钦定四库全书新法算书卷十八明徐光启等撰浑天仪説卷三

钦定四库全书新法算书卷十八明徐光启等撰浑天仪説卷三

立象立象者何？任所得时刻应何宫度？依之以推定十二舍也。而各舍所当居之度分，并经纬诸曜，皆从本度起算。则此因时之变得天之容，乃占验所繇以生。苐此中▯要在定每舍之初界【即初度】举所应得分数，绘以方图或圆形，随防入星曜，即浑天之象成矣。法依本北极高安球，以本日躔度与时盘午正较对，始转球与盘，将先所得时刻居子午圏下，而本球宛然一当时之天象。次于西地平识同居之赤道度，并得相应之黄道度，即苐七舍初界。次起半圏至赤道上，距三十度之限，所得黄道度乃苐八舍初界，递起递加，尽得地平上各舍初界。而地平下诸舍则以黄道相对处可定，如一与七、二与八、三与九、四与十五与十一、六与十二之类是也。假如崇祯九年正月十五日辛酉晓望月食，顺天府食甚在卯正一刻二分，日躔在娵訾宫一度五十三分。因此时求各舍躔度，先以日躔对时盘午正，依法转仪，得西地平交赤道一百五十度，交黄道鹑火宫一十三度，此即七舍初界。正对东地平得▯枵宫一十三度，为苐一舍初界【即命宫是】上居天中得析木宫二度，为苐十舍初界。正下得实沈宫二度，为苐四舍初界。半圏交赤道一百八十度【距前数三十度】得黄道寿星宫初度，为苐八舍初界。正对之降娄初度起苐二舍。又以半圏交赤道二百一十度，得大火宫九度，为苐九舍。正对之大梁九度，即苐三舍。后移半圏至子午圏之东，得析木宫二十度，为苐十一舍；星纪一十度，为苐十二舍。而正对处即实沈、鹑首相等之处，为苐五及苐六舍。因而上下左右四角【四角占验最得力处】定矣。复求纬星所居之舍，或依表预算，或径用推定七政细行，则以本北极高及本时刻取各曜相应度分入其舍。若星近舍初界有距度，或可入前舍中，必先以黄经纬安球上，随以本曜所居之处，求于本舍，而以前所立象定球，渐移半圏，如法起舍，乃星入前后界内者，即得本舍是也。若地平下各舍之星，法起南极于架上，与北极等高，移前苐一舍之初界至西地平，而天容在地平下者，反居地平上，即得诸曜本舍之界。如以鹑火十三度交西地平至寿星初度总弧内，得前月食，惟木星与太隂畧近。查丙子年七政细行，食甚时，木星躔鹑火二十九度五十七分，而火星则躔大火三度三十分，应入八舍。土星躔星纪一十一度三十分，纬北三十四分，必在十二舍之初界。太阳、金、水二星皆在娵訾宫，因同入命舍，其土星依本经度，惟纬北三十四分，故得在十二舍之初界。若距黄道北或一度半或二度，试以舍圏限之，必其已入十一舍，因近顶纬多故也。求恒星法同此，盖此象一立，则凡各曜性情、势力、强弱可考而知，穷理之家借以观变于未然，鲜有不騐者【其法详天文卷中】

求两星于立象圏上相合之时凡两星本各无力，一合即増力，此实足为所立象损益之原也。故以初得某星某宫度主人生命等事者，安东地平【依本地北极高】即应查其与某星相合否。盖转立象圏于球面上下，得二星在通径上，即命星在地平时，其星必合；否则令球与立象圏各自那转后，求其当合时，法必得二星能如此合，遂识赤道交子午圏度次，移本日躔度合子午圏，并识其同居赤道度，乃以前赤道交度减后赤道交度，余度化为时刻，即得二星应合之时。如极高四十度，一星在鹑尾宫二度，距纬南三度；又一星在本宫四度，距纬北一度，本日躔鹑首宫七度。试转仪并半圏，见子午圏西未合，必过东近地平方可得合。而合时赤道则以七十五度交子午圏，便移日躔至子午圏下，得同居赤道九十七度为前度所减【先借全周后减】余三百三十八度化为时，得二十二时二刻四分，即二星去午时后合圏下之限。

