厯算全书卷五十四

厯算全书卷五十四

宣城梅文鼎撰三角法举要卷五测量【三角用法算例已具，兹则举髙、深、广、逺以徴诸实事，亦与算例互相补备也】

一测髙一测逺一测斜坡一测深附隔水量田附解测量全义三角测髙第一术自平测髙假如有塔，不知其髙，距三十丈，立表一丈，用象限仪测得髙二十六度三十四分弱，依切线术求得塔髙一十六丈。

一半径　　　　　　一○○○○○二戊角切线　　　　　五○○○○三距塔根【丙乙即戊丁】三十丈。四塔顶髙【甲丁是截算表端以上】十五丈。加戊丙表一丈【即丁乙】共得塔髙十六丈【甲乙】凡用象限仪以垂线作角，与用指尺同理【指尺即闚衡，亦曰闚管，亦曰闚筩】若戊丙表立于髙所，当更加立处之髙以为塔髙。

省算法从表根丙平安象限以一邉指塔根乙一邉指癸乃顺丙癸直线行至癸得三十丈与丙乙等复于癸平安象限作癸角与戊角等邉指丙尺指壬，则壬丙逺，即甲丁之髙【亦加丁乙为塔髙】论曰：癸角同戊角，丙癸同丙乙丙。与乙并正角，则两句股形等立面。

与平面一也又术：自丙向癸，却行以象限平安。邉指丙，尺指乙，求作戊之余角，得。

己丙之距即同甲丁之髙又省算法，用有细分矩度。自戊数至癸，令其分如丙乙。之距【或两倍、三倍】从癸数壬癸直线之分即甲丁之距也【先以二分为丈或三分为丈今亦同之】

用矩度以垂线作角其用亦同三角测髙第二术平面则不知逺之髙法用重测假如有山顶欲测其髙而不知所距之逺，依术立二表相距一丈二尺，用象限仪测得髙六十度十九分，退测后表得五十八度三十七分，查其两余切线以相减得。

较数为法表距乗半径为实算得山髙三十一丈一　余切线较○○四○○○二　半径　　一○○○○○三　表距戊己　一丈二尺四　山髙甲丁　三十丈加表一丈共三十一丈省算法用矩度假令先测指线交于辛后测指线交于庚成辛庚戊三角形法于两指线中间以两测表距【即戊己】变为分，如壬。癸小线引长之至丙，即丙戊所当测髙。论曰：此即古人重表法也。或隔水量山，或于城外测城内之山，并同。

三角测髙第三术从髙测髙　又谓之因逺测髙假如人在山颠，欲知此山之髙，但知山左有桥，离山半里，用象限测桥，得逺度一十八度二十六分强，依切线法求得山髙一里半。一甲角切线半径【一○○○○○】二半径甲角余切【三○○○二八】三桥逺【戊丁】一百八十步。四山髙【甲丁】五百四十步【○五尺】省算法用矩度，作壬癸线以当。

戊丁则己壬当甲丁三角测髙第四术从髙测不知逺之髙　法用重测假如人在山上，欲知本山之髙，然又无可防之逺，但山有楼或塔，量得去山二十一丈，以象限仪指定一处于楼下，测得五十五度二十六分，又于楼上测得五十三度五十分，用余切线求得山髙三百四十四丈五尺。

一　两余切较　　　四二二　下一测余切　六八九三楼髙【两测之距】二十一丈。

四　山髙　　　三百四十四丈五尺省算法用矩度上测交庚下测交辛成辛己庚三角形法于两指线中间以上下两测之距变为分如壬癸小线引长之至丙即壬丙当所测本山之髙三角测髙第五术若山上无两髙可测，则先测其▯【但山上有两所可以并见此物，即可测矣】甲乙为山上两所【不拘平斜，但取直线】任指一处如戊于甲于乙用噐两测之成甲乙戊形此形有甲乙两角又有甲乙之距为两角一邉可求甲戊邉法为戊角之正▯与甲乙邉若乙角之正▯与甲戊。再用甲戊、丁句股形为半径，与甲戊若甲角余▯与甲丁，即山之高也。

