新法算书卷九

新法算书卷九

钦定四库全书新法算书卷十明徐光启等撰《大测》卷二表法篇第四既得前六宗，率更用三要法作表。要法一前后两▯，其能等于半径【图説系法俱见本篇总论第十二条】要法二有各弧之前后两▯，求倍本弧之正▯。如上，甲戊弧三十五度，其正▯为戊己，得五七三五七六四，其余▯即乙己，得八一九一五二○。今以此二▯求倍甲戊而为甲丁弧之正▯，其法以乙戊半径千万为第一率，以戊己正▯为第二率，以乙壬余▯为第三率，即得壬庚第四率与辛癸等，为四六九八，四六二倍之，得丁癸为九三九六九二四，其弧甲丁七十度。论曰：乙戊己与乙壬甲两三角形比例等，则乙己与乙壬等，而戊己与甲壬亦等。乙己与乙壬等，故乙壬为余▯也。而乙壬庚、乙戊己两形之比例等，故第四率为壬庚。壬庚与辛癸同为直角形之邉故等。又丁壬戊、戊壬甲同为直角，则甲戊、戊丁两弧等，甲壬、壬丁两▯亦等，而丁辛与壬庚亦等，故倍辛癸得丁癸也。又丁辛壬、壬庚甲两形之三邉俱等，依句股法得甲庚邉倍之为甲癸，以减半径得癸乙为余▯要法三：各弧之全▯上方，与其正半▯上，偕其矢上两方幷等。