求经纬星相照度凡两星相照，増力或阻力，多以向黄道为凖，大约有五等，如防合，即同度同分，为宻，而同度不同分者，则谓之疎，六照以六十度为界，四照止于一象限，三照以四宫相距而云然，望照则以正相对而得半圏之距，乃此数照又各有亲或逺者，盖星体居正照之界，即亲而力强，若体未正居其界，而苐以光居之，即逺而力弱，至若光之前后虽同，而各星所定之限有异，如土得十度【前十后十】木十二度，火八度，太阳十七度，金水皆七度，太隂复十二度，经星凡苐一等有七度三十分，二等五度三十分，三等三度三十分，四等一度三十分，五六等最微力弱不入其数，总之除防望二照，余皆以顺十二宫为左照，逆十二宫为右照，试于仪上考之，法用规器量黄道上任取一照之界【六十九十等度】以星为心，于黄道左右分顺与逆照之限，假如求大角四照，以九十度为限，将规一锐居本星体，一锐指左界九十度，必至星纪十七度为顺照，指右界九十度，必至鹑首十七度为逆照，若七政必先依各经纬度安其本位，余法同前，又一法用立象半圏，先依北极出地安球，任取本时升度居地平，乃移半圏径过其星，依之于赤道上作识，后转球从前所识赤道度相距三、四等照界，仍移半圏，其上所指黄道度即星照所至界也，假如升度在夀星十六度，求轩辕大星六照限，必移升度于东地平，立象圏过星，指赤道一百三十八度，复加六十度，应一百九十八度，居立象圏，即并得寿星宫十六度居本圏为轩辕大星六照之左限，其右限则以反减六十度为法。

求嵗旋凡从前所取时刻至太阳复躔元度分其中相去总数谓之嵗旋。盖依后时所立象较前象所得七政等星居舍内应増或阻前星之力即效验所繇变也。法令球依前立象之时定住视赤道交子午圏若干度为前象天中升度。今越若干年复求后象天中之升度，必每去一嵗加八十八度四十九分。满全周则去之余数即后象赤道交子午圏度，使之于本圏正合，可得天容。依嵗旋之时因以定各舍宫度，而各星安舍法亦同前。假如崇祯元年正月酉正时立前象，因太阳躔▯枵一十六度一十九分，依法转球令时盘酉正交子午圏，得赤道交本圏之升度为五十度。设相去八年复立象为崇祯八年十二月二十九日【太阳躔元度是】则以八乗八十八度四十九分去全周余四十度三十三分，为后象之升度，移居子午圏得本圏指酉初二刻为嵗旋之时。如用立成表细求，即后嵗中先查太阳躔元度分之日为嵗旋终之日，次以后象升度减太阳是日之升度【不足减借全周减之】余数化为时刻分，即得当日立象之时刻焉。假如因十二月二十九日太阳躔元度为嵗旋终之日，其升度三百一十八度四十八分，后象升度四十度三十三分，不足减借全周共得四百度三十三分，减去前数余八十一度四十五分，化为五小时一刻一十二分【从午正起算】

加升度表引照元与増力元相合凡初得某星某宫居某舍，因之以占所效，是谓照元。设更有一星或一宫所居舍能増力，或阻前效，即谓为増力。元二元必各依定时着力，乃就中求以前者至后之位，或反以后者至前之位，俱依赤道弧相应二元之距为限，转球查其弧之大小为引，则一度应一年，度数旣定，应在何时亦可限矣。故引后至前以顺宗动为正，而引前至后则因五纬逆行时用之，遂名曰反引，皆于球上。

