方程论卷四

方程论卷四

刋误古之为学也，精，故其立法也简，而语焉不详，阙所疑而敬存其旧，无臆参焉，斯善学也已。不得其理而强为之解，以乱其真，古人之意乃不可见矣。意不可见而讹谬相仍，如金在沙，淘之汰之，沙尽而金以出，故刋误次之。方程之误，厥有数端。一曰立负之误【立负误也。四色五色，期于立负以为法。误之误也。自骡马逓借，一问诸书，沿讹而加减之误，因之矣】

一曰加减之误同加异减，一误也【误沿于牛羊豕相易之一问，由不知正负之有更也】竒减偶加，二误也【误沿于桃梨问价，以不知和较之交变也】一曰法实之误【以上为法，下为实，拘也。以法必少，实必多，亦谬也】

一曰倂分母之误一曰设问之误【如井不知深而以除法为井深问中先已大误】

立负辨立负，非古人法也。何以知之？有负则有正，今立负而不言正，非正负之本防也。或曰：有正则有负，则言负可不言正矣。是又不然。凡和之变而较也，有减其和数而尽者，亦有减其和数而余者。其减而尽者，命为适足，而无较数，则但言此之为负，以见彼之为正，可矣。若减而余者，是有较数也，而但言负不言正，何以知其较数必与正物同名乎？即使同名，而竟不明言其为正，何以分别同异而为加减乎？至于以有空位而立之负，则又不可。何也？和之或变而较也，固不必以空位也。但减余分在两行而兼用之，即变较数矣。今必以有空位者而立之负，则无空位者即不立负乎？然则和数之无空位者，终于同减而无异并乎？将进退失据矣。故曰非古人法也。凡言正负者，分其物以相较也。不言正负者，合其物以言数也。皆自然而有之名，非立之也。而立负乎哉？夫不知正负之出于自然，而强立之负，则同异之防淆，而加减之用失，种种谬误縁之以生。故谨为之辨。今以诸书所载立负例攷定如左。假如米四石二斗，以马一、骡二、驴三载之，皆不能上坡。若马借骡一，骡借驴一，驴借马一，则各能上坡。问马、骡、驴力各几何？畣曰：马力二石四斗，骡力一石八斗，驴力六斗。

法各以和数列位【马借骡一则一马一驴也骡借驴一则二骡一驴也驴借马一则三驴一马也各以其本数加借数而列之干方程法则和数而已】

此三色有空法也，中行无马，原只二色，故不湏乗减，但先以左右两行首位不空者对乗。又因两行马数皆一，乗皆如故，故径以对减，马减尽。右骡一，左驴三，皆无对不减。米各四石二斗，亦对减而尽，乃视减余：骡一在右行，驴三在左行，分在两行，是有正负也。米亦减尽，是正负适足也。重列之。论曰：此和数变为较数也。何以言之？两行之马相若，而其载物又相若，则其所偕以共载之骡一与驴三，其力亦自相若矣。故命之适足。适足者，以两相较而成，故曰变为较数也。然谓之适足可也，谓一行俱减尽则不可也。减尽者，同类之物，而其数又同，故物与数俱减尽也。适足者，物非同类，而其物之积数则同，故其物不能减尽，而数则减尽也。物不同而数同，故曰适足也。适足者，存之为用也；物数俱减尽者，清出其一色而不复用也。如此三色中，虽不能遽知各力，然已知驴三骡一之适相当矣，则已清出马之一色而变为二色矣。此逓减立法之意也。又论曰：减余适足，则有正负矣。其原列只是和数，无正负也。诸书以逓借一匹之故，而列之曰借，又别其本数曰正。不知正与负对，非与借对也。虽逓借一匹，其实是本有之头匹与所借之头匹共载此米，故曰和数。逮减余乃变为较耳，故减余适足，宜言正负也。而诸书但立负，原列和数无正负也，而忽分正借，又不立负于减之后，而立于其先。正也，借也，立负也，三者相乱而靡有指实。古人之法，固如是乎哉？次以中行原数与减余对列，因中行马空，故径求也。

此和较杂也，减余分正负，中行原无正负。以减余骡负一遍乗中行如故【较乗和也数虽如故但皆以乗法之名名之为负】又以中行骡二遍乗减余得数【和乗较也故仍其正负之名】骡同减尽；驴异并得七为法，四石二斗无减就为实，法除实得六斗为一驴之力，三因驴力得一石八斗为一骡之力【适足故也】以骡力一石八斗减四石二斗，余二石四斗为一马之力【原右行数】论曰：减余原是骡一与驴三力等，乗后得数则骡二与驴六亦等也。然则于中行共力中减去二骡，而以相等之六驴益之，其共之四石二斗亦必与原载等也。故并此六驴与原列一驴共七为法，以除此四石二斗，而驴力可知也。驴三与骡一既等，则三驴之所载即骡力也。骡与马各一共四石二斗，则减骡力即马力也。又论曰：此因中行有空，故径求也。使其不空，自当与左行或右行遍乗而减去其马与其数，乃列两减余如二色求之，此常法也。今中行马空，原只二色，恰与减余之二色相对，故径相乗减，是省一算也。诸书皆言因左行骡空，故立负骡一与中行对乗，不知左行骡空而右之骡一无减，犹右之驴空而左之驴三无减也。其与中行相对，乃用此两色之减余，非独用左行也。盖左行有马，中行无马，原无对乗之理，亦犹之右与中不可对乗，惟减余是二色可以对乗。虽云径求，实自然之理势也，而强立之负以用左行乎？有正，斯有负。立负骡于左行，为与何物相对耶？以马一为正耶？驴三为正耶？其马一、驴三皆正耶？既无所指，则负为徒立矣。凡言正负者，其下数必为正与负之较。今所用左行之四石二斗者，为是骡一与驴三相较之数耶？骡一与马一相较之数耶？将合马一、驴三与骡一相较之数耶？则皆无一合矣。凡物有正负者，其较数亦有正负。此四石二斗者，正耶？负耶？若无正负，即是和数，不应立负骡矣。若以四石二斗为和数，则更非理。夫以马一、驴三之共数，加一骡力，而其数如故，理所无也。若去一马，用一骡而与驴三共此米，抑又不能。马与骡之力原不同，乃去一马、加一骡而其数如故，理所无也。然则此四石二斗安属耶？彼惟不知四石二斗之减尽，即为适足，故误至此也。又谓右行俱减尽，不知减尽必两行数同，如马一与米四石二斗也。若骡一，驴三，固未尝有减也，况尽乎？方程立法，原以对减有尽不尽而得其朕兆。若三色俱减而尽，其算不立矣。惟不知有空位者，可以径求，而误以所用之减余为是左行之原数故也。凡减尽者，两俱减尽，不应右减尽而左行独存。若谓复用左行之原数，何以不用原列之马一而加一负骡以为马一减去？故不用，则四石二斗何既减而复存耶？故以立负骡减马一为用减余之法则，四石二斗不宜存。四石二斗为用原列之法则，马一不宜减，负骡不宜立。破两法而叅用之，一不成矣。承譌者迁就多岐，抑奚足怪？今试以减余更置，则先得骡力，如后图。

