<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

因有续商，故方根以十数见。例方积以尾○定位，无次商者去尾○用之，则方根只为单数。

多【如第一亷用初商立积二亷则初商幂逓减以至三亷则初商只用根】近小隅者次商乗之遍数多【如第一亷只用次商根第二亷则次商亦用幂三亷则逓加而用次商立积】各乗方皆如是开诸乗方大法诸乗方法，惟平方为用最多，因有専法。今自平方、立方推之，三乗以上至于多乗，而通为一法，是为大法【诸乗方大法可以开平方，而平方専法不可以开诸乗方】总法，凡诸乗方，皆先列实，次作防分段，次查表以定初商，次求亷隅以定续商。列实之法，依勿庵笔算，作平行两直线，以设积纪于右直线之右，皆自上而下至单数止，无单数者作○，存其位。作防分段之法，皆于原积末位单数作一防起【凡减隅积必至单位，故分段之法以此为宗。同文算指但言起末位，殊混】依各乗方宜以若干位为一段，即隔若干位防之【或作实防、丶或作虚防□，俱可，然虚防尤便，以减商积时有借上位之防，免凌杂也】如平方以每两位为一段，则隔一位防之；立方以三位为一段，则隔两位防之；乃至十二乗方以十三位为一段，则隔十二位▯之，并同一法。谨案：作防分段，其用有二：一以定开方有若干次也。如有一防，则只开一次；有两防，则开二次；三防，则开三次之类。一以定开方所得为何等数也。如只有一防，则初商即单数；二防，则初商是十数；三防，则初商是百数之类。是故初商减积，必至于最上防而止也。次商减积，必至于次防而止也。每开一次，必减积一次，而所减之数必各尽于其作防之位，亦可以验开方之无误也。又最上防以上，初商实也；次▯以上，次商实也。每商皆以防位截实，此法于初商尤为扼要。又案开方分段，古人旧法之精，钱塘吴信民《九章比类》，山隂周述学《厯宗算防》，悉着其説，而《同文算指》《西镜录》本其意以作防定之，施于笔算为极善也【鼎于三十年前见《同文算指》作防之法，惊叹其竒，后读诸书，始知其有所祖述，非西人创也】初商之法，皆以最上一防截原积若干位为初商，实乃查初商表，视本乗方下数有与实相同或较小于实者录之，纪于左线之左【皆以表数末位对右线上原实最上▯纪之】是为初商应减之积。即于本表旁行查方根，纪于左线之右【皆对所纪表数首位进一位纪之】是为初商数。以初商应减之积【左行所纪】与初商实【右行最上防所截原实】对位相减【皆以左减右须依笔算从小数减起如左行减数大右行实数反小而不及减则作防于上一位借十数减之】减不尽者为余实，以待续商。凡原实有二▯则初商为十数而有次商；有三防，初商为百数而有次商及三商，以上仿论。如实只一防，则初商即是单数，无续商。次商之法，皆以第二▯截余实为次商实。凡初商皆为方积，次商以后则有亷积、隅积。先求亷率，查亷率立成本乗方。亷率有若干等等，有若干数，平列之为若干行，谓之定率【如平方只一种亷，其定率二；立方有二种亷，曰平亷，曰长亷，其定率并三；若三乗方则有三种亷，曰一亷，曰二亷，曰三亷，其定率曰四，四六，曰四，详后式】每増一乗，即亷増一等，而定率増一行【有亷之等，有亷之数，如平方有二亷，立方有三平亷，三长亷，此亷之数也；平方之两亷同积共为一等，立方之三平亷同积为一等，三长亷同积为一等，共为二等，此亷之等也；亷率中兼此二义】求亷泛积，以各亷定率乗初商应有各数，各依本乗方减小一等用之，亷多者又递减挨次乗之，至根数止，是为泛积【有初商数，即各带有自乗幂积、二乗、立积，乃至三乗以上各积，是为应有各数也。今求泛积，当依本乗方减小一等用之，如平方只用根数，立方用初商幂积，乃至十二乗方用初商十一乗，此为减小一等也。至第二亷，则立方用初商根，三乗方用初商再乗，乃至十二乗方用初商十乗，此为亷多者二亷以上，又逓减挨次乗之也。逓减至初商根，则为末后一亷矣，故曰至根数止】

