钦定四库全书新法算书卷六十五明徐光启等撰交食厯指二

钦定四库全书新法算书卷六十五明徐光启等撰交食厯指二

日月本行图第一日居本圏，月居本轮，行度参差，因而有交食。因而毎食不同，此略图二曜本行，以明交食之原。月离图独言朔望者，交食时必在其本轮内圏之周也。

太阳本行图甲为地球，在天心，其大小之比例，难可计算。略言之，则地之与天，若尺土之与大地也。如图，外大圈为黄道，与地同心；内圏为太阳本天，其心在乙。乙之离地心，依第谷算为全数十万分之三千五百。八十四，约之为百分之三有半也。其最高，今时在鹑首宫六度，为丙。太阳右行，从辛过丙，一周天而复。于辛为三百六十五日二十三刻。三分四十八秒，是谓岁实。任躔某宫某度分，皆以地心甲为主。而地心所出直线至戊，黄道指为太阳之实行。其平行，则又以本圜之乙心为主。故人在地所测之实行，时速时迟。而太阳因最高在北，任分本圏，则北为大半。故北六宫之日数多于南六宫，几八日有竒也。依此见，求太阳之躔度，必用两法：一者定其平行，如随乙丁己直线窥之，从乙心见黄道上之己防；二者定其实行，如随甲丁戊窥之，乃从地心见黄道上之戊防。先得其平行，又以加减求实行，而平实之差为戊己弧，以甲丁乙三角形求之，即得也。其自丙过秋分至庚，两行之差必减平行而得实行；自庚过辛春分至丙，则加于平行而得实行。若用表，则从丙最高起算，或从庚最庳起算，至日体之本度为引数，以求加减之度。

太隂朔望本行图月离之术，依《歌白泥论》有本圜、有本轮、有次轮。本轮之心，依本圏之边，满一转；即次轮之心，依本轮之边，得两转。故朔望时，月体皆在次轮之最近，最近者近于本轮之心也。因是不用次轮，但以最近处为界，得圆圏。月离厯指谓为本轮之内圏，此可名朔望之小轮也。假如丙丁戊为太隂朔望时之本圏，则与地同心【因无差故设为同心】本轮为乙丙丁，其心在本圜之边，甲右距日得每日十二度一十一分，其最高在乙，最庳在己，月体则又居次之边。

左行自乙至丙而己而丁谓之引数最外有黄道为辛庚若从地心出直线上至黄道而次轮心正居此线之上则所指者为太隂之平行度分也又从地心出直线上至黄道而月体正居此线之上，则所指者为太隂实行度分也。凡月转或在高或在庳，正当一宫初度【乙也】或七宫初度【己也】则平行即是实行。过此必有两行之差，则以差数加减于平行度分，得其实行度分。又月在乙丙己半转，则以减得之；若在己丁乙半转，则以加得之。以在朔望，故平实行相距之极大差不过四度五十八分二十七秒【甲丙甲丁是也】过此为两▯之差，则更少，与交食无与，月离厯详之。若用不同心圏论，则并不用此本轮，其加减平行度分而得实行度分，理则一也。因日月以平实分本行，故平朔平望时，两体未必正相合正相对。凡实防之或先或后，日月各以其平行直线相遇而合为一直线，则是中防实防中防视防第二。测天约説言日月之行有隅照【相距三之一】有方照【相距四之一】有六合照【相距六之一】然悉无交食而独相防【朔也亦名合防】相对【望也亦名照防】则能有食故本篇所论者止于相防相对也抑防者总名也细言之有实防有中防有视防三者皆为推歩之原故言交食之术必先言相防相对言相防相对之理必从实防中防始实防中防以地心为主实防者，以地心所出直线上至黄道者为主，而日月五星两居此线之上，则实防也。即南北相距，非同一防，而总在此线正对之过黄极圏，亦为实防。葢过黄极圏者，过黄道之两极而交防于黄道，分黄道为四直角者也。则从旁视之，虽地心各出一线，南北异纬；从黄极视之，即见地心所出二线，东西同经。是南北正对如一线也，是故谓之实防。若月与五星各居其本轮之周，地心所出线上至黄道，而两本轮之心俱当此线之上，则为月与五星之中防。日无本轮，本行圏与地为不同心，两心所出则有两线。此两线者，若为平行线，而月本轮之心正居地心线上，则是日与月之中防也。葢实防既以地心线射太隂之体为主，则此地心线过小轮之心，谓之中防矣。若以不同心圏之平行线论之，因日月各有本圏，即本圏心皆与地心【即黄道心】有相距之度分，即日月循各本圈之周右行，所过黄道经度必时时有差【与地不同心故也】其从地心出直线过日月之体上至黄道，此所指者为日月之实行度分也。设从地心更出一平行直线，与本圏心所出直线偕平行而上至黄道，此所指者为日月之平行度分也。葢太阳心线与地心一线平行，太隂心线亦与地心一线平行，恒时多不相遇，至相遇时，两地心线合为一线，则是日月之中相防。若太阳实行之直线与太隂实行之直线合为一线，则是日月之实相防。合防、望防皆有中，有实，其理不异。先依小轮法作图，甲为地心，亦为黄道心，亦为太隂本圏心【太隂与地同心者为用本轮故葢本轮周即太隂圏心绕地心之周其理一也】乙为太阳本圏心【与地不同心】太阳在丁，太隂在戊，甲戊丁线直至黄道圏得辛，指日月实相防之度，如太阳在丁，太隂亦在甲辛直线上为庚，而此线至黄道圏得丙，即指日月实相望之度若太隂在癸与太阳不同一线之上乃过月本轮之心己而至黄道壬此直线所指则日月中相防之度也如月在庚从地心出平行线甲子与甲壬太阳平行为一线而至黄道子亦指日月中相望之度矣次依不同心圏法，如后图。黄道与太阳之本圏皆同前，独太隂无本轮，而易为本圏。其心与地心不同，在甲乃在丙此亦以日月并居一直线为实防如太阳在丁太隂在本圏之边戊地心所出甲戊丁线至辛则所指为实防而正对月体至黄道寅则所指为实望若中防中望则以平行线为主葢甲壬为地心所出直线，既偕太阳本圏心所出过日体之直线乙丁为平行线，又偕太隂本圏心所出过月体之直线丙庚为平行线，则是两偕行之直线合为一甲壬，而至黄道，故所指者为日月中相防之度也。其至相对之黄道上为癸，则所指者为日月中相望之度。设过此交防之时，太隂在丑，则月圏心出者为丙丑线，地心出者为甲己线，两线自偕为平行，而甲壬与乙丁自偕为平行，甲壬、甲己不得合为一线矣。故地心所出之两偕行线能合为一甲壬者，必指中交之度，为日月相防之共界也。

实防中防相距无定度日月本圏各与地不同心，故两圏心所出直线各与地心所出直线，虽恒为平行线，而又与地心所出直线，其相距广狭恒无定数。设日在本圏之最高，月在本圏之最庳，其实行所至，即平行所至，则中防即实防矣。或太阳在最庳，太隂在最高，或两最高、两最庳在黄道上同度，则中防、实防亦皆无距度也。惟日月去本圏之最高及最庳右行渐逺，则地心所出平行直线渐相去，至半圏周则甚相逺，而为实中两防之相距最大差。假如甲为太阳之最高，乙为太隂之最庳。若太阳在甲，太隂在乙，即两本圏心及地心所出直线上，至黄道皆合于甲乙线则实防无分于中防也若太阳至丙太隂至丁去最高各不甚逺则地心所出辛平行线距本圏心所出直线亦左右稍逺即中防亦稍远于实防矣又使太阳在戊太隂在己则三直线相距更逺，而实防中防相距亦更逺。此则以太阳之引数九宫二度，得戊辛弧二度三分一十五秒，应减以太隂之引数八宫二十八度，得辛庚弧四度五十八分二十七秒，应加。依法合之，得戊庚弧七度○一分四十二秒，为太阳太隂实防相距数。

实防中防互相随因有变易实防与中防多不同时，或中防在先，实防在后，或实防在先，中防在后。惟日月各居其本圏之最高或最庳，或一居最高，一居最庳，则中防不分于实防【因平行度乃正是寔行度】即不用加减度分。若彼此俱加于平行度，或俱减于平行度，而所加减之度分等，则中防亦不分于实防也【两均数相减若俱等无所减故】又依黄道右行论之，使中防之时太阳之实行在前，太隂之实行在后，则实防在前，中防必随而在后【月行速过中而得实防】若中防时太隂在前，太阳在后，则实防必后于中防也【实防之后月乃过中】若太阳与太隂或皆在本轮中转之半周【从最高至最庳】则两曜所得加减度，其一较狭者必在前也；或皆在本轮正转之半周【从过庳至最高】则两加减度，其一较广者必在前也。若其不同在最高庳之间，而各居一半周，则过最高者在前，过最庳者反在后矣。如图，太阳在本圏，太隂在次轮外圏为黄道，从地心出直线至黄道而过本轮心所指者，为日月两平行度之中防。葢地心所出日月两平行线合为一线也。若地心线从中防线之左右过日月两体而至黄道所指者为日月之实行度而两线相距之广即日月相距之度法应化为时刻分以加以减于中防乃得实防也又日月平行同在甲或在乙加减度不同类【一寔在前，一寔在后】则两率。并之得日月相距之度。若日月同在丙丁戊己加减度同类【或都在前或都在后】则两率相减之余为日月相距之度也。依本图论，日月在甲，则以太阳之加减度加于平行而得实行【在前故也】太隂则减之而得实行【在后故】其所差时刻则以加于中防得实防也【月过中而逐及于日故】日月在乙，其加减度则太阳用减【在后】太隂用加【在前】其时刻则相减以得实防也【既防之后月乃过中】若在丙，太隂之加减度大，太阳小，皆减之，其时刻则加之以得实防【月欲及日故】若在丁，太阳之加减度大，太隂小，亦皆减之，其时刻亦减之而得实防【月己过日故】若在戊，太隂之加减度大，太阳小，皆加之【皆过中故】其时刻则减之得实防【月己过日故】若在己，太隂之加减度小，太阳大，皆加之，其时亦加之得实防也【月欲及日故】总论之，行度在中防前即当加【甲日乙月戊己之日月】在中防后即当减【甲月乙日丙丁之日月】时刻，月实行在日后则当加【甲丙己是】月实行在日前则当减也【乙丁戊是】

推中防实防元法第三日月同居黄道，经度分秒不异，是为正相防。正相防者，实朔也。日月相距正得黄道半周，分秒不异，是为正相对。正相对者，实望也。其推歩之法，因二曜之实行度不同，其实行之变易又时时不同，故先以平行求得其中相防、中相对，而后渐得其实相防、实相对焉。苐中防之法，以纪首【甲子为纪首】以每年每日每时之平行度分推歩，易得耳。实防法必用几何术，中三角形弧▯切割诸线，非是则无从可得。故今交食厯中所列诸表，不过求中、求实两法，而求实甚难，不得不繁曲，不得不详密也。

求中防月行黄道，视日行甚速，其在后也，能逐及于日，其既及也，又超于日前，其在朔也，有时隔日光于在下，其在望也，有时失光于地景。求朔望法，先定太阳之平行度分，以求太隂距日之度分，若同居黄道经无距度分秒，则为朔，若相距正得半周，则为望。外此则中防在先，必减其己过之时刻而得中防，若中防在后，则加以不及之时刻而得中防。假如壬申年二月十六日癸丑日月相望，求太阳平行。其纪首为天啓四年甲子天正冬至后第一日子正时，太阳在九宫○度五十一分四十五秒。至本日癸丑午正时，得中积时为八年一百三十五日六时。用太阳平行度，每年一十一宫二十九度四十五分四十一秒，每日五十九分八秒二十微，每小时二分二十七秒五十一微，并得中积度为三千○一十一度三十八分四十七秒。加纪首前宫度，得总数满平周【三百六十度】去之余四十二度三十○分三十一秒，为本日午正时太阳躔大梁宫之平行度分。次如前法求同时太隂中积度分一百二十九度三十七分二十二秒四十微，每日一十二度一十一分二十六秒四十一微，为太隂自太阳平行度分。加纪首前十度一十七分三十六秒五十三微，并得二千六百九十九度七分二十四秒。满平周去之，余五宫二十九度七分二十四秒，为本日午正时月距太阳之经度分。以减半用为不及者，五十二分三十六秒。未得正望，求其时用不及度三十分二十八秒三十七微为一小时，其余得时四十三分三十三秒为正中望。算外得未初二刻一十三分三十三秒。

求引数凡日月在最高或最庳，其实行与平行无异，外此则不同行，而两行相距又无定数，故从最高右行指其平行所至黄道之弧为引数，因之以求太阳太隂两处所差加减度。若太隂则从其本轮之最高起算，左行为引数之弧也。苐须先定日月在中防时之平行度，如前太阳正午在大梁十二度三十分三十一秒，一小时又行二分二十七秒五十一微，尚未至中防，须行四分一十五秒【并小时】得中防时刻，以加前得数，其中防平行度在本宫一十二度三十四分四十六秒，其正相对为太隂平行度分，则在大火宫矣。若太阳平行度正合于最高，则无引数，亦无加减，过之即相减，不及则于平行度外加一平周【三百六十度也】而减最高余为引数。假如最高每年行四十五秒，从甲子至壬申年三月得六分一十七秒，以加于纪首之最高，得三宫○五度五十六分五十八秒，并得三宫○六度○三分一十五秒为太阳最高行度。因太阳平行度在二宫，不及加平周减之，得十宫○六度三十一分三十一秒为太阳中防时引数。同时依太隂每年之本行二宫二十八度四十三分八秒，每日行一十三度三分五十四秒，其中积得二千四百八十度五十九分五十三秒，加入纪首前六宫一十七度四十六分二十三秒，满平周去之，得五宫八度四十六分一十六秒为太隂壬申年三月中防时之引数也。

求实防法先求太阳加减度，依前所得最高及平行作图，外圏。

为黄道从春分向左计其平行度从地心出直线指之次从心又出一直线至最高度线上任取一防为太阳本圈心从太阳圏心又出直线与平行度之指线为平行线至黄道，更从黄道心【即地心】出，直线过太阳体之心，至黄道，指其实行度也。如图，外圏为黄道，其心甲出直线至丁，即前所推太阳平行在大梁十二度，又出直线至三宫六度，为当防时之最高行度。内圏为太阳本圏，其心乙出直线过太阳至己，更作甲丙直线引至戊，指太阳之实行度，即戊己弧爲加减度，应推丙角，用甲乙丙三角形如法求之。如图，引数之余弧为丁辛，或己辛五十三度二十八分二十九秒【止论角故异弧同度】即丙乙辛外角也。甲乙两心之差为全数十万分之三五八四，今以▯线求加减度，先依甲乙线作甲乙庚直角三边形，用句股开方求▯线其比例为甲丙线与甲庚丙角之正▯若甲庚线与甲丙庚角之正▯得一度三十六分五十五秒为太阳加减度若用切线则更省以全数加两心之差数得一○三五八四恒为第一率，又相减得九六四一六为第二率，引数之角随时不一，半之而求切线为第三率，如法求得第四率为切线，查其本度分以减半引数，余为加减度。若本图，则引数余弧之角半之为二十六度四十四分一十四秒，其切线五○三九○为三率，如法得第四率四六九○三为二十五度九分四十一秒之切线，以减半引数得一度三十六分三十三秒为太阳加减度也。次求太隂加减度，按西厯近世名家，先有歌白泥，后有第谷。从前所论防法，两家之説略同；至论太隂，则第谷之术更为精宻。今先言旧法，次言宻法。

旧法曰如图黄道内作同心圏从太阳平行度越半周而定太隂平行度之一从心出直线至此防必为本圏之过心线而指本轮之心次从本轮最高左旋查其引数又从黄道心作一直线，过太隂体两线所至黄道间，得一弧。此弧为太隂之加减度也【加减度即名均数】假如太隂平行度在大火宫正对太阳，其引数自戊左行至丙，未及半周，月体在丙，两直线并出甲，甲乙戊指平行度，甲丙己指实行度，戊己弧为所求加减度。其求之者，甲乙丙三角形也。若用句股法，则自丙至丁下垂线，开方求得甲丙▯，则甲丙线与甲丁丙角，若丙丁线与丁甲丙角也。如用切线，则甲乙全数十万，本轮之半径乙丙八六○○，相加得一○八六○○，相减得九一四○○，又半引数求其切线，如恒法即得均度之切线矣。以此推歩交食，未免微差，第谷新法更为详宻，鲜不合者。今诸列表悉用此术，故应説其义，指如下文。

