<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>

作筹之理凡筹每行以曲线界之，成两位。其下为本位，上为进位。假如本位一两，则进位为十两。凡列两筹，则行内成三位，下之进位与上之本位两半圆合成一位，故也。列三筹，则成四位。列四筹，则成五位。五筹以上，皆仿此。凡筹有明数，有暗数。明数者，筹面所有之数是也。暗数者，行数也。假如第一行，即为一数；第二行，即为二数。凡筹与行数相因而成积数，假如第二筹之第四行，即为八数；第九筹之第八行，即为七二数。

筹算之资凡用筹算，当先知并减二法。今各具一则。

并法并者，合也。合众散数为一总数也。又谓之垜积。其法，先列散数，自上而下，对位列之：千对千，百对百，十对十，单对单，以类相附。列讫，并为一总数。其法，从最下小数起，自下而上，如画卦之法。数满十者，进位作暗马，而本位书其零。

恐混原数故以此别之便覆核也假如有米三千四百八十石，又五千○六十八石，又二万六千九百石，合之共几何？

如图散数三宗依法并之为一总数得三万五千四百四十八石减积法减者，去也。于总数内减去几何，则知其仍余几何也。减与并正相反，减而剰者谓之减余。其法以应减去之数列左，以原有之总数列右，而对减之。千对，减千；百对，减百；十对，减十；单对，减单。减而尽者，抹去之；减而不尽者，改而书之。本位无数可减，合上位减之。假如欲减八十，而原数只有七十，但其上位有一百，则合而减之。于一百七十内减八十，仍余九十。假如有银三十二万五千三百一十两，支放过二十九万五千三百○五两，仍余几何？

依法减之仍余三万○○○五两十万千百十两如图，先于三十万内减二十万，余一十万，改三为一，次减九万，而万位无九，合上位共一十二万，减之。

余三万抹去一二改书三次减五千，次减三百，皆减尽，皆抹去之。书作○。次减五两，而两位无五，于一十两内减之，抹去一。○改书○五，减讫，余二○○○三。凡算，有乘，有除。乘者，用并法；除者，用减法。

筹算之用凡算，先别乘除。乘除皆有法实。实者，现有之物也。法者，今所用以乘之、除之之规则也。凡筹算皆以实列位而以筹为法，法有几位则用几筹。如法有十，系两位则用两筹；法有百，系三位则用三筹。凡法，实不可误用。唯乘法，或可通融。若除法，必须细认，俱详后。

乘法勿庵氏曰：「凡理之可言者，皆其有数者也。数始于一，相縁以至于无穷。故曰：一与一为二，二与一为三。自此以徃巧厯不能尽乘之义也。故首乗法。」解曰：乗者，増加之义，其数渐陞，如乗髙而进也。亦曰因，言相因而多也。珠算有因法，有乗法，在筹算，总一乘法，殊为简易。法曰：凡两数相乘，任以一为实，一为法。假如以人数给粮，或以人为实粮为法，或以粮为实人，为法皆可。凡算先列实【列书之于纸或粉板亦可，依千百十零之位列之，自左而右】

次以法数用筹乘之法有几位则用几筹【假如法为六十四，则用第六、第四两筹；法为三百八十四，则用第三、第八、第四共三筹】

凡乘皆从实末位最小数起视原实某数，即于筹其行取数列之。【假如实是二，则取第二行数】

凡列乘数皆自下而上如画卦凡实有几位，挨次乗之。但次乗之数，必髙于前所列之数一位。【假如先乘者，是单次乗者，必是十，故进位列之】

乗讫乃以并法并之合问

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又法凡法尾空位者，省不乗，但于并数之后补作圏于其下，以存其位，尤为简捷。

如上图乘讫并得三○○○因法尾有空又补作一圏是为三○○○○则知所得三万定位法见前<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十>又若田为一亩二分，则所得为三合，何也？亩下有分，故得数之三○○其尾○，又是勺下之分也。此定位之精理，须细审之。

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十》>一四二四四四五七五共九位，因实尾空位【无零年故也】用省乘法，加一○于末位，下共十位，而以尾○命为分，得一十四万二千四百四十四日五十七刻五十○分，合问。

除法勿庵氏曰：「天地之道，盈虚消息而已。无有盈而不虚，无有消而不息。乘者，息也，盈也；除者，消也，虚也。二者相反而不能相无，其数每相当，不失毫厘，如相报也。」邵子曰：「算法虽多，乘除尽之矣。」故除法次之。解曰：「除者，分物之法也。原作几何，今作几分，分之则成各得之数，而除去原数也。」有归除，有商除，珠算任用，筹算则独用商除为便，以意商量用之，故曰商除。法曰：凡除以所分之物为实，今欲作几分分之为法，法与实须审定，倘一倒置，则毫厘千里矣【假如有粮若干分给若干人，则当以粮为实，以人之数为法除之，盖粮数是所分之物，人数是用以分之之法也，若倒用以粮分人，则所误多矣】凡法有几位，则用几筹。乃列实【自上而下直书之】视筹之第几行中积数有与原实相同者，或略少于实者，用其数以减原实而得初商。有不尽者，如法再商，或三商以上皆如之，实尽而止。余实不满法，以法命之。凡商数皆以筹之行数为其数【假如所减是等，第一行即商一数，第二行即商二数】书商数法曰：凡书商数，皆与减数第一位相对。若所减第一位是○，则补作○于原实首位上而对之【此定位之根】定位法曰：除毕以商得数，与原实对位求之，皆于法首位之上一位命为单数【程大位曰：归于法前得零，古法实如法而一，是也】此有二法。有法少实多者，从原实内寻法首位，认定逆转，上一位命为单数【如米则为单石，钱则为单文之类】既得单数，则上而十百千万，下而分秒忽微，皆定矣。此为正法。有法反多实反少者，乃变法也。法从原实首位逆溯而上，至法首位止。又上一位，命为单数【此是虚位，借之以求实数】既得单数，乃顺下求之，命所得为分秒之数。

初，商除尽式，法此欲分为七十二分也，故以七二为假如太阳每　　　　　法用两筹嵗行天三百，实三六○。如图，先列三百六十度。六十度分为，百十为实，次简两筹，行内有。七十二▯每，三六○与实相同，用减。

▯几何度　　　　　　　　　　　原实恰尽　次查所简【答曰】每▯五度，系筹之第五行，商作五。又查所减第一位是三，将商数五对三字书之。定位法曰：此法少于实也，宜于原实内寻十度位，即法首位也。法首再上一位为单度定，所得为五度。假令实是三千六百，则所得为五十度，如后图。定位法曰：此亦法少于实也。法亦于原实内寻法，首十位，再上一位为单。位单位空补作圏，再上一位是十度。定所得为五十度，用筹同而得数逈。

异定位之法所以当明也再商式，法此欲分为一十二分也，故以一二。

假如皇极经世　　　　为法用两筹一元共一十二，实，如图列实【一元总数】简万九千六百年，○一二九六○○，筹第一行是○一。分为一十二会。十万千百十年，二商作一数【第一行故】各几何【商一】减实一十二万。答曰：「每防一万，余九千六百，不尽。」○八百年，再用筹如法除之。又因所减数是○一二，故于原实首补作圏，而以商得一对此○位书之【即所减筹上第一位也】此定位之根不可错，须细审之。简两筹第八行是○九六与余实。相合再商八【第八行故也】减余实九千。

六百恰尽此所减数，亦是○九六，故以商得。

八进位书之以暗对其○如此审定，商数位置已知不错，而初商、次商隔一位不相接，是得数有空位也。乃于其间补作圏，为一○八。假如隔两位则作两圏，三位以上仿此求之。若非于商数审其位置，鲜不误矣。此算中一大闗键也，非此则不能定位。定位诀曰：「此亦法少于实也。从原实内寻法，首十位，再上一位是单年，单位空补作圏，又上一位是十十亦」。

