方程论卷一

方程论卷一

正名名不正，则言不顺。诸本方程，皆以二色、三色、四色等分欵立法，而不分和较，宜其端绪纷纠，而説之滋谬也。故先正其名。正名有四：一和数，二较数，三和较杂，四和较交。变和者无正负，如只云某物如干，某物如干，共价如干，以问每物各价者，是也。较者有正负，如云以某物如干与某物如干相较多价如干，或少价如干，或相当适足者，是也。杂者半有正负，半无正负，如一行云某物某物各如干，共价如干，而其一行则又云以某物如干较某物如干差价如干，或价相当适足者，是也。变者或先无正负而变为有正负，或先有正负变而无正负，三色以往重列减余兼用两行者，是也。总论曰：万筭皆生于和较。和较可以御万▯分合之义也。万物之未形，一而已矣。一且未有，况万乎？及其有也，有一则有二，有二则有三，自此以至于无穷，而数生焉矣。和者，诸数之合也；较者，诸数之分也。分则有差，故谓之较。较与和相求而法立焉矣。故一与一和，则二也；一与二和，则三也；一与二之较，一也；一与三之较，二也。万算虽多，凖此矣。故和较者，万算之纲也，算之用。至于句股方程，至矣尽矣，窥髙致逺，探赜穷幽，无所不备。然其用不出于和较。且以方程言之，凡方程列位，皆以下位为之端。如所列下一位为上中两位之总价，则和也；若下一位为上中两位相差之价，则较也。较故分正负，和故不分正负。虽不立正负，然必以两和互乘对减，以得其差，然后其数可得而知矣。故三色以往，先无正负者，有时而正负立焉。故方程之法，以和求较而已矣。较者易知，和者难知。和之中有较，较之中又有较，此万数之所由生，万法之所由起。

和数方程例方程用互乘对减，与差分章贵贱相和法同。但贵贱相和有总物总价，又有每物每价，不过以带分之故，难用匿价分身，而变为换影之术耳。方程则有总物总价，而无每数，又有三色、四色以至多色，头绪纷然，自非逓减，何取之？此古人别立一章之意也。用法曰：「二色者，任以一色列于上，以一色列于中，以总价列于下。于是以列上者为乘法，左右互乘，又互遍乘中下，得数左右对减，其上一色必两相若而减尽。其中一色对减必有相差之数，下价对减亦必有相差之数。数相差则减不能尽，于是取其余数以为用，一为法，一为实，以法除实而得中一色每价。乃以中价乘原列中物，得中物总价，以中物总价减原列两色之总价，得上物总价，以原列上物除之，得上一色每价【若更以中一色列于上，依法求之，亦先得上一色价矣，故上中之位可以互更也，详见后】假如有山田三亩，塲地六亩，共折输粮实田五亩七分；又有山田五亩，塲地三亩，共折实田五亩五分。问田地每亩折实科则各如干？畣曰：「每山田一亩，折实田九分；每地一亩，折实田三分，亩之一。」

法各列位上　　　　　中　　　　　下先以右上田三亩为法，遍乗左行，得数。次以左上田五亩为法，遍乗右行得数，上位各得田十五亩，对减尽。中位左得地九亩，去减右行三十亩，余地二十一亩为法；下位左折田得十六亩五分，去减右行二十三亩五分，余折田七亩为实。以法除实，不满法约为三之一，为地每亩折实田之数【地一亩折田三分三厘三毫不尽，即地三亩折田一亩也】就以右行折实田共四亩七分内，除原地六亩，折实田二亩余二亩七分，以右上田三亩除之，得九分为田每亩折实之数【或以左行折田内减左原地三亩，该折实田一亩余四亩五分，以左上田五亩除之，亦得九分为田每亩折实之数】论曰：以右上田三亩，遍乘左行，得数是各三之也。为五亩田者，三亩；三亩地者，三则为田地共折实五亩五分者，亦三也。以左上田五亩，遍乘右行，得数是各五之也。为三亩田者五，为六亩地者五，则为田地折实共四亩七分者，亦五也。于以对减，而上位田各十五亩，减而尽，则其数同也。惟中位地余二十一亩，在右行，则是右行之地多于左行之地二十一亩也。而下位折实数，亦余七亩。在右行，则是右行折实之数，亦多于左行折实之数七亩也。合而观之，此所余折实七亩者，正是余地二十一亩之所折也。此以田地问折数，故以地二十一亩为法，折七亩为实也。若以折数问原田地，则以折七亩为法，地二十一亩为实，法除实，得每折一亩原地三亩。于是以右地六亩折二亩，减折四亩七分，余二亩七分为法，除右田三亩，得每折一亩原田一亩又九分亩之一，即一分一厘一毫，一一不尽也。若更置以地列于上，则先得田折数如后图。

