环中黍尺卷一之二

环中黍尺卷一之二

总论有垂弧及次形而斜弧三角可算，乃若三边求角，则未有以处也。环中黍尺之法则可以三边求角【如有黄赤两纬度可求其经】可以径求对角之边【如有黄道经纬可径求赤道之纬】立术超妙，而取径遥深，非专书备论，难谙厥故矣。书成于康熈庚辰，非一时之笔，故与举要各自为首尾。凡测算必有图，而图弧角者必以正形，厥理斯显。于是以测浑圆，则衡缩欹衺，环应无穷，殆不翅累黍定尺也。本书命名，盖取诸此。用八线至弧度，而竒然理本平实。以八线量弧度，至用矢而简然，义益多通。要亦惟平仪正形与之相应。一卷之先数后数，所为直探其根，以发其藏也。平仪以视法，变浑为平，而可算者亦可量，即眎度皆实度矣。二卷之平仪论，所以博其趣，而三极通几其用法也【黍尺名书于兹益着】矢度之用，已详首卷，而余▯之用，亦可参观，故又有三卷之初，数次数也。初数次数，本用乗除，亦可以加减代之，故有加减法，以疏厥义【自三卷以后，非非一时所撰，今以类相附，而仍各为之卷】四卷之甲乙数，即初数、次数之变也。而彼以乗除，此以加减，则繁简殊矣。五卷之法，亦加减也，而特为省径，故称防焉【用初数不用次数，用矢度不用余▯，以视甲乙数，又省其半】然不可不知其变，故又有补遗之术也。恒星厯，指之法别成规式，而以加减法相提而论，固异名而同实，是以命之又法也。【以上环中黍尺之法约之有六：用乘除者二，其一先数后数，其一初数次数也；用加减者四，初数、次数也，甲乙数也，捷法也，又法也。本书中具此六术。然而加减捷法，其尤为善之善者欤】外有不系三边求角之正用，并可通之以加减之法者，是为加减通法。盖术之约者，其理必精；数之确者，为用斯博。并附数则于五卷之末，以发其例。

弧三角用平仪正形之理作图之法有二：一为借象，一为正形。以平写浑，不得已而为侧睨遥望之形，以曲状其变。然多借象而非正形。兹一准平仪法度，寘二极于上下，而从旁平视之【如置身大员之表以观大员】则浑球上凸面之经纬弧角，一一可写于平面，而悉为正形。于是测望之法，步算之源，皆不烦笺疏而解。

平仪用实度之理斜视之图，无实度可纪【弧角之形，聊足相拟，其实度非算不知】兹者平仪既归正形，则度皆实度，循图可得。即量法与算法通为一术【以横径查角度，以距纬查弧度，并详二卷】

平仪用矢线之理八线中有矢，他用甚稀。乃若三边求角，则矢线之用为多，而又特为简易。信古人以弧矢测浑员，其法不易，然亦惟平仪正形能着其理【下文详之】

矢线之用有二一矢线为角度之限，钝角用大矢，鋭角用小矢【小矢即正矢也，从半径言之为正矢，从全径言之为小矢】法曰：置角度于平仪之周，则平员全径为角线所分，而一为小矢，一为大矢【平仪横径即浑员之腰围，故大矢即钝角度，小矢即鋭角度】如图，浑球上甲戊、甲丁、甲丙三小弧与甲已同度，故同用甲已为正矢；丁乙、戊乙、丙乙三过弧与已乙同度，故同用已乙为大矢。

一矢较为弧度之差，大弧用大矢【弧度过象限为大弧，故大矢亦大于半径】小弧用小矢【弧度不及象限为小弧，故正矢小于半径】较弧与对弧并同法，曰置较弧、对弧于员周【角旁两弧之较为较弧，亦曰存弧；对角之弧为对弧，亦曰底弧】则各有矢线而同轴，可得其差，谓之两矢较也。较弧、对弧并小，则为两正矢之较【两弧俱象限以下，故俱用正矢】较弧小、对弧大，为正矢、大矢之较【较弧在象限以下，用正矢；对弧过象限，用大矢】较弧对弧并大为两大矢之较【两弧俱过象限故俱用大矢】凡较弧必小于对弧，则较弧矢亦小于对弧矢，故无以较弧大矢，较对弧正矢之事，法所以恒用加也【若较弧用大矢，则对弧必更大】如图，丑乙弧之正，矢辛乙【庚乙寅乙】二弧同用】子乙弧之正矢壬乙【癸乙夘乙同用】则辛壬为两矢之较，即为【癸乙。寅乙】两弧度之较也【或丑乙与子乙，或庚乙与癸乙，或寅乙与卯乙并同】又如戊乙弧之大矢已乙与丑乙弧之正矢辛乙相较，得较已辛，或子乙弧之正矢壬乙与丙乙弧之大矢已乙相较，得较巳壬，皆大矢与正矢较也。又如甲丑弧之大矢辛甲与甲夘弧之大矢壬甲相较，得较辛壬，则两大矢较也。约法凡求对角之弧并以角之矢为比例【钝角用大矢鋭角用正矢】求得两矢较【半径方一率正▯矩一率角之矢三率两矢较四率】以加较弧之矢【较弧大用大矢较弧小用正矢】得对弧矢加满半径以上为大矢其对弧小【遇象限】加不满半径为小矢其对弧小【不过象限】此不论角之鋭钝边之同异通为一法凡三边求角，并以两矢较为比例，求角之矢【半径方一率，余割矩二率，两矢较三率，角之矢四率】得数大于半径，为大矢，其角则钝；得数小于半径，为正矢，其角则鋭。亦不论边之同异，通为一法。问：用矢用余▯，异乎？曰：矢、余▯相待而成者也，可以矢算者，亦可用余▯立算，但加减尚须详审。若矢线，则一例用加，尤为简妙。

先数后数法【此以平仪弧角正形解浑球上斜弧三角用矢度矢较为比例之根也】【先得数者，正▯上距等圈矢也？与角之矢相比，后得数者，而矢较也？与较弧矢相加】设丙乙丁斜三角形，有乙鋭角，有丙乙弧小于象。限丁乙，弧大于象限【是为角旁】之两弧不同类】求丁丙为对角。之弧，用较弧【角旁两弧相减】及对弧两正矢之较为加差法以大小两边各引长之满半周遇于戊作戊甲乙圜径，又于圜径折半处【巳】命为浑圜心，又自己心作横半径【如巳寅辛】则寅辛即乙角之弧，亦即为乙角之矢【平视之为矢度，实即角度之弧跻缩而成】而寅已即乙角之余弧，亦即为乙角余▯【因视法能令余弧跻缩成余▯】又自丁作横半径【巳辛】之平行线【如壬丁甲】此平行线即乙丁大边之正▯【因平视故乙丁小于乙壬，其实乙丁弧之度与乙壬同大，今壬甲既为戊壬及乙壬之正▯，亦即为乙丁之正▯矣】而此正▯【壬甲】又即为距等圈之半径也【想戊巳乙为半浑圜之中剖国面侧立形，乃自壬丁甲横切之，则壬甲为其横切之半径】则其丁壬分线亦为距等圈上丁壬弧之矢线矣【有距等圈半径即有其弧】而此大小两矢线各与其半径之比例皆等【己辛大圜之半径大，故寅辛矢亦大，甲壬距等圈之半径小，故壬丁矢亦小，然其度皆乙角，故比例一也，距等虽用戊角，而戊角即乙角，有两弧线限之故也】法为已辛与甲壬若寅辛与壬丁。

