三角法举要卷二

三角法举要卷二

算例三角形有三类一曰句股形即直角三邉形，也有正方角一，余并锐角。

一曰锐角形三角并锐一曰钝角形三角内有钝角一余并锐角以上三类总谓之三角形，其算之各有术。

句股形第一术。有一角一邉，求余角余邉。

内分二支一先有之邉为▯一先有之邉为句【或先有股亦同】假如【壬癸丁】句股形有丁角【五十七度】壬丁▯【九十一丈八尺】

求余角余邉一求癸丁邉术曰：以半径全数比丁角之余▯。若壬丁▯与癸丁句【半径即丁乙，余▯即甲丁】以丁乙比甲丁，若壬丁比丁癸】一率【原设▯】半径，一○○○○○为法。二率【原设句】丁角【五十七度】余▯五四四六四【相乘】三率【今有▯】壬丁邉九十一丈八尺【为实】四率【今所求句】癸丁邉，五十丈。法除实，得所求。一求壬癸邉。术曰：以半径比丁角之正▯若壬丁▯与壬癸股。一率【原设股】半径一○○○○○为法，二率【原设股】丁角【五十七度】正▯八三八六七【相乗】三率【今有▯】壬丁邉九十一丈八尺【为实】四率【今所求股】壬癸邉七十七丈法除实，得所求。一求壬角以丁角【五十七度】与象限九十度相减，得余三十三度，爲壬角。

计开先有之三件癸正方角【九十度】丁角【五十七度】壬丁▯【九十一丈八尺】

今求得三件癸丁旬【五十丈】壬癸股【七十七丈】壬角【三十三度】右例，先得▯，以求句股，也是为句股形第一术之第一支。

假如【壬癸丁】句股形，有丁角【六十二度】癸丁句【二十四丈】求余角余邉。

一求壬角以丁角【六十二度】与象限相减，得余二十八度，为壬角。【戊丙丁句股形，以戊丙切线为股，丙丁半径为句，戊丁割线为▯是丁角原有之线】【今壬癸丁句股形，既同丁角，则其比例等】

一求壬丁邉术为：以半径比丁角之割线，若癸丁句与壬丁▯一【原设句】半径，一○○○○○，为法二【原设▯】丁角【六十二度】割线，二一三○○五【相乗】三【今有句】癸丁邉，二十四丈【为实】四【所求▯】壬丁邉，五十一丈二尺。法除实，得所求一，求壬癸邉。术为：以半径比丁角之切线，若癸丁句与壬癸股。一【原设句】半径，一○○○○○为法。二【原设股】丁角【六十二度】切线，一八八○七三【相乗】三【今有句】癸丁邉，二十四丈【为实】四【所求股】壬癸邉，四十五丈一尺。法除实，得所求。计开。

先有之三件癸正方角，丁角【六十二度】癸丁句【二十四丈】

今求得三件壬角【二十八度】壬丁▯【五十一丈一尺】壬癸股【四十五丈一尺】右例先得句以求▯及股也。或先得股以求▯及句，亦同。是为句股形第一术之第二支。

句股形第二术　有邉求角亦分二支一先有二邉一、先不知正方角而有三邉【新増】假如【壬癸丁】句股形，有壬丁▯【一百零二丈二】癸丁句【尺四十八】

求二角一邉一求丁角术为以壬丁▯比癸丁句若半径乙丁与丁角之余▯甲丁一壬丁邉一百○二丈二尺，今有之▯为法二，癸丁邉四十八丈，今有之句【丈相】三，半径一○○○○○，原设之▯【乘为】四，丁角余▯四六九六六，法除实得所求原设句。依术求得丁角六十二度【实以所得余▯捡表即】

一求壬角以丁角【六十二度】与象限相减，得余二十八度，为壬角。一求壬癸邉。术为：以半径比丁角之正▯若壬丁▯与壬癸股。

一　半径　　　　　一○○○○○二丁角【六十二度】正▯八八二九五三　壬丁邉　　　　一百○二丈二尺四　壬癸邉　　　　　九十丈○二尺三寸计开先有之三件壬丁▯【一百○二丈二尺】癸丁句【四十八丈】癸正方角。