上　　　　　中　　　　下先以左上地三亩，遍乗右行，得数。次以右上地六亩，遍乗左行，得数。上位各得地十八亩，对减尽。中位左得田三十亩，内减去右得九亩，余二十一亩为法。下位折田左得三十三亩，内减去右得十四亩一分，余十八亩九分为实。以法除实，得九分为田，每亩折实数。就以右田三亩折二亩七分，减右折实共四亩七分，余二亩，以右上地六亩除之，不满法命为三分亩之一为地，每亩折实数【或于左行折实五亩五分内减去左田五亩，该折四亩五分，余一亩，以左地三亩除之，亦得地折实每亩三之一】论曰：以右上地六亩遍乗左行，是各六之也。为三亩地者六，为五亩田者六，为地三亩，田五亩之折实田，共五亩五分者，亦六也。以左上地三亩遍乗右行，是各三之也。为地六亩者三，为田三亩者三，为地六亩，田三亩之折实，共四亩七分者，亦三也。以之对减，而地在上位者各十八亩，既对减而尽，则其各十八亩之折实在折实共数中者，亦必对减而尽也。田在中位者，既对减去九亩，而仅余左行之二十一亩，则其各九亩之折实在共数中者，亦必对减而尽也。由是以观，则其所余之左下折田十八亩九分，正是左中余田二十一亩之所折也。故以余田二十一亩为法，而以余折田十八亩九分为实，即田之折数可知，知田数，知地亩矣。若以折问田亩，则一十八亩九分折为法，二十一亩田为实，实如法而一，得每折一亩原田一亩又九分之一。于是以分母九通右行田三亩，得二十七分，而以一亩又九分之一共一十分为法除之，得二亩七分，以减共折四亩七分，余折二亩以除右地六亩，得每折一亩原地三亩【以上二色例也，三色、四色以至多色，凡和数者皆同，但须重例减余以求之，今不悉具于后诸条中详之】

较数方程例凡较数方程，分正负之价，与盈朒畧同。但盈朒章有盈朒，又有出率；方程则但有总物与盈朒，而无每出之率。又兼数色，所以不同。又盈朒者，是有每率而不知总。所言盈朒适足，是总计所出，以与原立总价相较之数也。方程正负，则是两总物自相较之数。若不立正负，则下价之与上物，不知其孰为同异矣。此正负之法异于盈朒也【负与正对，所以分别同异。盖对数之所余，即正数之所欠，故谓之负。与负责之负畧相似。老子言万物负阴而抱阳，盖正即正面，负即反面也。开方法有负隅，言隅之空隙也。郭太史厯经三差法有负减，言反减也。本于平差内减去立差，今立差反多于平差，故于立差内反减平差，是为负减。兼此数端，而正负之义可见矣】法曰：任以一色为正，则以相当之一色为负【此据二色者言之，三色以上，或以一色与多色相当，或以多色与多色相当，其法皆同二色】正物之价多为正价，负物之价多为负价。正与负为异名，异名相并；正与正，负与负为同名，同名相减。首位同名者，仍其正负不变【首位同数同名，即可减去，此正法也】首位异名，变其一一以相从【首位亦同数，但不同名，故变而同之，则亦同数同名而可减尽矣。首位既变，则其行内皆从而变，此通法也。盖必如是，则同减异加始归画一，而于和较交变之用尤便也】其法皆于互乗时以得数变之。盖减并只用得数也。只变一行，其相对之行不必再变。二色、三色以至多色并同，何也？三色以上行数虽多，而乘并之用皆以各相对之一行论同异，即同二色之理。论曰：和数方程有减无并，皆同名故也。较数方程有减有并，或同名或异名也。减并者，方程之纲要。正负淆，则同异之名混，而并减皆失矣。今诸本所言正负同异，誃离舛错，虽加减得数皆偶合耳。西人论句股三角八线割圜几何原本，可谓详矣矣。至方程增立诸率，亦复草草，未穷其故也。用法曰：以一色列于上，以相当之一色列于中，任以一色为主，而分正负【此亦以二色为例，三色以上皆以两相当者主其一，以分正负，皆与二色法同】以两色相较之价列于下，以正物为主，而分同异。或正物所多之价，命之为正；或正物所少之价，命之为负【正物之所少，即负物之所多】或正物、负物之价两相若，命之适足，则空位列之。亦以列上位者为乘法，左右互乘，遍乘中下，以首位为主，而变正负。得数对减，其上一色必数相若，且又同名而减尽。中一色与下价，或同名，或异名。异名者并之，同名者对减，取其减并之数以为用。一为法，一为实，以法除实，得中一色每价。以原列中物乗之，得中物总价。以与原列下价同名相减，异名相并，得数以原列上物除之，得上一色每价【其上中亦可互求】假如以研七枚换笔三矢，研多价四百八十文。若以笔九矢换研三枚，笔多价一百八十文。问笔研价各如干？畣曰：「笔每矢价五十文，研每枚价九十文。」

