新法算书卷八十九

新法算书卷八十九

钦定四库全书新法算书卷九十。明徐光启等撰。测量全义。

界説第一界面者有长有广第二界平面者一面平第三界曲面者一面曲无界者，如球卵之面；有界者，如窑桥之面。

第四界一界之面一曲线内之形，如圆形，在圏界之内，凡有三：一平圆，从心。

至界各线俱等一撱圆如圆柱而斜剡之得两面焉一无法曲线如桃棃之面第五界二界之面如两弧或无法之曲线或一直线一曲线而形之有法与否则视曲线第六界三界之面三边或直或曲，以曲线为边者，先定曲线之有法与否，面因之量与二界同法，以直线为本。如丙丁戊曲边形，从丙角至丁，作丙丁直线，成丙乙丁两角襍形。从丙至戊，从戊至丁，亦如之。细分元形，各依法量之，用所得或加或减，以得其容。凡三边形，或俱等，或俱不等，或两边等，或有直角，或无直角，皆有法之形也。第七界。

四界之面方面有五边角俱等者，正方也。角等边不等者，长方也。边等角不等者，斜方也。各对角对边等者，长斜方也。边角俱不等者，无法之方也。首两种之外，皆属无法。葢有设边无设角或大或小容积因之异焉欲求其容须定角之度或中长线也第八界五以上多界之面邉角俱等者，有法之形也。或邉或角不等者皆无法之形也第九界定度者求两物之比例凡量度万形，先定一有几何之度。如三丈之物，以一丈之度量之，谓之某物与定度为三倍大。则一丈之度名曰公度，因其能量之势，定各所量之物也。凡量髙、长、广、逺，皆属线类，则以线为公度。葢比例之两率为同类也。故量线者，先具一定线，或一丈，或一尺，以为公度。量面者，先具一定面，或方歩，或方丈，邉等角直，以为公度。量线用直线，以直线在万线中为最短。故量面用平面，用正方，以平面在万面中为最短。正方之理，视万形之理为最凖。故【量体亦定一度，如一石斗为六面体，各面等，各角及邉等】第十界量算丈尺寸分满十进位畆法歩法则否？二百四十方歩为畆，二十五方尺为歩，一百方寸复为尺也。凡若干歩之积，歩约为畆，以二百四十方歩而一；若干尺之积，约为歩，以二十五方尺而一；若干寸之积，约为尺，以一百方寸而一。约歩约畆，则逓以歩法、畆法除之。

第十一界中垂线从形心至邉作直角者，为中垂线。有法形之各中垂线必等，无法形各邉不等，中垂线亦不等。

第十二界中长线从形之一邉或一角至对边作垂线，是各邉上极逺之线，以得本形中之直角三边形。

第十三界直线为有法形之径直线形本无径，聊借圆形之径，名之。然有法之形，周内周外可作全圏。在外者，形之各邉切圏周；在内者，各用切圏周。故圏之径，亦可谓容形之径。

第一题量四邉形【其法有三】形之类，有二：有直线，有曲线。兹先解直线形，若曲线形。

后方详之公量为方，有法之方形，二有正方，四邉四。角俱等【直角也】以所设一邉自之，得面之容。如正方田一叚，各邉四歩，自之，其容为十六方歩。有长方，以所设两邉相乗，得面之容。如长方田一叚，纵五，横六，相乗，其容为三十方歩。若斜方，具邉无角，亦无法之类也。有中长线之数，则以底数乘之，得斜方之容。若无中长线之数，而知一角之数，则先以角求中长线。如乙丁斜方形，有长濶若干，有丁角之数，即从丙钝角作丙甲垂线【即中长线】则丙丁甲直角形，有丙丁边，丁角，依法求甲得数，以乗乙丙，得元形之容。若等边斜方形，作两对角线，分元形为四。

句股形两对角线之交为直法法以两对角线相乗二而一四邉形有上下不等而在平行线内者，名梯田。旧法并两广半之，以中长线乗之。论曰：戊己丁丙形，从上广之两界己戊，作己甲、戊乙两垂线【即中长线】中成长方形，旁有两句股形。次引戊己广至庚，得庚己与乙丙等，成己庚丁句股形，与丙乙戊形等。则庚乙方形与梯田形等。丙乙甲丁为两广之较半之者，损下广以益上广也。兹旧法所自出也。

凡斜田、箕田诸法，俱同前。两腰之等与不等，角之等与不等，俱以平行线为本。若不知中长线，而知斜边或一角者，如下文。知斜邉如丁己，先分形成甲丁，己直角形，有甲丁为两广之半，较有己丁▯法以两数自之相减，开方得己，甲中长线。知角者，如己甲丁形，有甲丁邉，有丁角，或己角，求己甲，即全数与丁角之切线，若丁甲边与己甲边。旧法曰：「一面长乗中濶，得形之容。」驳曰：「中广必垂线，乃」

准垂线而外皆斜线必长于中长线况斜邉乎今设两形之同边异积如上图其理易见二不等田，东长三十六，西长三十，北广二十五，无南广。

问田旧法并两长折半乗北广驳曰：「若北两皆直角者，即梯田之类也。否则，从何定南广之度乎？」旧法四不等田，北四十二，南五十六，东六十四，西五十八，并东西两邉，半之，并南北两邉，亦半之，两半相乗，得二九八九歩，为其容。驳曰：若甲为直角，试作乙丁对直角线，成甲乙丁句股形，有句股以求▯，为七十六。又一五三之九四，其积为一三四四。又以乙丙丁形之三邉求其容，得一五三七【此法见后第三题】并两形积，得二八七一，知法为未合也。论曰：两广或两长，在平行线内者，并而折半，损有余补不足，改为方形也。以中长线乗之，则得其容。若四不等，无法形也。损此益彼，一不能为方，一不能为中长线，何縁得合乎？

第二题量三邉形乙、丙、丁三边形，有邉数无角数，求实。其法：并三邉数，半之为实，以每边之数为法，各减之。三较连乗，得数以半总数乗之为实。

平方开之得实如三边为七，为十二，为九，并得二十八，半之为一十四，减七，较七；减十二，较二；减九，较五。三较连乗得七十，以半总十四乘之，得九百八十○。开方得三十一又六十二之一十九，不尽。又如三边为十三、十八、二十一，并得五十二半，之为二十六，减十三，较十三；减十八，较八；减二十一，较五三。较连乘得五百二十○，以半总数二十六乘之，得一万三千六百二十○。