【亦补作圈，又上一位是百知所】

【得为八百年，也知百知千万矣。定为一万○八百年，假如黄钟之法，此欲分得二】【千一百八十，实一十七万七，乃为一分，故以二一八七千】

【一百四十七为法用四筹】

【七其分法二千一百八十】

【七问若干分答曰八十一】

空二千一百八十七再商之简筹第一行是○二一八七，正合。

余实再商一除实恰尽次商一进位书暗对所减○位定位诀：从原实寻法，首位千逆转。

上一位得单分则余位皆定按筹算原书，于定位颇略。又其为法，原实横，而商数纵，各居其方，不相依附，定位颇难。故虽厯书间有讹位，今特详之。而两两直书于定位，尤易，亦足见余之非好为异也。

四商法假如有小珠三十，四此欲分为九分有【为主】竒也，万三千一百五十四故粒【则六分五厘是其竒零九分之分去声】换得大珠重九钱以为法，用筹三根【九六五】六分五厘每大珠一如后图列实，先简筹第钱换小珠【三】几何粒行略少，于【二八九五】实商减，答曰【三】每钱换三万五，实余实【二十八万九千】千五【五百五万三千】百六十粒以▯【六百五】续商以钱。次简筹第【五】行是【四八二五】为略少于余。实商【五】减余实【四万八千二百五十】仍余【五千】。

四百○四】以待第三商原实，又简筹第【五】行是【四八二五】为略少于余。实又商【五】减余实【四千八百二十五】仍余。商数【五百七十九】知尚有第四商也。又简筹第【六】行是【五七九○】与余实恰合。四次商数俱对首位，商作【六】除余实【五百七十九】恰尽。定位诀从原实中寻法首【单】位，逆转上一位得【单】粒，定所得为【三万五千五百六十○粒】命为大珠。每钱所换小珠之数五园。问曰：法是钱数，实是粒数，不类也，何定位亦如是准乎？勿庵曰：此定位之法所以的确不易也。且钱与粒不类，子疑之固矣。抑知单与单之为一类乎？葢所问是每钱若干，故钱数为单位。若问每分若干，则法首钱数为十位，得为【三千五百五十六】矣。故定位须详问意，乃要诀也。法有○筹式，法此欲分作【九百○七分】也，故以【九○七】

假如布二万　　　　　　为法用三筹一千七百六，如图简筹第【二】行。十八丈给与【一八一四】商作【二】减实。九百○七人【一万八千一百四十】余【三千六百】各几何【二十八丈】次简第【四】行答曰【每人二，三六十四丈，二八】商【四】除实尽。以上例皆法少于实，故法首在原实中，乃本法也。

以上两例皆法多于实者，其法首位或在原实中，必原实首位也；或不在原实中，则在其原实上几位，也要之，皆不能满法，其所得必为分秒，乃通变之法也。论曰：除者，分也。吾欲作几分？分之则为法，所分之物为实。所分之物能如所欲分之数，则为满法。满法则成一整数。假如【三十六】人分布而布有【三十六】丈，则各人分得一丈。古云：实如法而一，正谓此也。程大位《算法统宗》曰：归扵法前得零，其意亦同此立法之本意也。乃有所分之物原少于所欲分之数，是不满法也。既不满法则不能成一整数，而所分者皆分秒之数。假如【三十六】人分布【二十七】丈，则每人不能分一丈，只各得【七尺五寸】是于【一丈】内得其【七分五秒】也。然必先知整数，然后可以知分秒，故必于原实上虚拟一满法之位。若曰：能如此则分得整数矣，而今不能，则所分得者皆分秒也。于是视所拟整数虚位距商数若干位而命之。若相差一位，则得为十之一【如两有钱尺有寸】隔位则为百之一【如两有分丈有寸】此乃通变之法要，其为法上得零，则一而已矣。又论曰：「此原实即不满法也。若余实不满法，除之终不能尽，则以命分之法御之。」详后。

命分法法曰：「凡除法，商数至单已极，而有余实不尽者，不能成一整数也。则以法命之，此有二法。」一法，即以除法为命，分不尽之数为得分，则云几十几分之几。解曰：命分者，以一整数拟作若干分而命之，如满此数则成一整数，而今数少，故命之也。得分者，今所仅有之数，在命分数内得若干也【命分者，古谓之分母；得分者，古谓之分子】假如古厯以九百四十分为日法，每年三百六十五日又九百四十分日之二百三十五，约为四之一【约法见后】一法除之至尽，古厯家所谓退除为分秒是也。单下有一位，命为十分之几；有两位，命为百分之几十几；三位则命分千，四位则命分万，皆以除得数为得分。假如授时厯法，每嵗三百六十五日二千四百二十五分，是以万分为日，即命分也。

式如后假如五尺为歩，每方一歩，积二十五尺。今有积二百四十尺，得若干步？

答曰九步又五分步之三如图列实简筹第九行是二二五商作九【第九行故】减实二百二十。

五尺余一十五不尽以法命之命为九步又二十五分歩之一十五约为五之三【约分法见后】

若用第二命分法再列余实加○位商之以得其分秒如后余实下加一圈则一十五尺通为一百五十分可再商矣简等第六行是一五○商六分除余实恰尽命分九歩六分【即十分歩之六】。命分第二法，与法多于实除法同，故皆曰除分秒也】若余实为一十六尺，则又不尽一尺，法当于不尽一○之下再加一圈为一○○，使此一尺化为一百分而再除之，得四厘，共九歩六分四厘【即百分歩之六十四】

约分法约分者约其繁以从简也法曰：母数、子数平列相减，而得其纽数。即以纽数为法，转除两原数，而得其可约之分。凡约分相减，不拘左右，但以少减多。如左少右多，则以左减右；左多右少，则以右减左。若减之后，或多者变而少，则转减之，必减至左右相同，无可减而止，即纽数也【若一减之即得纽数，则不必转减】解曰：纽数者，互相减之余数相等者也。以此除两数，则皆可分，乃两数之枢纽。若相减至尽，而无纽数者，则不可约。假如母数二十五，子数一十五，约之若干？

畣曰五之三一○先以【十五】复以【一十】○五。二五，减【二十五】一○，转减【十五】一○。一五，余【一十○】一五，余【○五】○五。复以【○五】转减【一十】余【○五】，左右皆五，即为纽数】以纽数【○五】为法，转除母【二十五】得【五】除子数【一十五】得【三】故曰五之三，葢母数是五个五，子数是三个五也。

此转减例又如母数九百四十，子数二百三十五，约之若干？畣曰：四之一。先以【二百三十五】减【九百四十】余【七百○五】又减之余【四百七十○】又减之余【二百三十五】左右皆【二百三十五】即纽数也。以纽数【二百三十五】转除母数【九百四十】得【四】除子数【二百三十五】得一，故曰四之一。

母数是四个【二百三十五】

子数是一个【二百三十五】

此不转减例厯算全书巻三十钦定四库全书厯算全书巻三十一宣城梅文鼎撰筹算二之三开平方法勿庵氏曰：「自《周髀算经》特着开平方法，其説谓周公受于商髙，矩地规天，为用甚大。然有实无法，故少广之在九数，别自为章。今以筹御之，简易直截，亦数学之一乐也。」解曰：平方者，长濶相等之形也。其中所容，古谓之幂积，亦曰面幂。西法谓之面，面有方有圆，此所求者，方面也。其法有方，有亷，有隅，总曰平方也【幂音覔，覆物中也】开，亦除也。以所有散数整齐而布列之为正方形，故不曰除，而曰开平方。四边相等，今所求者，其一边之数，西法谓之方根。如后图，方者初商也。初商不尽，则倍初商之根为亷法，除之，得两亷。又以次商为隅法，自乘得隅。隅者，以补两廉之空，合一方、两亷、一隅，成一正方形。如图，一方两廉，一隅除积，仍不尽，则合初商次商倍之为廉法，除之以得次两廉，又以三商为隅法，自乘得隅，合一方四廉两隅，成一正方形【商四次以上，仿此加之】解曰：上两位者，自乘之积也。假如方一十，则其积一百；方二十，则其积四百；以至方九十，则其积八千一百也。下一位者，方根也。假如积一百，则其根一十；积四百，则其根二十；乃至积八千一百，则其根九十也。平方筹式，列左。