三角测髙第六术借两逺测本山之髙有山不知其髙，亦无距山之逺。但山前有大树，从此树向山而行，相去一百八十五丈。又有一树，人在山上可见两树如一直线。即于山上以象限仪测此二树，一测逺树四十三度三十二分，一测近树三十度○七分。用切线较得本山髙五百丈。

一　切线较　　三七○○○二　半径　　　一○○○○○三　两逺之较　一百八十五丈四　本山髙　　五百丈省算作壬癸，小线当两逺之距【己戊】而丙甲当本山髙【甲丁】

三角测髙第七术用山之前后两逺测髙甲为山颠可见戊己两树其树与山参相直【如山南树直正子北树直正午】而不知其距但山外有路与此树平行为庚辛，其长三里【如两树正南北】此路亦自南向正北行】即借庚辛之距为两树之距，以两切线并为法，求之。先从甲测巳，得甲角一十七度○四分。又从甲测戊，得甲角三十四度三十四分。法为两切线并与己戊，若半径与甲丁也。

一率两切线并【○九九六○○】二率半径【一○○○○○】三率己戊即庚辛【三里】求得四率甲丁【三里○四步又三之一强】

三角测髙第八术测山上之两髙甲山上有塔如乙欲测其髙如乙甲之距于戊安仪噐测乙测甲得其两戊角之度【一，乙戊丁；二，甲戊丁】各取其切线相减得较，法为半。

径比切线较若戊丁与乙甲省算法数，戊丙之分，以当戊丁，作壬癸丙小线，则壬癸之分，即当乙甲。

用矩度亦同三角测髙第九术隔水测两髙之横距有甲乙两髙在水外欲测其相距之逺任于丙用仪噐以邉向丁窥筩指甲得甲丙丁角【一百二十】五度】又指乙得乙丙丁角【五十度】次依丙丁直线行至丁【得一百步】再用仪噐以邉向丙窥筩，指甲得甲丁丙角【三十九度】又指乙得乙丁丙角【一百零八度】又甲丁乙角【六十九度】得三角形三【一、甲丁丙，二、乙丁丙，三、甲丁乙】今算甲丁丙形，有丁丙邉，丁丙二角，求甲丁邉。

一率甲角【一十六度】正▯【二七五六四】二率丁丙【一百步】三率丙角【一百二十五度】正▯【八一九一五】求得四率甲丁邉【二百九十七步】次乙丁丙形，有丁丙邉，丙丁二角，求乙丁邉。

一率乙角【二十二度】正▯【三七四六一】二率丁丙邉【一百步】三率丙角【五十度】正▯【七六六○四】求得四率乙丁邉【二百○四步】末乙丁甲形有甲丁邉【二百九十七步】乙丁邉【二百○四步】丁角【六十九度】先求甲角一率两邉之总【五百○一步】二率两邉之较【九十三步】三率半外角【五十五度半】切线【一四五五○一】求得四率半较角切线【二七○○九】查表得一十五度○七分弱，以减半外角，得甲角四十度二十三分强。

次求甲乙邉一率甲角正▯【六四七九○】二率乙丁邉【二百○四步】三率丁角正▯【九三三五九】求得四率甲乙邉二百九十四步弱。论曰：此所测甲丁及乙丁皆斜距也。或甲乙两髙并在一山之上，于山麓测之；或甲乙分居两峯，于两峯间平地测之；或甲在水之东，乙在水之西，于一岸测之，并同。若用有度数之指尺，并可用省算之法。

三角测髙第十术隔水测两髙之直距有两髙如乙与甲于戊于庚测之先以乙庚戊形求乙庚斜距次以甲庚戊形求甲庚斜距末以乙甲庚形【有乙庚邉、甲庚邉及庚角】求乙甲邉，即所求。

三角测髙第十一术若山之▯髙，颠为次髙所掩，则用逓测。

山前后左右地势不同则用环测环测者从髙测下与测深同太髙之山则用屡测癸极髙为甲次髙所掩则先测甲复从甲测癸谓之逓测乙丁与子丑居癸山之下为地平而各不等，则从癸四面测之。如测癸辛之髙，以辛乙为地平；又测癸戍之髙，以戌子丑为地平。则乙丁与子丑之较，为戍辛，谓之环测。若山太髙太大，则于乙测甲，又于甲测癸，或先测卯，又测寅，又测丑，测子，再从子丑测癸，细细测之，则真髙自见，而地之髙下亦从可知矣，谓之屡测。

