厯算全书卷五十三

厯算全书卷五十三

宣城梅文鼎撰三角法举要卷四或问【三角大意畧具首卷中，而入算取用仍有疑端。喜同学之好问，事事必求其所以然，故不惮为」

之详复以畅厥防】

一三角形用正▯为比例之理一和较相求之理一用切线分外角之理一三较连乗之理附三较求角问：各角正▯与各邉皆不平行，何以能相为比例？曰：凡三角形一邉必对一角，其角大者正▯大，而所对之邉亦大；角小者正▯小，而所对之邉亦小。故邉与邉之比例如正▯与正▯也。

两正▯为两邉比例图乙、丙、丁三角形，丁乙邉大，对丙角。丁丙邉小对乙角术为，以丁乙邉。比丁丙，邉若丙角之正▯与乙角。

之正▯解曰：试以丁丙为半径，作丁甲线为丙角正▯，又截戊乙如丁丙半径，作戊己线为乙角正▯。丁甲正▯大于戊己，故丁乙邉亦大于丁丙。问丁甲何以独为丙角正▯也？曰：此以丁丙为半径故也。若以丁乙为半径，则丁甲即为乙角之正▯如图，用丁乙为半径作丁甲线为乙角正▯又引丙丁至戊，令戊丙如丁乙半径，作戊己线为丙角正▯即见乙角之正▯丁甲小于戊己。

故丁丙邉亦小于丁乙解曰：正▯者，半径所生也。故必两半径齐同，始可以较其大小，前图。截戊乙如丁丙，此图引丁丙如丁乙，所以同之也。

三正▯逓相为三邉比例图乙丁丙钝角形，丁钝角对乙丙大邉，丙次大角对乙丁次大邉，乙小角对丁丙小邉，其各邉比例皆各角正▯之比例。试以乙丁为半径，作丁甲线为乙。小角之正▯又引丙丁邉至戊，使戊丙如乙丁，作戊己线，为丙角之正▯又展戊丙线至庚，使庚丙如乙。丙作庚辛线为丁钝角之正▯【如此则三邉皆若▯三正▯皆若股】其比例为以乙丙大邉【同庚丙】比乙丁次邉【同戊丙】若丁钝角之正▯庚辛与丙角之正▯戊己。又以乙丁次大邉【同戊丙】比丁丙小邉，若丙角之正▯戊己，与乙角之正▯丁甲。又以丁丙小邉比乙丙大邉【同庚丙】若乙小角之正▯丁甲与丁钝角之正▯庚辛。问庚辛何以为丁角正▯？曰：凡钝角以外角之正▯为正▯。试作乙癸线为丁角正▯【乙丁癸角外角也，故其正▯即为丁钝角正▯】必与庚辛等，何也？庚丙辛句股形与乙丙癸形等【庚丙▯既同乙丙，又同用丙角，辛与癸又同为方角，故其形必等】则庚辛必等乙癸，而乙癸既丁角正▯矣，等乙癸之庚辛，又安得不为丁角正▯乎【凡取正▯必齐其半径，此以丁甲为乙角正▯，是用乙丁为半径也；而取丙角正▯戊己，必引戊丙如乙丁，其丁角正▯庚辛，又即外角之正▯乙癸，是三半径皆乙丁也】试取壬丙，如丁丙作庚壬线，即同。乙、丁半径，则壬角同丁角；壬外角。即丁外角而庚辛正▯之半径仍。