法各列位上　　　　中　　　　下先以左行研负三遍乗右行得数【首位异名须变一行以相从故研正变为负笔负变为正价正变为负皆于得数变之】次以右行研正七遍，乗左行得数【右行既变，则左行不必再变，故研、负、笔、正、价正皆仍旧】于是以上研各负二十一，同名相减尽。次以中笔两正，同名相减，余五十四为法。再以下价左正右负，异名相并得二千七百为实。以法除实，得五十文为笔价。以左行笔正九乘笔价，得四百五十，内减同名价一百八十余二百七十，以左研负三除之，得九十为研价。或以右笔负三共价一百五十，加异名价正四百八十，共六百三十，以右研七除之，亦得研价九十。论曰：左行原是九笔多于三研，一百八十文，乘后得数，则是六十三笔多于二十一研，共一千二百六十文也。右行原是七研多于三笔，四百八十文，乘后得数，则是九笔少于二十一研，一千四百四十文也。于是以两行得数较之上位，研负二十一，两行尽同，研之数同则其价亦同，惟中位笔数，左行多五十四枝，则是左行笔多价一千二百六十文者，以多此五十四笔而右行笔少价一千四百四十文者，以少此五十四笔也。夫右行笔价原少于二十一研者一千四百四十文，以左行多五十四笔而反多于二十一研者一千二百六十文，是此五十四笔既补却右行之所少，而仍多此数也。故并右行之所多，共此二千七百，以为五十四笔之价，知笔价，知研价矣。若先求研价者，以研列中为除法，以笔列上为乗法，如后图。问者或云：「笔三矢换研七枚，少价四百八十文。又有研三枚以换笔九矢，少价一百八十文。则其下价为两负【四百八十是笔少于研之价，一百八十是研少于笔之价】

先以左行笔负九徧乗右行得数【首位异名宜变一行故其正负皆更之】次以右行，笔正三徧，乗左得数【右变则左不变，故正负皆仍之】于是以得数较其同异，而为之减并。笔各负二十七，同名减尽，研正同名相减，余五十四为法。价正负异名，并得四千八百六十为实。实如法而一，得九十为研价。以研价乗左正研三，得二百七十，异加价负一百八十，共四百五十，以左负笔九除之，得五十为笔价。或以右研七价六百三十，与价四百八十同减，余一百五十，以笔三除之，亦得笔价五十。论曰：左行原是研三少于笔九者，一百八十文。乗后得数，则是九研少于二十七笔者，五百四十文也。右行原是三笔少于七研者，四百八十文。乗后得数，则是六十三研多于二十七笔者，四千三百二十文也。夫两行笔皆二十七，则其价同也。而右行研价多于笔四千三百二十文，左行研价反少于笔五百四十文。是两行研价相差者，共四千八百六十文也。推求其説，则只是两行中相差五十四研之故也。故减去相同之笔，用此相差之研以除此相差之研价，而每研之价可知矣。若如难题所列，以研为正，笔为负，问者当云：以七研换三笔，研多价四百八十；以三研换九笔，研少价一百八十文？则价右正左负【难题》。系书名】

左右研正徧乗得数【首位本同名故其正负皆不变】研减尽，笔余五十四为法，价异并二千七百为实，法除实得笔价，以次得研价如前。若以笔为正，研为负，则其价右负左正。

依法先得研价如第一图以前四图，或以笔为正，或以笔为负，或以研为正，或以研为负，或以价为两正，或以价为两负，或以价为一正一负。其所呼正负之名，无一同者。要其为同异加减之用，则一也。试以一行中同异言之，其左行之价必与笔同名，何也？左行之价乃笔多于研之数也，故与笔同名而与研异名也。其右行之价必与研同名，何也？右行之价乃研多于笔之数也，故与研同名而与笔异名也。试以两行中同异言之，其上位皆减尽，其中位皆相减为法，其下价皆相并为实。其减也，皆以同名；其研也，皆以异名。此下价异并例也。假如有大小余句不知数，但云倍小余句以当三大余句，则不及一丈五尺三寸；若倍大余句，则如七小余句。畣曰：大余句六尺三寸，小余句一尺八寸。