宻求实防【第谷法】

月离厯指论太隂之本行故备晦朔▯望此説交防故图説止于朔望也太隂交防仅用三圏一为本天一为本轮一为次轮本天即本圏也，与地同心，负本轮之心，其半径当十万，则本轮之半径得五千八百。从最高左旋，负次轮之心。如次轮心从最高丁行至己，其自行度即表中所名引数，用以求加减度，加减度即均数也。若本轮在子或寅，则月体在庚，自行在初宫初度，或五宫末度，则无引数可计，亦无均度可求矣。若本轮在丑，则月体在丙，自行得三宫初度，为交防时之极大差。欲得此数，用甲乙丙三角形求之。甲乙线为全数，乙己与己丙相加得乙丙为八千七百。甲乙丙角系自行之象限，必为直角，依前法。

以切线求乙甲丙均度角必得四度五十八分有竒若自轮在卯为十宫月体在辛必用两三角形乃得均度其一为甲卯辛形所求均度为卯甲辛角形中特有，全数无从得角，宜先推卯己辛三角形。形有本轮之半径卯己，有次轮之半径己辛，有引数余弧之倍角卯己辛。如法推得卯辛线及己卯辛角，以减于引数，得其余弧之数为甲卯辛角，因此可求卯甲辛角为均度也。更论次轮之周，月体循而右旋，其半径仅得本轮半径之半，以较全数得十万之二千九百，两半径并得八千七百，为防时所用之数，以推最大均度。太隂在次轮，从最近庚起算，恒倍本【轮行】如丁己为本轮之一象限，而太隂行小轮从庚至丙得半周，是自行得半周，太隂行全周，故前言本轮在子在寅，月体至庚悉无加减数也。今依图求太隂均度，如前设得其自行五宫八度四十六分一十六秒，距太阳半周其经度在大火宫一十二度，则本轮在乙，从地心引直线为甲乙。全数从乙出，直线至自行之限丙。必与中最高线甲戊为平行线而定引数为庚丙，倍引数从最近右。旋得太隂在次轮，丁从乙至丁，引乙丁直线，则得乙丙丁三角形。其乙丙、丙丁两线为两小轮之半径，乙丙丁角为倍引数【辛壬丁是】之余角【丁辛弧是】即可求丙乙丁角与乙丁直线也。又甲乙丁三角形，欲求乙甲丁均度之角，以切线算之，宜先得己乙丁角，以偕全数及乙丁线，乃得其所包角矣。法见下文。如图，求丙乙丁角，倍引数【辛壬丁也】得三百一十七度三十二分三十二秒余【丁辛】四十二度二十七分二十八秒，为乙丙丁角，其余角【乙丁两角也】总而半之，得六十八度四十六分一十六秒，其切线得二五七四三○，为三率，两轮之半径相加得八七○○，为一率，相减余二九○○，为二率，算得第四率切线八五八一○，其弧四十度三十八分，以减前总余角之半数，得二十八度○八分一十六秒，为丙乙丁角也。次求乙丁线，则丙乙丁角之正▯【四七一六○】与丙丁【二九○○】若乙丙丁角之。正▯【六七五○五】与乙丁线算得四一二。九次以甲乙丁大三角形求均度，先。得己乙丙角【引数之余未满半周】以加丙乙丁。角得己乙丁角四十九度二十二分，其余角【甲丁两角】总而半之，得六十五度一十九分。查切线二一七五八二为三率，以乙丁线加全数共一○四一二九为一率，相减得九五八七一为二率，算得第四率切线二○○三二○，其弧六十三度二十八分一十七秒。以减前六十五度一十九分，余一度五十分四十三秒，为所求太隂均度，与列表合。今以两所得均度求实防时，查图视均度，或以加于平行度，或以减于平行度，即见太隂距对处若干，或过之，或不及，则以其相距之度分化为时刻，依前法或加或减于中防时刻，必近于实防时刻。如前推壬申三月月食，其防时太阳之平行在实行后，则以均度加于平行，得实行；太隂之平行在实行前，则以均度减实行。又以二实行相较，见太隂视正相对不及者三度二十七分三十八秒，化为二十七刻三分四十五秒，以加前中防算外，得实防在戌正二刻二分一十八秒。

复求实防时日月之两实行变动不居，非一圆形能尽其理。几何家欲径测径推，无法可得，故须先用平行以渐推其实行。顾又非一推可遽合也。盖初用之引数，其所指者中防之引数，非实防之引数，则其加减度所推实时，特近于实时，非正实时也。法宜更求中实防之间，日月自行度分，依加减时法，或加或减于前之平自行，乃得次引数。求其均度，复查二曜实相距度，化为时刻，或加或减于中防时刻，乃得正实时刻。若三推之终，所得时刻分秒不异于次得，即合天无疑矣。假如前得差二十七刻三分四十五秒，其间太阳复平行一十六分四十七秒，以加初平行，得一宫一十二度五十一分三十三秒，减其最高【最高不动，即用前数】得自行一十宫六度四十八分一十七秒，余弧【至满周】五十三度一十一分四十二秒，半之而求切线，得五○○七○，为三率，以全数加不同心差为一率，相减为二率，算得四率四六六○五，其弧一度三十六分三十四秒，为太阳次均度也。太隂中实防之距时间【即前二十七刻有竒】复平行三度二十七分二十八秒，以加前经度总，得经度七宫一十六度二分二十四秒，为本轮居本圏之处，而本轮此时间亦向右自行三度四十二分三十一秒，以加前自行，得次自行五宫一十二度二十八分四十七秒，即次引数也，为次轮心居本轮周之处，倍之得太隂居次轮周之度也。借前图，则乙、丙、丁角今为三十五度。二分二十六秒，余角【乙丁两角】总而半之。得七十二度二十八分四十七秒，其切线三一六七六八为三率，一二率。如前算得一○五五八八，其弧四十六度三十三分，以减前半弧七十二度二十八分四十七秒，得二十五度五十五分二十二秒，为丙乙丁角。次求乙丁线，则此角之正▯四三七一六为一率，丙丁半径为二率，乙丙丁角之正▯五七四一六为三率，算得三八○八为乙丁直线也。今求均度，以自行余之甲乙丙角并丙乙丁角为己乙丁角四十三度二十六分三十五秒，余者【甲丁两角】总而半之，得六十八度一十六分四十二秒为三率，第一及二为乙丁线，一加一减于全数【甲乙也】算得二三二五九六，求应减之度而得次均度一度三十二分三十三秒。又以太隂次均度加于太阳次均度，见太隂视正相对不及者三度○九分○七秒，化为时刻得二十四刻一十二分一十七秒，以加于中防算外，得实防在戌初三刻一十分五十秒。

推防时简法第四前依几何法用日月行度推防时者，论其所以然也。若恒时推歩，别用诸表，诸表虽从图出，其用之甚易，不烦，故名简法。然以此便初学耳，明理之家，正须从难处入，不宜恃此为足也。

列表法交防表从前图出者止均度二表【即加减度表】一为太阳均度一为太隂均度。论太阳如图甲丙乙丙两直线至黄道之相距弧为均度。用三角形法求甲丙乙角则与求丁戊弧不异，葢丁戊能代丁己繇甲。丙乙角能代丁甲己角【见几何一卷二十九题】但丁甲己非三角形，无从可得均度。故用甲乙丙，则恒有乙丙全数，有甲乙两心之相距【三五八四】又有自行之正或余角，如庚乙戊角，即周圈之上任所至，可以三角形推得，均度也。论太隂，如上图，独交防时。其本轮与地同心，则有本轮之加减。度最大者，为次轮之最逺，在最高，最庳之间，因月体至此，去本轮心最逺。故其二轮之半径必合为乙丙直线而指月体，其数八七○○。又有甲乙全数，有本轮上自行度丁戊，成甲乙丙三角形。依前法可推乙甲丙角之均度。外此则月居次轮最近或最逺之左右，从地心出直线指实行，即月体所居，无两半径合并之数，故所求均度非一三角形可得，须用两形求之。如图，月居丙，因在次轮之左，必得乙丙直线，乃生乙丙丁及甲乙丙两。三角形矣，求中防时，厯元后推，首朔。至二百年，每年可当厯元。法先定，崇。祯元年戊辰，天正冬至后第一日，子正时为根，而恒减通闰一十日，六十○刻一十一分一十二秒，遇闰年多减一日，不满数加朔防二十九日一十二时四十四分三秒，减之得次首朔。若用加法则以太隂年【十二朔防】三百五十四日八时四十八分三十八秒加所得之数，而减太阳年三百六十五日，遇闰年则三百六十六日，不满亦加朔防减之。厯元前总甲子亦于每甲子年定首朔表自六十六甲子【天啓四年】逆遡而上每加六十太隂年满朔防去之余为三日七时一十三分○六秒依此递加共为若干甲子而得若干总数满朔防去之余为本甲子年首朔也更有每年零用表与厯元后二百恒年同法亦歳减通闰每四年加闰一日则先一年减之为一十一日一十五时一十一分一十二秒得次上首朔又有太阳引数、太隂引数二表，有交行度表，有太阳经度表。太阳引数者，是太隂年本行减最高行，即一十一宫一十九度一十六分八秒【亦即三百五十四日八时四十八分三十八秒】加朔防得一十八度二十二分二十九秒。太阳经度者，从最庳起算，太隂年所行得一十一宫一十九度一十六分五十二秒，加朔防得一十八度二十三分一十六秒。太隂引数者，太隂之自行也，从本轮最高起算，太隂年所行除正周外得十宫九度四十八分○一秒，加朔防得十一宫五度三十七分○一秒。交行度者，太隂年所行除全周外得八度○二分四十七秒，加朔防得一宫八度四十三分一秒。四表皆同一法，恒加太隂年行度。若首朔表加朔防，诸表亦加朔防，但首朔表论闰日后，四表不论闰日耳。其通闰在零年顺推，则首朔用减，下四表用加；在甲子年逆推，则首朔用加，下四表用减。

用表求中防中防法若下推将来，用厯元后五种行度表，第一格简得冬至后首朔，次用朔实十三月表加之，即得。若上推既往，用厯元前总甲子表得甲子年首朔，而所求交防即在本年，则于十三月表查朔防或望防加之，即得。所求交防不在本年，先查六十零年表，加相距之年后，加相距之朔防或加望防，即得。假如壬申年九月庚戌夜望有食用本年下首朔○日一十六时二十五分二十一秒纪日三十七从冬至至本月望相距十月又半故朔实十三月表内对十月得二百九十五日七时二十○分三十一秒加望防一十四日一十八时二十二分二秒总得三百四十七日一十八时七分五十四秒满旬周【六十日】去之余得中防在庚戌日时刻从子正起算得在酉初七分五十四秒又试用厯元前总甲子表于六十六甲子下得○日○三时四十四分○八秒纪日五十五至壬申积八年查零年表八年下得○日一十二时四十一分一十三秒纪日四十二朔防望防皆如前总得四百有三日满旬周去之余亦得庚戌日时分秒悉如前推防朔则不加望防余法同若尽求一年之中防则于首朔或首望加朔防于总数以后累加之至十二次然后从首防加太隂年三百五十四日八时四十八秒得合于终防即所推十二防悉合矣用表求实防两中防之间，朔防也，定为二十九日十二时四十四分○三秒○九微。实防则二曜之自行所至，有时过朔防，有时不及朔防。过不及之大差，多禄某定为一十四时三十○分。第谷去减二十分，法用引数依均度表加减求之。故推中防，并列太阳太隂两引数以求加减度。又列太阳平行经度，后来亦用太阳均度加减为实行度，而以两均度所推得之近实时，约略改为目见器测之视时，如下文表中。太阳自行从最庳起算，其经度从冬至起算。前图所説或从最高，或从春分，其理不异。假如求崇祯五年壬申三月癸丑夜望时，先定中时，如图总数一百七十○日，去二旬周余五十○，乃所用为防【一○一一时六二八三】隂【一一一○度二三二八】相合次以太阳引数时【二五二四分五六二三】引【三一五四分五六四六】对四宫六度查均度秒【二一○三一三二六】数【三○三○秒八○○八】得一度三十七分三太【一宫一】一【○○○三○四】太【○○○○宫○三○四】十六秒差度一分一阳【二二一○度五六四六】阳【○二一一度一六四二】十六秒偕引数之小引【三二三三分二五三○】经【三二三三分五五三四】余用三率法【六十分为一率】数【一二一四秒五三○八】度【一三一○一分一十六秒为二秒三七二二率小余三十分四十八秒为三率】求得本差三十九秒又因向后之均度渐少故以本差三十九秒减本均度止一度三十六分五十七秒次从表首行查号为加即书加又以太隂引数对五宫八度得一度五十五分○七秒差度四分五十八秒向后均度亦渐少亦以差度偕引数小余所求本差分秒减本均度止得一度五十一分二十○秒其号为减即书减依前法两均度一加一减宜相加即得日月实相望差度如上图次用四行时表查月距日时得其差时分秒或加或减于中防则不逺于实防若均度皆号为加而太隂所得，小于太阳所得，或均度皆号为减，而太隂所得反大于太阳所得，或太隂为减，太阳为加，则所化时刻恒加于中防时刻，否则恒。减于中，防时刻以得实时刻，今三度。二分五十二秒，得六时，又度余二十五分二十五秒。查得时余五十分○二秒，加于前一十三时四十三分三十六秒，得实防在二十○时三十三分三十八秒，为戌正也。

密求实防前以中防之引数求实防，今云密者，以前经加减，故得次引数与实防相近，复如前求得时刻，复加或减于中防，乃得正实防。法依前所用四行时表，以时刻反查度分，因太阳自行一日不异，其平行仍用其平行。表以六时五十分得一十六分五十秒，加于前引数，得太阳总引数四宫六度四十七分三十七秒。此距间于本表查得太隂行三度四十三分一十一秒，以加于前引数，总为五宫一十二度二十九分一十七秒。又以此两引数求得均度，如上图，亦以一加一减，故当相加，而两均度【太阳太隂月距均度均度日度】之差较前更少，变为时亦少，即依本表三度二分五十二秒，得六时又度。余六分六秒，得时余十二分，度余二。十八秒得时，余五十五秒，总加于中。防复得十九时五十六分三十秒。为正实防在戌初三刻一十一分三十○秒，更欲宻推，则用次得之。实时又求苐三引数，以复求均度，以较次得之。太阳均度，其二曜相距之弧，亦变为时刻。若同前，即前得无疑；若异者，用后得为正实防也。

依表算防时依图算防时新法算书巻六十五钦定四库全书新法算书卷六十六。明徐光启等撰。交食厯指三。

求视会实会第一前所得实会时刻虽则合天，于人目所见仪器所测，未尽合也。所以然者，太阳行度赤道交子午圏，有升度差，随时变易，日日不均【详见日躔厯指】而今依厯元推步，或用表查算，无能不均，须用加减时表，以求本地可见可测之实时。又推步者，但依本地所定子午线，其在地方不同子午线者，难可通用，故又用里差加减，以求诸方所见所测之实时也。

实时改视时如前求太阳实度，得中实两会相距时刻，查太阳平行时表得分数，依前加减时刻，亦加亦减于前，得太阳经度，乃得实度。假如前推壬申三月望会，太阳平经度为四宫【冬至起算】一十二度三十四分○一秒，中实两会之差得六时一十二分五十五秒，其距间又得太阳平行一十五分一十八秒，以加于中会时之太阳平经度，得其实会时平经度四宫一十二度四十九分一十九秒，更加其次均度一度三十六分三十六秒，则太阳实度四宫一十四度二十五分五十五秒。今查加减时表得○九分五十五秒，其号为加，则以加于实会，共得二十时○五分四十四秒，算外得癸丑日戌正五分为顺天府所见所测之食甚时。