三角测逺第一术平面测逺有所测之物，如乙于甲，立表安象限，以邉指乙，余一邉对丁，从甲乙直线上任取九歩，如丁于丁，复安象限，以邉对甲，闚管指乙，得丁角七十一度三十四分，用切线算得乙距甲二十七步。

一　半径二　丁角切线三　丁甲四　乙甲若欲知丁乙之距，依句股法，甲丁、甲乙各自乗，并而开方，即得乙丁。若径求乙丁，则为以半径比丁角之割线。若甲丁与丁乙，也是为以句求▯。省算用矩度，自丁数自癸，取丁癸之分，如丁甲之距【或以分当步，或二分，或三分当一步，皆可】作壬癸丁小句股则壬癸之分即乙甲也【或一】分当步或二分、三分，并如丁癸之例】而丁壬亦即当丁乙【若尺上有分数，即径取之】若先从丁测测以测噐向甲，指尺向乙，作丁角。次依丁甲直线行至甲，务令测噐之一邉顺丁甲直线，余一邉指乙，则甲为正方角，如前算之即得【若甲非正方角，则于丁甲直线上或前或后移测，求为正方角乃止】

三角测逺第二术省算法人在甲欲测乙之逺于甲置仪噐一邉向乙一邉向丁成正方角乃依甲丁直线行至丁以邉向甲闚管指乙作四十五度角即甲丁与甲乙等若用矩度以乙丁线正对方角，则丁角为正方角之半，而甲丁等乙甲。论曰：丁角为正方角之半，则乙角亦正方角之半，而句与股齐，故但量甲丁，即知甲乙。

又省算法于甲置仪噐以邉向丁闚管指乙作六十度角顺甲丁直线行至丁复作六十度角则甲丁等甲乙论曰：甲角、丁角俱六十度，则乙角亦六十度矣。故三邉俱等。若丁不能到，则于甲丁线上取丙，以仪噐二邉对甲，对乙成正方角，则甲丙为乙甲之半。

三角测逺第三术平面测逺用斜角人在甲测乙而两旁无余地可作句股则任指一可测之地如丁量得丁甲二十丈于丁安仪噐以邉向甲窥筩指乙得丁角【四十六度】又于甲安仪噐，以邉指丁，窥筩指乙，得乙甲庚角【二十一度】加象限【九十度】得甲钝角【一百一十一度】法为以乙角之正▯【二十三度乃甲丁二角减半周之余】比丁甲，若丁角之正▯与乙甲，算得乙甲三十六丈八尺二寸。若求乙丁，则为以乙角之正▯比丁甲，若甲角之正▯与乙丁，算得乙丁四十七丈七尺八寸【甲为锐角，法同】省算法于仪噐，作壬甲线与乙丁平行，作壬癸线与乙甲平行，成壬癸甲小三角形与丁乙甲等，则甲癸当甲丁，而壬癸当甲乙，又壬甲当乙丁，用矩度同【但于象限内作横直分用同矩度】论曰：壬角既同乙角【壬甲与乙丁平行，壬癸与乙甲平行，则作角必相等】癸钝角又同甲角，则两三角相似而比例等。锐角，形于甲，测乙，用矩度之邉，指。丁作甲角，另用一矩度【其矩须于两面纪度】从丁测之，以邉向甲闚筩，指乙作。丁角末，移丁角作癸角，于噐上作。壬癸线与乙丁平行，则癸甲当丁。

甲而壬甲当乙甲壬癸当乙丁三角测逺第四术平面测逺借他线为比例甲乙为两所，顺甲乙直线行，任取。若干步至丙，又于丙任作直线至。丁得若干步于丁，安仪噐以邉对。甲闚，衡指丙作丁角，顺此直线至戊复安仪噐邉对，乙衡指丙作戊。角令与丁角等，则丙丁比丁戊。若丙甲与甲乙。