求防商数以泛积约余实得之求亷定积，以各亷泛积乗次商数，亷多者逓増一等，挨次乗之，至本乗方减小一等止，是为定积【凡第一亷泛积皆乗次商根而得定积，有第二亷则以次商自乗积乗之，有三亷则以次商立方积乗之，是为逓増一等也。然增不得至本乗方，但增至本乗方减小一等数，即为末后一亷矣】求隅积，以次商数查初商表，各依本乗方取之【以次商对横行根数，以本乗方对直行，纵横相遇得之】列于亷积之后一行，是为隅积【小隅体势并同初商大方，如平方则隅即小平方，立方则隅即小立方，三乗方之隅亦为小三乗方，四乗以上并同，故可借初商表用之】求亷隅共积，以所得各亷定积及隅积用并法并之，即得。求次商定数，以所得亷隅共积纪左线之左【又在表数之左，以末位对第二防纪之为次商应减之数】与次商实【右行第二防所截】对位相减【以左减右】减不尽者又为余实，以待三商，遂纪次商数于初商之下为次商定数。如亷隅共积大于次商实，不及减，则改次商至及减而止，乃为次商定数。

三商以后并同上法不论三商、四商，乃至多商，其亷定率不变。但求泛积时，三商则并初商、次商两位商数合而用之；四商则并前三次商数，皆取其应有各数，以乗定率而得泛积，亦如上法之用初商。其求定积，则三商即用三商之数，四商即用四商之数，以乗泛积而得定积，亦如上法之用次商。余法并同次商。审○位之法，凡亷泛积大于余实，或仅相等而无隅，不能商一数，是次商为○位也。即纪○位于先商之次，而并下一防余实为续商余实。次商单一之法，凡泛积与实仅同而有隅，一是商得一数也，即以泛积为定积，不必更乗次商【惟单一则然，若商得一十一、百、一千，仍须如法乗之】

开平方【即一乗方】设平方积三千三百四十四万三千○八十九，问方根若干？

答曰五千七百八十三列实法【先作两直线，次以方积三三四四三○八九列】右线之右】作▯【法于实末位单数作一防起逆上每隔一位，防之有四，防宜商四次，初商是千】初商法曰【用最上一防截原实，两位三三为初商，实查表有小于实三三】【者是二五，其方根五，即以五为初商，对实首上一位，书于左线之右，却以表数二五，对实三三，书左线之左，与原实对减，先于实次位减五，实系三不足减，作防借上一数为十三，减去五余八，改书八于实三之右，次于实首减二，原实是三，因借下去一只，得二减尽，乃作线抹去三三，存八以待次商，亦于左作线抹去减数二五】求次商，用第二防上余实八四四为次商实。

隅　　　　　　　　　　次商自乗　四九○○○○亷隅共积，并得七四九○○○○次商法曰【置亷率立成内，定率二乗初商五千，得一万为泛积，乃约实作七百，定为次商，即以泛积乗之，得定积七百万，再用次商自乗为隅，其积四十九万，并定积成七百四十九万，即亷隅共积也，俱如式列之。于是将次商七续书初商五之下，又将共积七四九对实八四四书左线之左，以减实余九五，乃作线抹去八四四，亦于左作线抹去七四九】求三商，用第三防上余实九五三○为三商实。