可得正引者何？转球先依天象安定，令黄道应苐一舍初界之度正居东地平，次查照元移象圏径过其上，并识赤道合子午圏度。又转球右行以増力元，至半圏复识赤道交子午圏度，则先后所识之间弧乃指正引限，而总数可推年时也。欲反引，安球令之转同前，惟立象圏宜先径过増力元，复识转球时赤道过子午圏弧，因以定其中相去之年。假如北极髙四十度，设大梁十度在苐一舍初界，太隂离黄道娵訾二十度，距北二度为照元，火星近东地平躔大梁六度，距南三度为増力元。必先依各经纬度带二曜于球上，然后令象圏过太隂处所交赤道防约为三百五十二度【用本圏与用子午圏同】次定住象圏，移火星与本圏正对，约得赤道交圏防为二十八度，以所得前后度相减，余中弧为三十六度，即正引之限。求反引法亦同，但引限在地平下，必先起南极依北极出地度，令黄道苐一舍初界之度正居西地平，余法同前【见前苐二卷】

求引二元应止黄道何度因照元渐离初得之象圏，乃更有黄道相应，故任至某年亦可求其相应度法。先安球依本象，令象圏与照元合，随查赤道交子午圏度，因之顺或逆取本度与年数所止限移至子午圏，必此时交象圏黄道度，即其年所引照元止限也。如北极髙四十度，设寿星十六度东出，太阳躔▯枵六度为照元，依去四十二年之数复求躔度。因安寿星十六度于本地，平安象圏于鹑火六度【与▯枵对度，因后在地平下故】得子午圏交赤道一百一十度，以加四十二度，依之应一百五十二度交子午圏，得象圏交鹑尾一十六度，即娵訾一十六度【正对宫度是】为照元去四十二年所至限。若照元自居四角，不必用象圈，依所取年数转球复居本角黄道度，即照元所止度。设寿星十六度为照元而出地平者，亦即此度，则得地平交赤道二百零一度。令球右转以赤道四十三度至地平，则所并居之大火十九度，即为照元任取之年后止限。又设増力元亦居地平等角，即以同居赤道度减年数之度所止限，复移至地平等角，亦即得黄道交地平等角为其当年所至之限。或増力元不正居角，仍用象圏与之交，并识其所过赤道度，减总年数余度限移至本象圏，复得并交黄道度，为増力元当年之限也。

