厯算全书卷四十七
厯算全书卷四十七
宣城梅文鼎撰句股阐微卷二句股积求句股，▯句股积与▯较较，求诸数。
第一法假如句股积【一百二十】▯较较【十二】法以积四之得【四百八十】▯较较自之【一百四十四】两数相减余【三百三十六】折半【一百六十八】为实，▯较较【十二】为法除之，得句股较【十四】以加▯较较【十二】共得【二十六】为▯【有▯有句股较即诸数可求】论曰：甲乙丙丁合形为▯自乗大方幂，甲小方为句股较幂，▯幂内减句股较幂，所余丙乙丁磬折形原与四句股积等于中又减去乙小方为▯较较自乗幂仍余丁丙二长方并以句股较为其长以▯较较为其濶故折半而用其一为实以▯较较为法除之得句股较矣【是以濶求长】
第二法置四句股积【四百八十】与▯较较自幂【一百四十四】相加得共【六百二十四】折半【三百十二】为实，▯较较【十二】为法除之，得【二十六】为▯，▯内减去▯较【十二】得余【十四】为句股较。论曰：乙丙丁磬折形，原与四句股积等。今加一小方形如己，为▯较自乗幂，与乙等。又丁丙二长方，原相等。于是合丁己为一长方，合乙丙为一长方，必亦相等矣【并以▯较较为濶，以▯为长】故折半而用其一。
为实以▯较较为法除之即得▯矣【亦是以濶求长】
第三法置四句股积【四百八十】为实，▯较较【十二】为法除之，得【四十】为▯较和，以▯较较【十二】加▯较和四十，得【五十二】折半【二十六】为▯，以▯较较【十二】减▯较和【四十】得【二十八】折半【十四】为句股较，于前图乙丙丁磬折形，即四句股积移丁长方置于戊。
为乙丙戊长方其长如▯较和其阔如▯较较故以▯较较除之得▯较和【若以▯较和除之亦得▯较较】
又简法置句股积【一百二十】为实，以▯较较【十二】半之，得【六】为法，除之，得【二十】为半▯较和，以半▯较较【六】加半▯较和【二十】得【二十六】为▯，又以半较【六】减半和【二十】得【十四】为句股较。论曰：长方形濶【十二】如▯较较长【四十】如▯较，和其积如四。
句股今只用一句股积是四之一也积四之一者其边必半观图自明句股积与▯较和求诸数第一法假如句股积【一百二十】▯较和【四十】法以积四之得四百八十，▯较和自之得【一千六百】两数相减余【一千一百二十】折半得【五百六十】为实，▯较和【四十】为法除之，得【十四】为句股较，以减▯较和得【二十六】为▯，▯自乗【六百七十六】加四句股积【四百八十】得【一千一百五十六】平方开之得【三十四】为句股和，以与句股较【十四】相加得【四十八】折半【二十四】为股，又相减得【二十】折半得【一十】为句。句【一十】股【二十四】▯【二十六】句股和【三十四】句股较【十四】▯较和【四十】
▯较较【十二】论曰：总方为▯，较和【四十】自乗。
之幂内分甲戊己方为▯自乗幂乙小方为句股较自乗幂于▯幂内减去戊己磬折形即四句股积则所余者甲小方即句股较幂与乙方等，以甲小方合丁长方，即与乙丙长方等【以丁丙小长方原相等故】此二长方并以句股较【十四】为濶，以▯较和为长【四十】故折半而用其一为实，▯较和【四十】为法除之，即得句股较【是为以长求濶】
第二法▯较和自乗【一千六百】与四句股积【四百八十】两数相加【二千○八十】折半【一千○四十】为实，▯较和【四十】为法除之，得【二十六】为▯，以减▯较和，得【十四】为句股较，余如前【观后图自明】
第三法置四句股积【四百八十】为实，▯较和【四十】为法，除之得【十二】为▯较，较余同▯较，较第三法。
又简法句股积【一百二十】为实，▯较和【四十】半之得【二十】为法，除之得【六】为▯较，较之半，余并同▯较，较简法。
论曰乙丁丙甲戊己合形为▯较和【四十】自乗之，大方外加一庚。