为乙丁【庚壬同乙丁故】此以庚壬当乙丁，易乙丁丙形为。庚、壬、丙则庚辛正▯，亦归本位，与前图互明。试以各角正▯同居一象限，较其弧度。如图，甲乙丙形，丙角最大，其正▯乙丁亦最大，所对甲乙邉亦最大，甲角次大，其正▯丑壬亦次大，所对。乙丙邉亦次大，乙角最小，其正▯。丙夘亦小，所对丙甲邉，亦最小【丙乙】二角正▯并乙丙为半径，甲角取正▯截丑甲如乙丙，亦以乙丙为半径】乃别作一象弧【如戊己】仍用乙丙。为半径【取戊庚如乙丙】而以先所得各角。之余，▯取度于丁。作乙，丁为丙角。之正，▯于壬作丑。壬为甲角之正。▯于夘作丙夘为乙角之正，▯即如元度而各角之差数覩矣【戊庚半径既同，乙丙则丁庚即丁丙，而为丙角余▯，又壬庚即甲壬，为甲角余▯，夘庚即夘乙，为乙角余▯】解曰：角无大小，以弧而知其大小。今乙丁正▯，其弧乙己，是丙角最大也。丑壬正▯，其弧丑己，是甲角次大也。丙夘正▯，其弧丙己，是乙角最小也。而对邉之大小亦如之，故皆以正▯为比例也。或疑钝角之度益大，其正▯反渐小，而其所对之邉则渐大，何以能相为比例乎？曰：此易知也。凡钝角正▯，即外角之正▯，而外角度原兼有余两角之度，故钝角之正▯必大于余两角，而得为大邉之比例也。如乙丙甲钝角形，丙钝角最大，其正▯乙丁亦最大，而所对乙甲邉亦最大；乙角次大，其正▯丙夘亦次大，而所对甲丙邉亦次大；甲角最小，其正▯丑壬亦小，而所对乙丙邉亦最小【截甲丑如乙丙，从丑作丑壬，即甲角正▯】乃从乙作乙庚弧【以丙为心，乙丙为半径】为丙外角之度，又作辛丙半径与甲。乙平行分乙庚弧度为两，则辛庚即甲角之弧度，其余辛乙，亦即乙。角之弧度，从辛作辛未，正▯与丑。壬等又自庚截癸，庚度如辛乙，则癸庚亦乙角之弧，作癸子正▯与丙夘等。此显丙外角之度，兼有乙甲两角之度，其正▯必大于两角正▯也。虽丙钝角加大，而外角加小，则乙甲两角必又小于外角，又何疑于钝角正▯必为大邉比例乎？试更以各角切员观之，则各角之对边皆为其对弧之通▯。如图，三角形，以各角切员，则乙丙邉为丙戊乙弧之通▯，而对甲角，甲丙邉为丙己甲弧之通▯，而对乙。角甲乙邉为乙庚甲弧之通▯而对丙角，则是各角之对邉，即各角。对弧之通▯也。夫通▯者，正▯之。倍数则三邉比例，即三正▯之比。

例矣又试以各邉平分之，则皆成各角之正▯。

于前图内更以各邉所当之弧皆平分之【丙戊乙弧平分于戊防丙己甲弧平分于己防乙庚甲弧平分于庚防】自员心【丁】各作半径至其防即分各边为两平分【以丁壬戊】半径分乙丙边于壬，以丁辛己半径分甲丙边于辛，以丁癸庚半径，分甲乙边，于癸则所分之边，皆为两平分】则弧之平分者即原设各角之度而边之平分者即皆各角之正▯【丙丁戊角，以丙戊为弧，丙壬为正▯，而丙丁戊角，原为丙丁乙角之半，必与甲角同大，故丙戊半弧。即甲角之本度，丙壬半边，即甲角之正▯乙丁戊角，亦然】【凖此论之，则甲丁己角原为甲丁丙角之半，必与乙角同大，故甲己半弧即乙角之本度，甲辛半边即乙角之正▯，己丁丙角亦然。又乙丁庚角原为乙丁甲角之半，必与丙角同大，故乙庚半弧即丙角之本度，乙癸半边即丙角之正▯，庚丁甲角亦然】夫分其边之半，即皆成正▯，则边与边之比例，亦必如正▯与正▯矣【全与全若半与半也】问：三角之本度，皆用半弧，何也？曰：量角度，必以角为员心，真度乃见。今三角皆切员边，则所作通▯之弧皆倍度也，故半之乃为角之本度。如图，以甲角爲心，甲丁爲半径，作员，则其弧丑丁子，乃甲角之本度也。而平分之，丙戊及戊乙两弧，并与丑丁子弧等【试作戊丙及乙戊两▯，必相等，又并与丑子▯等，凡▯等者，弧亦等】故乙戊丙弧必爲甲角之倍度【余角类推】

问：三邉求角，何以用和较相乗也？曰：欲明和较之用，当先知和较之根。凡大小两方，以其邉相并，谓之和；相减，谓之较。和较相乗者，两方相减之余积也。如图，甲癸小方，丁癸大方，于大方。内依小方邉作己庚横线，又取己。辛如小方邉作，辛壬线成，己壬小。方与甲癸等，大方内减己壬小方。则所余者为乙庚及庚壬两长方。形夫乙己及丁庚及庚辛并两邉之较也，甲己庚则和也。若移庚壬长方为乙甲长方，即成丁甲大长方而为较乗和之积。故凡两方相减之余积为实，以和除之得较，以较除之亦得和矣。依此论之，若有两方形相减，又别有两方相减，而其余积等，则为公积。故以此两方之和较相乗为实，而以彼两方之和为法除之，得彼两方之较；或以彼两方之较为法除之，亦必得和。【如图，有方二十九之幂八百四十一，与方二十七之幂七百二十九，相减成较，二乗和，五十六之积。又有方十六之幂二百五十六，与方十二之幂一百四十。四相减成较，四乗和二十八之积。两积同为一百一十二，故以先有之较二和五十六相乗】【为实，以今有之和二十八为法，除之，即得较四为今所求数】是故三角形以两▯之和乗较为实，以两分底之和为法除之，得较者为两和较相乗同积也。两和较相乗同积者，各两方相减同积也。何以明之？曰：凡三角形，以中长线分为两句股，则两形同以中长线为股，而各以分底线为句。是股同而句不同也。句不同者，▯不同也。▯大者，句亦大；▯小者，句亦小。故两▯上方相减，必与两句上方相减之余积等，而两和较相乗亦等。如图甲乙丙三角形，以甲丁中长线分为两句股形，则丙乙为两句之和【未寅及子夘并同】丙戊为两句之较【未子及寅夘并】