依浑仪解圆线三角形圆线三角形者，何？乃过球心大圏相交三弧之形，而各弧不及圏之半周所成也。盖形内每两弧共抱一角，在间者谓之腰弧，而与角相对之弧，即底弧。或又谓直角三角形内，以所抱直角弧为底弧及垂弧，即与勾股不异，而以所正对直角者为▯弧。论角其大小，以对弧之大小为则。盖用规器，以本角为心，以九十度为界，则两腰间之弧【腰先引长】必量其角得本弧为一象限，即对角为直角；过象限为钝角，不及象限乃为鋭角。凡弧或角不及满象限之度，名之为余。又凡两腰引长至合一防，则得抱角之对三角形，以底弧为公底，以对角为等角，而余弧余角皆前三角形所不及满一百八十度之余弧余角者也。因止一直角三角形得余皆钝角者，则与直角正对之形内腰间角必直，余反皆锐也。如止一直角三角形得余一钝一鋭者，则与鋭角正对之形内惟前形直角相连之角为直角，余皆锐角也。如图乙戊丙形内，设戊为直角，乙丙皆钝角，即其对形乙甲丙内得甲为直角，乙丙皆锐角也。又丁丙戊形内，设丙为锐角，戊直角，丁钝角，即其对形为丁巳戊，而戊角独直，丁巳皆锐角。论斜角形，如三角总为鋭角，必对形独存一鋭角，余皆钝角也。设乙甲丙形内，甲为鋭角，即得对形乙戊丙内戊亦为锐角，乙丙皆钝角。如三角总为钝角，乃对形反存一钝角，余皆锐角也。设乙戊丙形内戊为钝角，即乙甲丙内甲亦钝角。今解三角形法，多论不及一象限之弧，即鋭角之底是也。因以斜钝角形先变为鋭角形，以直角形有一或二钝角者，亦先改为对形，则就中推求之法与解原形不异，即余弧余角之理所繇出也。今用浑天仪解之，亦仿此，但先解直角形，尽之于三比法，有以先得一鋭角，并与各弧者，又余鋭角复并与各弧者，又以其底同各腰，或并得二腰者，各列法如左。任取一弧、一鋭角，求余弧及余角。设甲乙丙三角形，内甲为直角，其底乙丙余弧即腰，则乙与丙皆鋭角也。先设得乙丙直角之底弧及乙角，欲求余尽，解本三角形。法架内北起子午圏，令赤道前髙依本角之度，然后或东或西，自赤道交地平处与本地平查底多寡之度，以为限，移过极圏至此限上，即三角形仪上定矣。如乙角为二十三度半以前子午圏弧为则，使赤道依之，其左右交地平角即得对弧以定大小。今甲为直角，必于赤道交过极圏处求之，则地平上得底。若设乙丙底弧为六十度，而移过极圏至本度【从乙角算起】因大腰在赤道弧约为五十八度，小腰在过极圏弧为二十度有半。自过极圏交地平查各圏满一象限，即以其限安髙弧，得二圏间之弧为丙锐角之对弧约七十八度。又设以小腰及本角求余弧及余角，即先定角等法同前，而以所先得甲丙弧【如二十度半】与过极圏上为防移之至交地平，必自得腰与底弧合前度，即丙角亦在髙弧同矣。或以大腰查求其余，亦先定乙角而转仪，以渐进赤道弧入地平，令自其二圏相交之处独余五十八度至过极圏交赤道之角，必余法余度亦合前也。今试以三弧各与丙角为先得，如底为六十度，求余弧余角法，移过极圏至地平距子午东或西三十度【六十度余是】定住球使髙弧距二圏相交之处各满一象限，得间弧为七十八度，即所设之形凖。否则宜前或后起子午圏，必令髙弧对丙角如其度为止，即子午圏自地平以上得对乙角之弧，而直角两腰皆明矣。或设先得大腰与丙角，必进或退赤道圏定其腰之大小【如五十八度】即安髙弧而起子午圏，依前法求余弧及余角也。或以小腰及丙角求余，即先于过极圏查腰弧大小之度，使之交地平以试髙弧，得全形。盖对角弧不及其度，即球宜北起过极圏宜南下；若对弧已过其度，则球反宜南起，随移过极圏东西得正，然后余角余弧皆依前法凖得矣。任取一腰一底或二腰求余弧及诸角，先设得小腰与底弧皆依前度法，令球转东或西以过极圏限底弧之度【如六十度】视本过极圏自赤道至交地平弧若正合其度。【如二十度半】即三角形已定，否则前后起仪，求小腰务合于地平，乃所对大腰亦复得五十八度，而查乙角丙角必同前。又设得大腰与底弧，亦先定底弧度，渐起球或下令之左右转，以并对大腰度，即小腰亦自合，而求角必依前法也。或复设得二腰，求底与角，即先定大腰，令球下或起，即得余腰与底，而求角亦不异前也。

