厯算全书卷三十三

厯算全书卷三十三

宣城梅文鼎撰筹算六之七开方捷法勿庵氏曰：亷、隅二形也，故有二法。今借开方大筹为隅法，列于亷法筹之下，而合商之，则亷、隅合为一法而用，加捷矣。存前法者，所以着其理；用捷法者，所以善其事。

平方法曰：如前列实，从单位作防，每隅位防之，以求初商【初商列位有常法，进法俱如前】既得初商，即倍根数为亷法【亦同前法】以亷法数用筹【亷法几位，用筹几根】列于平方筹之上为亷隅共法【或省曰次商法】合视亷隅共法筹某行内有次商之实同者，或略少者，减实以得次商【以本行内方根命之】三商者，合初商、次商、倍之，以其数用筹列平方，筹上为亷隅共法【或省曰三商法】以除三商之实，而得三商。四商以上，仿此求之。解曰：隅者，小平方也。故可以平方筹为法。亷之数，每大于隅一位。今以平方筹为隅，列于亷之下，则隅之进位与亷之本位两半圆合成一数。故亷隅可合为一法。【何以知亷大于隅一位也？曰：有次商，则初商是十数矣。平方亷法是初商倍数，其位同初商，故大于隅一位】凡初商减积尽，最上一防。故最上一防者，初商之实也。次商减积尽，第二防。故第二防以上，次商之实也。三商减积尽，第三防。故第三防以上，三商之实也。推之，第四防为四商之实，第五防为五商之实【以上并同】审空位法曰：若次商之实小于亷隅共法之第一行【凡筹第一行最小数也】则知次商是空位也【不能成一数故空】即作圈于初商下以为次商。乃于亷法筹下，平方筹上加一空位筹为亷隅共法，以求三商【若空位多者，另有简法，见后】三商实小有空位，并同。假如有平方积二千四百九十九万九千九百九十九尺，问每面若干？

列位　作防如图防在次位以二千四百万为初商实视平方筹有小于二四者是一六，其方四也。商四千尺，减积一千六百万尺【有四防，故初商是千，而有次商】次以初商四千尺，倍之得八千尺，为亷法。用第八筹，列平方筹上，为亷隅共法。

以第二防余实八百九十九万为次商实，视筹第九行合数八○一，小于实，次商九百尺，减实八百○一万尺。【此所减首位不空，故对位书之】次倍初商、次商，共四千九百尺，得九千八百尺。用第九、第八两筹列平方筹上，为廉隅共法。以第三防上，余实九八九九，为三商之实。合视筹第九行是八九○一，小于实商九十尺，减余。

实八十九万○一百尺【首位不空故亦对位书之】

次倍三次商共四千九百九十尺，得九千九百八十尺。用九九八三筹，列平方筹上为廉隅共法。

以第四防上余积九九八九九为四商之实合视筹第九行积八九九○一小于实商九尺减余实八万九千九百○一尺不尽九千九百九十八尺开方已得单尺，而有不尽，以法命之，倍方根加一，数得九千九百九十九，为命分。凡开得平方，四千九百九十九尺，又九千九百九十九之九千九百九十八。右例可明，四以上用常法之理。葢积所少者，不过万分之一，不能成五数之方，而其法迥异。

加空筹式假如有平方积，一千六百七十七万七千二百一十六，问每面若干？

列位　作防如图防在次位以一千六百万为初商实视平方筹有一六与实同其方四商四千尺，减积一千六百万尺【凡余实必在商数下一位起，倘空位则作圈补，之后仿此】次以初商四千尺倍得八千尺为亷法，用第八筹列平方筹上为亷隅共法【筹见前例】以第二防上余实○七七为次商实。筹最小数是○八一【第一行数】大于实。