法以正负列位先以左小余句负七徧乗右得数【首位异名宜变以相从故小句变负大句下负数皆变正】次以右小余句正二徧乗左得数【右行既变则此行不变下适足无乗亦无正负】乗讫乃较之。小余句各十四同减尽。大余句同减余一十七为法。下正数十丈零七尺一分无对不减就为实。以法除实得六尺三寸为大余句。乃置左行二大句该一丈二尺六寸以左行相当适足之七小句除之得一尺八寸为小余句【或用右行三大句该一丈八尺九寸以同名负一丈五尺三寸减之余三尺六寸以右行二小句除之亦得一尺八寸】合问论曰：以左小句徧乗右，是各七之也，为小句二，大句三者七，其相较之数亦七也。以右小句徧乗左，是各二之也，为小句七，大句二者二，其相当适足者亦二也。但以首位必同名，然后可减，故以右小句正变而为负，以从左名也。小句变为负，则所与相较之大句不得不变而正矣。于是小句同减尽，大句同名减去四，余右行正十七，下较数无减，仍余十丈○七尺一寸。然则此所余者，正是减余大句之数矣。何也？小句十四，左右皆同，若只如左行四大句，则与小句相当适足矣。而今右行独余此较数者，非以右多十七大句之故乎？试以大句列于上，则先得小句，如后图。

如法左乗右更其正负，右乗左仍其正负，大句同减尽，小句同减余正一十七在左行为法，下较数负三丈○六寸在右行无对不减，就用为实，以法除实得一尺八寸为小句，就以左行小句七该一丈二尺六寸以左相当适足之大句二除之得六尺三寸为大句【或于右行正一丈五尺三寸加异名小句负二该三尺六寸共一丈八尺九寸以右大句三除之亦得六尺三寸】论曰：左行原是小句七以当大句二，适足。今以右大句乗而各三之，则是小句二十一以当大句六，而亦适足也。右行原是大句三以当小句二，而大句多一丈五尺三寸。今以左大句乗而各二之，则是大句六以当小句四，而多三丈○六寸也。以两行之得数较之，大句既减尽，惟左行之小句余一十七。则是左行得数所以相当适足者，以多此十七小句之故；而右行小句得数小于大句三丈○六寸者，以少此十七小句之故也。然则此三丈○六寸者，正是十七小句之数也【依此论可见，左行之所多，即右行之所少，故左行名正者用于右行即为负，而隔行之异名即为同名】

此下较无减例也假如有大小方积，不知数。但云一大方积，以当二小方积，多数八十九。若以三大方积当七小方积，仍多二百五十一。畣曰：「大方积一百二十一，小方积一十六。」

法以正负列位上　　　　　　中　　　下先以右大积一徧乗左行，皆如原数。次以左大积三徧乗右行，得数【首位同名，故两行正负皆不变】大积同减尽，小积同减余一为法，较数同减余一十六为实。法除实，仍得一十六为小积。以右行小积负二该三十二，加异名正八十九，共一百二十一为大积【或以左行小积负七该一百一十二，加异名正二百五十一，共三百六十三，以左大积三除之，亦得一百二十一为大积】论曰：左行原是大积三多于七小积者二百五十一，乗后得数亦同。右行原是大积一多于二小积者八十九，乗后得数则是大积三多于六小积者二百六十七也。于是以两行对勘，其大积既减尽，惟小积左行余负一，其下较数则右行余正十六。夫此十六数者，与大积同名，是右行大积之数也。右行少一小积，而大积之盈数多十六；左行多一小积，而大积之盈数少十六。然则此十六数者，正是此一小积之数矣。若以小方积为正，则其下较数为两负【皆小积所少之数也，故皆为负】

上　　　　　中　　　　下依法徧乗对减余大积一为法，余负一百二十一为实。法除实不动，就以一百二十一为大积。右大积一该一百二十一，同名减负八十九，余三十二，以小积二除之，得一十六为小积。此是右行多一大方积，故多一同名之数，一百二十一同在一行，易知不须重论。以上二图正负所呼迥异，然所同者，两行之较数皆与大方积同名。何也？皆大方积多于小方积之数，故与大方积同名，而与小方积异名也。