解斜角三角形总为六题其一曰：以二腰及间角求底弧及余角。如甲乙丙三角形，内丙为钝角，甲乙皆鋭角。设先知甲角【即间角】则乙丙为底，余弧皆腰也。如甲角为三十度，大腰六十度，小腰止五十度。法于子午圏查距极【南北不拘】六十度之弧，移其限于天顶。次用过极圏令距子午圏左或右而以赤道三十度为限，末安髙弧东西必依极圏所居方位，令之交极圏距极限五十度，即三角全形定矣。大都子午圏为大腰，极圏为小腰，髙弧为底，因而如前图得乙丙底为二十六度有半，乙角以地平为对弧，在子午圏及髙弧之间得五十九度有半，所余丙钝角欲求其对弧，未免再移球，故先依髙弧于球面上界线，后转极圏令交髙弧之防正居子午圏下，而并其子午圏起之以当天顶，乃复依先界之线安髙弧而以至地平为限，则此限及子午圏之中弧即丙余角之对弧为一百八十度所减存得丙角一百零三度。若用浑仪求之，线宜界于黄道上，或髙弧本位不与黄道遇，即于未转极圏之先移髙弧于正对地平度所遇多寡度界线，其上余法同前，而所得弧即正丙钝角之对弧也。其二曰，以二弧及先所得一弧之对角求余弧余角，如前图设先得甲乙弧六十度，乙丙二十六度半及丙角一百零三度，法起子午圏以二十六度半为距极之限，令之居天顶，则自极至顶得乙丙弧将秋分经圏西距子午圏十三度。【依赤道为则】或将春分经圏东距十三度，则自二至经圏至子午圏其中得赤道弧为一百零三度，乃丙角之对弧也。又安髙弧，使之以六十度【自顶下数】交过至经圏，即以髙弧得甲乙，以经圏得甲丙，而甲乙丙形全矣。今查甲丙必为五十度，乙角则自髙弧至子午圏在地平上必五十九度半，所余甲角因依髙弧于黄道上界线，然后移经圏交髙弧之防，以正居天顶，而依界线复安髙弧，得交地平至子午圏之中弧为三十度，或不移球，止安髙弧于地平正对之处，用规器于前交经圏及髙弧一象限之界，量二圏所距亦必得三十度，为甲角之度也。设反得甲丙五十度，乙丙二十六度半，及甲角三十度，以求余弧余角，法起子午圏，令距极五十度之限在天顶，次转仪使过极圏距子午圏之东或西，依赤道上三十度为则，即于髙弧自顶而下数至二十六度半，以之交经圏，即得余弧于本圏为六十度，而髙弧在地平上其距子午圏一百零三度，乃为丙角之对弧。仍依髙弧在黄道上作线，令前交之经圏六十度居顶，用髙弧顺线下至地平必得五十九度半，即形内乙角也。其三曰，以二角及先所得一角之对弧求余角余弧，设甲乙丙形，先得乙角为十度半，丙角为一百五十四度半，又得甲丙弧对乙角为二十三度半，宜求甲角与甲乙及乙丙弧。但既先得甲丙对乙角之弧，亦应知甲乙对丙角之弧过象限否。今使过象限，法查经圏左右赤道上之十度半，令之正居子午圏。随于地平上，从北去南，查一百五十四度半，以之安髙弧，因而起或下子午圏，必视其所交经圏之防，距北极出象限外，乃并视经圏所交髙弧之防，必距天顶二十三度半，一得距度凖，即本形定矣。盖乙角在极中经圏及子午圏之间，与正对赤道，得其若干【十度半】丙角于地平【一百五十四度半】甲乙弧于经圏上约得一百零六度，乙丙于子午圏上得八十四度半，止余甲角必起髙弧与经圏所交之防至顶，而求其角于地平，依前法得其为二十七度。其四曰，以二角及角间之弧求余角余弧，如前形内，设甲角为三十度，丙角一百零三度，甲丙弧为五十度，法自极中查子午圏上五十度，令之居天顶为甲丙弧，查地平去子午圏北一百零三度，以安髙弧为丙角，末以赤道上距经圏三十度之限移居子午圏，乃得甲角而余弧自明矣。因而髙弧上得乙丙为三十六度半，经圏上得甲乙为六十度，若求余角，必起髙弧所交经圏之防至天顶，依前法查之，乃得。其五曰，以三弧求诸角，设甲乙弧为六十度，乙丙为五十度，甲丙为二十六度半，法使甲乙弧在子午圈出极中至天顶，即以之安髙弧，令以二十六度半【从顶算】交经圏距极五十度之限，必得乙角于赤道圏。甲角于地平而丙角则起，经圏五十度至顶，依前法求也。或使乙丙五十度在子午圏，而以髙弧安经圏之六十度，即乙角可在赤道上，得丙角则反在地平，甲角则起球，求之法同前。其六曰，以三角求诸弧，设甲角为五十九度半，乙角为三十度，丙角为一百零三度。法转经圏于子午圏之东或西，任取相距三十度或五十九度半或一百零三度，皆以赤道弧为则，必得相应之角在经圏过极之处，安髙弧亦同法。盖其交地平距北或三十度或五十九度半或一百零三度，必皆在地平上，算而相应之角则在天顶，但安髙弧必先于地平取凖，乃于天顶未定之时渐起或下仪，试二弧逺近相交之处以对余角。其法或识髙弧交经圏之防于顶，而地平上试所求角正对之弧，或用规器从髙弧与经圏相交之各防距一象限量，其二弧所距【必先转髙弧于地平正对度】得合余角即初起之球必凖否，即更移之，总以试定三角后，而其弧自明矣。