如前法，以一和一较，遍乗得数。驴同名减尽，骡异并得七为法。正十二石六斗无减，就为实。实如法而一，得一石八斗为骡力。以驴三除，相当一骡之力，得六斗为驴力【任于原列左行或右行如法减驴力或骡力得马力】论曰：凡减余重列之数，皆可更置互求。何则？皆实数也。三色减去一色，即二色法矣。若干减余之适足加以四石二斗，则不可以互求。故知其误。又试以原列更置之，先减去骡，如后图。

如法，先以右中遍乗。骡减尽，中行驴一，右行马二，皆无减，分正负列之。载米余四石二斗，在右行与马同名。左行骡空，故径与减余相对。依和较杂法乗之。驴同减尽，马异，并七为法。载米异倂十六石八斗为实。法除实，得二石四斗为马力。以马力减四石二斗，余一石八斗，得骡力。以马力倍之，同减四石二斗，余六斗，得驴力。

试又更之如后图如前法，先以右中两行遍乗，减去驴，余马一，骡六，皆无减分，正负载米余八石四斗，在右与骡同名，乃重列之，如前法，径与左行相对遍乗。马同减尽，骡异，并七为法；载米异，并十二石六斗为实，实。如法而一，得骡力；以次得驴、马力，皆如前。论曰：凡诸色方程，其上下皆可互更。如上二图，以空位径求之法求之，无所不合也。又试以原列无空而减余适足者为例如后。假如有三车、三槖驼、七牛，各欲载物六十四石，而皆不能胜。若车借驼、牛各一，驼借车、牛各一，牛借车、驼各一，则皆能载。问三者力若干？畣曰：「车二十四石，槖驼十二石，牛四石。」

法以和数列位如法乗，车皆减尽。甲乙两行减余皆在乙行和数也。乙丙相减，余乙驼二，丙牛六，是有正负也。载物减尽适足也【乙丙载物减尽，则不但对减去之物适相当，而其减余之驼二牛六，其力亦适相当也。虽欲不命之适足，不可得矣】

乃以和较杂重列之依一和一较法求得牛三十二为法，载物一百二十八石为实，法除实得四石为牛力。牛六共力二十四石，以相当之，驼二除之得十二石为驼力。以牛力驼力减六十四石，余四十八石，车二除之得二十四石为车力【用右行原数】论曰：此亦以和变较，而有适足之数也。岂以有空位而立之负乎？可以悟其非矣。

试更以较数求之假如运粮，以象、马、牛车三种。但云接运时，以三象所载与四牛车、二十四马载之，则余三十六石。以八牛车所载与二象、十二马载之，亦余三十六石。以七十八马所载与二象、二牛车载之，亦余三十六石。问各若干？畣曰：象七十二石，牛车二十七石，马三石。

法以较数列位如法互乗减并重列其余【中行每加二分一则首位象与右齐同可对减矣其中左象本同径以对减皆省算法也】

依省算法，求得马三十载九十石，以马除载，得三石为马力。马九十载二百七十石，牛车十除之，得二十七石为牛车力。合计牛车四马二十四，共载一百八十石，异加正三十六石，象三除之，得七十二石为象力【用右行原数】论曰：此原列较数也，而其较数亦有减而适足者。然则先无适足减之而成适足者，往往有之矣。惟适足故，分正负，非以空位而立负也。故知减余之，亦有适足而复用左行者，非矣。知用减余，而非用左行，则立负之非不攻而破矣。

同加异减辨同名相减，则异名相加矣。诸书所载，忽而同减者，忽而异减，忽而异加者，忽而同加，岂不谬哉？又为之説曰：以正为主，则同减而异加；以负为主，则异减而同加。又为之説曰：同名相乗，则其下同减而异并；异名相乗，则其下异减而同并。言之缕然，用之纷然而要之非是也。夫同名相减，即如盈朒章两盈两朒相减也；异名相并，即如盈不足相并也。岂有同加异减之理乎？所以误者，不知正负交变之法也。正负宜变而不变，则首位之异名者，何以能对减而尽乎？不得不迁就其法，同加异减矣。苟知其变，则首位必同名；首位既同名，则凡减皆同名，凡加皆异名，较若画一，何必纷纷强为之説乎？凡减余重列，有仍其负正，如故者，亦有更其正负，絶非其故者，且有先无正负，及其重列而有正负者，有先分正负，及其重列之而反不分者，若但以初名为定，则加减皆舛矣。假如同减之余分在两行而为同名【或左余正右亦余正或左余负右亦余负】则重列必为异名矣。必变其一行之名而列之，而其下所余数必是此二异名物之较数也。若无余数，必是此二异名物相当适足也【此以三色言之，若四色以上减余位数多者，皆仿此论之】若同减之余分在两行而为异名【或左余正而右余负或左余负而右余正】则重列必为同名矣。而其下所余数必是此二同名物之和数也【此亦以三色言之，其减余只二色故也】则其原列正负之名皆不用矣。若异倂者，尤为易见，何也？凡异并者，正与负并也。正与负并，则如一物矣。故重列之际，必以一行为主，而定其名【或为正，或为负，或变和数则无正负】若但守初名，而不知所变，将一物而名之正，又名之负乎？必不然矣。兼此数端，知正负之交变出于自然，非强名也【不知正负之变，亦不知和较之变矣，故又有竒减偶加之误也】今以诸书所载，同加异减例，考定如左。假如以牛二、羊五作价，易猪十三，剰价五两；以牛一、猪一易羊三，适足以；羊六、猪八易牛五，不足三两。问价各若干？畣曰：「牛价六两，羊价二两五钱，猪价一两五钱。」

