厯算全书卷十三
厯算全书卷十三
宣城梅文鼎撰授时平立定三差详説太阳行天，有盈有缩。立成以八十八日九十一刻就整为限者【据盈厯言之】此由测验而得之也。葢自定气冬至至定气春分，太阳行天一象限【依古法以九十一度三一竒为象限】该歴九十一日三十一刻有竒；而今则不然，毎于冬至后八十八日九十一刻而太阳已到春分宿度，故盈厯以此为限也。夫八十八日九十一刻而行天一象限，则于平行之外多行二度四十分竒，也是为盈厯之大积差。若缩厯，即其不及之数，必行至九十三日竒而后满一象限也。故缩厯之限多于盈厯日数，其积差极数亦与盈厯同。但此盈缩之差絶非平派，或自多而渐少，或由少而渐多，何以能得其毎日参差之数？郭太史立为平、立、定三差法，以齐其不齐，可得毎日细差及积差。其理则出于垜积招差之法也。定差者何？曰：所测盈缩初日最大之差也。凡盈缩末日即同平行，其盈缩之最多必在初日。今欲求逐日之差，必先求初日最大之差，以为之凖，则故曰定差也。既有此最大之差，即可以求逐日之差，而逐日之差皆以渐而少，法当用减，故又有平差、立差，皆减法也。然何以谓之平差？曰：平者，平方也。其差之増有类平方，故以名之也。差何以能若平方？曰：初日以后，其盈缩渐减以至于平，以常法论之，数宜平派，即用差分法足矣。而合之测验所得，则又非平派也。其近初日也，所减甚少；其近末日也，所减骤多。假如一日减平差一，则二日宜减二，而今则二日之平差増为四。又初日平差一，二日平差四，则三日宜为七，四日宜为十，而今则三日之平差増为九，四日増为十六。故非平方垜积之加法，不足以列其衰序也。然则又何以为立差？曰：立者，立方也。差何以又若立方？曰：以平差合之，测验犹为未足，故复设此以益之。假如初日减平差一，又带减立差一；至二日则平差四，而所带之立差非四也，乃八也。三限平差九，而立差非九也，乃二十七也。葢必如此，而后与所测之盈缩相应。其分为六段何也？曰：此求差之法也。一二日间虽各有盈缩之差，然差少则难辨，积至半次，其差始多而可见矣。故各就其盈缩之日匀分之一年二十四定气，分四象限，各有六气，故其分亦以六也。既匀分六段矣，又以后段连前段，何也？曰：此所谓招差也。虽匀分六段，其差积仍难细分，故惟于初段用本数，以其盈缩多而易见也【如盈厯初段积盈七千分，是最多而易见也】若末段必带前段，以其盈缩少而难真也【如盈厯末段积差与第五段相减，则其本段中只共盈七百四十九分数，少难分，故连前段论之】借彼易见之差，以显难真之数，此立法之意也【以太阳盈差为例，他仿此】然则各段平差不几混乎？曰：无虑也。凡前多后少之积差合总数而匀分之，即得最中之率。如第六段之平差，即第四十四日之盈加分【以八十八日九二折半得四十四日四六，即最中之处，其本段平差二百七十余分与之相应，下仿此】第五段之平差，即第三十七日之盈加分。第四段之平差，即二十九日之盈加分。第三段之平差，即第二十二日之盈加分。第二段之平差，即第十四日八二之盈加分。第一段之平差，即第七日四一之盈加分。其数各有归着，虽连前段原无牵混也。然则又何以有一差、二差？曰：一差者，差之较也；二差者，较之较也。曷言乎差之较？曰：各段平差是盈缩于平行之数也，其数初段多而末段少。各段一差是相邻两限盈缩之较也，其数初段少而末段反多。然则二者若是其相反欤？曰：非相反也，乃相成也。葢惟其盈缩于平行之数，既以渐而减，则其盈缩自相差之数必以渐而増。其法于前限平差内减次限平差，即知前限之盈缩多于后限若干矣。而此一差之数原非平派，故初限次限之较最少，而次限三限之较渐多，三限四限之较又多，四限五限更多，至五限六限则多之极矣。其多之极者何也？