钦定四库全书新法算书卷十九明徐光启等撰浑天仪说卷四

钦定四库全书新法算书卷十九明徐光启等撰浑天仪说卷四

依浑仪制日晷法太阳左旋，以定昼夜十二时【二十四小时】则常依赤道三度四十五分，为一刻，每十五度为一小时，故诸圏以二十四平分之，而每分又以四平分之，乃得时盘必周分各与赤道皆等之度相应，令之竪立与赤道高下等，而中依直角安表，则表景所射，即能定时，而赤道晷所繇起也。今不必恒以竪立合赤道圏，或正立面向南北为立晷，或正倒面向天顶为地平晷，或复正立面东西正向为子午晷，或又正立面偏正南左右，或不正立面偏地平，各以所向天上之圏得名，而各以其面承接日光，故立表或正或斜不一，即表射景逺近与面分时刻广狭亦不得一。虽太阳左旋同诸时刻平行同，而线则实繇景得，射景旣异，相距之线安得不异？此诸晷公有日平行之原，而私则各有所异，总于本仪可得而明矣。

求诸晷方位法日晷之制，原以度数考求，而度数必有相应之定处，则又在取凖方位焉。故凡平面日晷所向方位多变，大约相较有二原：或较地平，即与之为平行，有正立，有曲立，种种不同，皆应度数不等；或较子午圏，亦与之为平行，乃有偏左、偏右，而多寡复以间度为则者。又或有偏于地平、偏于子午，兼地平、子午而别为一种，总不外此二原。乃复得一方位者，必先置木或铜，取四方直角平面形为甲乙丙丁，依其长边面内作戊己线，与甲乙为平行线，应平分于壬。即以壬为心，以辛为界，作己辛戊半圏。

乃平分一百八十度也从中线壬辛左右各一象限而另设垂线于壬则定方位之器全矣临用时如求地平方位，即令此器以丙丁边倚晷面，正立得垂线合壬辛中线者，即得其面正与地平同。若垂线偏距中线左右，则必查象限，得晷面前后离地平若干度，以垂线依象限辛防之前后度为法。或令甲丙边依直角倚晷面，得垂线正合壬辛线者，即其面正立在地平。若得垂线距辛防内外，则依其距度于象限上，亦可得晷面偏前后之广。欲求距子午圏方位，即令甲乙边以直角倚晷面，从此器中心壬出尺，能旋转于半圏。诸度尺末设指南针，其上随尺同转。乃先安器，后转尺，而以罗针对下顺尺线者为凖。随以尺距中线之度，定晷面距子午圏之广。但罗针未免畧差，故又一法：晷面上界线自上一直下，于线上立表，表末另悬垂线，候日光射垂线之景，必合晷面上线乃凖。且将浑仪依法测得日轮高度，而以太阳躔度对高弧，则高弧所指地平度，或正东西，或偏左右，因偏若干，亦可定晷面离正南北之广也。其求重复方位，各依所向可得。乃向地平如前，向子午别有法：于晷面立二表，任意相距，表锐各设垂线，距面皆等候日轮出视，其二线凖对，即于仪上测其地平高，以与高弧正合，而地平经度可得，子午圏方位亦定矣。

制正球日晷凡日晷之表等，虽北极出地不等，得各时线相距等者，谓之正球晷。此其制原易，可不须球，然舍球又无以明其理也。如赤道晷，因诸时圏与赤道交，其相距皆于球心相切，设以本仪之枢当表，其射景必顺时圏行赤道，使各依极安仪，而表之长短同，则时圏在赤道上相距之度亦同。或论赤极晷，因其面正合卯酉时圏，设本面距仪心，任表长短等，而诸时圏与中心相切，从心过晷面，相距不等，则正午线合仪枢，可当仪面中线，而余线左右相距渐逺，皆平行如上图。以长方形为晷面，其丙丁横线者，即赤道与之相切线，其甲午正南北线者，即合仪枢从赤道顶过时圏所为线也。立圏者，乃赤道周平。分以指诸时圏相交之防者也，盖时圏必皆切表顶【当地心是】而复开之。使过至丙丁线上，为时线所居之。界故本晷诸线交心在面外而以。表顶为心，彼此相距皆平行。今设表长短同，虽极高多寡不同，其线。则二晷相距无异，又设甲午线依。天枢斜竪，令晷面偏东或西，则午时线不能定在面之中，必依面所偏多寡，而晷面亦移左右不等。至其面向正东正西，乃以中线为卯正、酉正，余线渐逺。惟午时线不入晷面，而丙丁线则尚为赤道所切。虽时线皆平行，乃晷则应以一面斜起，庶合赤道高度，而得中所横线。其高低度与之等也。

