厯学骈枝卷四

厯学骈枝卷四

盈缩厯立成太阳冬至前后二象，盈初、缩末限。太阳夏至前后二象，缩初盈末限。

布立成法厯经盈缩招差法太隂迟疾立成布立成法求每限月平行度法厯经迟疾厯三差法日出入晨昏半昼分立成冬至后半嵗周夏至后半嵗周考立成法太阳冬至前后二象，盈初、缩末限。

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》>【置本限八十八度九○九二二五，加入盈积度二度四○一四，即合周嵗一象限九十一度三一○六二五之数】

太阳夏至前后二象，缩初盈末限。

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》>【置本限九十三度七一二○二五，减去缩积度二度四○一四，即合周嵗一象限九十一度三一○六二五之数】布立成法。先依厯经盈缩招差，各以其日平差立差求到每日盈缩积，次以相挨两日盈缩积相减，余为每日盈缩加分，以其日加分盈加缩减一度，即每日日行度。又以两日加分相减，余为每日平立合差。再置末日平立合差，以初日平立合差减之，余为实，末日日数为法，法除实，即得每日平立合差之差数也【如盈初置八十七日下平立合差六分五五六八内减初日四分九三八六，余一分六一八二为实，八十七日为法除之，得○一八六为每日之差；缩初置九十二日下平立合差五分九二六六内减初日四分四三六二，余一分四九○四为实，九十二日为法除之，得○】【一六二为每日之差】又法【盈初置立差三十一，缩初置立差二十七。各六因之，即得每日平立合差之差数】

厯经盈缩招差法凡求盈缩积，皆以入厯初末日乘立差，得数用加平差，再以初末日乘之，得数以减定差，余数复以初末日乘之，得数万约为分，即各得其日盈缩积。

太隂迟疾厯立成<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》>布立成法依《厯经》垜叠招差，各以平差、立差求到各限迟疾度次。以相挨两限迟疾度相减，余为各限损益分。次以各限损益分加减每限月平行度，得为各限迟疾行度也。数止秒，秒以下不用其加减法。在疾厯益加损减；迟厯反之。

求每限月平行度法置小转中【十三日七七七三】以每日月平行度【十三度三六八七五】乘之，得【一百八十四度一八五二七九三七五】为实，以一百六十八限除之，得一度○九六三四○九四，是为每限月平行度也。

厯经迟疾厯三差法立差　三百二十五平差　二万八千一百定差　一千一百一十一万凡推迟疾在八十四限以下者，为初限；以上者，去减一百六十八限，余为末限。置立差，以初末限乘之，得数用加平差；再以初末限乘之，以减定差，余数再以初末限乘之，得数满亿为度，即得各限迟疾积度【凡初限是从初顺数至后，末限是从未尽日逆溯至前，故其数并同也】月与日立法同，但太阳以定气立限，故盈缩异数；太隂以平行立限，故迟疾同原。

日出入晨昏半昼分立成冬至后半嵗周<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》>夏至后半嵗周<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十四》>考立成法以半昼分转减五千分【半日周】余为日出分。日出分减去二百五十分，为晨分。以晨分减日周一万分，余为昏分。昏分减去二百五十分，为日入分。又防法【晨分与昏分相并成日周一万，又日出分与日入分相并亦成日周一万】

厯算全书卷二十四<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>交防管见小引交食为验厯大端，其事之著者有三：一曰食分深浅，一曰加时早晚，一曰起复方位。古法至授时立法已详，新法有西洋所测更密，几于无可复议。独其所谓起复方位，并以东西南北为言【如日食八分以上，初亏正西，复圆正东；八分以下，阳厯初亏西南，食甚正南，复员东南；隂厯初亏西北，食甚正北，复员东北；月食八分以上，初亏正东，复员正西；八分以下，阳厯初亏东北，食甚正北，复员西北；隂厯初亏东南，食甚正南，复员西南之类】而东西南北并以日月光体中心为主，故其边向北极处斯谓之北，向南极处斯谓之南，而东西从之。亦以日月之边向东升处即谓之东，向西没处即谓之西。此中西厯法所同也。然天既北倚赤道之势，与北极出地相应，皆南高而东西下，黄道斜交赤道，又因节气而殊，初亏、食甚、复圆各限加时又别。是故人所见日月光体之东西南北，非日体之东西南北也。故于仰观不能尽合，密测者以日月体匀为细分，而求其亏甚所当之处于理为尽然，必测器精良，用法取影，庶几可知。终不能若食分深浅、加时早晚之可以万目同观，众着无疑也。愚今别立新术，凡亏复各限，并于日月光体之上下左右直指其蚀损所在，而不用更杂以东西南北之名，欲令测候之时举目共见，即步算之疎密纎毫莫遁，或于测学不无小补，犹冀髙贤深明理数，有以进而教之也。康熙四十有四年，嵗在防防，作噩，勿庵梅文鼎谨识，时。