一率　半径已辛二率【大弧正▯】壬甲【卯距等圈之半径】

三率　【乙角矢】寅辛四率【先得数】壬丁【即距等圏之正矢】次从丙向已心作丙巳半径，此线为加减之主线【以较弧对弧俱用为半径而生矢度】又从壬作壬夘为壬丙较弧之正▯【壬乙既同丁乙，则丁乙弧之大于丙乙，其较为壬丙】又从丁作癸丁午线为丁丙对弧之正▯【因平视故丁丙弧小于癸丙，其实丁丙弧与癸丙同大，癸午既为癸丙正▯，亦即丁丙之正▯矣】因两正▯平行，又同抵巳丙半径为十字正方角，故比例生焉，此立算之根本。又从丁作丁子线与午夘平行而等【以有对弧较弧两正▯为之限也】成壬丁子句股形。又从丙作丙辰线为乙丙小边之正▯，成已丙辰句股形。此大小两句股形相似【巳丙辰与卯已奎小形相似，则亦与壬丁子形相似，等角等势故也】法为丙已与辰丙若壬丁与丁子。

一率　半径丙已　▯二率　【小弧正▯】辰丙　股三率　【先得数】壬丁　小▯四率　【两矢较】丁子　小股省算法用合理【因上两宗内各冇先得数，而一为三率，一为四率，故对去不用】

乃以后得数为矢，较加较弧矢【以午夘加夘丙也】成对弧矢【午丙】末以对弧矢【午丙】减半径【巳丙】成对弧余▯【午已】检表得对弧【丁丙】之度。

又法　以后得数减较弧余▯【以午夘减夘已】成对弧余▯【午己】检表得对弧【丁丙】度亦同【两正矢之较即两余▯较也故加之得矢者减之即得余▯】若先有三边而求乙钝角，则反用其率【因前四率反之，以首率为次率，三率为四率】

以乙角矢【寅辛】减半径【辛巳】得余▯【寅巳】检表得乙角之度。右锐角以二边求对边及三边求角，并以两矢较为加差【以差加较弧矢得对弧大，三边求角则为三率】亦为两余▯较【依又法以差减较弧余▯为对弧余▯，三边求角则两余弧相减为三率】角旁弧异类，对边小。设亥乙丁斜弧三角形，有乙钝角，有亥乙小弧，丁乙大弧，求亥丁【对角弧】用较弧正矢与对弧大矢之较为加差。

戊乙径为取角度之根亢寅角度及房甲与亥虚两正▯皆依之以立大矢即钝角之弧度小矢即鋭角之弧度亥斗径为加减之根房氐及危心两正▯依之以立，有两正▯，即有两余▯，及大小矢而加减之用生焉。法以大小两边各引长之满半周，遇于戊。又依小边半周【乙亥戊】补其余半周【戊辛乙】成全圆。又从戊至乙作圆径。又作亢辛横径，两径相交于已，即圆心。则寅辛为乙角之小矢，而寅亢为乙角之大矢【寅已亢即乙钝角之弧度平视之成大矢】若自寅点作直线与戊乙平行，取距戊乙之度加象限即角度。又从丁作房丁壬横线与亢辛横径平行，此线即丁乙大邉正▯之倍数【房丁壬与亢辛平行则房乙即丁乙也因平视故丁乙小于房乙耳而房甲既为房乙之正▯亦即丁乙正▯也房甲既为正▯房壬则倍正▯矣倍正▯即通▯】而此【房壬】倍正▯又即为距等圏之全径【想全体浑圆从壬丁房横切之成距等圈而房壬其全径】则房丁分线亦即为距等圏上丁甲房弧之大矢【有距等圈全径即有其全圏而房甲丁其切弧】而此两大矢线各与其全径之比例皆等【亢辛全径大故寅亢大矢亦大房壬距等圏之全径小故房丁大矢亦小然其度皆乙角之度在乙丁戊及乙房戊两弧线之中故各与其全圆之比例等而其大矢亦各与其全径之比例等】即各与其半径之比例亦等【若以甲为心壬为界作半圆于房壬线上则距等之弧度见矣】法为亢辛【全径】与房壬【距等全径即倍正▯】若寅亢【钝角大矢】与房丁【先得数亦距等大矢】而亢已【半径】与房甲【乙丁正▯亦距等半径】亦若寅亢与房丁。

一率　亢巳【半径】二率，房甲【大邉之正▯亦距等半径】

三率　寅亢【钝角大矢】四率房丁【先得数，亦距等大矢】次从亥过巳，心作亥已，斗全径为加减主线【较弧对弧之▯俱过此全径而生大小矢】又从房作房氐线，为房亥较弧之正▯【准前论房乙同丁乙，则丁乙之大于亥乙，其较房亥】又从丁作心丁娄线，与房氐正▯平行而交亥斗径于危，如十字，则此线为亥丁对弧之倍正▯【因视法心亥弧大于亥丁，其实即亥丁也，亥丁为平视跻缩之形，心亥为正形，而心危者心亥弧之正▯也，是即亥丁弧之正▯，而心丁娄其倍▯矣】又从丁作丁女线，与斗亥径平行，亦引房氐较弧之正▯为通▯，而与丁女线遇于女，成丁女房句股形。又从亥作亥虚线，与亢辛横径及大边之正▯房甲俱平行，成亥虚已句股形。此大小两句股形相似【亥巳即径线与丁女平行，亥虚与房甲丁平行，则大形之丁角与小形之亥角等，而女与虚并正角，则为等角而相似】法为已亥【半径】与亥虚【小边正▯】若房丁【先得数而距等大矢】与丁女【后得数亦即氐危为较弧正矢，氐亥及对弧大矢危亥之较】

一率　半径已亥　▯二率　【小边正▯】亥虚　句三率　【先得数】房丁　大▯四率　【后得数】丁女　大句乃以省算法平之乃以后得数加较弧正矢【以氐危加氐亥成危亥】为对弧大矢，内减半径得对弧余▯，检表得度，以减半周为对弧之度。又法于后得数内减去较弧余▯，成对弧余▯【于氐危内减氐巳，其余危巳即对弧余▯】乃以余▯检表得度，以减半周为对弧之度。大矢与小矢之较即两余▯并也，内减去一余▯即得一余▯矣，观图自明。前用鋭角，是于较▯余▯内减得数为对弧余▯；此用钝角，是于得数内减较弧余▯为对弧余▯。若有三边而求角度者，则反用其率。一、半径上方一两正▯矩半径上方。二两正▯矩，二半径上方，两余割相乗矩，三钝角大矢寅亢，三两余▯并氐危【即较弧正矢与对弧大矢之较】四两余▯并丁女【即氏危】四钝角大矢寅亢。乃于所得大矢内减去半径，成余▯以余▯检表得度，用减半周为钝角之度。右钝角求对边及三边求钝角，并用两矢之较为加差【以差加较弧正矢得对弧大矢，又为三边求角之三率】亦为两余▯并【依又法减较弧余▯得对弧余▯，三边求角即并两余▯为三率】其钝角旁两弧异类，对弧大。