同】未夘长方为两句之较乗和也，又丙己为两▯之和【辰壬】同】酉丙为两▯之较【辰癸及辛庚壬午并同】癸壬长方为两▯之较。

乗和也此两长方必等积问两▯上方大于两句上方，何以知其等积？曰：依句股法，▯上方幂必兼有句股上方幂。是故甲丙▯幂内【即癸甲大方】必兼有甲丁股、丙丁句两幂；乙甲▯幂内【即辛己小方】亦兼有甲丁股、乙丁句两幂。则是甲丁股幂者，两▯幂所同也；其不同者，句幂耳【股幂既同，则▯幂相减时，股幂俱对减而尽，使非句幂不同，巳无余积】然则两▯幂相减之余积【于癸甲大方内减己辛相同之申甲小方，所余者癸辛申丙两长方成磬折形】岂不即为两句幂相减之余积乎【于丁子方内减丁寅相同之戊丑小方所所余者丑子及戊未两长方成磬折形】由是言之，两和较相乗之等积信矣【于▯幂相减之癸辛申丙磬折形内，移申丙补庚壬，即成和较相乗之癸壬长方；又于句幂相减之丑子未戊磬折形内，移戊未补丑夘，即成和较相乗之未夘长方。两磬折形既等积，则两长方亦等积】问：和较之列四率，与诸例不同，何也？曰：此互视法也。同文算指谓之变测，古九章谓之同乗异除，乃三率之别调也。何则？凡异乗同除，皆以原有两率之比例为今两率之比例，其首率为法，必在原有两率之中。互视之术，则反以原有之两率为二为三，以自相乗为实，其首率为法者，反系今有之率，与异乗同除之序相反，故曰别调也。然则又何以仍列四率？曰：以相乗同实也。三率之术，二三相乗与一四相乗同实，故可以三率求一率【二三相乗，以一除之得四，以四除之即仍得一；若一四相乗，以二除之亦可得三，以三除之亦仍得二】互视之术，以原有之两率自相乗与今有之两率自相乗同实，故亦以三率求一率【原两率自相乗，以今有之率除之得今有之余一率；若今两率自相乗，以原有之率除之亦即得原有之余一率】但三率之术，以比例成其同实；互视之术，则以同实而成其比例。既成比例，即有四率，故可以列而求之也。如图，长方形对角斜剖，成两句股，则相等，而其中所成。小句股亦相等【甲壬戊与甲己戊等，则甲乙丙与甲辛丙等，丙丁戊与丙庚戊等，并长方均剖故也】即所成长方之积，亦必相等。【于甲、壬、戊句股形内减去相等之甲乙丙及丙丁戊两小】【句股存乙丙丁壬长方，又于甲己戊句股形内减去相等之甲辛丙及丙庚戊两小句股，存辛己庚丙长方。所减之数等，则所存之数亦等。故两长方虽长濶不同，而知其必为等积】今以甲乙为首率，乙丙为次率，丙丁为三率，丁戊为四率。则乙丁长方【即乙丙丁壬形】为二三相乗之积【此形以乙丙二率为濶，丙丁三率为长，是二率三率相乗也】辛庚长方【即辛己庚丙形】为一四相乗之积【此形以辛丙为长，丙庚为濶，而辛丙原同甲乙，乃一率也；丙庚原同丁戊，乃四率也，是一率四率相乗也】既两长方相等，则二三相乗与一四相乗等实矣，此列率之理也。