年七十有三钦定四库全书厯算全书巻二十五宣城梅文鼎撰交防管见求初亏复员定交角以初亏复员定时分，依法求其距午时分，午后以加，午前以减，各加减日实度，所对时分【入九十度表取之】为初亏复员时定总时。以定总时，各求其日，距限限，距地髙，遂以得其交角，加减之，得初亏复员时，定交角。求初亏复员时，先阙后盈之防，在日体上下左右。法自天顶作垂弧过日心以至地平，分日体员周左右各一百八十度。次依定交角度分，日在限西，初亏为右下之角，复员为左上之角，其度右旋；日在限东，初亏为右上之角，复员为左下之角，其度左转。并自垂弧左右起算，数至定交角度分，即得太阳员周初亏时先阙、复员时后盈之防。其定交角或为钝角者，上下相易【如本为右下者变为右上，本为右上者变为右下，左亦然】是为亏复时交道中径。食十分者用此，即中西旧法所谓八分以上初亏正西、复员正东者也【初亏复员各依其定交角度分取之】若食九分以下，当先求蚀纬差角法，为并径与月视黄纬，若半径与蚀纬差角之正▯也，以月视黄纬化秒，乘半径为实，以并径减一分化秒为法，除之得蚀纬差角之正▯，查正▯得度分，以加减亏复时交道中径，得日体周边先缺后盈之防。视纬北者，日在限西，初亏以加，复员以减；日在限东，初亏以减，复员以加。视纬南者，日在限西，初亏以减，复员以加；日在限东，初亏以加，复员以减。并置交道中径，以蚀纬差角度分加减之，得数仍自垂弧左右起算，得初亏何处先缺，复员何处后盈，上下左右皆可预定。

求食甚在日体上下左右惟食十分者，食甚时，两心相掩，或全黒，或作全环，皆无上下左右可论。其食九分以下，皆以隂阳厯论，南北视纬。若食甚时正在黄平象限，则视纬北者，食甚在日体上半，缺口正向天顶，形如仰瓦，即旧法所谓正北；视纬南者，食甚在日体下半，余光厚处正对天顶，缺处正向地平，两角下垂，形如覆梳，即旧法所谓正南也。若此者，只有上下可言，而无左右偏侧之度。其余，日在限西，则南纬在左下，北纬在右下；日在限东，南纬在右下，北纬在左下，并以食甚时定交角之余度，或左或右，并从天顶垂弧之两旁起算，即得食甚在日体上下左右之度。

求日体周边受蚀几何法用太阳太隂两半径相并为和，相减为较，和较相乗为实，月视黄纬为法，除之得数，以加减月视黄纬，讫乃折半以乘半径，又为实，以太阳半径为法，除之得余▯，查表得度，倍之即食甚时日体受蚀度分【以太阳全周分三百六十度内该受蚀者几何度】加减例【日半径大于月，以得数加黄纬；日半径小于月，置黄纬以得数减之】

求日食三限在地平上髙度食甚时，日距地髙，即可径用。初亏复员，各以定时求其距午分，依日赤纬南北度入髙弧表，即各得亏复时地平上髙度【如无正表，取前后二表数，以中比例酌之。假如其地极出地三十一度，则查三十度表及三十二度表，以两表数并而半之，即是本地髙弧之数】又算法【以限距地髙度与日距限之余度相加为捴，相减为较。捴较各取余▯，视捴弧过象限，则两余▯相并；不过象限，两余▯相减，并折半得髙弧正▯，捡表得髙度】

求日食三限地平经度法以地平纬度之余度分与极出地之余度分相加为总，相减为较。总弧、较弧之余▯相减，若总弧过象限，则相加并折半为法【初数】又取较弧矢与日距北极度之矢【对弧矢也，日赤纬在南者以加象限，赤纬在北者置象限，以赤纬减之，即各得距北极度】相减，得较较。乘半径为实，实如法而一，得角之矢【以矢命度】若日食在午前，其角度为距正北子正之度；食在午后，以减半周为距正南午正之度【正矢与大矢并同一法】三限皆如是。

求带食分在日体上下左右以日出入时距纬为法，半径乘月视黄纬为实，实如法而一，得正▯查表得带食纬差角度分。如求初亏复员之法，以带食纬差角加减白道中径，得带食分，在日体上下左右。若带食在初亏后、食甚前，其加减用初亏法；带食在食甚后、复员前，其加减用复员法。带食在初亏后，食甚前者，隂厯日，在限西加，日在限东减。

