厯算全书卷五十二

厯算全书卷五十二

宣城梅文鼎撰三角法举要卷三内容外切【三角测量之用在邉与角而其内容外切亦所当明故次于算例之后】内容有二，曰本形，曰他形。

一三角求积积谓之幂，亦谓之面，乃本形所有。

一三角容员一三角容方以上皆形内所容之他形外切惟一一三角形外切之员三角求积第一术底与髙相乗折半见积内分二支一句股形即以句股为底为髙一锐角钝角形，任以一邉为底，而求其垂线为髙。假如句股形甲乙股【一百二十尺】乙丙句【三十五尺】求积。术以甲乙股，乙丙句相乗【四千二百尺】折半得积。

凡求得句股形积二千一百尺如图，甲乙股与乙丙句相乗成甲。乙、丙、丁，长方形，其形半实半虚，故。

折半见积或以句折半【十七尺半】乗股亦得积【二千一百尺】如图，乙丙句折半于戊，以乙戊乗。甲乙成甲乙，戊丁形是移丙，戊己。

补甲丁己也或以股折半【六十尺】乗句亦得积【二千一百尺】如图，甲乙股折半于己，以己乙乗。乙丙，成己；乙丙丁形，是移甲己戊。

补戊丁丙也右句股形，以句为底，以股为髙。若以股为底，则句又为髙，可互用也。句股形有立有平，若平地句股，以句为濶，以股为长，其理无二。论曰：凡求平积，皆谓之幂。其形如网目，又似窓櫺之空，皆以横直相交，如十字，亦如机杼之有经纬而成布帛。故句股是其正法。何也？句股者，方形斜剖之半也。折半则成正剖之半方形矣。其他锐角、钝角，或有直无横，有横无直，必以法求之，使成句股，然后可算。故句股者，三角法所依以立也。

假如锐角形甲乙邉【二百三十二尺】甲丙邉【三百四十尺】乙丙邉【四百六十八尺】求积。术先求垂线，用锐角，第三术，任以。乙丙邉为底，以甲丙、甲乙为两▯。两▯之较数【一百零八尺】总数【五百七十二尺】相乗【六万一千七百七十六尺】为实，以乙丙底为法除之，得数【一百三十二尺】转减乙丙余数【三百三十六尺】半之得乙丁【一百六十八尺】依句股法，以乙丁自乗【二万八千二百二十四尺】与甲乙自乗【五万三千八百二十四尺】相减，余数【二万五千六百尺】平方开之，得甲丁垂线【一百六十尺】以甲丁垂线折半乗乙丙底，得积，凡求得锐角形积三万七千四百四十尺。如图，移辛补壬，移庚补癸，则成长。

方形即垂线折半乗底之积右锐角形，任以乙丙邉为底，取垂。线求积，若改用甲乙，或甲丙邉为底则所得垂线不同而得积无异故可以任用为底假如钝角形甲乙邉【五十八步】甲丙邉【八十五步】乙丙邉【三十三步】求积术求垂线，立于形外，用钝角，第三。术以乙丙为底，甲乙、甲丙为两▯。总数【一百四十三步】较数【二十七步】相乗【三千八百】六十一步】为实；乙丙底为法，除之得数。【一百一十七步】内减乙丙，余数【八十四步】折半。【四十二步】为乙丁【即乙丙引长邉】依句股法，乙丁自乗【一千七百六十四步】甲乙自乗【三千三百六十四步】相减余数【一千六百步】平方开之得甲丁【四十步】为形外垂线，以乙丙底折半【十六步半】乗之得积。

凡求得钝角形积六百六十步如图，甲乙丙钝角形，移戊补庚，移。庚、己补壬、癸，又移壬子补辛，成辛。癸丑，长方即乙丙底，折半乗中长。

甲丁之积右钝角形，以乙丙为底，故从甲角作垂线。若以甲乙为底，则自丙角作垂线，亦立形外，而垂线不同。然以之求积，并同。若以甲丙为底，从乙角作垂线，则在形内，如锐角矣。其垂线必又不同，而其得积无有不同，故亦可任用一邉为底。凡用垂线之髙乗底见积，必其线上指天顶，底线之横下应地平，两线相交，正如十字，故其所乗之幂积皆成小平方，可以虚实相补而求其积数。钝角形引长底线以作垂线，立于形外，则两线相遇，亦成十字正方之角矣。总论曰：「三角形作垂线于内，则分两句股；钝角形作垂线于外，则补成句股。皆句股法也。」