开平方筹，只用两位积数，何也？曰：开方难得者，初商耳。平方积数虽多，而初商所用者，只两位。次商以后，皆亷积也。亷积可用小筹除之。开方大筹，専为初商，故积止两位。筹下一位，单数也。而实有百也，万也，百万也，亿也，百亿也，万亿也，百万亿也，皆与单同理。故独商首位者，用下位之积数焉【其积自○一至○九，其方根为一二三】筹上一位，十数也，而实有千也，十万也，千万也，十亿也，千亿也，十万亿也，干万亿也，皆与十同理，故合商两位者，用上下两位之积数焉【其积自一六至八一，其方根自四至九】用法曰：先以实列位列至单位止，实有空位作圏，以存其位次，乃作▯。凡作▯之法，皆从实单位，实单位起作一▯，毎隔位则▯之，而视其最上一▯以为用。首位有防者，以实首一位独商之【乃补作一圏于原实之上，亦成两位之形】首位无▯，▯在次位者以实首位合商之。皆视平方大筹积数，有与相同或差小于实者，用之以减原数，而得方数，即初商也。定位法曰：既得初商，则约实以定其位，知其所得为何等【或单或十或百之类】以求次商。其法依前隔位所作之▯，总计之，视有若干防。假如只一▯者，初商所得必单数也【自方一至方九】则初商已尽，无次商矣。有二▯者，初商所得必十数也【自方一十至方九十】初商十数者有次商。有三▯者，初商所得必百数也【自方一百至方九百】初商百数者，有次商，又有三商。有四▯者，初商千也。有商四次焉。有五▯者，初商万也。有商五次焉。次商法曰：依前术定位，则知其宜有次商与否。若已开得单数，虽减积不尽，不必更求次商也。虽未开得单数，而初商减尽，亦不必更求次商也。惟初商未是单数，而减积又有不尽，是有次商矣。次商者，倍初商为亷法，用小筹以除之【初商一则用第二筹，初商七则用第一、第四两筹，皆取倍数】视筹积数有小于余实者，用之为亷积，视亷积在小筹某行，命为次商数。既得次商，减去亷积，即用次商数为隅法，以求隅积。隅积小平方也，即隅法自乘之数也【可借开方筹取之】若隅积大于余实，不及减者，转改次商，及减而止。以数明之，假如积一百，其方根十，即除实尽，此独用方法，无亷隅矣。若积一百四十四，初商十，除实百余四十四，则倍初商之根得廿，为亷法【在初商之两旁，故曰亷，亷有二，故倍之也】次商二，以乘亷得四十，为亷积。又次商二，为隅法，自乘得四，为隅积。共四十四，除实尽。开其根得一十二也。商三次以上，法曰：「次商所得尚非单数，而减积又有不尽，是有第三次商矣。」商第三次者，合初商、次商数皆倍之，为次亷法。如前用筹以除，余实求得第三商，以减亷积。又即以第三商之数为隅法，以求隅积，皆如次商。

商四次五次以上并同第三商命分法曰：「但开至单数而有余实者，是不尽也。不尽者，以法命之。法以所开得数倍之，又加隅一为命分。不尽之数为得分。」凡得分，必小于命分。亦有开未至，单宜有续商，而其余实甚少，不能除作单一者，亦如法命之，而于其开得平方数下作圈，纪其位，如云：平方每面几十○，又几十几分之几；或平方每面几百○○，又几百几十几分之几。若欲知其小分别，有开除分秒法，见第七巻。列商数法曰：凡初商得数而书之，有二法。其法依前隔位所作▯，以最上一▯为主，凡得数皆书于此▯之上一位。五以上者，又进一位，故有二法也。其故何也？五以上之亷，倍之则十，故豫进一位以居次。商四以下，虽倍之犹单数也。所以不同，凡归除、开平方，须明此理，不则皆误矣。大约所商单数，必在亷法之上一位，乃法上得零之理也。平方有实无法，亷法者，乃其法也。凡次商列位亦有二法。次商用归除除法者，皆书于筹之第一位，故次商以之。看次商所减之数，其筹行内第一位是空与否？若不空，即以次商数对而书之。对余实首一位是也。若第一位是圈，即以次商数进位书之，以暗对其圏，余实上一位是也。知此，则知空位矣。次商有一定之位，故空位亦一定也。如次商与初商隔位，则作圈；隔两位，作两圈是也。

商三次以上书法并同隅积定位法曰：凡减隅积，皆视其隅数为何等【隅数即次商之数也，或单，或十，或百，千等】以求其积。隅数是单，其减隅积亦尽于单位。隅数是十，其减隅积必尽于百位。隅数是百，其减隅积必尽于万位。

隅数千其隅积必百万隅数万其隅积必亿每隅数进退一位，则隅积差两位【隅积，小平方也，故皆与初商同理】还原法曰：凡开方还原，皆以所开得数为法，又为实，而自相乘之。有不尽者，以不尽之数加入，即得原数。

假如有积三百六十平方开之列位【单位作圈】作防【从单位起】视首位有▯，以首位三百独商之，乃视平方筹积数有小于○三者，是○一也，○一之方一，故商一十【有二▯，故初商是十】于原实内减去方积一百余二百六十【初商是十知有次商】以上一▯为主，凡得数皆书于此▯之上一位，此常法也。四以下用常法。次倍初商【一十】作【二十】用第二筹为亷法。视筹第九行积一八，小于二六，次商九于初商一十之下去亷，积一百八十余八十【所减数在筹上一位不空，故以商数九对余实首位书之】次以次商九为隅法，其隅积八十一，大于余实，不及减，应转改次商为八，视筹之第八行积数【一六】减亷积一百六十余，一百【所减第一位下空，故对位书之】乃以次商八为隅法，减隅自乘积【六十四】余【三十六】不尽。

隅数单故减隅积亦尽于单位初商【一十】次商【八】共【一十八】是已开至。单位也，而有单位也，以法命之。以平方【一十八】倍之，又加隅【一】共【三十七】为命分。命为平方，一十八又三十七分之三十六。

还原法以平方一十八，用筹为法，即以平方。一十八为实，而自相乘之，得三百二。十四加入不尽之数，三十六共得三。

百六十如原数命分还原论详别巻假如有积一十二万九千六百，平方开之。

列位　作▯视首位无▯，▯在次位以两位一十二万合商之乃视平方筹积，有小于一二者，是。○九其方三也，于是商三百【三▯故初商百】减去方积九万余，三万九千六百【初商百故知有次商】次倍初商【三百】作【六百】用第六筹为亷法。视筹第六行积数【三六】小于【三九】次商六十于初商三百之下，减去亷积三万六千，余三千六百【所减首位不空，故对书之】次以次商【六十】为隅法，减隅积三千六百，恰尽【隅数十，故减隅积必尽于百位】凡开得平方三百六十○，开方虽未至，单减积已尽，是方面无单数也，后仿此。

还原法以所得平方三百六十○为法，为实而自相乘之，得一十二万九千六百○○，如原数。

假如有积一千平方开之列位　作防视▯在次位，以首二位，一千○百，合商之。乃视平方筹小于【一○】者【○九】也【○九】之方三商作三十【二防故初商十】减方积九百余，一百次，以初商【三十】倍作【六十】用第六筹为亷法。视第六筹第一行是【○六】小于【一百】次商一千，初商三十之下，减亷积六十余四十【所减是○六首位空也，故书于进位以对其○今虽对于余实，以所减六十言之，犹进位也，列位之理明矣】次以次商一为隅法，减隅积一，余三十九，不尽【隅积尽单位】所开已至单位，而有不尽，以法命之，倍所商三十一，又加隅，一共六十三为命分。命为平方三十一，又六十三分之三十九。此以上皆初商四，以下列位之例。皆以最上之一▯为主，而书其初商所得数于防之上一位，乃常法也。假如有积四千○九十六，平方开之。