阳厯日在限西减　日在限东加带食在食甚后复员前者，隂厯日在限西减，日在限东加。

阳厯日在限西加　日在限东减右并置月道中径，以带食纬差角度分加减之，得数仍自垂弧左右起算，即得带食时食分最深之处，在日体上下左右【凡带食出入时，或防亏，或见蚀半，或半以上，其余光皆成两角外向，均折两角取其中，即带食分最深之处】

求带食出入时日边受蚀几何以太阳太隂两半径相并为和，相减为较，和较相乘为实，日出入时距纬为法除之，得数以加减日出入时距纬【日半径大于月，以得数加入距纬；日半径小于月，置距纬以得数减之】乃折半用乘半径，又为实，太阳半径为法除之，得余▯，查表得度，倍之为带食出入时，太阳周边受蚀之分【以三百六十度分太阳全周内该缺几何度分】

作日食分图法【交食之验，非图莫显。图必分作其象，始真。故不惮反覆详明，以着其理】

一定日食时交道斜正作立线以象垂弧，此线上指天顶，下指地平，即地平经度圏之一象限也。线上取一防为心，规作员形以象太阳，其员周为地平经线所分左右各一百八十度。依本限定交角作防【或初亏，或复员，或食甚，各有定交角】若日距限在西，其度右旋；日距限在东，其度左旋。于太阳员周上下，并从垂线分处数至定交角度止，得两防聮为一直线，必过太阳之心。两端稍引长之，横出是为日食时月道交于垂弧之象。若日距限西，交道左昂右低；日距限东，反之。其初亏、食甚、复员三限距限东西，有时而异，虽其不异，亦必有逺近髙下之殊，则交道低昂异势，未可以一法齐也。今三限各求定交角，依度作图，不论东西南北，一以太阳边左右上下言其亏甚之状，即测算可以相符，厯法之疎宻可以众睹，更无丝毫可容假借。

如图，甲乙为垂弧，甲丁、乙丙为日体，乙己、丙为定交角，丁己、甲为对角。乙至丙、甲至丁皆定交角之度。因日距限在限西，故右旋数其度。丙丁为上下两防，己为日心，聮丙丁为直线，则过日心稍引长之至庚，则成交道。因在限西，故月道左昂右低【交道即月道，也为月视纬所成，在食十分时可名月道，其食不满十分者可名月道平行线】

各号并与前同惟日距限，在限东，故从乙至丙，从甲至丁，并左旋，数定交角度，而庚辛月道，右昂，左低。

如图月道平过与天顶垂弧相交成十字正角而又在午方则上北下南左东右西各如本位矣【如旧法食十分初亏正西复圆正东食八分以下者隂厯初亏西北食甚正北复圆东北阳厯初亏西南食甚正南复圆东南惟此时为然】此必日食在黄平象限左右因定交角加减而成正角然不常有即有之又未必在正南方则与东西南北之名不相叶应故不如用定交角直以上下左右言其方向【黄平象限有离午正二十三四度时又有定交角加减则虽离午正三十余度之逺而能有此象盖即月道之九十度限也食既者遇之亏必正右复必正左北纬者亏右上复左上而食甚正向天顶南纬者亏右下复左下而食甚向地平】

己为日戊为月乙至丙甲至丁皆交角之度丙为初亏丁为复圆戊丙己丁为月道此因日食十分，故即用丙丁二防为初亏、复圆，即旧法所云初亏正西、复圆正东者也。然以日距限西，故初亏在日体右下，复圆在日体左上。

此亦日食十分，因距限在东，故初亏在日体为右上，复圆在日体为左下。凡日距限西者，复圆交角必小于初亏；日距限东者，复圆交角必大于初亏。故必分作其图，始能合算。今从简省，以交角相同者合为一图，非谓一食中亏复同角也。

一图初亏先以初亏定交角，如法作垂弧，及交道安太阳于交防。若食十分者，于太阳右方截取交道如月半径之度，以此为心规，作月体与太阳边相切，即初亏时先缺之防【图己见前】若食不满十分者，用纬差角度算太阳边周之度，月视黄纬在北，向上数之；在南，向下数之。并从太阳右方交道起算，数至纬差角度止，即为初亏时先缺之防。自太阳心向此防作直线透出，其外稍引长之，以并径为度，从心截取引长线作防，即初亏时两心之距也。以截防为心，太隂半径为度，作圆形，即初亏时太隂来掩太阳相切之象也。从太隂心作直线与交道平行，则月视行之道也。从太阳心作垂线至视行线，成十字角，即月视黄纬也。以上并不论初亏是午前午后，亦不论地平方位，或在正南，或偏东西，并同一法，食甚复圆仿此。