设丁辛乙斜弧三角形有辛丁边【五十度一十分】丁乙对角。边【六十度】辛乙边【八十度】三边并。

小求辛鋭角法先为戊亢辛全员　作戊辛员径　又作亢巳横员径【两径十字相交于巳心，此线上有角度】次于戊辛径左右任取，自辛数至丁，如所设角旁小边【五十度一十分】之数，截丁辛为小边。又从丁过巳作径线【此线上有加减度】为较弧对角弧两正▯所依。仍自辛过丁数至房，如所设大边【八十度】之数，截房丁为大小两边之较弧。又自丁过房数至心，如所设对边【六十度】之数，截心丁与乙丁等。仍自丁过辛截娄丁度如心丁，乃作娄心直线聨之，为心丁对弧之倍正▯又从房作房甲横线，与亢巳横径平行，此为乙辛大边之正▯【因视法房辛即乙辛，详后】次视娄心倍▯与房甲正▯两线相遇于乙，命为斜弧形之角。乃从乙角向辛作乙辛弧【此弧亦八十度，与房辛同大】是所设角旁之大边【理在平仪视法，房辛是真度，乙辛是视凸为平跻缩之形。想平仪原系浑体，从房乙甲横切之，则自房至甲为距等圈之九十度，从此线上度度作弧至辛极，并八十度，不惟乙辛与房辛同大，即甲辛亦与房心同大也，他仿此】又从乙向丁作乙丁弧【此弧亦六十度，与心丁同大】是所设对角之边【切浑角以心娄距等圈，而以丁为极，则危丁亦六十度，与心丁同大矣，乙丁同大不言可知】遂成乙辛丁斜弧三角在球上之形，与所设等。又从乙引乙辛弧线至戊，成心乙戊半周侧立形，此线截亢巳半径于寅，则亢寅为辛角矢度，而寅己其余▯次从丁作丁虚横线，与房甲正▯平行，是为辛丁小边之正▯又从房作房夘线，与心危娄平行，则此线为房丁较弧之正▯其心危则乙丁对弧之正▯又从乙作乙女线，与夘危平行而等【线在两正▯平行线之中，而赤平行不得不等】是为较弧与对弧两正矢之较【房夘为较弧正▯则夘已为余▯而夘丁其矢，又心危为对弧正▯则危巳为余▯而危丁其矢，此两正矢之较为危卯，而乙女与之等，则乙女亦两矢之较矣】法曰：巳丁虚句股形与房乙女句股形相似【房乙与丁虚平行，乙女与巳丁平行，则所作之大形丁角、小形乙角必等，而大形之虚、小形之女并正角，则两形相似】故丁虚【小边正▯】与丁巳【半径】若乙女【即夘危较弧余▯与对弧余▯之较】与乙房【先得数】又房甲正▯之分为乙房，犹亢巳之分为寅亢，其全与分之比例皆相似【从房甲线切浑员成距等圏，而房甲为其半径，犹浑员之有亢巳为半径也。两半径同为戊寅辛弧线所分，则乙房为距等圏半径之矢度，犹寅亢为大员半径之矢度也，其比例俱相似】故房甲【大邉正▯即距等圏半径】与亢巳【大员之半径】若乙房【先得数即距等圏之矢】与寅亢【后得数即角之矢线】以省算法平之，即异乘同乘，异除同除。

较弧【二十九度五十分】余▯【八六七四八】正矢【一三二五二】其较三六七四八。对弧【六十度，五○○，五○○○○，○○】一、半径方一○○○○○○○○○○【首率除宜去十尾乃先于二率】二、余割矩一三二二三二三四○八九【去五位故得数只去五位即如】三两矢较，三六七四八【共去十位也】四锐角矢，四八五九二【用减半径得辛角余▯五一四○八】检表得五十九度四分，为辛角之度【此与厯书所算五十八度五十三分，只差十一分】又法径求余▯。法曰：房甲之分为乙房，而其余乙甲，犹亢已之分为亢寅，而其余寅已也。故其全与分余之比例亦相似。法为房甲【正▯】与亢己【半径】若乙甲【正▯分线之余】与寅已【半径截矢之余，即角之余▯】准前论小边之正▯虚丁【句】与半径丁巳【▯】若较弧对弧两矢之较乙女【小句】与大边正▯之分线乙房【小▯】也。先求乙房为先得数，以转减大边正▯房甲，得分余线乙甲。一小边【五十度一○】正▯丁虚七六七九一二半径丁巳一○○○○○三【较弧二十九度五○对弧六十度○○】两正矢较乙女三六七四八四　先得数【大邉正▯之分线】　　　　乙房　四七八五四以先得数减大邉八十度正▯房甲　九八四八一得大边正▯内乙房分线之余乙甲　五○六二七未以分余线为三率一　大边正▯　　房甲　九八四四一二　半径　　　　亢已一○○○○○三　分余线　　　乙甲　五○六二七四角之余▯寅已五一四○七【检表得五十九度○四分与先算合】附厯书斜弧三角图【稍为校正】

丙乙丁弧三角形乙丙角旁小弧　壬乙同丁乙角旁大弧　壬丙为较弧癸丙同丁丙为对角之弧甲壬为大弧正▯　辰丙为小弧正▯　壬夘为较弧正▯癸午为对弧，正▯寅辛为乙角之弧，庚辛为乙角之矢，夘丙为较弧之矢，午丙为对弧之矢，午夘为两矢较，酉壬为先得数，酉子同午夘亦。

两矢之较法为全数【己辛】与大弧正▯【甲壬】若角之矢【庚辛】与先得数【酉壬】又全数【巳丙】与小弧正▯【辰丙】若先得数【酉壬】与两矢较【酉子】也。一率全之方，二率两正▯矩，三率角之矢，四率得两矢较。以两矢较加较弧之矢为对弧之矢。论曰：此因欲显酉壬为甲壬距等半圈之矢度，故特为斜望之形。其实丁点原在酉，寅点原在庚，丁壬弧即酉壬线，寅辛弧即庚辛线，乙寅丁戊弧原即为乙庚酉戊弧也。故以平仪图之，则皆归正位矣。所以者何？平仪上惟经度有弧线之形，其距等圈纬度皆成直线，而寅庚为角度之正▯直立下垂，从其顶视之，成一点矣。丁酉者，大弧正▯甲壬上所作距等圈之正▯也，从顶视之而成一点，与寅庚一也。其寅已半径势成斜倚，从上眎之，与已庚余▯同为一线，甲丁与甲酉亦然。此皆平面正形，可以算，亦可以量，非同斜望比也。愚故谓惟平仪为正形也。若乙角为钝角，成亥乙丁三角形，则当用房亥较弧之正矢【牛亥】与同丁亥对弧之心亥弧大矢危亥相减，成两矢之较【牛危即女酉】以较加较弧正矢为对弧大矢【法详前例，但前例钝角旁小弧不同乙丙，故此图以相同者论之，更见其理之不易】