不及减是商数无百也乃于初商四千下作一圈，以为次。商【减去实中○位】次如上图，加一空位筹于次商亷法之下，平方筹之上，为三商亷隅共法。以第三防上七七七二为三商实。

视筹第九行是七二八一，小于实商九十尺，减积七十二万八千一百。次合初商、次商、三商共四○九，倍之得八一八，为廉法。

去空位筹，加一八两筹，列于平方筹之上，为四商廉隅共法。以第四防上四九一一六为四商之实。合视筹第六行数与实合，商六尺，减积四万九千一百一十六尺，恰尽。

凡开得平方四千○九十六尺假如有平方积九亿○○一十八万○○○九步，问每面若干？

列位作防如后图防在首位，以○九亿步为初商实。

视平方筹有○九与实同商三万步【五防故初商万】减积九亿步。

次以初商三万步倍之得六万步用第六筹，加平方筹上，为次商法【即廉隅共法】以第二防上为次商之实，视实三位俱空，无减，知商数有空位，且不止一空位也。如前法，宜挨次商得一空位，则于原实内销一圈【凡续商之实必下于前商之实一位，故虽○位必减去之，以清出续商之实】而于共法筹内加一空位筹，如此挨商颇觉碎杂，故改用又法。又法曰：凡实有多空位者，知商数亦有多空，不必挨商，当于原实中审定可减之数在何位，则此位之上皆连作圈，而径求后商。如此余实有三圈皆无积可减，必至○一乃有可减，而法是第六筹，筹最小是○六，大于○一，仍不可减，必至一八方可减，而一是筹之进位，当以商数对之，则知以上俱是空位，乃皆作圏，合视之有三圈，即次商、三商、四商也。干原实内销去三圈，如后图。

此即次商三商四商合图也次加三空筹于平亷【第六筹】之下，平方之上，为五商亷隅共法。径以第五防上一八○○○九为五商实。视筹第三行数与余实合，商三尺。

除积一八○○○九恰尽凡开得平方三万○○○三步又假如积二千五百○七万○○四十九尺，问方若干？列位作防如图防在次位以二千五百万尺为初商实视平方筹有二五与实同其方五商五千尺，减积二千五百万尺。次倍初商五千尺得一万○千尺，用一筹，空位筹为廉法【凡商得五数则原带有空位】列平方筹上为次商法。实多空位以前除，又法审之，必至○七万尺乃有可减，而○七之○与筹上首位之○对当，以商数居之，则知此以上俱无商数也。于是于初商五千下作两圏，如后图。

此次商三商合图也【原实上减两圏商数下加两圏】如上图，加两空位筹于廉法一万○千之下，平方之上，为四商法。以○七○○四九为四商实【次商三商之两防已销故径用第四防】

视筹第七行相合商七尺减实恰尽凡开得平方五千○○七尺又假如积五千六万三千五百○○尺，问方若干？列位作防，如图防在次位，以五十六万为初商实。

视平方第七行是四九小于实商七百尺除实四十九万次倍初商七百，得一千四百。用第一、第四两筹列平方筹上，为次商法。以第二防上○七三五，为次商实。

合视第五行是○七二五小于实商五十尺减去余积○七万二千五百尺次合商数七百五十，倍之得一千五百○尺。应用第一、第五空位三筹，加于平方筹上，为三商法。以第三防上○一千○○尺为三商实，而实小于法，不能成一尺。乃于商数未作一圏，以为三商。其不尽之数，以法命之。凡亷隅共法筹，第一行数，即命分。

也葢能满此数即成一单数矣凡开得平方七百五十○尺又一。千五百○一，之一千○○○，约为三之二弱立方法曰：如前列实，隔两位作防，以求初商。既得初商，即以初商数自乘而三之，为平亷法【即方法】以平亷法用筹列于立方筹之上【借立方筹为隅法也】为平亷小隅共法。别以初商数三之而进一位，为长亷法【即亷法】以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长亷数下加一空筹以合进一位之数】先以平隅共法【即平亷小隅共法或省曰共法】为次商之法，即截取初商下一位至第二防止为次商之实，法除实得次商【视共法筹内有小于实者为平亷亷小隅共积，用其根数为次商】次以次商之自乘数【即大筹立积下所带平方积数】与长亷法相乘【以平方数寻长亷筹之行，取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商总积。以此总积减次商之实及减则已，倘不及减，转改次商及减而止【因亷积或大有不及减者】三商者，合初商、次商，数自乘而三之，为平亷法。以其数用筹列方，筹上为平亷，小隅共法。别以初商、次商数三而进位，以其数用筹加一空位，筹列立方筹下为长亷法。截取次商下一位至第三防为三商之实，共法为法除之，以得三商【其积为共积】次以三商自乘数与长亷法相乘，得数加入共积为三商总积。减实【又一法，长亷法不必加空位筹，得于得数下加一圏即进位也】