制斜球正日晷凡日晷之表等，因北极出地不等，得各时线相距亦不等者，谓之斜球晷。其制法原不一，今用浑仪列简法如左：如制地平晷，先起仪依本北极高，乃令过极圏正合子午圈，而子午圏之左或右，毎扵赤道上查十五度，移居子午圏下，即识过极圏交地平正南北度。复于赤道上查十五度如前，移居子午圏下，又得过极圏交地平度，以此逓查逓移，必至尽过极圏交地平度之界而止，则诸时线在晷面相距之广全得焉。盖晷面上先作两直线以直角相交，其一为子午线，其一为卯酉线，而以交防为心，任意大小作虚圏，或用比例尺，或依本圏预分度，取仪上地平所识度为法【自夘酉线至子午线或反之，以应仪上所识度为凖】从心出线过此者皆平晷时线也。如北极高四十度，以过春分经圏居子午圏下，必在地平之正南北初度为午正，移之去东十五度【依赤道度】得经圏东交地平十度【距子午圏算】为午初，移之去西十五度，得经圏西交地平亦十度为未初【距午前后等时恒得距度等】巳正及未正约得二十度半，己初及申初约得三十三度，辰正申正得四十八度，辰初酉初得六十七度半，至夘正酉正则各满九十度，而夘酉外与前距时等，必皆得度等。若求刻线，亦依赤道上三度四十五分为一刻，如前法逓查之。安表使之出晷心，向午正距晷面渐逺，以北极出地度为则，必悬子午线上，以正合本地天枢是也。若正南北立晷，亦用仪上赤道求距度渐移至子午圏，法同前，其所异惟在交度，盖髙弧与过极圏相遇处为交度，而高弧则定居东西或夘正酉正，茍不用高弧，惟以极高所余度求之，如北极高四十度，依其地制立晷，必使仪北极出地平上五十度，如前法定时线，盖五十度即极高四十度之余度，其安表渐距晷面正下，以至本地赤道高为止。此晷自卯正至酉正，独十二小时向南，而夘前酉后之时，面皆向北。其表渐距晷面与前同，从上反求得正矣。