一　　甲乙二　　丙乙三　　丙丁四　　戊丁在异乗同除本术则甲乙及丙乙为原有之数丙丁为今有之数戊丁为今求之数其术为以原有之甲乙股比原有之丙乙句若今有之丙丁股与戊丁句也故于原有中取丙乙句与今有之丙丁股以异名相乗为实又于原有中取同名之甲乙股为法除之即得今所求之丁戊句是先知四率之比例而以乗除之故成两长方【二率乗三率成乙丁长方以首率除之必变为辛庚长方】故曰以比例成其同实也互视之术，则乙丙与丙丁为原有之数，甲乙为今有之数，丁戊为今求之数。术为：以乙丙较乗丙丁和之积，若丙庚较【即丁戊】乗丙辛和【即甲乙】之积。故以原有之乙丙较、丙丁和自相乗为实，以今有之甲乙和【即辛丙】为法除之，即得今所求之丁戊较【即丙庚】是先知两长方同积而以四率取之，故曰：以同实成其比例也。然则又何以谓之互视？曰：三率之用，以原有两件自相比之例，为今有两件自相比之例。是视此之差等为彼之差等，如相慕效，故大句比大股，若小句比小股【大句小于大股几倍，小句亦小于小股几倍；又大句大于小句几倍，大股亦大于小股几倍】互视之用，以原有一件与今一件相比之例，为今又一件与原又一件相比之例。是此视彼之所来以往，彼亦视此之所往以来，如互相酬报，故▯之较比句之较反。若句之和比▯之和【▯之和大于句，故句之较反大于▯；若和之数，▯大于句几倍，则较之数，句大于▯亦几倍】是以别之为互视也。如图，以甲乙为一率，丙乙为二率，丙丁为三率，丁戊为四率，作甲戊▯成两句股。次引甲乙及丁戊，防于壬，成。

乙丁长方为二三相乗之积亦引乙丙至庚引丁丙至辛作甲辛及戊庚线并引长之防于己成辛庚长方为一四相乗之积是先有比例而成同实之长方如图乙丙乗丙丁为乙丁长方辛丙乗丙庚为辛庚长方两长方以角相连于丙次引己辛及乙壬防于甲引己庚及壬丁防于戊乃作甲戊线则辛丙与丙丁若乙丙与丙庚是先知同实而成其比例也问三角形两又术，用外角切线何也？曰：此分角法也。一角在两邉之中，则角无所对之邉，邉无所对之角，不可以正▯为比例。今欲求未知之两角，故借外角分之也。然则何以用半较角？曰：较角者，本形中未知两角之较也。此两角之度，合之即为外角之度，必求其较角，然后可分而较角不可求，故求其半，知半较，知全较矣。此用半较角之理也。如图，甲丙乙形，先有丙角，则甲丙丁为外角，外角内作。

丙辛线与乙甲平行则辛丙丁角与乙角等辛丙甲角与甲角等其辛丙庚角为两角之较，而辛丙己角其半较也。己丙丁及己丙甲皆半外角也。以半较角与半外角相减，成乙角【于丁丙己内减辛丙己，其余丁丙辛即乙角度】若相加，亦成甲角【于己丙甲加辛丙己成辛丙甲，即甲角度】半较角用切线何也？曰：此比例法也。角与所对之邉并以正▯为比例，今既无正▯可论，而有其所对之邉，故即以邉为比例【角之正▯可以例邉，则邉之大小亦可以例角】是故乙丁者，两邉之总也；乙癸者，两邉之较也；而戊己者，半外角之切线也；壬己者，半较角之切线也。以乙丁比乙癸，若戊己与壬己，故以切线为比例也。然则何以不径用正▯？曰：凡一角分为两角，则正▯因度离立不同，在一线不可以求其比例。其在一线者，惟切线耳。而邉之比例与切线相应，切线比例又原与正▯相应，故用切线，实用正▯也。

如图甲丙丁外角其弧甲己丁于辛作辛丙线分其角为两则小角之弧丁辛其正▯夘丁大角之弧辛甲，其正▯；甲丑【小角，正▯当乙角之对邉甲丙，大角正▯，当甲角之对邉乙丙】今欲移正▯之比例于一线，先作甲丁通▯，割分角线于子，则子甲与子丁若甲丑与夘丁【甲丑子与丁夘子两句股形有子交角等，丑夘皆正角，即两形相似而比例等。然则子甲者大形之▯，子丁者小形之▯，而甲丑者大形之股，夘丁者小形之股也。▯与▯若股与股，故子甲比子丁若丑甲与夘丁】而甲丁即两正▯之总【甲丁为子甲子丁之总，亦即为甲丑夘丁之总】辰子即两正▯之较【以子丁减子甲，其较辰子是，辰子为子甲子丁之较，亦即为甲丑夘丁之较】平分甲丁半之于酉，则酉丁为半总，酉子为半较，其比例同也【全与全若半与半，故甲丁与辰子为两正▯之总与较，则半之而为酉丁与酉子亦必若两正▯之总与较】于是作午戊切员线【引平分线丙酉至己，分甲己丁弧于己，自己作午戊线与己丙为十字垂线，即此线为切员线】与甲丁平行，引诸线至其上【引丙甲至午，引丙丁至戊，引丙辰割庚防至未，引丙夘割辛防至壬】则午戊切线上比例与甲丁通▯等，而正▯之比例在切线矣【先以甲丁与辰子当两正▯之总与较，今午戊与未壬亦可当两正▯之总与较，则先以酉丁与酉子为半总半较者，今亦以己戊与己壬为半总半较矣】故曰用切线，实用正▯也【切线与正▯所以能同比例者，以有通▯作之合也】问三较连乗之理曰，亦句股术也。以句股为比例，而以三率之理转换之，则用法最精之处也。故三较连乗，即得容员半径上方乗半总之积。