四商以上仿此解曰：隅者，小立方也。故可以立方筹为法，平亷之数每大于隅二位。今以立方筹为隅，列于平亷下，则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数，故平亷小隅可合为一法。长亷之两头皆如次商自乘之数，故可以平方乘之。又长亷之数每大于隅一位，故于下加一空筹以进其位，便加积也。【何以知平亷大于隅二位而长亷只大一位也？曰：平亷者，初商自乘之数也。初商于次商为十，数十乘十则百数矣。隅积者，次商本位也。故平亷与隅如百与单，相去二位也。若长亷只是初商之三倍，位同初商。初商与次商如十与单，故长亷与小隅亦如十与单，相去一位也】凡初商积尽于上一防，故上一防为初商实；次商积尽于第二防，故第二防以上为次商实；推之，三防为三商实，四防为四商实，以上并同。审空位法曰：若次商之实小于平亷小隅共法之第一行，或仅如共法之第一行而无长亷积，则次商是空位也。即作圏于初商下以为次商，乃于平亷筹下立方筹上加两空位筹为三商，平亷小隅之共法以求三商。其长亷法下又加一空位筹【并原有一空位筹，共两空位筹】为三商长亷法【又法，长亷不必加空筹，但于得数下加两圏】若商数有两空位者，平亷小隅筹下加四空位筹，长亷积下加三圏。解曰：有空位则所求者三商也。初商于三商如百与单，而平亷者，初商之自乘，百乘百成万，故平亷与三商之隅如万与单，大四位也。此加两空筹之理也【平亷原大二位，加二空筹则大四位矣】初商与三商既如百与单，则长亷与隅亦如百与单，大两位也。此又加一空筹之理也。初，商列位，商一，用常法；二至五，用进法；六至九，用超法。今各存一例于后。假如有立方积六百八十五万九千尺，问每面若干？列位作防如图防在首位以○○六百万为初商实视立方筹有小于○○六者○○一也，其立方一，商一百尺【三防故初商百】减积一百万尺，次截取第二防上五八五九为次商实。

以初商一百尺自乘，得一万尺，而三因之，得三万尺，为平廉法。用第三筹列立方筹上，为平廉小隅共法。别以初商一百尺三，而进位得三百○十尺为长廉法。列立方筹，下视平隅共法，筹第九行是三、四、二、九，小于实，商九十尺。次以第九行平方八一乘长廉三得二四三○，以加共积得五百八十五万九千，为次商九十尺之积，除实尽。次商十，宜有三商，而除实已尽，是方面无单数也。凡开得立方，每面一百九十○尺。假如有立方积一千二百八十六亿三千四百六十七万○五百九十二尺，问方若干？

列位作防如图防在第三位以一千二百八十亿为初商实视立方筹内有小于一二八，是一二五，其方五也，商五千尺【四防故初商千】减积一千二百五十亿。次截取第二防上，○三六三四为次商实。以初商五千，自乘得二千五百万，而三之得七千五百万，为平廉法。用七五两筹列立方筹上，为平廉小隅共法。别以初商五千尺三而进位，得一万五千○百尺，为长亷法。用筹列立方筹下。

视共法筹第一行是○七五○一大于实不及减知次商百位空也于初，商下作一圏，为次商【原实上减一圏】乃截第三防三六三四六七○为三商实。次于平亷筹下，立方筹上，加两空位筹为平亷小隅，共法。于长亷筹下又加一空位筹【原有一空位筹，共二空位】为长亷法。

视共法筹第四行是三○○○○六四小于实用为共积商四十尺，以长廉法与四行之平方一六相乘，得二四○○○为长廉积，加入共积，得三○二四○六四，减积三十○亿二千四百○六万四千尺。次以商数五千○四十自乘，得二千五百四十○万一千六百尺，而三之，得七千六百二十○万四千八百尺，为平廉法，列立方筹上为平隅共法，别以商数五千○四十尺三而进位，得一万五千一百二十○尺为长廉法，列立方筹下。