辛长方为四句股积与戊己磬折形等于是中分之为两长方【乙丁庚辛合为左长方，丙甲己戊合为右长方】并以▯为濶【二十六】▯较和【四十】为长，故折半为实，以▯较和除之，得▯【亦为以长求濶】借此图可解第三法之理，何则？庚辛长方形既为四句股积，而其濶【十二】如▯较较，其长【四十】如▯较和，是【十二】与【四十】相乗之积也，故以▯较较除之，得▯较和；若以▯较和除之，即复得▯较较。若庚辛长方横直皆均剖之成四小长方，则其濶皆【六】加半，较其长【二十】如半和，而其积皆【一百二十】为一句股积矣。此又简法之理也。
句股积与▯和较求诸数第一法假如句股积【六千七百五十】▯和较【六十】法以▯和较自之得【三千六百】与四句股积【二万七千】相减，余【二万三千四百】折半【一万一千七百】为实，▯和较【六十】为法除之，得【一百九十五】为▯，加较【六十】得句股和【二百五十五】▯幂内减四句股积开方得句股较，以加句股和折半得股，以减句股和折半得句。
句【七十五】 股【一百八十】 ▯【一百九十五】句股和【二百五十五】 句股较【百○五】 ▯和和【四百五十】▯较和【三百】 ▯和较【六十】 ▯较较【九十】第二法以▯和较自乗【三千六百】与四句股积【二万七千】相加得【三万○六百】折半【一万五千三百】为实，▯和较【六十】为法除之得【二百五十五】为句股和，内减▯和较【六十】得【一百九十五】为▯。论曰：丁丙方为句股和，自乗方幂。内减甲戊方为▯自乗幂，其余丁。戊丙，磬折形，四句股积也。内减戊。乙小方为▯和较自乗积则所余。丁戊长方与戊丙长方等，而并以。▯为长，▯和较为濶，故以▯和较除之，得▯，此第一法减四句股积之理也。若于丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方与戊乙等，乃并之为庚戊长方与辛乙等，并以句股和为长▯和较为濶，此第二法加四积之理也【两法并以濶求长】
第三法置四句股积【二万七千】为实，▯和较【六十】除之，得【四百五十】为▯和，和以与▯和较相加，折半为句股和，又相减，折半为▯。此如有句股积，有容圆径，而求句股▯，乃还元之法也。
论曰前图中辛乙长方并戊丙长方是四句股积联之为辛丙长方则其濶丁辛▯和较也，其长丁丙▯和和也。
又简法置句股积【六千七百五十】为实，半▯和较【三十】除之，得【二百二十五】为半▯和，和以与半▯和较相加，得二百五十五为句股和，又相减得【一百九十五】为▯。此如有容圆半径以除句股积而得半▯和，和句股积与▯和和求诸数。
第一法假如句股积【六千七百五十】▯和和【四百五十】法以积四之得【二万七千】▯和和自之得【二十○万二千五百】两数相减余【十七万五千五百】折半【八万七千七百五十】为实，▯和和【四百五十】为法除之得【一百九十五】为▯，以减▯和和得【二百五十五】为句股和。
第二法以四句股积与▯和和幂两数相加得【二十二万九千五百】折半得【十一万四千七百五十】为实，▯和和【四百五十】为法除之，得【二百五十五】为句股和，以减▯和和得【一百九十五】为▯。论曰：甲乙，大方▯和和，自乗也；内分甲丁方▯，自乗也。
与丁丙方等丁乙方句股和自乗也于丁乙内减去丁丙▯幂则所余者四句股积即壬乙丙戊二小长方也而己辛小长方与丙戊等则己乙长方亦四句股积也。今于甲乙大方内减去己乙，则所余者甲戊己戊二长方，并以▯为濶，▯和和为长，故以▯和和除之而得▯。此第一法减四句股积之理也。是为以长求濶。又论曰：若于甲乙大方外増一甲庚长方，与己乙等，而中分之于癸戊，则癸乙与癸庚两长方等，并以句股和为濶，▯和和为长，故以▯和和除之，而先得句股和，此苐二法，加四句股积之理也。亦是以长求濶。
第三法置四句股积【二万七千】为实，▯和和【四百五十】除之，得▯和较【六十】此如并句股▯除四倍积而得容员径。
又简法置句股积【六千七百五十】为实，半▯和和【二百二十五】除之，得半▯和较【三十】此如合半句、半股、半▯除积，得容员半径。欲明加减，用四句股之理，当观古图。