三角求积第二术以中垂线乗半周得积，谓之以量代算。假如钝角形乙丙邉【五十八步】甲乙邉【一百一十七步】甲丙邉【八十五步】求积。术平分甲乙两角，各作线，防于心，从心作十字垂线至乙甲邉【如心庚】即中。垂线也，乃量取中垂线【心庚】得数【一十八步】合计三邉而半之【一百三十步】为半周，以半周乗中垂线，得积。凡求得钝角形积，二千三百四十步。又术如前，取中垂线【心庚】为濶，半周为长【如乙癸及丁壬】别作一长方形【如乙壬丁癸】即与【甲乙丙】钝角形等积解曰：凡自形心作垂线至各邉皆等，故中垂线乗半周为一切有法之形所公用。方、员及五等面、六等面至十等面以上并同，故以中垂线为濶，半周为长，其所作长方形即与三角形等积。又解曰：中垂线至邉皆十字，正方角即分各邉成句股形，以乗半周得积，即句股相乗折半之理。

附分角术　有甲角欲平分之术以甲角为心，作虚半规，截角旁两。线得辛壬二防，乃自辛、自壬各用为。心作弧线，相遇于癸，作癸甲线，即分。

此角为两平分三角求心术如上分角术，于甲角平分之，于乙角。又平分之，两平分之线，必相遇成一。

防此一防即三角形之心解曰：「试再于丙角，如上法分之，则亦」。

必相遇于原防三角求积第三术以三较连乗，又乗半，总开方，见积。假如钝角形甲乙邉【一百一十六尺】甲丙邉【一百七十尺】乙丙邉【二百三十四尺】求积。术合计三邉而半之【二百六十尺】为半总以与甲乙邉相减得较【一百四十四尺】与甲丙邉相减得较【九十尺】与乙丙邉相减。得较【二十六尺】三较连乗【以两较相乗得数，又以余一较】【乗之也】得数【三十三万六千九百六十尺】又以半总较之得数【八千七百六十万零九千六百尺】平方开之得积。凡求得钝角形积，九千三百六十尺。

若系锐角同法解曰：此亦中垂线乗半周之理，但所得为幂乗幂之数，故开方见积。详《或问》。

三角容员第一术以▯与句股求容员径【此术惟句股形有之，凡句股相并为和，以和与▯并为▯和，和以和与▯相减为▯和较】假如【甲乙丙】句股形，甲丙句【二十步】乙甲股【二十一步】乙丙▯【二十九步】求容员径。术以句股和【四十一步】与▯相减，得数为容员径。

凡求得内容员径一十二步解曰此以▯和较为容员径如图，从容员心作半径至邉，又作。分角线至角，成六小句股形，则各角旁之两线相等【如丙戊、丙庚两线，在丙角旁，则相等，乙庚，乙己，在乙角旁，甲戊，甲己，在甲角旁，并两线相等】其在正方角旁者【甲戊甲己】乃▯和较也【于乙丙▯内，分丙庚以对丙戊，又分乙庚以对乙己，则其余为甲戊及甲己，此即句股和与乙丙▯相较之数也】然即为内容员径何也？各角旁两线并自相等，而正方角旁之两线又皆与容员半径等【正方角旁两小形之角皆平分方角之半，则句股自相等，而甲戊等心戊，甲己等心己】然则▯和较者，正方角旁两线【甲戊甲己】之合，即容员两半径【心戊心己】之合也，故▯和较即容员径也。试以甲戊为半径作员，则戊心亦。半径，而其全径【癸戊甲】与容员径【丁心】。己】等以甲己为半径作员则己心亦半径，而其全径【辛己甲】与容员径。

【戊心壬】亦等三角容员第二术以周与积求容员径内分二支一句股形以▯和和为用【亦可用半】一、锐角钝角形，以全周半周为用。假如【甲乙丙】句股形，甲丙句【一十六步】甲乙股【三十步】乙丙▯【三十四步】求容员径。术以句股相乗得数【四百八十步】为实，并句股▯数【共八十歩】为法，除之，得数倍之为容，员径。