乃截第四防六一○六○六五九二为四商之实视共法筹第八行六○九六三八九一二小于实商八尺以长亷法与第八行平方六四相乘得九六七六八○为长亷积，以加共积得六一○六○六五九二，除实尽。凡开得立方，每面五千○四十八尺。

右加两空筹例假如有立方积七千二百九十七亿二千九百二十四万三千○二十七尺，问每面若干？

列位　作防如图防在第三位以七千二百九十亿为初商实　视立方筹方九之积七二九与实同，商九千尺，减积七千二百九十亿【四防故初商千】次截第二防○○○七二九为次商实，以初商九千尺自乘八千一百万尺，而三之得二亿四千三百万尺，为平亷法，列立方筹上为平亷小隅共法，别以初商九千尺三而进位得二万七千○百尺，为长亷法，列立方筹下视共法筹第一行是○二四三○一大于实，不及减，知次商百位空也，于初商九千尺下作一圏为次商【原实上减去一圏】乃于平亷筹下立方筹上加两空筹为平廉小隅共法，于长亷筹下又加一空筹得二七○○为长亷法截取第三防○○七二九二四三为三商实视共法筹第一行是○二四三○○○一大于实，仍不及减，知三商十位亦空也，于商得九千○百下加一圏为三商【原实上又减去一圏，又法实多空不必挨商，但寻至不空之界，如○七乃与平亷相应，即于○七之上初商之下作连圏为次商三商，而于原实中销两圏】

此次商三商合图也乃于平亷筹下立方筹上又加两空筹【共四空筹】为平亷小隅共法，其长亷筹下又加一空筹【共三空筹】得二七○○○为长亷法【或不必加筹，只于得数下加三圏亦同】截取第四防○七二九二四三○二七，为四商实。

视共法筹第三行是○七二九○○○○二七小于实商三尺　以长亷法与第三行平方○九相乘得二四三○○○为长亷积以加共积得○七二九二四三○二七除实尽。凡开得立方，每面九千○○三尺。

右加四空筹例开方分秒法【筹算七】勿庵氏曰：「命分，古法也。然但可以存其不尽之数而已。若还原则有不合，故有分秒法以御之也。虽亦终不能尽，然最小之分，即无关于大数，视命分之法，不啻加宻矣。」

平方法曰：凡开平方，有余实不能成一数，不可开矣。若必欲开其分秒，则于余实下加二圏【原实一化为一百分】如法开之，所得根数是一十分内之几分也。或加四圏【原实一化为一万分】如法开之，所得根数是一百分内之几分也。或加六圏【原实一化为一百万分】如法开之，所得根数是一千分内之几分也。如此递加两圏，则多开得一位，乃至加十圏【原实一化为百亿分】其根数则十万分内之几万几千几百几十几分也。假如平方积八步，开得二步，除实四步，余四步不尽，分秒几何？法于余实下添两圏，则余实四步。

化为四百○○分为次商之实依捷法，以初商二步，倍作四步为亷法列平方筹上为亷隅共法简。筹第八行积三八四，小于余实，次商八分，除实三百八十四，分开得平方，每面二步八分，不尽一十六分，再开之。又于余实下加两圏，则余实一十六分化为一千六百○○秒，为三商之实。依捷法，以初商、次商共二步八分，倍之得五步六分，为亷法。列平方筹，上为亷隅，共法简筹。第二行积一一二四，小于余实，商作二秒，除实一千一百二十四秒。共开得平方，每面二步八分二秒，不尽四百七十六秒。此单下开两位式也。所不尽之数，不过百分之四。若欲再开，亦可得其忽防，如后式。还原以二步八二用筹为法，又以二步八二列为实，而自相乘之，得七万九千五百二十四分，加不尽之分四百七十六，共八万，乃以一万分为一步之法除之【当退四位】仍得八步，合原数。解曰：此以一步化为百分，故其积万分，何也？自乘者，横一步，直一步也。今既以一步化为一百分，则是横一百分，直一百分，而其积一万分为一步。