制斜球单偏日晷若不正立面向南北，制法略与正立同，但用高弧，必依其偏容有异。盖向南面偏北者，必查偏度于子午圈，从仪顶去北，即此安高弧；面向南者，则偏度宜求于顶之南，以此界出高弧。其向北晷面偏南者，即依偏度于顶南求界，或面反偏北，尤宜于顶北求界。总之，偏度多寡及所向方位，皆应查于子午圏距顶南或北之处，以安高弧。而高弧下至地平，恒在正东正西之防，表位必在正午时线，从晷心渐距其面，与高弧上距北极等。若不正立面偏正东正西，法用立象半圏，先于高弧上取偏度，如设面向东而偏西三十度，令髙弧自顶下至正西量三十度为限，即安半圏于其限，以当地平，必识其与极圈相交之防为各时线之距。如北极高四十度，安高弧及半圏如前，将时盘与夏至圏对，试于太阳出时，必得春分经圏北交半圏十六度夘初交十二度，渐过以南交二十六度后七十等度至未正一刻余，太阳过半圏西晷面无景，其本晷表位偏午正线左右，距晷面较地平面高不等。求其位法，使经圏与立象半圏以直角相交，即因经圏自交防至极中弧得表之高，半圏自交防至交北地平得表位与午正线相距之逺。如依前极高等数，则表距三十八度，高二十二度。若正立面偏东或西，制法亦与正向南北立晷同，独高弧下至地平不得定在正东正西之处，必依晷面偏度因之距东西等。如面向南偏西三十度，即高弧距正西亦北去三十度，面偏东必高弧距正西之南向北，面偏东西皆仿此。但偏晷所得高弧度午前后必异，时刻多寡不等。试令北极高四十度，晷面向南偏西三十度，先以高弧北距正西三十度，转经圏西十五度【赤道上取或用时盘亦同】得其交高弧防距顶十二度为未初，乃自正午相距线也。又渐转仪每十五度为限，得午后时刻，各依交度不同之广：未正交二十三度，申初交三十三度半，申正交四十四度，酉初交五十五度，酉正交六十九度，戌初交八十七度。复移高弧在东，距正东之南亦三十度，随转过极圏东十五度，得午初交高弧九度，巳正交二十九度，巳初交四十八度，辰正交七十度，辰初则交地平。虽夏日最长，亦不能全见午前半昼。景安表必先查其偏东西若干，距晷面多寡，法令高弧至地平居本晷偏度限【晷面偏东用高弧于东，地平偏西用高弧于西】乃转仪使过极圏，距子午圏与偏度等，必得以直角交高弧。则自顶至交防于高弧上得表在晷面上垂线之度，自极至交防于经圏上得表距晷面之度。假如前设偏西三十度之晷，将高弧下至西地平北，距正西三十度，过极圏亦应于北地平距子午圏三十度，得其与高弧以直角相交。则自交防至北极中约四十二度，为表出心渐距晷面之高。复自交防至顶约三十度，为表渐距中垂线之广。此立晷之面南偏西用高弧及经圏之法，与面北偏东而面南偏东与面北偏西者亦同。但表末于面南晷以向南极为正，而面北晷反应向北极也。

制斜球重偏日晷若不正立面向南北，复偏东西，则较本晷面与地平面或偏向或偏离为交角时鋭时钝之异，故依偏容分别其晷为二种。先论鋭角向地平者，法查本晷所偏东西度，于其本向地平或晷向西南、东南，必从子午圏南交地平起，其所止限为高弧当至之处，则自顶依高弧求晷面偏地平度，即以合度处于球上作识。复自高弧交地平处去北九十度为限，因之以安高弧移居顶而过前所识处，即于高弧上得诸时线相距之度，则因交前所识及子午圏间弧为晷面中垂线距正午线之广也。次转球过极圏，以十五度为交高弧之界，与前法同得午前或后，依面向东或西各时线之距，而余方则移高弧于正对地平度，转球使极圏渐交高弧，各时俱可定矣。若以钝角向地平，法反查偏东西度，于本晷所向正对地平或晷向西南、东南，则从子午圏北交地平起，所止限亦为高弧当至之处，乃于球上作识，依之求时线相距皆与前同，独高弧宜去南九十度以定复安之限，虽高弧不能过球上所识并至子午圏，惟令立象半圏过正相对地平而左右转球，则午前后时线度半圏上可得。假如北极高四十度，晷面偏西距正南三十度向地平偏二十度，必使高弧在子午圏西与地平三十度合，令夏至圏正居子午圏下，乃自顶依高弧量二十度得近黄道处为实沈宫二十一度，与高弧二十度合为防作识。后复安高弧或立象半圏在地平正西之北三十度，从前防过【球尚不动】与正相对之度至地平，则所交子午圏处距顶约二十三度，距防一十二度，则一十二度为晷中垂线距午正线之度，便转球西一十五度【用时盘亦可】夏至圏必交高弧八十七度为未初，次交七十二度为未正，次五十八度，次四十五度，次三十三度，次一十八度。末五度为申初、申正等时，以至戌初始尽，复转球令夏至圏距子午东一十五度，得交对度高弧六十四度，为午初次四十六度，次二十六度，次一十一度，次即入地平。盖辰初不载晷面，因其偏西故也。欲安表，必先查其应距晷面若干，偏午正线左右若干，因而从晷心出，依偏距度起射景与各时正合。求距面度法，使高弧在晷正面地平【末求余方时之前】渐转球以过夏至圏，得北极及高弧中最小之弧，即因本弧量表距面之广，或于本方使过至圏与高弧以直角交，则自交处至极中弧亦为表距面度。查表偏午正法，用高弧交过至圏与前同，独偏度当于高弧上，从交防至子午圏上求之，必中弧为相应之距度。假如前晷求表安，高弧在西地平北去正西三十度，使之上距顶南二十三度，转球令过至圈以直角交高弧，即从交防至北极中约得六十度为表距晷面度，复从交防至高弧切子午圈约得五十五度为表距午正时线之度，余仿此。