乙为钝角用大矢之图【此用平仪正形，故丁与酉同为一点】

设角之一边适足九十度，一边大。用锐角【余角一钝一鋭】法，为半径与大边之正▯，若角之矢与两矢较也，亦若角之余▯与对弧之余▯。

乙丁丙斜三角形　丙丁边适足九十度乙丁边大于九十度丁鋭角求对边丙乙　法先作平员分十字，从丁数，丁壬及丁丑。并如乙丁度作距等线聫之【壬丑】又于壬丑线上取乙点【法以壬巳为度，巳为心作半员】【分匀度而自壬取角度得乙防】作庚乙癸直线为对弧之正▯。又取壬丙为较弧，作壬夘正▯，较弧之矢夘丙，对弧之矢癸丙，其较夘癸与壬乙等。壬已正▯，又即距等圈半径，而为丁乙戊弧所分，则壬乙如矢，乙已如余▯，与角之丙子矢、子甲余▯同比例。

一　半径丙甲　　　一　半径丙甲二【大邉正▯】壬已二【大邉正▯】壬已三【角之矢】子丙三【角之余▯】子甲四【两矢较】壬乙【即夘癸】四【对弧余▯】乙已【即癸甲】

若丁为钝角　用大矢法为半径与大边之正▯，若角之大矢与两矢较也，亦若钝角之余▯与对弧之余▯。借前图作乙辛为对角之弧，成乙丁辛三角形【三角俱钝】作丑午为较弧，丑辛正▯【以丑丁同乙丁故】其庚癸为对弧乙辛之正▯【以庚辛即乙辛故】较弧之正矢午辛，对弧之大矢癸辛，其较癸午与丑乙等。依前论，壬乙为距等圈小矢，则乙丑为大矢，壬丑为距等圏全径，与其大矢乙丑之比例，若丙辛全径与钝角之大矢子辛，则已丑为距等半径，与其大矢丑乙亦若甲辛半径与钝角之大矢子辛也。而丑已原为乙丁大边之正▯【丑乙原与癸午等】故法为半径【甲辛】与钝角之大矢【子辛】若大边之正▯【已丑】与两矢较【丑乙或癸午】也。

一　半径甲辛　　一　半径甲辛二【大邉正▯】丑巳。二【大邉正▯】丑已。三【钝角大矢】子辛。三【钝角余▯】子甲。

四　【两矢较】癸午　　四　【对邉余▯】乙已【用余▯入表得度以减半周得对邉之度】一系　距等圏上弧度所分之矢与余▯与大矢与其半径或全径并与大圏上诸数比例俱等又按前法，亦可以算一邉小于象限之三角。于前图取乙戊丙斜弧三角形，用戊鋭角【余角一钝一鋭】有丙戊大边足九十度，有乙戊边小于九十度求对戊角之乙丙边法从乙▯作壬已线为小邉乙戊之正▯【以壬戊即乙戊故】又从乙▯作庚癸为对弧乙丙之正▯【以庚丙即乙丙故】于是较弧之矢为夘丙，对弧之矢为癸丙，而得两矢之较为癸夘。则又引戊乙小邉之弧过半径于子，而合大圏于丁，分子丙为戊角之矢，子甲为角之余▯。法曰：丙甲【半径】与壬已【小邉▯】若子丙【戊角之矢】与乙壬【两矢较】也，得乙壬即得癸夘。捷法不用较弧，但作壬已为小弧，乙戊之正▯，作庚癸为乙丙对弧之正▯，其余▯癸中。又引小邉戊乙，分半径于子，得子甲为戊角之余▯。法曰：丙甲【半径】与壬已【小邉正▯】若子甲【戊角余▯】与乙巳【对邉余▯】得乙己，得癸甲矣。又于前图取辛戊乙三角形，用戊钝角【余角并鋭】有戊辛大邉九十度，有戊乙邉小于九十度，求对戊钝角之辛乙邉。用防法，于乙▯作壬丑，为乙戊小邉之通▯；作庚癸，为乙辛对弧之正▯。其余▯甲癸，又引戊乙小邉，割丙辛全径于子，分子辛为钝角大矢，子甲为钝角余▯。法为甲辛与丑已，若子甲与乙巳，得乙巳即得癸甲一，半径甲辛【即丙辛全径之半】二【小邉王▯】丑已【即壬丑通▯之半】

三　【钝角余▯】子甲四【对邉余▯】癸甲【即乙巳】若先有三邉而求角，则反用其率。

一　半径二　小邉余割三　对邉余▯四　角之余▯一系凡斜弧三角形有一邉足九十度其余一邉不拘小大通为一法皆以半径与正▯若角之矢与两矢较也亦若角之余▯与对邉之余▯。

若置大小邉于员周其算亦同乙丁丙斜弧三角形　乙丁邉适足九十度　丁丙邉小于九十度　有丁锐角　求对邉丙乙　法于平员邉取丙丁度作丙已为小邉之正▯　又自丙作丙甲过心线又作壬夘线为丙壬较弧之正▯，又作庚乙癸线为对弧乙丙之正▯【庚丙即乙丙故】乙壬为丁角之矢，乙甲为丁角之余▯，癸丙为对弧之矢，癸甲为余▯，夘丙为较弧之矢，夘甲为余▯，对弧较弧两矢之较夘癸【亦即乙辰】法曰：甲丙，已壬，乙辰，乙甲，癸三句股相似。故甲丙【半径】与丙已【小邉正▯】若壬乙【角之矢】与乙辰【两矢较】亦若乙甲【角之余▯】与甲癸【对弧余▯】

三邉未角法一、半径壬甲【即甲丙】二【小邉余割】甲甲。三【对弧余▯】癸甲四【角之余▯】乙壬又于前图取乙戊丙三角形，用戊鋭角【余角一钝一鋭】有乙戊邉九十度，有戊丙大邉，求对戊角之丙乙邉，用防法，自丙作丙已为丙戊大邉之正▯，即从丙作丙甲半径，乃于乙点作庚癸为丙乙对弧之正▯，其余▯癸甲，而戊乙弧原分乙甲为戊角之余▯，法曰甲丙巳句股与乙甲癸相似，故甲丙【半径】与丙巳若乙甲【角之余▯】与甲癸【对边余▯】若丁为钝角【余角并鋭】用大矢。

借前图作丑乙为对角之弧成丑丁乙三角【丁为钝角】作。

丑甲寅径　又作辛丑较之正▯辛午【以辛丁同丁乙故】作丑乙对弧之正▯子酉引过乙至亥成通▯　又作辛未线与酉午平行而等，较弧之正矢午丑对弧之大矢酉丑相较，得酉午【亦即未辛】乙辛与丁钝角大矢，乙甲为钝角余▯。法曰：甲丑、已乙、辛未、乙甲、酉三句股相似。故甲丑【半径】与丑已【小邉正▯】若乙辛【角大矢】与未辛【两矢较】亦若乙甲【角之余▯】与甲酉【对弧余▯】又于前图取乙戊丑形，用戊钝角【三角俱钝】有乙戊邉九十度，有丑戊大邉求对钝角之丑乙邉用防法，自丑作丑，已为丑戊大邉之正▯。又自丑作丑甲寅全径。又自乙作亥酉为对邉丑乙之正▯【以亥丑即乙丑故】其余▯酉甲，而乙甲原为戊钝角之余▯。法曰：甲丑己句股形与乙甲酉相似，故甲丑【半径】与丑已【大邉正▯】若乙甲【钝角余▯】与甲酉【对邉余▯】又设丙乙丁三角形，乙为钝角【余一钝一鋭】乙丙邉小，丁乙邉大，对邉丁丙大于象限，较弧壬丙亦大。