开方得一百一十六又二三二七之一六四不尽解曰如图乙丙丁斜角形先平分丙丁二角作丙戊丁戊二线遇于戊从戊向各边作垂线为戊壬戊己戊庚三线皆等【戊壬丙、戊己丙两直角形，同用戊丙邉，两丙角。亦等形，必等则，戊己，戊壬，亦等。又壬戊，丁丁，戊庚，两直角。形同用戊丁边，两丁角亦等，形必等，则壬戊、戊庚亦等】次从乙作乙戊，平分乙角乙戊己乙戊庚两直角形有己戊戊庚两邉等同用乙戊邉形必等则两乙角亦等，依三角形推，壬丙与丙己，己乙与乙庚，庚丁与丁壬各等，共六线三等。次于三相等邉各取一邉，如乙己，己丙，壬丁合之为元形三邉并之半【或丁庚，庚乙，壬丙，或每相等两形邉减一边得三较亦元形三邉并之半】次乙丙边引长之，取丙辛与丁壬等；乙丁边引长之，取丁癸与己丙等，则乙辛，乙癸皆元形三边并之半，亦三较之总数也。次从辛，从癸作两垂线，遇于子；乙戊引长之，亦与辛子，癸子遇于子【乙癸子，乙辛子两直角形之乙癸，乙辛两邉等，两乙角亦等，即乙子▯必等，而辛子，子癸亦等】次截丙午与壬丁等，作午子线；又截辛丑与壬丙等，作丑子线，即丑子与丁子必等【癸丁子，辛丑子两直角形之丁癸与辛丑等，癸子与辛子等，则其▯丁子，丑子必等】又午丁子，辛丑子两形亦等【丁子与丑子等，丁午与辛丑等，则午子与辛子必等】则午为直角【相似之辛角先已为直角】而丙辛子丙午子两直角形亦等又此两形并成一斜方形而丙辛子午四角内减午辛两直角余子丙两角并为两直角【凡四邉形】之四角并为四直角】又□丙壬壬丙辛两角并亦等两直角而减共用之壬丙辛余午子辛壬丙己两角等，其各半角亦等【即丙子辛己丙戊两角】即己丙戊辛子丙两直角形相似【己辛等为直角，己丙戊辛子丙两角又等，即其对邉相似】而戊己【小句一率】与己丙【小股二率】若丙辛【大句三率】与辛子【大股四率】次以线变为数【乙丙三十五，乙丁五十，丁丙五十，乙己十七强，己丙十八弱，丙壬十八弱，壬丁三十二强，辛子四十八，各有竒，今约用成数，令直截易算也】则戊己十二与己丙十八若丙辛三十二与辛子四十八也。

又以第一率乘第四以第二率乘第三得数必等则戊己辛子之矩内实己丙丙辛之矩内实【各五七六】通用可也，又戊己。【小句一率】与辛子【大句二率】若乙己【小股三率】与乙辛【大股四率】而以第一自乘，又以乘第二其两方之比例亦若第三与第四【见几何七卷十七题】则戊己方。【一四四】与戊己【十二】辛子【四八】矩【五七六】若戊己【十二】与辛子【四八，其比例皆四之一】亦若乙己【十七】与乙辛【六八，何者？乙己、戊乙辛子两直角形同用己乙戊角，则相似，则乙己与己戊若乙辛与辛子】反之则乙己【十七一率】与乙辛【六八二率】若戊己方【一四四三率】与戊己辛子矩【五七六四率】或与己丙丙辛矩【又四率，亦五七六也。一二与三四异类而为比例者，根与根若积与积也。四与四异形而为同比例者，论积不论形也。故先定戊己辛子矩、己丙丙辛矩可通用也】

又四率法既云一乘四二乘三两矩积等今依法乘之即得乙己根【十七一率】乗己丙，丙辛矩【五七六第】四率】所得数【九七九二】与乙辛根【六八二率】乗戊己方【一四四第三率】所得数【九七九二】等，次再以乙辛乗之，即得乙辛。根【第一率六十八，二邉总之半】乗乙辛根。【六八】偕戊己【元形中垂线】方【一四四】之矩实【共九七九二为第二率】所得数【六六五八五六】与乙辛根【第三率六十八三邉总之。半】乘乙己根【十七】偕己丙辛丙矩【五七六乙己己丙辛丙者三差之各数也】之矩。实【共九七九二为第四率】所得数【六六五八五六】等，依此用三较连相乘，又以半总乘之，得数为实，开平方，得元形之积，此用前所得数本法也。或用元形中垂线自乘，以乘半总，又以半总乘之得数为实开平方亦得元形之积此用后所得数证法也何谓中垂线自乘以乘半总又再乘而得积以句股法解之如戊己丙句股形，若以戊己句乘己丙股，得戊己丙形之倍积，即己戊壬丙两形并之。积【两形等故】又乙戊己句股形，以戊己句。乘乙己股得倍积，即乙庚戊己两形。并之积，又以戊壬句乘壬丁股【或戊己乘丙辛】得倍积，即庚戊壬丁两形并之积。故戊己乘乙辛，得元形之积，如此即。一乘可得，何待他法？然元法中无戊己也，特以戊己自乘，又再乘乙辛而得积，与三较连乘以乘半，总之元法所得大积等，故以开方而得元形之积亦等，则知元法之不谬，故谓垂线三乘为证法也。又论二法之相合者，算术中，两方相乘，开方得两根相乘之。数如图戊己【一二】自乘为戊子方【一四四】以乘乙辛【六八即戊寅】为戊丑长方【九七九二】又以乘乙辛为戊寅大方【六六五八五六】此前证法所得数也。若以乙辛【六八】自之，得【四六二四】以戊己方【一四四】乘之，所谓两方相乘也【得六六五八五六】开方各得八一六，即戊己根【一二】乙辛根【六八】相乘之数也。若三较连乘，又以乘乙辛，虽不成方形，而连乘所得亦九七九二，以乘乙辛亦六六五八五六，以开方亦得八一六，故三较连乘之元法无证，以垂线三乘法为证也。若直角三邉形，以句股数相乘，得数半。之为形之容，葢方形与三角形同底同。在平行线内，则方形之容倍于三邉形。