盈缩之数近末限则骤减也。此一差之前少后多，正所以为盈缩之前多后少也。然则，二差又何以有齐数？曰：不齐者，物之情也。而不齐之中，有所以不齐焉。得其所以不齐，斯可以齐其不齐矣。今各限之一差不齐，而前后两一差相减，则仍有齐数为二差。是其不齐者，差之较；而其无不齐者，较之较也。较之较既为齐数，则较数之不齐，皆有伦而有脊矣。故遂可据之以求定差也。泛平积即用第一段平差何也？曰：今推定差初日之数也。前所推第一段平差，则第七日之数也。故总第一段言之，可曰平差；而自初日言之，但成泛积。泛者，对定之辞，言必再有加减而后为定率也。
二差折半，何也？曰：以分平差、立差之实也。葢泛平积差既为初日盈加分多于七日之较，则皆此七日中平差、立差所积而成之者也。而平差之数大，立差之数小，泛平积之大数皆平差所成，而其中有六十九秒【即半二差】则立差所成，故分出此数，以便各求其数也。平差除一次，立差除两次，何也？曰：此平、立之分也。除一次者，段日本数为法也；除两次者，段日自乘为法也。于是再以段日乘之，则本数者，如平方之自乘；自乘者，如立方之再乘矣。平立合差何也？曰：次限少于初限之差也。内有两平差、六立差之共数，故谓之合差【如盈厯以二分四十六秒为平差，三十一微为立差。今倍平差得四分九十二秒，加入加分立差一秒八十六微，共得四分九十三秒八十六微为平立合差。是有两平差、六立差之数，葢加分立差原是六个立差也】定差内又减一平差、一立差为初日加分，何也？曰：此初日加分之积少于定差之数也。既以定差为初日加分矣，而积又减，此何也？曰：以定差为初日加分者，乃初日最初之率也。积满一日，则平差、立差各有所减，而特其减甚微，故各祗一数，如平方、立方之起数以一也。是故此一平差、一立差者，即初日平立合差也。初日之平立合差何独少耶？曰：准于平方、立方之加法，正相应也。葢平方幂积以自乘之积为等【其数一、四、九、十六、二十五、三十六、四九、六四、八一也】立方体积以再乘之积为等【其数一、八、二十七、六四、百二十五、二一六、三四三、五一二也】而平立合差之数亦如之。是故，初日之盈缩积，是于定差内减一平差，一立差。如平方、立方之根，一者积，亦一也。次日之盈缩积，是于二定差内减四平差，八立差。如方根二者，平积必四，立积必八也。三日之盈缩，积是于三定差内，减九平差，二十七立差。如方根三者，平积必九，立积二十七也。四日之盈缩，积是于四定差内，减十六平差，六十四立差。如方根四者，平积必十六，立积必六十四也。向后各限并同此推，合而言之，即皆逐日之平立合差也。然则以一平差一立差较次日之四平差八立差，固为小矣；而以四平差八立差较三日之九平差二十七立差，不更小乎？何况以三较四，则为九平差二十七立差与十六平差六十四立差，其相差不更悬絶乎？问：次日之平立合差只两平差六立差，而今又云四平差八立差；三日以后之平立合差只递増六立差【逐日递増加分立差一秒八十六微，是六个立差之数】而今所云者三日有平差九立差二十七，其説之不同如此，必有一误矣。曰：差之积类于平方立方者，是总计其所减之数；而毎加加分立差者，是分论其逐日所减之数也。
