<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷八>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷八>
右四率断比例也。一率与二率之比例，若三率与四率。假如三十度之正▯【○五○○○○】与其余▯【○八六六○三】若全数【一○○○○○】与其余切【一七三二○五】更之，则余切【一七三二○五】与全数【一○○○○○】若余▯【○八六六○三】与正▯【○五○○○○】也【第四法】又如三十度之正割【一一五四七○】与其正切【○五七七三○】若全数【一○○○○○】与其正▯【○五○○○○】更之，则全数【一○○○○○】与正割【一一五四七○】若正▯【○五○○○○】与正切【○五七七三五】也【第六法】又如三十度之余割【二○○○○○】与其正割【一一五四七○】若全数【一○○○○○】与其正切【○五七七三五】更之，则正切【○五七七三五】与正割【一一五四七○】若全数【一○○○○○】与余割【二○○○○○】也【第九法，余仿此】用法凡四率断比例，当用前两率者，可以后两率代之。假如有四率，其一正▯，其二余▯，改用全数为一率，余切为二率，其比例同互视。
此本弧中互相视之率也，其第一与第四相乗矩，第二与第三相乗矩，皆与全数自乗方等，故其边为互相视之边，而相与爲比例，皆等。假如三十度之正▯【○五○○○○】与其余割【二○○○○○】相乗【一○○○○○○○○○○】其余▯【○八六六○三】与其正割【一一五四七○】相乗【一○○○○○○○○弱】皆与全数自乗之方等。故以正▯为一率，余▯为二率，正割为三率，余割为四率，则正▯【○五○○○○】与余▯【○八六六○三】若正割【一一五四七○】与余割【二○○○○○】也【第三法】又如三十度之正切【○五七七三五】与其余切【一七三二○五】相乗【一○○○○○○○○弱】亦与全数之方等。故以正▯为一率，余切为二率，正切为三率，余割为四率，则正▯【○五○○○○】与正切【○五七七三五】若余切【一七三二○五】与余割【二○○○○○】也【第一法】或以余▯为一率，余切爲二率，正切为三率，正割为四率，则余▯【○八六六○三】与余切【一七三二○五】若正切【○五七七三五】与正割【一一五四七○】也【第二法】
用法此亦四法，断比例故，当用前两率者，可以后两率代之。假如有四率，当以正▯与正切为一率、二率者，改用余切为一率，余割为二率，以乗除之，其比例亦同，余仿此。本弧诸线相当，约法。
其一为▯与股之比例 反之则如股与▯全 正割 余切 余割 全 余▯ 正切 正▯正▯ 正切 余▯ 全 余割 余切 正割 全其二为▯与句之比例 反之则如句与▯全 余割 正切 正割 全 正▯ 余切 余▯余▯ 余切 正▯ 全 正割 正切 余割 全其三为句与股之比例 反之则如股与句全 余▯ 余割 余切 全 正割 正▯ 正切正切 正▯ 正割 全 余切 余割 余▯ 全右括本弧七十八法如图，甲丙、甲乙、甲丁皆半径。全数乙丙为正弧，乙丁为余弧，乙戊为正▯庚丙为正切线，庚甲为正割线，乙己为余▯辛丁为余切线，辛甲为余割线。
此皆一定比例观图自明外有余切，余▯非▯与股之比例，则借第二比例更之。一，甲乙全数【即甲丁】辛丁余切。
四 辛丁余切 甲丁全数全数与余▯若余割与余切，更之而余切与余▯若余割与全数也。余割与全数既为▯与股，则余切与余▯亦如▯与股矣。正切正▯非▯与句之比例，则借第一比例更之一。甲乙全数【即甲丙】庚丙正切。
四 庚丙正切 甲丙全数全数与正▯若正割与正切，更之而正切与正▯若正割与全数也。正割与全数既为▯与句，则正切与正▯亦如▯与句矣。余割、正割，非句与股之比例，则仍借第一比例更之。
一 余割辛甲 余割辛甲二，全数甲丁【即甲丙】正割庚甲。
三 正割庚甲 全数甲丙四 正切庚丙 正切庚丙余割与全数若正割与正切，更之而余割与正割若全数与正切也。全数与正切既爲句与股，则余割与正割亦如句与股矣。【互视自此而分，以前为本弧所用，共大法三更之则二十有四，合相当法则七十有八，而总以三率连比例，三大法为根】【以后为两弧所用，共大法九更之七十有二，而仍以本弧之三率连比例为根】