之容或用半若三邉等形，则有中长线者，法与句股。同为本线分元形，为两直角形也，无中。长线者，以法求之。如乙、丙、丁三邉等形。从丁角作垂线至乙丙邉平分元形为。二【一卷二十六】用句股法，以乙丁、乙甲两方相减，余为甲丁方，其根则甲丁中长线也。如设乙丙线一，即乙甲线为二之一，各自之，乙丙之方一，乙甲之方四之一，相减余四之三，甲丁上方也。开方得四之三之方根【何谓四之三之方根？葢四之三为方之实，可明而其根不可明，算家谓之不发之根。若方实百，开其根为十，则能发之根也。既不能发，即有别法以求之，故摽之以号曰四之三之方根。四之三方实也，四之三之方根根号也，法见下文】次以四之三乘甲乙四之一【甲乙四之一与乙丙一皆有能发之根，为同类，故可以相乘。若能发之根与不发之根为异类，不可相乗，故别求同类者乘之。同类者则两方数也。算法根乘根得方，开方得方之根，方乘方得方，方开方得根之方。今于两率各减其根号，独用两方相乘得数，以分法▯之，得异类两根相乘之容方积也，详见句股索隐】得方方根【即根之方】十六之三，为元形之容。次用分法开之，得九十之三十九，约之为三十之十三，元形之容也。然不能毕合，以开方不尽故。系三十为元，形乙丙邉，上方形十三。为乙、丙、丁三邉形之容，葢两形同底。则其比例为三十与十三，求分之母。为全数，全数者一也。则一邉之方数亦一，其根亦一。法曰：三角形边上，方形与三邉形之容，若三十与十三，则用一边之方数乘十三，以三十除之，得三边形之容。如各边设十，自之得一百，以十三乘之，得一三○○，以三十除之，得四十三又三之一，元形之容也。又如，各边为十，其半五，五自之，得二十。五以减全邉方之一，百余七十五，开方。得八又一百之六十六，以五乘之，得四。十三，又十之三，较前少差，以开不尽，故。公法先求形之中，垂线以形之半周乘。之得形之容，凡有法之形，通用此。解曰：设三边等形，从心向各边作垂线。又向各角作线，必分元形为六直角形。而等夫甲，皆直角，甲乙边俱等，则其为句股形亦各相等，半句【即甲乙之半】乘股【即甲】【丙中垂线】得甲乙丙之容，六倍之得元形之容。凡用甲乙三次【为半句者六也】乘甲丙，故法曰：形周之半乘中垂线得形之容。如设各边十，则甲乙为五，乙全角六十度，则甲乙丙角必三十度。今甲乙丙角形有角有一边，用法求甲丙边，则全数与甲乙五若乙角三十度之切线五七七二五与甲丙边之数二八八六八五有竒为中垂线也。各边十共三十，半之得十五，以甲丙中垂线二八八六八五乘之得四三三○二七五。若所设各边十为一尺约之，得其面四十二方尺又三十方寸有竒。如前法试用本题第一法，边之总数为三十，半之为十五，减边之较各五五，连自乘得一二五，又以半总十五乘之得一八七五，开方得四三，同前法。一系若三边等形之边为全数，如十、百、千等，其中长线及其容积皆不发之数【十四卷十二】二系二边等形，先求中长线，如三邉等形之法，如两腰各五，底六半之三，自之得九，以减腰。五上，方二十五，得十六，开方得四，中长。

线也余与前等三系三边不等形，有一明角，而求中长线，则从一隐。角向对边作垂线，成句股形。有角，有▯。以求句如乙、丙、丁形，乙丙二十四半，丙。丁，十二丁；乙，十五乙；角，二度二分，从丁。作丁甲垂线，成两句股形。其甲丁乙形。有丁乙边，乙角而求丁甲边，为全数【内】与丁乙边十五【外】若乙角之正▯三七五一五【内】与甲丁邉五六二七二五【外】约得五尺有竒。以所得与底之十二又四之一相乘，得六八九三四，约之得六十八方尺有竒，元形之容也【凡先设先得者为明，所求为隐，邉角同下文仿此】若俱隐角，则用本书一卷六题法，从大。角至底作垂线，求两任分底之各分，若干既分元形为两句，股各有▯，又求得。句以求股，若干即元形之中，长线。法曰：丁乙，丁丙，两小邉相并为总，相减。得存存总相乘为实，底数为法，而一数。与底相减，所余半之，得相小邉之小半。底甲丙用句股法，乙丁乙甲各自之，相。减开方得丁甲，如乙丙二十四，丁丙十五，丁乙十七两小邉并得三十二，总也相减得二，存也相乘得六十四，以底二十四除之得二又三之二，以减底得二十一又三之一，半之得十又三之二，甲丙也自之得一○七又九之一，乙丁邉自之得二八九，相减余一八一又九之八，开方得十三又三十七之十三，不尽中长线丁甲也，乘半防十二得一六二弱，元形之积也，试用本题一法，三邉并得五十六，半之二十八，各邉之减较为四，为十三，为十一，连乘得五七二，以半总乘之得一六○一六，开方得一二六有竒，不尽，若有角求一邉，或有二角求二边，亦先求邉【本书一卷十五十六题】若形之邉为断，几何如圆？果平积。之邉，其法以邉数自之，又加邉数。半之，为形之积。假如各邉有三，自之得九，加边得十二，半之得六，形。积也，又如设邉五，自之得二十五。加邉三十半之，得十五积也。见算。

章逓加法第三题量多邉形一解曰：有法多邉形，求其容，必先分元形，皆为两邉等三角形，故不论防何邉，俱同法。法曰：多邉形，从心至各作线，悉分为两邉等三角形。各形有边数，有角数，求其中长线，得各三角形之容，并之得元形之容。如八边邉设十歩从心至角作线辏心成八角皆等凡辏心必四直角分三百六十度八而一、每角得四十五度，乙丙丁角形二。邉等有丁，丙底有丁，乙丙角则丁丙。两角并得一百三十五度半，之得六。十七度又二之一为乙丁丙角，又甲乙丁角，形有丁甲【半元邉为五】求甲乙垂线，即全数【内】与丁甲【五外】若丁角之切。线【二四一四二一内】与甲乙邉【一二○七一○五外】约。之得十二歩有竒，以乘甲丁五歩得。六二三，五五二五，约六十歩有竒，八。之得四八八四二四○○，约得四百。