假如甲乙丙三角形甲丙邉一百五十甲乙邉一百二十二乙丙邉一百一十二术以半总一百九十二较各邉得甲丙之较四十二甲乙之较七十乙丙之较八十三较连乗得数二十三万五千二百即容员半径自乗又乗半总之积也置三较连乗数以半总除之得数【一千二百二十五】平方开之得容员半径【三十五】倍之得容员径【七十】

夘壬形等即成癸丙夘壬四邉形与丁己丙辛小四邉形为相似形【夘与癸俱方角，而小形之己与辛亦方】【角则大形之丙角与壬角合之亦两方角也而小形之丙角原为大形丙角之外角合之亦两方角也则小形之丙角与大形之壬角等而小形之丁角亦与大形之丙角等是大小两形之四角俱等而为相似形】则丁己丙句股形与丙夘壬形亦相似而比例等【大小两四邉形各均剖其半以成句股则其相似之比例不变，全与全若半与半也】术为：以丁己比己丙，若丙夘与夘壬也。

一　丁己二　己丙三　丙卯　即甲丙之较戊乙四　卯壬凡三率法中，二三相乗，一四相乗，其积皆等。则己丙乗丙卯之积，即丁己乗卯壬之积，可通用也。先定以丁己自乗比丁己乗卯壬，若甲己与甲卯。今以三率之理通之，为以丁己自乗比己丙乗丙卯，亦若甲己与甲卯。一，丁己自乗方，即容员半径自乗。二，己丙乗丙卯，长方，即甲乙之较乗甲丙之数。

三　甲己　　　　　　即乙丙之较四　甲卯　　　　　　即半总复以三率之理转换用之，则三较连乗之积【以己丙较乗戊乙较为二率，又以甲己较为三率乗之，是二三相乗，即三较连乗】即容员半径自乗方乗半总之积也【以丁己半径自乗为首率，以甲卯半总为四率乗之，是一四相乗也，凡一四相乗必与二三相乗之积等】以数明之，丁己【三十五】卯壬【八十四】相乗，得二千九百四十。己丙【七十】丙卯【四十二】相乗，亦二千九百四十，故可通用。己丙乗丙卯【二千九百四十】又以甲己【八十】乗之，得二十三万五千二百。丁己自乗【一千二百二十五】又以甲卯【一百九十二】乗之，亦二十三万五千二百。故可通用。问：三较之术，可以求角乎？曰：可。其所求角，皆先得半角，即锐钝通为一术矣。术曰：以三边各减半总，得较。各以所求角对边之较乗半总为法，以余两较各与半径全数相乗，又自相乗为实。法除实，得数平方开之，为半角切线。捡表得度，倍之为所求角。

假如甲乙丙三角形甲丙边七十五甲乙边五十六乙丙边六十一与半总九十六各相减得甲丙之较二十一甲乙之较四十乙丙之较三十五今求乙角术以乙角所对边甲丙之较【二一】乗半总【九六】得数。【二○一六】为法以余两较【甲乙较四○乙。丙较三五】各乗半径全数，又自相。乗得数【一四○○○○○○○○○○○○】为实法除实得数【六九四四四四四四四四】平方开之，得数【八三三三三】为半。角切线捡表【三十九度四十八分一十九秒】倍之得乙角【七十九度三十六分三十八秒】次求丙角术，以丙角所对边甲乙之较【四○】乗半总，得数【三八四○】为法，余两较【甲丙二一，乙丙三五】各乗半径全数，又自相乗，得数【七三五○○○○○○○○○○】为实，法除实，得数【一九一四○六二五○○】平方开之，得半角切线【四三七五○】捡表【二十三度三十七分五十二秒半】倍之得丙角【四十七度一十五分四十五秒】次求甲角术，以甲角所对邉乙丙之较【三五】乗半总得数【三三六○】为法，余两较【甲丙二一，甲乙四○】各乗半径全数，又自相乗得数【八四○○○○○○○○○○○】为实，法除实得数【二五○○○○○○○○】平方开之得半角切线【五○○○○】捡表【二十六度三十三分五十三秒】倍之得甲角【五十三度○七分四十六秒】问前条用三较连乗，今只用一较为除法，何也？曰：前条求总积，故三较连乗；今有専求之角，故以对邉之较为法也。然则用对邉何也？曰：对邉之较在所求角之两旁，为所分小句股形之句；今求半角切线，故以此小句为法也。如求乙半角，则所用者角旁小句股【心戊乙或心丁乙】其句【乙戊或乙丁】并二十一，即对邉甲丙之较也。术为以乙戊比心戊，若半径与乙角【小形之角即半角也】之切线。