畧节气线于正球日晷凡节气在黄道上正相对者，以较赤道，其距内外天上必等。盖随宗动左旋，必为平行圏，故乃平晷节气线则不然。虽赤道线为直线，而内外节气线其形甚曲，多縁彼此相距渐逺，或不以赤道为中界，故较赤道平有异向焉。惟赤道晷之节气线，亦自为平行圏，亦内外相距等，其形正与天合。试就浑仪先论之，设仪上赤道为实圏，天枢上任取其表之长作识，切赤道面向外，并取过极圏上与表相等弧识之。从所识处量各节气之距，而每界出直线过表顶，得凡线至晷面所止之处，因以定节气当居之位焉。法用规器，以赤道心为心，以线止位为界，作平行图如左。外圏限赤道，晷面周平分为时刻，其中心出表为甲戊。设庚己辛为过极圏，即从庚外取庚己与甲戊等，而己为诸节气距内外之中界。盖以戊为心作辛己壬弧，从己至辛至壬，取二十三度三十一分得夏至及冬至界，取二十度一十三分得大暑小满及大寒小雪其余节气皆仿此乃从其各界引辛戊乙等直线得乙丙丁等圏于向北晷为赤道北节气向南晷为赤道南节气也凡正球晷之节气线以赤道为中线余线凡相对者左右距必等而各渐开距必不等法，设仪心为表顶，其面任距逺近，必依表长短为则，与前制晷法同。即将过极圏于赤道内外，识各节气之距度，随以各度出直线，从仪心过，使至本时线上，必得赤道在中左右诸防，为节气应过之处，此即界线之所以然。临制时，以表顶为心，时线交赤道防为界，作圏即得切割等线，依八线表取用。盖赤道为全数，时线左右为切线，从圏心出线与时线相交得割线，故将全数载比例尺，余线依之取载晷面是也。如后图，上下为时线，设制赤极晷，即午正居中，卯酉居边；制东西正向晷，午正居边，卯酉居中，而赤道横交诸时线，彼此必同。甲丙为表长，依之为圏，而左右定节气之距，如丙。己、丙、丁等弧，即得甲丙全数，丙己、丙。丁直线为切线，甲己，甲丁，其割线以定夏至及冬至于午时，或卯、酉时线。而定两至中节气，亦不异此。试于申。巳时线必以乙为心【表顶之距】作壬丁辛。圏左右取丁壬，丁辛各至之距弧余。节气线弧皆与前同，即乙丁为全数，丁壬、丁辛直线为切线，甲壬、甲辛为割线，而节气宜过其防位，亦依之定矣。又试于午初、酉初，即丙为心，以作圏，求子庚、子癸两至距赤道中界，而求他节气，皆同一法也。

界节气线于斜球日晷凡斜球晷之节气线，虽以赤道分内外，然各节气正相对者，距赤道逺近不等，而自为曲形，则其曲必等，故设过极圏以定各节气初度之距，令出直线，过仪心至各时线上，皆与前同法，先依本地北极高，求各节依各时应出地平高【见前二卷】随以高弧考对，即仪心当表末，依所行直线各至时线为防，而毎时识防处，连之必为曲线，以指本节气也，假如仪心在乙，以辛庚为晷面，得甲乙表。