八十八歩有竒为元形之容若有中长线，如甲戊，以其半乘半周，所得与前等。又如十二邉有法形邉，设十歩，以十二除三百六十度，得三十度，为丙乙丁角，即乙丁丙角，必七十五度。从心作乙甲线，至丁丙邉。又甲乙丁角形，有甲丁五歩，有丁角七十五度，求甲乙线，即全数【内】与甲乙【五外】若丁角之切线【三七三二○五内】与甲乙【八一八六六○二五外】约得十八歩有竒，甲乙中垂线也。次如前或用正▯数法，曰：各邉为本弧之▯。即半邉为半弧之正▯而中垂线为半弧之余，▯以边数除，三百六十得。设边之弧邉数及弧度各半之次用。半弧度求其正▯及余▯，末用三率法：以半弧之正▯为第一，半邉数为第二，余▯数为第三，得第四为正垂线，即乙甲。如五邉等形，邉设十二，以五除三百。六十得七十二，半之得三十六，其正。▯五八七七九为一率【内】其余▯八。○九○二为三率【内】半邉六为二率。【外】得九又九之一为四率【外】即一邉上之垂线，次以形周乘四率，得数半之为形之积。五邉形之周为六十，乘得五四六又九之四为五邉形之并积。多邉有法形之比例。多边有法形之具三：曰邉，曰周，曰积。形大小不等，其比例等。故有一形某具之比例，可得他形某具之比例。每形之边为一【一虚数也，丈尺寸分，唯所设之】三边形之周，三积为三十之十三。

四邉形之周四积为一五边之周五积为一又一一七七五七○六之八四六九七一九，约为十一之八，不尽。六邉形之周，六积为二又五百万之二九九○三八一，约为五之三不足。七邉形之周七积为三又八六七七六七四之五五○七二二一约为八之一而盈。八邉形之周八积为四又一九一三四一七之一五八五一二七，约为十九之十六不足。九邉形之周九积为六又六八四○四○二之一二四三七五五约为十七之三不尽十边形之周，十积为七又一二三六○六八之八五八○八九，约为三之二不足。用法设他形之边，求积，以其边数自之，以上所列同类形之积数乘之；若设他形之积，求边，则上所列同类形之积数除之，所得之根，设形之边也。旧法三角形每面十四，以六乘面得八十四，以七而一得十二为实，半面七为法，乘之得八四积也。试用前法。分元形作两句股形，各形有▯，有句，以求股而求积，得八四又三十之二十八。

几为八五非八四论曰：「所以然者，古法正六面七，谓丙乙十四，则丙甲十二，故七六相乘得四十二，为丙乙丁之实八十四矣。」不知丙乙十四，乙甲七，各自之相减，开方。乃十二有竒，非十二也。且七除，又七乘。

安用之旧法六角形每面十五，以面数自之，得二二五，以三乘之，得六七五。今用几何四卷十五之系，六邉等形内有三角等边形六用古法得各形之积为九十六，又七之六六，因之得五九一又。

七之一非六七五论曰：所以然者，十五自之为二二五，彼以为此乙丙邉乘得乙丙丁戊形之实也。不知二二五者，乙丙上正方形之实，此乙丙丁戊则斜方。斜方与正方同邉而异积也。斜方之积必少于正方之积，故实少而误以为多。古法八角田，每面十四，以面五乘得七十七，而一得十，倍之得二十，求一面得三十四，自之得一一五六为实，面数自之得一九六为法，减之余九六○，八角形积也。正法作图，每两邉引长之，遇于甲，成正。方，形其内有元八邉形，又有甲、乙、丙四。句股形，以丙乙元形邉十四为▯，求丙。甲，而句股等法，以▯十四自之，得一九。六半之得九，八开方为九又十九之十。七，甲乙也。甲乙、甲丁等合之，加于乙丁。元形之邉得三十二又十九之十七，为甲。甲正方之邉自之，得一一四又三六一之二二五，正方之积也。次求句股四形之积，得一九六弱，以减正方积，余九四四有竒，元八角形之积也。古法曰九六○，谬矣。论曰：所以然者，古法方五斜七，不知方五则斜七有竒不发之根也。彼以甲乙等各句各股俱为十，则乙丙邉与乙丙▯俱十四，不知各率皆是，而独乙丙▯非十四也。故八角形之积实少，而误以为多。

新法算书卷九十<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>钦定四库全书新法筭书卷九十一明徐光启等撰测量全义卷五圆靣求积凡圆面积，与其半经线偕半周线作矩，内直角形之积等。依此法则，量圆形者，以半径乘半周而已。古髙士亚竒黙徳作圜书，内三题洞烛圎形之理，今表而出之，为元本焉。第一题圆形之半径偕其周作句股形，其容与圆形之积等。解曰：丙丁戊己，圆形，其心乙，其半径乙丙，即以为股，形之周为句，成午申酉句股形。题言两形之容等。论曰：设有言不等，必云或大或小，云圆形为大，句股形小者，索其较为亥形。即于圏内作丙丁己戊正方形，又作丙庚、丁辛、戊壬、己癸八角直线形。从心至八角形之各边作甲乙等中垂线。试于圆形内减其大半，所余又减其大半，末所余以比较形亥，必能为小矣【十卷首题】如先减丁丙己戊方形，次减丙癸己等三角形八，末余丙庚、丙癸等二角杂形八，必小于亥形也。次作午未戌三边形与丙庚丁八角。形等必小于午申酉三边形？何者？未午，乙甲也。小于圏半径，乙庚先。设午、申、酉三边形，及亥较形，始与。圏等今午未戌三边形及八两角。杂形适与圏等，夫午申酉三角形。大于午未戌三角形亥形，又大于。八两角杂形，是合两大形【即午、申、酉及亥】较形】与圏等者，复谓合两小形【即午未戌。及八两角杂形】与圏等，有是理乎？次论曰：「若言圏形为小，句股形大。」者，索其较为亥形，即于圏外作子。寅丑己正方形，又作卯辰八角形。夫寅己方形，大于午申酉三角形。者，方形之周线大于圎形之周线。也，内减其大半【即元圈】又减其大半。【即卯辰子等四三角形也】末余丙卯庚，庚辰丁。等三角杂形，八必小于较形亥，又作午申亢三角形，与丙卯辰八角。形等，兹形为圏之外，切必大于元圏，而午亢为外形之周，必大于午酉内圏之周。先设圏及亥形与午申酉三角形等，今并圏及三角襍形八【即丙卯庚等八杂形也】反大于午申酉三角形。是圜偕八杂小形而为大者，又偕亥大形而为小，可乎？

第二题凡圏周三倍圏径有竒【二支】此有二法，其一云三倍又七十之十则朒，其二云三倍又七十一之十则盈。先解其一曰：甲乙戊丁圏，戊为心，甲戊、乙戊为两径辏。心作直角，从甲作午子切线，从乙从丁作乙己、丁壬线，与乙戊等。乙戊己角六十度，己戊甲角必三十度，为六边形之半角也。末从心过己过壬作戊午、戊子线，成戊午子等角形。己戊壬既六十度，则午子为等形之边。设甲午股一百五十三【任设此数以便推算】午子或午戊▯必三百○六，各自之股方得二万三千四百○九，▯方得九万三千六百三十六，相减余七万○二百二十七为句方，开得二百六十五有竒，为戊甲句半径也。则戊甲与甲午之比例为二六五有竒与一五。