句股术也如上，甲丁弧之正▯为丁辛，其矢为甲辛。此两线上方幷与甲丁上方等。系法有一弧之正▯及其余▯而求其半弧之正弦。如上甲丁弧，其正▯为丁辛，余▯为乙辛，而求甲戊弧之甲己半▯。其法于甲乙半径减乙辛余▯，得甲辛矢，其上方偕丁辛半▯上方，并与甲丁通▯上方等，开方得甲丁线半之。得甲己为甲戊弧之正▯其数如上。甲丁弧三十度，其半▯丁辛为五○○○○○○。乙辛余▯为八六六○二五四，以减全半径，得甲辛矢一三三九七四六。丁辛上方为二五○○○○○○○○○○○○，甲辛上方为一七九四九一九三四四五一六，并之得二六七九四九一九三四四五一六，开方得甲丁线五一七六三六○，即甲丁弧三十度之▯也。半之为甲己半▯得二五八八一九○，其弧十五度。用前三要法，即大测表，大畧可作。又有简法二题，其用甚便，但非恒有。简法一，两正▯之较与六十度左右距等弧之正▯等【见本卷第二篇】解曰：甲乙丙象限内，有丙己小弧，丙己戊丁大弧，丙戊弧为六十度，而戊己、戊丁两弧等，其前两正▯一为己辛，一为丁庚，其较丁癸题言，丁癸较与己壬、壬丁两正▯各等。论曰：试作一己子线，则丁己子成三邉等角形。何也？此形中有子丁壬、壬己子两三角形。此两角形等，又何也？子壬同腰，而丁壬、壬己两腰等，则丁壬、己壬两直角亦等，而丁子、子己两底亦等，子丁己子己丁两角亦等。又丙戊弧既六十度，其余戊乙弧必三十度，而乙甲戊角为三十度。角甲乙庚丁既平行，甲戊线截二线于子，即内外角等，而丁子戊角亦三十度，戊子己角亦三十度，是丁子己为六十度角也。丁与全己全子三角既等两直角【一之三十二】则共为一百八十度，于中减全子角六十度，则丁己两全角百二十度，而此两角既等，即各得六十度，则此形之三角三边俱等。夫丁己己子两线等，则己癸垂线所分之丁癸子癸两直角亦等，而己癸同腰，则丁癸与癸子必等。丁癸为丁子之半，丁壬为丁己之半，全线等则所分必等，是丁癸与丁壬等，与壬己亦等。系题两弧各有其正半▯，两半▯至弧之防，在六十度之左右，而距度防等，则前两正半▯之较，即后两半▯。如图，丙己戊弧六十度，丙己弧五十度，己戊弧十度，丙己之正半▯己辛先得七千六百六十，丙丁弧七十度，丁戊弧亦十度，丙丁弧之正半▯为丁庚先得九千三百九十六。今求丁戊弧之半▯，其法以己辛、丁庚两半▯相减，得丁癸较一千七百三十六，即丁戊弧十度之丁壬半▯【此数半径设一万】次系有六十度左右相离弧之正▯一率，又有其原正▯一率，而求其相对之彼正▯，其法有二：一以大求小，一以小求大。以大求小者，用大弧之正▯与相离弧之正▯相减，其较为小弧之正▯【余则称余，倒则称倒】以小求大者，用相离弧之半▯加小弧之半▯，即大弧之半▯。如上，丁壬离弧之正▯即己壬与丁癸较等，为一千七百三十六，丁庚大▯为九千三百九十六，相减得癸庚七千六六○，即己丙弧之己辛小▯反之丁癸较为一千七百三十六【即丁壬离▯】以加于癸庚【即辛己小▯】七千六百六十，得丁庚大▯九千三百九十六。用此法于象限内，先得半▯六十率，用加减法，即得其余三十率。简法二有两弧不等之各正▯又有其各余▯而求两弧相加、相减弧之各正▯其法有二：一相加，一相减。相加者，以前弧之正▯乘后弧之余弦，以后弧之正▯乘前弧之余▯各得数并之为实，以半径为法而一，得两弧相加为总弧之正▯相减者，亦如前法互乘得各数相减，余为实，以半径为法，而一为两弧相减弧之正▯如上甲乙，前弧二十度；乙丙后弧十。五度总三十五度，其差五度。甲乙弧之半▯为三、四二○二○一，其余弧甲丁之半▯为九三九六九二六，乙丙弧之半▯为二五八八一九○，其余弧乙丁之半▯为九六五九二五八。以甲乙半▯与丙丁余▯之半乘，得三三○三六六○三八七○八五八。以乙丙半▯与甲丁余▯乘，得二四三三二一○二九九○五七四○。以相加得五七三五七六三【以下满半收为一，不满去之】三七七六五九八。以半径为法而一，得五七三五七六三，即三十五度弧之半▯。若以相减，则余八七一五五七三九六五一一八。以半径为法而一，得八七一五五七，即○五度弧之半▯。此题多罗某所用全▯，故説中云半▯，而图与数皆全▯。然全与全、半与半比例等，则亦未有异也。有前六宗率，为资；有后三要法，为具【资为材料，具如器械】即可作大测全表。如用前法求得十二度弧之正半▯率，而求其相通之他率。

弧　　　度　分　　　　用法得半▯数正弧　　一二　　　　　　　　二○七九一一七【半之】○六，一○四五二八五。【又半之】○三，五二三三六○。【又半之】○一三○，二六一七六九。【又半之】○○四五一三○八九六其余弧八四【六度之余】第一九九四五二一九八七【三度之余】九九八六二九五八八三○【一度半之余】九九九六五七三八九一五【○度四十五分之余】九九九九一四三弧　　度　分　　　　　用法得正▯数【半其余八十四度】四二，六六九一三○六【半之】二一，三五八三六七九。【又半之】十○三○，一八二二三五五。【又半之】○五一五，九一五○一六。【半其余八十七度】四三三○，六八八三五四六。【又半之】二一四五，三七○五五七四。【半其余八八三○】四十四，十五，六九七七九○五。又用前七率之余弧，而求其正▯。四八【四十二之余】第一七四三一四四八六九【二十一之余】九三三五八○四七九三○【十度半之余】九八二二五四九八四四五【五度十五分之余】九九五八○四九四六三○【四十三度半之余】七二五三七四四六八一五【二十一四十五分余】九二八八○九六四五四五【四十四十五分之余】七一六三○一九又半前七率而求其正▯二四【四十八之半】四○六七三六六。