其与半总相乗何也曰将以半总除之，又以小形句【即对邉之较】除。之今以两除法【一半总一对邉之较即小形句】相乗，然后除之，变两次除为一。

次除也【古谓之异除同除】用两次除，亦有说乎？曰：前条三较连乗，必以半总除之，而得容员半径之方幂。今欲以方幂为用，故亦以半总除也。然则又何以对邉之较除？曰：非但以较除也，乃以较之幂除也。何以言之？曰：原法三较连乗为实，今只以两较乗，是省一乗也。既省一对邉之较乗，又以对邉之较除之，是以较除两次也，即如以较自乗之幂除之矣。余两较相乗，先又各乗半径，何也？曰：此三率之精理也。凡线与线相乗除所得者，线也；幂与幂相乗除所得者，幂也。先既定乙戊句为首率，心戊股【即容员半径】为次率，半径为三率，乙角切线为四率。而今无心戊之数，惟三较连乗中有心戊【即容员半径】自乗之幂【即三较连乗半总除之之数】故变四率并为幂，以乙戊句幂为首率【即对邉之较除两次】心戊股幂为次率【即半总除连乗数】半径之幂为三率【即半径自乗】得半角切线之幂为四率【即分形之乙角】

一　乙戊　　今用乙戊自乗二　心戊　　　　心戊自乗三　半径　　　　半径自乗四　乙角切线　　切线自乗故得数开方即成切线又术以三较连乗半总除之，开方为中垂线【即容员半径】以半径全数乗之为实，各以所求角对边之较除之，即得半角切线。一乙戊【乙角对边之较】丙戊【丙角对边之较】甲己【甲角对边之较】二心戊中垂线心戊中垂线心己中垂线【亦即心戊】三半径全数半径全数半径全数。四乙半角切线丙半角切縁甲半角切线。

此即用前图可解乃本法也论曰：常法三边求角，倘遇钝角，必于得角之后又加审焉。以钝角与外角同一八线也，今所得者既为半角，则无此疑，实为求角之防法。

补遗问以邉求角【句股第二术】因和较乗除而知正角，乃定其为句股形，何也？曰：古法句▯较乗句▯和开方得股，今大邉【壬丁】与小邉【癸丁】以和较相乗为实，癸壬邉为法除之，而仍得癸壬，是适合开方之积也，则大邉小邉之和较即句▯之和较，而癸为正角，成句股形矣【凡句股形▯为大邉而对正角，今丁壬邉最大即▯也，故所对之癸角为正角】试再以丁壬与壬癸之和较求之。如法用丁、壬、壬、癸相加得和【一百九十】。六丈】相减得较【一十六丈】较乗和【三千一百三十」。六丈】为实，丁癸【五十六丈】为法，除之，亦仍得五十六丈，何则？股▯较乗和亦。

开方得句故也然则句股▯和较之法，又安从生？曰：生于割圜。试以丁壬▯为半径作戊丁丙己圜。全径二百一十二，半径一百○六。乙丁正▯九十【即癸壬股】乙壬余。▯五十六【即癸丁句】丙乙正矢五。十【即句▯较】乙庚大矢一百六十。二【即句▯和】正矢乗大矢得数八。千一百开方，得正▯【即句▯和乗较开方】