三次平分午戊甲角作戊庚线任分午甲于庚则午戊与戊甲，若午庚与甲庚【六卷三题】合。

之戊午偕戊甲而与戊甲若午庚偕甲庚而与甲庚更之，戊午并戊甲而与午甲【即午庚偕甲庚】若戊甲与甲庚先定，戊午戊甲并得五七一有竒，午甲为一五三，则戊午并戊甲与甲午之比例若五七一与一五三。若设甲庚一五三，则戊甲与甲庚之比例为五七一与一五三矣。即以两数自之并而开方得五。

九一又八之一不尽为庚戊线【戊甲甲庚之▯】则庚戊与甲庚之比例若五九一又八之一不尽与一五三次平分庚戊甲角作戊辛线，则戊庚并戊甲一一六二又八之一，与庚甲一五三。若戊甲与甲辛，若设甲辛一五三，则戊甲为一一六二又八之一。有竒两数各自之并，而开方得二七二又八之一，为辛戊线【甲戊甲辛之▯】则辛戊与辛甲之比例，若二七二又八之一与一五三。次平分辛戊甲角，作戊寅线，则辛戊并戊甲二三三四又四之一，与辛甲一五三。若戊甲与甲寅，若设甲寅为一五三，则戊甲为二三三四又四之一。有竒两数各自之并，而开方得二三三九又四之一有竒，为寅戊线【戊甲甲寅之▯】则寅戊与寅甲之比例，若二三三九又四之一有竒与一五三。次平分寅戊甲角，作未戊线，则寅戊并戊甲四六七三半有竒，与寅甲一五三。若戊甲与甲未，若设甲未为一五三，则戊甲为四六七三半有竒。论曰：午戊子元角，为三等角形之一，即一直角，三之二。

午戊甲其半则三之一庚戊甲其半则六之一辛戊甲其半则十二之一寅戊甲其半则二十四之一未戊甲其半则四十八之一，复作甲戊申角，与甲戊未角等，成未戊申角形，其戊角为直角二十四之一，而未申▯为象限▯二十四之一，于全周为九十六之一，未甲申其切线也，为九十六边形之一边，此边与圈全径之比例，若戊甲四六七三半与甲未一五三末，置九十六边形之一边为一五三，因周为一四六八八，径为四六七三半有竒，则九十六边圈外形之周与圏径之比例为一四六八八与四六七三半，约之为三又七之一不足，则径为一，九十六边圏外周为三又七之一不足，夫形在周之外，尚不及三又七之一，况圏周乎？二解三倍又七十一之十而盈者，曰圏内作乙丙径，从丙作六边形之一边，丙甲与半径戊丙等【四卷十五】从乙作乙甲，成乙甲丙形，在半圏之内，则甲为直角【三卷三十一题】设甲丙句七百八十○，乙丙▯一千五百六十○，两数自之相减开方得一千三百五十一不足为乙甲股则乙甲与甲丙之比例为一三五一与七八○次平分甲乙丙角作乙丁线又作丁丙线成乙丁丙丙丁己两直角形相似盖同用丁直角在半圏内甲丁丁丙两所乘之▯等则丁丙己丁乙丙两▯之角必等【三卷二十一】夫两形有两角。等者，各腰俱相似，则乙丁【大形之股】与丁丙【大形之句】若丁丙【小形之股】与丁己【小形之句】又乙丙【大形之▯】与丁丙【大形之句】若己丙【小形之▯】与丁己【小形之句】更之，乙丙与己丙【两▯】若丁丙与丁己【两句】是乙丁与丁丙【两股】丁丙与丁己【两句】乙丙与己丙【两▯】三比例皆等。又乙丙与己丙【两▯】若乙丙并乙甲【两腰】与甲丙底之两分【见前解】则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙。先定乙甲一三五一弱，乙丙一五六○，是乙甲乙丙并为二九一一弱。甲丙先设七八○，则乙丁与丁丙亦为二九一一弱与七八○，各自之并而开方得三○一二又。四之一弱为乙丙【乙丁丁丙之▯】则乙丙与丁丙之比例为三○一三又四之一弱与七八○次平分丁乙丙角作辛乙线因前比例论得乙辛与辛丙比例之数盖丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与辛丙先定乙丙三○一三又四之一乙丁二九一一弱并为五九二四又四之一弱今丙丁为七八○则乙辛与辛丙为五九二四又四之一弱，与七八○欲省数，改设辛丙二四○，依三率法，辛丙七八○，乙辛为五九二四有竒，今辛丙二四○，即乙辛为一八二三弱，两数自之并而开方，得一八三八又十一之九弱，为乙丙线【乙辛辛丙之▯】则二四○与一八三八又十一之九为丙辛乙辛之比例，次平分辛乙丙角，作乙壬壬丙两线，辛乙乙丙两数并为三六六一又十一之九弱，与辛丙二四○为乙壬与壬丙之比例，又改设壬丙六六，依三率法，乙壬为一○○七弱，两数自之并而开方得一○○九弱则六六与一○○九为壬丙与乙丙两线之比例末平分壬乙丙角作乙庚庚丙两线乙庚与庚丙若壬乙并乙丙二○一六又六之一与丙壬六六两数自之开方得二○一七又四之一弱为乙丙【乙庚庚丙之▯】则庚丙与乙丙两线之比例为六六与二○一七又四之一弱论曰：丙甲▯为全圏六之一，丙丁十二之一，丙辛二十四之一，丙壬四十八之一，丙庚九十六之一。是丙庚为九十六边内切圏形之一边也。以九六乗六六，得六三三六，为九六边内切形之周。乙丙径为二○一七又四之一弱，两数约之一，得三又七一之十强，形之周也。一得一圏之径也。夫圜周在多边形之外，即大，则谓三倍径又七十一之十不又盈乎？