弧　　度　分　　　　用法得正▯数三四三○【六十九之半】五六六四○六二一七一五【三十四三十分之半】二九六五四一六三九四五【七十九三十分之半】六三九四三九○二三一五【四十六三十分之半】三九四七四三九。又用前五率之余弧，而求其半▯六六【二十四之余】第一九一三五四五五五五三○【三十四三十分之余】八二四一二六二七二四五【十七度十五分之余】九五五○一九九五○一五【三十九四十五分余】七六八八四一八六六四五【二十三度十五分余】九一八七九一二又半前五率而求其正▯三三【六十六之半】五四四六三九○一六三○【三十三之半】二八四○一五三○八一五【一十六三十分之半】一四三四九二六二七四五【五十五三十分之半】四六五六一四五。又用前四率之余弧，而求其正▯五七【三十三之余】第一，八三八六七○六。

弧　　度　分　　　用法得正▯数七三三○【十六度三十分之余】第一九五八八一九七八一四五【八度十五分之余】九八九六五一四六二一五【二十七四十五分余】八八四九八七六。

又半前四率而求其正▯二八三○【五十七度之半】四七七一五八八一四一五【二十八三十分之半】二四六一五三三三六四五【七十三三十分之半】五九八三二四六。

又用前三率之余而求其正▯六一三○【二十八度三十分余】第一八七八八一一一七五四五【十四度十五分之余】九六九二三○九五三一五【三十六四十五分余】八○一二五三八。又半前六十一度三十分而求其正▯三○四五　　　　　　五一一二九三一又用前三十○度四十五分之余而求其正▯五九一五，第一八五九四○六四。已上皆十二度所生之率，再用其余弧七十八度推之，亦如前法。又十二度之弧为前六宗率之十五邉形也，其余五形如三边、四邉、五邉、六边、十邉形，亦如前法作此。既毕，即大测表之大段全具矣。何者？首得者四十五分，其次为一度三十分，又次为二度一十五分，如此常越四十五分而得一率，乃至九十度皆然。所少者其中之各第一以至四十四分也。今欲求初度一分以至四十五分，如何？其法以四十五分弧之半▯一三○八九六，用第二、第三法半之，得二十二分三十秒之弧，其半▯为六五四四九。又半前弧得一十一分一十五秒之弧，其半▯为三二七二四。半夫二十二分三十秒之前弧倍于一十一分十五秒之后弧，而前半▯亦倍于后半▯，盖繇初度之▯与弧切近，畧似相合为一线故也。则用同比例法【即三率法】以二十二分三十秒之弧为第一率，以其半▯六五四四九为第二率，设十分之弧为第三率，而得第四率为二九○八八。再用此法得一分之弧为二九○九弱。既得一分，即用前法推之，可至一十五分。此外更用前三要法推之，以至九十度。

其求切线皆用三率法以余半▯为第一率，以半▯为第二率，以半径为第三率，而得第四切线。如三十度之弧，其余半▯八六六○二五四为第一率，其半▯五○○○○○○为第二率，半径一○○○○○○○为第三。率则得第四率，五七七三五○二。