列所问数先以右行牛正二遍乗中左两行得数【中右首位同名故正负不变右左首位异名故变左行之正负以从右亦为以少从多】次以中行牛正一遍乗右行，皆得原数。乃以中右两得数对减，牛各正二，同名减尽。羊异名【右正五，中负六】并得十一。猪异名【右负十三，中正二】并得十五。价无减【右正五两，中适足】仍得五两。于是分正负，以价与羊为同名而重列之【羊右正，中负；猪右负，中正。故仍为较数。价与羊同为正于右行，故仍为同名】次以左行牛负五遍乗右行得数【左行既变，以从右，则右行不变，仍其正负】乃以左右两得数对减，牛各正十，同名减尽。羊异名【右正廿五，左负十二】并得三十七。猪同名【右负六十五，左负一十六】减余四十九【在右】价同名减【右正二十五两，左正六两】余十九两【亦在右】于是亦分正负，亦以价与羊同名而重列之。羊与余猪原分正负于右，故仍为较数。价与羊同为正于右，故同名。

列两减余如法以两正羊遍乗得数，乃对减，羊同减尽，猪同减余十六为法，价同减余二十四两为实，法除实得一两五钱为猪价。以猪十五价二十二两五钱异加正价五两【共二十七两五钱】羊十一除之得二两五钱为羊价。任于原列中行，羊三价七两五钱内减猪价一两五钱，余六两为牛价。论曰：凡列正负，可以任意呼之，要在知下价之于正负孰为同名耳。若乗后得数，则其首列一位必以同名而相减，故正负有时变，而其价之正负从之变矣。故同异加减，必以乗后得数而定也。如此所列左右行，先为一正一负异名之价，而乗后得数必为同名之价，何也？两价皆与牛同名，而牛在首列得数必同名故也。若以羊更置首列，则两价得数必异名，何也？价与羊于右同名，而于左异名也。

试更列之于后上　　　　中上　　　中下　　　下如法以中行羊与左右两行互遍乗得数相减，羊同减皆尽。右中牛异并三十七，猪异并一百十八，价异并四十五两【价与牛同名】中左牛同减余九，猪异并三十，价九两无减【与牛同名】乃以两减余各分正负，而重列之。

如法以牛互遍乗而变左行之正负以相从，牛同减尽，猪同减余四十八为法，价同减余七十二两为实，法除实得猪价，以次得牛羊价，合问。试又更之。

如法以中行猪与左右两行互遍乗得数相减，猪同减皆尽。右中羊异并一百十八【右负中正】牛同减余四十九【余负在中】价同减余一两【余负在右】分正负【以价与羊同名】左中羊异并三十【中正而左负】牛异并十三【中负左正】价三两无减【中之负数】亦分正负【以价与牛同名】皆重列之。

如法互乗，羊同减尽，牛同减余六十四两为法，价异并三百八十四两为实，法除实，得牛价六两，以次得羊价、猪价。论曰：「反覆求之，皆同减异，加别无他术，可见古人立法之简快竒。减偶加辨。」方程立法，只同名相减，异名相加，尽之【和数有减无并，皆同名也；较数有减有倂，或同名或异名也。和较交变，故减并相生】不论二色、三色、四色，乃至多色，皆一法也。今诸书不察，偶见瓜梨一例，有竒减偶加之形，不得其觧，遂执为四色之定法，而不知通变，使方程一章之法为徒法而莫可施用，深可惜也。故覼缕辨之，今将▯梨一问考定如后。假如有▯二梨四共价四十文，又梨二榴七共价四十文，榴四桃七共价三十文，▯一桃八共二十四文，问各价几何？畣曰：▯八文，梨六文，榴四文，桃二文。法以和数列位，依四色有空，以省算法求之。

惟甲丁两行有▯，如四色，故先以相乗。▯减尽，甲梨四，丁桃十六，皆无减。价余八文，分正负【梨甲桃丁，故也】以价与桃同名【同在丁行，故也】▯减尽矣，而余行皆无▯，则只三色，故径以减余之数与乙行相对。

如法互乗，梨同减尽，榴二十八【左正】桃三十二【右负】皆无减价，异并一百七十六文【右负左正】隔行之异名，乃同名也。以和数列之不分正负，又以余行无梨，则只二色径以减余，与丙行列之【于后】