隅　　　　　　　　　三商自乗　　　　六四○○亷隅共亷　　　并　　　得　　　　九一八四○○三商法曰【复置定率二以乗初商次商合数五千七百得一万一千四百为泛积乃约实作八十为三商即以泛积乗之得定积九十一万二千三商亦自乗为隅得积六千四百以并定积成九十一万八千四百为亷隅共积俱如式列之再将三商八十挨书次商七百之下而以其亷隅积九一八四对实九五三○书于左线之左去减实余三四六即改书之以待四商作线抹去九五三○左亦作线抺去九一八四】求四商，用第四防上余实三、四、六、八、九为四商实。

隅　　　　　　　　　　四商自乗　　　　　九亷隅共积，并得三四六八九。四商法曰【用定率二乗初商，次商，三商合数五千七百八十，得一万一千五百六十，为泛积。乃约实可商三，定为四商。即以泛积乗之，得定积三万四千六百八十四。商三自乘得九，为隅积。并定积成三万四千六百八十九，是为亷隅共积。各如式列讫。再将四商三挨书于三商八十之下，而以其亷隅积三四六八九对第四防实书于左线之左。就以减四商实，恰尽乃作线抹去之。左减数亦抺去】初商五千，有四防，故初商是千位。

次商七百三商八十四商单三凡开得平方根，五、七、千、百、八十三。还原法，置方根五千七百八十三，自乗得积三千三百四十四万三千○八十九，合原积。

开立方【即再乗方】设立方积一千○○七万七千六百九十六尺，问每面方若干？

答曰二百一十六尺依法列实，作防【自末位单数作一防起，逆。上每隔两位防之，有三防宜商三次】求初商【用最上一防截原实两位一○为初商实查初商表有小于一○者，是○八，其方根二，即以二定为初商，对实】【首上一位书左线之右而以其积数○八对实一○书左线之左对减初商实余二改书之以待次商】初商二百尺【有三防，初商是百】求次商，用第二防上余实二○七七为次商实。

依法求得次商一十尺【书于初商二百之下，而以其亷隅共积一百二十六万一千减防商实，余八一六，改书之以待三商】求三商，用第三防上余实八一六六九六为三商实。

隅　　　　　三　商　再　乗　　　　　　二一六亷隅共积，并得，八一六六九六。依法求得三商六尺【续书次商一十之下，而以亷隅共积八十一万六千六百九十六减三商实，恰尽】

凡开得立方根二百一十六尺还原，置方根【二百一十六尺】自之得【四万六千六百五十六尺】为平幂。又置平幂，以方根乗之，得一千○○七万七千六百九十六，合原数。

开三乗方设三乗方积一亿三千六百○四万八千八百九十六，问方根若干？

答曰一百○八依法列实，作防【自末位单数作一防。

起逆上每隔三位防之】

求初商　用最上一防截实首位一为初商实凡积一者，其根亦一，不必查表，竟以一为初商【其积与实对减恰尽】初商一百【有三防，初商是百】求次商，用第二防余实三六○四为次商实。

隅　　　　次　　商　　三　　乗　　一○○○○亷隅共积，并得，四六四一○○○○。依法求得亷隅共积四千六百四十一万，为次商一十之积，大于次商，实不及减，是无次商也。法于初商一百下书○。求三商，用第三防合上第二防，余实三六○四八八九六，共八位为三商实【三商减积至末位第三防，故合八位为其实】凡求三商，当合初商、次商两数乗定率以求泛积，今次商故只用初商数。

隅　　　三　商　自　乗　三　次　　　　　四○九六亷隅共积，并得，三六○四八八九六，依法求得三商八【续书次商○之下，而以其亷隅共积三千六百○四万八千八百九十六与余实相减，恰尽】

凡开得三乗方根一百○八还原，置方根【一○八】自乗得【一一六六四】为平幂。平幂又自乗，得一亿三千六百○四万八千八百九十六，合原积。或以方根一百○八自乗三次，亦同。开方简法，置三乗方积【一三六○四八八九六】以平方法开之，得【一一六六四】再置【一一六六四】以平方开之，得方根一百○八，合问。