其求割线亦用三率法以余半▯为第一率，半径为第二率，又为第三率，而得割线第四率。如前，戊乙为三十度之弧，其余半▯甲丙八六六○二五四为一率，半径甲戊一○○○○○○○为二率，又以半径甲乙为第三率，而得甲丁一一五四七○○五为三十度弧之割线。其求割线之约法，不用三率，而用加减法。如上，乙己弧二十度，其切线为乙戊，余。弧为己丙七十度半，之得己丁三十五。度即截乙庚弧与己丁等，次作乙辛切。线得数以加乙，戊切线即两切线并，为戊乙辛切线与甲戊割线等。其求矢法，以余半▯减半径，得小矢。如丙丁弧五十度，余弧甲丁四十度，其余半▯丁戊即己乙为六四二七八七六，以减乙丙千万，得己丙矢。已上所述皆逺西法也。彼自度以下逓析为六十，今中厯递用百析为便，故须会通。前表为百分之表，其会通法：如西六十分即中之百分，半之三十分即五十分，又半之十五分即二十五分，以五为法。西三分即中五分，次用倍法：六分即十分，九分即十五分，十二分即二十分，如是以至六十。【三六九十二十五十八二十一二十四二十七三十五十十五二十二十五三十三十五四十四十五五十】【三三三六三九四二四五四八五一五四五七六十五五六十六五七十七五八十八五九十九五百】通表法，书各度之四种割圆线，中西法皆同，所不同者分也。其分数，书五分用其三分之率，书十分用其六分之率，如是逓至于百。所阙者，每二率相距少其间四率耳，则用加减法求之。如二十四度○三分，即中五分也。其小▯数【小▯者，十万为半径也】四○七五三。又二十四度○六分，即中十分也。其小半▯四○八三三。其差八十五分之得十六为一差，以加于前小半▯，即得四○七六九为中厯二十四度六分之半▯。再加一差得四○七八五为七分之半▯，三加得四○八○一为八分之半▯，四加得四○八一七为九分之半▯，五加得四○八三三为十分之半▯，合前率矣。如是逓加之，得六十与百分相通之全表。西法每二率各有差，其差大抵半度而一更也。若差数有畸零不尽者，如西表二十四度二十七分之半▯为四一三九○，又二十四度三十分之半▯为四一四六九，其差得七十九五分之得十五又五分之四为一差，通之则从中表二十四度四十五分首加一差。二十四度四十五分，四一三九○。

【差法】一五　五之四四十六分【加一差】四一四○五，五之四四十七分【加二差】四一四二一，五之三四十八分【加三差】四一四三七，五之二四十九分【加四差】四一四五三，五之一五十○分【加五差】四一四六九。如上，有畸零者，满半收为一，不满去之。

考表法。作表未必无误，其考之之法。如表书七十七度一十八分，其切线为四四三七三四九九，此率如属可疑，则以前后各二率考之。

表用篇第五表用一　有弧数求其正▯如三十七度五十四分之弧，求其正▯查本度本分表，得六一四二八五三。又如三十七度五十四分四十六秒，求其半▯，查本度本分之半▯为六一四二八五三，又取次率五十五分之半▯为六一四五一四八，相减得差二二九五【若表上有差率，即取本差】此差以当六十秒，用三率法，以六十秒为第一率，以二二九五差为二率，以四十六秒为三率，而求四率，得一七五九，以加所取之前半▯六一四二八五三，共得六一四四六一二，即所求。

系凡求切线割线同上法次系有正弧，求余▯视本弧同位之余度分，向正弧表上取其正▯如求三十度之余▯，视正弧表上与同位者为余▯。六十度即向正弧六十度取其▯八六六○二五四，即三十度之余▯【表上逆列同位者为五十九度六十分，而此言六十度，盖并其六十分为六十度。其逆列六十度者，则是六十一度。何者，凡所书弧分皆所书弧度之算外分故也】又如求五十度○分之余▯，本表逆列同位者为三十九度六十分，即于正▯表上简三十九度六十分之▯。

得六四二七八七六即所求三系测三角形，欲得见弧【见弧者，有己得之弧而求其▯也；隠弧者，有己得之▯而求其弧也。凡己得者称见，未得称隠。诸线诸角之属，皆仿此】之各线，查表之本度分，直取之，则各线咸在也。如弧三十度，求其割圆各线，即查表之三十度初分，又查其同位之六十度，所得如左：三十度【初分】正▯五○○○○○○切线　　五七七三五○三割线　　一一五四七○○五余【五十九度六十分】▯八六六○三五四。