省算法于乙甲直线上取丙又从丙作丙戊直线截丁丙如乙丙于丁用象限闚乙作丁角再于戊闚甲作戊角令与丁角等则丁戊即甲乙又法甲置仪噐指乙指丁作角以减半周，成外角【己戊为甲角之度丙庚戊为外角之度】于丁置仪噐指。甲指乙使丁角如半外角之度，但量甲丁，即得甲乙。论曰：凡外角能兼内余二角【乙丁】之度，丁角既为外角之半，则乙角亦外角之半矣。角等者所对之邉亦等，故甲丁等甲乙。

三角测逺第五术平面测逺借他形为比例法从甲测乙任立一表于丙从甲用仪噐以邉向乙闚管指丙得甲角复于丁加仪噐以邉向戊闚管指丙使丁丙甲为一直线而作丁角与甲角等，乃顺仪噐邉取直线至戊，令戊丙乙为一直线，则丁丙与丁戊若丙甲与甲乙【钝角形句股形并同一理】

论曰丙戊丁与丙甲乙两三角形相似以两形之丙角为交角必相等而丁角又等甲角则戊角亦等乙角矣故其比例等三角测逺第六术　省算有甲乙两所，欲测其距，如前立丙。表以噐测得甲丙乙角之度，又顺乙丙直线行至戊，令丙戊之距同。甲丙而止，再从戊行，至丁，从丁闚。丙至甲成一直线，于此直线上进退移测，使乙丁丙角为乙丙甲角之半，则但量丁戊，即同乙甲【甲为钝角或丙为钝角，并同】

论曰甲丙与丙戊既相等乙丁丙角为乙丙甲外角之半则丙乙丁角亦外角之半是乙丙与丁丙亦等也而丙交角又等是甲丙乙三角形与戊丙丁形等角等邉也故丁戊即乙甲三角测逺第七术　重测甲乙为两所，欲测其距，而俱不能。到则两测之于戊，于丁，量得戊丁。之距【十六步半】用噐测得戊角【五十度四十三】分】丁角【三十六度一十分】两角之余切线。较【五五○○○】为一率，半径【一○○○○○】为二率，戊丁【十六步半】为三率，得四率为乙甲之距【三十步】若求戊甲之距，以两测之余切较【五五○○○】为一率，先测戊角之余切【八一八○○】为二率，丁戊【十六步半】为三率，得四率戊甲【二十四步五四】论曰：此即古人重表测逺法也。必丁戊甲直线与乙甲线横直相遇，使甲为正角，其算始真。假如乙甲正南北距，则丁戊甲必正东西，斯能横直相交而成正角也。

三角测逺第八术分两处重测乙岸在河东，欲测其距西岸之逺。如甲，则任于甲之左右，取丁、戊两。所与甲参相直而距河适均测得。丁角【五十度四十三分】戊角【五十五度四十三分】用两角度之余切线并【一五○○○○】为一。率半径【一○○○○○】为二率，丁戊之距【九十六步】为三率，求得四率乙甲之距【六十四步】为两岸阔。论曰：此法但取丁戊直距与河岸平行，则不必预求甲防，而自有乙甲之距为丁戊之垂线，尤便于测河。视用切线较，更简捷而穏当矣。

三角测逺第九术用髙测逺甲乙为两所不知其逺而先知丁。乙之髙，于甲，用仪噐测丁乙之髙。几何度分，即知甲乙法为半径比。甲角之余，切若丁乙。髙与甲乙之逺。若人在髙处，如丁用髙测逺，则为半径比丁角之切线，若丁乙与甲乙，其理并同，但于丁加仪噐而用正切三角测逺，第十术。

用不知之髙测逺欲知丁乙之逺而不能至，乙乙之上有庚，又不知庚乙之髙法，用重。测先于丁，测之得丁角【三十八度一十三分】又依丁乙直线进至甲，测之得甲。角【五十三度五十二分强】两余切较【○五四○○一】为一率，丁角余切【一二七○○一】为二率，丁甲之距【二十步】为三率，得四率，丁乙【四十七步○三】或丁后有余地，退后测之，亦同。省算作壬癸丙线，以壬癸分当丁甲之距，壬丙当丁乙之逺。若人在髙处，如庚于庚，测丁测甲，以求丁乙，其法亦同，但于庚施仪噐而用正切【法为以两庚角之切线较，比丁庚乙之切线，若丁甲与丁乙】