开四乗方设四乗方积一十三亿五千○一十二万五千一百○七，问方根若干？

答曰六十七依法列实，作▯【自末位单数作一防。起逆上，每隔四位，防之共两防，宜商两次】

求初商　用最上一防截原实一三五○一为初商实【查表有七】【七七六小于实其根六即以六为初商而以其积七七七六对减初商实余五七二五改书之以待次商】初商六十【有两防，初商是十】求次商，用第二防上余实五七二五二五一○七为次商实。

隅　　　　次　商　四　　乗　　　　　　　一八六○七亷隅共积，并得，五七二五二五一○七，依法求得次商七【书于初商六十之下，而以亷隅共积五亿七千二百五十二万五千一百○七减次商实】凡开得四乗方根六十七。还原置方根【恰尽六】自乗四次，得积一十三亿五千○一十二万五千一百○七，合原数。

开五乗方设五乗方积一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万，问方根若干？

答曰五百一十列实【数以单位为根今原积尾位是百万故补六○列之】作防【自末单位】

【○上作一防起逆上每隔五位防之】　求初商【用最上一▯截原实五位一七五九六为初商实入表得五为初商对实首上一位录左线右即以其积数对实列左线左相减余一九七一改书之以待次商】　初商求到五百【有三防故初商是百】求次商【用第二防上余实一九七一二八七八○一为次商实】

隅次商五乗一○○○○○○亷隅共积并得一九七一二八七八○一○○○○○○依法求得次商一十【书初商五百之下，再将亷隅共积一千九百七十一万二千七百七十八亿○一百万去减次商实，恰尽】原实三▯，宜有三商，而次商已减实尽，无可商，作○于次商下。

凡开得五乗方根五百一十○还原置方根【五百一十○】自乗五次，复得一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万，合原积。

开六乗方设六乗方积三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八，问方根若干？

答曰三十二依法列实，作防【自末位单数作防起逆上，每隔六位，防之共两防，宜商两次】求初商，用最上▯截原实三、四、三、五为初商，实【查表】【得三为初商，书左线右，而以其积数二一八七，书左线之左，对减初商实，余一二四八，改书以待续续商】初商三十【有两防，故初商是十】求次商，用第二防上余实【一二四八九七三八三六八】为次商实。

隅　　　次　　商　　六　　乗　　　　　　　　　一二八亷隅共积，并，得，一二四八九七三八三六八，依法求得次商二【书初商三十之下，再以亷隅共积与次商实对减】

凡开得六乗方根三十二还原置方根【恰尽三】自乗六次得积【十二三四三五九七三八三】合原数。

开七乗方设七乗方积一千一百○○亿七千五百三十一万四千一百七十六，问方根若干？

答曰二十四依法列实　作▯【自末位单数作防起逆上，每隔七位，再作一防】求初商，用最上防截。

原实一一○○为初商实【查表得二，为初商，即以二书左线之右，而以其积二五六书左线之左，对减初商实，余八四四，改书之，以待续商】初商二十【有两防，初商是十】求次商，用第二防上余实【八四四七五三一四一七六】为次商实。

亷隅共积，并，得，八四四七五三一四一七六。依法求得次商四【书初商二十之下，再将亷隅共积八四四七五三一四一七六与次商实对减，恰尽】

凡开得七乗方根二十四还原，置方根【二十四】自乗七次，复得【一一○○七五三一四一七六】合原数。或以根【二十四】自乗得【五百七十六】为平幂，平幂又自乗得【三十三万一千七百七十六】为三乗方积，三乗方积又自乗得【一一○○七五三一四一七六】亦合原数。开方简法，置设积【一一○○七五三一四一七六】以平方法开之，得【三三一七七六】又置为实，以三乗方法开之，得方根二十四。或置设积【一一○○七五三一四一七六】用平方法连开三次，亦得方根二十四。

开八乗方设八乗方积一千六百二十八万四千一百三十五亿九千七百九十一万○四百四十九，问方根？答曰：四十九。列实【法同前】作防【自末位单数作防起逆上，每隔八位防之】求初商【用最上一】