癸巳为过极圏设北极高四十度欲制地平晷节气线即辛庚为午时线辛壬为天枢距面四十度入地于辛以定出时线之心任安表于甲即因表鋭当地心亦并为过极圏之心得癸丁弧为赤道出地平高而余节气初度则必距赤道内外皆在戊己二至之中设从各距度引直线至乙防复引过晷面午正线而赤道止于丙夏至在子冬至过赤道下在庚又设过极圏在表顶周转以对未申等时【午前后同】而赤道二至等节气初度皆合高弧上本时所对高度令出直线过表顶必至本时线为防以引节气于此过矣凡制立晷节气线即辛壬距晷面宜依赤道高癸丁弧依北极出地高【癸为天顶癸丁弧即赤道距顶弧必与北极出地等故】余节气度俱依之出直线至午未等时线上以赤道上者为冬赤道下者为夏则各节气自明矣如图以乙为心甲为界作甲丑弧即乙子乙丙乙庚等线皆为割线甲子甲丙甲庚皆为切线以表为全数查节气依各时高度于八线表用比例尺或平分直线如法简取盖依本北极出地地平晷用余切线立晷反用正切线何也地平晷算高度于癸巳弧而用甲丑弧之切线立晷则于癸巳算节气距面之弧其余即正高度亦应甲丑上取切线也偏晷同一法以各节气依各时高度出直线过表顶下至晷面定其曲线宜引之防则除正向南北偏晷外其余安表必于午正线外求位盖因天枢斜过晷面故乃枢正下别为直线从晷心出与赤道线以直角相交则线上交表线中节气线相距最近左右复开展相距必等依前图论表既不竪在午正线而在天枢线上则癸乙过极圏径不以本线平行且以直角与甲乙表相交虽转以对各时线交表法必不变矣界地平经纬等线于日晷凡日晷有面与表为公而载线，其私也，一切定时分节气，列方位，种种各异，种种能互为用，而总入诸晷之面与表矣。即地平一晷，时刻节气线外，尚有可界于其上者，如地平经线【太阳方位线】相交于表位，自为直线，其相距必等。地平纬线【太阳高度】以表位为心，周皆为平行圏线，相距不等。十二舍线为南北平行，乃相距逺近不等之直线。太阳出没后，时线皆偏左或右，皆斜交赤道线，亦自为直线。七政时线左右向其中线，亦皆为直线。昼夜长短线，复仿节气线之曲形，而疎宻复异。东西诸方相距线与时线同，任用多寡，乃所以异，何也？地平经线即高弧，自顶至地平所为者，仪上移高弧，任取十度，或多或少，距限恒等，而依之视正对地平度，必为直线，故恒得仪心居间，此本线所以合于表位也。其地平纬线，必安高弧于定处，从下渐上，以相等之距限视仪心，则以目光线所射之面为界，初寛而后狭。若移高弧他处，亦依此为法，此以表位为心而图平行圏之所以然也。其制法惟量表大小，依之开比例尺于上，取各距度之切线，从表位带入面上为圏，即地平纬度限，则表景所至，必指太阳出地平高度，随将地平纬度平分，或五或十等距度【从午正线起】则表位所出直线皆过其分弧界，即地平经度已定，而表景所至必指太阳所向方位。论十二舍线，即立象半圏所为，本圏仪上皆合子午圏交地平为一防者，但若左右倒耳。故正东西从仪上视之至面，必为平行直线，其制法亦不异正向东西之偏晷也。论太阳出没已距时线，即过极圏依各赤纬度所为，起仪依本极高，将时盘午正与过极圏合，令之转东或西，以太阳本方春秋分出没为止，则即地平分赤道及二至圏皆不等，而赤道恒得六时至午正，夏至若过冬至。反不及今设去夷地平圏上，一时或二时至满半昼时，皆并过横线。至第六时，其线赤道上必交子午圏。夏至上未及，冬至上已过，即因其横线指太阳出没相离时若干，依之从浑仪心视晷面，必皆斜交赤道，而愈离愈斜。法必先于晷面界赤道线，就内或外加一节气，得昼时双数者，因以太阳至本节气出没之时定为初时，而余时渐依之列也。如北极高四十度，太阳至立夏昼长约十四时，而立冬止得十时，皆双数，则因立冬日出辰初，必得辰正为距日出第一时，而余时次之。立夏日没戌初，而戌正即日没后第一时，余时亦随次之。今赤道上辰初恒为日出后第一时，戌初为日没后之初时，即前所识节气线上诸时防与赤道上相应之时防，以直线连引之，得太阳出没后诸时线也。论七政时线，其向中线繇赤道等圏，则自午前及午后以至地平，皆平分各六时。盖夏至午前后弧大于冬至午前后之各弧，而赤道得居中，必与诸时线斜相交，是以其线自向中也。法先依最长之昼平分时盘，或六或十二分，遂于地平求各时相距度【皆依前二卷】带入夏至节气，必得其平分午正左右各六时也。然后将赤道与夏至相应之时以直线连之，得左右皆同，皆与斜球斜交赤道。其昼长短线总繇赤道纬度任用疎或宻，故其理不异节气线制法亦同。若诸方相距东西线，皆子午圏所为，与时圏同，必以过两极圏取凖，与制地平晷线同法。以上晷面所得诸线依本容因之有异，必从其仪上所得圏视仪心至面止，俱依前法。如试于立晷，即地平与赤道为平行，故地平纬似节气线形，地平经皆上下平行逺疎，而近午时则宻，全仿赤极晷线。十二舍线皆出地平与子午线相交。太阳出没距时线如前，地平面同七政线亦出地平交子午线之防昼。夜长短亦如节气，线诸方相距东西线，亦与正时线同制法，各随本类，全载日晷本欵，此不复详。