三角测逺第十一术用髙上之髙测逺甲乙为两所，而乙之根为物所掩。【如山麓有小阜，坡陀礨砢，林木蔽亏，或岛屿盘纠，荻苇深阻】难得真距若用两测甲外，又无余地。但取其髙处，如戊为山颠，山上又有石台，台上有塔，如丁丁戊之髙。原有定距，以此为用，从甲测丁，又测戊，得两角【一丁甲乙，二戊甲乙】求其切线法，为以切线较比半径，若丁戊与乙甲，省算作壬癸丙小线，以壬癸当丁戊，则甲丙当甲乙，矩度同。若从髙测逺，则于丁、于戊两用仪噐。测甲，用丁、戊两角之余切较，以当丁戊，而半径当甲乙。其理亦同。

三角测逺第十二术从髙测两逺甲乙两逺人，从髙处测之，于丁用。仪器测甲，测乙，得两丁角【一，甲丁丙；二，乙丁丙】法为以半径比两角之切线较。

若丁丙髙与乙甲也又法，既得两角，则移仪噐，窥戊作。戊丁、甲角如甲丁丙之倍度，又移窥己，作己丁乙角如乙丁丙之倍度，则但量己戊，即知乙甲。

三角测逺第十三术连测三逺丙乙为跨水长桥，甲乙为桥端斜岸，今于丁测桥之长。

并甲乙岸阔及其距丁之逺近法于丁安仪噐以邉指戊衡指甲指，乙指，丙作丁角五【一甲丁戊二乙】。丁、戊三，乙、丁甲四，戊、丁丙五，乙、丁丙皆丁角而有大小】次顺仪噐邉直行至戊得丁戊。之距于戊，复用仪噐以邉指丁，衡指丙，指乙，指甲，作戊角三【一丁戊丙，二乙戊丙，三甲戊丁，皆戊角而有大小】一甲丁戊形，有丁角、戊角，有丁戊邉，可求甲丁邉。一乙丁戊形，有丁角、戊角，有丁戊邉，可求乙丁邉。一戊丁丙形，有戊角、丁角，有丁戊邉，可求丁丙邉。以上并二角一邉，求余邉，得甲乙丙三处距丁之逺近。一乙丁丙形，有丙丁邉，乙丁邉有丁角，可求乙丙邉。一乙丁甲形，有甲丁邉，乙丁邉有丁角，可求乙甲邉。以上并二邉一角，求余邉，得岸阔与桥长。

三角测斜坡第一术斜坡上平面测两所之距斜坡上有甲乙两所，欲量其相距。之数，任立丙表，测得乙丙甲角度。乃顺甲丙直线进退，闚乙至戊得。乙戊丙角，为乙丙甲角之半，又横。过至丁，从丁闚丙至乙，成一直线，顺此直线进退。闚甲至丁，得甲丁丙角，亦为丙角之半，则丁戊即乙甲。又法不必立表，但任指一防为丙，而于甲丙直线上任取己防，乙丙直线上任取庚防，作庚丙己三角形，有己角、庚角，即知丙角。末乃如上作丁戊两角为丙角之半，即所求。论曰：此因乙甲在斜面髙处而不能到，故借用丁丙戊形测之。以丁丙戊、乙丙甲两形相等故也。何则？丙交角既等，而乙丙甲外角原兼有丙乙戊、乙戊丙两角之度。戊角既分其半，乙角亦半，则两角等，而乙丙戊、丙两邉亦等矣。凖此论之，则甲丁丙角为丙外角之半者，丁甲丙角亦必为丙外角之半，而甲丙、丁丙亦等矣。两形之角既等，各两邉又等，则三邉俱等，而戊丁即乙甲。若甲乙两所在下，而丁戊两测在上，亦同。