【防截原实一六二八四一三为初商实查表得八乗方积二六二一四四其根四即以四定为初商书左线右而以其积数书左线左对减初商实余一三六六二六九以待次商】初商四十【有两防，初商是十】求次商，用第二防上余实【一三六六二六九五九七九一○四四九】为次商实。

隅，次，商，八，乗，三八七四二○四八九，亷隅共积，并，得，一三六六二六九五九七九一○四四九，依法求得次商九【书初商四十之下，再将亷隅共积对减次商实，恰尽】

凡开得八乗方根四十九还原置方根【四十四】自乗八次复得【一六二八四一三五九七九一○四四九】合原积。

开九乗方设九乗方积八十三兆九千二百九十九万三千六百五十八亿六千八百三十四万○二百二十四，问方根若干？

答曰六十二列实【法同前】作▯【自末位单数作▯起逆上每隔九位▯之】

求初商【如法用最上一▯原积八位截为初商实查表得九乗方根六即以六为初商而以其积数六○四六六一七六减初商实余二三四六三七六○待续商各如法书之】初商六十【冇两▯，初商是十】求次商，用第二▯上余实二三四六三七六○五八六八三四○二二四为次商实。

隅　　　　　　　次商九乗　　　　　一○二四亷隅共积，并得。二三四六三七六○五八六八三四○二二四，依法求到次商二【书于初商六十之下，乃以其亷隅共积二十三兆四千六百三十七万六千○五十八亿六千八百三十四万○二百二十四减次商实，恰尽】

凡开得九乗方根六十二又法　置九乗方积【八三九二九九三六五八六八三四○二二四】以平方法开之得【九一六一三二八三二】为四乗方积　再以四乗方法开之得方根【六十二】或置九乗方积【八三九二九九三六五八六八三四○二二四】以四乗方开之得【八三四四】再以平方开之得方根【六十二】并同。还原，以方根【六十二】自乗，九次得原积。或以原根【六十二】自乗四次得【九一六一三二八三二】为四乗方积，再以四乗积四乗得原积，亦同。

开十乗方设十乗方积七千四百三十○亿○八百三十七万○六百八十八，问方根？

答曰一十二依法列实　作防【自末位单数作一防，起逆上，每隔十位，再作一防】求初商【用最上防截实首位七为初商实查表得十乗方根，一定为初商，即以其积一】【减初商实七余六，改书之以待续商】初商一十【有二，防初商是十】求次商，用第二防上余实六四三○○八三七○六八八为实。

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

隅　　　　次　商　十　　乗　　　　二○四八亷隅共积，并得，六四三○○八三七○六八八。依法求得次商二【书初商一十之下，再将亷隅共积减次商实恰尽】还原。置方根【一十二】自乗十次，复得七千四百三十○亿○八百三十七万○六百八十八，合原积。又法：置方根【一十二】自乗【一四四】为平幂，平幂自乗【二○七三六】为三乗方积，三乗方又自乗得【四二九九八一六九六】为七乗方积，再以根再乗之，立积【一七二八】乗之，得十乗方积。

开十一乗方设十一乗方积七千三百五十五万八千二百七十五亿一千一百三十八万六千六百四十一，问方根若干？

答曰二十一列实【法同前】作防【自末位单数作防起】

逆上每隔十一位防之】求初商，用最上一防截实七三五五为初商，实查表得十一，乗方根二定为初商【以其积四○九六对减初商实，余三二五九，以俟续商，皆各如法书之】初商二十【有二，防初商是十】求初商，用第二防上余实【三二五九八二七五一一三八六六四一】为次商实。

亷隅共积，并得，三二五九八二七五一一三八六六四一，依法求得次商一【书初商二十之下，其亷隅共积三千二百五十九万八千二百七十五亿一千一百三十八万六千六百四十一，减余实恰尽】