如法乗减榴减尽余桃六十八为法，价一百三十六文为实，法除实，得桃价二文。以丙行桃七，价十四文，减共三十文，余十六文，悉榴价也，榴四除之，得榴价四文。以乙行榴七，价二十八文，减共四十二文，悉梨价也，梨二除之，得梨价六文。以甲行梨四，共二十四文，减共四十文，除十六文，悉▯价也，▯二除之，得价八文。论曰：此和数变为较数，而较数复变和数也。何以言之？初次减余价八文，乃桃多于梨之价，故曰变为较数也【桃十六价三十二文，梨四价二十四文，差八文】何以知之？余数分在两行也【桃十六在丁行，梨四在甲行】何以知桃多于梨？桃与价同在丁行，故同名也。然所用分正负者，是甲丁两行之减余，非但以丁行空位而立负也。又因乙丙▯位皆空，故用此减余径与乙行相对，是省二算也。乃径求也，非专用丁行为主也。减余较也，乙行和也。一和一较，故有异名相并，而非以偶行故加也。若第二次减余则复是和数？何也？其相并一百七十六文，乃桃榴之共价【桃三十二价六十四文，榴二十八价一百十二文，共此数】而非其较数，故曰复变和数也。何以知之？桃与榴虽分余于两行而异名，然隔行之异名乃同名也【乙行榴正价亦正，减余桃负价亦负，兼而用之变为同名矣】至于立负之非，此尤易见。盖既变和数无正负矣，虽两遇空而无减，岂得谓之立负乎？又因丙行梨亦空，故径用减余与之对减，是又省一算，非以丁行对丙行也，而顾曰立负榴于丁行，误之误矣。减余变和，丙行相对，是两和也，故有减而无并也，而岂以竒行之故而减也乎哉？今试以甲丁之行易之，则加减全非矣。

如法以甲丁行对乗减▯尽，桃十六【甲】梨四【丁】皆无减，价相减余八文【甲】乃分正负，以价与桃同名而重列之，与乙行相对。

如法乗，桃同减尽，榴六十四【左正】梨二十八【右负】皆无减，价同减，余四百二十四文，依前论隔行之异名，即同名也，不分正负而重列之，与丙行相对。

如法减榴，余梨六十八为法，四百○八文为实。法除实，得梨价六文。以次得诸物价，皆如前。论曰：此但更其前后之行耳，而价皆同，减无异，并可见竒减偶加之，非通法矣。又试以上下之位而更之。

如法以甲丁先乗减去梨尽，余榴二十八【甲】▯四【丁】皆无减，价相减余八十文【甲】依前论分正负，以价与榴同名而重列之，与乙行相对。

如法乗减榴尽，余桃一百九十六【左正】▯一十六【右负】皆无减，价相减余五百二十文【左正】依前论复变和数不分正负，而径与丙行重列之。

如法减桃，余▯六十八为法，价五百四十四文为实，法除实，得▯价八文，以次得诸物价，皆如前。论曰：此亦有同，减无异，加固不以竒偶之行而有别也。若以甲丁减余，更置之，则亦有异，并之用如后图。

论曰：此下价何以倂异名故也？何以异名？凡一和一较，方程在和数行者，其得必与较首位同名。故其较数之价与首位同名者，则亦与和价同名也。其与首位异名者，与和价亦异名也。先用丙行何也？以有▯故，可与余▯相减，亦可见行次之非定也。理之不定，乃其一定，凡事尽然，泥一端以定之，转不定矣。又论曰：此亦复变为和数也？何以知之？正榴正价皆右，负桃负价皆左。以之并为一行，则无正负矣。盖隔行。

如法减桃，余榴六十八为法，价二百七十二文为实，法除实，得榴价四文，以次得诸物价，皆如前。论曰：兼此数端，知加减非闗行数矣。统宗歌曰：「四色方程，实可夸。湏存末位，作根芽。若遇竒行，湏减价。偶行之价，要相加。诸书仍讹，又推而至于五色、六色，皆云以末位为主，而自首行以往，皆与之加减。至其所以加减者，又皆以行之竒偶，如一行、三行、五行，竒数也，则价与末行减；二行、四行，偶数也，则价与末行加。而不言同异名，将竒行者皆同名乎？偶行者皆异名乎？未可必也。不知彼所设问，各行逓空两位，势必挨列，虽云四色，乃四色之有空者耳，非四色之本法也【省算卷辨之极详，可以互发】既挨列矣，余行之首一色皆空，不湏乗减，惟末行首行相对，可以互乗。非用末行，乃用上一色相对之行耳。使上一色不空者，在中二行，而末行反空，又当以中行先用矣。虽欲以末行为主，得乎？至于第二次重列而乗减者，乃用首行末行相减之余也，非専用末行也。葢两行相减，乃生余数，若谓之用末行，亦可云用首行矣。又因各行多空，故径以减余与次行乗，减得数又径以减余与三行乗，减乃省算之法，于末行毫不相渉也。且方程之行次，非有定也。其前后可以互居，左右中可以相易，亦何从而定之为末行乎？末行无定矣，又安有竒偶之可言乎？而以是为加减之定法乎？然则恶乎定？曰：详和较，以列减余，别同异，以定加减。苟其和数也，虽空无减，不立正负也。苟其较数也，虽无空位，分正负也。此列减余之法也。但同名者，不论何行，皆减；但异名者，不论何位，皆加。此定加减之法也。如是而已。

法实辨算家法实，皆生于问者之所求。如有总物若干，总价若干，而问每物若干价，则是以物为法，价为实也。或问每银一两得若干物，则是以价为法，以物为实也。诸算尽然，则方程可知矣。《算海説》详曰：“中余为法，除下实。”盖本统宗，然其説非也。《同文算指》曰：“以少除多。”其説亦非也。何以明之？曰：方程法实，犹诸算之法实也。故必于问者之所求详之中下多少，非可执也。假如和数方程，有物若干，又物若干，共价若干，是物之位在上，中而价之位在下也。若问每物之价，而以物为法，银为实，是中除下也，固也。或问每银一两之物，而以银为法，物为实，又当以下除中矣。不知问者之所求，以物求价乎，以价求物乎？愚故曰：中下难执也。又物之价值，莫可等计。有贱于银之物，以一两而得数千百斤；有贵于银之物，以数十百金而得一物。假如有贵物若干，又若干，共价若干，是物之数少而银之数多也。而问每物之价，谓之以少除多，似也。若问每银之物，不又当以多除少乎？又如，有贱物若干，又若干，共价若干，是物之数多而银之数少也。而问每银物若干，谓以少除多，可也。若问每物价若干，不且以多除少乎？惟以多除少，故有不满法之实。实不满法，故有以法命之。如云：每银一两于物得几分之几者，是也。其物多除银少者，则有退除为钱、若分厘，故曰多少难拘也。多少中下，既不足以定法；实则法实安定，曰亦惟于问意详之而已。今具例如后。论曰：方程法实，只是以下一位与上中数位相湏为用耳。故有实一而法二，其三色者，则有实一而法三。若以下除中者，则有法一而实二，或法一而实三。故用互乗之法以减之。及其用也，则只是一法一实而已。二色者，互乗而对减其一，则一法一实也。三色者，对减其一，又对减其一，亦一法一实也。四色、五色，其法悉同。此方程立法之原也。问：河工方九百尺，以当筑城八百尺，城多一工；以河工七百二十尺，当城工七百尺，城多二工。问每工一日若干尺？畣曰：「河工每日六十尺，城工每日五十尺。」