假如平方九十步，开得九步，除实八十一步，余实○九步不尽【小分几何】

法于余实九步下加八圏则余实九步化为九亿共作五防而以第二防○九亿○○分为次商之实依捷法以初商九步倍作一十八步为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第四行○七三六略小于余实商四千分除实七亿三千六百万分余一亿六千四百○○万分为第三商之实【第三防也】又依捷法，以初商次商九步，又十之，四倍之，得一十八步，八为亷法，列平方筹上，为亷隅共法，简筹第八行一五一○四，略小于余实，商八除实，一亿五千一百○四万，余一千二百九十六万分○○，为第四次商之实【第四防也】又依捷法，以三次所商共九步四八，倍之得一十八步九六，为亷法。列平方筹上，为亷隅共法，简筹第六行，一一三七九六，略小于实。商六，除实一千一百三十七万九千六百分，余一百五十八万○四百○○，分为第五次商之实【第五防也】又依捷法，以所商九步四八六倍之，得一十八步九七二，为亷法。列平方筹，上为亷隅，共法简筹第八行一五一七八二四，略小于实。商八除实，一百五十一万七千八百二十四分，余六万二千五百七十六分，不尽。凡开得平方，每面九步四千八百六十八分【亦可名为四分八秒六忽八防】不尽一○○○○○○○○之○○○○六二五七六【即一万分之六分有竒】虽不尽，不过万分之一，不足为损益，可弃不用。还原以九步四八六八用筹为法，又为实，自乘得八十九亿九千九百九十三万七千四百二十四分，加入不尽之分六万二千五百七十六，共九十亿。以一亿分为一步之法除之【当退八位】仍得九十步，合原数。解曰：此以一步化为一万分，故其自乘之积一亿？何也？自乘者，横一步，直一步之积也。今既以一万分为步，则是横一万分，直一万分，而其积一亿为一步。

若依命分法则还原不合如前例，原实八步，开得方二步，除实四步，不尽四步，法当倍每方二步作四步，又加隅一步为命，分命为二步，又五分步之四，意若曰：若得五步，则商三步矣，今只四步，是五分内止得四分也，然还原有不合，何也？

以算明之用通分法，以命分五，通二步，得一十分，又加得分四，共一十四分，自乘得一百九十六为实，以命分五自乘得二十五分为法【每步通作】五分横一步，直一步，则共得二十五分也】除之得七步又二十五分之二十一，以较原实少二十五之四。

以图明之每步作五分，其羃积二十五分，方二。步积四步，共一百分又五之四，以乘。方二步，得四十分，倍之为亷，积八十。分，又五之四，自乘得隅积一十六分。共九十六分，以合原余积四步，该一百分少二十五分之四。以此观之，实数每缩，虚数常盈，故命分之法不可以还原。其故何也？曰：隅差也。何以谓之隅差？曰：平方之有竒零，其在两亷者实，其在隅者虚。何也？亷之虚者一面，而隅之虚者两面也。即如二步五之四，谓五分内虚一分，故不能成一歩也。然试观于图，两亷之四步皆虚一分【横四分，直五分，积二十分，以二十五分计之，是为于五分之中虚一分】而隅之一步虚一分有零【横四分，直亦四分，积一十六分，虚九分，以二十五分计之，是为五分之中虚二分弱】则是边数二步五之数者，其积不及五之四也。今余积四步者，实数也，其边数常盈于五之四有竒也，而命之曰五之四，宜其不及矣。然则古何以设此法？曰：古率常寛，以为所差者防，故命之也。不但此也，古率圆一围三方五斜七，今考之皆有防差，故曰寛也。愚常考定开平方隅差之法，法曰：如法以命分之，毋通其整而纳其子【即得分】为全数，以全数自相乘，得数为通积，另置分毋，以分子减之余数，以乘分子而加之为实，乃以分毋自乘为法除之，即适还原数。如上方二步五之四，以分毋五通二步得十，纳子四，共十四，自乘得方积一百九十六分，另以分子四减分毋五，余一，以转乘分子四，得四，即隅差也，以隅差加入方积，共二百分为实，乃以分毋五自乘得二十五为法，以除实得八步，合原积。又如后例，原实九十步，开得九步，除实八十一步，不尽九步，法当倍每方九步作十八步，又加隅一共十九步为命，分命为九步，又十九分步之九，意若曰：若得十九歩，则加商一步成十步，今只九步，是十九分内只得九分也，然还原亦不合。