三角测斜坡第二术斜坡测对山之斜髙对山之斜髙如甲戊乙于对山之斜坡测之如丙丁先量得丙丁之距于丙安仪噐得丙角二【一乙丙丁二戊丙丁】于丁安仪。噐得丁角四【一乙丁丙二乙丁戊三戊丁丙四乙丁甲】成各三角形。先用乙丙丁形【有丙角、丁角及丁丙邉】测乙丁邉，次用戊丙丁形【有丙丁二角及丁丙邉】测丁戊邉，三用乙丁戊形【有乙丁、戊丁二邉及丁角】测乙角及乙戊邉，四用乙丁甲形【有乙角、丁角及乙丁邉】测乙甲邉，乙甲内减乙戊得戊甲邉【乙戊甲为垂线之髙，法同】

三角测斜坡第三术测对坡之斜髙及其岩洞从丙从丁，测对面之斜坡戊甲及乙戊。一、乙丙丁形【有丙丁两测之距，丙角，丁角】可求乙丁邉。二、戊丙丁形。【有丙丁，邉丁角，丙角】可求丁戊，丙戊二。邉，三乙丁戊形【有乙丁邉，戊丁邉丁角】可求乙戊邉为所测对山上斜入之岩，四丙丁甲形【有丁角丙角丙丁邉】可求丙甲邉；五甲丙戊形【有丙戊邉丙甲邉丙角】可求戊甲邉，为所测对坡斜髙。或戊为髙处基址，乙为房檐，亦同。

三角测深第一术测井之深及濶甲乙为井口之濶，于甲作垂线至丁【或用砖石投之，以识其处】从乙。

测之得乙角成甲乙丁句股形即以甲乙井口为句得甲丁股为井之深　既得乙丙深【即甲丁】即可用乙己戊形得。

己戊为底濶法以半径当井深【乙丙】以两乙角【一戊乙丙，二己乙丙】之。切线并当井底之濶【己戊】若不知井口，则立表于井口。

如庚甲求庚甲二角成庚甲丁形测之三角测深第二术登两山测谷深先于二山取甲乙之平，而得其距。数为横线，即可用三角形求丙丁。垂线为谷之深与测髙同理【亦可用以】【测髙也】法为甲乙两角之余切线并比半径，若甲乙与丙丁。论曰：深与髙同理，测深之法即测髙之法也。存此数则以发其例，有不尽者于测髙诸术详之可也。

附隔水量田法甲乙丙丁田在水中不可得量于岸上戊庚两处用仪噐测之得诸三角形算得其邉【一甲乙二乙丙三丙丁四丁甲】次。

求乙丁对角线分为两三角形【一甲乙丁二丙乙丁】末用和较法求得分形之两垂线【一甲癸二壬丙】并两垂线而半之以乗乙丁即得田积或用三较连乗法，求三角形积，并之亦同。凡有平面形，在峭壁悬崖之上，及屋上承尘，可以仰观者，并可以此法测之。

解《测量全义》一卷，十二题，加减法。

甲寅象限弧　甲乙半径全数为首率丙寅弧之正▯丙辛为一率丁寅弧之正▯丁庚为三率戊己为四率二三相乗为实，首率为法，法除实，得四，此本法也。今以加减得之，则不用乗除。丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧，其余▯辰卯【即子癸】丙寅内减丁寅为丑寅【即丙丁】存弧其余▯癸丑，以子癸减癸丑，余子丑，平分之于壬为壬子，或壬丑，即四率【其壬子壬丑皆与戊己等】此因总弧不及象限故以两余▯相减甲寅象限弧甲乙半径全数为首率丙寅弧之正▯丙辛为二率丁寅弧之正▯丁庚为三率戊己为四率以上皆与前同丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧【此总弧大于象限】其余▯卯辰【即子癸】丙寅内减丁寅【即丙丑】余丑寅为存弧，其余▯丑癸。以子癸加丑癸为子丑半之，于壬分为壬子及壬丑二线，皆与戊己同，即为四率，如所求。此因总弧过象限，故以两余▯相加。

今订本书之譌甲寅皆象限弧　甲乙半径一○○○○○为首率丙辛○五九九九五为二率丁庚○二五○一○为三率以三率法取之得○一五○