此下较同减例也总论曰：凡较数方程，原列较数是本行中正与负之较也。其乗后得数同减异加而得者，则是两行中正与正之较，或负与负之较也。故本行中以异名相较，而两行对减或加，是以两行之同名相较。假如原列较数与正物同名，是正多于负之较也。若列较与负同名，是负多于正之较也。故曰本行中异名相较也。

假如乗后得数而两行之较数皆与正物同名则两较亦自同名乃以之对减而余在一行则知此一行正物必多于对行之正物而其所多之数即如此所余之较数矣假如两行较数皆与负物同名，则两较亦自同名。以之对减，而余在一行，则知此一行负物必多于对行之负物，而其所多之数，正是此所余之较数矣。此同名相减之理也。假如右行较数与正同名，而左行较数却与负同名，则一是正多于负之数，而一是负多于正之数也。夫正与负原相待，负多于正之数，即正少于负之数也。于是用异名相加法，以左行负多于正之数变为正少于负之数，以相并，则知右行之正数必多于左行之正物，而其所多几何？正是此两较之并数矣。此异名相加之理也。合同减异并而观之，总是两行中同名相较也。又论曰：较数方程，以两相较而为用。虽有三色、四色，乃至多色，其相较也必两。此正负所由立也。立正负以别同异，犹彼我也。夫彼我者，岂有一定之称哉？以此为正，则以彼为负；若以彼为正，则此反为负矣。正负之相呼，犹彼我之相视也。故曰无定。虽然无定者，正负有定者，同异其无定者，在未立正负之先；其有定者，在既立正负之后。既以一为主，则同乎此者皆同名，异乎此者皆异名矣。是故无定而实有定也。今试以所列方程最下位观之，其言正负者，必上物之较数也；不言正负者，必上物之和数也。较数有盈有朒有适足，和则否。假如下价盈则为正，正与正同名，试于正物价之中减去下同名正价之盈，则所余之价必与负物之价相当矣。正与负异名，试又取上负物之价以加下异名正价，则又必与正物之价相当矣。假如下价朒，则为负【正物之朒，负物之盈也】负与负同名，试于负物价之中减去下同名负价，则所余之价必与正物之价相当矣。负与正异名，试又取上正物之何以加下异名负价，又必与负物之价相当矣。假如下价适足空位，无盈朒，则其上正负物价必自相当。又论曰：正负之术，分别同异，全在有交变之法，以通其穷。要其为用，惟在使两行之首位同名而已。何也？方程以互乗递减立法，每乗一次，即减去一色。然惟和数，则一乗之后即可对减；若较数，则有同数而不同名之时，若不减首位，即不成方程。若径以异名而减，势必以同名而并，法不画一，而于后条和较交变之时，益混淆而难用。故以法变之，使首位之同数者无不同名，而仍为同名，利减焉。首位既以同名减，则凡减者皆同名，凡并者皆异名，而其法画一矣。故首位既变，则行内之正负皆变。何也？从首位也。行内之正负既皆从首位而变，由是而原与首位同名者，皆与隔行之首位同名也；原与首位异名者，即与隔行之首位异名也。如此则隔行之同减异并亦清矣。正负犹阴阳也，牝牡也。各行中各有正负，犹两仪之生四象也。乗而交变，犹刚柔相推而生变化也。隔行之正，本行以为负；隔行之负，本行以为正。真阴真阳，互居其宅也。同名相减者，阴阳之偏，不得其配也；异名相并者，阴阳得类，雌雄相食也。是皆有自然之理焉，可以思古人立法之原矣。【以上亦以二色者举例，三色以上，乃至多色正负之用尤显，详具诸卷中，兹不赘列，然其理着矣】和较相襍方程例方程之用，以御隠襍。妙在襍与变。知其襍，则襍而不用矣。知其变，则变而不失其常矣。诸书所论，胥未及此。故求之甚详，去之愈逺也。用法曰：凡方程和较襍者，和较从和法列之，不立正负；较数从较法列之，明立正负。其偏乗得数后在。较数行中者，仍其正负之名；在和较行中者，皆变从乗法之名【和数原无正负，则无可变；但乗后得数，取其与较数之首位同名而已。首位既同名，下不得不同名矣】凡两较者，下价或有减、有并，而中物只同减。若一和一较者，下价亦有减、有并，而中物皆异并。此以两色言之，三色以上，随数通变，皆以同异名御之。假如有大小句不知数，但云三，其大句倍其小句，共三丈三尺。若倍大句，则如六小句，问若干？