以算明之用通分法，以命分十九，通九步，得一百七十一步，又加得分九，共一百八十步，自乘得三万二千四百，为实，以命分十九自乘得三百六十一，为法【每步十九分，横十九分，直十九分，共得三百六十一分也】除之得八十九步又三百六十一分之二百七十一，以较原实之九十步，计少三百六十一分之九十分。

若依隅差之分，以得分九，减命分十九，余十，转乘得分，得九十分，为隅差，以加自乘通积三万二千四百，共得三万二千四百九十，为实，乃以命分自乘三百六十一为法，除之，恰得九十步，合原积。

以图明之甲戊丁庚形者方九步九分之总形也通为一百八十分积三万二千四百分以三百六十一为步除之较原实少九十分内分甲丙乙巳形，为初商方九步之形，其积八千一歩。戊乙形，庚乙形，次商亷积之形也。长九步【通为一百七十一分】濶九分，积一千五百三十九分。两亷共计三千○七十八分。丁乙者，小隅者，横直各九分，以较亷积中每一步之形【如丑乙】欠一丁癸形，即隅差也。以积考之，亷九步，每步濶九分，长一步【通为十九分】积一百七十一分。隅濶九分，长亦九分，积八十一分。少九十分为隅差。

立方法曰：凡立方有余实，不能成一数，不可开矣。若必欲知其分秒，则于余实下加三圏【原实一化为一千分】如法开之，所得根数是一十分之几分也。若加六圏【原实一化为一百万分】所得根数是一百分之几分也。若加九圏【原实一化为十亿】则根数是一千分之几分也。若加十二圏【原实一化为万亿】则根数是一万分之几分也。解曰：平方筹两位，故两位作防，而其化小分亦以两位为率。葢积多两位，则根数可多一位也【亷一位，隅一位，故两位】立方筹三位，故三位作防，而其化小分亦以三位为率。葢积多三位，则根数可多一位也【平亷一位，长亷一位，隅一位，故三位】假如立方积一十七步，开得立方二步，除八步，余实九。

步不尽法于余实下加十二圈则余实九步化为九万亿分【増四防可加开四位】依捷法截第二防○九○○○为次商之实，以初商二自乘【四】而三之得一十二步为平亷法，列立方筹上为平隅共法；以初商【二】三而进位得【六○】为长亷法，列立方筹下。简共法筹第五行积【○六一二五】小于实，商五分【六行七行亦小于实，因无长亷积故不用】乃以第五行平方【二五】与长亷法相乘得【一五○○】为长亷积，以加共积，共得【○七六二五】是为次商五分之积，以除实，余一三七五，以俟三商。又截取第三防一三七五○○○为三商之实，以初商次商共二步五分自乘得【六二五】而三之得【一八七五】为平亷法，列立方筹上为平隅共法；以初商次商【二步五分】三而进位得【七五○】为长亷法，列立方筹第七行【一三一二八四三】共法【八四三】小于实，商七秒；乃以第七行平方【四九】与长亷法相乘得【三六七五○】为长亷积，以加共积，共得【一三四九五九三】为三商七秒之积，以除实，余○二五四○七，以▯续商。又截取第四防○二五四○七○○○为四商之实，以商数【二五七】自乘得【六六○四九】而三之得【一九八一四七】为平亷法，列立方筹上为平隅共法；以商数【二五七】进位而三之得【七七一○】为长亷法，列立方筹下简共法，筹第一行【○一九八一四七○一】小于实，商一忽。乃以第一行平方【一】乘长亷得【七七一○】为长亷积，以加共积得【一九八二二四一一】为商一忽之积，以除实，余○五五八四五八九，以▯末商。通第五防○五五八四五八九○○○为末商之实以商数【二五七一】自乘得【六六一○○四一】而三之得【一九八三○一二三】为平亷法，列立方筹上为平隅共法。以商数【二五七一】进位而三之，得【七七一三○】为长亷法，列立方筹下简共法筹第二行【○三九六六○二四六○八】小于实，商二防。乃以第二行平方【○四】乘长亷法得【三○八五二○】为长亷积，以加共积得【○三九六六三三三一二八】为末商二防之积，以减实，余一六一八二五五八七二不尽。凡开得立方，每面二步五分七秒一忽二防【不尽之数，不能成一防，弃不用】还原，以二步五七一二用筹为法，别以二步五七一二列为实，以法乘实，得六六一一○六九四四。