地球用法地球以圆形仿地之本体，又以旋动反其性情者，总欲因各处向顶之自然也。盖地居万物之中心，随处向天，即如圆圏中心出直线，无一线不正向其界者，然乃制之为球，反若偏居【在地面故】距天此近彼远【俱以子午圏求天顶故】必宜活动以随处能移至顶与天相近而从之向顶可也。故安球必先取平，以合于地平，使子午圏南北得正，而因以诸方向得本所焉。后令球前后起，或左右转，务以本处至中顶，乃得向天之势。有以二处相提而论，或经纬皆异者，或经同而纬异者，或求二处相距之里及所向之位，纬同而经异者，总于本球得明矣。先论其经纬皆异者，法任令一处居顶，而从此下高弧至地平，使之南北游移以正交其彼处为度，乃识交度与顶之中弧化为里，则得二处直相距之里数。又复识本高弧交地平度，因以得彼处较前处所居之方位。假如顺天府北极出地四十度，令球极起四十度，随转球使顺天府至子午圈，即以之居顶，乃依之安高弧过云南，则自顶至交防约二十二度，即算得六千里【依二百七十里一度算】而高弧至地平则从正南去西五十二度，即西南第四向位也【各向详下文】又使高弧过星宿海，得自顶至本海之中弧为一十八度，化得四千八百余里，而高弧至地平乃距正南六十二度，则因本海较顺天府在西南第三向位矣。若经同而纬异，即先移其处同居子午圏下，以本圏上度识二处各距赤道若干度，以之相减，乃得其相距度，因以化为里。如顺天府与南昌府约在同经，试于子午圏上得南昌北距赤道二十八度，顺天距四十度，相差十二度，化得三千六百余里。设一处在赤道内，一处在赤道外，各以所得数相加，即其相距度，乃因以化为里。若纬同而经异，即先各以其处移至子午圏下，从莺岛圏线起至子午圏下止，赤道上算各经度，以之相减，即得二处经度差。但距赤道内外逺近者，依赤道平行小圈，似不能如前法求里数。盖小圏所应一度之里，较本赤道度相应者不等，因而度小里数亦应少。今惟于球上用高弧，乃有一简即得者，何也？以一处居顶，安高弧使从地处过，则止视高弧上交防与顶之间弧，即其相距度。因复算得里数如前。假如大西之极西地，得北极高四十度，与顺天府同纬，因属距赤道四十度之平行小圏，论其本经度应差一百三十度，依度求里，亦应距三万五千一百有奇。今止以高弧为主，则二处直相距约九十度，算得为二万四千三百里，而相应之向位，且亦不在正东西焉。使以顺天府居顶，极西地必北去正西五十余里，入从西第五方位；使以极西地居顶，顺天府亦必北去正东五十余度，以入东第五方位。凡此皆地为圆形而更得斜容故也。