得股】然则此八千一百者，既为正矢、大矢相乗之积，又为正▯自乗之积，故以正▯自乗为实，而正矢除之，可以得大矢；大矢除之，亦得正矢【即乙丁股自乗为实，而以句▯较丙乙除之，得乙庚为句▯和；若以句▯和除之，亦得句▯较】更之则正矢乗大矢为实，以正▯除之，仍得正▯矣【即句▯较丙乙乗句▯和乙庚为实，以乙丁股为法除之，而仍复得股】论曰：句股形在平圜内，其半径恒为▯。若正▯、余▯，则为句为股，可以互用，故其理亦可互明【以丁壬及丁癸二邉取和较，求壬癸邉为句▯求股；以丁壬及壬癸二邉取和较，求丁癸邉为股▯求句一而已矣】问：数则合矣，其理云何？曰：仍句股术也。如上图于圜径两端【如丙如庚】各作通▯线至正▯【丁乙】之锐。【如庚乙丙乙】成丙乙庚大句股形，又因中有正▯成大小两句股形【乙丁庚为大形，乙丙丁为小形】而相似【以乙丁线分正角为两则小形乙，角为大形乙。角之余而与庚角等，即大形乙。角亦与小形丙角等，故两形相似】则乙丁正▯既为小形之股，又为大形之句，其比例为丙丁【小形句】与乙丁【小形股】若乙丁【大形句】与丁庚【大形股】也，故正矢【丁丙】乗大矢【丁庚】与正▯【乙丁】自乗等积【丙庚全径为正▯所分，其一丁丙正矢为小形之句，而乙丁正▯为其股，其一丁庚大矢为大形之股，而乙丁正▯为其句】一，丁丙正矢，小形句，凡二率三率相乗与一二，乙丁正▯，小形股，四相乗等积，故乙丁自三，乙丁正▯，大形句，乗即与丁丙丁庚相乗四，丁庚大矢，大形股，等积也。论曰：凡割圜算法，専恃句股。古法西法所同也。故论句股者，必以割圜；而论割圜者，仍以句股。如根株华实之相须，乃本法非旁证也。或疑切线分外角，以正▯为比例，恐不可施于钝角，作此明之。

甲丙乙钝角形，先有丙角及丙甲、丙乙二邉，求余角。一率丁乙【邉总】二率癸乙【邉较】三率己戊【半外角切线】四率壬己【半较角切线】论曰：试作壬丙线与乙甲平行，分外角为两，则壬丙丁即乙角，其正▯卯丁；又甲丙壬即甲角，其正▯甲丑。以两句股【丑子、甲卯、子丁】相似之故，能令两正▯【丑甲、卯丁】之比例移于通▯，以成和较【丑甲与卯丁既若子甲与子丁，则丁甲即两正▯之和，辰子即两正▯之较】而半外角、半较角之算以生【半外角为和，半较角为较，并与两正▯之和较同比例，即与两邉之和较同比例】并如锐角。又论曰：此所分大角为钝角，故甲丑正▯作于形外。然虽在形外，而引分角线至丑，适与之防，即能成丑子甲句股形，与卯子丁相似，而生比例。

【丙乙甲形，先有丙角，求余角。法为邉总丁乙与邉较乙癸，若半外角切线戊己与半较角切线未己。此亦因所分为钝角，故卯丁正▯在形外。又大邉为半径，故乙癸较亦在形外，而丁乙为和，余并同前】

【丙甲乙形，先有丙角，求余角。法为邉总丁乙与邉较乙癸，若半外角切线己戊与半较角切线己壬。此因先得钝角，故所分之内反无钝角，而正▯所作之小句股并在外角之内，同锐角法矣】

【丙甲乙形，先得丙角及丙甲句，乙丙▯。如法作丙壬线，与乙甲股平行，分外角为两。则句▯和丁乙，与句▯较癸乙，若半外角切线己戊，与半较角切线己壬。此以丙甲为半径，作外角弧，而即用丙甲为正▯，知所得为正角】

【甲乙丙形，先得丙角，求余角。如法作丙庚线，与乙甲句平行。次截辛丁如庚甲，作辛丙线，分外角为两，则小角之正▯卯丁，大角之正▯即丙甲，而成两句股相似，为切线比例。法为句▯和丁乙，与句▯较乙癸，若半外角切线己戊，与半较角切线己壬。此以丙甲为半径，作外角弧，而即用丙甲为正▯，知辛丙甲为正角，而丁辛同庚甲，即辛丙甲同丁丙庚，又即同丙乙甲，而乙为正角矣。以乙正角减外角，余为甲角】论曰：右并以先不知其为句股形，故求之而得正角。凡正角之弧九十度，别无正▯而即以半径全数为正▯得此明之。

【甲乙丙形先有正角求余角，法为句股和丁乙与句股较癸乙，若半外角切线戊己与半较角切线己壬】论曰：此因先得者为正角，故其外角亦九十度，而半外角四十五度之切线即同半径全数，余并同前。又论曰：「句股形求角，本易，不须外角；而外角之用，得此益明。」