凡求得容员径一十二步解曰：此以▯和和除句股倍积，得容员半径也。如图，从容员心作对角线，分其形为三【一甲心丙，一甲心乙，一丙心乙】乃于甲丙句线两端各引长之，截子甲如乙甲股，截丙丑如丙乙▯，则子丑线即▯和和也。乃自员心作癸壬直线，与丑子平行，两端各聫之，成长方。又作辛丙线，分为三长方形，其濶并如员半径，其长各如句，如股，如▯。而各为所分三小形之倍积【甲辛长方】如甲丙句之长，而以心戊半径为濶，即为甲心丙分形之倍，甲癸长。方如乙甲股之长，而以同心己之半径为濶，即为乙心甲形之倍丙。壬长方如丙乙▯之长，而以同心庚之半径为濶，即为乙心丙形之倍】合之即为本形倍积与句股相乗同也【句股相乗为倍积见求积条】故以▯和。

和除句股相乗积得容员半径假如【甲乙丙】句股形，甲丙句【八十八尺】甲乙股【一百零五尺】乙丙▯【一百三十七尺】求容员径。术以句股相乗而半之，得积【四千六百二十尺】为实，并句股▯数而半之【一百六十五尺】为法，除之，得数倍之，为容员径。凡求得内容员径五十六尺。解曰：此以半周除句股形积而得容员半径也【半周即▯和和之半】如图，从容员心，分本形为六小句股，则同角之句股各。相等可以合之而各成小方形【同甲角之】两句股成丁，己小方形，同丙角之两句股可合之成丁辛长方形，以心辛。丙形等，丙戊心也。同乙角之两句股，可合之成己庚长方形，以乙庚心形。等心戊乙也】乃移己庚长方为辛癸长方。则癸甲即同半周，而癸己大长方，即为半周乗半径而与句股积等也【六小形之句皆原形之周变为长方则两两相得而各用其半是半周也癸甲及壬己之长并半周壬癸及己甲辛丙之间并同心丁是半周乗半径也辛癸长方与己庚等积即与乙角旁两句股等积又丁辛长方与丙角旁两句股等积再加丁己形即与原设乙甲丙句股形等积矣】然则以句股相乗而半之者句股形积也故以半周除之即容员半径矣或以▯和和除四倍积，得容员全径，并同前论。论曰：句股形，古法以▯和较，为容员径与▯和和，互相乗除，乃至精之理。测员海镜，引伸其例，以为测望之用。其变甚多，三角容员，盖从此出，故为第一支。

假如【甲乙丙】锐角形，乙丙邉【五十六尺】甲丙邉【七十五尺】甲乙邉【六十一尺】求容员径。术以乙丙邉为底，求得甲丁中长线【六十尺○法见求积】以乗底得数【三千三百六十尺】倍之【六千七百二十尺】为实，合计三邉【共一百九十二尺】为法除之，得容员径。

凡求得内容员径三十五尺解曰：「此以全周除四倍积，得容员。」

径也如图自容员心作对角线分为小三角形三各以员半径为髙各邉为底若于各邉作长方而各以邉为长半径为濶必倍大于各小三角形【如壬丙长方倍大于丙心乙形】。丙丑长方倍大于丙心，甲形甲丁长方倍大于甲心，乙形】又作加一倍之长方则四倍大于各小三角【如未乙长方倍大于丙壬长方，必四倍于】【丙心乙三角，则夘甲亦四倍于丙心甲，而甲酉亦四倍于甲心乙】于是而通为一大长方【移夘甲长方为亥丙，移甲酉为乙辰，则成亥午大长方形矣】必四倍原形之幂，而以三邉合数为长，以容员之径为濶。然则以中长线乗底而倍之者，正为积之四倍也。以三邉除之，岂不即得员径乎？

或以全周除倍积得容员半径或以半周除积，得容员半径，并同。

若钝角形亦同上法论曰：锐角钝角，并以周为法，此与句股形用▯和和同，但必先求中长线，故为第二支。

三角容员第三术以中垂线为员，半径曰，以量代算。假如【甲乙丙】三角形，求容员径【既不用算，故不言邉角之数】如求积术，均分甲乙二角之度，各作虚线交于己，即己为容员之心。次以己为心，尽一邉为界，运规作。

员此员界必切三邉于是从己心向三邉各作十字垂线，必俱在切员之防，而等为员半径。知半径，知全径矣【半径各如己庚线】论曰：此容员心，即三角形之心【故以容员半径乗半总，即得积也】又案：此术亦句股及锐钝两角通用。