欲明此理，仍当求诸少广【少广者，开方法也】今夫平方以一、四、九、十六、二十五等为序者，其幂积也。若分而言之，以一、三、五、七、九为序者，其廉隅也【以相挨两平幂相减即得廉隅，如一与四相减得三，四与九相减得五，九与十六相减得七，十六与二十五相减得九，是也】廉隅即较也，而递増以二数者，较之较也【一、三、五、七、九皆递増以二】今夫立方以一、八、二七、六四、一二五为序者，其体积也。若分而言之，以七、十九、三七、六一为序者，其廉隅也【亦以相挨两体积相减得之，如一减八得七，八减廿七得十九，廿七减六十四得三十七，六十四减一百二十五得六十一，是也】廉隅即较也，而递増以六者，较之较也【一増六得七，七増二六得十九，十九増三六得三十七，三十七増四六得六一】是故平立差之总积，是初日以来所积之差也，亦如平立方之幂积体积也。平立差之加法，是逐日递増之较也，亦如平立方之廉隅也。合初日以来之加分【即盈缩积度】与定差较，则其差如平立方之幂积体积也【平差之序一四九十六二十五立差之序一八二十七六四一二十五】若以本日之加分与定差较，则其差如平立方之廉隅也【平差之序一三五七九立差之序七十九三十七六十一】若以本日之平立合差与初日较，如平立方之廉积【平差之増二四六八，立差之増六十八三十六六十】若以相近两日之平立合差自相较，如平立方之廉积相较【平差之递増皆二，立差之递増以六而再増十二为二六，再増十八为三六，再増二十四为四六也】于定差内减平差、立差各一为初日加分。又于初日加分内减去二平差，六立差，是共减平差四【本日实减三，合初日所减之一则四】立差八【本日实减七，合初日所减之一则八】而为次日加分也。又于次日平立合差内加入六立差为平立合差【共二平差十二立差】以减次日加分，是共减去平差九【本日实减平差五，合前两日所减四，共九】立差二十七【本日实减立差十九，合前日所减之八，则二十七】而为三日加分也。又于三日之平立合差内加六立差为平立合差【共二平差十八立差】以减三日加分，是共减去平差十六【本日实减平差七，合前三日所减之九则十六】立差六十四【本日实减立差三十七，合前三日所减之二十七则六十四】而为四日加分也。故曰：「合初日以来之加分，与定差较，其差如平立方之幂积体积；而以本日之加分【即本日实减数】与定差较，则如廉隅也。」若论布立成法，则不言定差，但以初日加分为根，以平、立合差减初日加分为次日加分，是于初日加分内减二平差、六立差也。
又以六立差倂入平立合差，以减次日加分，为三日加分。是于次日加分内，又减二平差十二立差。于初日加分，则为减四平差十八立差也。又如上法，再増六立差，以减三日加分为四日加分，是于三日加分内，又减二平差十八立差，于初日加分内，则为减六平差三十六立差也。故曰：「以平立合差与初日较，若平立方之廉积；而以相近两日自相较，如平立方之廉积相较也。」平方二廉，故相加以二；立方六廉，故相加以六。此倍平差六因立差为平立合差之理也。平方之相加以二者，始终不变；立方之相加以六者，毎限递増。此向后立差递増六数之理也。
盈缩招差图説盈缩招差，本为各一象限之法【如盈厯则以八十八日九十一刻为象限，缩厯则以九十三日七十一刻为象限】今只作九限者，举此为例也。其空格九行定差本数为实也，其斜线以上平差、立差之数为法也。斜线以下空格之定差，乃余实也。假如定差为一万，平差为一百，立差为单一。今求九限法，以九限乘平差，得九百。又以九限乘立差二次，得八十一。并两数九百八十一为法，定差一万为实。法减实，余实九千○一十九，即九限末位所书之定差也。于是再以九限为法乘余实，得八万一千一百七十一，为九限积数。本法以九限乗定差，得九万为实。另置平差，以九限乘二次，得八千一百。置立差，以九限乗三次，得七百二十九。并两数，得八千八百二十九为法。以减实九万，得八万一千一百七十一，为九限积，与前所得同。本法是先乘后减，用法是先减后乘，其理一也。
初日减平差一庚也，次日又减平差二甲也，实减三，并甲庚也，合廉隅矣，并计初日共减四，合平方幂矣。第三日又多减平差二乙也，实减五，并二甲二乙一庚也，合廉隅矣，并计前两日共减九，合平方幂矣。第四日以后仿此推之。