甲乙丙句股形 甲丙句六甲乙股八 乙丙▯十甲丁句股和十四 壬辛句股较二甲己大方句股和自乗幂也，其积一百九十六。丙戊次方，▯自乗幂也，其积一百。壬庚小方，句股较自乗幂也，其积四。甲己和幂内减▯幂，所余者四句股也。▯幂内减较幂，所余者亦四句股也。句股之积，并二十四。甲丁句股和十四，癸丁▯十。子丁句股较二。甲丙方爲句股和自乗幂【一百九十六】内减癸辛▯幂【一百】余【九十六】爲甲己丙磬折形【亦卽四句股积】内分甲己直形，移置于丙戊，成乙戊长方，卽爲▯【和较乗▯和和】又壬丁小方爲句股较自乗，其幂四，以减▯幂一百，余九十六，爲癸壬辛巳磬折形【亦卽四句股积】内分癸壬直形移置于辛庚成己庚长方卽爲▯较较乗▯较和假如方环田有积有田之濶，问内外方各若干？法以积四之一爲实，田濶除之，得数爲内外二方半和，与田濶相加得外方，又相减得内方【葢田濶卽如半较】若但知外方及内小方及环田积，法即并大小方边为和，以除积得数为较，较与和相加，折半为外周大方，又相减折半为小方，以两方之较折半为环田濶。若方田内有方墩，法同，或方墩不居正中，其法亦同，但只可求大小方边，不能知濶。总论曰：「▯较较乗▯较和之积，与▯和较乗▯和和之积等，为四句股乃立法之根也。而其理皆具古图中，学者所宜深玩。」又如，有辛、庚、壬圆池，不知其径。法于乙作甲乙直线，切员池于庚。又乙丙横线，切圆池于壬。乙为正方角，又自丙望甲作斜线切员池于辛乃自丙取乙丙之度截斜线于丁又自甲取甲乙之度截斜线于戊末但量丁戊有若干尺即圆池径解曰：此即句股容员法也。丙乙句截甲丙▯于丁，则丁甲为句▯较；甲乙股截▯于戊，则戊丙为股▯较；而丁戊为▯和较，故即为圆径。其句股▯不必问其丈尺，但取三直线并切员，而乙为方角，足矣，故为测员简法【凡城堢墩台锥塔员柱之类，形正员者，并同一法也】
句股容方【系鲍燕翌法】
句股形引股线法即依正角作方形于形外，又即引小形成大形。甲乙丙句股形，今欲引甲乙股至丁，甲丙▯至戊，而令乙丁与戊丁等法曰：以乙丙分甲，乙得数减一，余。
用归甲乙得之解曰：「乙丙与甲乙原，若丁戊与甲。」丁故以乙丙分甲，乙与以丁戊分甲，丁所得之分数等。然则减一者，虽似于甲乙分数内减乙丙之一分，实于甲丁分数内减丁戊之一分也【即乙丁之一分】故以减余分甲乙而得。【勿庵又法：句股相乗为实，句股较为法，除之，亦即得所引。乙丁与乙戊同数】
句股形截股法即依正角作方形于形内，又即截大形成小形。甲丁戊句股形内，今欲截甲丁股于乙，甲戊▯于丙，而令乙丁与乙丙等法曰：以丁戊分甲丁，得数加一，共。用归甲丁得之【勿庵又法：句股相乗为实，句股和为法，除之，亦即得。所截乙丁与丁丙同数，即句股容方法】解曰：丁戊与甲丁原若乙丙与甲乙，故以丁戊分甲丁，与以乙丙分甲乙，所得之分数等。然则加一者，虽似于甲丁分数外加丁戊之一分，实于甲乙分数外加乙丙之一分也【即乙丁之一分】故以加共分甲丁而得。若欲令丙戊与丁戊等，或欲令乙丙与丙戊等，依法推之。按后一法，即句股容方也。原法简易，今鲍燕翼先生所设殊新，要其理亦相通耳【勿庵补例】设甲乙股十六，乙丙句八。今引甲乙股长出至丁。而令引出之乙丁股分与所当之丁。
戊句等问若干答曰乙丁十六法以乙丙句【八】甲乙股【十六】相乗得【一百】【廿八】为实，句股相减得较【八】为法，除之得乙丁，引出一十六，与丁戊句相等。若如鲍法，以句【八】除股【十六】得【二】内减去一，仍余一，用为法，以除股【十六】仍得【十六】为乙丁。又设甲乙股【四十八】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【十六】与丁戊句等。法以句十二乗股【四十八】得积【五百】。七十六】为实，句减股得较【三十六】为法除之得【十六】为乙丁或以句【十二】除股【四十八】得数【四】内减【一】余【三】为法，以除股【四十八】亦得【十六】为乙丁。又设甲乙股【六】乙丙句【四】依法引出乙丁股【十二】与丁戊句等法，以句乗股得【二十四】为实，句股较【二】为法，除之得【十二】为乙丁。或以句【四】除股【六】得【一半】内减一，余【半】为法，以除股【六】