列位　作▯视▯在次位，以四千○百，合商之。乃视平方筹积数，有三六小于四○。其方六也，商作六十【二，防故初商十】减方积。三千六百余四百九十六【初商十，故知有次商】以最上一▯为主，而书其得数于▯之上，两位乃进法。五以上用进法。次倍初商【六十】作【一百二十】为亷法【用第一第二两筹】视筹第四行积数【四八】小于余实，次商四于初商六十之下减亷积四百八十余一十六【所减是○四八首位空也故次商四进位书之若初商不进则次商同位矣】次以次商四为隅法，减隅积一十六，恰尽【隅数单故，隅积尽单位】

凡开得平方六十四假如有积八千○九十九，以平方开之。

列位　作▯视▯在次位，以八千○百，合商之。乃视平方筹有【六四】小于【八○】其方八也，于是商八十【二防故初商十】除实六千。四百余，一千六百九十九【初商是十，宜有次商】次以初商八十倍作一百六十为亷。

法【用第一第六两筹】合视两筹，第一行积【一六】与余实同，宜商【一十】因无隅积，改用第九行【一四四】次商九于初商八十之下，减亷积一千四百四十余二百五十九【所减第一位不空，故对位书之】次以次商九为隅法，减隅积【八十一】仍余一百七十八不尽【隅数单隅积尽单位】已开至单位而有不尽，以法命之。应倍所商八十九，又加隅，一共一百七十九为命分。命为平方八十九又一百七十九分之一百七十八【因少一数故不能成九十之方】假如有积二千五百四十八万二千三百○四平方，开之，列位作▯视▯在次位，以二千五百万合商。

之乃视平方筹积有【二五】与实相。同其方五也，商五千【四防，故初商千】除方积二千五百万余四十八万二千三百○四【初商千，有次商】【又法，既以四防知所得为五千，倍之则为一万，即亷法也。法上一位，便是单逆，上三倍则五千位矣】次倍初商【五千】作【一万】为亷法【用第一筹】视筹第四行积四与余实同，次商四十于初商五千之隔位，减亷积四十万余八万二千三百○四【所减是○四，故进位书之以对其○，然与初商五千犹隔一位，故知所得为四十，此定位之法之妙也】次以次商四十为隅法，减隅积一千六百余八万○七百○四【隅数十，故减隅积尽于百位商至十有末商】次合初商次商倍之得【一万○○八十】为亷【用第一第八并二空位，共四筹】【大凡商五数以上，则其亷法视所商方数，必进一位，不论初商、次商，皆然。若四以下，则其亷法视方数，必同位，亦初、次商尽然】合视筹内第八行积数【八○六四】小于余实，又次商八于先商五千○四十之下，减亷积八万○六百四十余六十四【此所减第一位亦是○，故商数八亦进位书之，以对其○】次以末商八为隅法，用减隅积六十四，恰尽【隅数是单，故减隅积亦必尽于单位】

凡开得平方五千○四十八以上皆商五以上进书例也常法中有初商得二或四者，进法中有初商得七或九者，并杂见开方分秒法，并开方捷法中。

开立方法【筹算三】勿庵氏曰：「物可以长短度者，泰西家谓之线。线之原，度一横一缩，而自相乘之以得其羃积者，平方也。西法谓之方面。方面与线再相乘而得其容积，则立方也。西法谓之体。」解曰：平方，长濶相等，形如碁局；立方，长濶髙皆相等，形如骰子。细分之，有方，有平亷，有长亷，有小隅，总曰立方。立方亦有实，无法以所有散数整齐之成一立方形，故亦曰开。立方长濶髙皆等，今所求者其一边之数，故西法亦曰立方根。

如图方者初商也初商不尽则再商之于是有三平亷三长亷一小隅共七并初商方形而八合之成一立方形如图方形者，长濶髙皆如初商之数。

方形只一如图，平亷形者，长濶相同，皆如初商数，其厚则如次商数【平亷形凡三，以辅于方形之三面】长亷者，长如初商数，其两头髙与濶等，皆如次商数【长亷形亦三，以补三平亷之隙】小隅者，长、濶、髙皆等，皆如次商数【其形只一，以补三长亷之隙】

商三位图如后图一方三平亷三长亷一小隅除实仍不尽则更商又得次平廉次长廉各三次小隅一合之共十五形凑成一大立方形　次平亷之长濶相等皆如初商并次商之数厚如三商数其形三以辅初商并次商，合形之外，次长亷之长如初商并次商之数，其濶与厚相等，皆如三商数，其形亦三，以补次平亷之隙，次小隅之长濶髙皆等，皆如三商数，其形只一，以补次长亷之隙。

立方筹式【列后】解曰：上三位者，自乘再乘之积也。假如根一十，则其积一千；根二十，则其积八千；乃至根九十，则其积七十二万九千也。次两位者，自乘之积，即平方也，置于立方。筹者以为亷法之用，假如初商一百，则其平亷亦方一百，其积一万，乃至商九。百则其平亷方九百而积八十一万也。又如次商一十，则其长亷之两头亦必。方一十而积一百，乃至次商九十，则其长亷之两头必方九十，而积八千一百。也，下一位者方根也。假如立积一千，则其根一十，立积八千；则其根二十，乃。至积七十二万九千，则其根九十也。立方筹三位何也？自乘再乘之数止于三位也。且以为初商之用，故只须三位。其余实虽多位，皆亷积耳。

用法曰：先以积列位至单位止，无单者作圈，以存其位次，作▯。从单位▯起，每隔两位作一▯【即满三位去之之法也】▯讫，视最上一▯以为用。▯在首位者独商之以首位为初商之实。单数，商法也。若千，若百万，若十亿，若万亿，若千万亿，凡以三位去之余，一位者，皆与单法同。▯在次位者，合首两位为初商之实。十数商法也。若万，若千万，若百亿，若十万亿，若兆，凡以三位去之余二位者，皆与十同法。▯在第三位者，合首三位为初商之实。百数商法也。若十万，若亿，若千亿，若百万亿，若十兆，凡以三位去之余三位者，皆与百同法。又法视其▯在首位，则于原实之上加两圈；▯在次位者，上加一圈，皆合三位而商之。次以初商之实与立方筹相比勘，视立方筹积数有与实相同或差小于实者，用之以减原实，而得其立方之数，即初商也。定位法曰：既得初商，则约实以定位，知所得立方为何等【或单或十百等】以知有续商与否。皆以前所作防而合计之，视有若干▯之命之。假如只有一▯，则商数是单。初商已得单数，无次商。有二防者，商数十。初商十数者，有商两次焉。有三▯者，商数百。初商百数者，有三三次焉。四▯商千，五防商万。每多一防，则得数进一位，而其商数亦多一次。皆以商得单数乃尽也。减积法曰：凡初商减积，皆止于最上▯之位。次商法曰：依前定位，若初商末是单，而减积未尽，是有次商也。次商者，有平亷法，有长亷法，有隅法【解曰：平亷，古曰方法；长亷法，古曰亷法。以后或曰平亷、长长亷，从质也；或省曰方法、亷法，从古也】

先以所得初商数三之为亷法又以初商数自乘而三之为三法，以方法用筹除积，以得次商【以列位之法定之，其法见后】既得次商，用其数以乘方法，为三平亷积。又以次商自乘，以乘亷法为三长亷积。其次，商即为隅法。以隅法自乘，再乘，得小立方积，为隅积。乃并三平亷、三长亷、一小隅积为次商亷隅共积。若此亷隅共积与余积适等，或小于余积，则减而去之，视其仍余若干以为用【或续商，或以法命之】若共积反大于余实，不及减，转改次商，及减而止【若次商单一而无减，以法命之】商三次，法曰：「次商尚未是单，而减积未尽，是有第三次商也。」第三次商者，合初商、次商得数而三之，为亷法；又合初商、次商得数自乘而三之，为方法。如前，以方法用筹除余实，求得第三商【亦以列位法详其所得】既得第三商，如前求得三平亷、三长亷、一小隅积，以减余实，其法并同次商。