于象限惟对邉较弧俱大于象限故所得为两大矢之较其正▯比例仍用小矢以角为鋭角也壬丙较弧之大矢，夘丙加后得数，午夘为对弧，丁丙之大矢【丁丙即癸丙故】大矢午丙内减半径已丙，得午已为余▯，以检表得庚癸之度，以减半周得癸丙之度，即对弧丁丙之度。又法，以得数午夘加较弧之余▯夘巳，得午已为对弧余▯【以两大矢较，即两余▯较也，余同上】若于前图取丁乙庚三角形，则角旁两邉俱大于象限，而对邉小于象限，较弧亦小于象限，乙为钝角【三角俱钝】有庚乙与丁乙两大邉，而较弧丑庚小，故所得为两小矢之较，其正▯比例则用大矢，以乙为钝角故也。丑庚为较弧，其正▯丑亥，余▯亥已。对弧庚丁即庚酉，其正▯酉午，余▯午已【两矢较亥午即余▯较】

又设丙乙丁三角形乙为鋭角【余一钝一鋭】

乙丙邉小　丁乙邉大　对弧丁丙大于象限　较弧壬丙小于象限　所得为对弧大矢与较弧小矢之较其正▯比例仍用小矢以乙鋭角故两余▯并，即大矢与小矢之较也。法以得数，午夘加较弧之正矢，夘丙成午丙，为对弧之大矢。午丙内减去半径已丙，得午巳余▯，乃以余▯检表得度，以减半周，得对弧丁丙之度。若于得数内减较弧，余弧夘己，亦即得午己，余▯余如上。又于前图取丁乙庚三角形，乙为钝角【三角俱饶】角旁两邉俱大于象限，惟对邉小，故用两正矢较，其正▯比例仍用大矢，以钝角故，乙丁弧之通▯丑壬为乙丁弧所割成，丑丁亦割其戌辛全径于寅，成寅戌为钝角大矢而比例等。又丑庚为较弧，其正▯丑亥，其矢亥庚，对弧庚丁之通▯酉癸，其矢午庚，两矢之较为亥午。

以两矢较亥午，加丑庚，较弧之矢庚亥，成午庚为对弧，丁庚之矢【以矢减半径庚已，得对弧之余▯午巳，检表得丁庚度】论曰：先得数，何以能为句股比例也？曰：先得数，即距等圏径之分线也。其势既与全径平行，又其线为弧线所分。其分之一端，必与对弧相防【葢对弧亦从此分也】其又一端，必与较弧相防。是此分线，▯在较弧、对弧两正▯平行线之中，斜交两线作角而为▯，则两正▯距线必为此线之句矣。而两矢之较，即从两正▯之距而生。故不论大矢、小矢，其义一也。然则正▯上所作句股，何以能与先得数之句股相似邪？曰：两全径相交于员心，则成角。各正▯又皆为各全径之十字横线，则其相交亦必成角。而横线所作之角，必与其径线辏心之角等。角等则比例等矣。大邉小邉之正▯，皆全径之十字横线也。较弧对弧之正▯，皆又一全径之十字横线也。此两十字之各线相交而成种种句股，其角皆等。

仍于前图取丁戊庚三角形，戊钝角【余并鋭】三边俱小于象限，戊丁弧之通▯丑壬，正▯甲壬。又引戊丁弧过全径于寅防于乙，则寅戌为戊钝角之大矢，亦割丑壬通▯于丁，则丑丁与通▯若寅戌大矢与全径也。又戊庚弧之正▯庚申为句，则已庚半径为其▯，其比例若丑未为句而丑丁为▯也。又丑庚为较弧，其正▯丑亥，其余▯亥已，其矢亥庚。对弧庚丁之通▯酉癸，正▯癸午，余▯午已，其矢午庚，两矢之较为亥午【对弧小故用两小矢之较，戊钝角故以角之大矢为比例，并同上条】

两法并用，钝角其度同，所求之庚丁弧又同，故其法并同，即此可明三角之理。仍于前图取丁丙戊三角形，有丁丙及戊丙二大边，有丙鋭角【余一钝一鋭】求丁戊对边。法引丁丙及戊丙二弧防于庚，作庚丙径，作已亢及已戊两半径，作癸午为丁丙边正▯，而丁丙弧割癸午正▯于丁，亦割亢已半径，丁心则亢已之分为心亢，犹癸午之分癸丁也。又作戊井为戊丙弧之正▯，成戊已井勾股形。又从丁作壬甲为对弧戊丁之正▯，其矢甲戊。又取癸戊为较弧【以癸丙同丁丙故】作癸氐为较弧正▯，其矢氐戊。两矢之较为氐甲。又从丁作斗丁与氐甲平行而等，成丁斗癸小句股形，与戊已井形相似，则已戊▯与井戊句若癸丁▯与斗丁句也【此因对弧小故所得为小矢之较，而用丙鋭角故只用角之正矢为比例又此因用丙角求戊丁邉故另为比例，若用戊角求丁丙弧则与第一条之法同矣】

以甲氐加较弧之矢，氐戊成甲戊为对弧之矢，如法取其度，得丁戊。右例以一图而成，四种三角形皆可以入算，而诸线错综有条不紊，可见理之真者，如取影于灯，宛折惟肖也【又丁丙戊三角形，亦可以戊角立算，余三角并然；丁乙丙形可用丙角，庚戊丁形、庚乙丁形俱可用庚角】计开。

一图中三角形凡四一丁乙丙形，一丁戊丙形，一丁乙庚形，一丁戊庚形。

全径凡二一戊乙径　一庚丙径算例凡八右前四例，皆以乙戊径为主线，丙庚径为加减线；后四例，皆以丙庚径为主线，乙戊径为加减线。一系凡三角形以一邉就全员，则此一邉之两端皆可作线过心为全员之径，而一为主线，一为加减线，皆视其所用之角。凡所用角在径线之端，则此径为主线，余一径为加减线。几用锐角，则主线在形外；用钝角，则主线在形内。凡角旁两弧线引长之，各成半周，必复相防而作角，其角必与原角等。凡主线皆连于所用角之锐端，或在形内，或在形外，并同其引长之对角，亦必连于主线之又一端也。若主线在形内，破钝角端者，其引长之钝角亦然。一系凡两径线必与两弧相应。如角旁弧引长成半周，其首尾皆至主线之端，是主线即为此弧之径也。如对角弧引长成半周，首尾皆至加减线之端，是加减线即为对弧之径也。主线既为引长角旁一弧之径，又原为全员之径，而角旁又一弧之引长线即全员也，故角旁两弧皆以主线为之径。加减线既为对弧之径，而较弧在员周，其端亦与加减线相连，又加减线原为全员径，故较弧、对弧皆以加减线为径。一系凡全径必有其十字过心之横径而正▯皆与之平行皆以十字交于全径引之即成通▯主线既为角旁两弧之径，故角旁两弧之正▯、通▯皆以十字交于主线之上，而其余▯其矢皆在主线。加减线既为对弧、较弧之径，故对弧、较弧之正▯皆以十字交于加减线，而其余▯其矢皆在加减线。一系凡角旁之弧引长之，必过横径，分为角之矢，角之余▯，若钝角则分大矢。角旁引长之弧，过横径者，亦过正▯通▯故其全与分之比例，皆与角之大小、矢及余▯之比例等。平仪论：论以量代算之理。