今求得三件丁角【六十二度】壬角【二十八度】壬癸股【九十丈○二尺三寸】

右例以邉求角而先知方角故只用二邉也是为句股形第二术之第一支【此先有二邉为▯与句故用正余▯若先有者是句与股则用切线其比例之理一也】

假如【壬癸丁】三角形有壬丁邉【一百○六丈】壬癸邉【九十丈】癸丁邉【五十六丈】求角。

一求癸角术以壬丁大邉与丁癸邉相加得【一】百六十二丈】为总，又相减得【五十丈】为较，以较乗总，得【八千一百丈】为实，以壬癸邉【九十丈】为法，除之。仍得【九十丈】与壬癸邉数等，即知。

癸角为正方角依术求得癸角为正方角，定为句股形。

一求丁角术为：以丁癸邉比壬癸邉，若半径与丁角之切线。

一　丁癸句　　五十六丈二　壬癸股　　九十丈三　半径　　　一○○○○○四　丁角切线　一六○七一四依术求得丁角五十八度○六分【以所得切线捡表即得】

一求壬角以丁角【五十八度○六分】与象限相减，得余三十一度五十四分，为壬角。

计开先有三邉壬丁邉【一百零六丈】壬癸邉【九十丈】癸丁邉【五十六丈】

求得三角癸正方角，丁角【五十八度零六分】壬角【三十一度五十四分】右例亦以邉求角，而先不知其为句股形，故兼用三邉，是为句股形第二术之第二支。

锐角形第一术，有两角一邉，求余角余邉。假如【乙丙丁】锐角形，有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁邉【一百二十尺】

先求乙角术以丙角【六十度】丁角【五十度】相并得【一百一十度】以减半周一百。

八十度余七十度为乙角次求乙丁邉术为以乙角正▯比丙丁邉若丙角正▯与乙丁邉一，乙角【七十度】正▯九三九六九。二，丙丁邉【即乙角对邉】一百二十尺。三，丙角【六十度】正▯八六六○三。四乙丁邉【即丙角对邉】一百一十尺○六寸次求乙丙邉术为：以乙角正▯比丙丁邉若丁角正▯与乙丙邉一，乙角【七十度】正▯九三九六九。二丙丁【乙角对邉】一百二十尺。三丁角【五十度】正▯七六六○四四乙丙【丁角对邉】九十七尺八寸计开先有之三件丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁邉【一百二十尺】

今求得三件乙角【七十度】乙丁邉【一百一十尺零六寸】乙丙邉【九十七尺八寸】右例先有之邉在两角之间也。若先有之邉与一角相对，亦同。盖三角形有两角，即有第三角，故无两法。

锐角形第二术，有一角两邉，求余角余邉。

此分二支一先有之角与一邉相对一先有之角不与邉相对假如【甲乙丙】锐角形，有丙角【六十度】甲丙邉【八千尺】甲乙邉【七千零三十四尺】

先求乙角术为以甲乙邉比甲丙邉，若丙角。

正▯与乙角正▯一甲乙【丙角对邉】七千○三十四尺二　甲丙【乙角对邉】　　　八千尺三，丙角【六十度】正▯八六六○三。

四　乙角　　正▯　九八四九六捡正▯表得乙角八十度，○三分。

次求甲角以丙角乙角相并，得【一百四十度○三分】以减半周，余三十九度五十七分，为甲角。

次求乙丙邉术为：以乙角之正▯比甲角之正▯，若甲丙邉之与乙丙邉。一，乙角【八十度○三分】正▯九八四九六。二甲角【三十九度五十七分】正▯六四二一二三　甲丙【乙角对邉】　　　　　八千尺四乙丙【甲角对邉】五千二百一十五尺，计开先有之三件丙角【六十度】甲丙邉【八千尺】乙甲邉【七千○三十四尺】

今求得三件乙角【八十度○三分】甲角【三十九度五十七分】乙丙邉【五千二百一十五尺】右例有两邉一角，而角与一邉相对，是为锐角形第二术之第一支。

假如【甲乙丙】锐角形，有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】角在两邉之中，不与邉对，求甲乙邉。