四次以上皆同法命分法曰：「但商得单数而有不尽，则以法命之。」未商得单数而余实甚少，不能商单一者，亦以法命之。其法以所商立方数自乘而三之【如平亷】又以立方数三之【如长亷】又加单一【如小隅】并三数为命分，不尽之数为得分。其命分必大于得分。列商数法曰：依前隔位作防，以最上一▯为主而论之，有三法。凡商得立方一数者，于此▯之上一位书之【或单一，或一十，或一百，或一千，并同】此常法也。若商得立方二三四五者于此▯之上两位书之【单十百千其法并同】乃进法也。若商得立方六七八九者于此▯之上三位书之【单十百千其法并同】乃超进法也。平方只有进法，而立方有三法，何也？平方以亷法为法，而平方只二亷，故其亷法之积数只有进一位，故止立进法与常法为二也。立方以方法为法，而立方有三平廉，故其方法之积数有进一位、进两位，故立进法、超进法而与常法为三也。其预为续商之地，使所得单数居于法之上一位，则同。假如立方单一，其方法单三。若立方单二，则方法一十二，变为十数，进一位矣。故单一用常法，而单二即用进法也。又如立方单五，其方法七十五；若立方单六，则方法一百○八。又变百数进两位矣。故单五只用进法，而单六以上必用超进之法也。假如立方一十，其方法三百；若立方二十，则方法一千二百。变千数进一位矣，故一十只用常法，而二十即用进法也。又如立方五十，其方法七千五百。若立方六十，则方法一万○八百。又变万数进两位矣。故五十仍用进法，而六十以上必用超进之法也。若宜进而不进，宜超进而不超进，则初商次商同位矣。不宜进而进，则初商次商理不相接矣。此归除开立方之大法也。其次，商列位，理本归除，以所减积数首一位是空，不是空，定其进退，皆同平方。商三次以上，并同。隅积法曰：「隅法，单隅积尽单位。」隅法是十，隅积尽于千位。隅法，百，隅积尽百万之位。以上仿求。大约，隅法大一位，则隅积大三位。还原法曰：置开得立方数为实，以立方数为法乘之，得数再以立方数乘之，有不尽者，加入不尽之数，即得原实。假如有积一千三百三十一，立方开之。

列位　作▯【从单位起】视首位有▯，以○○一千为初商。

之实乃视立方筹有○○一，其立方一。于是商一十【有二▯故商十】减去立方积一千，余三百三十一【初商十者，有次商也】以最上▯为主，商一数者，书于防之上，一位，常法也。次以初商一十，而三之，得三十，为亷法。又以初商一十自乘而三之，得三百，为方法【用第三】

视筹第一行积数○三与余实同次商一于初商一十之下【减积首位是○，故进位书于一十之下，以暗对其○】于是以次商一乘方法，仍得三百为平亷积。又以次商一自乘，仍得一，用乘亷法，仍得三十为长亷积。又以次商一自乘再乘，皆仍得一为隅积。并三积共三百三十一除余实恰尽凡开得立方一十一【还法：以立方一十一自乘，得一百二十一，又以一十一再乘，合原积】假如有积一十二亿五千九百七十一万二千，立方开之，列位作▯视首位有▯以○○一十亿为初商之实乃视立方筹有○○一，其方亦一，于是商一千，减立方积一十亿，余二亿五千九百七十一万二千，次以初商一千而三因之，得三千为亷法。又以初商一千自乘得一百万，而三之得三百万，为方法【用第三筹】视第三筹之第八行积数二四，小于余实，次商八十，于初商一千之下一位【所减首位不空，故次商八书本位，而上一位作○，因与次商隔位，故知其是十】就以次商八十乘方法三百万，得二亿四千万，为平亷积。又以次商八十，自乘得六千四百，用乘廉法三千，得二千九百二十万，为长亷积。又次商八十，自乘再乘，得五十一万二千，为隅积。并三积，共二亿五千九百七十一万二千，除实尽。凡开得立方一千○八十○【初商千，次商○八，是十而除实已尽，是所商单位亦○也，此列位之妙】以上皆商得一数例也，皆以最上一▯为主，而以初商得数书于▯之上一位，乃常法也。惟商得一数者，可用常法，一十一、百、一千、一万并同。假如有积九千二百六十一，立方开之。

列位　作▯视▯在首位，以○○九千命为初商之实。乃视立方筹积，有小于○○九者。○○八也，其立方二，于是商二十。【二▯故初商十】减立方积八千，余一千二。

百六十一以最上一▯为主，而以得数书于防之上，两位乃进法也。商二至五之法也。次以初商二十，用三因之，得六十，为亷法。又以初商二十自乘得四百，而三因之得一千二百，为方法【用第一、第二两筹】合两筹，第一行积一，二与余实相同，次商单，一于初商二十之下【所减首位空，宜进书也。若初商不先用进法，则无以处次商矣。故进法自商二始】就以次商一乘方法，仍得一千二百，为三平亷积。又以次商一自乘，得一，用乘亷法，仍得六十，为三长亷积。又以次商一自乘再乘，皆仍得一，为隅积。并三积，共一千二百六十一，除实尽。凡开得立方二十一。假如有立方积三万二千七百六十八，立方开之，问得若干？

列位　作▯视▯在次位，以○三万二千为初。商之实乃视立方筹积小于○三。二者是○二七，其立方三也，于是。商三十【二防故初商十】减商三十【二▯故初商十】减立方积二万七千余五千七百六十八。次以初商三十，用三因得九十，为亷法。又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百为方法【用第二、第七两筹】合视两筹，第二行积○五四，小于余实，次商单二，于初商三十之下【所减首位○，宜进书以对其○】就以次商单二乘方法得五千四百为平亷积，又以次商自乘得四，用乘廉法得三百六十为长廉积，又以次商自乘再乘得八为隅积。并三积共五千七百六十八，除实尽，凡开得立方三十二。假如有立方积一十一万七千六百四十九，立方开得若干？

列位　作▯视▯在第三位，以一十一万七千为初商之实。乃视立方筹积，有小于一一七者。○六四也，其立方四，于是商四十。【二▯故初商十】减立方积六万四千余五。万三千六百四十九，次以初商四十，用三因之，得一百二十为亷法。又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八百为方法【用第四第八两筹】合视两筹第九行积数四三二，小于余实，次商九于初商四十之下【所减首位不空，故本位书之】就以次商九乘方法得四万三千二百为平亷积，又以次商九自乘得八十一，用乘亷法得九千七百二十为长亷积；又以次商九自乘再乘得七百二十九为隅积。合计亷隅三积共五万三千六百四十九，除实尽。

凡开得立方四十九假如有积一千六百六十三亿七千五百万立方，开得若干？

列位　作▯视▯在第三位，以一千六百六十亿为初商之实。

乃视立方筹有小于一六六者是一二五其立方五也商作五千【四▯商千】除立方。积一千二百五十亿，余四百一十三亿七千五百万次，以初商五千用三因之，得一万五千为亷法，又以初商五千自乘，得二千五百万，三因之，得七千五百万为方法【用第七、第五两筹】合视两筹，第五行积三七五，小于余实，次商五百，于初商五千之下【所减首位不空，故书本位】就以次商五百乘方法得三百七十五亿为平亷积，又以次商五百自乘得二十五万，用乘亷法得三。十七亿五千万为长亷积，又以次商五百自乘再乘得一亿二千五百万为隅积，并三积共四百一十三亿七千五百万，除实尽，凡开得立方五千五百○○。以上乃商得二三四五之例也。皆以最上一▯为主，而以初商所得进书▯之上两位进法也。初商得二三四五者，用进法单十百千并同。假如有积二十六万二千一百四十四立方，开之，列位作▯视▯在第三位以二十六万二千为初商之实乃视立方筹有小于二六二者二一六也，其立方是六商六十【二防商十】减立方积二十一万六千，余四万六千一百四十四。以最上一▯为主，而以得数书于▯之上，三位超进法也。乃商六至九之法也。次以初商六十，用三因之，得一百八十为亷法。又以初商六十自乘，得三千六百，而三因之，得一万○八百为方法【用第一空位第八三筹】合视筹第四行积四三二，小于余实，次商四，于初商六十之下【所减首位是○，故进位书之，以对其○】就以次商四乘方法得四万三千二百为平亷积，又以次商四自乘得一十六，用乘亷法得二千八百八十为长亷积；又以四自乘再乘得六十四为隅积。并三积共四万六千一百四十四，除实尽。凡开得立方六十四。假如有积三十七万三千二百四十八立方，开之，列位作▯视▯在第三位，以三十七万三千为初商之实。