第三题圜容积与径上方形之比例解曰：「一为十一，与十四而朒，一为二。」百二十三，与二百八十四而盈，先解。朒者，乙、戊、辛圈；甲、丙、戊方，引长甲、丙。边为甲丁，其大于甲丙为三倍又七。之一则与周等为句，甲乙边圈之半。径也为股成甲乙丁角形其积与圈积畧等【不甚差故】又乙甲丙直角形，因丙甲与甲丁，若七与二十二，则甲乙丙。与甲乙丁两形之积，亦若七与二十。二【六卷一题】甲乙丁与圏等，则甲乙丙形与圈积亦若七与二十二。夫甲乙丙为方形四之一，四之得二十八，即两形积之比例为二十八与二十二，约之为十四与十一也。次解盈者，甲丙设七十一，甲丁二百二十三，与圏周等，则甲乙丙与甲乙丁两形之积为七一与二二三。四倍七一得二八四，全方之积与甲乙丙形之比例为二二三与二八四。一题之系，半径全周成三边形与圏积等。依句股法，半径偕半周矩内方形与圏积等。若全径偕全周矩内方形，则四倍圏积几何【六卷二题】曰：相似形之比例为两相似边再加之比例，故边倍则实四之二题之一系。设圏径求周，求容。凡设径求周，用盈法，七为一率，二十二为二率，所设径为三率，得四率为所求周。用朒法，为七十一与二二三若径与周。古士论圏大小，大都准此。二论反之，以周求径，亦然。二系圈之径与径若周与周，子之径与径亦若母之周与周。假如一圏之径为七，周为二十二。他圏大于元圏四倍，其径二十八，则其周八十八，亦四倍大于元圏之周。三系。周线上方形与圏之积若八九二与七十一则盈。若八八与七则朒。周与他周若径与他径。周线上方与他周上方若径上方与他径上方【十二卷二题】径方与他径方若圏与圏。则周方与他周方亦若圏与圏。更之。周之方与本圏之积若他周之方与其圏之积。如设周。一用一系之法。则八九二一率也。七十一二率也。所设一三率也。所得之径为二二三之七十一。其容积为八九二之七十一。周之方一全数也。通之为八九二。圏之积零数也。为七十一。是谓周方与圏为八九二与七十一而盈。或二十二与七。其径二十二之七。其积为八八之七。周之方一全数也。通之为八八。圏积为零数。则周方与圏为八八与七也。三题之系。设径求圏积。则比例之母十四为一率。子十一为二率。径之方数为三率。所得为圏之积而盈。或三八三为一率。二二三为二率。径之方数为三率。所得为圏之积而朒。假如设径十。用盈法得七八又七之四圏之容也。用朒法得七八又二八三之二五七圏之容也。反之设圈容求径。则十一与十四若圜容与某数。其方根为径。又设周求圏之容，因一系之法，八九二与七十一，若周之方数与圏之容而盈，或一八八与七，若周之方数与圏之容而朒，反之设圏求周，则七与八八，若圏容与某数其方根为周。径与周之比例，古士之法如此。今士别立一法，其差甚微，然子母之数积至二十一字为万亿，亿难可施用。○径一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○【大周】三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四七【小周】三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六约之首，取三字为一百之三百一十四，则三倍又百之十四。

再约得七之一又朒如前论曰：总之，不论若干位，但加一，即赢；减一，即缩。赢，即外切线；缩，即内▯也。皆非周也。古设周问积法曰：「周自之十二而一，此犹是径一围三，较之径七围二十二者，尤疎也，故不合。」古设径问积法，以径自乗，三之四而一，如设径一自之，得一，三之得三，四而一则四之三为圏之积。全数【即母数】为径上之方形，则知径上之方与圏之积为四与三。然前论为一四与一一而合，今之四与三，则所谓虚隅二五也。如图，甲乙设十自之为一百，平分之为乙丙丁五十，又平分之为丁戊乙丙三角杂形，丁戊乙二角杂形，各二十五。二角杂形必小于三角杂形，安得合乎？量撱圆法。撱圆形者，斜截圆柱所成两面形也。形有长短二径。古士黙徳本论曰：两径之中，比例线为径作圏。

与撱圆等则两径为第一第三率相乗所得方数为第二率，又同线上之正方与圏容为一四与一一，今两率相乗者即中率正方之数【此比例法见几何六卷三十三题之第十增】故以两径相乗得数，以一一乗之，以一四除之，得撱圆之积也。

量圈之一分第一图【名两半径▯形】设半径及▯用，全与全若分与分之比例。法曰：以半径乗▯，得积，半之为本形积。盖全周与全圈积，若周之分与圈积之分。如半径六，▯十二相乗，得七十。

二半之三十六为本形积第二图【名两▯内▯形】设两▯两▯，丙戊为径，从心作甲乙，甲丁线成甲乙丙，甲丁戊各两半径▯形，依前法各求积，又甲乙丁直线形，两腰等有丁乙，▯求其积。三形积并为乙丙戊丁，设形之积。第三图。

即第二图之半同理第四图【名▯形】有本圈径设▯，求其积法。先求半圈积，次求两▯形之积，两数相减，余为设形之积。如丙乙巳戊圈，其径丙戊，设乙丁▯，求乙已丁▯之积。置乙巳丁▯，一一又七之六。圈径十二，先求本全圈之周，得三十七又七之五，半之为十八又七之六，内减设形之▯，一、一又七之六，余七为丁戊、乙丙两▯之数，半之为三，半丁戊▯也，作丁甲、乙甲两线，因前法求丁戊、乙丙两▯形之积，得二十八又九之八，又求半圈之积，得五七又七之四，内减两▯形之积二十八又九之八，得二十七又六十三之四十二，为设形之积，若不知▯，因丁甲乙形有丁甲、乙甲两边，有丁甲乙。

角得丁乙边为设形之▯若▯形大于半圈者，以两▯之积加于半圈之积。若不知本圈之径，则先求径。其法：丁乙▯半之作巳辛，垂线量其度，得数为法▯之半数，自之为实，而一得本圏之径【防何三卷五十五】如量己辛得一又九之五，法也；丁辛为四，自之十六，实也，除之得十又九之二，加己辛得十二，全径也。若辛己不可得量，是属无法之形。

第五图设小半▯形如甲乙丙，则以甲丙句甲。乙股各自之，并而开方，得乙丙▯，成乙。丙小▯形有乙丙▯，依前法求积，次求甲乙丙句股形之积，并之即得【一图】若止设一直线为径之一分【甲丙也】而知本圏之径法，先求丁、戊、丙象限积，次求丁、乙、甲、戊两▯形之积相减，余为甲乙。

丙形之积【二图】若所设乙甲丙，非直角，而知本圏之径。法先求戊丁丙象限积，次求甲乙辛句。股积盖形有甲、辛两角，甲乙边可得余。边即得其积末，用前法求乙辛丙半。▯形之积，内减甲乙辛，句股积余为设形。