三角容员第四术用三较连乗假如【甲乙丙】钝角形，乙丙邉【四百三十二尺】甲丙邉【五百尺】甲乙邉【一百四十八尺】求容员径。术以半总【五百四十尺】求得乙丙邉较。【一百○八尺】甲丙邉较【四十尺】乙甲邉较。【三百九十二尺】三较连乗得数【一百六十九万三千】。四百四十尺】以半总除之，得数【三千一百三十】【六尺】四因之【一万二千五百四十四尺】为实，平方开之，得容员径。凡求得内容员径一百一十二尺。

锐角同法解曰：此所得者，为容员径上之自乗方幂，故开方得径。

三角容方第一术合底与髙除倍积得容方径内分二支一句股形，即以句股为底为髙【即句股和也，其容方依正方角】一三角形，以一邉为底，求其垂线为髙【句股形以▯为底，锐角形三邉皆可为底，钝角形以大邉为底，其容方并依为底之邉】假如【甲乙丙】句股形，甲丙股【三十六尺】乙丙句【一十八尺】求容方。依正方角而以容方之一角切于▯。术以句股相乗得数【六百四十八尺】为实，以句股和【五十四尺】为法除之，得所求。

求到内容方径一十二尺如图，作寅乙线，与股平行，作寅甲。线与句平行，成寅丙长方，为句股。

形倍积次引寅甲线，横出截之于癸，引乙。丙句横出，截之于夘，使引出两线。【甲癸及丙夘】皆如甲丙股，仍作夘癸线聫之。乃从癸作斜线至乙，割甲丙股于戊，则戊丙为所求容方之邉。又从戊作申未横线，与上下两线平行，割甲乙▯于己，则己戊为所求容方之又一邉。末从己作午辛立线，割丙乙句于辛，则己辛及辛丙又为两对邉，而四邉相等，为句股形内所容之方。解曰：寅夘大长方，以癸乙斜线分，两句股则相等，而寅戊与戊夘两长方等，则寅丙长方与申夘长方亦等【寅丙内减寅戊而加相等之戊夘即成申夘】夫寅丙者，句股倍积；而申夘者，句股和乗容方径也【乙丙句，丙夘股，合之为申夘形之长；申乙及未夘并同，方径为濶】故以句股和除倍积，得容方径。又解曰：寅丙长方，分两句股而等，则寅戊与午丙两长方等【寅己与己丙既等，则于寅戊内减寅己而加相等之己丙，即成午丙】而寅戊原等戊夘，则午丙亦与戊夘等。夫午丙形之丙甲，与戊夘形之丙夘皆股也，则两形等积又等邉矣，其长等，其濶亦等【甲丙与丙夘既等，则辛丙与戊丙亦等】而对邉悉等，即成正方形。论曰：此以句为底、股为髙也。若以股为底、句为髙，所得亦同。其容方依正方角，乃古法也。三角以底濶合中长除积，盖生于此，是为第一术之第一支。假如【甲乙丙】句股形，乙丙▯二十八尺，其积一百六十八尺，求容方。依▯线而以容方之两角切于句股，术以▯除倍积【三百三十六尺】得对角线【一十二尺】与▯相并【四十尺】为法，倍积为实，法除实得所求。