亦得【十二】为乙丁解曰：「半为除法则得倍数，此畸零除。」
法也详别卷又设甲乙股【三十】乙丙句【十二】依法引出乙丁股【二十】与丁戊句等。法以句乗股得【三百六十】为实，句股较【十八】为法，除之得乙丁【二十】或以句【十二】除股【三十】得【二半】内减。一，余【一半】为法，以除股【三十】亦得乙。
丁【二十】解两法相同所以然之故。葢此是依句股正角【即乙角】作正方形于形之外也。本法以句▯较为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股较之本数而用其除过之句股较为法【以句除股则股内所原带句数及句股较数并为句所除而减去其一即减去除过之句也。用减余为法即是用其除过之句股较为法也】故亦不用句股形之倍积而用其除过之倍积为实【倍即是句股相乗之数。若以句除之必仍得股。今径以股数受除即是用其除过之倍积为实也】法实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣。
以上补第一条之例设甲丁戊形，甲丁股【廿八】丁戊句【廿一】甲戊▯【三十五】欲截甲丁股于乙，截甲戊；▯于丙，而令所截。
之乙丁与乙丙等问其数若干答曰乙丁一十二法以甲丁股【二十八】丁戊句【二十一】相乗得【五百八十八】为实，并句股得和【四十九】为法，除之得【一十二】为所截，乙丁与乙丙截句等。如鲍法，以句【二十一】除股【二十八】得一【又三之一】又外加一数，共二【又三之一】为法【通作七】用以除股二十八【通作八十四】亦得【十二】为乙丁截股。设甲丁股【三百四十五】丁戊句【一百八十四】▯甲戊【三百九十一】欲截乙丁与乙丙等，该若干？答曰：一百二十。法以句【一百八十四】股【三百四十五】相乗得【六万三千四百八十】为实，句股和【五百二十九】为法，除之得所截乙丁【一百二十】与截句乙丙等。或以句【一百八十四】除股【三百四十五】得一【又八之七】又外加一共二【又八之七】通作【二十三】为法，以股【三百四十五】通作【二千七百六十】为实，法除实，亦得【一百二十】为乙丁截股。解两法相同所以然之故。葢此是依句股形正角作方形于内【即句股容方】也。本法以句股和为法除句股形倍积【即句股相乗】今不用句股和本数而用其除过之句股和为法【股被句除既变为除过之股而得数中之一其本数皆与句同今于得数又加一是又加一除过之句合之则共为除过之句股和矣】故即用股为实以当除过之倍积法与实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣。以上补第二条之例按数度衍有在逺测正方形之算，立破句名色不穏，图亦不真。今于此第一例中，生二法补之。
分角线至对边【亦系鲍法】甲乙丙句股形，今平分乙方角作乙丁线至对边▯，欲知丁防之所在。法曰：先依句股求方，求得己丁、戊乙正方形。次用丁、戊、丙形，或丁、己、甲形，求得丁丙▯，或甲丁▯，即得。甲乙丙句股形，今平分乙鋭角作线至甲丙股，欲知丁防所在。法以甲丙股，乙丙句相乗，得丙庚长方，亦即乙辛长斜。方其辛戊，小长斜方，又即戊壬，长斜。方取甲子癸小句股形补壬寅丑虚。句股形成，甲寅长方，此即句股相乗。实以句▯和除之也【甲乙为▯，乙壬即句】得壬寅边。丙甲辛句股形中【即甲乙丙原设形】作甲卯垂线至丙辛▯【法另具】于是，一率甲卯，二率甲辛，三率甲子，四率甲癸【即丁己】成丁己乙戊四斜方形。