【以大邉为半径作外角弧分角线丙未与次大邉平行邉总乙丁与邉较乙癸若半外角切线戊己与半较角切线壬己】

【以次大邉为半径作外角弧分角线丙未与小邉乙甲平行大邉总丁癸与邉较乙癸若半外角切线己戊与半较角切线己壬】问平三角形，以一邉为半径，得三正▯比例，不识大邉亦可以为半径乎【小邉次邉为半径，已具前条，故云】曰：可。如乙丙丁钝角形，引乙丁至辰，如。乙、丙大邉，而用为半径，以丁为心。作丑辰、亥半弧，从辰作辰午为丁。钝角正▯又作丁斗，半径与乙丙。平行则斗牛为丙，角正▯又截女。丑弧如辰，斗作女，丁半径则女亢。为乙角正▯合而观之，丁角正▯【辰午】最大，故对邉乙丙亦大；丙角正▯【斗牛】居次，故对邉乙丁亦居次；乙角正▯【女亢】最小，故对邉丁丙亦小。又问：若此，则三邉任用其一，皆可为半径而取正▯，是已然，此乃同径异角之比例也。若以三邉为▯，三正▯为股，则同角异邉之比例也。两比例之根不同，何以相通？曰：相通之理，自具图中，乃正理非旁证也。试于前图，用乙丁次邉为▯，其股乙癸与斗牛平行而等，则丙角正▯也，又截酉丁，如丁丙小邉为。▯其股酉壬与女亢平行而等则乙，角正▯也。又辰、丁大邉为▯【即乙。丙】其股辰午原为丁大角正▯也于是三邉并为▯，三对角之正▯。并为股成，同角相似之句股形，而比例皆等可以相求矣一大邉【乙丙即辰丁】一丁角正▯【辰午】二丁角正▯【辰午】二大邉乙丙。三次邉乙丁，小邉【丁丙即酉丁】三丙角正▯【乙癸】乙角正▯【酉壬】四丙角正▯【乙癸】乙角正▯【酉壬】四次邉乙丁，小邉丁丙。此如先得大邉【乙丙即辰丁】与所对大角【丁】故用辰午丁大句股形为法，求余二句股也【乙癸丁酉壬丁】皆同用丁角而形相似，故法可相求。其实三正▯皆大邉为半径所得，故其理相通。未有理不相通而法可相求者，故曰皆正理，非旁证也。又试于乙丙丁形【或钝角或鋭角同理】以丁丙小邉为半径作房箕壁象弧【以乙为心】如上法取三正▯【以尾壁弧为丁角度，其正▯尾虚，又箕壁弧为丙角度，其正▯箕危，又戍壁弧为乙角度，其正▯戍申】成同径异角之比例。又如法用三邉为▯，三正▯为股【乙戍即丁丙小邉配乙角正▯戍申原如▯与股又本形乙丁次邉为▯，则丁甲为股，与箕危平行而等。丙角正▯也。又引乙丁至子成子，乙即乙丙大邉以为▯。则子寅为股与尾虚平行而等，丁角正▯也】则并为相似之句股形而比例等一小邉丁丙【即戍乙】

二【乙角正▯】戍申三大邉乙丙【即乙子】次邉丁乙。四【丁角正▯】子寅【即尾丙角虚正▯】丁甲【即箕危】此如先得小邉【丁丙】与所对小角【乙】故以戍申乙小句股形为法，求两大句股也【丁甲乙子寅乙】皆同用乙角，而形相似。又试以乙丁次邉为半径，作象限如前【以丙为心】取三正▯【张娄为丁角弧度，张井其正▯，氐娄为丙角弧度，氐参其正▯，室娄为乙角弧度，室奎其正▯】成同径。异角之比例，又仍用三邉为▯，三正。▯为股【引丁丙至翌与大邉乙丙等成翌丙▯其股翌胃与张井】平行而等，丁角正▯也。又乙丁次邉，成氐丙▯，其股氐参原，为丙角正▯。又丁丙小邉为▯，其股丁柳与室奎平行而等，乙角正▯也】即复成相似之句股形而比例等一次邉乙丁【即氐丙】

二【丙角正▯】氐参三大邉乙丙【即翌丙】小邉丁丙。四【丁角正▯】张井【即翌乙角胃正▯】丁柳【即室奎】此如先得次邉【乙丁】及所对丙角，故以氐参丙句股为法，求大小二句股也【求翌胃丙为以小求大，求丁柳丙为以大求小】皆同用丙角而比例等。

问员内三角形以对弧为角倍度设有钝角小邉何以取之【或问内原设锐角两邉并大于半径故云】曰法当引小邉截大邉作角之通▯【如图乙甲丙钝角形在平员内以各角切员而乙甲邉小于半径则引乙甲出员周之外乃以甲角为心平员心丁为界作子丁丑弧截引长邉于子截大邉于丑则丑甲子甲并半径与丁甲等而丑子为通▯】又平分对邉作两通▯【从员心作丁乙、丁丙两半径截乙戊丙员周为甲角对邉所乗之弧，而半。之于戊作乙，戊丙戊二线成两通▯】则此两通▯。

自相等又并与丑子通▯等夫子丁丑弧甲角之本度也丙戊弧乙戊、弧皆对弧之半度也。而今乃相等【通▯等者，弧度亦等】是甲角之度，适得对弧乙戊丙之半；而乙戊丙对弧，为甲角之倍度矣。

厯算全书卷五十三

钦定四库全书