任以一处依经纬度安于球地球以东西为经，南北为纬，与天球不异。但求纬甚易，惟一测其极出地高，即得其顶距赤道度，而纬定矣。若经度，必以其所先定处为界，依之东去，加度至某处止，乃较前所得距度，是其本经度也。如测纬，依测北极诸法，即以所得极高度于子午圏上，从赤道徃极数至本度，随识之球上，乃得纬圏应过之界焉。测经一法，以月食为凖，因先知某处月食初亏、食甚等时分秒，今复得他处所测分秒，以之相较，必得二处相距之时，乃化为度。盖前处居西，所得差度加前经度；前处居东，所得差度减于前经度，乃因得本处之经度。次于本球赤道上，从前处查得其度，而于本度左或右，即以距弧所至之处，复移至子午圏，则本圏交前纬圏之防，即某处在地面方位也。第月食不常遇，更有一法，止须测太隂在黄道度，并识其临测之时刻，而复考他处所载太隂细行【务求极凖者】应于何时至所测度分，则较二时所距化为度，如前加减，乃复得二处距经度。然太隂每多视差，必候其在冬夏至之时，于正过子午线上测之，乃可免视差也。又或以其角依上下垂线取凖，盖两角居一线上，则月体正在黄平象限，全无时差；否则上角偏东，即未及；上角偏西，即已过也。因之求时与度法同前。又一法可于行程中求之，于起程时以自鸣钟凖合天，任去一二日，复以他器测日考时得之，与钟正合，则较前处必南北相距，东西犹同；若不合，即以所差时加减之，乃得二处东西相距之时，而钟必求其分毫之不爽者，始克有济。

求海中舟道漂海者依指南针行，此定法也。总分针盘为三十二向，如正南北东西，乃四正向；如东南、东北、西南、西北，乃四角向。又有在正与角之中各三向，各相距一十一度一十五分，而各向线乃其过顶及交地平之大圏也。临行时，其道有三等，皆依盘上向线引舟，而实有与盘所载直线异同者。盖正南北行，则依针线所引之道与所指子午圏同；正东西在赤道下行，则以东西线所引之道与所指过顶之赤道圏同。若正东西在赤道内外行者，虽依东西线引舟，而其实所行之道与赤道为平行，与线所指之圏则不同【线指过顶交地平大圏，因至地平并交赤道与之斜行，乃舟离去二界皆距赤道等，而路以直角交中子午圏，必与赤道平行】若西南、西北、东南、东北行，虽依针盘所分正角中诸线引舟，而其实所引之舟与所行之道异，盖所行之道非大圏，亦非平行圏，且亦非圆圏线。何者？大圏因过天顶斜交子午圏，则所交子午圏之角不等，必渐逺得角渐大；而平行圏皆以直角交，乃舟道之交子午者为等角，随处方向同，故自与大小等圏不同也。今舟行正南北或正东西赤道下，即未尝离子午或赤道，因而皆为大圏，则须以度加减之，乃可得其路程。即正东西与赤道为平行，亦不离此小圏，而以所去度化为赤道度【平行圏度大小不等】复以加减求之，亦可得。惟斜行推路甚烦，故或以经纬推距度及方向，或以经及方向推距与纬，又或以纬与距度推经及方位，或以方向及距推经纬。必先知总方所引【西南、西北、东南、东北全圏四分之一】及原界之纬度所开，乃依本球求得，此简法也。