求到容方径八尺四寸如图，作寅丑线与乙丙▯平行，又作寅、丙及丑、乙与甲、丁对角线平行成。

丑丙长方为句股形倍积次引乙丙▯至夘引寅丑线至癸使。癸丑及夘乙并同甲，丁仍作癸夘线。

聫之次从癸向丙作斜线，割丑乙线于子。遂从子作申未线，与乙丙▯平行，割甲乙股于庚，割甲丙句于己。则庚己为容方之一邉末从庚作辰壬线，从己作午辛线，并与甲丁平行，而割乙丙▯于壬，于辛。则辛壬及庚壬及己辛三线，并与庚己等，而成正方。解曰：寅子长方与子夘长方等积【癸丙线分寅夘形为两句股而等则两句股内所作之方必等】午壬长方又与寅子等【寅丁形以甲丙线分为两句股则寅己与己丁等。又丑丁形以甲乙线分为两句股则丑庚与丁庚等。若移寅己作己丁，移丑庚作丁庚，则午丁等寅戊而辰丁等丑戊。合之而午壬等寅子】则午壬亦与子夘等，而午壬之邉【午辛及辰壬】子夘之邉【夘乙及未子】并等。甲丁对角线，则两形【午壬子夘】等积又等邉矣。其长等，其濶亦等【辰壬既等夘乙则辛壬亦等子乙，而庚壬及己辛亦不得不等】故四线必俱等也。又解曰：寅子既与子夘等，则寅乙必与申夘等【于寅乙内移寅子居子夘之位即成申夘】而寅乙者，倍积也；申夘者，底偕中长乗容方径也【乙丙▯也，夘乙即甲丁对角中长线也，合之为丙夘之长，其两端之濶申丙及未夘并同方径】故合▯与对角线为法，以除倍积，得容方径。论曰：此以一邉为底，中长线为髙也。既以一邉为底，其容方即依此一邉而以两方角切余二邉也。句股形，故以▯为底；若锐角形，则任以一邉为底，但依大邉则容方转小，亦如句股形，依方角之容方必大于依▯线之容方也。钝角形，但可以大邉为底，其求之则皆一法也。是为第一术之第二支。

三角容方第二术以图算内分二支一以法截中长线得容方径【句股形即截其邉】一以法截两斜邉得容方边【句股形即截其▯】假如锐角形求容方，任以一邉为底。如图，以乙丙最小邉为底，先从对角甲作中长垂线至丁，又从乙角作丑乙立线，与甲丁平行而等，乃从甲角作横线过丑至癸，截丑癸亦如甲。丁乃从癸向丙角作斜线，割丑乙。立线于子末，以子乙之度截中长。线【甲丁垂线】于戊，即戊丁为容方之径。【从戊作己，庚又从己作线，至辛从庚作线，至壬成庚、己、辛、壬，即所求。】

容方】解曰：甲戊与戊丁，若甲丁与乙丙【子丑癸句股与子乙丙形有子交角，必相似，则丑子句与子乙句，若丑癸股与乙丙股，而丑子原与甲戊等，子乙与戊丁等，丑癸与甲丁等，则甲戊与戊丁亦若甲丁与乙丙】又甲戊与己庚，若甲丁与乙丙【甲己庚三角为甲丙乙之截形，必相似，则甲戊与己庚若甲丁与乙丙】合两比例观之，则甲戊与戊丁若甲戊与己庚，而己庚即戊丁。

以上并锐角形凡锐角三邉并可为底而皆一法假如句股形求容方，以股为底，则于句端甲作横线，与股平行而截之于癸，使癸甲如甲乙句。乃自癸向丙作斜线，割甲乙句于戊，则戊乙即容方之一邉。末作己戊与股平行，作己辛与句平行，即成容方【或以句为底，则从股端丙作丙癸横线，与股等，亦作癸甲斜线，割丙乙股于戊，其所得容方亦同。图如左】

论曰：锐角、钝角，皆截中长线为容方径，句股形以▯为底，亦然。惟句股形以句为底，即截其股为容方径【用股为底，即截句】不另求中长，而与截中长之法并同，是为第二术之第一支。

假如乙丙丁三角求容方，依乙丙邉为底。如图，以乙丙底作正方形【即甲乙丙戊方】又作丁辛对角线，次作甲辛及戊。辛，两斜线割原形之两斜线于己。于庚乃作己庚线，为所求容方之一邉【末作己壬及庚癸两线成小方形于形内即所求】解曰：甲戊与己庚，若子辛与午辛也【己庚辛三角形，为甲戊辛之切形，则其横与直之比例相等】而甲戊与子辛同为方径而等，则己庚与午辛亦同为小方径而等。若底上方形，大则其径亦大于对。角线则如第二图，引丁辛线至子。

其理亦同有此二法则三邉并可为底钝角形用大邉为底，句股形用▯为底，并同第二图。若句股形，以句为底，求容方。如图，即用乙丙句作【丙辛庚乙】方形。从方角庚向丙作斜线，割丁乙▯于壬，从壬作癸。壬及甲壬二线即所容方【或用股上方则引出句邉如股】解曰：庚丙线分丙角为两平分，则其横直线自相等【壬癸与癸丙相等，壬甲与甲丙】【相等则四线皆等】而成正方。嘉禾陈防庵用分角法求容方，与此同理。论曰：此皆以底上方形为法，而得所求小方也。故不论顶之偏正，其所得容方并同。惟句股容方，依正方角，则中长线与原邉合而为一法，虽小异，其用不殊。是为第二术之第二支。