凡开得十一乗方根二十一还原，用方根【二十一】自乗十一次，复得原积。又法，置方根自乗，再乗得【九二六一】为立方积。立方积自乗得【八五七六六一二一】为五乗方积。五乗方积又自乗得十一乗方原积。开方简法，置设积【七三五五八二七五一一三八六六四一】以平方法开之，得五乗方积【八五七六六一二一】又置为实，以五乗方法开之，得根二十一。

开十二乗方设十二乗方积一十五兆四千四百七十二万三千七百七十七亿三千九百一十一万九千四百六十一，问方根若干？

依法列实，作防【自末位单数作防起，逆上隔十二位防之】求初商，用最上一防截原实一五四四七为初商实，查表得十二，乗积【八一九二】其方根二，即以二定为初商【其积数与实对减余七二五五，再俟续商】求初商，用第二防上余实七二五五三三七七七三九一一九四六一为次商实。

亷隅共积，并得七二五五二三七七七三九一一九四六一。依法求得次商一【书于初商二十之下，再将亷隅共积七兆二千五百五十二万三千七百七十七亿三千九百一十一万九千四百有六十一以减余实，恰尽】

凡开得十二乗方根二十一还原，置方根二十一，自乗十二次，复得原积。或以方根【二十一】自乗，得【四四一】再乗得【九二六一】三乗得【一九四四八一】为三乗方积。即以三乗方积自乗，得【三七八二二八五九三六一】再自乗得【七三五五八二七五一一三八六六四一】为十一乗方积。又置为实，而以方根【二十一】乗之，得十二乗原积。又法，以方根自乗再乗得【九二六一】为立方积。就以立方积自乗三次，得【七三五五八二七五一一三八六六四一】为十一乗方积，如前，再以方根乗之，亦得原积。

又法　以根【二十一】自乗之平方【四四一】为法自乗四次得九乗方积【一六六七九八八○九七八二○一】再以根【二十一】再乗之立方【九二六一】乗之得十二乗原积并同论诸乗方简法凡开平方，二次即三乗方也。是为方之方，开平方、立方各一次。五乗方也可名为立方之平方，亦可名为平方之立方。开平方，三次，七乗方也。或三乗方，平方，各开一次，亦同。可名为平方之三乗，亦可名为三乗方之平方。开立方，二次，八乗方也。可名为立方之立方。开四乗方，平方各一次，九乗方也。可名为四乗方之平方。开平方、二次、立方、一次、十一乗方也。或三乗方、立方各一次，亦同。可名为三乗方之立方，亦可名为立方之三乗方。按惟四乗方、六乗方、十乗方不能借用他法同文算指。谓四乗方开二次为六乗方，又谓四乗方开三次为十乗方，非也。且四乗方平方各一次，已为九乗方矣，安得有开四乗方二次而反为六乗，开四乗方三次而止为十乗乎？必不然矣。

演诸乗方逓増通法平方积自乗为三乗方。立方积自乗为五乗方。三乗方积自乗为七乗方。四乗方积自乗为九乗方。五乗方积自乗为十一乗方。六乗方积自乗为十三乗方。七乗方积自乗为十五乗方。八乗方积自乗为十七乗方。九乗方积自乗为十九乗方。十乗方积自乗为二十一乗方。十一乗方积自乗为二十三乗方。十二乗方积自乗为二十五乗方。十三乗方积自乗为二十七乗方。十四乗方积自乗为二十九乗方。十五乗方积自乗为三十一乗方【以上并超两位】平方积再自乗为五乗方。立方积再乗为八乗方。三乗方积再乗为十一乗方。四乗方积再乗为十四乗方。五乗方积再乗为十七乗方。六乗方积再乗为二十乗方。七乗方积再乗为二十三乗方。八乗方积再乗为二十六乗方。九乗方积再乗为二十九乗。十乗方积再乗为三十二乗方【以上并超三位】平方积自乗三次为七乗方。立方积自乗三次为十一乗方。三乗方积自乗三次为十五乗方。四乗方积自乗三次为十九乗方。五乗方积自乗三次为二十三乗方。六乗方积自乗三次为二十七乗方。七乗方积自乗三次为三十一乗方【以上并超四位】平方积四乗为九乗方。立方积四乗为十四乗方。三乗方积四乗为十九乗方。四乗方积四乗为二十四乗方。五乗方积四乗为二十九乗方【以上并超五位】平方积五乗为十一乗方。立方积五乗为十七乗方。三乗方积五乗为二十三乗方。四乗方积五乗为五十九乗方【以上并超六位】平方积六乗为十三乗方。立方积六乗为二十乗方。三乗方积六乗为二十七乗方。四乗方积六乗为三十四乗方【以上并超七位】平方积七乗为十五乗方，立方积七乗为二十三乗方，三乗方积七乗为三十一乗方【以上并超八位】平方积八乗为十七乗方，立方积八乗为二十六乗方，三乗方积八乗为三十五乗方【以上并超九位】平方积九乗为十九乗方，立方积九乗为二十九乗方【以上并超十位】