乙己丙交角，乙丙其度从丙过己，心至丁而引长之，即月道平行线。丙、己、庚为纬差角，丙庚其度，因月视黄纬在北，故从交道丙向上数其度至庚，庚即初亏时先缺之防。从太阳心己作直线过庚防而透出其外，为己庚戊线。乃并日月两半径【得己戊】为度，截己庚戊线于戊，戊即太隂心也。以戊庚月半径，从戊心作圆，为太隂与太阳边相切于庚，初亏象也。从月心戊作戊辛癸线，与丙己丁平行，月视行道也【此月视行线乃人所见月心所行，故以丙己丁交线为月道平行线】从太阳己心作十字垂线，至月视行线上，如己辛，月视黄纬也。

乙己丙交角，以乙丙为度，从丙过己，心作月道平行线丙己庚，纬差角，以丙庚为度，因月视黄纬在南，故从交道丙向下数其度至庚，庚即初亏时先缺之防【此为纬差角大于定交角，故易右为左】从己心向庚作己庚戊线，而以己戊并径度截之于戊，用为月心规。作月体与太阳相切于庚，象初亏也。从戊心作癸戊辛线，与丙己丁平行，月视行道也。从己心作己辛线，与戊辛相遇成方角，月视黄纬也。以上二宗为日距限，西日距限西者，初亏定交角并为右下之角。然惟食十分时，则初亏右下与定交角同防。其余则北纬者能易右下为右上，前条是也。南纬者能易右下为左下，此条是也。

甲、己、丁交角，以丁甲为度，从丁过己，心作丁己丙月道平行线。丁己庚纬差角，以丁庚为度，因月视黄纬在北，从交道丁向上数至庚，以庚为初亏之防【此亦纬差角大于定交角，故易右为左】如前，从己心向庚作透出线，截之于戊，使己戊同并径，则戊为月心。从戊心作圆形象初亏时太隂，以其边切太阳于庚。从戊作戊辛癸线，为月视行之道，与丁己丙平行。又从己作己辛线，为月视黄纬，辛为正角。

诸号同前惟以月视黄纬【即己辛】在南，故纬差角【丁己庚角】从交道【丁】向下数其度【至庚】为初亏之防。

以上二者为日距限东凡初亏在限东者其定交角为右上之角然惟日食十分与定交角同防而初亏右上其余北纬者能易右上为左上南纬者能易右上为右下此二条可以推矣一图食甚先以食甚定交角，作垂弧月道于交防，安太阳并如初亏法，次于太阳周边数定交角余度，若日距限西，其度左旋；日距限东，其度右旋。并于日体上下方，从垂线数起至定交角余度止，各作防聮为一直线，稍引长之。此线与月道为正十字，能过月道之极，即月道之经圏食甚时，太阳、太隂并在此线之上，乃以月视黄纬求其距。若视纬在北，向上量之；视纬在南，向下量之。并从太阳心截取视纬于月道经线作防即食甚时两心之距也。以此为心，月半径为度，规作月体，即见食甚时月掩太阳在日体上下左右几何度分。此时两心之距为最近，其食分最深。于此线上分太阳光体为十平分，即所食之分可见。若于太阳之边数其所蚀光界，即知太阳周边受蚀几何度分。若于月心作线与月道经线为十字正角，即自亏至复月行之道也。两端稍引长之，用并径为度，从太阳心截之，左右各得一防，即初亏复圆之防也【右为初亏，左为复圆】如此即为总图【総图惟食甚为正形，初亏复圆亦得大槩仍当于分图攷之】若食十分者，或全黒，或作金环，并无视纬，更无上下左右可论，不用此法。又若食甚时，定交角满九十度，则北纬正对天顶，余光有如仰盂；南纬正对地平，余光有如覆椀。其月道左右平衡，其南北视纬即于垂弧取距【北纬自太阳心向上，南纬自太阳心向下，并以月视黄纬取其度为两心之距】不须另作月道经线，又于月道经线以月视黄纬量其距：若隂厯向上量之，阳厯向下量之，并自太阳心量至视黄纬止。从此作线与月道经线为十字角，即与亏复月行之道平行，南北差之理亦自可见。

乙己丙为定交角，其度自乙右旋至丙。丙己丁线过太阳心，为月道平行线。乙己庚为定交角之余角，其度自乙左旋至庚，庚为食甚所向之方，从庚过太阳心作午己庚线，为太阳全径分为十分。依月视黄纬自太阳心己截至戊，以戊为心，月半径壬戊为度作圆，以象食甚时掩日之月。计所掩径自庚至壬，得蚀六分，余光自壬至午得四分，计所掩边自酉过庚至卯得缺光之边一百三十分，余光自酉过午至夘得未掩之边二百三十分，约为蚀三之一而强【此以太阳边周为三百六十分也，分亦可名度】从月心戊作戊癸线，与太阳径为十字角，与交线平行，是为月视行之道。以并径为度，自太阳心己截戊癸月道于辛，于子各为心作太隂象，即见初亏于酉，复圆于卯，可当总图。

