<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十三>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十三>
中心甲一，为初限所减立差，即垜积形之顶。加外围六乙，共七，为次限。所减立差、平廉、长廉各三隅一也。并上层甲，共八，成根二之体积，是为垜积形之第二层。又加外围丙十二，共十九，为三限所减。立差三，平廉共十二，三长廉共六，隅一也。并上两层，共二十七，合根三之体积，是为垜积形之第三层。又加外围丁十八，共三十七，为四限所减。立差三，平廉共二十七，三长廉共九，隅一也。并上三层，共六十四，合根四体积，是为垜积形之第四层。又加外围戊二十四，共六十一，为五限所减立差三，平廉共四十八，三长廉十二，隅一也。并上三层共一百二十五，合根五之体积，是为垜积之第五层。又加巳三十，共九十一，为六限立差。其七十五，为三平廉。其十五，为三长廉。其一，隅也。并上层，共二百一十六，成体积。是为垜积之第六层。又加庚三十六，共一百二十七，为七限立差。其百○八为三平廉，其十八为三长廉，其一隅也。并上层成体积三百四十三，是为垜积之第七层。又加辛四十二，共一百六十九，为八限立差。其百四十七，为三平廉；其二十一，为三长廉；其一，隅也。并上层，共五百一十二，如体积，是为垜积之第八层。此姑以八层为式，向后仿此推之。因从甲顶平视，故类六角平面，其实如六角锥也。立方廉隅，而图以锥形六角者，以表其垜积招差之理也。甲恒为隅，朱书者长廉，余则平廉。立方之平廉、长廉各三，离居三方，则成六角。六觚形以六抱一，毎层増六，与立方加法同。所异者，六觚平面而立方必并其积，故以堆垜象之。若算六角堆垜，但取其底之一面，自乘再乘见积，与立方同。
以斜立面观之，最上甲一，次乙二，次丙三，丁四，戊五，己六，庚七，辛八，其底之数各如其层之数【如堆只三层，则以三丙为底，四层则四丁为底，毎多一层，其各面之底必多一数，若辛下再加一层为壬，必九数也】实计其毎面六觚之数，则甲一，乙七，丙十九，丁三十七，戊六十一，己九十一，庚一百二十七，辛一百六十九【前平视之图，乙为甲掩，故但见外围之六；丙为乙掩，故但见外围十二，余皆若是也。观者当置身于髙处，从甲顶俯视，即得其理】皆以外围之数为下层多于上层之数。合计其堆垜之积，则甲一，乙八，丙二十七，丁六十四，戊一百二十五，己二百一十六，庚三百四十三，辛五百一十二【乙七并甲一成八，丙十九并乙七，甲一成二十七，余皆若是】其堆垜之积，皆如其层数之立方【以底之一面余乗，又以层数乗之也】问平差之根，是以段日除积差而得，则毎日适得一平差。今所减平差甚多，殆非实数。曰：泛平积差，是初日多于第七日之数【亦据盈厯言之】而平差之数既如段日，则于日数为加倍【盈厯段日十四日竒，以此分积差为毎日平差，则平差共数亦十四竒，于七日为加倍】今倍减平差，正合积差原数，岂患其多？曰：“若然，又何以能合平？”方曰：“以本日实减之数与定差较，但取其销尽积差已足【如第七日实减十三平差，第八日实减十五平差，七日有竒在其中，半积差必当减尽】故其法若平方之廉隅，若合计初日以来减过平差与初日以来定差相较，则所减之积皆如平方自乘，观图自明【如七日共数得四十九，八日共数得六十四之类】又如立差以段日自乘除泛立积差而得，故其数亦略如段日之自乗，而毎日实减，亦如立方之廉隅，聊足以销去积差【本日尚有余秒，后一日竒减尽】若合计初日以来共数，则亦如立方再乗之积矣。
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十三><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十三><子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十三>右图以九限为例【九限以后仿论】定差设十万，平差设一千，立差设单一。如法以本日加法并之为平立合差【如图平差立差各有加法，故当并用】以平立合差减先日加分，得本日加分。合计从前加分为本日盈缩积【或以本日加分加先日盈缩积得本日盈缩积，亦同】
又简法置定差内减平差立差各一为初日加分【又即为第一日盈缩积】别置平差倍之，加入六立差为初日平立合差，以后毎于平立合差内加入六立差为次日平立合差【余同上】
用定差法以日数乘立差，得数，加入平差，再以日数乘之，得数。乃置定差，以得数减之，用其余为实，复以日数乘之，得本日盈缩积。置相近两盈缩积相减，得加分。又置相近两加分相减，得平立合差，亦同。
定差本法置定差，以日数乘之，得数为实。又以日数自乘，用乘平差，得数；以日数再自乘，用乘立差，得数。平立两得数并之为法，法减实，得盈缩积【余同上】
厯算全书卷十三<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>序厯元起冬至，其来旧矣。《易》复卦传曰：「先王以至日闭闗，商旅不行，后不省方。」孟子曰：「天之高也，星辰之逺也，茍求其故，千嵗之日至可坐而致。」故古来治厯者，其立算并起冬至，夫有所受之也。欲騐将来，必推已往，所谓求其故也。秦炬以前，古术难征，惟《春秋左氏传》僖公五年春王正月辛亥朔，日南至，公既视朔，遂登观台以望而书，此冬至之有日名，灼然可据者。自汉以后，渐讲于测景之法，然测景最难真确，载在史书可信者不过数十条。故元时许衡、王恂、郭守敬等造《授时厯》，据之以考厯法之疎密也。古今厯法七十余家，皆由疎以至密，必取其最密者以相参考，而其説始定。是故唐厯莫善于《大衍》，其次莫善于《宣明》；宋厯莫善于《纪元》，尤莫善于《统天》；金厯莫善于赵知微，而《授时厯》集其大成。故以此六家互相稽考也。今依其本法求之，则合于当时者或戾于古，合于古者又不效于今，惟《授时》《统天》能上考下求而多所合。由是观之，厯学之古疎今密，约畧可见。而嵗起冬至，则嵗实之古大今小，较然不诬。即《统天》《授时》上考下求百年消长之法，亦自有据，并可以深思而得其故矣【按：百年消长之法，《统天厯》术中已暗藏其数，至《授时》乃发明之。郭太史自言创法五端，原未及此】元史·厯议》已具录六厯所得日名离合之端，然未详算法，兹特各依其本法详衍，使学厯者攷焉。宣城梅文鼎。
钦定四库全书