【平方至十二乗方已有初商表，其十三乗以后不及详列，推以根之为二为三者演之，至三十二乗以见其意】根二【至三十二乗则有十位】根三【至三十二乗则有十六位】【十三乗】一六三八四，四七八二九六九。【十四乗】三二七六八，一四三四八九○七。【十五乗】六五五三六，四三○四六七二一。【十六乗】一三一○七二，一二九一四○一六三。【十七乗】二六二一四四，三八七四二○四八九。【十八乗】五二四二八八，一一六二二六一四六七。【十九乗】一○四八五七六三四八六七八四四○一【二十乗】二○九七，一五二，一○四六，○三五三，二○三。【二十一乗】四一九四三○四，三一三八一○五九六○九。

【二十二乗】　　　八三八八六○八　　　　九四一四三一七八八二七【二十三乗】　　一六七七七二一六　　　二八二四二九五三六四八一【二十四乗】　　三三五五四四三二　　　八四七二八八六○九四四三【二十五乗】　　六七一○八八六四　　二五四一八六五八二八三二九【二十六乗】　　一三四二一七七二八　　　　七六二五五九七四八四九八七【二十七乗】　　二六八四三五四五六　　　二二八七六七九二四五四九六一【二十八乗】　　五三六八七○九一二　　　六八六三○三七七三六四八八三【二十九乗】　一○七三七四一八二四　　二○五八九一一三二○九四六四九【三十乗】　　二一四七四八三六四八　　六一七六七三三九六二八三九四七【三十一乗】　四二九四九六七二九六　一八五三○二○一八八八五一八四一【三十二乗】　八五八九九三四五九二　五五五九○六○五六六五五五五二三附开多乗方求次商防法列实作防，截实求初商，如常法。既得初商，减一等，自乗为亷积【加五乗方则用四乗】又以本乗方数加一为亷数【如五乗方则用六】亷数乗亷积得数为法，以除余实为次商。遂合初商次商数，依本乗方数乗之【如五乗方亦自乗五次】得积合原数，定所得为方根【如原积数少不及减则改次商及减而止】假如三乗方积五百七十六万四千八百○一，问方根若干？

答曰四十九如法于初，商表取三乗方积二五六。减原实定初商为四十余实【三二○四八○】一】为次商实，法置初商四○，自乗。再乗得【六四○○○】为亷积【本方三乗故亷积用再乗为减一等】又以四为亷数【三乗方故用四为亷数为加一数】亷数乗亷积得【二五六○○○】为法，以除次商实，得九为次商【得数可进一十，因欲存第二亷以下亷隅积数不得满除，只商作九数待酌】遂合初商次商共四十九，依法自乗得【二四○一】又以【二四○一】自乗得【五七六四八○一】以较原实相同，减尽即定四十九为三乗方根。

厯算全书卷五十九<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>钦定四库全书