见食随地异时月食分数，天下皆同，第见食时刻，随地各异，何也？人各就所居之地，目力所及者则见月食，而各所居地皆以子午正线为主。若其地同居一子午线者【南北地纬虽异，东西地经则同】则所见月食之分数迟速皆同也。若地易子午线易，则时刻并易矣。所以然者，时刻早晚因太阳行度，随人所居，各以见日出入为东西为卯酉，即以日中为南为子午而平分时刻。故月食时必本地之日未东升或己西沉乃得见之，若在其昼时刻不可得见也。天启三年九月十五夜望月食，顺天府及南北同经之地，则初亏在酉初一刻一十二分，食甚在戌初初刻，复圆在戌正二刻一十三分，各算外。高丽及其同经之地，即初亏在酉末戌初，而西洋、意大里亚诸国日尚在天顶为午正，则不见月食。以里差推之，西洋之初亏在己正三刻四分，食甚在午正一刻○七分，复圆在未初三刻一十分，各算外。虽月入景七分五十六秒，所居宫度彼此逺近皆同，而以里差故，彼地彼时太阳在午正二十二分，太隂反在子正二十二分，食甚正在日中，何从见之？今壬申年九月十五日夜望月食，初亏在卯初三刻，则陜西、四川等处得见，南京、山东等近海东境不可得见也。秦蜀之子午异于东方之子午，故。今以顺天府推算本食，因定各省直之食时，宜先定各省直视顺天子午线之里差几何，后以其所差度数化为所差时刻，每一度应得时四分，向东以加于顺天推定时刻，向西则减，乃可得各省直见食时刻也。若日食，则其食分多寡、加时早晚，皆系视差，东西南北悉无同者，必须随地考北极高下差其距度，随地测子午正线差其经度，乃可定其目见器测之视时。定子午术，见西测食略中法，于当身所居目见器测考定一月食之时刻，与先所定他方之月食时刻较算，或两地两人同测一月食，彼此较算，乃以所差时刻得所差度分也。前顺天府所推月食时刻，并具各省直先后差数，因未得诸方见食确数，无从遽定地之经度，但依广舆图计里画方之法，略率开载耳。既而咨报多相合者，然非甄明之辈躬至其地测极高下、见食早晚，终未敢以耳闻臆断勒为成书也。左方所记政所谓略率开载者，欲求决定，当竢异日，故称约加约减焉。南京应天府及福建福州府约加四分【凡一十五分为一刻】山东济南府约加五分。

山西太原府约减一刻○九分湖广武昌府，河南开封府，约减一刻。陜西西安府，广西桂林府，约减二刻○四分。

浙江杭州府约加十二分江西南昌府约减一十分广东广州府约减一刻○五分四川成都府约减三刻○七分贵州贵阳府约减二刻○八分云南云南府约减四刻○八分证子午差变易见时万厯元年癸酉十一月望，依大统厯推月食，初亏丑正一刻，食甚寅初三刻。本夜第谷在西国测得食甚在戌正○三分，于时太阳近冬至，所测时即定望时，无加减。大统所推稍踈，大略东西差时三十余刻，为顺天府所见，后于西国也。万厯五年丁丑三月十五日夜望，依大统厯，月食甚寅正一刻。第谷测戌正三刻○五分，先后差七小时一刻一十分。为一彼一此，子午异线，变易加时也。万厯二十年壬辰十一月望，大统厯记食甚寅初二刻，第谷测在戌初二刻○七分，加时差二分，总得差七小时三刻○二分，则西国之夜望，为顺天府之晓望，西国半夜后所测，在顺天为次昼，不可得见也。万厯四十年壬子四月十五日夜，望厯官报月食，初亏寅正一刻，既实测得寅正四刻。当时西国把沕辣有测戌正三刻○八分者，更西多勒都测得戌正○三方。同测不必加减时，得顺天府较极西差九小时正，较中西差八小时○七分。

【阙】

天启四年甲子八月十四日夜，望厯官报月食一十三分六十五秒，初亏丑正初刻，既测得一十六分六十三秒，初亏丑初二刻○六分，小西洋北国测得子初三刻○八分，泰西教主京都测得酉正三刻一十三分，较得北印度视顺天府偏西差七刻一十三分，视泰西差六小时二刻○八分。天启七年丁卯十二月望，月食。厯官报：初亏寅正三刻，复圆辰初三刻。既实测得初亏寅初初刻○一分，复圆卯正三刻○六分，与西法合。于时太阳在▯枵宫一度，顺天府出地平上为辰初一十一分。依大统厯推，复圆在辰初三刻，则在日出后二刻不可得见。而同时陜西西安府则见复圆在天，测得大角星高四十七度，其北极出地三十四度一十九分。得月食初亏丑正二刻○三分，将复圆测角南星高四十一度五十分，得卯正一刻○二分，视京师偏西差二刻○四分，为八度半也。崇祯四年辛未四月十五日戊午夜望，依大统厯，月初亏丑初三刻，依新厯，初亏丑初○六分三十八秒，实测得丑初○五分，大角星髙四十九度四十分，距午正三十九度，加其距太阳一百五十七度二十七分，得太阳过正午一十三小时○五分二十八秒，去半日刻余一时○五分为丑初○五分，新厯初报各省较顺天差数，在四川成都府初亏子正一十四分三十八秒，彼中实测正合，是成都府视京师偏西差三刻○六分，得一十二度四十五分为两子午线之度差，较各处实测食之时如此，凡有两处东西相距，则所得时刻必差，若相距愈逺，则所得食之时刻差必愈多，葢因子午不同，证见食时故不同。

推步交食本论第二步交食之术有二，一曰加时早晚，一曰食分浅深。加时者，日食于朔，月食于望，当豫定其食甚在某时刻分秒也。食分者，月所借之日光食于地景，地所受之日光食于月景，当豫定其失光几何分秒也。加时早晚，非在日月正相会、相望之实时，而在人目所见、仪器所测之视时，乃视时无均度可推，故日月两食皆先求其实时，既得实时，然后从视处密求日食之定时【详见后篇】惟月食则实时即近视时也。然日与月实相会之度分未定，即欲求其实时无从可得，故须先推中会时，计其平行及自行而得均数，然后以均数加减求得其实会，因得其实时矣。古法所谓躔离朓朒，即自行均数之谓，兹特深求原委，以故倍加详密耳。若食甚之前为初亏，食甚之后为复圆，此两限间亦应推定时刻分秒。其法于前后数刻间推步日躔月离，求其实行视行【月有迟疾，经时则生变易，故宜近取】以得起复之间时刻乆近也。食分多寡，谓日食时月体掩日体若干，月食时月体入地景若干也。其法以日月两半径较，太阴距黄道度分得其大小，次求二曜距交逺近，与古法不异，苐日月各有最高庳，景径因之小大，黄白距度有广狭，食限为之多少。至于日食三差尤多曲折，此为异矣。前论交食原及推交会时，太阳太隂皆同一理，次后论两食之征亦然，更后即不复能为合论，故先论太阴入景浅深与其食时乆近，次以三视差论太阳之食分加时难易逈殊，详略亦异也。

推月食有无欲征月之有食，一论交之左右，一论交之前后。论左右者，视太隂距黄道之纬度，以方于月半径、地景半径并，而纬度为小，则食；若大者，过而不相涉；若等者，过而相切，皆不得食也。论前后则食之处，必在正交、中交之或前或后，而不甚逺；甚逺则距度广，月与景亦过而不相渉也。近则距度狭，狭则必小于两半径并，而无能不食矣。是故征食有两法，一略一详。略法者，未定月食之实时，先求中会时，亦聊可测其距度也。试用表查平望之宫度，并注其同格相当之交周度，若正得六宫或○宫初度，则太隂在正交、中交之二防【即罗计，即龙首、龙尾】无距度，必食；若过交或不及交而度分相近，不出食限之外，亦食也。假如考壬申年三月会望，用厯元后表查首朔相当之交周度，得七宫一十八度四十二分一十一秒，为当时正合经朔之平交度。次用十三月交周度表查第四月，又得四宫○二度四十○分五十六秒，加望策六宫一十五度二十分○七秒，得总数满平周去之余六宫○六度四十三分一十四秒，是太隂过中交六度有奇，入食限内己六七度，即月体必半入地景，而定为有食也。

【一一一一○时○○四八七】周度并列之次，查其零年亦如【五一一二四分七二二二三】之次，加朔策或望策，亦如之，总【一二○○五秒四九九二四】之，即得中望及其相当之交周【一○○○○宫一八三六六】度。万厯五年丁丑三月壬寅夜【二一○一○度四七二五○】望，大统厯纪月食一十二分五【四五○二○分七七○○五】十秒。本年在六十五甲子第十【二二四○三秒三一二七三】三年，列数如上，得癸卯为本食。

【○一一一○时三五二八一】当时过交中止○五分三十三【一二四二五分六七四二○】秒深入食限之内，宜得全食不【三三○○一秒五○三二○】止十二分五十秒也。【一○○○○宫○○一六六】纲目纪唐肃宗乾元二年己亥【一二○一○度八七○五一】春二月月食今上推其食分加【四○四二四分一三○○五】时法查本表五十一甲子及零【二二三○三秒六八二七三】年朔策等依前列数如上依总数得太隂过中交止一度四十五分有奇，宜全食，食甚时在丁未日丑初三刻也。其详法则更推太隂实望时之距黄纬度，以较二径折半。若距纬度小者，即月不能不入于地景，因而有食，如下文。

求太隂实望时距度中望时表中己得相当之交周度，今更以加减之时更求交周度，复加或复减于前所得，即实望时之平交度也。次又以均度或加或减，乃得实望时之实交度矣。假如壬申年三月中望时，交周度过中交六度四十三分一十四秒，时差【实会与中防相距】得六时一十二分五十五秒，交周时表中查得三度二十五分三十四秒，因时加度数亦加【若减亦减】总得一十度○八分四十八秒，犹是平交度也。更减前均度一度三十二分五十秒，得实交度八度三十五分五十八秒。今以交周度求距度，用太阴距度表，于六宫八度得四十一分二十九秒，表中次度多五分○九秒，故以交周度之余三十六分得差三分五秒，相加得太隂距黄道南四十四分三十四秒。因交周度为太阴之右旋度，相加于左旋之交行度【即两交行，一名罗计行度】故所用均度不异于自行之均度。其平行一年得四宫二十八度四十二分四十五秒，一日得一十三度一十三分四十六秒，一时得三十三分○五秒，以此求距度，用甲子年为纪首，于时太隂去正交八十三度二十九分二十四秒，依法算得总平。行数六宫一十度，○九分，○五秒。次减。前均度所得数，六宫○八度三十六分。一十五秒为实交度也，次依三角形之比例则全数与【黄白】全距度之正▯若交周度之正▯与距度之正▯葢黄白道之全距算交食无过五度，交周度之弧又从近交所始也。如图，甲丁为白道，甲戊为黄道，己丙乙为过黄极及交周度之弧各一象限，丁戊为黄白之全距【相去最逺】太阴在丙，近于中交甲，求其距度丙乙，则甲丁与丁戊若甲丙与丙乙，算得四十四分三十三秒。今依距度四十四分三十三秒考壬申年三月会望有食与否，简半径表中用太阴引数○五宫一十二度，得月半径地半景并为一度四分三十五秒，而距度止四十四分三十四秒，距少径多，太隂之行无能不入景，即无能不食矣。

推日食有无欲考会朔有食与否，须定会朔时太隂之视距度，以较于日月两半径并。若视距度大于二径折半，或等者不食也，小则食矣。视距度者，生于视差，而本于高度，故当先求高度法于会朔时，以太阳本日距赤道度加于本方之赤道高度，得本方之子午最高度。又于赤道高度去减距赤道度，得本方之子午最庳度。次求两数之正▯并而半之为三率，以太阳距午正弧之正矢为二率，全数为一率，依法算得第四率，以减子午最高或最庳，余者为二曜高弧之▯大约太阳距赤道北，则所得之数与子午最高相减；若太阳距赤道南，则与最庳相减。假如崇祯七年甲戌二月朔日，顺天府定朔在己正一十四分，日月距午正线七刻○一分于赤道得二十六度半，用其余弧求正矢得一○五○七为二率。因太阳在降娄宫八度三十分四十秒，得其距度在赤道北三度二十二分，以加赤道高得五十三度二十七分为子午最高，相减余四十六度四十三分为子午最庳。次求其二正▯并而半之得七六五六五为三率，算得四率为八○四四，以减五十三度二十七分之正▯余七二二九○，查得四十六度一十八分太阳在地平上之正▯也。今查日月高庳差表【即地半径差在日食表中】于转周度得太阴距地之逺，其下依高度取其相当之视差得四十三分，去减太阳之视差二分【于高度左方取之】余四十一分，以减太隂之距北实度四十八分五十五秒，余○七分五十五秒为太隂视距度，以较二径折半为甚小，知月之掩日分数为多矣。凡人目所见，太阴在天顶南，则月之视所较其实所恒偏南偏庳，故其距度多能变易。太阳之食分，又月在黄道南，则当以视差加于距度。人所居愈向北，所得视差愈大，其视月愈偏南，而所见日食愈小。若月在黄道北，所得视差或小或等于距度，当以减于距度，则视处反近于黄道，而北方所见日食大于南方矣。苐视差之大若过于距度之大而去减距度，即北方视月又偏居黄道之南，比南方所见更逺，而得日食又小。试如崇祯二年己巳五月己酉朔日食，四年辛未十月辛丑朔日食，今以相较。己巳年太阴实所距南八分四十九秒【阳厯】顺天府本时之地平高得七十三度一十八分，其二曜高庳差一十七分四十秒，以加距度八分四十九秒，总得视距度二十六分二十九秒，以减于二径折半三十二分○四秒，余止五分三十五秒，以推日食所见宜少矣。若浙江杭州府高度八十三度一十四分，推二曜高庳差得七分○九秒，以加距度八分四十九秒，得一十五分五十八秒，视二径折半为一倍小，即月掩日宜得大半也。辛未歳不然，太隂距度在黄道北一度一十五分二十二秒，顺天府合朔时得日月高止三十五度四十一分二十○秒，二曜高庳差四十八分，以减距度，余二十七分二十二秒，视二径折半不及者五分一十六秒，即见日食。若杭州府高度四十三度四十八分，得高庳差四十四分，以减距度尚余三十一分二十二秒，是其视距度略等于二径折半，则月不能掩日也。大约太隂实距度在黄道南【论中国相等同纬之地】其六十度以下之高庳差必大或等于二径折半，即使无距度犹未得食也。若距在北，则太隂之视差能偏南一度强【最大者六十三分减日视差二分得六十一分】必距度之大倍视差之大乃不食，否则有食，详见后篇。