畣曰大句九尺　小句三尺法以一和一变列位【适足者以相较而得名，即同较义】

右行和数也，不立正负；左行较数也，明立正负。右乗左，而三之和乗较也，故其正负皆如故。左乗右而二之，较乗和也，故得数皆为正，从乗法之名也。如法遍乗讫，以两行对勘。大句同名相减尽，小句异名相并，得二十二为法。正数六丈六尺无减，就为实。法除实，得三尺为小句。以左行小句六，共一丈八尺为实，以大句二为法除之，得九尺为大句【或于右行共三丈三尺内，同减小句二共六尺，余二丈七尺，以大句三除之，亦得九尺】论曰：右行大句三，小句二，共三丈三尺。乗后得数，则是六大句四小句，共六丈六尺也。左行大句二，小句六，其数相当。乗后得数，则是六大句十八小句，亦相当适足也。于以对减，而两大句同减尽，则其数同也。而右行正数犹有六丈六尺，左则无有，其故何也？右行正数中有小句四，而左则无，且不惟无之而已，其相对之负数反有十八小句焉。是左行正数又自除却十八小句之数也。右行正数多四小句，左行正数又自除却十八小句，则是右行正数之多于左行正数者二十二小句也。故并此二十二小句为右行所多之正物。其六丈六尺则右行之正数也。以正物除正数，而小句可知，知小句，知大句矣。又细攷之，六大句合四小句，共六丈六尺，则以与六大句相当之十八小句合四小句，亦必六丈六尺也。此亦西儒比例之理，而以同异名尽之，可见古人用法之简快。试更列之，以小句居上，则先得大句亦同。

上　　　　　　中　　　　　下先以右小句二徧乗左行得数【和乗较也，故仍其正负】次以左小句六徧乗右行得数【较乗和也故皆命为负与乗法同名】两小句同减尽；两大句异并二十二为法，负数十九丈八尺无减就为实。法除实，得大句九尺。以右行大句三该二丈七尺，减共三丈三尺，余六尺；以小二句除之，得小句三尺。论曰：小句互乗之后，则其数同也。小句数同，则负数亦同。而右行之负数独有十九丈八尺，左则无有者，以右之负数中有大句十八，而左则无不惟无也。其所对之正数中反有大句四，是左行负数中又原少四大句也。右负数多十八大句，左负数少四大句，是右之负数多于左之负数者共二十二大句也。然则右之负数独有此十九丈八尺者，正是此二十二大句之数也。

此和数与适足偕也假如有江湖两色船，载物不知数，但云江船五以较湖船一，则江多二千八百石；江船三，湖船五，则共载二千八百石。问船力若干？畣曰：江船六百石，湖船二百石。

法以一和一较列位如法左右徧乗得数江船同减尽，湖船异并，二十八为法，载物同减余五千六百石为实，法除实，得二百石为湖船数，以湖船数加右行异名正二千八百，共三千石，以右江船五除之得江船数六百石【或以湖船五共一千石同减左行二千八百石余一千八百石以左江船三除之亦得六百石】论曰：徧乗后，江船数同，则其载数亦同。今以两正数相减，而左多五千六百者，以左正数中有湖船二十五，而右则无不惟无也。其所对之负数中，反有湖船三。是右行正数中，又自少三湖船也。左多二十五，右少三，是左正数多于右数者，共二十八湖船也。然则左之正数独多五千六百者，正此二十八湖船之数也。此和数偕一正也，负亦同。