九法十二法【以上大法，三更之二十有四，是以本弧之正切、余切与他弧互视】此皆两弧中互相视之率也。本弧有两率相乗矩与全数之方等，他弧亦有两率相乗矩与前数之方等。则此四率为互相视之边。互相视者，此有一率赢于彼之一率若干倍，则此之又一率必朒于彼之又一率亦若干倍，而其比例皆相等。故以此弧之两率为一与四，则以他弧之两率为二与三。假如有角三十度，边四十度，此两弧也。角之正▯【○五○○○○】与其余割【二○○○○○】相乗【一○○○○○○○○○】与全数自乗等；边之正▯【○六四二七九】与其余割【一五五五七二】相乗【一○○○○○○○○弱】亦与全数自乗等。则此四率为互相视之边，互相视者，言角之正▯【○五○○○○】与边之正▯【○六四二七九】若边之余割【一五五五七二】与角之余割【二○○○○○】也【第四法】又如，有二边，大边五十度，小边三十度。大边之正▯【○七六六○四】余割【一三○五四一】相乗与全数自乗等。小边之正切【○五七七三五】余切【一七三二○五】相乗亦与全数自乗等。则此四者互相视，互相视者，言大边之正▯【○七六六○四】与小边之正切【○五七七三五】若小边之余切【一七三二○五】与大边之余割【一三○五四一】也【第六法】又如，有两角，甲角三十度，乙角五十度，此亦两弧也。甲角之正切【○五七七三五】余切【一七三二○五】相乗与全数自乗等。乙角之正切【一一九一七五】余切【○八三九一○】相乗亦与全数自乘等。则此率为互相视之边。互相视者，言甲角之正切【○五七七三五】与乙角之正切【一一九一七五】若乙角之余切【○八三九一○】与甲角之余切【一七三二○五】也【第十法】
用法假如别有四率，以五十度正▯为第一，三十度正切为第二，今改用三十度余切第一，五十度余割第二，其比例同。<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷八>如图，壬丙爲本弧，乙丙为他弧。他弧小于本弧，而并在半象限以内。本弧【正▯壬癸，余▯壬丑，正切庚丙，余割未甲，正割庚甲，余切未丁】他弧【正▯乙戊，余▯乙巳，正切辛丙，余割酉申，正割辛甲，余切酉丁】论曰：甲丙、甲丁皆半径，乃本弧他弧所共也。半径自乗之方幂为甲丙夘丁，而本弧中以正▯乗余割，以余▯乗正割，以正切乗余切所作矩形，既各与半径方幂等，则他弧亦然，故可以互相视而成相当之率。
如上图，壬丙本弧在半象限内，巳丙他弧在半象限外，亦同。
如上图，壬丙本弧小于乙丙他弧，而并在半象限外，并同。
厯算全书卷八<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>小引环中黍尺者，所以明平仪弧角正形，乃天外观天之法，而浑天之画影也。天圜而动，无晷刻停，而六合以内，经纬厯然，亘万古而不变，此即常静之体也。人惟囿于其中，不惟常动者不能得其端倪，即常静之体所为经纬厯然者，亦无能拟诸形容。惟置身天外，以平观大圜之立体，则周天三百六十经纬之度，擘划分明，皆能变浑体为平面，而写诸片楮，按度攷之，若以玻璃水晶通明之质，琢成浑象而陈之几案也。又若有镂空玲珑之浑仪，取影于烛而惟肖也。故可以算法证仪，亦可以量法代算，可以独喻，可以众晓。平仪弧角之用，斯其妙矣。庚辰中秋，鼎偶霑寒疾，诸务屏絶，展转牀褥间，斗室虚明，心闲无寄，秋光入户，秋夜弥长。平时测算之绪，来我胸臆，积思所通，引伸触类，乃知厯书中斜弧三角矢线加减之图，特以推明算理，故为斜望之形。其弧线与平面相离，聊足以彷佛意象，啓人疑悟，而不可以实度比量。固不如平仪之经纬皆为实度，弧角悉归正形，可以算即可以量，为的确而简易也。病间録枕上之所得，輙成小帙，然思之所引无方，而笔之所追未能什一，庶存大致，竢同志之讲求耳【此第一卷原序也，余详目録】康熈三十有九年重九前七日，勿庵力疾书。时年六十有八。
钦定四库全书