三角形外切平员第一术句股形以▯为径假如甲乙丙句股形，乙丙▯长四尺五寸二分，求外切员。术以▯折半取心得半径二尺二寸六分，其▯长四尺五寸二分，即外切平员全径。以平员周率三五五乗之，径率一一三除之，得员周一十四尺二寸。如图，乙丙员径，即句股形之▯，折半于丁，即员心也，以乙丁半径为度，从丁心运规作员。必过甲，而句股形之角皆切员周。

矣论曰：凡平员径上，从两端各作直线至员周相防，则成正方角【如乙丙径之两端，于丙于乙各作直线，防于甲，则甲角必为正角】而为句股形【假令两线相遇于庚，即成庚乙丙句股形；于辛亦然，以其皆正角故也】故不问句股长短，而并以其▯为外切员之径。又论曰：径一百一十三，而周三百五十五，此郑端清世子所述祖冲之术也【见律吕精义】按古率周三径一，李淳风等释《古九章》以为术，从简易，举大纲而言之，诚为通论。诸家所传，径五十，周一百五十七，则魏刘徽所改，谓之徽率；径七，周二十二，则祖冲之所定，谓之宻率。由今以观，冲之自有两率【一为七与二十二，一为一一三与三五五】盖以其捷者为恒用之，须而存其精者，明测算之理，亦可以观古人之用心矣。

三角形外切平员第二术分邉取员，心内分二支，并以图算。一句股形，但分一邉，即得员心【其心在▯】一锐角形，钝角形，并分二邉，可得员心【锐角形员心在形内，钝角形员心在形外】

假如甲乙丙句股形求外切员术任于句或股平分之作十字正线，此线过▯线之防，即为员心。如图，甲、乙、丙形。以甲乙股平分于戊，从戊作庚，丁正十字线至乙丙。▯即分▯为两，平分而丁，即员心。从丁运规作外切员，则甲乙丙三。防并切，员周而乙，丁丙，丁庚，丁皆半径。论曰：若平分甲丙句于辛，从辛作十字正线，亦必至丁，故但任分其一邉即可得心。又论曰：若依第一术，先得丁心，从丁心作直线，与句平行，即此线能分股线为两平分【如丁庚线与甲丙句平行，过甲乙股，即平分股线于戊】若与股平行而分句线，亦然【如丁辛线与甲乙股平行，即分句线于辛】右句股形外切平员之心，在▯线中央。

假如锐角形求形外切员术任以两邉各平分之作十字线引长之，必相遇于一防，即为员心。如图，甲乙丙锐角形，任以甲丙邉。平分之于戊，作庚戊丁十字线，又任以乙丙邉平分之于壬，作癸壬。丁，十字线，两直线稍引长之，相遇。于丁，以丁为心，作员，则甲乙丙三角并切员。周而丁癸，丁庚皆半径。论曰：试于余一邉再平分之作十字正线，亦必防于此防，故此防必员心【如甲乙邉再平分之于辛，作子辛丁十字线，亦必相遇于丁防】右锐角形外切平员之心在形之内。

假如钝角形求形外切员，术同锐角。如图，甲、乙、丙形。甲为钝角，任分甲。丙于戊分，甲乙于辛各作十字线。防于丁，心从丁作员，则丁庚丁癸。皆半径而三角，并切员周。若用大邉平分于壬作壬丁子线亦同论曰：试于丁心作线，至丙，至乙，至甲，必皆成员。半径与丁庚、丁癸同，故丁为员心也。右钝角形外切平员之心在形之外。总论曰：此与容员之法不同，何也？内容员之心，即三角形之心，故其半径皆与各邉为垂线，而不能平分其邉。然从心作线至角，即能分各角为两平分，此分角求心之法所由以立也。外切员之心，非三角形之心，其心或在形内，或在形外，距邉不等，而能以十字线剖各邉为两平分，此分邉求心之法所由以立。盖即三防串员之法也。

附三防串员有甲、乙、丙三防，欲使之并在员周。术任以甲为心，作虚员分用，元度。以丙为心，亦作虚员。分两员，分相。交于戊，于辛，作戊辛直线，又任以乙为心，以丙为心，各作同度之虚员，分相交于庚于壬，作庚壬直线，两直线相遇于丁，以丁为心作员，则三防并在员周。员周有三防，不知其心，亦用此法。

厯算全书卷五十二<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>钦定四库全书