以横线截弧度以直线取角度并与外周相应如艮已弧距极三十度为申未横线所截故其度与外周未已相应坎乙应戌乙亦同又干乙弧距极六十度，为丑夘横线所截，故其度与外周丑乙相应，巽已应午，已亦同。又如戊、已、辛角，有未戊辰直线为之限，知其为六十度角，以与外周未午辛之度相应也。癸乙子三十度角，应子丑度，亦然。又庚已子钝角，有午夘庚直线为之限，知其为百五十度角，以与外周午未已申寅子弧度相应也。壬乙辛百二十度角，应戌乙辰夘辛弧，亦然。论曰：平仪有实度，有视度；有直线，有弧线。直线在平面，皆实度也；弧线在平面，则惟外周为实度，其余皆视度也。实度有正形，故可以量；视度无正形，故不可以量。然而亦可量者，以有外周之实度与之相应也。何以言之？曰：平仪者，浑体之昼影也。置浑球于案，自其顶视之，则惟外周三百六十度，无改观也。其近内之弧度渐以侧立，而其线渐缩而短；离邉愈逺，其侧立之势益髙，其跻缩愈甚至于正中，且变为直线，而与员径齐观矣。此跻缩之状，随度之髙下而迁，其数无纪，故曰不可以量也。然而以法量之，则有不得而遁者，以有距等圈之纬度为之限也。试横置浑球于案，任依一纬度直切之，则成侧立之距等圈矣。此距等圈与中腰之大圈平行，其相距之纬度等，故曰距等也。其距既等，则其圈踓小于大圈，而其为三百六十度者不殊也。从此距等圈上逐度作经度之弧，其距极亦皆等，特以侧立之故，各度之视度跻缩不同，而皆小于邉之真度，其实与邉度并同，无小大也。特外周则眠体，而内线立体耳，故曰不可量而可量者，以有外周之度与之相应也。此量弧度之法也。弧度者，纬度也【量法详后】然则其量角度也奈何？曰：角度者，乃经度也。经度之数皆在腰围之夫圈。此大圈者，在平仪则变为直线，不可以量；然而亦可以量者，亦以外周之度与之相应也。试于平仪内任作一弧角。如乙已丙平员内，作已丙戊角，欲知其度，则引此弧线过横径于戊而防于乙，则已戊弧即丙锐角之度，戊壬弧即而。钝角之度也。然已，戊壬两弧皆以视法变为平线，又何以量其度？法于戊防作庚辛直线，与乙丙直径平行，则已庚弧之度即戊巳弧之度，亦即丙锐角之度矣。其余庚乙壬之度，即戊丁壬弧之度，亦即丙钝角之度矣。故曰不可量而实可量者，以有外周之度与之相应也。然此法惟角旁弧度适足九十度，如戊丙，则其数明晣。若角旁之弧或不足九十度，又何以量之？曰：凡言弧角者，必有三邉，如上所疏，既以一邉就外周真度，其余二邉必与此一邉之两端相遇于外周而成角。此相遇之两防，即余两弧起处。法即从此起数，借外周以求其度，而各循其度作距等横线，乃视两距等线交处而得余一角之所在，遂补作余两弧而弧三角之形宛在平面。再以法量之，则所求之角可得其度矣。此量角度之法也。今设乙丁丙弧三角形，丁丙邉五十○度，乙丙邉五十五度，乙丁邉六十○度，而未知其角。

法先作戊巳庚丙平员又作巳丙及戊庚纵横两径任以丁丙邉之度自直线之左从丙量至丁得五十○度为丁丙邉又自丙左右各数五十五度如辛丙，及子丙皆如乙丙之度，乃作辛子线联之，为五十五度之距等圈。又自丁作夘丁径线，自丁左右各数六十○度，为癸丁及丑丁皆如乙丁之数，亦作丑癸线聨之，为六十○度之距等圈。此两距等线相交于乙，则乙防即为乙丙及乙丁两邉相遇之处，而又为一角也。乃自乙角作乙丙及乙丁两弧，则乙丙丁三角弧形宛然平面矣。再以法量之，则丁丙两角亦俱可知。欲知丙角，即用辛子距等线，以半线午子为度，以午为心作子酉辛半员句分一百八十度，此辛子径上距等圈之真形也。乃自乙防作直线与午丙径平行，截半员于酉，乃从酉数至子得酉子若干度，此即乙丙丁锐角之度，以减半周得酉辛若于度，亦即乙丙辛钝角之度也。欲知丁角，亦即用丑癸距等线，以半线辰癸为度，辰为心作丑亥癸半员分一百八十度，此亦丑癸径上距等圈之正形也。乃自乙防作直线与辰夘径平行，截半员于亥，即从亥数至癸得亥癸若干度，此即乙丁丙钝角之度，以减半周得亥丑若干度，又即乙丁丑钝角之度也。

计开丙角七十八度稍弱【以算考之得七十七度五十五分】丁角六十七度三分度之二【以算考之得六十七度三十九分】右量角度以图代算【欲得零分，须再以算法考之，即知无误】又设乙丙丁弧三角形，有六十○度，丙角有乙丙邉一百○○度，有丁丙邉一百二十○度，求丁乙邉【对角之邉】法先为巳戊丙庚大圈，作巳丙及庚戊十字径，乃自丙数至辛，如所设丁丙边一百二十○度，自丙至子亦知。

之作辛十子线为一百二十○度之距等圈又以距等之半线辛午为度午为心作辛酉子半圈匀分一百八十度乃自辛数至酉如所设丙角六十度，而自酉作酉丁直线，与已甲径平行，至丁，遂如法作丁丙邉。又自丙数至乙，如所设乙丙邉一百○○度。又从乙过甲心至夘，作大圈径，亦作寅壬横径，乃补作丁乙邉【乙丙丁三角弧形宛然在目】又自丁作丑丁癸距等线，与寅壬平行。未自乙数至癸，得若干度，即乙丁之度。