此与前图皆食在限西，故乙己丙定交角同势。惟月视黄纬在北，故用甲庚余角，从甲左旋数至庚为食甚所向之方，亦作午己庚十分全径而透出之。用月视黄纬截之于戊，戊为心，戊壬半径，作月体交加于太阳光体之上，计所掩自庚至壬，得蚀四分有竒。其自未过庚至丑为所蚀之边。又如法从戊心作月视行之道，以幷径截之于辛，于子各作月体，即见卯酉为亏复之防。几食在限西者，南纬必食甚左下，北纬必食甚右上。惟交角大者余角小，交角小者余角大，而大致不改，即二图可槩其余。其初亏交角必大于食甚，复员交角必小于食甚。全图聊举大意，仍以分图为定。

乙己丙定交角，其度自乙左旋至丙，丙己丁过太阳心为月道平行线。乙己庚，余角度自乙右旋至庚。庚己午，太阳全径引长之，以月视黄纬度截之于戊。戊为食甚时月心所到，其边掩太阳至壬午。壬为食甚所向之方，分太阳全径为十分，午壬为所掩之分，得二分有竒。未午丑为所缺之边，约得九之二。

此与前图皆食在限东，乙己丙交角同势。惟月视黄纬在南，故用甲己午余角【即乙己庚】右旋，从乙至庚，庚防为食甚所向。庚己午太阳全径十分，以月视黄纬截己戊，戊为月心，作太隂体掩太阳至壬，得八分有竒。未庚丑为所缺之边，约得九之四。凡食甚在限东者，北纬必左上，南纬必右下。虽角有大小，其大致不变。以上二图可槩其余。以上食甚四图，或居太阳体之左上，左下，右上，右下，并以定交角论，其余角不论地平经度之东西南北，并同一理。即令食甚正午，而距限有东西，即交道有低昂，必无正北正南，如旧法所云者也。

此月视纬在北日食七分竒甲为食甚在日体上方，余光如仰盂。

此月视纬在南日食五分戊为食甚在日体下方余光如覆椀惟此二图，是交角成象限。若又居正南方，则北纬食甚可称正北，南纬食甚可称正南。

一图复圆以复圆定交角，作垂弧，月道安太阳，并如上法。若食十分者，于太阳左方截取月道，如月半径之度，以此为心，规作月体与太阳边相切，即复圆时后盈之防【图亦见前】若食不满十分者，用纬差角度算太阳边周之度，北纬向上数之，南向下数之，并从太阳左方交道起数至纬差角度止，即为复圆时后盈之防。自太阳心向此防作直线透出，其外稍引长之，以并径为度，从心截取引长线作防，即复圆时两心之距。以截防为心，规作太隂与太阳相切，即复圆时太隂行过太阳初离之象也。

甲己丁交角【即乙己丙】其度甲丁从丁过己，心作丙己丁线，引长之，即月道平行线。丁、己、庚为纬差角，其度丁庚，因月视黄纬在南，从交道丁向下数其度至庚，庚即复圆时后盈之防。从太阳心己出直线过庚而透出其外为己庚戊线，以幷径为度截之于戊，以戊为心，月半径为界，作太隂圆体，切太阳边于庚，即太隂行过太阳初离之象也。从月心戊作戊辛直线，月视行之道也，而己辛者，月视黄纬也。

甲己丁交角【即乙己丙】其度甲丁，从丁作月道平行线，过己心至丙，而引长之。丁己庚纬差角大于交角而月视黄纬在北法当从交道丁向上数丁庚之度跨甲而至庚庚即复圆时复光最后之防。又法从己心作丙己丁之十字垂线，乃以月视黄纬为度截之于辛，则己辛即食甚两心之距也。从辛又作十字长垂线与丙己丁交道平行，如戊辛癸，即月视行之道也。次以幷径为度截月视行道于戊，以戊为心，月半径为度作复圆时太隂象，即其边切太阳于庚。以上二图皆复圆距限西也。凡复圆限西者，其定交角为左上之角。然惟食十分，其防不改；其余则有易为正左稍下，如前图者；有易为右上，如此图者。余可数推。