累推厯元前后交食交食之法，上推往古，下验将来，百千万年当如指掌。若悉用古法推步，穷年累月不能得竟矣。此交食诸表所为作也。用表则远遡唐虞，下防万防，开卷了然，不费功力。如读先秦古书，见《春秋》前后一切日食皆不记月日，今欲一一考定是何月日，又如目前推得见食，而欲累求向后若干年应得若干食，是皆不用交食全法，依交周【世纪四纪四总五总一日十日月数月数】度表便可得之。法先求某年第【甲二子年一一】一中防【即首朔也】用表取相当之交【二一一四一三四五日七○四○八○七七】周度若入食限即第一食也求【○二○○一一时二一二二五八】次食加五月或六月亦必入食【一四五五四三分○七六三○三】限矣若初所求交周度未入食【○○○○○○宫四三四○五五】限则查交周度十三月表求某【二一○一○二度六八二八三一】数相加而入食限者用之【四四四○二二分四一一五一六】假如周考王六年乙巳史记年表但云日月食，不言某朔望。今求其月日，则是年八月一日食，三月、九月两月食也。依表，本年在三十一甲子，首朔为二十七日○二时一十○分二十九秒，其相当之交周在四宫二十六度四十四分一十八秒。纪日一十零年乙巳，在表为第四十二年，首朔得一十四日二十一时四十七分二十四秒，相当之交周度为三宫一十八度四十分三十八秒。纪日四十，并两交周度未入食限。更加四月【是春三月癸巳朔】所得距正交不逺，然定朔在二时五十四分，则是丑正三刻有奇，非此方所见。古未有记夜食者，亦非也。更加五月，得其交平行列数如上，以一十八时三十三分知中会在酉正三刻。此时用太阳引数得均度一度四十一分，太隂引数得均度三度五十四分，并之得日月相距五度三十五分，化为时得一十一，以减平朔得定朔在辰初三刻，是为周考王六年八月辛酉朔本地所见地平上之日食矣。求本年月食，则于前总甲子及零年乙巳数外，总加望防，得第一平望。其交周度在两交之间，无食。更加三月，则丁丑夜望，月过交中，分数甚少，必全食。然定望在昼，但见其初亏，不见其食甚。更加六月，得交周度○宫○甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯六度四十七分太【一二○一二○一二○一一二宿四三四二一二二一二一九八】隂入食限，又时在纪【二二一四四四三三三二五五日四一八六三○八五二九七四】九月乙亥日，用均时【一一二一一二○○一一○一时二七一三七二二七一五七一】度，得定望为戌初【五二四二五一四○二五三五分九三七八二六一五九三四八】三刻，但见其复圆。交【○○○○一○○○○○一○宫○六○五一五○六○六一五】不见其初亏也，是周【○一一一二二○○○一一二度七一五八二六○四八三六○】两皆带食，故史官度【二二三五五五五五五○二二分九九○二三四六七九○一二】纪焉。又日一食，月再食，故统言之曰日月食也。甲戌，乙亥，丙子，丁丑，戊寅，己卯，欲下推累年之交【二○一二○一二○一二○一宿七八八七八七五六五四六五】食先如前求第一。纪【○○○○五五二二一一一○日九六四一八五三○七四二九】食自此以后或越时【一二○○一一○一一二○○时八三三七二六八二七一一六】五月而一食或越【三○二五一三一四○三五二分七一五○四八九三七二六○】六月而一食日月交【○一○○○○○一○一○○宫五一六○六○五一五一六○】皆然，此其大凡也。周【二二○○○一一一二二○○度二六○四八二五九三七一五】法查交周度十三度【○一一一一一三三三四四四分九○一三九五七八九一二四】月表用片楮别书五月、六月之数，向本表之各月下递并而试之，但合于食限以内者，即有食之月也。如崇祯七年甲戌第一日食在三月朔，算本年及向后各年有食之朔，如前图，每两平朔皆入食限，惟乙亥之两朔间，戊寅后、己卯前之两朔间，各越五月余，皆越六月。其食也，太隂有昼有夜，太阳有昼夜，又分南北，故非一方所见。惟用此考其可见者，推之。求平望法同此，如后图。图中独丙子后越五月余，皆越六月。凡交食得某月入食限，即次后一二三四月皆无食，必至五至六或十一十二月，则食欲更求本方所见，则推实朔望以时刻定之。

食分多寡之原第三推日食分数，则以太隂距黄道之视度、日月两视径之半，以及三视差，此并有其本论，后篇详之。此求月食分数，则用太阴之实距黄道度及其视半径、地景半径，即可得之。今先论日月景之各半径，次乃定食限及食分也。视半径所繇变易。凡圆球之去人逺，则目视之为平面。欲测其大小者，不依其形，依其径也。目之视径，虽以平行线受其像，然相距有逺近，即所测得之大小随而变易。近则见大，逺则见小矣。暗球生景，其理准此。故受光之体小于施光之体，即其景亦随相距逺近而有变易。距逺者，景钜而长；距近者，景细而短也。

如上，日月食合作一图。甲为地球，太阳在最高为丁，在最庳为戊。太隂日食时，在其最高为己，在其最庳为庚。月食时，在其最高为壬，在其最庳为辛。若从最逺之太阳周癸丑引直线切地周乙丙，必相遇于卯。从最近之太阳周子寅切地周者，必遇于辰。子寅辰在癸卯丑限内，在内者细且短，在外者钜且长。因太阳距地逺近不同，故也。论太隂，其在最高己，目依甲未、甲午两线视之；若在最庳庚，又依甲申、甲酉两线视之。故两所之小大不同。若在壬、在辛，其理准此。上言：「日月地景三视径能为变易，则日月最高、最庳相」。

距之逺近为其缘也，自此而外，更有二缘，一为地所出之▯气，随地不一，一为人所禀之目力，随人不一。▯气居日月与目之间，气厚能散日月之光，使易其本象，如玻瓈、水晶等体厚光彻，以照他物之象，能改易之，是以人所见日食时太隂掩日之视径，实大于太阳之视径，或相等。一遇厚▯之气【▯之厚薄或本地固然，或因时増减】即太阳之光体因而展拓，比于依法推步之视径，每多不合，故全食时四周亦显有金环也。若▯色微薄，则月之视径能掩日之视径，全食时昼晦星见矣。其在月也，遇▯气亦饶有余光，其初亏复圆，光曜展拓，亦能侵入地景，使食时先后稍损于推步之加时也。欲明其理，姑以数事征之。试用一平边尺切目窥月体，则白月之光能侵入于尺，尺之暗体当月之处，似有阙焉，此其一也。生明之月，其有光之半周大于无光之半周，光之两端芒角犀鋭，似欲包其魄体。至日食时，▯体入日，日之光体不收光以让月，反舒光以拒月，故其两端不作鋭角而作钝角也。此在晴明时，▯气微薄，犹不免尔，况浓且厚乎，此又其一也。日轮西没，将及地平，适遇云气，全轮若为停轨，累测不移，少迁则忽焉而入，又其一也。况日食时，月之▯体，月食时地景之角体，全居▯气之中，▯气所受日光尤盛，四周皆能消景，则日食时太隂居日目之间，其视径岂能大于日之视径而全掩日体？月食时地景之角体，岂不能稍杀于推步之实景，而损其初末之加时乎？若论目力，亦能变日月景之各视径者，目力既衰，大光损之，每每易于见暗，难于见明，故月食时较少壮之目能先见月食侵周之景。若日食时太阳光耀，初亏不能遽见其阙也。西史苐谷测月，每夕用五六人皆利眼能手，悉用大仪种种合法，所测月径趋求画一，乃经二十二测得其径为三十一分者二，三十二分者六，三十三分者七，三十四分者六，三十六分者一。何故？大光射目，当之者利钝不齐，径之小大随异也。葢人目之难凭如此【月无大光不能入于窥表通光之窍须人日测有此不齐若日光透表其有不齐繇器防密矣】定视径分秒之数。古多禄某限日月地景三径之数，定太阳为三十一分二十○秒，不论最高最庳，恒如是。太阴最大者定为三十五分二十○秒，最小者亦三十一分二十○秒。地景小者四十○分四十○秒，大者不过四十六分也。然多禄某所当之时乃尔，迨其后太阳本天之心与地之心渐次相就，至于今最高之去地近于多禄某时，其最庳乃去地稍逺，而太阳视径遂不得过三十一分。太阳稍缩，则地景稍赢，亦不若曩时之细且短也。以故第谷所立新法，定太阳之视径在最高为三十○分，在最庳为三十二分。若太隂则虽距地同，所限朔望二时之视径犹不同也。葢合朔时月会太阳四周环受其光，则此时全魄小于望日之全光，几及四分之一。是以月在最高即望时得径三十二分，朔时止二十五分三十六秒；在最庳望时得三十六分，朔时二十八分四十八秒也。又第谷测▯之地，其北极出地五十六度，清▯之气甚厚，故推步交食必依此径乃可得合。何者？月望时明光甚盛，▯以厚气光乃加显，径即似大。月朔时遇日之大光自已失光，而受光之▯气环围照映若或消减其魄，径即似小也。然此第谷所当之地乃尔，用之他方未能必合。何者？此所限大小之径以步日食，虽则食既犹显金环，月不能全掩日体；若他方食既则有昼晦星见，虫飞鸟栖者。故知一方所定未可槩诸防内以为公法也。假如崇祯二年己巳五月朔日食，依新厯先推食甚二分有竒，至日实测得二分。若以第谷所限径用之，此日即见食分数仅得一分一十○秒，谬于实测逺矣。崇祯四年辛未十月朔日食，新厯先推食甚二分一十二秒，至日实测不及二分。若用小月径推算，即所得更少，不及一分也。视径因乎▯气而为小大如此，岂可强执一率以槩诸方乎？故欲定本地之日，食分必先定本地之▯气差，以限本地之视径。又宜累验本地之食分加时，然后酌量消息▯差视径，可得而定也。今所考求酌定者，太阳最高得径三十○分，在最庳径三十一分。太阴不分朔望【▯气稍薄故也】在最高视径三十○分三十○秒，在最庳视径三十四分四十○秒。地景最小者四十三分，最大者四十七分。日月行最高最庳处之间，视径亦渐次不一，故列表左右，并纪太阳及太隂自行宫度，以考日月地景各相当之分数，是为视半径表。

太阴视径差视半径表，计太阴从其最高至最庳，渐次加大也。若论▯气，则南北二方亦有差别。西国之北地滨大海，其气更厚，故月朔应减，月望应加，以改表中之半径。如北极高三十度，其加减于半径一十○秒；高四十度，其加减三十○秒；过五十至七十极高度，即所加减更多至六分以上也。中国北极出地虽止四十二度半，亦近海，故用加减数如前所列。然亦须测验数食，审其果否，乃可执为恒法耳。地景视差。地景半径之最小者为四十三分，今本表中太隂自行○宫○度与相当者是也。继此渐大，至太隂自行六宫初度，其相当四十七分，则为最大。其求之有二法，一以测候，一以推步。苐两法所得却又不同，则气能变景故也。以推步者，用太阳在其最高时下照地球所生景长以为定率。若太隂过景之处，则依其逺近随时算之。如第谷当太阳在最高时测其距地之逺得一千一百八十二地半径，此所推全景之长得二百五十二地半径又六十分之二十三，恒如是。若太隂在其最高，距地之逺得五十八地半径又八分，欲求其所当地景者，先于全景内减太隂距地之径数，余者为过太隂以外之景角。【景角者，景为角体也】得一百九。

十四地半径又一十五分如上图甲乙地半径定为六十万，甲丙为全景，亦通为一五一四三分【临算末加五位】丁丙为过月以外之景角，一一六五五分【临算末加五位】而求月食相当之处，丁戊几何广？则甲丙与甲乙若丁丙与丁戊，也算得四五五一九三九。又甲丁戊直角三角形内，求丁甲戊角为所限目窥丁戊之大，则甲丁为太隂距地逺通为分，得三四八八分，甲丁戊为直角，丁戊依前算得四五五一九三九，而甲丁与丁戊若全数与丁甲戊角之切线，得一三○五，查表得四十四分五十○秒，为太隂在最高时所过地景之半径也。若太隂在最庳，求其食时过景之半径，用全景长如前内减五十四地半径五十二分，余一百九十七地半径，又三十一分为丁丙直线，依前法算得四六四二八○四为丁戊线，求角，以太隂距地之分三二九二为一率，丁戊线为二率，直角为三率，算切线为一四一○，查得四十八分二十八秒，为太隂在最庳时所过地景之半径也。今表中列地景半径小者四十三，大者四十七，皆少于推得者，为月过地景不论高庳皆受外光围迫侵销其景故也。论其实则推歩所得为真，然不可得见耳。若太隂在高庳之间，求其过景者，依此法随时求丁丙线推算也。以测▯者，用前后两月食择食之法，欲太阴去其最高最庳距度同，则其入于地景之小大亦同。但月距黄道不必同，又不必全食，因以两距度及两食分求得其所过之景径也。多禄某引周襄王三十一年庚子三月，其地距顺天府西八十一度，卯初时得见食。于是太隂交周得九度二十○分，距黄道北四十八分三十○秒，食全径一十二分之三。又引周景王二十二年戊寅六月，里差同上，顺天府寅初时得见食。于时太阴交周得○七度四十二分，距黄道南四十○分四十○秒，食十二分之六。如图己乙戊丙圏为地景，两食为太隂所过，乙甲丙线为黄道。如前图，第一食太阴在丁，次食在戊，各依食分入景为。己、辛为戊、庚，其太阴之距度为甲、丁四。十八分三十○秒，甲戊四十○分四十。○秒而甲戊与甲己必相等【地景之两半径】则甲丁减甲戊，余己丁七分五十○秒【两距度之较】又己丁为月径四分之一，而先得月径三十一分二十○秒，四分之为己丁，今去减己丁所余为甲己半景四十○分四十○秒。或以距度与食分相较，则食差三分与距度之差七分五十○秒；若全食一十二分，与全月径三十一分二十○秒，亦以距度之差推得其景也。若后图两距度一，大于半；景一，小于半。景亦用此比。例以求景，假如初食三分，得距度四十。七分五十四秒，次食十分，距度二十九。分三十七秒，食分之差七分，距度之差一十八分一十七秒。则七分与一十八分一十七秒，若全食一十二分与全月径三十一分二十○秒。今既食三分，即全月径四分之一为七分五十○秒，以减距度，余四十○分○四秒，为地半景。又次食得一十分，即月心至地景之周得四分，亦全食三分之一也。全以月全径三分之其一为一十分二十七秒，以加距度二十九分三十七秒，亦得半景四十○分○四秒。

地景实差表中记地景差不及半分，恒减于地景。葢前所论之景实无差，或因▯气有差耳。其有差者，太隂以其自行高庳，有距地之逺近，入于最中时时不同也。又太阳居其最。

高所生之景最大过此渐向最庳去地渐近，即从地出，景渐小渐短也。故月食时，先以太隂自行定地景之半径，又以太阳自行求此实景差而减之，乃正得太隂过景之处矣。推算之法，设太阳先在最高，推所生景；又设在最庳，推所生景，得二景之最长最短。又设太阳先后距地同，而以先过景之径比于后过景之径，其二径差即表中之地景差。

假如丁己为太阳半径第谷所测为甲庚地半径五又四十一分，依戊庚平行线减丁戊地半径，余戊己得地半径四又四十一分。设戊庚为太阳在最高距地之逺一千一百八十二地半径，则戊己与戊庚若甲庚与甲辛，得甲辛地景于太阳在最高时，其长二百五十二地半径又二十三分。太隂在其最高最庳之间距地之逺得五十六地半径又四十三分，为甲乙，以减甲辛，余乙辛一百九十五地半径四十○分，以推月食之半景乙丙，则乙辛与乙丙若甲辛与甲庚，得乙丙四六五一六五四【算法以原数通为分，又于每率后加五位乗除之】又求乙甲丙角所限目窥乙丙之大，以太隂距地之逺依前法算得切线一三六四，查八线表得四十六分五十二秒。又依此法以太阳在最庳距地之逺一一四一地半径推算地景为二百四十三地半径又三十八分，去减太隂在高庳之间距地之径，余一百八十六地半径又四十五分，依前算得四五九九一二四为乙丙线。次以太隂距地之逺三四○三推得切线一三五一，查得乙丙半景四十六分二十六秒，比前所得差二十六秒，为地景之最大实差。其余者以太阳自行距最高逺【法算书卷六十六】

近依法次第求之新钦定四库全书新法算书巻六十七明徐光启等撰交食厯指巻四食限第一食限者，日月行两道，各推其经度，距交若干，为有食之始也。而日与月不同，月食则太隂与地景相遇，两周相切，以其两视半径较，白道距黄道度人，以距度推交周度，定食限。若日食则太阳与太隂相遇，虽两周相切，其两视半径未可定，两道之距度为有视差，必以之相加而得距度，故特论半径，则日食之二径狭，月食之二径广，论日食之限反大于月食之限，以视差也。