再乘之，得一十六万九千九百八十三亿八千一百七十四万四千一百二十八分。

乃以不尽之积一十六亿一千八百二十五万五千八百七十二分加入，再乘积共得一十七万亿。以一万亿为一步之法【以一步为万分，横一万，直一万，商一万，共一万亿】除之，得一十七步，合原数。

若依命分法则还原不合如前所设，立方积一十七步，开得立方，每面二步，除积九步，余九步。法当以立方二步自乘，得四步，而三之，得十二步，为平亷。又以立方二步三之，得六步，为长亷。又加【一步】为隅，共【一十九步】为命分。命为立方二步，又十九分步之九。意若曰，余积若满十九步，则加商一步矣。今只有九步，是以十九分为一步，而今仅得九分也。然还原则有不合。

以算明之用通分法以命分十九通立方二步得【三十八分】又加得分九，共【四十七分】此即所云二步又十九分之九，乃立方一面之数也。以此自乘得【二千二百○九分】再乘得【一十○万三千八百二十三】乃立方二步又十九分之九所容积数也，为实。别以命分十九自乘得【三百六十一】再乘得【六千八百五十九】乃方一步之积，为法。以除实得【一十五步又六千八百五十九之九百三十八】较原实一十七步少【一步又六千八百五十九分之五千九百二十一】其故何也？曰：长亷小隅之差也。何以言之？曰：立方之有竒零，其在平亷者实，其在长亷小隅者虚。何也？平亷之虚者一面，而长亷虚两面，小隅虚三面，故也。今以十九分为一步，其立方积【六千八百五十九分】为步法，以十九分除之，得每【三百六十一】为分法。平亷每步【横十九分，直十九分，髙九分，积三千二百四十九】分法除之，得九，是为十九分之九，适合命分之数也。若长亷【横九分直十九分髙九分积一千五百三十九分】分法除之，得四分有竒而已。以较平亷九分之积【三千二百四十九】少【一千七百一十分】三长亷共【六步】共少【一万○二百六十分】步。法除之，得一步又三千四百○一分为长亷差。若小隅【横直髙各九分积七百二十九分】分法除之，得二分有竒而已。以较平亷九分之积【三千二百四十九】少二千五百二十分为隅差。合亷隅两差计之共少一步，又六千八百五十九分之五千九百二十一。

以图明之丑寅为立方一步之形，每步通为十九分，横直髙各十九分，积六千八百五十九分，是为步法。以十九分除步法，得三百六十一分，是为分法。

亷隅总图【见左】甲乙丙三平亷也，纵横各方二步，通为三十八分，厚九分，积一万二千九百九十六分，三亷共三万八千。

九百八十八分丁戊巳三长亷也各长二步通为三十八分厚濶各九分积三千○七十八分三亷共九千二百三十四分庚小隅也长濶髙皆九分积七百二十九分三长廉三平廉一小隅共包一正方形在内。正方形纵横各二步，通为三十八分。积五万四千八百七十二分。总形方二步九分，通为四十七分，髙如之。积一十○万三千八百二十三分，以步法除之，得一十五步有竒，不满原实一步，又五千九百二十一分。平亷方二步，其容四步，即辛、壬、癸。子之分形也，每步纵横皆一步通。为十九分厚，皆九分，积三千二百。四十九【辛一形积如此壬癸子者同】以分除之，适得九分。长亷长二步【如丑寅合形】通为三十八。分厚九分，皆与平亷同，所不同者。平亷濶十九分而长亷濶只九分。故长亷二步尚不及平亷一步之积，以积计之，每长亷一步【如丑形】积一千五百三十九分，较平亷每步之积【如丑夘合形】少一千七百一十分【如丑之虚分夘】三长亷计六步，共少一万○二百六十分，是为长亷之差。小隅横直髙皆九分【如未形】于平亷。一步之积，不及四之一；以积计之。小隅之积，七百二十九，较平亷一。步之积【如未申合形】少二千五百二十分【如未之虚分申】是为小隅之差。合二差共一步五千九百二十一分。今考定开立方亷隅差法，法曰：凡立方有命分者，如法以分母【即命分】通其整而纳以分子【即得分】为立方全数，以全数自乘再乘得数为立方通积。另置命分【母数】与得分【子数】各自乘得数，以相减，用其余数以乘得分，得数为隅差。又置命分与得分相减，用其余数转与得分相乘，以乘命分，得数是为长亷每步虚数。又以长亷法乘之，得数为长亷差。合二差数以加通积为实，以命分自乘再乘得数为法，除之即适还原数。如所设立方积十七步，开得立方二步又十九分。之九法以分母【十九】通立方二步而以分【子九分】纳之共【四十七分】为立方全数。以全数自乘再乘得【一十○万三千八百二十三】为通积。另置命分【十九】自乘得【三百六十一】内减分子【九】自乘【八十一】余【二百八十分】以分子【九】乘之得【二千五百二十分】为隅差。又置命分【一十九】内减得分【九】余十分转乘得分【九】得【九十分】以乘命分【十九】得【一千七百一十分】为长亷每步虚数。又以长亷法【六步】乘之得【一万○二百六十分】为长亷差。合二差共一万二千七百八十分，以加通积共得一十一万六千六百○三分为实。以命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分为法，以除实得一十七步，合原积。