先求中长线分为两句股形术为以半径比丙角正▯若甲丙邉与甲丁中长线一　半径　　　　　一○○○○○二丙角【六十度】正▯○八六六○三三　甲丙邉　　　　四百尺四甲丁中长线三百四十六尺四寸一分，次求丙丁邉【即所分甲丁丙形之句，而甲丙为之▯】术为：以半径比丙角余▯，若甲丙邉与丙丁邉。

一　半径　　　　　一○○○○○二丙角【六十度】余▯五○○○○三　甲丙邉　　　　四百尺四　丙丁邉　　　　二百尺次求乙丁邉【即所分甲丁乙形之句，而甲丁为之股】以丙丁与丙乙相减，余六十一尺○八分，为乙丁。次求丁甲乙分角【即分形甲丁乙句股之甲角】术为：以甲丁中长线比乙丁分邉，若半径与甲分角切线。一，甲丁中长线，三百四十六尺四寸一分。

二　乙丁分邉　　　六十一尺○八分三　半径　　　　一○○○○○四　甲分角切线　　一七六三三捡切线表得一十度为甲分角末求甲乙邉术为：以半径比甲分角割线，若甲丁中长线与甲乙邉。

一　半径　　　　　　一○○○○○二甲分角【十度】割线一○一五四三三甲丁中长线三百四十六尺四寸一分四甲乙邉三百五十一尺七寸五分求甲全角以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求到甲分角【一十度】相并，得四十度，为甲全角。

求乙角以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周亦同】

计开先有之三件甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】

今求得三件甲乙邉【三百五十一尺七寸五分】甲角【四十度】乙角【八十度】右例有两邉一角，而角在两邉之中，不与邉对，故用分形以取句股，是为锐角形，第二术之第二支。

又术【新増】　用切线分外角假如【甲乙丙】锐角形有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】此即前例，但求甲角。术以【甲丙乙丙】两邉相并为总，相减为较又以丙角【六十度】减半周得外。角【一百二十度】半之得半外角【六十度】捡其切线，依三率法求得半。

较角以减半外角得甲角一，两邉总，六百六十一尺○八分。二，两邉较，一百三十八尺九寸二分。

三　半外角切线　一七三二○五四　半较角切线　　三六三九七捡切线表得【二十度】为半较角，转与半外角【六十度】相减，得甲角四十度。

次求乙角并甲丙二角，共【一百度】以减半周，得余八十度，为乙角。次求甲乙邉。一，甲角【四十度】正▯六四二七九。二丙角【六十度】正▯八六六○三三乙丙邉二百六十一尺○八分四甲乙邉三百五十一尺七寸五分锐角形第三术　有三邉求角假如【甲乙丙】锐角形，有乙丙邉【二十丈】甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】乙甲邉【一十三丈○五寸】术曰：任以【乙丙】大邉为底，从甲角。作甲丁虚垂线至底，分为两句股。

形一甲丁丙形，以甲丙邉为▯，丁丙。

为句一甲丁乙形，以甲乙邉为▯，丁乙为句。两▯相并为总，相减为较。两句相并【即乙丙邉原数】为句总，求两句相减之数为句较。术为以句总比，▯总若，▯较与句较也。一两句之总【即乙丙】二十丈。二两▯之总三十丈○六尺三寸五分。三两▯之较四丈五尺三寸五分。四两句之较【即丙戊】六丈九尺四寸六分求分形之两句以句较【六丈九尺四寸六分】减句总【二十丈，即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分，为【甲丁乙】分形之句。又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加句较【六丈九尺四寸六分即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分，为【甲丁丙】分形之句。

求丙角术为：以甲丙▯比丁丙句，若半径与丙角之余▯。一，甲丙邉，一十七丈五尺八寸五分。二，丁丙分邉，一十三丈四尺七寸三分。

三　半径　　　一○○○○○四　丙角余▯　　七六六一六捡余▯表得丙角四十度求甲角术先求分形大半之甲角以丙角【四十度】减象限，余五十度，为【丁甲丙】分形之甲角。

次求分形小半之甲角术为：以甲乙▯比丁乙句，若半径与分形甲角之正▯一　甲乙邉　　　一十三丈○五寸二，丁乙分邉。六丈五尺二寸七分。

三　半径　　　　一○○○○○四　甲分角正▯　　五○○一五捡正▯表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角。并分形两甲角【先得五十度，后得三十度】得共八十度，为甲全角，求乙角。倂丙甲二角共【一百二十度】以减半周，得余六十度，为乙角。计开先有三邉甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】乙丙邉【二十丈】乙甲邉【一十三丈○五寸】