如法乗减，余城工五万四千尺为实，工一千○八十为法。法除实，得每工五十尺为城工每日之数。以城工五十尺除右行八百尺，得十六工，同减负一工，余十五工，以除河工九百尺，得每工六十尺为河工每日之数。论曰：此以下除中也。縁所问每工一日土若干尺，以工求土也。故以工为法，土为实。若拘中法下实，则法实反矣。若问每土千尺该用几工？则当以五万四千尺为法，一千○八十工为实，法除实，得百分工之二，是为每城工一尺之数。以所问每千尺乗之，得二十工，是为城工每千尺用工二十日也。若用异同除，则以土千尺乗一千○八十工，得一百○八万工为实，以法五万四千尺除之，得二十工，为城工每千尺之数，亦同。于是以二十工乗八百尺【用右行原列】千尺除之，得十六工，减负一工，余十五工，河工九百尺数也。以九百尺除十五工，得百分工之一又三分之二，河工每尺数也。以问千尺乗之，得十六工又三分工之二，为河工千尺之数。用异乗同除，以千尺乗十五工，得一万五千工，九百尺除之，得十六工又九之六，约为三之二，亦同。问：开渠十七工，筑堡二十工，共以立方计者一千六百八十尺；又渠三十工，堡四十工，共三千二百尺。今欲计土续工，则每百尺得几工？畣曰：「开渠，每土一百尺【二工半】筑堡，每土一百尺二工。」

如法乗减，余堡工八十为实，土四千尺为法，法除实，得每尺百分工之二，以百尺乗之，得二工为筑堡每百尺之工【或异乗同除，以百尺乗八十工得八千为实，以法四千尺除之，亦得每百工二工】以左行堡工四十乗百尺二工除之，得二千尺，以减共三千二百尺，余一千二百尺，渠土数也，用除渠工三十，得百分工之二半，以百尺乗之，得二工半为开渠每百尺之工【或异乗同除，以百尺乗三十工得三千，以一千二百尺除之，亦得每百尺二工半】论曰：此亦以下法除中实也。縁所问以土求工，故也。又为以多除少，盖土之数原多于工也。故退除而得其分秒，而所问者每百，故又有异乗同除之用也。并分母辨。自方程笇失传，有可以方程立算，亦可以差分诸法立算者，则皆收入诸法，而不知用方程，如愚末卷所载方程御襍法是也。有实非方程法而列于方程，如同文算指所収菽麦畦工诸互乗之法是也。有可以方程算而不用方程，漫以他法强合，而漫谓之方程，如并分母之法是也。诸互乗法非方程，易知，不必辨，故専辨分母。问：甲乙二窖，不知数，但云取乙三之一益甲，取甲二之一益乙，则各足二千石。畣曰：「甲窖一千六百石，乙窖一千二百石。」

原法曰：「列位互乗，甲得六千石，乙得四千石，相减余二千石为实，并两分母共五为法，除之得四百石。以乙分母三乗之，得一千二百石为乙窖。以乙窖减二千石，余八百石。以甲分母二乗之，得一千六百石为甲窖。」论曰：此法不然，乃偶合耳。若分母为三与四，即不可用；或分子为之二、之三，亦不可用。况方程法原无平列两色物之理，而此独平列；既平列矣，又何以先得乙窖？皆不合也。今以方程本法御之，则无所不合。

依带分化整为零法列位如法乗减，甲减尽，余乙五分为法，余二千石为实，法除实，得四百石为乙之一分。以乙分母三乗其一分，得一千二百石为乙窖。以乙之一分减二千石，余一千六百石为甲窖。论曰：此亦用五分为法也。然为得数相减之余，非并分母也。所用之实，亦二千石。然为甲分互乗之数相减，非甲乙两分母互乗相减也。亦先得四百石为乙，三分之一。然以乙列于中，甲列于上，故先减去甲而余乙为法。以先得乙之分，若列乙于上，则亦先得甲分矣。试更列之，以先求甲窖。

如法乗减，乙减尽，甲余五分为法，余四千石为实，法除实，得八百石为甲之一分，以甲分母二乗之，得一千六百石为甲窖。以甲之一分减二千石，余一千二百石为乙窖。论曰：凡方程有各色，皆可更列其上下以互求，而任先得其一色，何也？其互乗而对减者，皆实数也。若并分母为法，则无实数可言，故不可以互求。愚于带分言之备矣，或化整为零【如上所列二例是也】或变零从整，或除零附整，共有三法。凡带分者皆可施用，若并分母为法，则多所不通矣。凡此皆诸书沿误，而《同文算指》亦皆收入，未尝驳正也。

试以分母非三与二者求之假如有句股不知数，但云以股四之一益句，以句三之一益股，则皆二丈二尺，问句股各若干？

畣曰句一丈八尺　股一丈六尺依化整法列位上　　　　中　　　　　下如法乗减，余股十一分为法，四丈四尺为实。法除实，得四尺为股之一分。以股分母四乗其一分，得一丈六尺为股。以股之一分减共二丈二尺余一丈八尺为句。论曰：此十一为法也。若以股列于上，则亦十一分为法也。如并分母，将以七为法，其能合乎？