乙己丙交角，以乙丙为度，从丙作月道平行线，过己心至丁，而引长之。因月视黄纬在北，从交道丙向上数纬差角丙己庚之度，至庚，即庚为复圆之防。又法，以丁午丙半周度折半于午，从午作线至太阳心己，为丙己丁之十字垂线。于此垂线上截取辛己，如月视黄纬，即于辛防作十字交线与交道线【即月道平行线】平行为月视行之道。于此月视行道取戊己斜距，如并径，则戊防即复圆时太隂之心。从心作太隂体，即切太阳于庚，而正居太阳左方。

此交角与差角同度也。庚己丙交角，其度自庚数至丙，防为月道平行线所过【丙己丁，过心线为交道，即月道平行线】丙、己、庚差角，自丙数至庚【因南纬向下数】庚防为复圆时，太隂初离太阳边，犹相切之处也。差角丙庚之度与交角庚丙等，故相减至尽，而正居太阳之底也。如用又法，从己心作己午垂线，以月视纬截辛防，从辛作十字线，如辛癸与交线平行为月视行道，即可以戊己并径截戊防为太隂心，其边即切太阳于庚，亦同。凡复圆限东者，定交角必居左下，然惟食十分者则然，其余则有变为日体正左或日体正下者，如以上二条者可类推也。

甲为九十度限，乙为黄道过午规交角，乙丙为黄道在午规距天顶之度，今用乙甲丙正弧三角形，有甲正角，乙交角，乙丙弧，而求甲丙弧为九十度距天顶之度，法为半径与丙乙弧正▯若乙角之正▯与丙甲正▯也。

【一　半径二　丙乙正▯】

【三　乙角正▯四　丙甲正▯】増沿厯书乃以丙乙余▯与乙角余▯相乗为实，半径除之，得丙甲正▯，失其防矣。简庵曰：「甲角非正角也。何以言之？自天顶出线过赤道，则为正角；其过黄道不能成正角。甲角既为天顶线过黄道所作之角，则必非正角。」勿庵曰：「不然。甲防者，九十度限也。若甲非正角，则不得为九十度限矣。」简庵曰：「赤道能为正角者，以天顶线能过北极也。若黄极则不能过天顶，天顶线既不串黄极，则甲必不能为正角，明矣。」勿庵曰：「子午线所以能穿天顶与北极者，以赤道在平地上，半周一百八十度，而交子午圈处为其折半最中之处，故天顶线交赤道成十字角也。天顶线与赤道作正角，惟此一处。盖惟此处能使地平经线【即天顶出线至地平分方位之线】与赤道经线【即北极出线至赤道分时刻之线】合而为一【从地平经线言之为子午规，从赤道言为过极圈】他处则不能也。黄道亦然，其在地平上亦一百八十度，每度并从黄极出经线至黄道上成正角，但不能过天顶，而必有一度为黄道半周折半之处，则此一经线必过天顶而穿黄极。天顶线既穿黄极，则其交黄道处必成十字正角矣。天顶线与黄道作正角，亦惟此一处【亦如赤道之有子午规】盖亦惟此处能使地平经线与黄道经圈合而为一，而他度不能。西法用九十度限，其理如此，故甲角必正角。」简庵闻此，欣然首肯焉。

本法用乙甲丙形求丙甲为九十度距天顶。今依简庵説用丁戊丙形求得戊丙为天顶距黄极之度，以减象限即得丙甲距天顶之度。法曰：以正午黄经之赤道同升度，取丁角【从冬至数之，即得】以各地北极出地余度，取丁丙边；以两极相距二十三度半，为丁戊边。

是为一角两边可求戊丙边若用垂弧法，虽多转折，其理无讹。若用加减代乘除法，乃捷矣。又按，此以正弧形为本形，改用斜弧为次形，亦弧三角中一法，往所未及也。可见学问相长之无穷。既得甲丙边，又原有乙丙边，甲正角可求，甲乙边为九十度，距午规。

丁北极，戊黄极，丑寅圈径五度为白道极所行之迹。丑为今所求月道心【即白道极所到】得丑寅边为丑戊寅角之度，亦即为丁戊丑角度。先用丁戊丑弧三角形，有丁戊边【为两极距二十三度半】有丑戊边【为月道大距五度】有戊角【即上所论】可求丑丁边为白道极距北极之弧，可求丑丁戊角。次用丁丑丙弧三角形，有丑丁弧【为先所求】有丙丁丑角【以先有之戊丁丙角与今得之丑丁戊角相加减得丙丁丑角】有丁丙边【即本地北极出地余度】可求丑丙边为白道极距天顶之弧，亦即为白道九十度距地平之髙度，求白道极所在【即丑防】法曰：凡白道极随交防而移交防逆行，故白道极亦逆行也。先求正交【或中交】在黄道度分离，此一象限即为半交最逺之所。此防与白道极相应，若系半交是阳厯，则白极在黄极南；半交是隂厯，则白极在黄极北。极距黄极五度竒，即丑戊也。丑戊弧五度，循黄极而左旋，有时而合于两极。距线为寅戊或戊辛，则无丑戊丁角。自此以外皆有戊角，此算之根也。