次用丁、戊、丙形，或丁、己、甲形，依句▯求股，求得丁丙或丁甲，即得。按上鲍法，此寅甲长方为句，▯和除句股形倍积所得壬寅边，必小于句股容方之边，其内容丁己乙戊四斜方形之丁己边，又必大于句股容方之边，二者之间可以得容方边矣【容方邉除倍积得句股和，以减句▯和，得股▯较，即其他可知】求丁己线法。一率甲丙股，二率甲乙▯，三率壬寅，四率丁己【即壬丑】甲乙丙鋭角形，求分乙角作线至甲丙边之丁防。法于形中求得辰丙垂线【丙辛甲形即甲乙丙】形故其垂线等】用丙长线乗乙丙所得即辛乙，长斜方形，自此以下至成丁，己乙。
戊四斜方【并同前法】次用比例法，一率甲乙，二率甲丙，三率丁戊，四率得丁丙。或一率甲乙，二率甲丙，三率甲己，四率甲丁甲乙丙钝角形。法先从形外求得甲辰外垂线，引乙丙线与之相遇，次以甲辰垂线乗乙丙得乙辛长。
斜方形 余同前法甲乙丙钝角形，甲辰垂线在形外。
与右图同法鼎按：若依几何六卷三题法，甚防。
句股容员甲乙丙句股形，求容员径卯戌【即丁辛】法于甲丙▯上，截丁丙如句【乙丙】又截甲辛如股【乙甲】因得丁辛，即容员之径。试依所截丁丙为句作戊丁丙句股形【自丁作▯之垂线至戊又引乙丙句遇于戊即成此形】又依所截甲辛为股作甲辛氐句股形【自辛作▯之垂线长出至氐，引甲乙股遇于氐】又作戊戌房句股形【引戊丁股至房如▯之度，自房作垂线至戌即成】乃自甲自戊各为分角线遇于己成十字，则己即容员心也。又引十字线透出，而以甲己为度截之于癸于女。乃自癸作线与丙戊平行至辰，又自女作辛氐及房戊之垂线穿而过之与癸辰线遇于辰又引氐辛线至癸引房戌线至女得女辰女房癸辰癸氐四线皆如甲丙▯女卯女亢癸丑癸未四线皆如甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四线皆如乙丙句，又成女卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形，共八句股形，纵横相叠，并以容员心己防为心，此同心八句股形各线相交成正方形二。其一卯戌丑乙形，依原形之句股而立，其乙方角即原形之所有也。其一丁辛亢未形，依原形之▯而立，即所谓▯和较也。此两形者皆相等，而其方边并与容员径等，即容员径上之方幂也。然则何以又为▯和较？试即以原▯论之，甲丙▯上所截之丁丙，即句也；甲辛即股也。句股相并，即重叠此丁辛一边，是句股和多于▯之数。古人以▯和较为容员径，葢谓此也。八句股形即有相等之八▯，每一▯上各有此重叠之线，以成两四方形相等之八边，可以观矣【因鲍图改作之，彼原有八角形外小句股形辏成一等面八角形之论，但图欠明显】
相似两句股并求简法假如癸辛己大形，癸壬乙小形，其癸角等则为相似之两句股形，今欲求两形之两句合线【两句者，一为己辛大句，一为壬乙小句，即辛甲也，则己甲为两句合线】法以两▯【一癸己大▯，一癸乙小▯】并之为三率，以癸角之正▯【两癸角等只用其一】为二率，二三相。
乗为实半径全数为法实如法而一得四率己甲即【己辛壬乙】两句之合数何以知之曰试引癸己▯至丁截己丁▯如癸乙，则丁癸即两▯合数也。乃以癸角之正▯乗之，半径【全】除之，即得丁丙。而丁戊即壬乙【以己丁即癸乙也，亦即甲辛】戊丙即己辛【同在直线限内也】则所得丁丙亦即己甲矣。有句股和，有▯，求句，求股【量法】乙，甲句股和；丙，甲▯。