太隂食限表中地景半径最大者，先定四十七分，太隂半径最大者一十七分二十○秒，并得一度○四分二十○秒，日月两道之距在此数以内，可有月食【可食者，可不食也】以此距度推其相值之交常，得一十二度二十八分，为月食限推法。最大距度【四度五十八分半】与象限九十度，若距度与交常之弧也，其最小者，地半径定四十三分，月半径一十五分一十五秒，并得五十八分一十五秒，若距度与之等者，依前法推交常度，得一十一度一十六分，此限以内月过景必有食【必食者，无不食也】也。抑此两者皆论实望时之食限耳，若论平望，其限尤寛，如圗甲乙为黄道，甲丙当白道乙为地景，心丙为太阴，心月切。景在丁，其最大两半径为乙丙，得一。度，○四分二十○秒，则相值之甲丙。得一十二度二十八分为定望食限。设平望尚在前，为戊，则戊平望距丙定望最逺者二度三十八分有奇，为丙戊弧，以加甲丙弧，得甲戊一十五度○六分有奇，为太阴切景之时，以其心距两交之度，西古史多禄某定实望之食限一十二度一十二分，中望之食限一十五度一十二分，其所定视半径最小之食限一十○度五十○分。何谓平望？距定望最逺得二度三十八分。曰太阳均度最大者二度○三分一十五秒，太隂均度最大者四度五十八分二十七秒，并得七度○一分四十二秒，为两交时日月以实度相距极逺之弧也。从此太阴逐及于日，行讫七度○二分，此时间太阳又自行三十二分二十八秒，太隂又须逐及更行三十二分，此时间太阳又行三分弱，共为三十五分，以加太阳均度得二度三十八分，为日月之实会望距，其中望也。如圗甲乙为地心所出。过本轮心直线至黄道，乙指中会太隂。实行在丙，太阳实行在丁，总丙丁弧七。度○二分，太隂行至丁，太阳己过丁而前又逐及之，终合于己，故丁己弧三十。五分加乙丁，共得乙己中实，两会相距二度三十八分，太阳食限。表中太阳之最大半径一十五分三十○秒，太隂之最大半径一十七分二十○秒，并得三十二分五十○秒，所谓二径折半也。以此推相值之交常为六度四十○分，是太阳不论视差，不分南北，正居实会之食限也。苐日食不在天顶，即有髙庳视差，太隂每偏而在下，交会时以此差故，或就近于太阳，或移逺，随地随时各各不同，安得以实度遽定日食之限乎？测太隂交食时最大髙庳差得一度○四分【因距逺五十四地半径故】减太阳之最大髙庳差三分，余一度○一分【此为太隂偏南之极多者，凡日食时必有一方能见其然是为大地公共之最大差】以加二径折半，得总视距度一度三十三分五十○秒，外此即无日食，在其内则可食。

依前法求食限，得两交前后各一十八度五十○分，为两大视径折半之限也。若以小半径求食限，与前差度并得一度三十一分有竒，推相值之交周度一十七度四十八分，为小视径折半之日食限。若日月防入此限内者，日必食，但非总大地能见，必有地能见耳。若以中防论食限，又须加入实防距中防之度，其最大弧三度，则中会有食之限二十余度。如圗，甲乙为黄道，甲戊为白道，太隂以实度在己。以视度在丙，太阳乙与太隂丙视相切。于丁则己，丙为髙庳差，己戊为东西差。而丙戊为南北差，南北差之最大者一。度○一分以加乙丙为总距，度乙戊若乙丙为大折半【二径折半，省曰折半】推得甲戊食限一十八度五十○分。或以小折半乙丙，加丙戊，得甲戊一十七度四十八分。设中会更在前为辛，得食限甲辛，更多于甲戊。求北中界日食限。北中界者，地居赤道之北，南不至赤道，北不至北极也。今依南方极出地十八度，北方极出地四十二度，定日食之限。则最广者，太隂距南，其交常度七度三十一分；太隂距北，其交常度一十七度三十五分，为可食之限。最狭者，太隂距南交常七度，距北交常一十六度五十三分，为必食之限。其所繇广狭者，因二径折半有大有小，即相会时所当距度不同，故所限交周度亦异也。太隂分南北而定最大日食之限，有二义。其一论地，总本界中有一方焉，距北之最大者以十七度为限；又有一方焉，距南之最大者以七度为限。非谓一方所见，距北可得十七，距南又可得七也。其一论黄道度，谓本界中有地，有时太隂或南或北，距天顶最逺，则其视距度最大，以加于太隂实距度，得其最大限，在北可至十七度，在南可得七度。亦非谓诸宫交防皆可得七度十七度之限也。今试于本界中论地，先论其极髙四十度者，又于本地论时，先论其不甚逺于天顶者。如日月交防在夏至鹑首宫初度，设当时不防于正午，其髙庳差变为南北差者必少，而所增视距度亦少，即所得者不为其最大限。必设实防正午，月距黄道北得其髙弧七十三度二十八分，以推髙庳差一十八分○八秒，全变为太隂南北差，依法加于二径折半，得五十○分五十八秒，为黄白两道之视距度，则所值交周度得一十○度，为顺天府北极同髙地黄道本度月距北日食之最大限，可食也。设月距南，则二径折半共三十二分五十○秒，反减太隂南北差一十八分○八秒，得两道视距一十四分四十二秒，所值交周止二度五十○分，为本地本度月距南日食之大限，可食也。次论其甚逺于天顶者，设日月在冬至星纪宫初度，防亦正午，其髙弧二十六度三十○分，推得髙庳差即南北差五十六分二十四秒，加二径折半，得黄北两道总距一度二十九分一十四秒，为月实距南所推最大日可食之限一十七度二十四分。

所以然者，人目所见日月，以两心合会，必在太隂所离视道交黄道之处，距其两道实交尚一十一度。又本南北差减二径折半，得距度二十三分三十四秒，相当者得四度三十二分，为太隂尚不及实交，未过黄道南，而以视差故，人目所见则已过交，出日食限之外矣。如圗，丙为太隂，丁为太阳，甲为黄白两道之实交。论实距度，则日月至甲宜相掩而食。今冬至南北差甚大，太隂之视行循丙乙视道，尚在己，距甲逺，即己切太阳周入日食之限。后太阳丁行黄道至乙，与太隂视道相遇，是为视交，即二曜以两心合防。能全食，若更前至辛日，月亦未及实交。甲太隂实未过黄道南，而视行则己过太阳之南，即丙不能掩日，亦不能切日，不食矣。可见太隂实距北，在己为顺天府同纬地最大食限得一十七度有竒，至辛遂出食限之外。况过甲而后实距南，其视度距太阳甚逺，安得尚有食乎？再于本界中论地，论其极髙一十八度者，先设日月在冬至星纪宫初度，实防在正午，得髙弧四十八度三十○分，髙庳差全变为南北差四十一分五十八秒，加二径折半，总得两道相距一度一十四分四十八秒外，此无日食。在其内可食相值之食限一十四度三十二分，其食甚亦未至实交也。若行至实交，则太隂以视度过交而南四十一分五十八秒矣。以较二径折半，则视距为大，不已出两食限之外乎？安得有食？设日月会于夏至鹑首宫初度，此在天顶北五度三十○分，得髙弧八十四度三十○分，推南北差得六分○八秒，以加二径折半，得三十八分五十八秒为太隂入阳厯两道相距度。二曜至此，即以周相切，推得日食限七度三十一分。若月距北，则两半径减南北差余二十六分五十二秒，仅得五度一十○分为日食限也。如圗，地居夏至之南，目视丙月则偏北，故太隂之实度在黄道南为本道上之乙与太阳之实度丁甚相逺，却以南北视差移而就近。及以甲乙为食限，二曜相掩，必未至甲也。若其过实交，甲至己在黄道北，则因南北差，见月更在北，与太阳相距更逺，不复能相掩矣。

太阳太隂越六月皆能再食越六月者，如寅月食申月，得再食也。如圗，甲丙乙丁为太。隂离道交，黄道于甲，于乙，甲丙乙为。其距北半圏余，乙丁甲为距南半圈。己、庚、戊、辛，皆为食限。依多禄某，随迤。北诸方所定中会时，甲己及乙戊入隂厯，为日食限二十○度四十一分【地愈向北，食限愈大故也】甲庚及乙辛入阳厯，得一十一度二十二分。则限外弧己丙戊得一百三十九度，庚丁辛得一百五十七度一十六分。越六月之中，积交周一百八十四度有奇【先去全周】则大于己丙戊及庚丁辛两弧。故初月在食限内与正交相近者，六月后则近中交亦在食限内，而日能再食。若月食不论隂阳厯，其限皆一十五度一十二分。则己丙戊弧、庚丁辛弧皆一百四十九度三十六分，皆小于中积交周度。故初月交周度入己甲庚食限内，后六月又在戊乙辛食限内，而月能再食。太隂越五月能再食，越七月不再食。以距月之中积交周度与初月食限外之弧相比，若度赢者，则此食限内能起，彼食限内能止，即两皆有食；若度缩者，则一起一止，或在两食限之外，不再食矣。如五平月交周得一百五十三度二十一分【去全周己】月食于髙庳中处，其实限一十一度三十○分，南北同得限外无食之弧一百五十七度，亦南北同是，皆大于交周弧，则五平月中不可得两食矣。亦有可两食者，则大月也。太阳躔赤道南，在其最庳左右，必速行，同时太隂去全周在其最髙迟行，必得定朔策少，月大交周弧亦大。夫五月之平朔策去太隂全周得一百四十五度三十二分，中分之左右，并得太阳均度四度三十八分，又太隂五月自行一百二十九度○五分，中分之以最大加减，得其并均度八度四十○分。太阳均度应加【实度距最庳左右比平度逺故】太隂均度应减【设月逐日实未追及故】得日月以实行相距总弧一十三度一十八分，为月逐日未及之弧。如圗太阳从秋向春行，本天小半周，以当黄道。正半周必速行，以甲乙直线中分。其平行左右，各得丙丁，均度太隂。在本轮自戊过最髙辛至己迟行。以甲辛平分其迟行弧，左右得壬。辛及庚辛均度日月两均度不同类，一加一减，并之得一十三度一十八分，为太阳以实行在前、太隂以实行在后之弧，而太隂逐太阳行一十三度，此时间太阳更行一度○六分，以并于太阳均度，总得五度四十四分，为五大月过五平月之度，亦为实交周过平交周之度。以加平交周一百五十三度二十一。分得一百五十九度○五分，较食限。外之弧羸二度○五分，则月食于甲。乙限内为壬，距乙甚近，而限外交，周度壬庚越五月，复可食于庚，然食之分数少矣。又证太隂越七月不能复食者，则小月也。月大或平，即交周弧大于食限外之弧，不可得食。今太阳在其最髙左右，迟行；太隂在其本轮最庳左右，速行，因而成小月。夫七月之平朔，策得二百○三度。四十五分，同时太隂自行一百八。十○度四十三分，如圗，甲乙分日。月平行，甲辛分，太隂自行，太阳左。右各得最大均度丙丁并为四度四十二分应减【实度距最高左右此平度近故】太隂均度壬辛及庚辛并为九度五十八分应加【设月以实行过太阳故】一加一减并两均度得一十四度四十○分为太隂过太阳之弧此时间太阳亦行一度一十分以加其均度得五度五十五分是为七小月间实行不及其平行之度，又为七月间交周。平行之弧所减，以成七小月实行之度。今以平行二百一十四度四十二分去。减五度五十五分，得二百○八度四十七分，以加于食限外之弧【此第论太隂在其髙庳中处甲丙左右四食限】为戊乙壬，或己庚丁，仅得二百○三度，小于七小月之实交周二百○八度有奇，则月初食在戊丁限内，后七月不能于己壬限内再食也。

太阳越五月或七月皆能再食此越五月能再食者，必大月也。其间交周实行，可得一百五十九度○五分。设日月在髙庳中处，得二径折半，三十二分二十○秒。设太隂距度，亦正得三十二分二十。○秒则以前法求得距交六度一十二。分当在乙，或在丁，而乙丙丁弧乃得一。百六十七度三十六分，若太隂絶无，视。差者，即食限外之弧乙丙丁，大于实交周弧八度三十一分。日月合会先在甲乙弧内有食，越五大月复防，必不能及丁戊为再食矣。然太隂既有南北视差，则以交周度不及食限内之弧八度三十一分，平分之两加于食限，得甲己及戊辛各一十○度二十八分。而太隂在己或在辛，皆距黄道五十四分三十○秒，减二径折半，余视差二十二分三十○秒，倍之得己及辛两视差，共四十五分。则诸方能得南北差及此分者，所见太隂必偏南下掩太阳，得有食也。今所论五大月，太阳速行，先于太隂一十三度一十八分，又于太隂逐及时间行一度○六分，总得一十四度二十四分。太隂行尽此度乃及日，须一日○九刻，是为五大月过五平月时刻。则五大月得一百四十八日一十八小时，故先定朔在酉正，后必在午正。若先在午，则后在卯。又太阳五大月行一百五十一度，以最庳平分左右，得先定朔在寿星宫二十一度，次定朔在娵訾宫二十一度。诸方地面得极髙。二十余度见太隂，离是二壤，值是二时。南北视差，并得四十五分，则越五月得。再食，此外极出地愈髙南北差愈大，食。限愈寛，凡交周在黄道北，入甲己食限，越五大月，必入辛戊食限，人居赤道北者可见两食；或交周在黄道南，入戊壬食限，越五大月，必入庚甲食限，入居赤道南者可见两食。谓太阳越七月而再食，则小月也。否则交周度大于正交及中交之总食限，而先在内，后必在外，不食矣。若七小月间交周行，依前得二百○八度四十七分，而设无南北。差者则以日月两半径为食限，得甲乙及戊丁各六度一十二分，而总乙己丁弧一百九十二度二十四分，小于交周一十六度二十三分，即太阳先食于丁戊限内，越七月后必己出甲乙限外，亦不食也。既常有南北视差，则以较余交周弧一十六度二十三分平分之，以加于甲乙及戊丁，得甲壬及戊癸二限各一十四度二十三分，而壬己癸与交周弧相等。又甲壬及戊癸一十四度二十三分，得相值之距度一度一十三分三十八秒，减二径折半得四十一分一十八秒，为各视差倍之得一度二十三分，则诸方有此视差者得有食也。今所论七小月太阳迟行，后于太隂共一十四度四十○分，为太隂一日五小时所行之弧，是一日五小时者七小月不及七平月之时刻也。总七小月得二百○五日一十二小时，故越七月得再防先会在卯，后防必在酉。又太阳行七小月实得一百九十八度【前已证】从最髙平分之，得先防太隂在陬訾宫二十七度，后防在寿星宫一十五度，则凡离是二壤值是二时所见太隂南北视差并得一度二十三分者，必越七月得再见日食也。此为极出地三十四度以上，盖距赤道愈逺视差愈大，所见食分愈多矣。

食分第二欲知此月内有无交食，则以食限求之【见上文】欲知此食食分几何，则以距度求之。距度者，在月食为太隂心实距地景之心，两心愈相近，月食分愈多；在日食为日月两心以视度相距，其近其逺皆以目视为凖，不依实推。盖定朔为实交防，天下所同，而人见日食东西南北各异，所以然者，皆视度所为也。日食详说见后篇，此先解月食分，则论定望实防，人所见者东西九服各异，南北天下不殊也。如左。

太隂食甚分数太隂在食限内过地景，其两心最相近时为食甚，而食分必多，欲知食甚之处，用距度求之。盖距度与地半景及月半径相减，得月入景之分【此言分者，天周度数之分，非平分月径之分也。称分有二类，见下二文】如两半径得一度，距度四十○分，相减余二十分，为所求月入景之分也。但距度与半景或等或不等，若过不及之分小于月半径，则月不全入景，而止食其半，或太半，或少半而己若距度小于半景者，为太隂之正半径，则虽全食随复生光，其食分即太隂之全径，以月自行推之。若絶无距度，即太隂遇景正在两交，则并其两半径可推月食之分也。

假如甲乙为地景【定望时月入此则失光，亦名闇虚】之半径，乙丙为太隂半径总得甲丙为月食限，限者乙防，为二周相切之处，食从乙防起，渐入渐大。若两周相分于乙防，则不食也。食有三等：一曰不全食，二曰全食，三曰正食。不全食者，如一圗，甲丁为黄道，丁辛当白道，月心在辛，即入景者半，是为半食。或月心在庚，则如二图，入景者大半是。为大半，食或在戊，则入景者少半，为少。半食皆不全食也，求食分法，以距度减。二径折半，如图，甲己与甲丙等，为二径折半。甲戊为距度，以甲戊减甲己，余戊己。戊己与戊庚恒相等，故于二半径减距度，即得其入景辛庚，为此食之分也。全食者，如三圗月心在戊距度甲戊两道如前而距度入于半景者为太隂之半径戊己，则己庚入景之分为全径。但全入以后，太隂或向交行欲至丁，或离交行欲至辛，其周旋出景外，则无既内分矣。以上二者皆有距度，则皆不食于交防，皆偏食也。若如第四圗太隂食甚时絶无距度则月心与景心皆防于甲，甲乙为半，景径甲戊。为平月径，两半径并为甲丙，设甲乙丙。为黄道甲丁为白道，太隂从丁行，以戊边至甲，己全入于丁甲半景之内矣。又行至边及戊，乃食甚，故更得甲戊为既内分，总得丁戊两半径并为此食之分，此月食之最大食于交防者也，正食也。