设白道极【丑】在寅，即丑戊寅角。法当以戊寅五度【白极距黄极】与丁戊二十三度半相减，余十八度半，为寅丁。寅丁丙弧三角形，有寅丁边【为白极距北极】有丁丙边【北极距天顶】有丁角，可求寅丙边为白极距天顶。

又设【丑】防在辛，即以戊辛加戊丁为一边【辛丁】如上法可求辛丙弧，为白极距天顶。以上二者，因白极距黄极之线与黄极距北极同一大圈之经度，故丁戊线有加减，而丁角无加减，故只用一弧三角形即可得之。此惟月边半交在二至度，然后能如是。设正交在秋分之度，中交在春分之度，则阳厯半交在冬至黄道外，隂厯半交在夏至黄道内，各五度竒，而白道极在两极距线外，亦五度竒，如辛如酉。法当以白黄大距五度竒【辛戊或酉戊】加两极距二十三度半【戊丁】共得二十八度半竒【辛丁或酉丁】为一边。丁丙为一边【北极距天顶】丁为一角【或辛丁丙或酉丁丙】可求辛丙边【或酉丙边】即白道极距天顶度，以减九十度，余为白道距天顶度【捷法即以所得白道极距天顶命为白道九十度距地平】此图丁辛线，己用弧线，不能作两白道极圈。

如图，丙为天顶，丁为北极，丁戊二十三度半，即以丁为心，戊为界，运规作圆，即黄极绕北极之圈。再以丁戊引长之至于辛，又以戊为心，辛为界作圆，为白极绕黄极之迹。戊辛为黄白距五度竒【此图则戊酉可省】今聮丁辛丙成三角形，如上论，余观图自明。更当明者，白道限度之不能与黄平象限同在一度，即若黄平象限之不能与赤道髙度同在一度同也。黄平象限与赤道髙度能在一经度者，惟极至圈在子午规之度为然。白道限度之能与黄平象限同在一经度者，惟两交在二分之度，又极至圈同在午规时也。又设正交在春分之度，中交在秋分之度，则阳厯半交在夏至黄道外，隂厯半交在冬至黄道内，各五度竒，而白道极在两极距线内，亦五度竒，如寅如未。法当以白黄大距五度竒【寅戊或未戊】去减两极距二十三度半【戊丁】得余十八度半弱【寅丁或未丁】为一边；丁丙为一边；丁为一角【或寅丁丙或未丁丙】可求寅丙边【或未丙边】为白极距天顶，即命为白道九十度距地平之髙，图如后。

以上二者并只用一弧三角形，何则？以交防在二分也。交防在二分，则半交与白极并在极至交圈，故丁戊弧自有加减，而丁角无加减。若交防离二分，则否。何则？交防逆行，即罗计度也。交防周于天，而半交大距亦一周天，而白极亦周于黄极左右之小圈，故丁角有加减，而必用两三角形也。

求戊角【用两三角形必先取戊角】　法曰正交在秋分则白极在辛【即在酉】从辛左旋过丑至寅而复于辛以生戊角戊角之度或鋭或钝皆以交防距分之度命之白极小圏以罗计一周而复于元度【假如正交自秋分向夏至逆行过秋分二十度则白极离辛防亦二十度以减半周余百六十度为戊钝角】求丁角【戊丁丙角】法曰：视极至交圏距午圏若干度分，即得戊丁丙角【以加时午正黄道度取之】

白道九十度限用法依前所论，以求加时白道九十度限，在地平上之髙的确不易【用斜弧三角形】但如此，则交食表所算九十度限俱可不用，当另算白道九十度表。法曰：丑、戊、丁三角形，以丁戊边【两极距二十三度半】丑戊边【白极距黄极五度】戊角【白极距冬至经圏之度，亦即正交离秋分之余度】为二边一角，可求丁丑边【此边之度天下所同】丁角【此角亦天下所同】其法并以戊角之大小立算【只算半周可以立表矣】正交在【秋分前以过夏至而至春分，春分前以过冬至而至秋分】之度，角在极至圏【西东】戊丁丙三角形，求丁角。法曰：以应时法求加时午正黄道【可借用黄道九十度表】取其赤道同升度，即得丁角。视同升度在冬至后半周，其距冬至度即为丁角【其角在子午线西】若同升度在夏至后半周，即以距夏至度去减半周，余为丁角【其角在子午线东】此丁角亦天下所同。