依比例原法复解圆线三角形圆线三角形中之比例，总归四原因生四公论，以尽解或直或斜三角形之理。一论曰：凢多直角三角形，得锐角同近底线者，以较其▯及埀线之正▯，必皆互得比例。设后图于仪上，甲乙丙丁为地平，戊为天顶，从戊过甲。

戊丙与庚戊巳皆以直角交地平彼为子午圏此为髙弧乙辛丁当赤道圏以直角交子午于辛以斜角交地平于乙于丁盖多三角形中取二形即丁辛丙及丁壬巳乃二形中有丁辛与丁壬为▯线，辛丙与壬巳为埀线，丁丙、丁巳皆底线，锐角在丁，依常法以辛癸及壬寅两▯线之正▯与辛子及壬丑两埀线之正▯互相较，先得三线，其余线俱可得矣。今用浑仪显之，试以二▯线及大形中之垂线求小形中之垂线，因而设丁辛得九十度为赤道一象限，丁壬为赤道四十二度之弧，辛丙则其地平髙得四十八度二十五分，法移髙弧在壬下至地平得壬巳弧为三十度二分，或安髙弧以三十余度交赤道圏即自限小形之▯可并得两▯线。欲求大形中之垂线，则辛丙必为子午圏上之弧，自地平至赤道髙四十八度二十分，或以二垂线及大形中之▯线求小形中之▯线，各依前所定度，则自壬髙弧交赤道处至本赤道交地平丁必得四十二度。二论曰：凢多直角三角形得锐角同近底线者，以较其底线之正▯与▯弧之切线，必皆互得比例如前图三角形同，而大形底弧之正▯癸丙其切线即卯丙，小形底弧之正▯己巳其切线为辰巳，皆可反复相解，或求垂线，或底线，必以算。