计开丁乙线五十九度强【以算考之，得五十九度○七分】右量弧度以图代算【若用规尺，可免逐圈匀分之度，有例在后条】又若先有乙丁对角邉，丁丙角旁邉，有丙角而求乙丙角旁之邉【仍借前圏】法先作己戊丙员及十字径线，又以丁丙邉之度取丙辛及丙子，作辛子距等线，又作子酉辛半员，取辛酉角度，作酉丁直线，遂从丁作丁丙邉，皆如前。次以所设丁乙邉五十九度，倍之作一百十八度，少于夲员周，取其通▯【即距等线癸丑之度】乃以通▯线就丁防迁就游移，使合于外周而不离丁防，成丑丁癸线，即有所乘丑乙癸弧，乃以弧度折半于乙，则乙丙外周之度即所求乙丙邉，于是补作乙丁线，成三角之象。又法以丁乙倍度之，通▯【丑癸】半之于辰，乃从辰作夘甲辰过心径线，即割大员周于乙，而乙癸及乙丑之弧度以平分而等，皆如乙丁度，亦遂得乙丙度，余如上。又若先有乙丙两角及乙丙邉在两角之中【亦仍借前图】法先作己戊丙员及十字径线，皆如前，乃自丙数至乙，截乙丙为所设之邉。次作丙角，法于戊庚横径如前法求庚亥如所设丙角之度，遂从亥防作弧【如丙亥己】则丙角成矣。次作乙角，法于乙防作乙甲夘径，亦作壬寅横径，乃自寅至未如前法求寅未如所设乙角之度，遂从未防作弧【如夘未乙】则乙钝角亦成矣。两弧线交于丁角，乃补作丑癸及辛子两距等线，则弧度皆得【案此两弧线必以鸡子形作之方凖，若丁防离两横径不逺，则所差亦不多也】

再论平仪凡平仪上弧线皆经度，而直线皆纬度。惟外周经度，亦可当纬度。又最中长径，纬度亦为经度。平仪上弧线，皆在浑靣而直线，皆在平靣。试以浑球从两极中半濶处直切之【如用极至交圏为度以剖浑仪】则成平靣矣。以此平面覆置于案，而从中腰横切之【如赤道半圏】则成横径于平面矣【如赤道之径】又以此横径为主，离其上下作平行线而横切之，则皆成距等圏之径线于平面矣。大横径各距极九十度，逐度皆可作距等圏，即皆有距等径线在平面，故曰皆纬度也。此线既为距等圏之径，则其径上所乗之距等圏距极皆等，即任指一防作弧度，其去极度皆等，故以为纬度之限也。若又别指一处为极【如赤道极外又有黄道极，又如天顶亦为极】则其对度亦一极也，亦可如前横切作横径【如黄道之径】于平面其横径上下亦皆有九十度之距等圏，与其径线矣【如黄道亦有纬度】故直线有相交之用也。凖此观之，浑球之外圏随处可指为极，即有对度之极，两极相对则皆有直线为之轴，轴上作横径，横径上下即皆有九十度之距等径线而相交相错，其象千变，而句股之形成，比例之用生，加减之法出矣【如黄赤两极外又有天顶地心之极，而天顶地心随北极之髙下而变】又此所用外周，特浑球上经圏之一耳，若凖上法于球上各经圏皆平切之，皆为大圏，则亦可随处为极，以生诸距等纬线而相交相错之用，乃不可以亿计矣【如天顶地心既随极出地度而异其南北，亦可因各地经度而异其东西】由是推之，浑球上无一处不可为极，故所求之防即极也，何以言之？凡于球上任指一防，即能于此防之上作十字直线，以防于所对之防，而十字所分之角皆九十度，即逐度可作线以防于对防，而他线之极，此防上线皆能与之防，故曰所求之防即极也。

又论平仪凡平仪上弧线皆经度也，而弧有长短者，则纬度也。是故弧线为经度，而即能载纬度。盖载纬度者，必以经度也。若无经度，则亦无纬度矣。平仪上直线皆纬度也，而线有大小者，则经度也。是故直线为纬度，而即能载经度。盖载经度者，必以纬度也。若无纬度，则亦无经度矣【所云直线，指横径及其上下之距等径而言】弧线能载纬度，即又能分纬度之大小。直线能载经度，即又能分经度之长短。假如平面作一弧，引长之，其两端皆至外周，则分此外周为两半员，而各得百八十度，即所作之弧亦百八十度矣。此百八十者，皆纬度，故曰能载纬度也。而此平面上所乘之半浑员，其经度亦百八十，而皆纪于腰围之纬圏。若于腰围纬圏上任指一经度作弧线，必会于两极，而因此弧线割纬圏以成角度，故又曰能分纬度也。不但此也，若从此弧线之百八十度上任取一度作平行距等纬圏，其距等圏上所分之纬，必小于腰围之纬圏，而其所载距等圏之经度，皆与角度等，即近极最小之纬圏亦然。何以能然？曰纬圏小，则其度从之而小，而为两弧线所限，角度不变也。故纬圏之大小，弧度分之也。然弧线之长短，又皆以纬圏截之而成；而纬圏必有径，在平面上与圏相应。故曰：直线能载经度，即又能分经度之长短也。

复论平仪平仪上直线、弧线皆正形也。问：前论直线有正形，弧线跻缩无正形，兹何以云皆正形？曰：跻缩者，球上度也。然其在平靣，则亦正形矣。有中剖之半浑球于此，覆而观之，任于其纬度直切至平面，则皆直线也。而其切处，则皆距等圏之半员，即皆载有经度一百八十也。从此半员上，任指一经度作直线下垂至平面，直立如县针，则距等圏度之正▯也。若引此经度作弧，以防于两极，则此弧度上所载之纬度一百八十，每度皆可作距等圏，即每度皆可作距等圏之正▯矣。由是观之，此弧上一百八十纬度，既各带有距等圏之正▯，即皆能正立于平面，而平面上亦有弧形矣。夫以弧之在球面言之，别以侧立之故而视为跻缩；而平面上弧形非跻缩也。故曰皆正形也。惟其为正形，故可以量法御之也。

又问平仪经纬之度，近心濶而近邉狭，何也？曰：浑员之形，从其外而观之，则成中凸之形，其中心隆起处，近目而见大，四周逺目而见小，此视法一理也。又中心之经纬度平铺，而其度舒，故见大；四周之经纬侧立，而其度垜垒，故见小，此又视法一理也。若以量法言之，则近内之经纬无均平之数，数皆纪之于外周；外周之度，皆以距等线为限，而近中线之距等线，以两旁所用之弧度皆直过与横直线所荖少，故其间阔；近两极之距等线，则其两旁之弧度皆斜过与横直线县殊，故其间窄，此量法之理也。固不能强而齐一之矣。夫惟不能强而齐，故正▯之数以生，八线由斯以出，尺算比例之法由斯可以量代算，而测算之用遂可以坐天之内，观天之外巳。

取角度又法设如巳戊丙庚员有子辛距等纬线有所分丁辛小纬线求其所载经度以命所求之角【丙角】本法取距等半径【辛午】作子酉辛半员从丁作酉丁线乃纪酉辛之度，为丁辛之度。今用防法，径于丁防作女丁壬线，与巳甲径平行，再用距等半径【午辛】为度，从甲心作虚半员，截女壬线于亢，即从此引甲亢线至癸，则数大圈庚癸之度为丁辛角度【即丙角也】解曰：「试作氐、亢、房半员，其亢甲牛径既与午辛等，则氐、亢、房半员与辛、酉、子等，而氐、亢、房半员又与大员同甲心，则庚、癸之度与氐、亢等，即亦与酉、辛等矣。」又如，先有丙角之度，及辛子距等线，而求丁防所在，以作丙丁弧。法从大圈庚数至癸，令庚癸如丙角之度，即从癸向甲心作癸甲线【半径】次以距等之半径辛午为度，从甲心作半员截癸甲【半径】于亢，乃自亢作亢丁壬线截辛午于丁，即得丁防。