乃视立方筹积有小于三七三者是三四三其立方七也商七十【二▯商十】减立方积三十四万三。千余三万○二百四十八次，以初商七十用三因之，得二百一十为亷法。又以初商七十自乘得四千九百，三之得一万四千七百，为方法【用第一、第四、第七三筹】合视筹第二行积二九四，小于余实，次商二于初商七十之下【所减首位空，故进位书之，以对其○】就以次商二乘方法得二万九千四百为平亷积，又以二自之得四，用乘亷法得八百四十为长亷积，又以二自乘再乘得八为隅积。并三积共三万。○二百四十八，除实尽，凡开得立方七十二。假如有积五十三万一千四百四十一，立方开之，列位作▯视▯在第三位，以五十三万一千为初商之实。

乃视立方筹积有五一二小于五、三、一，其方八也。商八十【二▯商十】减立方积五十一万二千余一。

万九千四百四十一次以初商八十，用三因之，得二百四十，为亷法；又以八十自乘，得六千四百，三之得一万九千二百，为方法【用第一、第九、第二、三筹】合视筹第一行是一九二，小于实，次商一，于初商之下。就以次商一乘方法为平亷积，又以一自乘，用乘亷法为长亷积，又以一自乘再乘为隅积，并三积共一万九千四百四十一，除实尽。

凡开得立方八十一假如有积九十七万○二百九十九，立方开之。

列位　作▯视▯在第三位，以九十七万○为初商之实。乃视立方筹，有七二九，小于九七○，其方九也，商九。十【二▯商十】减积七十二万九千余。

二十四万一千二百九十九次以初商九十三之得二百七十为亷法。又以九十自之，得八千一百，而三之，得二万四千三百，为方法【用第二、第四、第三、三筹】合视筹第九行，是二一八七，小于余实，次商九，于初商九十之下【所减首位不空，故本位书之】就以次商九乘方法得二十一万八千七百为平亷积，又以九自乘得八十一，以乘亷法得二万一千八百七十为长亷积，又以九自乘再乘得七百二十九为隅积，并三积共二十四万一千二百九十九，除实尽凡开得立方九十九。此以上皆初商六七八九之例也。皆以最上一▯为主，而以得数书于▯之上三位，乃超进法也。初商六七八九用超进之法，单十百千并同。

命分例假如有立方八百一十尺，问立方每面各若干？

列位　作▯▯在第三位，以八百一十○尺为初商之实视立方筹有小于实者，为七二九。其立方九，商九尺，减积【七百二十九尺】余【八十一尺】此商数已至单尺而有不尽，当以法命之。法以商数九自乘【八十一】而三之得【二百四十三】如平亷，又置商数九而三之得【二十七】如长亷，加小隅一共【二百七十一】为命分。命为立方，每面九尺，又二百七十一分尺之八十一。此商得单数而有不尽，以法命之例也。又如，有立方积一亿二千五百七十五万尺，问立方若干？

列位　作▯▯在第三位，以一亿二千五百万。

尺为初商实视立方筹有【一二五】恰与实合，商【五百尺】减实【一亿二千五百万尺】余【七十五万○○○○尺】有三▯，故知所商是【五百尺】宜有第二商、第三商也。乃以初商【五百尺】自乘【二十五万尺】而三之，得【七十五万尺】为平亷法。又以初商【五百尺】三之，得【一千五百尺】为长亷法。视余实【七十五万尺】仅足平亷之数，而无长亷，知第二商、第三商皆空也。补作两圈，而以法命之。法以平亷，法长亷，法合数，加小隅，一共【七十五万一千五百○一尺】为命分。命为立方，每面五百尺，又七十五万一千五百○一分尺之七十五万○○○○。此商数虽未至单，而余实甚少，不能成一整数，亦以法命之例也。

厯算全书巻三十一钦定四库全书厯算全书巻三十二宣城梅文鼎撰筹算四之五开带纵平方法勿庵氏曰：「算有九极，于勾股，勾股出于圆方，故少广旁要相资为用也。然开平方以御勾股，而纵法以御和较。古有益积、减积、翻积诸术，参伍错综，尽神通变，要之皆带纵一法而已。」【平方者，长濶相等，如碁局也。平方带纵者，直田也。长多于濶之数谓】之纵，纵之濶，如平方之数，其长则如纵之数，纵与方相乘，得纵积，以加方积成一直田形积也】平方与方纵，两形初商之积也。两亷一隅一亷，纵者次商之积也，亷。有二，故倍之；亷之，纵只一，故不倍。

也如前图，除积不尽，则有第三商，如此图虽三商，亦只倍亷，而不倍纵。

四商以上仿此详之用法曰：「先以积列位如法，作防从单位起，隔位防之。视防在首位，独商之；防在次位，合两位商之，皆命为实。次以带纵数用筹与平方筹并列之，各为法。」视平方筹积数有小于实者，用其方数为初商，用其积数为方积【初商自乘之数也】即视纵筹与初商同行之积数用之为纵积【初商乘纵之数也，如初商一则用纵筹第一行】兼方积、纵积两数以减原实而定初商【必原实中兼此两积之数，则初商无悮矣，故曰定】若原实不及减，改而商之，如前求得两积以减之为初商定数。不及减，又改商之，及减而止。若应商十数，因无纵积，改商单九，是初商空也，则于初商之位作○，而纪其改商之数于○下，若次商者然【初商应是百而改九十，应是千而改九百，并同】定位法曰：既得初商，视所作原实之防，共有几何，以定其得数之位，以知其有次商与否【如一防，则得数是单，而无次商；二防，则得数是十，而有次商之类，皆如平方法取之】次商法曰：依前定位，知初商未是单数，而减积又有未尽，是有次商也。次商之法，倍初商，加入纵为亷法，用筹除之。视亷法筹行内之积数有小于余实者，用为亷积，以减余实，用其行数为次商。就以次商自乘为隅积，以减余实，以定次商【必余实内有亷隅两积，则次商无误】不及减者，改商之；及减而止，皆如平方法。

商三次以上并同次商命分法曰：「若得数已是单，而有不尽，则以法命之。」法以所商数倍之，加入纵为亷，又加隅一为命分；不尽之数为得分。亦有得数非单而余实少在亷法以下不能商作单一者，亦以法命之。法即以亷法加隅一为命分。列商数法曰：依平方法，视所作防，而以最上一防为主。若初商五以上【不论单五或五十或五千或五百并同】皆用进法，书其其得数于防之上两位，则不论纵之多少也。若初商四以下【亦不论单十百千】则以纵之多少而为之进退，法以纵折半加入初商【单从单，十从十，百千各以类加】若满五以上者，变从进法，书于防之上两位【如初商四而纵有二，初商三而纵有四之类】若纵数少，虽加之而仍不满五，数者仍用常法，书其得数于防之上一位【如初商四而纵只有一，初商三而纵只有二，只有二之类】总而言之，所商单数皆书于亷法之上一位，故初商得数有进退之法，乃豫为亷法之地，以居次商也。初商五以上，倍之则十，虽无纵加，亷法已进位矣。初商虽四以下，而以半纵加之，满五则其倍之加纵而为亷法也，亦满十而进位矣。亷法进位，故初商必进两位书也。若加半纵仍不满五，则其亷法无进位矣，故初商只进一位而书之。葢豫算所商单数已在亷法之上也。又初商若得单数，其亷法即为命分。凡商得单数，必在命分之上一位，以此考之，庶无谬误。假如有直田积六十三步，但云濶不及长二步。列位【依平方法】作防【从单位起】视防在次位，合六十三步，商之为实，次以平方筹与纵二筹平列之，各为法。视平方筹积有【四九】小于【六三】其方七也，商作单。七【用进法书于防之上，两位。一防知所商是单】即视带纵筹第七行积数【一四】用为纵积。并方积【四十九】纵积【一十四】共六十三。除实尽【此亦偶除尽耳，设不尽其命分必是十数，故前商七之数必进书之以存其位】定为濶七步，加纵二步，得长九步。凡得数在五以上，用进法，书于防之上两位，此其例也。假如有直田六百三十步，但云长多濶二步。