以经纬推距度及方向法于子午圏上识开舟时二界【繇此界以至彼界故名二界】相距之纬，随于球上任用一方向线以交子午圏于前纬为度，因以得二界相距之经，乃转球令之东或西【依引舟总方是】视本方向线能复交前纬防，则其线必为舟所应随之线，否则另试一方向线，务以得交如前法。假如利未亚洲之西狮山距莺岛东一十五度二十分，距赤道北七度三十分，设于此处开舟引之至依勒纳岛，乃更距东九度一十分，距赤道南一十五度三十分，试转球以东南之偏南中线交子午圏距北七度三十分，复转球西【因去界在东故】过赤道九度一十分【二界经度差是】则得本线距赤道南一十五度三十分交子午圏，乃依针盘本线引舟至依勒纳岛也。又一法，用规器于球上量二界之距，必本则正合方向线在二界纬圏上，即本线必为引舟之线矣。假如取琼州府与小琉球之距，因琼州府距赤道北一十八度，小琉球距赤道北二十二度，必求方向线于十八及二十二度各纬圏线上，得在东南之偏东中线，依之从琼州府去小琉球必正道也。向线定矣，因求二处相距之至法，用规器于里表上取相应半度之数【为一百三十五里，愈少取愈凖】依二处纬圏中之向线量之，得数与一百三十五相乗，因得总里数，或用后表更凖。初行指一总方向线之数，次三行指大向度分秒所应各向线之纬度，如自琼州府至小琉球其路为东北之偏东中者，应从正八百二十一里，为此二处之总路，余仿此。

以经及方向求距与纬法将球本向线至子午圏与开舟处之纬相交，复转球令其经度差过子午圏【东西必繇彼界之距】亦视其向线在何度复交子午圏，即是舟所至界之纬。设从依勒纳岛舟行西北之偏西中向，相距经约二十四度，因使本向线交子午圏，得距赤道南一十五度三十分【本岛纬是】随转之东行至二十四度止，得原向线交子午圏为距赤道南五度三十分，即舟所至界之纬，而其距前界之里数，亦可依前法推定矣。

以纬与距度推经及方向法依前小表自显于球如从利未亚洲白山【最西边】徃西北行其所应止之纬为距赤道北三十度三十分相去四千八百六十余里乃白山在赤道北二十度三十分则纬差十度以所应里总数推一度应里四百八十六以二百七十除之余一度四十八分为应一纬度之距查表得第五向线即西北偏西左向线为舟行之道耳方向已定随查球上本向线交所至界纬圏防乃自本防至前界中赤道弧即得二处经度差以距及方向推经纬法畧同前，假如从大浪山开舟，繇西北之偏北中向行二千九百二十五里，乃先求所止界之纬，因本向为去正北第二线，则此纬一度之距应平度一度零五分，得里数二百九十二有半，故总行之里数得十度为三十五度所减【大浪山在赤道南三十五度故】余二十五度即舟行所止之纬，因求经度如前。

大小圏度相应表大小圏皆以三百六十平分为度，但各圏不等，必随其圏之大小为则。又小圏距中大圏愈逺，得度愈狭，故必依南北纬算表乃可初行。载诸纬度，次二行载诸纬过小圏所应一度之分秒。因而纬逺得分秒渐少，其所量小度亦更小，以至近极之一小度，得对大圏度之一分耳。

用表法，或以里数推经度，或以经度反求里数。如从顺天府一直东去至鸭緑江，为二千二百里；或一直西去至宁夏，其里等。盖东西路皆与赤道平行，相距俱四十度。因表中查四十度之纬，得小圏一度为大圏之四十五分五十八秒，应里数二百零七里，为二千二百所除，得二处各距顺天府十度三十七分。以之较顺天府总经度，东加西减，即得二处各经度。若以经度求里数法，于球上子午圏对二处之纬，得同度，即转球识二处赤道上距，即经度也。经已定，随用表中相应之纬分秒，以推彼此相距之里。如成都府与杭州府，皆距赤道北三十度，试以杭州居子午圏，渐转球使成都亦居子午圏，得赤道中弧约一十五度。今二纬各三十度，应五十一分五十七秒，乃以此数与十五度相乗，得十五小度之分秒，而以一平度相应之里求比，得二处直相距之里为三千五百六里有竒，凡南北小圏俱仿此。