食分二类求食分之大几何，有二类。其一为天周度数之分，如上文所论者，皆是也。月食之最大者，可得一度○四分有奇。其一为太隂本径之分，则惟厯家所命。如命月体之全径为十二平分，则最大食得二十二分五十四秒也。如命为十平分，则最大食得一十九分○五秒也。又此二类者，皆系太隂及地景之视径，虽距度同分，而大小多寡犹多变易。设距度恒为二十五分，因太隂自行在最髙，得月食度数之分为三十三分一十五秒。太隂在最庳，得食度数分为三十九分二十○秒。其自行在一宫或在一十一宫【俱近最髙】得三十三分三十八秒。在二或十宫，得三十四分三十六秒。在三或九宫，得三十六分。在四或八宫，得三十七分三十○秒。在五或七宫【俱近最庳】得三十八分四十五秒。如前法，以太隂半径半景并每去减二十五分，即得此食分之数。他距度依此推之。其所繇渐渐有差者，则因太隂距其最髙愈逺，则视径愈大故也。又平分本径亦有多寡有大小。盖太隂在最庳，其全体之天度分为三十四分四十○秒，得平径一十○分。设食甚正在交防无距度，则二径折半得天度一度○四分二十○秒。推总食之平径分得一十八分三十四秒，而一平径分当天度三分二十八秒。又设太隂在髙庳之中，食甚距度如前，其平径亦一十○分，以两半径推总食得一十八分四十四秒，而一平径分当天度三分一十五秒，与前不同，则以视径故。更设太隂在最髙，其视径更小，仅得天度三十○分三十○秒。食甚在交皆如前，亦得平径一十○分，而所推总食分更多于前，为一十九分○五秒，则一平径分当天度三分○三秒。可见距度同平分径同而食分不同者，月自行有髙庳，其去地之逺近异，视径亦异故也。

求月食径分太隂入景以本径分明暗之限，为人目所见之分。若全食，更加入景之余分【即既内分】推得总食分，则距度能翕张其二径，为食分多寡之缘也。今或依第三巻所定太隂及地景视径表，用引数求之，并而去减其距度，则太隂视径与十平分，若其二，半径减距度之余。分与食分，或依第二巻前所设，求太隂。均度之圗，用甲乙丁三角形求之。盖乙甲丁、太隂均度角之正▯与乙丁直线。若甲乙丁总自行余弧角之正▯与甲丁直线，既得甲丁为太隂距地逺次求太隂视径，则其距地逺甲丙与太隂实径之正▯丁乙若全数与丁丙乙角之切线次以太隂半径与地半景大小之比例为一五○与四○三，推地景视半径，盖一五○与四○三，若太隂视半径之正▯与景视半径之正▯也。既得视半径，用三率法如前推算食分，欲用表，则于引数查视半径，而以月视径及两半径减距度之余数查食分。然表中列数从引数出，其理一也。求月食面积分。前论月食分，皆目可见，器可测之视径分也。若求其不全食之面入景之分，则有别法。设甲为地景之心，乙为太隂之心，以距度得其两心相距为甲乙直线，又先得甲丙为地景视半径，得乙丙为太隂。视半径，则甲乙丙三角形内有其三直线可求三角，又甲乙丁三角。形与甲乙丙三角形等，则以丙甲。丁总角得丙戊丁弧，亦以丙乙丁总角得丙乙丁弧，今欲以径与圏之比例推丙戊丁及丙己丁两弧与其本圏半径同类之分若干【弧曲线与直线异类，以周径法变曲线分为直线分，故曰同类】其法以甲丙及丙戊得景中丙甲丁两半径弧形【两半径弧形者，两半径为两腰，弧为底，求得其容积也，说见测量全义第三卷】亦以乙丁及丁己得月上丙乙丁两半径弧形，又丙丁直线为等腰两三角形之公底线，求其半得丙辛，以乘甲辛得甲丙丁三角形之积，以乘乙辛得乙丙丁三角形之积。次以两三角形之积各减其两半径弧形之积，所余丙戊丁己长圆形为太隂入景之面，可得其余不入景之面也。假如崇祯五年壬申九月十四日夜望，月食四分四十二秒，食甚太隂距度四十四分，其视半径一十六分二十五秒地半景四十三分二十三秒设甲乙为距度乙丙为月半径甲丙为景半径，则最大线甲乙与余两腰线甲丙、丙乙，若两腰线相减之余线甲丁与大线之分也。即算得大线之分甲戊，以其余平分之为戊辛、辛乙。

次从丙作丙辛必为甲乙之垂线矣既得各线如圗皆通为秒以求甲角及乙角则甲辛与全数十万若甲丙与丙甲辛角之割线，算得甲角二十一度四十○分，倍之得四十三度二十○分为丙戊丁地景之弧。又辛乙与全数若乙丙与辛乙丙角之割线，算得乙角七十七度○六分，倍之得一百五十四度一十二分为丁己丙太隂周之弧。次求其各与本圏半径同类之分，则月径及地景径各与其本周若七分与二十二分也。推得地景周一六三六，一月周六一九一。因此用丙戊丁及丙己丁两弧各求其本圏径同类之分，则全周一六三六。

一与所截丙戊丁弧之分若全周三百六十度与本截弧四十三度二十○分算得一九六九为丙戊丁弧，其半九八四，为丙戊半弧也。又太隂全周之分六一九一，与丙己丁弧之分，亦若三百六十度与本截弧一百五十四度一十二分，算得二六五一，为丁己丙弧半之，得一三二五，为丙己半弧也。次以甲戊乘丙戊，得丙甲丁地景两半径弧形之积二五六一三五二，以乙己乘丙己，得丙乙丁太隂两半径弧形之积又丙甲辛角之切线【乙丙也】与丙辛若，全数【甲丙也】与。

甲辛得丙辛九六○则彼此求两等边直线三角形之积与求两半径弧形之积通为一法，得甲丙丁三角形之积二三二二二四○，乙丙丁三角形之积二一一二○○。各减其两半径弧形之积，得丙辛丁戊分圏形之积二三九一一二，丙己丁辛一○九三九二五，并之得总数一三三三○三七，即丙己丁戊全形之积也。又以太隂半径九八五乘其半周三○九，得三○四八五七五，与总数比得太隂入景之面与其未食之面若一十三分与三十○分也。

食甚前后时刻第三食甚前初亏也，食甚后复圎也。两限间之时刻多寡，其缘有三：一在太隂本时距度，因距度或多或寡，每食不同，即太隂入景浅深不同，浅则时刻必少，深则时刻必多。其二在月及景两视半径，半径小，太隂过之所须时刻少；半径大，太隂过之所须时刻多。其三在太隂自行，自行有时速，有时迟，虽则距度同、视径同，而自行迟疾不同，即所须时刻不同矣。推距度及视径，皆依前所设法，此专求太隂实行，以定食时刻分。

月食起复行度太隂入景，自初亏至食甚之弧，与其出景，自食甚至复圆之弧，两者畧相等，故求其一倍之得，在景之总弧，如圗。

甲为景心躔甲乙黄道乙丙为白道太隂心至丁为初亏在丙为食甚复圎在戊丁戊者，周天之弧也。而所截弧极小，故作直线用之。人甲乙丙三角形也，而乙角极小，乙丙与乙甲畧等，故作平行线用之。因而甲丙可为垂线，因而丁丙与丙戊亦可为等。今自甲出两直线，为甲丁，为甲戊，皆当太隂地景之两半径。而甲丙为太隂距度，故甲丁戊三角形，以甲丁方减甲丙方，得甲丁方，其根为太隂初亏至食甚行过太阳之弧。若不用开方，则有别法，以角求对边线。如甲丁线与丙直角，若甲丙线与甲丁丙角，既得丁角余为丁甲丙角，则丙直角与甲丁线，若甲角与月行景之半线丙丁也。虽食分不同，或半月入景，或全体在景，求初亏至食甚之弧，恒仿此。次求食既至食甚，亦仿此，倍之得太隂全入景至生光及复圎之总弧。如圗甲。

乙为黄道乙丙为白道太隂心行至丁则全入景既至戊即生光得丙丁及丙戊略相等，故先得丙丁，倍之即丁戊也。此则以甲丙为距，度甲丁为地半景，减月半径之余，于甲丙丁三角形用此两线及甲丙丁直角，推丙丁线，与前同法。若欲精求之，不听甲乙、乙丙为平行，仍作两线斜交于乙。太隂初亏在丁，食甚在丙，复圎在戊。丙丁是太隂在景之半为距交一十二分之一，即作丁庚线与甲乙平行，取丙庚亦丙甲距度一十二分之一以减甲丙得甲庚是太隂初亏之距度以加甲丙得甲己，是太隂复圎之距度次。以甲丁、甲庚两线及庚直角，求得庚丁线。以庚丁、庚丙两线及庚直角，求得丙丁线，为初亏至食甚行度。后以甲己、甲戊两线及己直角，求得戊己线。以戊己、己丙两线及己直角，求得丙戊线，为食甚至复圎行度也。

食甚距度线与白道当为垂线求食时刻，设太隂食甚前行度与食甚后行度等，即距度线必当为白道之垂线，不然者，必行度前后不等，而时刻亦不等。如圗，甲乙为白道，甲丙为黄道，太隂在丁，自庚、黄极出线，过丁月为庚丁弧，至戊黄。道指太隂，实度在戊，因太隂在丁，得交。常分甲丁，而庚丁与庚乙；若甲丁与甲。戊【皆用正▯算】若得甲丁四十五度，与甲戊最差之限得六分【甲戊少于甲丁在圗为己丁】若甲丁在食限内，其与甲戊差又不及三分矣。因两道之最大距不过五度故也。设甲丁弧得二十○度，而以甲乙与乙丙之比例推甲丁与丁戊，得丁戊距度一度四十二分。今作戊己与甲乙为垂线，又以甲丙与丙乙之比例推甲戊与戊己，亦得戊己相距一度二十四分。可见丁与己见有差，戊己与戊丁有微差不足见也。今不用戊丁开方，而用戊己，又以戊己平分太隂入景与出景之弧，其不得有差甚眀矣。

太隂食在景时刻前第二巻论月食，以食甚时为主，于食甚前之初亏至食甚后之复圆，总推定时刻分秒。其法以太隂在景中行度变为时刻，如先得食甚前行度，求所当初亏至食甚时刻，倍之得其余行度，亦变时刻，皆依先所定行度用比例法推算也。如崇祯五年壬申三月望，太隂初亏至食甚行四十○分一十六秒，欲变时，用三率法，太隂行三十三分一十一秒得一小时，今四十○分一十六秒应得一时一十二分四十三秒。但太隂自行恒异平行，食时间恒不居本轮之一处，故所用一小时之行分以定食间行之时，不得用平行，必须考将食之实行，查太隂实行时表法，恒以自行宫度得一小时之实行，每度所值各各不同。如太隂平行一时得三十○分二十九秒，以本时自行求均度，或加或减于平行得实行。若加减度表对自行初宫三十二分四十○秒得均度二分四十六秒，以减三十○分二十九秒得二十七分四十三秒，为表中相当引数初宫初度之率也。加减度表对自行一宫三十二分四十○秒得均度二分二十五秒，以减一小时之平行，余二十八分○四秒，为相当引数一宫及一十一宫之率也。其余皆仿此，第自行在本轮最髙左右必减均度，得一时之实行，在最庳左右必加均度，得一时之实行耳。既以实行推定总时刻，则以食既至食甚之时，减先定食甚时刻分秒，得食既时刻分秒；以相加得生光时刻分秒。又以减食甚前总时，得初亏；以相加得复圎。又以初亏减复圎，得总食之时刻分秒。若初亏在子时前，复圎在子时后，则即以丑初为十三时【午正起算用小时】丑正为十四时，如是接续减之。

交食圗义第四求日月失光之面向何方位？则有两缘：其一，从太隂距黄道度作大圏，令过太隂、太阳两心【此日食也】或太隂与地景两心【此月食也】下至地平，周遭移指交食所向之方也。其二，黄道斜交于地平，日月随之行，遇食必有时向东南西北，有时向东北西南也。欲绘交食圗，必先察日月所向起复方位。苐旧法祗以隂阳二厯分别南北，殊粗率；今法必可得其度分，颇为繁细耳。

距度变日月食所向方位太隂食起复之间，以本行屡迁其度分，即作过两心【月心、地景心也】大圏至地平时刻各异，所向方位亦时刻各异，欲尽推之，其多无数，故当求其初亏、食既、食甚、生光、复圎五向而止。如图，甲为地景心，甲乙为黄道，戊丙为白道，两道之大距不逺，故作平行线论。初亏，太隂在丙；食既在丁；食甚在戊。即甲丙、甲丁、甲戊皆过月、地景两心之弧。因太隂渐近于地景心甲，其距度逺近渐次不同，而乙甲丙角、乙甲丁角、乙甲戊角之小大亦不同，则太隂所向地平之方位度分亦不同。故恒以本距度推本角，如甲丙初亏之距为半景月半径并之，甲丁食既之距为半景减半月径之，甲戊食甚则为太隂之正距度也。甲戊丁角可当直角，不论其甲戊线与甲丙戊对角，若甲丙线与丁戊甲直角，得甲丙戊角与乙甲丙角相等【乙甲丙为所求】又甲丁戊三角形，依此法推甲丁戊角与乙角丁角【此为所求】相等，而食甚乙甲戊为直角，故在甲诸角其线不等，即所向方位不等。论日食，则甲丙为日月两半径，甲戊为太隂距太阳食甚之视度，以求甲丙戊角向下皆同前法。今更作圗，甲为景心，乙丙为黄道，若太隂初亏在乙，其入景之面必正向东。若复圎。在丙【初亏在乙，复圎必不在丙，故曰若指他食也】其出景。之面必正，向西皆无距度。故若其距。北在丁，或在戊，即入景之面，向东南。或西南，若其距南，或在己，或在庚，即入景之面，向东北或西北也。论日食，设甲为太阳心，其理同此，但出入之面所向，与月食所向正相反，此为异耳。

黄道出没变日月食所向方位黄赤两道之两交，切地平，若一在正卯，一在正酉，不偏南北，即诸方俱无濶度矣。外此或黄道距南，或距北，其距渐多，其出没之濶度去离卯酉亦渐多。又南北极愈髙，其相离更逺。如北极出地三十六度，黄道度去离春秋分或南或北一宫，其濶度左右各一十四度一十五分。若去离二宫，则更逺，其濶度各二十五度一十三分。最逺者得二十九度二十九分。若北极出地四十度，即一宫得濶度一十五度○四分，二宫得二十六度四十五分，最逺则三十一度一十九分也。太隂既随黄道行，其食也亦必依其濶度，则起复之所向方位，太隂亦必依濶度之左右也。今欲定其多寡如圗，南西北东为地平。圏丁甲戊为黄道食时得濶度戊距正。东若干太隂，心在丙；景心在甲。过两心。之庚、甲、己大圈，指己因戊黄道度，距正。东逺，己随之，距正东亦逺，而丙月之初。入景所向为己也。今求东己弧，先设辛为天顶出髙庳弧，过甲至壬为顶极圏。又作一癸午弧，与甲庚为直角。次甲乙丙小三角形，有乙丙距度，有甲丙两半径，有甲乙丙直角，依比例推得甲角。次以食时及甲景所躔黄道度，得戊甲辛角，即得其余辛甲乙角，又得辛甲乙所分之辛甲午角【减乙甲丙小角】次甲辛午三角形，有甲角，有午直角，又以北极髙及黄道距赤度，得甲辛弧可推得辛午线，以加辛癸象限，得午癸总弧为午己癸角，其余角为甲己壬也。而己甲壬为辛甲午之对角，甲壬为辛甲之余弧，因可推壬己弧。又戊甲壬三角形，有原推之甲戊，有甲壬戊直角，有乙甲辛相对之壬甲戊角，因可推壬戊弧，去减先得之壬己，余己戊为所求太隂初入景所向东南维之地平经度。以加初所得东戊弧，则得东己总弧。