切线　　一七三二○五○八割线　　二○○○○○○○四系有钝角，求其各线。如钝角一百四十二度六分，其正▯则以一百四十二度六分减半周，余三十七度五十四分，查表求其正▯，得六一四三八五三。如上，丙丁正▯当丙乙小弧，亦当丙戊大弧，故当丙甲丁鋭角，亦当丙甲戊钝角。何者？甲上鋭钝二角，原当两直角，而表上无钝角之弧与其正▯故减钝角于百八十度，得鋭角三十七度五十四分，其半▯丙丁，以当丙戊大弧，即以当大弧之钝角也表用二　有正▯求其弧与前题相反，如有正▯八八八八八三九，欲求其弧，查表上正▯格得此数，即得本度为六十二，本分为四十四也。又如正▯五七六五八三四求弧查表无此数即取其近而畧小者得三十五度十二分之▯为五七六四三二三与见▯相减余一五一一又取其近而畧大者得五七六六七○○与前小▯相减余二三七七以此大差当六十秒用三率法以二三七七大差为第一率以六十秒为第二率以一五一一小差为第三率而得第四率为三十五度十二分三十秒即所求他各线求▯俱仿此表用三　有弧求其通▯如七十五度四十八分之弧，求通▯其法半之，得三十七度五十四分，求其正▯得六一四二八五，二倍之，得一二二八五七○四，即所求。如甲乙弧七十五度四十八分半之，为乙戊弧。求得乙丁正▯倍之，即乙丁甲通▯也。因通▯无表，故用半弧正▯倍之，即是他准此。

表用四　有弧求其大小矢如乙丁弧三十七度五十四分，求两矢。查表截矢数，得乙丙小矢为二一○九一五九，以减全径二○○○○○○○，得大矢一七八。九○八四，一如表无小矢，即求见弧之余▯，得七八九○八四一，以减半径，得小矢。

测平篇第六测平者，测平面上三角形也。凡此形皆有六率，曰三边，曰三角。角无测法，必以割圆线测之。其比例甚多，今用四法以为根本。依此四根法，可用大测表测一切平面三角形，亦执简御繁之术也。凡测三角形，皆用三率法【即同比例】三率法又以相似两三角形【几何六卷四】为宗，下文详之。根法一，各三角形之两边与其各对角两正▯比例等。一云：右边与左边，若左角之▯与右角之▯。如上甲乙丙平面三角形，其甲丙两为鋭角，即以甲为心，甲乙为半径作乙戊弧。次作乙己垂线，即乙戊弧之正▯，亦即甲角之正▯也。又以甲乙为度，从丙截取丙庚，从丙心庚界作庚辛弧，又作垂线庚丁，即庚辛弧与丙角之正▯。也题言：乙角之甲乙右边，与乙丙左邉；若左角丙之庚丁正▯，与右角甲之乙己正▯。论曰：乙丙己三角形，有乙己庚丁两平行线，即乙丙与乙己，若庚丙与庚丁。而丙庚原与甲乙等，即乙丙与乙己，若甲乙与庚丁，更之，即甲乙与乙丙，若庚丁与乙己。如上甲乙丙形，乙为直角，有丙乙丁戊两平行线，即甲丙与丙乙，若甲丁与丁戊。而乙丙与甲丁等，即甲丙与丙乙，若丙乙与丁戊，反之，则丙角之丙乙右边与丙甲左边，若左角。甲之丁戊▯与右角乙之丙乙▯。如上甲乙丙形，乙为钝角，其正▯丙壬，而甲戊线与乙丙等，甲角之正▯为戊己。题言丙角之甲丙右边与丙乙左边，若左角乙之丙壬▯与右角甲之戊己▯，何也？试于形外引甲乙至丁作丙丁线与丙乙等，即丁角与乙鋭角等。依首条，甲丙与丙丁若丙壬与戊己，即甲丙与丙乙亦若丙壬与戊己。总论之，各三角形各两边之比例，与两对角之两正▯比例等者，何也？试于形外作切圏，则三边为三▯而本形之各边皆为各对角之通▯，即乙丙邉与甲乙邉，若甲角之▯与丙角之▯也。当已即是，岂止同比例而已乎？夫全与全，半与半，比例等，则各半▯与各通▯之比例亦等。此题为用对角根本。根法二，各三角形，以大角为心，小边为半径，作圏，而截两边，各为圏内外两线，即底线与两腰并，若腰之外分与底之外分。如上甲乙丙形，其小邉甲丙，其底乙丙，以甲为心，甲丙为半径作圏，截底于戊，截大腰于庚。题言乙丙底与乙甲、甲丙两腰并，若腰外分乙庚与底外分乙戊。论曰：试作乙己，引出线，即甲己与甲丙等，而乙己与两腰并等。乙己、乙庚矩内形与乙丙、乙戊矩内形两容等【几何三卷三五】即两形邉为互相视之边，而乙己与乙丙若乙戊与乙庚。既得乙戊底外分以减全底，得戊丙，半之得垂线所至为丁丙。