求得三角丙角【四十度】甲角【八十度】乙角【六十度】

钝角形第一术，有两角一邉，求余角余邉。假如【乙丙丁】钝角形，有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙邉【五十四丈】

先求丁角术以丙乙二角并之，共【六十度半】以减半周，得余一百一十九度半。

为丁钝角次求乙丙邉术为：以丙角正▯比丁角正▯，若乙丁邉与乙丙邉。一，丙角【三十六度二十分】正▯五九四八二。二丁角【一百十九度三十分】正▯八七○三六三　乙丁邉　　　　　　五十四丈四　乙丙邉　　　　　七十九丈○一寸右所用丁角，正▯即六十度半，正▯以钝角度减半周用之，凡钝角并同。

求丁丙邉术为：以丙角正▯比乙角正▯，若乙丁邉与丁丙邉。一，丙角【三十六度三十分】正▯五九四八二。二乙角【二十四度】正▯四○六七四三　乙丁邉　　　　　五十四丈四　丁丙邉　　　　　三十六丈九尺二寸计开先有之三件丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙邉【五十四丈】

今求得三件丁钝角【一百一十九度半】乙丙邉【七十九丈○一寸】丁丙邉【三十六丈九尺二寸】

钝角形第二术，有一角两邉，求余角余邉。

亦分二支一先有对角之邉一，先有二邉，皆角旁之邉，而不对角。假如【甲乙丙】钝角形，有乙角【九十九度五十七分】甲丙对邉【四千尺】甲乙邉【三千五百一十七尺】

求丙角术为以甲丙对邉比甲乙邉若乙角正▯与丙角正▯一　甲丙邉　　　　　　四千尺二甲乙邉三千五百一十七尺三乙角【九十九度五十七分】正▯九八四九六【即八十度三分正▯】

四　丙角　　　　正▯　八六六○三捡表得丙角六十度求甲角并乙丙二角【共一百五十九度五十七分】以减半周，得余二十度○三分为甲角。

求乙丙邉术为：以乙角之正▯比甲角之正▯，若甲丙对邉与乙丙邉。一，乙角【九十九度五十七分】正▯九八四六九。二甲角【二十○度三分】正▯三、四二八四三　甲丙邉　　　　　　四千尺四乙丙邉一千三百九十二尺，计开先有之三件乙钝角【九十九度五十七分】甲丙邉【四千尺】甲乙邉【三千五百一十七尺】

今求得三件丙角【六十度】甲角【二十度○三分】乙丙邉【一千三百九十二尺】右例有两邉一角，而先有对角之邉，是为钝角形，第二术之第一支。

假如【乙丁丙】钝角形，有乙丁邉【一千零八十尺】乙丙邉【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】角在两邉之中，不与邉对。术先求形外之虚垂线，补成正方角。从不知之，丙角作虚垂线于形外。如丙戊，亦引乙丁线于形外，如丁。

戊两虚线遇于戊成正方角术为：以半径比乙角正▯若乙丙邉与丙戊一　半径　　　　　一○○○○○二乙角【二十四度】正▯四○六七四三　乙丙邉　　　　一千五百八十二尺四丙戊邉【即虚垂线】六百四十三尺。又以半径比乙角之余▯若乙丙邉与乙戊。

一　半径　　　　　一○○○○○二，乙角【二十四度】余▯九一三五五。

三　乙丙邉　　　　一千五百八十二尺四乙戊邉【即乙丁引长线】一千四百四十五尺。以原邉乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊邉相减，得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚句股形之句【则先得丙戊垂线为股，而原邉丁丙为之▯】

求丁丙邉依句股求▯术，以丙戊股自乗【四十一万三千四百四十九尺】丁戊句自乗【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实，平方开之，得▯七百三十九尺，为丁丙邉。