又试以分子非之一者求之假如有股与▯不知数，但云若取▯六分之二以益股，则五丈五尺；若取股三分之二以当▯，则少五丈五尺。问若干？

畣曰股三丈　▯七丈五尺法以一和一较依化整法列位如法互乗，股同名减尽，▯异名并得二十二分为法，数异名并得二十七丈五尺为实，法除实得一丈二尺五寸为▯之一分，以▯分母六乗其一分得七丈五尺为▯，以▯之二分二丈五尺减共五丈五尺，余三丈为股论曰：此以二十二为法也。若以▯列于上，则亦二十二为法也。而并分母，是将以九为法矣？岂不毫厘千里乎！

以上数则皆不可并分母为法问者或云：甲乙仓粟不知数，但知共二千石。其甲二之一与乙三之一等，各若干？

畣曰甲八百石　乙一千二百石法以和较襍，列位亦用化整为零。

徧乗甲同减尽，乙异并五分为法，二千石无减为实，法除实为乙之一分，以乙分母三乗其一分，得一千二百石为乙仓，因适足，故乙之一分犹甲之一分也，以甲分母二乗之，得八百石为甲仓。论曰：惟此有似于并母，然实非并分母，乃并得数之异名者也。又按，并母法与方程不同。假如有仓粟，取三之一，又二之一，共计二千石，问原数若干？

畣曰原数二千四百石法以两母互乗其子而并之，得五为法。以两母相乗得六，以乗二千石，得一万二千石为实。法除实，得二千四百石为原仓之粟。论曰：此即并母法也。因两分子皆一，故并母用之，实并两分母互乗其子之数也。盖既曰三分、二分，其原数必可以三分之、又二分之者也。故以两分母相乗得六，借为原数之衰。原数六，则三之一即二也，二之一即三也，并而用之，借为所取之分。如云取原数六分之五而二千石也，六分之五为二千石，则其全数必二千四百石矣。此通分法，非方程。

设问之误辨算家设问，以为规式。意虽引而不发，数则实而可稽。苟其稽之而无有真实可言之数，则其意不能自明，而何以为式乎？至其立法之多，违于古，皆以不深知算理，而臆见横生，又相因而必至也。故以设问为之目。今将《同文算指》所载井不知深例考定如后，余如此者尚多，不能一一为辨也【钱塘吴信民《九章比类》亦载是例，非《同文》创立也，盖方程之沿误久矣】问：井不知深，以五等绳度之。用甲绳二，不及泉；借乙绳一，补之，及泉。用乙绳三，则借丙一；用丙绳四，则借丁一；用丁绳五，则借戊一；用戊绳六，借甲一，乃俱及泉。其井深若干？五等绳各若干？原法曰：「列五行，以五绳之数为母，借绳一为子。先取甲二乗乙三，得六，以乗丙，得二十四，以乗丁，得一百二十，以乗戊，得七百二十，并入子，一共七百二十一，为井深积列位。」一甲二，乙一，○○○七百二十一二○乙三，丙一，○○七百二十一三○○丙四，丁一，○七百二十一四○○○丁五，戊一，七百二十一五甲一，○负一，○负一，○负一，戊六，七百二十一乃取五行为主，而以一二三四俱与相乗。先以一行甲二遍乗五甲【甲一得二戊六得十二积七百二十一得一千四百四十二】五行甲一，亦遍乗一行，对减【甲得二，减尽；乙得一，因五行乙空。立负一，积七七百二十一，本数以减五行，仍余七百二十一】次以二行乙三乗五行【乙负一得负三戊正十二得三十六积七百二十一得二千一百六十三】五行乙负一，亦乗二行【乙三得三，对减尽，丙一得一，因五行丙空，立负一，积七百二十一，得本数，并入五行积，共二千八百八十四】再以三行丙四乗五行【丙负一得四，戊正三十六得一百四十四，积二千八百八十四，得一万一千五百三十六】五行丙负一，亦乗三行【丙四得四，减尽；丁一得一，因五行丁空，立负一积，得本数与五行对减，余一万○八百一十五】又以四行丁五乗五行【丁负一得五，戊正一百四十四得七百二十，积一万○八百一十五得五万四千○七十五】五行丁负一，亦乗四行【丁五得五，减尽戊一得一，并入五行戊正七百二十，共七百二十一积得本数，并入五行积五万四千○七十五，共五万四千七百九十六】乃以最后所得求之，以积五万四千七百九十六为实，戊七百二十一为法，除之得戊绳七尺六寸，以减四行总积【七百二十一】余六百四十五，以丁五除之，得丁绳一丈二尺九寸，以减三行积【七百二十一后同】余五百九十二，以丙四除之，得丙绳一丈四尺八寸，以减二行积，余五百七十三，以乙三除之，得乙绳一丈九尺一寸，以减一行积，余五百三十，以甲二除之，得甲绳二丈六尺五寸。