月食圗西厯恒推日月食所向方位，以其所亏及复圎距度作图，求距度食甚前与食甚后为一法。以太隂自初亏至食甚之实行，加入太阳同时所行分秒，得太隂初亏至食甚在景之总分。以加前所定食甚交常度，得复圎交常度，以减得初亏交常度。次求初亏距度，则全数与其交常度，若黄白之大距度与其距度，求复圎距度仿此。假如崇祯五年壬申三月望，太隂初亏至食甚景中行过太阳四十○分一十六秒，为时四刻一十二分四十三秒。同时太阳行二分五十七秒，以加前行得四十三分一十三秒，为太隂在景之总行。其食甚交常度为过中交八度三十五分五十八秒，以加太隂总行四十三分一十三秒，得复圎交常度一十○度一十九分一十一秒。其正▯一七九一四，以减得初亏交常度七度五十二分四十五秒。其正▯一三七一○，算得太隂初亏距度四十一分，复圆四十九分三十○秒。若用表以时分查太阳本行，以交常度查太隂距度，更易得矣。欲依本食作圗，其外大圈之半径为月半径地半景并，得一度○四分三十二秒【量用比例规或先平分一直线】内取食时所得地半景【此为四十六分三十五秒】作内圈以当景次查距度此食在南初亏四。十一分复圆，四十九分得太隂初。在乙后，在丁食甚，亦依其距度在。丙为食之，定分圗上下左右，书四。方其起复，所向方位，必与天合也。

新法算书巻六十七<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>钦定四库全书新法算书卷六十八。明徐光启等撰。交食厯指巻五。

视差以人目为主第一　四章前言，实防、中防、视时、食限等，皆日月食之公法也。是皆凖于地心。今再论月食生于地景，景生于日，故天上之实食即人所见之视食，无二食也。日食不然，有天上之实食，有人所见之视食，其食分之有无多寡，加时之早晚先后，各各不同。推步日食难于太隂者，以此。其推算视食，则依人目与地面为凖。

视防凡交防者，必参相直，不参直不相掩也。日之有实食也，地心与月与日参居一线之上也。其有视食也，人目与月与日参居一线之上也。人目居地面之上，与地心相距之差为大地之半径，则所见日食与实食恒偏左偏右，分为两直线，各至于宗动天，其所指不得同度分，是生视差，而人目所参对之线不得为实防，而特为视防。如图，甲为地心，乙为地面，丙为天顶，若丁为日，戊为月，即在甲丙一直线上，则实防即为视防，因地心与人目无分线故也。若日在辛，必月在壬方，与地面乙作一线。为视防矣，若月至己与地心甲作一线。则实防也。今言交食，惟以目见为慿故。日食全论，视防若所居地面不同，即食。分多寡，加时早晏，亦随之异也。又视防。实防在日月，本天皆无度分可指，而全依宗动天之黄道圏度分，则此实防线所指谓之实度，视防线所指谓之视度。如图，甲辛线所指为黄道之庚，则庚为太阳之实度。若乙目视辛日至黄道癸，视己月至黄道午，则癸为太阳之视度，午为太隂之视度也。

日月目见之度非实度譬之画图者，作平圆形，则一举手一运规，即得矣。若欲为螺旋线，先须依法作识，又依法作线，乃成形焉。测天之法，亦犹是耳。今欲知日月纒离东西南北，亦转仪闚表，一览可知。若欲定其本行所在，则非聊一寓目，遽能得之，必先后累测度分，展转较勘，乃可定也。假令目居地之中心【地之心即宗动天之心】极目所见，则有恒星以当彼界，两界中间有日月五星，是名七曜。七曜相视，有逺有近，无有同者。即论一曜，亦各时逺时近，无时同者，是则目所能见也。然因目所见，得其视度于彼界，因以视度测其与某恒星相距若干度分，因以是度推其实与地相距若干逺近，则可谓即目所见，遂得其实行。能分别其去地逺近，则不可。何者？七政诸本天虽居恒星天之内，乃不见火木土等内天之星，以本体能掩最外之恒星，则何从辩其内外逺近乎？又目所见者，太隂太阳二体相若，何从知其内外之相距絶远？二体之小大絶不相等乎？内天之两星参对于外天之两经星，目见之能知外者之两相距甚逺，内者之两相距不甚逺乎？是三者皆目力难慿之效也。或曰：是则然矣，测量之法皆慿目所见也，则可废乎？曰：何可废也！惟测内天之星，得彼界所指之防，以为即在恒星之天，聊可得之矣。何者？凡用在界之弧以测其辏心之角，无弗真者。目测恒星之天，其在地面与其在地心也，无以异【地居恒星天中，止当一防】若测内天诸曜，目虽不在地心，相距亦不甚逺，故测日月五星于彼界上得防，即与实度相近【曰聊可得之，曰距不甚逺，曰近其实度，皆因有地半径视差故】但恒星有时不见，或与内天诸曜不相值，故厯家以地平代恒星，更用逺视之噐，以助目力，得日月五星之视度分，依法推步，乃正得其实度分矣。

人目差两目赅存，不惟相助以为明，相代以备患，亦能彼此互用，以察物之逺近。葢各以其心【目睛最中之一防为心】受外物之象，其过心之两直线至物体则相遇为两腰，两睛心自相距为底，成三角形，因以其比例之大小别物距目之逺近，是谓目差。縁此可推天上之视差，以小喻大，其理一也。若物大逺于人目，则底线极小，两腰极长，是过睛心之两径线与平行无异。正如地球比恒星天之高，特以一防为底，视差无所繇生矣。如图，两目之心为甲，为乙；目所视之物为丙。若甲乙线。可比于甲丙线【可比者不甚逺则有比例】则两戊己径线渐相就，如己而相遇于丙若物更相近为丁则两径速相就为辛庚【甲乙丙及甲乙丁两三角形皆等边又同一底线则丁角大于丙角而丁甲乙角必小于丙甲乙角】而两目之光线皆从己敛向于庚，自觉所视之物变逺为近矣。若物与目相去甚逺，则无比例者，因两径絶难相就，絶难相遇故也。今借此理明视差之公理，如本图设丁物之前有横堵为壬癸，令甲目独视丁物，则所见若在壬；令乙目独视丁，则所见反在癸。而丁前丁后两交角形必相似，即丁物亦不逺于壬，不逺于癸。葢视之目分两线为交角，即能分本物之逺近也。若不能分两线，即不能分逺近。

地半径差目视星欲辨六曜【月五星也】在恒星之内，势不能也，则当借地体之大补目力之不及，法用地半径为底，以推测量所指之界，即可得七政逺近上下各居本天之实处。如图，甲乙两目相距为底，则二寸耳，今以两地相距数千里或数里当之以为底，如甲为顺天府，乙为广州府，丁为太隂，两人同测之一在甲，一在乙，因此大底之逺近比于各距太隂之两腰得大小之比例，则甲丁及乙丁两直线必觉彼此相就以趋于丁矣再使壬癸为列宿天之两恒星【或壬癸为太阳之全体，壬当其南，周癸当其北，周】测者一从甲见太隂丁，若在壬，以夲体合于一星之体【或太隂之南周，齐太阳之南周】一从乙测太隂，反在癸，转就北，以合于他星【或太阳之北周】若甲乙两测之距愈相逺，即所见丁月两指之极高亦愈相逺【一偏南，一偏北，东西亦同】而人在甲能见太隂掩日为日食，人在乙即不可得见矣。以此壬癸当宗动天上之弧，正所谓视差，与前言目见之小视差，其理一也。第两人相距千里万里，同时并测太隂，其势甚难，故立别法代之【详见本书第六卷，下文畧言之】假令人正居地心，推其所得太隂距天顶应若干度分，又同时居地面者实测太隂距天顶得若干度分，两度之差，即所谓视差也。如图甲乙丙为地球，丁为天顶，甲戊丁直线所至也。若太隂在此线左右，为己从甲地心测月见之。当在庚，自地面乙测之，乃在辛，则先。推定丁甲庚角，或所当之丁庚弧后。推丁乙辛角，或所当之丁辛弧【乙距甲与乙距丁无比例，甲乙至小故】以两角或两弧相减，得视差之弧庚辛。问：一星距天顶，测其宗动天上所指度分，在地心测之，则距近；在地面测之，则距逺。若论角，则地面之乙角大于地心之甲角，何以证之？其故何也？曰：因其一逺一近。如图，太隂在本天，其距顶之弧为己戊。己戊之距地心甲，与其距地面乙逺近之差，则目所能识也，所能分也。【因地之半径与月本天之半径有比例故】则目之在甲与在乙所受己戊弧之象，实不能无大。小为己，戊弧等，而两角之大小不等。【目受物象皆以角形见】交食第一卷】相近者必大逺者必小也】角既有大有小所相当之弧不得不有大小则辛之距天顶视庚之距天顶不得不逺矣又论辛庚视差实为辛甲庚角所定何用辛己庚或甲己乙角乎曰甲乙线与甲庚线无比例【小大絶逺故】而甲乙与甲己则有比例即甲己与甲庚亦无比例也既甲乙与甲己同为微末不以入算则用辛、己、庚角代辛、甲、庚角，无以异矣。若论角则丁乙辛角与丁辛弧相当【因甲乙与乙丁无大小之比例】又丁乙己角与乙甲己及甲。己乙两角并等【见几何第一卷十六题】则两角并亦与丁辛弧相当矣。今丁庚弧既与丁甲庚角相当，则余弧庚辛必与余角甲己乙，或辛己庚相当也。

视差以天顶为限第二　六章人目在地面，或在地心仰视天，所得日月道相参直者，止有一；不同者，无数。过两目之垂线，止一至顶之线；此外分离，处处各异。

三视差视防与实防无异者，惟有正当天顶之一防。过此，以地半径，以日月距地之逺，测太阳及太隂实有三等视差。其法，以地半径为一边，以太阳太隂各距地之逺为一边，以二曜高度为一边，成三角形，用以得高庳差一也。又偏南而变纬度，得南北差二也。以黄道九十度限，偏左偏右而变纬度，得东西差三也。因东西视差，故太阳与太隂防有先后迟速之变。二曜之防在黄平象限度东，即未得实防而先得视防；若在黄平象限西，则先得实防而后得视防。所谓中前宜减，中后宜加者也。因南北视差，故太隂距度有广狭，食分有大小之变。如人在夏至之北测太隂，得南北视差，即以加于太隂实距南度，以减于实距北度。又东西南北两视差皆以黄平象限为主。葢正当九十度限，絶无东西差，而反得最大南北差。距九十度渐逺，南北差渐小，东西差渐大，至最逺乃全与高庳差为一也【三差恒合为句股形，高庳其▯，南北其股，东西其句。至极南则▯与股合，至极东极西则▯与句合也】

论日月视高差太阳出地平上，渐升至天顶，得九十度。在夏至，则离赤道北二十三度半，为丁辛。如北极出地四十度，即赤道离地平五十度，加丁辛二十三度半，得七十三度半，此日在午正之高也。今太阳未至子午圏，别作一高弧，从甲过。太阳垂至地平上，为甲乙丙弧。其乙丙既，太阳未及午正之圏，即其高不至七十三度也。两曜去天顶有高庳，与恒星有逺近，时时处处不同，故其视差大小亦各不同。惟曜在天顶，则无差；若下几度，则少差，愈庳愈差，庳至于地平，则得其极大差矣。今先论太隂，如图甲为地。心乙为地面，丙为天顶，丁己为太隂。本天丙戊为恒星天，若人在地心，甲视太隂正在地平，己直至戊，在参宿。

第三星下人在地面乙视太隂己直至壬在参宿第一星下，是壬戊不同度，至一度○六分，为太隂之极大视高差。若太隂高至庚至辛，视差渐减，如在丁直视至丙，人在甲与在乙，悉无交角，无差分矣。太隂距地心最近者为乙，地面至其本体得为地半径者五十六个【后言一个者皆一地半径省文也】若太阳甚逺于地，自地面至日轮得一千余个，其差更小，日。出地平之最大差，止三分；渐高，渐小。矣，凡推日食，恒以太阳之视差减太隂之视差，得两曜之视差。假如甲乙，为地球，丙丁为日月，本天皆如前，于最上之天【或指宗动，或指恒星，其理同也】得戊庚为太隂视差，得己庚为太阳视差，相减得戊己为两曜之高庳视差。

求太阳高庳差凡地半径与星距地心之逺，此两直线若能为大小之比例者，即人在地面所测与星所在之实度分不一，是为视差。若星距地甚逺，其距逺之线极大，地半径极小，两线絶不能为比例，即人所测与地心所出两直线所指之度不能分，即不能为视差。故求星之距地逺近，恒以视差为证，以视差之多寡不等推其距地逺近亦不等。如测恒星无视差，可证其距地最逺；测填星防有之，仅得数秒；而测太隂所得过一度，因知七政之最逺者为填星，最近者为太隂，而太阳得视差三分，当在其中央矣。太阳太隂之距地逺近，如前以月食求之，其法更易。今以其逺近及地半径反推其视差，定为高庳差表。如图，甲乙为地半径，甲戊为太阳距地心之逺，任在本天最高或最庳或高庳之间皆有小异。今设在高庳之间者，如日初出在丙，则甲乙丙三角形内乙甲丙为直角。甲角直线为甲乙者，一千一百四十。二个【此中数也】推得甲丙乙角三分，为太。阳之最大，高庳差若太阳在丁，其丙。丁高弧三十度，则以余弧之乙甲丁。角推得高庳差二分三十六秒，为甲丁乙角。若丙丁高弧六十度，则甲丁乙为一分三十秒。依高度推高差，皆凖此。至天顶戊，即无差。

求太隂高庳差太隂之距地既近，视差既大，即其在本轮之最高、最庳，次轮之最逺、最近，视差大小亦皆变易。其在本轮最高，次轮最逺【一限】则距地依歌白泥算六十八个二十一分，以六十度高弧推之，得视差二十五分二十八秒。若在本轮最高，次轮最近【二限】距地六十五个三十○分，以同前高度推视差二十六分三十八秒。若在本轮最庳，次轮最近【三限】其距地五十五个○八分，以同高弧推得视差三十一分四十二秒。若本轮最庳，次轮最逺【四限】距地五十二个一十七分，以同高度推得三十三分二十八秒，是为同六十度弧之最大视差。若他高度，其法同此，所推视差各异矣。又太隂在小轮高庳逺近，时时变易，视差随之，无能不变。欲考其几何，如图，甲为太隂本轮之心，从地心壬出直线，过甲至辛指最高，于乙最庳，于丙。

是为次轮心一在最高一在最庳而己丁及庚戊两弧皆设六十度引乙丁及丙戊直线得甲乙丁及甲丙戊两三角形。今先求次轮在本轮最高逺近之间各度生何视差。借太隂厯指所定，以地半径量诸轮之半径，得甲己为五个一十一分，甲壬为六十个一十八分，而己辛止得二个五十一分。则甲乙丁三角形内得乙丁为一个二十五分【地半径为个个六十分】甲乙为六个三十六分，丁乙甲角六十度，推得甲丁线六个○七分。以并壬甲总得六十六个二十五分，大于壬己线五十五径分有竒，是名剰分。今更设比例分论之，如壬己为六十比分，即己辛得二比分三十七秒，而剰径分五十五当化为四十六比秒。又己辛当六十比分，依法推得一十八分正【六十与一十八若二分三十七秒与四十六秒】为次轮上六十度己丁所求高差，应减于最近己高差也。次论甲丙戊三角形，其两线甲丙戊角及剰分同前，但壬庚线得五十五个○八分，亦以当六十比分，即庚癸得三比分○七秒，而剰径为五十五比秒。又庚癸当六十比分，亦推得一十八分【六十与一十八若三分○七秒与五十五秒】是为次轮上六十度庚戊所求高差，应加于最近庚高差也。葢依前所定四限丁六十度，在一辛二己逺近之间，高于己得视差少于己，故剰分推视差以减于己得太隂在己正高庳差。戊六十度在三庚四癸逺近之间，庳于庚得视差多于庚，故剰分所推视差以加于庚得太隂在戊正高庳差也。其余次轮之逺近度求视差，皆凖此。