丑丁丙三角形　先求丁角法曰：「以先有之两丁角相减，或相并，即得丁角。」两丁角俱在西，或俱在东【则相并】两丁角一在西，一在东【则相减】此丁角亦天下所同。

次求丁丙边法曰：丁丙者，各地之北极距天顶也。以北极髙度减象限得之。

次求白道九十度限之髙法曰：既有丁角【即上所求】丁丑边【即先所求】丁丙边【即极距天顶】为一角两边，可求丑丙边【为白极距天顶度】以减象限，得白道九十度限距天顶，亦即得其距地平之髙。既得白道九十度限距地平之髙，再求得月在白道上距九十度限之度分【法以月距交前交后度减象余即得】可求其交角【白道交天顶经度之角也】此交角可借黄道交角表用之，但须补作黄道北五度表。既得交角，则髙下差可知，而东西南北差悉定矣。

康熙四十三年五月十七日乙卯朢月食分秒时刻并起复方位。

京师月食十分三秒初亏子正二刻三分　东北食既丑初三刻八分食甚丑正一刻二分生光丑正二刻一分复圆寅正初刻一分，正北稍偏西。

右计食限内凡十三刻十三分按食限内共十三刻十三分，折半得六刻十四分，故以此减食甚时刻，得初亏【自初亏子正二刻三分至食甚丑正一刻二分，正得六刻十四分】加食甚亦得复圆【自食甚丑正一刻二分至复圆寅正初刻一分，亦得六刻十四分】是亏至甚，甚至复时刻适均也。时刻所以适均者，月行天之度均也。然则作图之法，自当以食甚月体置于亏复两限适中之处，而不宜偏侧矣。今监颁蚀图，乃偏置于东，若是则亏至甚月行之度分多，甚至复月行之度少，度既不均，则时刻亦宜増减。若时刻既无増减，则图之偏者必非正法矣。又按食既至食甚，食甚至生光时刻，亦宜适均，与亏至甚甚至复之理无二【厯书本法，亏复折半之数谓之食甚距分，以减食甚得初亏，若以加食甚得复圆。其食既至生光折半数谓之食既距分，以减食甚得食既，以加食甚亦得生光，并无长短伸缩】今图中所注食既至食甚时刻多【食既是丑初三刻八分，至食甚丑正一刻二分，计一刻○九分】食甚至生光时刻少【食甚丑正一刻至生光丑正二刻一分，只十四分】相差十分，何也？岂以食甚图偏而自疑其法耶？不然何以若是。又按交食表，食甚距分是一时四十四分【即监推六刻十四分】食既距分是四十二分【实计二刻十二分】月食只十分○三秒，食既生光不得有五刻九分之乆【倍食既距分得八十四分，实五刻○九分】盖觉其非是，而弃表不用也。然表之数宜改，而其法不宜改【表自既至生光五刻九分，监推只二刻○八分，是改数也；厯书以距分加减食甚得既与生光，而监推相差三分刻之二，是改法也】今改其数，幷改其法，不知何所见而云然也。或疑月行有迟疾，自生光至食甚，行迟，故厯时刻多；食甚至生光，行疾，故厯时刻少。此亦説之可通者也。然月之迟疾，必以渐成，决无于二刻八分中顿有十分之差【月平行二刻八分，只行天三分度之一而弱】且食既生光，既有迟疾之差，初亏复圆，何以独无？可谓进退失据矣。又按食甚云者，以月于此时侵入闇虚独湥也，则其距前后之时刻必为折中均平之处也。故月食未既者，必于食甚时定其食分，以此时所蚀之分最大也【假如月食九分，则惟食甚时能满九分，前后皆少食八分以下，尽然】是以谓之食甚，若图有偏侧，不得谓之食甚矣。食未既时，有食分以攷之【食分最多时，始为食甚】食既矣，则食甚无可指，惟頼食既生光时刻折半取中。而今乃相差若此，又何所据而为食甚耶？又详检之初亏至食既【计五刻五分】食既至食甚【计一刻九分】食甚至生光【计十四分不满一刻】生光至复圆【计六刻】无一相同，而迟疾皆不伦。初限较末限，既先疾而后迟【初亏至食既五刻五分，是初限行疾也；生光至复圆整六刻，是末限行迟也】二限较三限，又先迟而后疾【食既至食甚一刻九分，是次限行迟也；食甚至生光只十四分而不满刻，是三限又行疾也】是初亏行疾限至食既，而忽迟；食既行迟限至食甚，而顿疾；食甚行疾限至生光以后，而又迟。不识月转迟疾，有如此行度否乎？