此题为用垂线根本根法三，有两角并之数，又有其各正▯之比例，求两分角之数。如上乙甲丙角有其弧乙辛丙之数，其两分之大角为乙甲壬，小角为壬甲丙，未得数，但知大角正▯乙丁，小角正▯丙戊之比例，亦未得数，而求两分角之数。其法以乙辛丙弧两平分于辛，作甲辛线，乙甲辛、辛甲丙两角等，而辛甲壬角为半弧与小弧之差，又为大弧与小弧之半差；次截辛庚弧与辛戊等，作甲庚线，即庚甲壬角为大小两弧之差。夫乙丙者，总角之▯乙丑平分弧之正▯而己辛为乙辛半弧之切线，辛癸为辛丙半弧之切线。此二线等，而辛壬、辛庚各为半差弧之切线，亦等。又乙丁子、子丙戊两形为两正▯上三角形，此两形之丁与戊皆直角，又同底，即两正▯之对角为子上两交角，亦等【几何一卷十题】而丁乙子、子丙戊两角亦等【几何一卷三二】则两形为相似形，而乙丁正▯与丙戊正▯若乙子与子丙【几何六卷四】先既有乙丁丙戊两正▯之比例，即得乙子与子丙之比例。而又得乙子与子丙之较为子寅。夫乙丙己癸两线，同为甲辛半径上之垂线，即平行。甲乙丙、甲己癸两形之各角等，即为相似之形【六卷四】而两形内所分之各两三角形，如甲庚癸、甲寅丙之类，俱相似。即以两线之并数乙丙为第一率，以两线之差数子寅为第二率，以两半弧之两切线己癸为第三率，则得两差弧之切线庚壬为第四率矣。而此比例稍繁，别有简者，则半之曰：丙丑与子丑若癸辛与壬辛也。有更简者，则曰：乙丙与子寅若辛癸与辛壬也。今用第三法云：乙丙为两邉之并数，子寅其较数，辛癸为两角总数内半弧之切线，而辛壬为大小两角较弧之切线。既得辛壬切线，即得辛甲壬角，以加乙甲辛半角，即得乙甲壬大角；以减辛甲丙半角，即得壬甲丙小角。以数明之，乙甲丙角为四十度，所包大小两隠角为乙甲壬，壬甲丙，其两正▯乙丁，丙戊之比例为七与四，即乙子，子丙之比。例亦七与四而乙丙之总数如十一平分之于丑，即乙丑、丑丙各得五有半，而乙辛、辛丙两弧各二十度。又以大线七与半线相减，余一有半；以半线五有半与小线四相减，亦余一有半。又甲辛为半径，即辛丙二十度弧之切线，辛癸为三六三九七○二。即以丑丙五有半为第一率，以辛癸切线三六三九七○二为第二率，以子丑一有半为第三率，而得辛壬切线九九二六四六为第四率。既得第四率，即得辛壬所当辛甲壬角为五度四十○分八秒，以减辛丙二十度，余壬甲小角一十四度一十九分五十二秒，以加半弧乙辛，得乙甲壬大角二十五度四十○分八秒。

此题为用切线根本根法四，凡直角三边形之各邉皆能为半径。其一，以▯线为半径，作弧，即余两腰包直角者，各为其对角之正▯。如上，甲、乙、丙形，其乙、丙为对直角之▯线，以为半径，作丁丙弧，即甲丙小腰为对角乙之正▯甲乙大腰为对角丙之正▯其二，以大腰为半径，即小腰为小角之切线，而▯线为小角之割线如上，甲乙大腰为半径，即甲丙小腰为乙小角之切线，而乙丙为乙角之割线。其三，以小腰为半径，即大腰为大角之切线，而▯线为大角之割线。如上，甲丙小腰为半径，即甲乙大腰为丙大角之切线，而乙丙▯线为其割线。

此题为用割圆各线根本