乃得今于浑仪上查之设赤道髙同前髙弧交处亦同前度必所得垂线亦不异前若求丁巳底线即自赤道交地平至髙弧切地平之处得其弧为三十度五十余分，因依常法，凡▯弧之正▯与垂线之正▯得比例，可互求；而底线之正▯较垂线之正▯则否，何也？盖垂底两弧之正▯各圆线形内不能合成一直线三角形，故【见前苐一图】用浑仪可免直线形，止须以圏相交处，即得各弧之长短大小焉。三论曰：凡圆线三角形，其线之正▯必与对角之正▯得正比例，如后图。设甲乙丙为直角三角形，直角在丙，余皆鋭角，各边引长为一象限至壬，至戊，至丁；自丁复引象限至子，至庚，因得乙丁巳斜角三角形。今依常法直角形内求甲丙边，即因先比之。丙角与甲乙，或甲角与乙丙，推乙角。与甲丙之比例求乙角，即因甲乙反。比之丙角，或乙丙与甲角，亦算得甲。丙与乙角，又求乙丙，应以甲角较推。如丙比甲乙同，而反求甲角，应以乙丙边推。如甲乙比丙同，此反复用八线表推求法也。若用浑仪，即本图内子甲壬自当地平，必得天顶在丁，而子丁壬为子午圏。设辛乙戊为赤道，丁乙丙为黄道，或当髙弧，则直角形中之三边各显于本图，各有定度可取。盖论角，则丙角自显为直角，以丁子弧可徴，余角皆以对弧得，则甲角以戊壬，乙角以辛癸是也。试于斜角三角形内，先求乙巳边，必以丁对角推之，用乙与丁巳，或巳与丁乙之比例，求乙巳等角，亦以对边求之法，必同前。但查表或疑其所求角应鋭与否【如查正▯九二七一八应六十八度并应一百一十二度】必以取凖图形为正，或用天球尤易明。盖设丁庚为髙弧，得丁角于丙庚地平弧，乙角在两道相交之处，必对则在过二至之圏弧。巳角旣为钝角，乃左右之边无以定其象限，必球上自顶顺髙弧界线而线交乙巳弧之防，移至顶则球一面依先界线安髙弧，必尽于地平一面，赤道亦自至地平，彼此间地平弧即能量定巳角矣。四论曰：凡圆线三角形两边各小于象限，先以两边弧自并，后又以小边并大边之余弧，而即以此后总弧之正▯，或减先并总弧之余▯，或加其过象限弧之正▯所得线半而用之，乃以求第三边，即前两边间角之矢与他线，如全数与前半线所复得线，为后并弧之正▯所减，必余第三边之余▯，或为后并弧之正▯所加，亦余第三边过象限弧之正▯。若反求角，则他线与角之矢如前半线与全数，而他线亦为后并弧之正▯以内减第三边之余▯，或加其过象限弧之正▯所生。因此三角形中之两边并较象限，或等或小或大，而各依之以推第三边。设角时直时斜皆同，但推角设边反异，盖两边并较象限。相等或小，则设第三边必小于象限；独两边并大于象限，所设第三边亦能大于象限。故法虽同，临推种种畧异。此等三角形，歴家无所不用，虽加减法若省然，亦未免于烦。欲查浑仪，则捷若指掌，何也？以二边及间角求余边，先设两边并与象限等，其一为四十七度，其一为四十三度，间角为五十度。试于仪上极髙四十度，即安髙弧，令地平上依间角自南去东，距子午圏五十度。自顶于髙弧上查四十三度，亦自顶于子午圏余四十七度，得其中黄道弧从娵訾宫一十四度至降娄宫一十七度，共为三十三度，即形内余边也。复设两边并小于象限，如各为三十五度，间角与极髙同前，得三边在中黄道弧则自降娄宫九度至大梁宫六度，共为二十七度。又设两边并大于象限，如各为六十度，余皆同前，得第三边在黄道弧自▯枵宫二度至娵訾宫十五度，共为四十三度。若求角，即以先所得三边反查髙弧及子午圏之间角，则所得三弧必生五十度之角。苐原法凡得三边小于象限者，用其余▯与后并弧之正▯相减，大即以其大弧之正▯相加，乃仪上亦无二法。如黄道自▯枵宫一十八度至实沈宫初度，共一百零二度为苐三边，其对角当在髙弧及子午圏相距之地平上得一百一十度，此则抱角之二弧并必大于象限也。今试以公论用仪解日食内所算三角形，则凡直角形归一种，斜角形又归一种，其列二等如左。

求时圏与地平交角时圏与赤道经圏及过赤极圏皆一，而独以其所用有分别焉。设太阳居正午，其过时圏至地平正交，必为直角。若午前后，因斜交地平，得角亦斜，且大小不一。复设太阳在正东，距正子午圏共六小时，则过时圏至北极得九十度，其交角大小与极髙度同。使交角在正午及正东西间，即以髙弧求其大小。法从交防各圏上正去九十度，安髙弧【地平上算】必本弧上从地平至交时圏间度为时圏交地平角也。假如太阳躔降娄宫初度，设时为辰正二刻，先将午正与本躔度并居子午圏下，后转仪令辰正二刻正切子午圏，乃本时圏交地平。从正东起南去四十度，以之安髙弧。又距本度满一象限，则又在正北之四十度，以此度复安髙弧。从地平上数起得交时圏五十三度，为时圏交地平角也。