原法以甲为心作乙己卯象限 又以丙甲▯半之于丁以丁为心作甲戊丙半圆次于丙戊，半员上任，以辛为心，丙为界，作丙己小员，屡试之，令小员正切象限，如己乃作己辛甲及辛丙二线，则辛丙为句，辛甲为股，如所求，按此法不误，但己防正切处难真，今别立法求己防。法曰：自丁防作垂线，分半圆于戊。以戊为心，用丙为界，作丙己庚丑甲全。员全员与象限相割于己，从己向甲作直线，割半员于辛。乃作辛丙为句，即辛甲为股。合问如此，则径得辛防，不用屡试得数，既易且真确矣。论曰：凡平员内作两通▯，至员径两端，必为句股，而员径常为▯。今既以丙甲▯为半员径，则其辛丙与辛甲两通▯，必句与股也。而己辛甲线与乙甲等，即句股和也。今以辛为心作小员，而其边正切己，则己辛与丙辛等，为小员之半径，即等为句线矣。于己甲句股和内截己辛为句，则辛甲必为股，故此法不误也。又论曰：半员内所容句股形，以半方形为最大【即甲戊丙也，其余皆半长方形之句股，故小】其句股和亦最大【丙戊句，甲戊股相等，其和甲戊庚为最大，其余股长者句反甚小，故其和皆小于甲戊庚】即▯上方幂之斜径也【甲未庚丙为▯上平方幂，甲戊庚为其斜径】以此为象限之半径【如辰庚亥象限，其半径辰甲及亥甲并与庚戊甲等】则能容▯上平方【如甲未庚丙平方必在辰庚亥象限内】又戊心所作平方外切之平圆，亦能容▯上平方【此员以戊为心，以平方四角为界，其全径甲戊庚即平方之斜径也】三者相切于庚防，惟相切不相割，其余句股和并小【如乙甲和必小于辰丙】不能包平方之角，即不能外切平员而与之相割矣【如乙甲和为半径作乙己卯象限，不能包庚防，即与平员相割如己】其自庚至丙并可为相割之己防，而四十五度之句股具焉【八线表所列之句股只四十五度互相为正余，句为正▯，股即余▯也，分言正▯则初度小而九十度最大也，若合正▯余▯为和数，则初度与九十度皆最小，惟四十五度最大】己足以尽句股之变态矣【若过庚向末亦四十五度己防至此，其和数反小，而与前四十五度为正余】句股和之最大者，以略小于▯上斜线而止【凡句股有和有较，皆长方形之半，非正半方也，若半方形则有和无较，可无用算，非句股所设】其最小者，以稍大于▯线而止【若同▯线即无句股】无有不割平圆，故可以己防取之也。又论曰：以方斜为半径作象限，则能容平方；以方斜为半径作半圆，则能容方斜。上平圆【如庚己丙甲未平圆，其径甲戊庚方斜是，即方斜上之平圆也。若以甲戊庚半径作大半圆，即能容之】凡半圆内所容之圆度，每以两度当外周半圆之一度。何则？论度必以角，惟在心之角，一度为一度；若在边之角，则两度为一度【如辰庚亥半圆，从甲心出两线，一至庚，一至辰，作辰甲庚角，其度辰庚四十五度，是一度为一度也。若庚己丙甲未圆，从甲边出两线，一遇戊至庚，一至丙，作庚甲丙角，其度庚己丙象限只作四十五度，是两度当一度，以同用甲角故也】凖此论之，则▯上半圆所作之戊甲丙角，亦必四十五度矣【既同用甲角，则戊辛丙象限亦两度当一度】若是则庚己丙之度与戊、辛、丙等【并同用甲角，以庚辰为度，故也】而己防所割之己丙弧及辛丙弧亦必等度矣【己丙为方外切员之度，辛丙为方内切员之度，大小不同，而同用甲角，以己乙为其度角等者度亦等】又引辛丙至寅，则寅丑甲与辛戊甲两弧亦必等度【以同用丙角故也】而同为甲角之余【丙角原为甲角之余，乃甲角减象限，是以己甲乙减象限得己甲卯角与辛丙甲角等也。其度则两度为一度，乃甲角之倍度减半周，是以寅庚减半周得寅丑甲，以丙辛弧减半周得辛戊甲也】又己庚丑未弧原为己丙减半周之余，即与寅丑甲等，于此两弧内各减寅丑未，则己庚寅与未癸甲亦等。于是作己寅线与未甲等，亦即与丙甲等，而寅己丙与甲丙己又等【于寅己及甲己各加一己丙】则丙辛寅及己辛甲两直线亦等【皆句股和也】两和线相交于辛，则交角等【皆十字正角】又作己丙线，成己辛丙三角形，而己角、丙角等【己甲丙三角形与己寅丙等，则对丙甲之己角，对己寅之丙角亦等】则角所对己辛边、丙辛边亦等矣。凖上论，己辛与丙辛必等，故用己防以求辛防，而和数中句股可分也。又论曰：凡句股和所作象限与斜方上平员相割，有二防，其一为己，其一为丑。自丑作直线至甲心【象限心也】割半员于壬。