用规尺法设如乙丁辛弧三角形，有乙丁邉六十度，有丁辛邉五十度一十分，有乙辛邉八十度，求辛鋭角。如法依三边各作图法，以十字剖平，员自主线端，辛数。

所设丁辛五十度竒至丁乃自丁作径线过已心又依所设丁乙六十度自丁左数至娄右数至丙皆六十度作丙娄线为距等圈之径又自辛依所设辛乙八十度至房亦左至壬作房壬距等径线，此两距等线交于乙，乃作乙丁及辛乙丙线，则三角形宛然在目，今以量法求辛角。法曰：房甲距等，半径与乙甲分线若亢已，半径与辛角之余▯寅已。法以比例尺，正▯线用规器，取图中房甲之度于半径九十度定尺，再取乙甲度于本线，求正▯等度，得角之余度，乃以所得余度转减象限，命为辛角之度。依法得余▯三十一度弱，即得辛角为五十九度强。又法，以房甲为度，甲为心，作房癸壬距等半圈，又作乙癸正▯与已辛平行，如前，以房甲度于正▯九十度定尺，再以乙癸度取正▯度，命为辛角度。又法，作房癸线，用分员线，取房甲度于六十度定尺，再取房癸线于分员线，求等度，得数命为辛角之度。更防论曰：既以房甲为半径，则乙癸即正▯，乙甲即余▯，房癸即分员，皆距等圏上比例也。其取角度与分半周度而数，房癸之度并同，然量法较防。

又求丁钝角法以丙危为度，危为心，作娄丑丙半员，又作丑乙线，当角之正▯则乙危当余▯乃取距等半径，丙危度于正▯线，九十度定尺。再取乙危度，求得正▯线等度，命为钝角之余▯以所得加九十度，为丁钝角度。依法得余▯十二度太，即得丁钝角一百○二度太。或取丑乙线求正▯，线上度命为钝角之正▯，以所得减半周度，余为丁钝角度【两法互用，相考更确】又法作娄丑分员线，取丙危半径于分员线六十度定尺，而求娄丑分员之度，分为丁钝角【亦可与正▯法叅考】论曰：兼用▯两法，分员线一法，以相考理，明数确然。比半周度之工，尚为省力。是故量防于算，而尺更防矣。若兼作丙丑分员，以所得度减半周，亦同如此。则分员线亦有两法合之，正▯成四法矣。又论曰：此条三邉求角，前条有二邉一角求弧，可互明也。故用图亦可以求角，用尺亦可以求弧，智者通之可也。

三极通几平员则有心，浑员则有极。如赤道以北辰为极，而黄道亦有黄极，人所居又以天顶为极，故曰三极也。极云者，经纬度之所宗，如赤道经纬悉宗北极，而黄道经纬自宗黄极，地平上经纬又宗天顶，亦如屋之有极为楹桷宇梠楶棁之所宗也。既有三极，即有三种之经纬，于是有相交相割而成角度，角之鋭端即两线相交之防，任指一防而皆有三种经纬之度与之相应焉。故可以黄道之经纬求赤道之经纬，亦可以赤道之经纬求地平上之经纬，以地平求赤道，以赤道求黄道，亦然。举例如后：以黄道经纬求赤道经纬已辰庚斜弧三角形巳丁乙丙为极至交圈巳为北极　丙甲丁为赤道　庚为黄极　壬甲寅为黄道　星在辰　辰庚为黄极距星之纬　辰庚酉角为黄道经度，今求赤道经纬，法自辰作黄道距等纬圈【酉辛】又自辰作赤道距等纬圈【戊午】即知此星【辰】在赤道之北，其距纬戊丙【或午丁】次以赤道距等半径戊夘为度，夘为心作午未戊半员，又作未辰直线与已甲平行，则未戊弧即为赤道经度【即戊巳辰角】若先有赤道经纬，而求黄道经纬，亦同。

以赤道经纬求地平经纬巳子戊三角形【三角皆鋭】

戊壬庚辛为子午规　壬辛为地平　戊为天顶巳为北极　丁丙为赤道星在子　子巳为星距北极　巳角为星距午规经度【即纬圈上丑子之距】求地平。上经纬法自子作寅亥线与辛壬地平平行，即知地平上星之髙度，亥辛【或壬寅】次作寅酉亥半员【以亥寅半线亥午为度，午为心】又从子作酉子直线与戊甲天顶垂线平行，即子寅为星距午方之度，为子戊寅角数，酉至寅之弧即得星在午左或午右之方位，是为地平上之经度【按此图为星在夘酉线之北，数酉辰若干度，即知其星距夘酉线若干度也】若先得地平上经纬【髙度为纬，方位为经】而求赤道经纬【星距赤道为纬，距午线时刻为经】其理亦同以两纬度求经度巳子戊斜弧三角形假如北极髙三十度【巳辛髙】戊寅壬为午规太阳在子距赤道北十度【其距丑丁】

或卯丙纬度】　子丑为太阳距午线加时经度【即子巳丑角】寅壬为太阳髙度【即亥辛】求大阳所在之方，法以太阳髙度【亥辛或寅壬】作亥寅地平髙度纬线，又以太阳距赤道纬【丑丁卯丙】作丑卯赤道北纬线，两线相交于子，乃以亥午为度，午为心，作亥酉寅半员【分百八十度】又自子作酉子直线与戊甲平行，截半员于酉，则酉至寅之度即太阳所到方位离午正之度【即子戊寅外角】若求加时，以北极赤纬线准此求之，用子巳戊角。求北极出地简法【可以出洋知其国土所当经纬西北广野亦然与地度弧角可以参用】不拘何日何时刻，但有地平真髙度及真方位即可得之。

法曰先以所测髙度及方位如法作图取作平仪上太阳所在之防【即地平经纬交处】次查本日太阳在之道南。

北纬度用作半径于仪心作一小员末自太阳所在防作横线切小员而过，引长之至边，此即赤纬通▯也。乃平分通▯作十字全径过仪心，即两极之轴，数其度，得出地度。假如测得太阳在辰髙三十四度，方位在正卯南三度强，而不知本地极髙，但知本日太阳赤纬十九度，今求北极度。如法作图，安太阳于辰【详下文】先作丙丁线，为地平髙度。次用法，自正东卯数正▯度至辰，得近南三度，为地平经度【或以丙卯为半径作半规，取直应度分亦同】次依本日太阳赤纬十九度【以员半径取庚甲十九度正▯】为小员半径，作子庚小员。末自太阳辰作横线戊壬，切小员于庚。乃自庚向甲心作大员径线已午，则已即北极【数己丑之度为极出地度】依法求得本地极髙四十度。论曰：此法最简，最真。然必得正方案之法，以测地平经度，始无错误。