厯算全书卷三十三

笔算自序或问：“笔算，西人之法耳，子何规规焉？”曰：“非也。自图书启而文字兴，参两倚数，毕天下之能事。六书九数，皆原于易，非二事也。古人算具以筹策纵横布列，畧如筮法之挂扐。其字象形为祘，是故其纵立者一而一，其上横者一而五。珠盘之位，实此权舆。夫用蓍在立卦之后，则筹策之算必不在文字先矣。是故筹策之未立，形声防画自足以用，而筹策之所得，又将纪之简策以诏方来。书与数之相须，较然眀也。近数百年间，再变而为珠盘，踵事生新，以趋简易。然观九章中盈朒方程，必列副位，厥用仍资笔札，其源流不可想见与？故谓笔算为西人独智者，非也。曰：今所传《同文算指》《西镜録》等书，亦唐九执厯、元明间回囘土盘之遗耳。与中算固各有本末矣。曰：“是则然矣。然安知九执以前不更有始之始者乎？西人之言厯也，自多禄某以来，二千年屡变而宻，溯而上之，亦不能言其始于何人。其为算也，亦若是己矣。夫古者圣人，声教洋溢，无所不通。南车记里之规，随重译而四逹。我则失之，彼则存之。乌乎识其然？乌乎识其不然耶？且夫治理者以理为归，治数者以数为断。数与理协，中西非殊。是故礼可以求诸野，官可以问诸郯，必以其西也而摈之，取善之道，不如是隘也。况求之于古，抑实有相通之故乎？”曰：“然则子何以易衡而直？”曰：“旁行者，西国之书也。天方国字自右而左，欧逻巴字自左而右，皆衡列为行。彼中文字尽然也。彼之文字既衡，故笔算亦横，取其便于彼用耳，非求异于我也。吾之文字既直，故笔算宜直，亦取其便于用耳，非矜胜于彼也。又何惑焉？”问者以为然，遂书其语为序。康熙癸酉二月初吉，宣城梅文鼎撰。

发凡笔算之便与筹算同，然筹仍资笔，而笔则无假于筹，于文人之用尤便【笔算无歌括，最便学习，又无妨酬应，乆可覆核，皆与筹算同，详筹算书】笔算易横为直，以便中土。盖直下而书者，中土圣人之旧，而吾人所习也。与筹算易直为横，其理正同。笔乗原法，以法实相叠，殊混人目。今所更定者，一纵一横，法实各居其所，而纵横相遇处，得数生焉。不惟便用而已，其所以然之理，亦按图可知。笔除原法，得数与原实相离，定位易淆。今所更定者，法实与得数两两相对，算理井然，定位尤简。【所谓原法者，并据同文算指，乃西土之旧式，利西泰所授，而李水部之藻所刻也。厥后有《西镜録》等书，稍稍讲明定位之用，盖亦酌取中法而为之。然于古人实如法而一之防，似犹有隔。兹以法上得零之诀定之，庶令学者一望而知所兾。髙贤有以教之，幸甚】

钦定四库全书