作丙壬线，即成丙壬甲句股形，与甲辛丙等【丑甲丙角为丙甲壬角之余，与壬丙甲角等，而其度丑卯与己乙等，是丙甲辛角与壬丙甲等也。辛壬又皆正角，又同以丙甲为▯，是两句股形等也】凖此论之，凡半员内所作句股，皆两两相似【句股之正角必负员周，亦两两相对。如辛防在戊丙象限内，即有壬防在戊甲象限与之相对，皆与象限上己防丑▯相应，其所作句股形亦两相似】故四十五度能尽句股之变也【戊丙与戊甲两象限并两度当一度，其真度在庚辰及庚亥两半象限中，故皆四十五度】试以壬为心，丑为界作员，界必过丙。是丙壬股即丑壬，而丑甲为和也。丑壬股大于戊丙，而丑甲和小于庚甲，以是知和数之大至庚甲而极也。凖上论，又足以证己。庚丑癸员，能尽割员句股之理。
句股和较▯与句股较【相和即，加句即，减股即，内减▯存▯较和，股▯和，句▯较，句股较相较即，减句即，加股即，用减▯存▯较较，股▯较，句▯和，句股较】▯与句股和【相和即，减▯即，减股即，减句即▯和和，句股和，句▯和，股▯和相较即，加句▯，加股▯，加句▯较股▯和较，较即股，较即句，▯较即▯】▯与句▯较相和【加句即减句即两减▯即两▯句▯较句▯较】
相较【即句】句与股▯较【相和，即加句股减股▯加句▯较，减句较和较即▯较即句股▯较，即股相较，即加句股较，股加股▯加句股较，股▯句较较▯较，即股较即句较较，即▯】句与股▯和【相和，即减▯，即减股，即减句，即句和和句股和句▯和股▯和】相较即，减股即，减▯即，加句即句和较，句▯较，句股较，股▯和】
句与句股较【相和即股】相较【加句股，加两句股较即句，较即股】
句与句股和相和相较【即，减股即，加股即，两股，两句句，股和】
句与句▯较相和【即▯】相较【加句▯，加两句▯。较即句，较即▯】
句与句▯和相和相较【即▯】句股较，句▯较【相较即股▯较】句股较，股▯较【相较即句▯和内减两句，又两股▯较】相和即股▯。相和即和内减两句。句▯较】句▯较，股▯较【相较即句股较】【相和即两▯内减一句一股】句股和句▯和【相较即股▯较】句股和股▯和【相较即句▯较】。相和即两句，相和即两股，一股一▯，一句一▯】句▯和股▯和【相较，即句股较】
【相和即两▯一句一股】句股较与【句股】和【相和即两股】句股较与【句▯】和【相和即股▯和】句股较与股▯和相和。【相较即，相较即两句，句▯和】句▯较，句▯和【相和即两▯】句▯较，与【句股】和【相和即股▯和】句▯较与股▯和相和。【相较即两句】相较【相较即句股和】▯和，较▯和和【相和半之为句股和】▯和，较▯较和【相和半之为股】相较半，相较半之之为▯，为句▯较】▯和较▯较较【相和半之为句】▯和较句较和【相和半之为句】。相较半之，相较半之为股▯较，为股▯较】▯和较句和较【相和半之为句】▯和较句较较【相和半之仍为▯和较】。相较半之为股▯较】相较即减尽。▯和和▯较和【相和半之为股，▯和】▯和和▯较较【相和半之为句，▯和】相较半之为句】相较【半之为股】▯和和句较和【相和半之为句▯和】▯和和句和较【相和半之即股▯和】。相较半之为股】相较【半之为句】▯和和句较较【相和半之，即句股和】▯较和，▯较较【相和半之，为▯】相较半，相较半之之为▯，为句股较】▯较和句较和【相和半之为▯】▯较和句和较【相和半之为股与句▯较或▯与句股较】【相较半之为句股较】相较恰尽。▯较和句较较【相和半之为股】▯较较句较和【相和半之为句与股】，▯较。相较半之为句，▯较】相较恰尽。▯较较句和较【相和半之为▯】▯较较句较较【相和半之为句】。相较半之，相较半之为句股较，为股▯较】句较和句和较【相和半之为▯】句较和句较较【相和半之为句】。相较半之，相较半之为句股较，为股▯较】句和较句较较【相和半之为股】
【相较半之为句▯较】
厯算全书卷四十七
钦定四库全书