四为四率

○四为四率

今用加减法以丙辛线为正▯查其弧得丙寅三十六度五十二分，亦以丁庚线为正▯查其弧得丁寅十四度二十九分，以丙寅弧与丁寅弧相加，得总弧辰寅五十一度二十一分，其余▯○六二四五六，如辰卯【即子癸】又以丙寅弧与丁寅弧相减，得存弧丑寅二十二度二十三分，其余▯○九二四六六，如丑癸。因总弧小于象限，当以两余▯相减，其较○三○○一○，如子丑【于丑癸内减子癸得之】乃平分子丑于壬，其数○一五○○五，为壬丑或壬子，皆与戊己同，即为四率。此所得与三率所推，但有微差而不相逺。按此以加减代乗除，依其法宜如此。今刻本相减相并，讹为并而相减，又于相并之弧，讹为五十度二十分，相减之存弧，讹为二十二度二十四分，故其正▯皆讹，而所得之四率，只一四三一，与三率所推不合矣。又按，以加减代乗除之法，不过以明图法之妙，其中又有此用耳。若以入算，终不如乗除之便，何也？设问毎多整数，而正▯之数皆有畸零，不能恰合一也。先用设数求弧度，必用中比例始得相合，则于弧度亦有畸零二也。弧度既有畸零，则其查余▯，又必用中比例三也。两余▯有用加之时，有用减之时，易至于讹四也。及其所得四率，以较三率法之所得，终有尾数之差五也。盖论数学，则宜造其防；而施之于用，则贵其简易。若可以简易者，而故引之繁重，又何贵乎？故曰不如乗除之便也。观设例之时，便有讹错如此，则其不便于用，亦可见矣。又按，此加减法，即《测量全义》第七卷所言加减也。其以总存两余▯相加减而半之者，即初得数也。然彼以两正▯相乗得之，此以加减得之，而省一乗矣，实弧三角中大法。而彼但举例而隠其图，姑示其端于此，而又不直言其即弧度之初得数，此皆译书者秘惜之故耳。向后二图发明所以然之故。

甲寅象限弧　乙丙半径为首率丙寅弧之正▯丙辛为次率丙丑弧之正▯丑戊为三率【辰丙弧同丙丑，其正▯辰戊亦同丑戊】得戊巳为四率【丑壬及壬子并同】论曰：戊巳辰【或丑壬戊亦同】句股形与丙辛乙句股形相似故其比例等法为乙丙与丙辛若丑戊与丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】

又论曰凡两十字垂线相交作句股则其形俱相似。如辰丑线，即丙丑及丙辰之正▯与丙乙半径相交于戊防，一十字也。辰午线【辰寅弧之正▯也】丑癸线【丑寅弧之余▯】相交于子防，一十字也。此两十字相交而成诸句股形，则俱相似矣。故戊壬庚与丑壬戊相似，而戊壬庚原与丙辛乙相似，则丑壬戊与丙辛乙不得不为相似之形矣。解曰：乙丙首率半径也。丙辛正▯为次率，其弧丙寅丑戊正▯为三率。其弧丙丑，丙丑既与丙辰同，则以丙丑【三率之弧也】加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧。而辰卯则总弧之余▯也。以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧。而丑癸则存弧之余▯两余▯相减，其较为子丑【子癸同辰卯，故以子癸减癸丑得较子丑】子丑折半于壬，而壬丑与壬子皆同戊巳，是为所求之四率也。如此以量法代算法，的确不易，但细数难分耳。若以酉丙为过象限之大弧，丙丑为小弧，则酉丑为总弧。其正▯丑丁，余▯丑癸【即丁乙】酉辰为存弧其正▯辰午余▯辰卯【即子癸】算法略同，但先所用者存弧之正▯小于总弧，今则总弧正▯小于存弧正▯，大则余▯小，正▯小则余▯反大，加减之用以小从大，其理无二，故其图可通用也。又按，壬丑即初得数也。两正▯相乗以半径除之者也。乙亥即次得数也。两余▯相乗以半径除之者也。今改用加减，则以两弧相并为总弧，而相较之余为存弧。存总两余▯相加减而半之，成初得数，省两正▯乗矣。又以初得数去减余▯成次得数，省两余▯乗矣。

两余▯加减例凡总存二弧俱在象限内，或俱出象限外，则两余▯相减。若存弧在象限内，总弧在象限外，则两余▯相加。

初得数减余弧例凡存弧之正▯小于总弧，即用存弧之余▯在位，以初得数减之余为次得数。若总弧之正▯小于存弧，即用总弧之余▯在位，以初得数减之余为次得数。盖▯小者余▯大其余▯内皆兼有初得次得两数详见环中黍尺甲寅象限弧　乙丙半径为首率丙寅，弧之正▯【丙辛】为次率。

丙丑弧之正▯丑戊为三率【辰丙弧同丙丑，其正▯辰戊亦同丑戊】求得戊巳为四率【丑壬壬子并同】

以上皆与前图同论曰：凖前论，丙辛乙句股形与丑壬戊句股形相似，法为乙丙与丙辛若丑戊与丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】解曰：乙丙首率，半径全数也。丙辛正▯为次率。其弧丙寅丑戊，正▯为三率。其弧丙丑而丙丑【三率】即丙辰，以加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧。而辰卯亦总弧之余▯也。以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧。而丑癸则亦存弧之余▯也。两余▯相加成子丑【子癸同辰卯皆总弧余▯】子丑折半于壬，而壬丑同壬子亦同戊巳，则所求之四率也。