四体，皆一防相切。必在八等面各面之中心。立方设一百，内容二十等面，边六十一【八○三三九八】内又容立圆也，十三【四一七二】简法取内容立圆径幂三之一，开方得内容小立方，再以小立方为理，分中末之全分而求其大分，得内容十二等面边。凡十二等面，二十等面，皆能为立圆之所容，皆以其尖切浑圆。凡十二等面，二十等面，皆能容立圆，皆以各面之中心一防，正与浑圆相切。凡十二等面，与二十等面，可以互相容。皆以内体之尖，切外体之各面中心一防。凡十二等面，内容浑圆。浑圆内又容二十等面，与无浑圆者同径。二十等面，内容浑圆。浑圆内又容十二等面，亦与无浑圆同径。何也？浑圆在各体内，皆以其体切于外体各面之中心。防而此防，即各内体切浑圆之防。故也。以上皆可以迭串相生而不穷。凡十二等面，内容浑圆。浑圆内，又容十二等面，亦可以相生不穷。
二十等面与浑圆递相容亦同凡立方内容十二等面，皆以十二等面之边正切于立方各面之正中。凡六，皆遥相对如十字。
假如上下两面所切十二等面之边横则前后两面所切之边必纵而左右两面所切之边又横若引其边为周线则六处相交皆成十字立方内容二十等面边亦同凡各体相容皆以内之尖切外之面惟立方内容四等面则以角而切角立方内容十二等面二十等面则以边而切面厯算全书卷五十七<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>钦定四库全书