求丙角术为：以丁丙邉比丁乙邉若乙角正▯与丙角正▯。

一　丁丙邉　　　　　七百三十九尺二　丁乙邉　　　　一千○八十尺三乙角【二十四度】正▯四○六七四四　丙角　　正▯　五九四四二捡表得丙角三十六度二十九分。

求丁角并乙丙二角共【六十度二十九分】以减半周，得余一百一十九度三十一分，为丁钝角。

计开先有之三件乙丁邉【一千零八十尺】乙丙邉【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】

今求得三件丁丙邉【七百三十九尺】丙角【三十六度二十九分】丁钝角【一百一十九度三十一分】右例有两邉一角，而两邉并在角之两旁，不与角对，是为钝角形。第二术之第二支。

又术【新增】　用切线分外角假如【乙丙丁】钝角形，有丁乙邉【五百四十尺】丙乙邉【七百九十一尺】乙角【二十四度】角在两邉之中，不与邉对，求丙角。

以【丁乙丙乙】两邉相并为总，相减为较。又以乙角【二十四度】减半周，得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】捡其切线得四七○四六三。术为：以邉总比邉较，若半外角切线与半较角切线。一，两邉之总，一千三百三十一尺。

二　两邉之较　　　二百五十一尺三　半外角切线　四七○四六三四　半较角切线　　八八七一九捡表得半较角【四十一度三十五分】以转减半外角【七十八度】得余三十六度二十五分，为丙角。

求丁角并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周，得一百一十九度三十五分，为丁钝角。

求丁丙邉术为：以丙角正▯比乙角正▯，若乙丁邉与丁丙邉。一，丙角【三十六度二十五分】正▯五九三六五。二乙角【二十四度】正▯四○六七四三　乙丁邉　　　　　　五百四十尺四丁丙邉三百六十九尺九寸八分，计开先有之三件丁乙邉【五百四十尺】丙乙邉【七百九十一尺】乙角【二十四度】

今求得三件丙角【三十六度二十五分】丁钝角【一百一十九度三十五分】丁丙邉【三百六十九尺九寸八分】

钝角形第三术，有三邉求角【新式】假如【乙丙丁】钝角形，有乙丙邉【三百七十五尺】乙丁邉【六百○七尺】丁丙邉【三百尺】术自乙角作虚垂线至甲，又引丁。丙线横出，遇于甲而成正方角，则成乙甲丁句股形又引横线至辛，使甲辛如丙，甲成。乙甲辛，句股形，则丁辛为两句之总而所设丁丙邉为两句之较又乙丁邉为大形【乙甲丁】之▯，乙丙邉为小形【乙甲辛即乙甲丙】之▯，两▯相并为总，相减为较。术为以句较比，▯较若▯总，与句总。

一　句较【即丁丙邉】　　　　三百尺二▯较【即乙丁内减乙丙之余】二百三十二尺。三▯总【即乙丁乙丙二邉相并】九百八十二尺。

四　句总　　　　　　七百五十九尺四寸以句较【三百尺】减所得句总【七百五十九尺四寸】余数【五百二十九尺四寸】为大形之句甲丁。

求丁角【用乙甲丁大形】术为：以乙丁▯比丁甲句，若半径与丁角之余▯。

一　乙丁▯　　六百○七尺二　甲丁句　　五百二十九尺七寸三　半径　　　一○○○○○四　丁角余▯　　八七二六五捡表得丁角二十九度一十四分。

求丙角【用乙甲丙小形】术为：以甲丙句比乙丙▯，若半径与丙角之割线。

一　甲丙句　　二百二十九尺七寸二　乙丙▯　　三百七十五尺三　半径　　　一○○○○○四　丙角割线　一六三二五六捡表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角，以减半周，得丙钝角一百二十七度四十六分。

求乙角并丁丙二角所得度分【共一百五十七度】以减半周，得余二十三度，为乙角。

计开先有三邉乙丙邉【三百七十五尺】乙丁邉【六百七尺】丁丙邉【三百尺】

求得三角丁角【二十九度一十四分】丙钝角【一百二十七度四十六分】乙角【二十三度】右例钝角形三邉求角，作垂线于形外，径求钝角，乃新式也。若以大邉为底，从钝角分中长线，同锐角第三术。