弧三角举要卷五

弧三角举要卷五

八线相当法引弧三角有以相当立法者何也？以四率皆八线也。弧三角四率何以皆八线而不用他线【八线但论度，他线则有丈尺】浑体故也【弧三角皆在浑员之面】浑体异平，而御浑者必以平，是故八线之数生于平员，而八线之用专于浑员也。曷言乎专为浑员？曰：平三角之角之边皆直线也，同在一平面，而可以相为比例，故虽用八线，而四率中必兼他线焉【以八线例他线，则用角可以求边；以他线例八线，则用边可以求角，皆兼用两种线】弧三角之角之边皆弧度曲线也，不同在平面，故非八线不能为比例，而四率中无他线焉。既皆以八线相比例，则同宗半径【有角之八线，有边之八线，各角各边俱非平面而可以相求者，同一半径也】相当互视之法所由以立也。错举似纷，实则有条不紊，故爲论列，使有伦次云。

八线相当法详衍总曰：相当分之则有二，曰相当，曰互视。互视又分为二，曰本弧，曰两弧。但曰相当者，皆本弧也。又分为二，曰三率连比例者，以全数为中率也。其目有三。曰四率断比例者，中有全数也。其目有六。凡相当之目九。互视者，亦相当也。皆爲断比例，而不用全数。若以四率之一与四相乗，二与三相乗，则皆与全数之自乗等也。本弧之互视，其目有三；两弧之互视，其目有九。凡互视之目十二总名之，皆曰相当。其目共二十一，内三率连比例，三更之则六；四率断比例，十有八更之。反之错而综之，则百四十有四。共百有五十。

相当共九一曰：正▯与全数，若全数与余割。二曰：「余▯与全数，若全数与正割。」三曰：正切与全数，若全数与余切。以上三法，皆本弧，皆三率连比例，而以全数为中率。四曰：正▯与余▯，若全数与余切。五曰：「余▯与正▯若全数与正切。」六曰：正割与正切，若全数与正▯七曰：「余割与余切，若全数与余▯八曰：正割与余割，若全数与余切。九曰：余割与正割，若全数与正切。以上六法，亦皆本法，而皆四率断比例。四率之内，有一率为全数。

互视共十二一曰：正▯与正切，若余切与余割。二曰：余▯与余切，若正切与正割。三曰：正▯与余▯，若正割与余割。以上三法亦皆本弧，皆四率断比例，而不用全数。然以四率之一与四、二与三相乗，则其两矩内形皆各与全数自乗之方形等。四曰：此弧之正▯与他弧正▯若他弧之余割与此弧余割。五曰：此弧之正▯与他弧余▯若他弧之正割与此弧余割。六曰：此弧之正▯与他弧正切若他弧之余切与此弧余割。七曰：此弧之余▯与他弧余▯若他弧之正割与此弧正割。八曰：此弧之余▯与他弧正▯若他弧之余割与此弧正割。九曰：此弧之余▯与他弧余切若他弧之正切与此弧正割。十曰：此弧之正切与他弧正切若他弧之余切与此弧余切。十一曰：此弧之正切与他弧正▯若他弧之余割与此弧余切。十二曰：此弧之正切与他弧余▯若他弧之正割与此弧余切。以上九法皆两弧相当率也。其爲四率断比例而不用全数则同。若以四率之一与四二与三相乗，其矩内形亦各与全数自乗之方形等。

相当法错综之理此三率连比例也。首率与中率之比例，若中率与末率。故以首率、末率相乗，即与中率自乗之积等。假如三十度之正▯【○五○○○○】与全数【一○○○○○】之比例，若全数【一○○○○○】与三十度之余割【二○○○○○】其比例皆为加例也。更之，则余割【二○○○○○】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与正▯【○五○○○○】其比例为折半也。又如三十度之余▯【○八六六○三】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与三十度之正割【一一五四七○】更之则正割【一一五四七○】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与余▯【○八六六○三】也。又如三十度之正切【○五七七三五】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与三十度之余切【一七三二○五】更之，则余切【一七三二○五】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与正切【○五七七三五】也。

用法凡三率连比例，有当用首率与中率者，改为中率与末率。假如有四率，其一三十度正▯，其二全数，改用全数为一率，三十度余割为二率，其比例同。

凡四率之前，后两率矩内形与中两率矩形等，故一与四、二与三可互居也。