和变交变方程例凡方程三色以上，以减余重列，则有和变较、较变和者，不可不察也。若非和较之襍，则二色方程之中，物有减无并矣。若非和较之变，则三色、四色方程和数者，有减无倂矣。夫和数、较数，非自我命之名也，其下价之为和、为较，不可诬也。用法曰：「和变较者，但和数减余有分在两行者，兼而用之，即变较数也。」和既变较，即以较数法列之。其法以一行之余数命为正，以一行之余数命为负。其下余价以与中位余物同在一行者，即为同名，从其正负而命之。若下价减尽无余者，命为适足。若减余只在一行者，无变也，只用和数法。较变和者，但视较数减余，或有一行内皆正，或皆负者，即变和数也。即如和数法列之，不立正负【其较数异并者，以一行为主，而以隔行之之异名，从本行为同名】若减余行内有正负者，无变也。只用较数法。若有两异并，而一位左正右负，一位右正左负，亦仍为较数不变。虽减余分在两行，而一行余正物，一行余负物，亦和数也。何也？隔行之异名，乃同名也。若减余同名，而分余于两行，即仍为较数不变。何也？隔行之同名，乃异名也。若两异并，皆左正右负，或皆左负右正，亦和数也。和较重列，有俱变为较者，有只变一行为较，而余行如故者。较数重列，有俱变为和者，有只变一行为和，而其余如故者，皆如上法以和较襍列之。若四色以上，有和变较，较复变和者；有较变和，和复变较者，皆以前法御之。假如以衡校弓弩之力，但云大神臂弓二弩九小弓二，共重七百一十斤。又有神臂弓三弩二小弓八，共五百二十五斤。又有神臂弓五弩三小弓二，共五百一十五斤。问各力？畣曰：「大神臂弓力五十五斤，弩力六十斤，小弓力三十斤。」法先以和较列位【凡三色者，可任以一行为主，与余二行数相乗而减并之，故前后之行可互更也，详见第三卷】

先以中行神臂弓二为法，徧乗左右得数【此以中行为主，与左右互乗，取其行间易为减并之用也】次以右行神臂三徧，乗中行得数，与中行对减。神臂弓中右各六，对减尽。中弩二十七，内减去右弩四，余二十三【中行余也】中小弓六，去减右小弓十六，余十【右行余也】中力二千一百三十，内减去右一千○五十余，一千○八十斤【中行余也】以上减余分在两行已变较数矣，即用较数之法分正负列之，而以弩与力命为同名【弩与力同在中行故也】次以左行神臂五徧乗中行得数，而以中左两行对减神臂弓各十减而尽，中弩得四十五内减去左行弩六，余三十九。中行小弓得十，内减去左小弓四，余六。中力得三千五百五十，内减去左一千○三十余，二千五百二十斤。以上减余俱在中行，仍为和数，也不分正负。论曰：此和数方程变为一和一较也。何也？中右得数两大弓减尽，则其力相若也。弩数相减而余在中行，是中行之弩力多于右行也。小弓相减而余在右行，是右行小弓之力多于中行也。弩力中多于右，小弓力右多于中，而今共力相减，惟中多一千○八十斤，则是此一千○八十斤者，非余弩余弓之共数，而余弩所多于余弓之较数也。虽欲不分正负，不可得也。如中左对减，而余弩余小弓俱在中行，则中行之余力二千五百二十斤者，仍为余弩余小弓共数，无正负之可分也。故以此两减余者，依和较杂法重列而求之。如前对减，既于共力中清出首一色大神臂弓，不与弩、小弓杂矣。然所余之力尚为弩、小弓共数，与其较数而未能分别此二色之每数也，故必重测。

依和较杂法，以左右余弩互徧乗，得数【左乗右和乗较也，故仍其正负；右乗左较乗和也，故变从乗法之名，皆曰正】弩同减尽，小弓异并五百二十八为法，力同减余一万五千八百四十为实，法除实得三十斤为小弓力，以小弓力乗右行余小弓十得三百斤异如力正一千○八十斤共一千三百八十斤，以余弩二十三除之得六十斤为弩力【或于左行共力二千五百二十斤内同减小弓六该一百八十斤余二千三百四十斤，以余弩三千九除之得六十斤亦同，即此可见两减余之为一和一较】乃于原列任取右行八小弓力二百四十斤，二弩力一百二十斤以减共力五百二十五斤，余一百六十五斤，以大神臂弓三除之得五十五斤为大神臂弓力。论曰：两弩正数同，而其力不同者，小弓之故也。左行和数也，是弩偕小弓之力也。右行较数也，是弩力中减去小弓之力而余者也。合而观之，则是左行之弩力有小弓一百三十八以为之益，而右行之弩力反减去小弓三百九十。然则左行正数之多于右行者，凡共差小弓五百二十八，而左行正数所以多于右行一万五千八百四十斤者，正是此小弓五百二十八之力也。凡此减余之数，亦可互求。若更置之，以小弓列上，则先得弩力，如后图。