列位【无单位补作圈】作防视防在首位，独商之以○六百步。

为实以平方带纵二各用筹为法视平方筹积数有【○四】小于【○六】其方二商二十步【二防故初商十】自乘得方积【四百步】随视纵筹第二行是【四】得纵积【四十步】并两积共四百四十步，以减原实，余一百九十步，再商之【初商十故有次商也，商数二十，以纵折半得单一加之，共二十一，仍不满五数，故只用常法书于防之上一位】次以初商【二十步】倍之【四十步】加纵【二步】共四十二步，为亷法【用第四、第二两筹】合视两筹第四行积数【一六八】小于【一九○】次商【四】减亷积一百六十八步，余二十二步【所减首位不空，次商故书本位】次以次商【四步】为隅法，自乘得【一十六步】为隅积，用减余实不尽六步，以法命之【初商虽不进位，所得次商单数已在命分之上一位矣，列商数法妙在于此】倍所商【二十四步】为【四十八步】加纵【二步】又加隅【一步】共五十一步为命分。命为濶【二十四步】又【五十一分步之六】加纵【二步】得长【二十六步】又【五十一分歩之六】凡得数在四以下，以半纵加之，仍不满五，则只用常法，书于防之上一位，此其例也。假如有直田五亩，但云长多濶八十八步。列位【以亩法二百四十通之，得一千二百步。十步单步，空补作两圈】作防。

视防在次位合商之以一千二百步为实纵有两位用两筹与平方筹并列各为法先视平方筹有【○九】小于【一二】宜商三十【二防商十】因有纵改商二。

十其方积四百步纵积一千七百六十步【初商十与纵相乘故纵单数皆成十数】兼两积共二千一百六十步，大于实，不及减，所商有误，抹去之。改商【一十步】其方积【一百步】其纵积【八百八十步】并两积共除实九百八十步，余二百二十步，再为实以求次商【初商十，故有次商也】【纵折半，四十四步，加初商一十步，共五十四步，故变用进法】次以初商【一十步】倍之【二十步】加纵【八十八步】共一百○八步，为亷法【用第一空位第八三筹】合视筹第二行积【二一六】小于【二二○】次商【二步】于初商【一十步】之下，减亷积一百一十六，余四步【所减首位○，故进书之初商豫进正为此也】次以次商【二步】自乘得四步为隅积，除实尽。定为濶一十二步，加纵【八十八步】得长一百步。假如有直田一十二亩半，但云长多濶七十步。列位【以亩法二百四十通之，得三千步，百十单皆作圈】作防。视防在次位，以三千○百步为实。

以平方带纵七十各用筹为法先视平方筹积，有二五，小于【三○】宜商【五十】因纵改商【四十步】其方积一。千六百步，其纵积二千八百步，共四。千四百步，大于实，不及减，抹去之。改商【三十步】其方积【九百步】其纵积【二千一百步】共三千步，除实尽。【纵七十，折半三十五，加初商三十，共六十五，是五以上也，故用进法。书商三于防上两位。假有余实，则当再商，或命之以分。今虽商尽，当存其位。命分者，亷法加隅一也。倍初商加纵，共一百三十，是原实百者，亷法之位也。进一位，乃单位。初商不进两位，何以容单数】凡开得平方，三十步为田濶，加纵七十步，共一百步为长。假如有直田七亩，但云长多濶六十步。列位【以亩法二百四十通之，得一千六百八十步，单位空作圈】作防。视防在次位，合商之以一千六百步。

为实以平方带纵六十步，用筹各为法。先视平方筹，有一六，与实同，宜商四。十【二防初商是十】因带纵改商三十步，其方。积【九百步】纵积【一千八百步】共二千。

七百步大于实不及减抹去之改商【二十步】其方积【四百步】纵积【一千二百步】共减一千六百步，余八十步，再商之。【纵折半，三十加初商，共五十，故进书之】【假余实满，命分一百○一步，即当商一步，故初商豫进以居，次商今次商虽空，当存○位，故也】次以初商【二十步】倍之【四十步】加入纵六十步，共一百步，为亷法。亷法大于余实，不及减，次商作○，其余实以法命之。法以亷法加隅一为命分。命为濶【二十步】又【一百○一分步之八十】加纵为长【八十步】又【一百○一分步之八十】假如有直田四亩，但云长多濶九十步。列位【以亩法通之，得九百六十步】作防。视防在首位，独商之以○九百为实。以平方带纵，九十步，各用筹为法。先视平方筹积有【○九】与实同宜。商三十步【二，防故初商十】因带纵改商二。十步其方积【四百步】纵积【一千八】【百步】不及减，又改商一十歩，其方积【一百步】纵积【九百步】共一千步，仍不及减。此有二防，宜商十步，今改商一十，仍不及减，是初商十位空也。【纵九十，折半四十五，加初商十步，满五十以上，故商一进书，防之上两位】改商单九步，其方积【八十一步】纵积【八百一十步】共八百九十一步，以减实，余六十九步，不尽【此宜商十数者，变商单步，故初商之位作○，而以改商之九步书于○位下，如次商然也，盖必如此，书之所商单数乃在命分之上一位也】商数已得，单步而有不尽，以法命之。以商九步，倍之，加纵九十步，共一百○八步，更加隅一步，共一百○九步，为命分。命为濶九步又【一百○九分步之六十九】加纵为长九十九步又【一百○九分步之六十九】以上四则乃纵多进位之法也。凡得数虽四以下，以半纵加之，满五即用进法，书于防之上两位，此其例也。

开带纵立方法【筹算五】勿庵氏曰：泰西家説勾股开方甚详，然未有带纵之术。同文算指取中算补之，其论带纵平方有十一种，而于立方带纵终缺然也。程汝思统宗所载，又皆两纵之相同者，惟难题堆垜还原有二例，只一可用，其一强合而已，非立术本意。又不附少广，而杂见于均输，虽有善学，何从而辨之？兹因筹算，稍以鄙意完其缺义，取晓畅不厌烦复，使得其意者可施之他率，不穷云尔。

凡立方带纵有三一只带一纵如云长多方若干，或髙多方若干，是也【▯即同髙】

一带两纵而纵数相同如云长不及方若干，髙不及方若干，是也【此方多数为纵】

一带两纵而纵数又不相同如云长多濶若干，濶又多髙若干，是也。大约带一纵者，只有纵数而已；带两纵者，有纵亷，又有纵方，故其术不同。

带一纵图三此长多于方　　　　　此髙多于方也为横纵横　　　　　也为直纵直纵之形濶与　　　　　纵之形长濶髙等如其方　　　　　相等如其方其厚也如其　　　　　其髙也如其纵所设　　　　　　　纵所设俱立，方一纵，形一合，为长立方形。

如图立方形方纵形合者初商也平亷三内带纵者二长亷三内带纵者一小隅一此七者次商也平亷所带之纵长与立方等厚与次商等其髙也则如纵所设长亷所带之纵两头横直等皆如次商其髙也如纵所设用法曰：「以积列位，乃作防。从单位起，隔两位防之。防毕，视积首位有防，独商之，以首位为初商之实。首位无防，以首位合有防之位商之。防在次位，以首两位为初商之实；防在第三位，以首三位为初商之实。皆同立方法。」先视立方筹积数有小于初商之实者，用其方数为初商【定位法合计所作防共有若干，一防者商单数，二防则商十数，每一防进一位，皆如立方】用其积数为初商立方积【定位法视初商方数，若初商单数，其积亦尽于单位，若初商十数，其积乃尽于千位，每初商进一位，其积进三位，亦可以防计之，皆如立方】次以初商自乘，以乘纵数为纵积。合计立方积，纵积共数，以减原积而定初商【若初商无误者，原实中必兼此两积】命初商为方数，加纵数为髙数【或长数，皆依先所设】不及减者，改商之；及减而止。次商法曰：依前定位，知初商是何等【或单十百千等】若初商未是单数，而减积又有不尽，是有次商也。法以初商自乘而三之，又以纵与初商相乘而两之，共为平亷法。又法以初商三之，纵倍之，并其数与初商相乘得数为平亷法。或以初商加纵而倍之，并初商数以乘初商为平亷法，并同。