求地平与黄道交角法用髙弧过黄平象限下至地平，即因髙弧为大圏，以所正对交角之弧能量其大小，则必自地平至其交黄道防，乃得黄道交地平角也。假如北极髙四十度，设实沈宫初度居地平东出，得平象限偏子午圏之东，以髙弧从此防过至地平，约得三十四度一十分，为地平及黄道二圏之交角。盖黄道因半周恒在地平上，而平分左右各得九十度，独冬夏二至此限正合子午圏外，此则限每偏东或西，所以查交角用髙弧不能用子午圏也。求黄平象限，距子午圏为三形之弧。黄道随宗动左旋，其交子午圏也，时髙时庳，因而两象限之中防，距天顶亦时近时逺，且以斜升斜入，故则九十度限大半偏东或西，乃从冬至迄夏至，限常在东，从夏至迄冬至，限常在西，即从而得限及子午圏中之弧也。今依法加髙弧，使之过其限，必以直角相交，其角左右之弧，一在髙弧，一在黄道，而相对之底弧在子午圏，则三弧共为直角三角形也，明矣。本形内各弧亦能自显度分，乃限距天顶又距子午圏等度，皆见于弧。若更求髙弧距子午圏中黄道之对角，必应查于地平，即以髙弧距子午圏之中弧量之，乃得，且本弧大小正与黄道出没之广弧等。如北极髙四十度，设大梁宫初度为平象限，因偏东十四度以安髙弧，得其至地平切子午圏东二十七度，即象限偏子午圏对角之弧，与黄道自正东去北之出正西去南之人等，而髙弧自顶至交限防则三十度也。

求子午圏及黄道交角凡黄道以冬夏二至交子午圏成角者，必为四直角，因子午圏当过黄极，并二至圏，此间必正相交，故也。使以春秋二分交，即为斜角，得对弧正与两道最相距之余弧等，从此距分渐逺，交角亦渐易，必自冬至至夏至交得鋭角，向东北或西南，自夏至至冬至亦交得鋭角，向西北或东南。法以黄道度正合子午圏，定住移交防至天顶，从此至地平两圏各成象限，则其间地平弧能量交角之度。如大梁宫初度交合子午圏七十九度【从北极算】必移其七十九度在顶，与本宫初度相交，其二弧至地平间必抱七十度，东北与西南皆等。又设鹑火宫以十五度相交，因在子午圏七十四度，移本度居顶，得二圏至地平中弧必为七十二度，西北与东南皆等。

求髙弧与黄道各度之交角先依黄道距午正前后度，以赤经圏交黄道角，或加或减于高弧交经圏之角，乃得高弧与黄道或正或余【形内外是】之交角，此原法也。今用浑仪可免加减，径安高弧交黄道于其距正午度，即依前法界线随移本度至顶，复依线安高弧，必得角于对地平弧矣。如北极高四十度，设大梁宫初度距午正六十四度【东西无异】使髙弧交其躔度，因得界线后起大梁初度居顶，依线复安高弧，即得所指地平五十八度为髙弧交黄道角也。或不必转仪，而独移髙弧于地平对度，用规噐于髙弧及黄道弧距前交防九十度之界，量其二弧相距，则地平上亦得五十八度，如后图，甲为天顶，丙戊黄道弧，甲丁为子午圏平象限，距其东设在乙，日食在戊或丙，依前第三及第四题公论，以二曜躔度丙及定朔时，先得丙丁黄道弧必使丁居正午，以髙弧过丙，为甲丙。丁斜角三角形内求甲丙弧【二曜地平】髙之余弧】及丙交角，盖以甲丙查得太。隂高庳差【丙巳是】丙角与小形内交。角等因并得所余巳角【壬自为直角】而以之推丙壬时差及壬已气差，故也。或依第一及第二题公论，以先得黄道交子午圏丁防于仪上，并得平象限相距之乙丁弧，即安髙弧过乙限，先得甲丁乙直角三角形内，查甲乙本限距顶之弧，而更使髙弧过丙躔度，乃复得甲乙丙直角三角形内，求甲丙弧及丙角，皆依前法。因解丙巳壬小形，以求视差，其法尤省。

新法算书巻十八