上　　　　中　　　　下依法右左徧乗得数【左乗右和乗较也，故仍其正负；右乗左较乗和也，故变从乗法之名，皆名之曰负】小弓同减尽，弩异并得五百二十八为法，力异并得三万一千六百八十为实，法除实得六十斤为弩力，以弩力乗右行弩二十三得一千三百八十斤，同减正一千○八十斤，余三百斤，以小弓十除之得小弓力。论曰：两小弓同名，负其数既同，而左行负数之力有若干，右则无之，而且反小于正数之力若干者，何也？以左行负数中有弩三百九十，右则无之，而其所对之正数反有弩一百三十八以为之除算，则是左负数之多于右者，共五百二十八弩也。右负数少此五百二十八弩，而正数力遂多六千四百八十斤。左负数多此五百二十八弩，则不但补却右行之所少，而又自有力二万五千二百斤。然则左行共多于右三万一千六百八十斤者，正是此五百二十八弩之力也。此三色和变较例也【四色以上襍见诸卷中】问：有甲、乙、丙三数，甲加七十三得为乙，丙数者倍乙，加七十三得为甲，丙数者三，丙加七十三得为甲，乙数者四，其本数各几何？畣曰：甲七，乙十七，丙廿三。

法先以较数列位先以中行甲正一遍，乗右左得数，皆如故【只变中行，故两行之正负俱不变，又是一数为乗法，故数亦不变】次以右行甲负三徧乗中行，次以左行甲负四徧乗中行，各得数【左右既省不变，故变中行以从之，首位变负，下三位俱变正】次以中右得数相减并，甲同减尽，中乙得正六，同减左得正一，余正五，中丙得正六，异并右得负三，共得正九，中较数得正二百一十九，异并右负七十三，共得正二百九十二。次以中左得数相减并，甲同减尽，中乙得正八异，并左得负四，共得正十二，中丙得正八同减，左得正一余七正，中较数得正二百九十二异，并左负七十三，共得正三百六十五。以上减并之数皆同名，又皆在一行，知已变为和数，重列之不分正负【依此显虽同名而或乙正在中，丙正在左，即不得变和数也？何也？左行之正，中行之负也】论曰：此较数变为和数也。以中右之得数言之，中行六个乙，六个丙，共多于三个甲者二百一十九。右行一个乙，少于三个甲，三个丙者七十三。于是两相对较，则两行之甲皆三个，其数本同。而中行之乙丙多于甲二百一十九者，因中行之乙多于右行之乙者五个，又有同名之丙六个以益之，而中行之甲又非若右行之甲与三个丙同名，是又少三个丙也。夫甲股内少，则乙丙股内多，合而观之，则是中行之乙丙股内共多五个乙九个丙，而右行之乙股内共少此五个乙九个丙也。夫中行之乙丙股内多五个乙九个丙，便多于三个甲者二百一十九。右行之乙股内少五个乙九个丙，则不惟不多，而反少于三个甲者七十三。然则并此多二百一十九，少七十三，共二百九十二者，正是此五个乙九个丙之共数，而非其较数也。故不分正负。又以中左之得数言之中行正数是八个乙八个丙，负数是四个甲。而正数多者二百九十二。左行正数是一个丙，负数是四个甲四个乙，而正数少者七十三。于是两相对勘，则两行负数之甲皆四个，其数本同。惟中行之正数内比左正数多七个丙，又加八个乙。而中行之负数又比左负数少四个乙。合而观之，是中行之正数比左行共多十二个乙与七个丙，而左行之正数比中行共少十二个乙七个丙也。然则中行正数之多于负数二百九十二者，以多此十二个乙七个丙；而左行正数之反少于负数七十三者，以少此十二个乙七个丙也。则是并此多二百九十二少七十三之数，共三百六十五者，正是此十二个乙七个丙之共数，而非其较数也。故亦不分正负。

如法以乙数左右互徧乗得数相减【无正负故有减无并】乙减尽，丙减余七十三为法，下位余一千六百七十九为实，法除实得二十三为丙数。以丙数乗左行，丙七得一百六十一，以减共三百六十五，余二百○四，以左乙十二除之，得一十七为乙数。又以乙数异加原列右行负七十三，共九十内减原右行丙三该六十九，余二十一，以原右行甲三除之，得七为甲数。论曰：此《同文算指》所立叠借、互征、设问之一也。原法繁重，今改用方程，简易如此。此所设问三色方程耳。以西术求之，已不胜其难，况四色以往，乃至多色乎？此亦足见方程之不可废，而古人别立一章之诚有实用也。此三色较变和例也。四色以往，至于多色，则其变益多，要不出于和较例。具后诸卷中，兹不详列。