论曰：此一例中有数误。一者，以末行为主，而以一二三四与之相乗，此由不知和较交变，而沿竒减偶加之失误一。一者，谓末行有空，故立负，由不知有空径求，而沿立负之非误二。一者，以除法命为井深，而设问不明言丈尺，误三。又辄立母逓相乗加借子一之法，误四。一例中误至数端，将令学者何所措意乎？前之两误【谓以未行为主而竒减偶加反立负之法】业于▯梨诸例辨之，綦详可以互见。今特明后两误之非，具如后论。凡言百十者，皆虚位也。其实数以单位为端，故单位为寸，则十者尺，百者丈；若单位为尺，则十者丈，百者十丈；若单位为丈，则十者十丈，百者百丈。七百二十一以为井深，不知其所谓一者，尺乎？寸乎？丈乎？若七百二十一尺，七百二十一寸，七百二十一丈，相去甚悬然，其为七百二十一者不殊也。先不明言尺寸，虽得数，何以命之？详观问意，乃借井深以知各绳。故井深者，和数也。在各行中，皆所列诸绳之共数，必先知此共数，然后以乗减之法求之，而各数乃见矣。而不先言井深，转借各绳以求之，方程中无此法也。故其所得但为七百二十一之虚率，而不能防其为丈尺何等，亦固然耳。七百二十一，亦非井深定率，何也？倍七百二十一，则一千四百四十二；若三其七百二十一，则二千一百六十三。推之以至于无穷，凡可以七百二十一除之而尽者，皆可以五等绳相借而及泉也。故使其井为一丈四尺四寸二分之深，则戊绳必一尺五寸二分，丁绳必二尺五寸八分，丙绳必二尺九寸六分，乙绳必三尺八寸二分，甲绳必五尺三寸矣。使其井为二十一丈六尺三寸之深，则戊绳二丈二尺八寸，丁绳三丈八尺七寸，丙绳四丈四尺四寸，乙绳五丈七尺三寸，甲绳七丈九尺五寸矣。皆甲二偕乙一，若乙三则偕丙一，若丙四则偕丁一，若丁五则偕戊一，若戊六则偕甲一而及泉。故曰：七百二十一非井深之定率也。七百二十一者，除法也。以此为法，除井深乗并之数，而得一绳。因以知各绳，即不得以此命为井深。除法，法也；井深，实也。而以法为实乎？以七百二十一为除法，乃绳也。如所求先得戊绳之数，则此七百二十一者，即是戊绳也。其五万四千七百九十六者，乃七百二十一戊绳之共数也。以戊绳七百二十一为法，除其共数，而得七十六，则是一戊绳之数也。故七百二十一者，绳也；五万四千七百九十六者，井深也【假如一井深七丈二尺一寸，则七十六井共深五百四十七丈九尺六寸。井无此深乗并而有也。数犹戊绳之七百二十一，亦以乗并而得也】而顾以绳之积为井深之积乎？假如井深一丈四尺四寸二分，依法求之，其为戊绳之共数，必一百○九丈五尺九寸二分，而其戊绳亦必七百二十一。

以七百二十一为法，除一百○九丈五尺九寸二分，得一尺五寸二分，则一戊绳之数矣。故曰七百二十一者，非井深也，乃除法也。绳也，绳之为除法者有定，而其所除之井深无定也。又辄立母子乗并之法，夫以各绳为母，而借绳为子，未大失也。盖于三绳中取一，即是三之一；于四绳取一，亦即四之一也。乃谓七百二十一为母相乗而加借子，则非也。盖位既迭空，除首位减去外，皆母与相乗，乗子与相乗而不相遇；至第四次乃相遇，而又适当其变为一和一较之时，异名相并，故得此数以为除法耳。固不得立此以为通法也。假如问五色方程，而各行不空，则和较之变多端，岂预知其减并？即使各行有空，如所列而或为较数，则有减而无并，亦将以借子加之乎？又所加之一，乃子相乗之数。若遇借子为之二之三，则皆不能径用其原借之子数也。故曰非通法也。今试以井深一丈四尺四寸二分者，举例如后。假如有井深一丈四尺四寸二分，以甲乙丙丁戊五等绳汲之，皆不及泉。若甲借乙三之一，乙借丙四之一，丙借丁五之一，丁借戊六之一，戊借甲二之一，皆及泉。问绳各长若干？

法以带分和数列位上上　上下　中上　中下　下上　　下下依空位省算，先以一行与五行对乗。甲减尽，乙一，戊十二，皆无对不减。和数余一丈四尺四寸二分。乙在首行，戊与一丈四尺四寸二分在五行，分正负列之。和变较也。余行无甲，绳不湏减。

径以减余与次行相对依和较相襍法互乗，乙绳同减尽，丙一【左正】戊三十六【右负】皆无减。和较数异，并五丈七尺六寸八分【右负左正】复变和数不分正负【隔行异名并故也】

依和数乗，丙绳减尽，丁绳一【左】戊绳一百四十四【右】皆无减。和数减余二十一丈六尺三寸【右】又复变和数也，分正负列之。余行又无丙绳，径以减余，与第四行相对。

上　　　　　中　　　　下依和较相襍乗，丁同减尽，戊异并七百二十一为法，和较数异并一百○九丈五尺九寸二分为实，法除实得一尺五寸二分为戊绳六之一，以减共一丈四尺四寸二分得一丈二尺九寸为丁绳五除丁绳得二尺五寸八分为丁绳五之一，以减共一丈四尺四寸二分，余一丈一尺八寸四分，为丙绳。四除丙绳，得二尺九寸六分，为丙绳四之一。以减共一丈四尺四寸二分，余一丈一尺四寸六。分为乙绳，三除之得三尺八寸二分，为乙绳三之一。以减共一丈四尺四寸二分，得一丈○六寸，为甲绳。二除之得五尺三寸，爲甲绳二之一。以减共一丈四尺四寸二分，得九尺一寸二分，爲戊绳。

计开论曰：此亦七百二十一为除法也。减并之用，与前无异。而井深既别，绳数迥殊，不先言丈尺，何以定之？试又以较数明之。今有数，不知总。其五人所分，亦不知各数。但云：取乙三之一以当甲，取丙四之一以当乙，取丁五之一以当丙，取戊六之一以当丁，取甲二之一以当戊，皆不足七百一十九。问若干？畣曰：甲一千○三十四，乙九百四十五，丙九百○四，丁九百二十五，戊一千二百三十六。