又以初商三之加纵为长亷法乃置余实列位，以平亷法除之，得数为次商【用筹为法除而得之】

【依除法定其位】于是以次商乘平亷法为三平亷积，又以次商自乘以乘长亷法为三长亷积，就以次商自乘再乘为隅积，合计平亷长亷隅积共若干数，以减原实【原实中兼此并积，知次商无误矣】乃并初商次商所得数为方数，加纵命为髙数【或长数，皆如先所设】合问。不及减者，改商之，及减而止。商三次者，以初商、次商所得数加纵而倍之，并商得数为法，仍与商得数相乘为平亷法。又以商得数三之加纵为长亷法，余并同次商。命分法曰：己商至单数而有不尽，则以法命之。其法以所商得数加纵，倍之，加所商得数，以乘所商得数【如平亷】又以所商得数三之，加纵【如长亷】并两数，又加单一【如隅】为命分。不尽之数为得分。或商数尚未是单而余实甚少，在所用平亷、长亷两法并数之下，或仅同其数【仅同者无隅积】是无可续商也，亦以法命之。法即以所用平亷、长亷两法并之，又加隅一为命分。列商数法曰：依立方法，以初商之实有防者为主【即原实内最上之一防】凡初商得数，必书于防之上一位，乃常法也。惟初商一数者，用常法。有以初商得数，书于防之上，两位者进法也。初商二三，四五者，用进法。有以初商得数，书于防之上三位者，超进法也。初商六七八九者，用超进之法。若纵数多亷法有进位，则宜用常法者改用进法，宜用进法者用超进之法，宜超进者更超一位书之。其法于次商时酌而定之。葢次商时有三平亷法，三长亷法，再加隅一为命分法。于原实寻命分之位为主，命分上一位单数位也。从此单数逆寻而上，自单而十而百而千，至初商位止。有不合者改而进书之，若与初商恰合者不必强改。此法甚妙，平方带纵亦可用之。若宜商一十而改单九，或宜商一百而改九十，凡得数退改小一等数者，皆不用最上一防，而以第二防论之，此尤要诀【或于初商位作圈，而以所商小一等数书于圈之下，即可以上一防论也，细考其数则同，此商数列位立法之妙，宜详翫之】假如浚井，计立方积七百五十四万九千八百八十八尺，但云深多方八百尺。法以立方带纵为法除之，列位作防。

视防在首位独商之以○○七百万尺为初商之实以立方筹为法，视立方筹积有○○一小于○○七，商一百尺【三防故初商百，商一百故用常法书于防之上一位】得立方积一百万尺【三防者方积尽百万之位，初商之方积皆尽于最上之一防】次以初商一百尺自乘，一万尺，乘纵八百尺，得八百万尺，为纵积。并两积，九百万积，大于原实，不及减，抹去之不用，改商如后图。视立方筹第九行积七二九，改商九十尺，得立方积七十二万九千尺【百改十，故亦改用第二防；第二防是十位，故方积亦尽于千位】次以初商九十尺自乘八千一百尺乘纵八百尺得六百四十八万尺为纵积　并两积共七百二十万○九千尺，以减原实，余三十四万○八百八十八尺，再商除之【初商一百，今改商九十，故上一防不用，用第二防论之，商九者书于第二防之上三位，超进法也】次用次商，又法以纵八百尺，加初商九十尺而倍之，得一千七百八十尺，并初商九十尺，共一千八百七十尺，用与初商九十尺相乘，得一十六万八千三百尺，为平亷法。又以初商九十尺三因之，得二百七十尺，加纵八百尺，共得一千○七十尺，为长亷法。乃列余实，以平亷为法除之【用第一、第六、第八、第三共四等】商九十，用超进法，书于第二防之上三位。今以纵多，致亷法进为十万，故次商时应更为酌定，又超一位书之，然后次商单数在亷法上一位矣。改如后图【亷法十万上一位，单数位也。今商九十不合在此位，故改之】

合视筹第二行积○三三六六，小于余实，次商二尺于初商九十之下【所减首位是○，法宜进书也，初商不改而更超之，何以居次商】就以次商二尺乘平亷法，得三十三万六千六百尺，为平亷积；又以次商二尺自乘四尺，用乘长亷法，得四千二百八十尺，为长亷积；又以次商二尺自乘再乘，得八尺，为隅积。并三积共三十四万○八百八十八尺，除实尽。乃以商数命为井方，加纵为井深。

计开井方九十二尺，深八百九十二尺。

此超进法改而更超一位也带两纵纵数相同图二此髙不及方也方之横与直俱多于髙是为两纵两纵者纵廉二纵方一并立方而四立方形长濶髙皆相等纵亷形髙与濶相等如其方之数其厚也如所设纵之数纵方形，两头等，皆如纵数，其髙也如立方之数，两纵亷辅立方两面，而纵方补其隅，合为一短立方形。不及之数，有在立方旁者，观后图可互见其意。

如图，初商有立方，有纵廉二，纵方一共四形。今只图其二，余为平廉所掩，意防之可也【此横头不及方也，即前图之眠体】次商平廉三内带一，纵者二带，两纵者一，长廉三内带纵者二，小隅一共七。平廉带一纵者，濶如初商，加纵为长，厚如次商。其带两纵者，髙濶皆等，皆如初商加纵之数，厚如次啇长廉带纵者，长如初商，加纵之数，其两头横直皆等，皆如次商。无纵长，廉长如初，商两头横直等如次商。

小隅横直髙皆等皆如次商用法曰：「先以纵倍之为纵廉【两纵并也】以纵自乘为纵方【两纵相乘】此因两纵数同，故其法如此也。若两纵不同，径用乘法，并法矣。

乃如法列位作防求初商之实以立方筹为法，求得初商方数及初商立方积【皆如立方法，皆依定位法命之】次以初商乘纵方得数为纵方积，又以初商自乘数乘纵亷得数为纵亷积。合计纵方、纵亷、立方之积，共若干数，以减原实，而定初商【皆如一纵法】命初商为髙数【或深数，皆如所设】加纵为方数【不及，减改商之。若初商未是，单数则以余实求次商】次商法曰：以初商加纵，倍之以乘初商髙数，得数；又以初商加纵自乘，得数；并之，共为平亷法【又法：初商三之，加纵以初商加纵乘之，得数为平亷法，亦同】次以初商加纵倍之，并初商数共为长亷法【又法，初商三之纵倍之，并为长亷法，亦同】乃置余实列位，以亷法位酌定初商列法而进退之，以平亷为法而除余实得数为次商【皆以所减首位是○与否而为之进若退】又法合平亷、长亷两法以求次商。于是以次商乘平亷法为平亷积，又以次商自乘数乘长亷法为长亷积，又以次商自乘再乘为隅积。合计平亷、长亷、隅积共若干数，以减余实而定初商【皆如一纵法】【又法，以次商乘长亷法为长亷法。又以次商自乘为隅法，并平亷、长亷、隅法，以与次商相乘为次商亷隅共积，以减余实，亦同】乃命所商数为髙【或深之类，如所设】加纵数命为方，合问。不尽者，以方倍之乘髙，又以方自乘【如平亷】又以方倍之并髙【如长亷】又加单一【如隅】为命分。假如有方台积五百八十六万六千一百八十一尺，但云髙不及方一百四十尺。以带两纵立方为法除之【方者，长濶等，每面各多髙一百四十尺】先以纵一百四十尺，倍之得二百八十尺，为纵积。又纵自乘之，得一万九千六百尺，为纵方。

列位　加防视防在首位独商之以○