之积【三图】若乙、甲、丙为锐角，乙辛股线在设形之内，则以甲乙辛形之积加于半▯形积【四图】或设本圏之径作戊乙线法，以半径乗▯，得数半之，得戊乙丙形。次求甲乙戊直线形之积，则乙戊半径也，乙甲设形之边也，戊甲为丙甲与半径之较，依法得积，以减戊乙丙两半径形之积，余为设形积【五图】或依三角形法，作乙丙线，成甲乙丙三角形。有甲乙、甲丙两边，有甲角，以求乙丙，余如前【六图】若半▯形之边如甲乙、甲丙大于半径，即作乙戊线，先求乙戊丙两半径形之积，次求甲戊乙三边形之积，并之如前。若不知本圏之径，则属无法形之法【七图】或依三角形法，以甲乙、甲丙两线及甲角求乙丙边，求积。次求乙丙▯形之积，如前法【八图】第六图【名两▯之形】若知各▯之径者，法与一▯形等。若设两▯，亦设中长线，则分元形为两。▯形，若不知本圏之径，亦不知中长。

线属无法之形第七图以▯分之，成直线形者一，成▯形。

者三四以上各以前法量之若为球体、撱圆体、圆角体之外面法，见量体法中【第六卷】古法设长濶，问积见长方，又设长阔总数、长濶较等问，见句股义。

量面用法以木造矩锥平者为盘直者为干盘径五六寸厚二寸，面画两径，辏心成直角，刻成渠，深五分，广一分，下作凿以受干也。干径一寸以上，长四五尺，令平立者目切其盘之面，干之末施鐡锸焉。别具望竿数事，略与干等，器成先试之法。于平地卓锥，从一径之渠，向左向右各距若干丈尺，卓两竿与径为直线。又从他径之渠，向前向后各距若干丈尺，卓两竿与径为直线。次转器易径以望，先立诸竿仍作直线，则为如法之器。第一题直线内一防上求作垂线【防何一卷十一】法曰：设防上卓锥转器，令一径合于设线。次从他径卓数竿，题言诸竿所作直线与元线为直角，与盘上直角。

等第二题直线外一防上求作垂线法曰：设防，上卓一竿，持器循设线上防，移迁就令一径合于元线，一径与望竿为直线。次从防至锥下作线，则元线之垂线也。凡设田形，量其歩畆，前法足矣。然未知直线形之是否直角，曲线形之是否中▯，且高下之数非目营可得。欲求其度，立公法如下文。总之以句股为本，凡图中断线所作线也，聨线元形线也，边上有○卓锥之处也。三边田法，从大边用器防，移迁就向对。角立垂线，分元形为两句股形【一图】

四边田，先用器试各角是否直角，直者用正方量之，不直依图分句股形令分余者各两对边为平行线，用正方长方法量之【二三四图】

多边形田从大边如甲上作甲乙垂线从大边两界如丙如丁作丙戊丁己两垂线丁己线上立乙辛垂线又立庚寅、己、午两垂线，丙、戊线上立，酉、乙垂线，是元形内有二方形，七句股形。量时依元设丈尺步数，化大为小，作图亦用元度，作新立诸线各如数▯之，并之得元形之积【五图】

若田形以曲线为边宜先求直线形法取一线为径径上宻宻卓锥作诸平行线末各直角上加器成诸长方形亦成诸三边形曲线为边者，大圏之▯也。即依直线法量，之所差甚微【六七图】或田中为房舍、林木等物所隔，难作。中长线法，于田外依一边作大方形。形边，上向田之各角作线，是元形之。外方形之内，有若干句股形，并诸句。股积以减方形积，余为元形之积【八图】增题，多▯无法，形量法从田心，如癸加象限邉向，乙角窥丙角，定乙癸丙角之度，次向丁向，戊向，己向，庚向。辛各定其癸角之度次，以公量法量癸。乙、癸、丙等线元形内，有三边形七，每形有一角两邉因法求余邉求毎形之积。

并而得元形之积中空田法，先求大形之积，次求空形。之积如方田一叚，各边十丈，中为圆。池径七丈，则方形之积一百丈，池之积三十八丈半，减余六十一丈半，为。

设形之积求环田积，用两圏之径，或周以次求。大小圆积相减，余为环田之积，如设。环之外周，为四十四；内周，为二十二。则大圆积一百五十四，小圆积三十。八半减余，一百一十五半，环田之积也。

变形法其一，设三角形，求变为等底等积方形。凡设形求变者，皆截元形之实，补求形之虚也。如上一图，甲乙丙元形，求变为丙丁戊方形。其元形之大边为底，法平分两腰作中线，与底平行。次以中线为底，作对角垂线，成甲乙两形。从元底两端向中线各作垂线，成戊丁两形。则截甲实形，移补交角之丁；截乙实形，移补交角之戊。成丁丙戊方形与元形等底等积如二图，小边为底，亦平分两腰作平行中线。次从上角，从钝角各向中线作垂线，成甲乙两句股形及丙斜角形。次截甲实形，移为交角之乙，并丙乙实形，移为交角之丁，成丁戊方形，如所求。如三图钝角上垂线截中线出元形之外，甲戊丁己两线为等，作己垂线成甲小形，则截交角之乙实形移为甲，并甲两实形移为交。角之丁，并丁己，成四边实形，移为相似之戊【形，并戊庚如所求】

如四图，两腰甚长，亦如前作中线，于中线上截取庚、丁、壬、己各形之边，皆与底等，而成各直角四边形。又从两交截取癸形，与夘等，即甲与乙，夘癸与夘各交角之两形各等。先截取癸实形，移补交角之虚夘；次并夘乙作三边实形，移补交角之虚甲；次并甲丙作四边实形，移补相似之虚壬；次并壬丑作四边实形，移补相似之虚丁；次并丁戊作四边实形，移补相似之虚己；次并己寅作四边实形，移补相似之虚庚；次并庚辛，即所求。其二，设一方形，一线求变为他方形，其边与设线等。如上一图，设丁戊方形，求变他形，其边与甲等。法从乙丁边取乙丙与甲等，从戊角作戊丙迤线【丙非角，故不名对角】引长之与己丁之引长线遇于辛，成丁辛丙三角虚形。次于己戊边取己庚与甲等，次从庚作垂线，成壬庚戊三角实形。以此实形移补丁丙辛虚形，又以戊丙迤线上形移置壬辛迤线上，即成庚辛方形，如所求。如二图，设形为斜角，与上同法。若所设线甚小，几倍之得为元形边，则平分。元形为几形如前法变得各小形并之为一大形如所求如三图所设，线大于元形边，则引长己戊边为己庚，与甲等，作庚丁对角线，成戊庚壬三。角虚形，次取丁丙与壬庚等，成丁辛丙实形，移补壬戊庚虚形。又乙壬丁实形之壬角，移为庚角，成庚辛角形，即所求。