法以较数列位依带分法化整爲零如法乗，甲同减尽，乙一【左负】戊十二【右负】皆无减，同名在隔行，仍分正负，较数异并与戊同名，余行无甲，径以减余，对第三行。

如法乗，乙同减尽，丙一【左负】戊三十六【右负】皆无减。以隔行同名分正负，较数异并与戊同名，余。

行无乙径以减余对第四行如法乗，丙同减尽，丁一【左负】戊一百四十四【右负】皆无减。以隔行同名分正负，较数异并，仍与戊同名，余行无丙径以减，余对末行。

如法乗，丁同减尽，戊同减余七百一十九为法，较数异，并一十四万八千一百一十四为实，法。除实得二百○五为戊之一分，加正七百一十九，共九百二十五为丁数。五除丁数，得一百八十五为丁之一分，加正七百一十九，共九百○四为丙数。四除丙数，得二百二十六为丙之一分，加正七百一十九，共九百四十五为乙数。三除乙数，得三百一十五为乙之一分，加正七百一十九，共一千○三十四为甲数。二除甲数，得五百一十七，加负七百一十九，共一千二百三十六为戊数。六除戊数，仍得二百○六为戊之一分。

计开论曰：此其母与母相乗，子与子相乗，与前略同，但末后相遇为同减，故不以七百二十一为法，而以七百一十九为法，无他较数也。若依母相乗而并子，岂不误哉？且四次乗减其下较皆异倂，亦足见竒减偶并之非。又以法同而得数迥异者，明之。今有数五宗，不知其总，但云以乙三之一当甲，以丙四之一当乙，以丁五之一当丙，以戊六之一当丁，皆适足。若以甲二之一偕戊，则共数七百二十一，问各若干？

法以和较带分列位　化整为零甲同减尽，乙一【左负】戊一十二【右正】皆无减。一千四百四十一亦无减。隔行异名，即同名也，变为和数，重列之与次行对。

乙同减尽，丙一【左负】戊三十六【右正】四千三百二十六【右正】皆无减。皆隔行异名，亦变和数重列，与第三行对。

丙同减尽，丁一【左负】戊三十六【右正】一万七千三百○四【右正】皆无减，隔行异名，仍变和数，重列与第四行对。

丁同减尽，戊异并七百二十一为法，八万六千五百二十无减就为实，法除实得一百二十为戊六之一，即丁数，五除之得二十四为丁五之一，即丙数，四除之得六为丙四之一，即乙数，三除之得二为乙三之一，即甲数，半之得一为甲二之一，以减共七百二十一，余七百二十为戊数。

计开甲二，乙六，丙二十四，丁一百二十，戊七百二十。论曰：此亦以七百二十一为法，而其各数迥不相类，则以下数之为和为较，迥不相同也。然则井深者即和数也，而不先言其丈尺，顾以除法命之可乎？又试以分子逓借而非之一者明之。今有甲、乙、丙、丁船各十只，以载盐九千七百七十六引，俱不足。若甲借乙一，乙借丙二，丙借丁三，丁借甲四，则各能载。问各船若干？

法以和数列位列后甲减尽，乙四【右】丁一百【左】皆无减。以两行故，分正负。载盐余五万九千八百五十六【左】与丁同名。甲空与减余对，次行。

乙同减尽，丙八【左正】丁一千【右负】俱无减。引异并六十三万八千四百六十四【右负左正】异名在隔行，复变和数无正负。乙空以减，余对三行。

丙减尽，丁余九千九百七十六为法，引余六百三十万○四千八百三十二为实，法除实得六百三十二引为丁船数。以丙借丁船三乗丁数得一千八百九十六，以减共九千九百七十六引，余八千○八十，丙所载也，以丙十除之，得八百○八引为丙船数。以乙借丙船二乗丙数得一千六百一十六，以减共九千九百七十六引，余八千三百六十，乙所载也，以乙十除之，得八百三十六引为乙船数。以乙船数减共九千九百七十六，余九千一百四十，甲所载也，以甲十除之，得九百一十四引为甲船数。计开各船每只载数。

甲船九百一十四引乙船八百三十六引丙船八百○八引丁船六百三十二引论曰：此四色方程逓借法，与诸书所载马骡载米同，亦与《同文算指》井不知深同。但彼误以除法为井深，又误立各母逓乗加借子法，故设此问以显其理。此所用除法，丁船九千九百七十六，犹彼所用除法，戊绳七百二十一也。乃除法也，非井深也。除法有定，而井深无定。即如此问，九千九百七十六之除法有定，而盐之数无定也？何言乎无定？假如以九千九百七十六引而倍之，则各船之所载亦倍矣。以引数半之，船所载亦半矣。然其除法之九千九百七十六如故也。若不先言引数，何知之？共载九千九百七十六引者，盐数也。以九千九百七十六为法而除者，船数也。船为法者，算家虚立之率；盐列位者，问者现据之实数。数虽偶同，为用逈别。以各原数为母，借数为子，是也。如甲借乙船一，而乙船原有十，即十分之一也。谓母相乗而加借子一则非法也。如此所用除法，九千九百七十六，何以处之？又如后条，马歩舟师各借二分者，又何以处之？数虽似不可施之他数，非通法矣。又试以三色例，亦用异加得除法者观之。假如有马歩舟师不知数，但云取骑兵五分之二，益歩取歩卒三分之二，益舟取舟师七分之二，益骑则皆得六千七百八十名。畣曰：「歩卒四千五百名，骑兵五千七百名。」

舟师三千七百八十名法以和数带分列位依省笇以左行加二分之一，步卒减尽，骑二分【右】舟师十分○半【左】皆无减。共数减余三千三百九十【左】分，余两行变较数也。以较数与舟师同名，中行步卒原空，径以减余作二色列之。

依省算四因左行而退位，骑同减尽。舟师异并十一分三厘为法，和较数异并六千一百○二为实。法除实，得五百四十为舟师之一分。以分母七乗之，得三千七百八十名为舟师数。以舟师数减共数，六千七百八十余，三千所借步卒之二分也。二除之，分母三乗之，得四千五百为歩卒数。以歩卒数减共数，六千七百八十余，二千二百八十，所借骑兵之二分也。二除之，分母五乗之，得五千七百，名为骑兵数。论曰：此虽以异加而得除法，然不得竟以子之二加也。故以分子一加者，非通法也。

厯算全书卷四十三<子部,天文算法类,推步之属,历算全书》>钦定四库全书