其三设矩内形变为正方形如图，以设形之两边连为一直线，求心作半圏。次从两线之界防作垂线，为两率之中比例线，即用为设线。依前法，变设形为他形，其边为设线。

其四设多边形变为正方形先以直线分元形为若干三边形。次依第一法变各三边形为矩内形。三任取一线为设线，依上法变各矩形，皆为等边形。

四并各等边形成一大矩形五依第三法求大矩形两边之中比例线成正方形。以上四法，若反求之，则亦反作之。如一矩形，求作三角形；一正方形，求作有比例之。

矩内形是也其五，两正方形变为一正方【防何原本一卷四十七题，备论其理，此则用法】置两正方形，以角相切，令其边为直线，角之外为直角，即成甲句股虚形。其▯聨两元形之各一角，即以为底，作正方形，其积与两元形并积等。其变法作丙戊庚己丁。矩形及乙寅线，又截壬形与子形，庚形。等次截取癸实形，移补丙丁虚形。次取丙子，实形移补甲虚形；次取壬实形，移。补庚，虚形次取庚丑实形，移补戊【己庚】虚。

形次取戊实形移补辛虚形成夘辰午未正方形其六设矩形求变为他矩形其边各有比例如设一形欲作他形等积而两边之比例若五与四法分大边为五小边为四作平行分线如甲乙形，次依丙丁罄折线截讫，移就成戊己形。

第四题截形法借题云：设多边形，截为多三角形，求作多线，以当各形。之比例如图，甲乙丙丁戊多边形，从甲角作甲戊，甲丁，甲丙，各对角线分元形。为四三角形，求其比例法曰：从各角向，各对线为垂线，如己向庚，戊向辛，丁向。壬又向子，丙向癸，乙向丑，丁壬丙癸。因对角线短，故垂线在形之外。盖三角形论底论高，不论垂线内外。因几何六卷第一题，增同底之形，其比例若其高之比例。今甲戊己、甲戊丁两形同用甲戊为底，即己庚、壬丁两垂。线为两形之比例，又甲戊丁，甲丁丙。两形同用，甲丁为底，即戊辛丙癸两。垂线为两形之比例，甲丁丙，甲乙丙。两形同用，甲丙线为底，即丁子乙丑。两垂线为两形之比例也。今欲作四线之比例与此四形之比例等。依《几何原本》六卷第十九题，三直线为连比例，则一线上形与二线上形若一线与三线。今以一垂线当一形，以第二、第三率通为一比例而求末率【即第三线】则一形与二形若一线与三线也。如上图，壬丁之形与戊辛之形同底，而壬丁为一率，戊辛为二率；己庚之形与某线之形同底，而己庚为三率，某线为四率。则以戊辛之数通为己庚之数而求其线，即壬丁与戊辛若己庚【元数】与某线，而某线之数为己庚之次数。又丁子与丙癸若乙丑【元数】与某线，而某线之数为乙丑之次数。今一设三角形，从一角命截几分之几法于角之对边平分，如命数从角作线截取一分为得数。如甲乙丙形，从甲命分四之三，即四平分丙乙线为丁戊己，次从甲作甲丁分元形为二，其比例如丙丁与丁乙。又命分四之一，而其截线求与命角之对边【如丙乙】平行，法四平分甲乙腰，四乗三【命分数内减得分，以其余乗命分】得十二，开方得三又百之四十八，即得甲向乙取四分之三有半至丁作丁戊线，与乙丙平行，截元形为二，其积如三与一，而丁丙为四之一，甲乙戊为四之三。二、设多边形，从一角命截几分之几法，依前借题，分本。形为若干三边形，又如前次第求各形。之比例线【因形求线】合之成一直线。如图，为：乙丙丁戊己，若命分为四之一，即四平。分之，若第一分在乙丙线内，则分甲乙。丙形之乙丙边，如乙丙比例线，其一分。所至为乙壬，作甲壬线，截甲乙壬形，为元形四之一。若欲截分在甲己之旁，则分甲己戊形之己戊边，如戊己比例线，其一。分所至为己辛，作甲辛线，截甲己辛形为元形，四之一。若命分之界，不在元形之角如甲乙边内取庚防为界，法从庚向。各角作线，求各形之比例线，如前。上二法俱从甲或庚为截分之总界，其他形若能为对角线在形之内者，任用各边各角皆可为截分之界；若作对角线而切本形边或出形之外，则不能为截界，如图。甲戊丁乙，四角；己庚三角。其截分或出形外。甲庚、甲乙、戊己、戊丁诸线，各切本边，但可从丙截之。三设方形，命截几分之几法，任分一边。如命分数取得数，作平行线，或正方，或斜方或矩形皆同理，若以角为截界，则与上文多边形同法四设梯田，命截几分之几，如四分。之一法，上下两【边各四平分，而取其一作直线聨之】或用角为截界，则与前多边形同法。若命截线与底平行，则用三率法，依设形成三角形，得其腰，求两形之比例，得全三角之积若干，小三角形之积若干，以小减大，得梯形积若干，因算梯形之防分，得全形之几分，随用前第一设截三角形之法得所求假如大底为十，上边为六，斜边得四，上下边之较四，半之得二，为第一率；大底半数五，为二率；斜边四，为三率。算得全形之腰为十。此全形有两腰有底，求其积得四十三又三之一。其小形有两腰各六，有底六，求其积得十五又五之三。以减全积，得二十七又三之二弱，为元梯形之积。今欲截取四之一，以四而一，得六又五之四弱。以除全积，得六有五之二弱，为元形四之一，亦为全形六分五之二分。用平行截三角形之法，六有竒为母，五有竒【减一得子】为子，相乗开方得五○○。即从全形上角分全腰为六分有五之二弱，内取五又五之四强作平行线，分元形如所求【或取三十二而取二十九】若近小底命作截线，其理同上，但母子数不同，上得元形四之一，分为六又六十之四十六，畧约五之四，今所求者四之三，则三倍之得二十又三十之九，以倍数与全数相乗，得数开方得二十九半，即从上角如法取作平行线分元形如所求【或分全腰为四十三又三之一，从上角取二十九半作线】凡梯田在平行线内，但底等，即其积等。

不论角大小若两梯田截法，先求各形之积，次算此。形所截之分，为彼形之防分，其用法如前【有本法，本论于法算诸书中详之，此不及备着】

【新法算书】