太隂在朔高庳视差本书二卷，论太隂交防时，恒居次轮之最近，所谓第二、第三限，在前图，为己为庚也。因太隂食日加时，恒不在本轮之最高、最庳，而月行次轮周，恒倍于本轮周，故朔望时太隂恒在次轮之最近。最近所行之周，名本轮之内圏，是大于次轮，小于本轮，以己庚相距之线为径。今欲求内圏之上下左右各度，得何高庳视差，如图己丙庚，内圏己为高最逺，庚为庳最近，乙距地心，甲为地半径。六十个一十八分【设歌白泥之数以为】

法】己丙弧六十度乙丙得五个一十一分与甲乙六十个十八分同类之径分也，以甲乙丙三角形推太隂在丙，距二限已六十度，得甲丙线六十三个○四分，因得甲己六十五个三十○分，剰得二个二十八分。今设己庚为六十○比分，即推得一十四比分【六十与一十四若己庚十个二十二分与剰径二个二十八分】为剰分，以推太隂在丙之视差加于在己之视差，得太隂之真视差。假如太隂距天顶四十二度，在本轮七十二度，在次轮六十○度，总论其变视差，以距顶倍之度查本表得太隂在逺近之第二限有高庳差三十五分三十一秒，以较第一限赢一分二十九秒，今距第二限六十○度，依前法推得一十八分，而六十分与一分二十九秒若一十八分与二十七秒，则于二限高庳差减二十七秒，余三十五分○四秒，是一二限间次轮行六十度之高庳差也，又第三限较第四限之视差不及者二分一十九秒，而六十与二分一十九秒若一十八分与四十二秒。

以四十二秒加于第三限之四十二分一十九秒为四十三分○一秒是三四限间，六十度之高庳视差。今太隂行本轮七十二度，又在二三限之间。法以丁戊上两视差相减，余七分五十七秒。于时太隂自行得二十比例分，则六十与七分五十七秒，若二十与二分三十九秒。以二分三十九秒加于前推一二限间次轮六十度之视差三十五分○四秒，得太隂居高庳逺近之间本轮七十二度，距天顶四十二度，次轮六十○度之真视差三十七分四十三秒。凡以距天顶余度求四限间之视差法，皆凖此。其在二三限日食所用，有立成视差表，依诸高度及距地逺近简之。

测日月求高庳视差借月食推太阳太隂距地心逺近而求视差，以三角形推算为常法。欲从天行求之，则测日月高度以比其实纬度，两度之较为高庳差也。隆庆六年壬申，有客星见王良北西，史第谷以视差求其距地之逺，立数法试之。其一，▯其至子午圏同恒星在极高度，测其相距逺，俟行半周在极庳度，复测之，得逺近之差，以推定其高庳差。其一，用北极出地度考之，从极上极下测一恒星，得其高庳差度，半之以加于下测之度，或减于上测之度。若未得北极出地之高度，即有视差。其一，南北相距两地同测一星，以较于北极或于恒星，彼此得度有差，则有视差。其一，测星之高度，依法以加以减，不正得其赤道上之本纬度，则视差所移易也。今测日月，其距极甚逺，又有出有入，非如北极恒星常见不隠，二曜亦不能同时并测，即诸法不可尽用。备述此者，明测▯之理，且以需他用耳。假如万厯十一年秋八月，太隂黄经度从冬至起得一十五度四十○分，黄道纬距北二度四十二分。第谷测其子午高得上周一十三度三十八分，其半径一十五分，蒙气八分，皆以减于高度，余实高度一十三度一十五分。因太隂在赤道南，以减本地赤道高度，得太隂赤道纬度二十○度五十○分。第以前黄道经纬推本方之实赤道纬仅一十九度五十七分，则以相减得五十四分，为太隂一十三度一十五分之高庳视差也。又万厯十五年六月，太隂黄经度从冬至起得七度五十○分，黄纬五度有竒，推其赤道实纬度一十八度○五分。测其上周高一十五度二十○分，下周一十四度四十六分，得径三十四分。太隂心高一十五度○三分，内减蒙气六分，余与赤道高相减得一十九度○八分，为太隂赤道距度。较实推赢一度○三分，是为本方之高庳视差也。从两视径观之，可见径大者近于最庳，小者近于最高，故所测高度畧同，所推视差大相逺矣。又万厯十四年九月，测太隂高四十五度，其视径三十四分。于时离鹑火宫十一度一十○分，而本度距地平正当黄道九十度限，不必用赤道纬度以求视差，祗以黄道实纬度四度四十五分，减视纬度距南五度三十○分，得四十五分，为太隂高四十五度之高庳视差也。

以四方分视差第三　五章视高差无定方，惟日躔月离所在，从天顶下垂线过曜至地平为直角，其过曜处分视实之高庳而已。至黄道经纬度，亦依视高而有变易，则因日月视度从黄道偏南北，或偏东西，或正或斜，随所在得其横直视差为南北东西差。

三视差总图前论视高差为过天顶大圏之弧，止向地平，随方取之。今论南北差，是过黄极，大圏之弧，为黄道两平行圏所限也。其一过实度，其一过视度。东西差则黄道之弧，为过黄极，两大圏所限也。亦一过实度，一过视度。三视差弧。独黄道正南北，或正东西，则合为一弧外，此必成三角形。以法推，每边之度分也，如图：甲乙为地半径。丙为太隂，丙丁为月，本天戊己庚。为黄道壬己癸为过天顶象限从。地心出直线过太隂为甲丙至宗。动天指其实度为辛，若从地面出乙丙线指其视度为午，则辛午弧为太隂高庳视差。午申弧与黄道平行，过太隂视度于午；未辛酉弧亦与黄道平行，过太隂实度于辛。则两平行弧间午未或辛亥为太隂南北视差。又亥辛及午未为过黄道极大圏之弧，则亥午在其中为太隂东西视差。合三视差得午未辛或亥辛午三角形。今依本图设日食在黄平象限西，太隂以实行在子正，对太阳在己，人在乙尚未见食，必太隂过东至丙，乙丙己参相直，则见食，是为视防，是实防在先，视防在后也。若食在黄平象限东，即反是。如次图更易见，设乙甲丁。为地平，戊为天顶，甲辛己为黄道，丙为其极，太阳或太隂在己为实度，但人不在地心，在地面。如庚视太隂，在壬则己。壬，为高差。从丙至己，至壬，作丙己、丙壬。两弧线，即得甲己线，交黄道于辛，而辛。

己为东西差辛壬为南北差高弧正交黄道南北东西差以高弧与黄道相交之角，分南北东西差，可得其防。何葢两弧相交，以直角则高弧正为距度弧，不偏东西，即絶无东西差，而高庳差径为南北差。若黄道自为高弧，而太隂在交处无距度，则高差径为东西差，而絶无南北差。若太隂有距度，则黄道不同于高弧，太隂不免有东西差亦并有南北差，如图，甲戊为黄。道即为高，弧与地平为直角，甲为天。顶太隂在丁，则其高差丁戊，即为东。西差若太隂距南或北作大圏过黄道之两极为乙丙，其距度为丁乙，丁丙，得甲乙，甲丙弧与甲丁弧必不等，又不交于乙丙弧之极，故甲乙丁，甲丙丁不能为直角，而并得南北东西差。且太隂愈近天顶，乙丙两角愈鋭，南北差愈多，太隂愈逺于天顶，两角渐大，殆如直角，而南北差渐少。

高弧斜交黄道南北东西差太隂有距度，求视差甚难，其理甚繁。其在交无距度者，稍易，稍简，故先之。设黄道为甲乙丙，其斜交之高弧为丁乙戊。太隂无距度在乙，其视高差为乙戊，得南北差为丙戊，东西差为乙丙，成乙丙戊三角形。其形有丙戊为过黄道两极之弧，则乙丙戊为直角。有丙乙戊角其相当弧甲丁过高下圏及黄道极之弧也。有乙戊视高差法，以曲线三角形之理。推乙丙、丙戊两视差之弧，但此三角形。小其三边皆为大圏之弧，可用直线法推之。再设太隂不正在交，有距度，或南或北，如图：丁乙为过地平两极之高弧，甲乙丙为黄道，太隂距南在戊，距北在己，其黄经度在乙，从天顶得丁戊，为太隂距。南高弧丁，己为太隂，距北髙弧，因实。度在戊，在己；视度在庚，在壬，得戊庚。及己壬为太隂视高差，又得庚癸壬辛弧，其至癸至辛指太隂视经度与黄道为直角，今以实经纬及北极出地度算南北东西差。假如以北极高得乙丁过顶弧，又有乙戊为太隂距度弧，有甲乙丁为高弧交黄道之角，加甲乙戊直角，得丁乙戊角，可推丁戊弧及丁戊乙角。若太隂距北，有丁乙己为高弧交黄道角之余角，亦可推丁己弧及丁己乙角。又查丁戊、丁己视高差表，得戊庚及己壬，而太隂距南，乙子戊三角形内有子乙戊直角，有乙子戊高弧交黄道之角，有戊乙距度弧，可推子乙及子戊弧，则子癸庚三角形内有子庚弧，有庚子癸角，有子癸庚为直角，可推庚癸视距度，去减乙戊实距度，得南北差，亦可推子癸黄道弧，减子乙得乙癸东西差。其太隂距北则乙癸己，三角形内有距度。乙己，有乙己。癸角有乙，直角可推乙癸及己癸弧。及乙、癸、己、角去，减己、壬，视高差得壬。癸弧，又壬辛、癸为直角，可推辛癸及壬辛于乙己距度去减壬辛，视距度余为南北差，乙癸减辛癸余乙辛为东西差。如上説，细论视差于理为尽。若恒时推步，别有防法，力省大半。盖丁乙己角可当丁戊乙角，甲乙丁角可当乙癸己角，丁乙弧亦可当丁戊及丁己弧，故也。若本地距黄道逺，依此算即不得有差。惟黄道在天顶，太隂之大距五度，又在本天最庳，则差至六分，不得用此。若太阳将食，即太隂居食限之内，距度不过一度半，依省法算，所差者不过一分四十五秒，欲并无差，仍用原法。太隂无距度，以视高差求南北东西差。依图，乙壬戊为子午圏，乙甲丙为地平，壬为天顶，丁甲戊为黄道，壬己为高弧。太隂在辛，则辛己为视高差，自黄。极癸出，癸辛、癸己两大圏弧限辛庚。为东西差，庚己为南北差，此三角形。有己、庚、辛为直角，辛己为高差，更得。高弧交黄道之角，庚辛己，则视高差。辛己之正▯，与南北差庚己之正▯。

若全数与庚辛己角之正▯假如高弧交黄道之角，庚辛己得六十四度三十五分。一十五秒，其正▯九○三二四，视高。差▯辛己得五十八分三十六秒正。▯一七○四，算得正▯一五三九，查。其弧得五十二分五十四秒，为太隂。南北差庚己，此用正▯法也。或用加减算求南北差，则以辛己高差减庚辛己角，余六十三度三十六分三十九秒，得余▯四四四四六。又相加得六十五度三十三分五十一秒，其余▯四一三六八。两余▯相减，余三○七八，半之得一五三九，为南北差之正▯也。或用线求东西差，则全数与庚己南北差之割线，若辛己高差之余▯与庚辛东西差之余▯。或用角求东西差，则庚辛己曲线三角形甚小，可用直线三角形法，其高差之正▯与东西差之正▯，若全数与高弧交黄道角之余▯。假如用线推南北差五十二分五十四秒，得割线一○○○一一八五。视高差五十八分三十六秒，其余▯九九九八五四七，推得九九九九七三一为余▯，得二十五分一十秒为庚辛东西差。再以角求东西差，则庚辛己角之余▯四二九一三，高差之正▯一七○四，算得七三一为正弧，亦查得二十五分○八秒为东西差。或用加减算，则高弧交黄道角之余二十五度二十四分四十五秒，减高差余二十四度二十六分○九秒，其余▯九二○四二。加高差得二十六度二十三分二十一秒，其余▯八九五八○。两余▯相减，余二四六二，半之得正▯七三一，查得二十五分○八秒为庚辛东西差。太隂有距度，以高差求南北东西差。前题算有距视差法简矣，又有简于此者，但依太隂时距南、时距北分两图解之，如图：甲己丙为子午圏，甲乙丙。为地平，乙丁为黄道，天顶在己，太隂。在子则己癸为高弧，子癸为高差，又辛当北极，北极圏为戊庚，负黄道极。戊，自戊出大圏之弧，戊壬过丑，指太。隂实经度而丑子为实距度，又出一。大圏弧戊癸至太隂视度癸，从癸作垂线至壬，得壬子癸三角形，而子壬为南北差，壬癸为东西差【丑壬寅癸两弧小，故壬癸可当丑寅】欲求其几何，先依第一法，从天顶己连赤道极、黄道极为己戊辛三角形，形有两极相距之弧辛戊有北极出地之余，弧己辛有极至交圏。交于子午圏之己辛戊角，可推黄极。距天顶之线，己戊，次己戊子三角形。有黄极距天顶之弧，己戊。有太隂出。地高之余，弧己子，又有戊子在第一。图为象限戊丑加太隂实距度丑子之总弧，在第二图，为太隂实距度丑子之余弧，可推己子戊角，次子癸壬三角形有高差弧子癸，有壬子癸角，有子壬癸直角，可推子壬弧，是为太隂南北视差。又本三角形，以子癸高差，子壬南，此差推壬癸东西差。

假如第谷测太隂在▯枵宫初度五十六分，距南四度三十八分，日在申正五十○分，得太隂高弧九度二十○分，得高差五十四分二十○秒，其夲方北极出地五十五度五十四分三十○秒，即升度为三百一十二度四十三分，去减鹑首初之升度，余为极至圏交于子午圏之己辛戊角，而己辛及辛戊两弧皆不及九十度，则己辛戊为鋭角，法全数与第一弧之正▯若第二弧之正▯与他数【名先得之数】又全数与先得之数若两弧所包角之正矢与他数【名后得之数】而后得之数恒加于两弧较差之正矢，得第三弧之正矢，如前图。依第谷测，己辛戊三角形，求己戊弧。则两道大距，弧辛戊【第一弧】之正▯三。九九一五，其夲方极高，余己辛弧【第二弧】之正▯五六○五二，求先得之数。为二二三七三又己辛戊角【两弧所包角】四十二度四十三分，得正矢二六五二八，求后得之数为五九三五，以加两弧较差之正矢一六九六，得七六三一为己戊弧【第三弧】之正矢，查得二十二度三十一分四十一秒，以求己子戊角，则己戊子三角形内，全数与第一旁线之余割线若夲角旁次线之余割线与他数【名先得之数】又两旁线较差之正矢与对夲角线之正矢相减余为他数【名后得之数】而全数与先得之数若后得之数与本角之正矢，如前图己子【角旁次线】为太隂距天顶弧八十○度四十○分，余割线一○一三四二，戊子【第一旁线】为太隂距南加象限共九十四度三十八分，余割线一○○三二八，算得一○一六七四为先得之数，其较弧较差一十三度五十八分，得正矢二九五六，减己戊弧之正矢七六三一，得四六七四为后得之数，依法算得四七五四为己子戊角之正矢，查得一十七度四十四分一十五秒，以求子壬弧，则全数与子癸高差弧之切线若壬子癸角之余▯【壬子癸与己子戊两交角等】与子壬弧之切线，而子癸弧之切线一五九四，壬子癸角之余▯九五二四八，算得壬子弧之切线一五一八，查得五十二分一十○秒为太隂南北差之子壬弧，以求东西差，则全数与子癸弧之余▯九九九八七五一若子壬弧之正割线一○○○一一五一与壬癸弧之正割线，算得九九九九九○二为壬癸弧之正切线，查得一十五分一十○秒为太隂东西视差壬癸或寅丑又次法，甲乙地平，甲丙黄道，戊癸高弧，丁黄道极，皆同。前此图加戊辛为太隂，实经度出地。平高之余，弧而戊辛己三角形内，又有太隂实，高度之余，弧戊己有太隂。实距度己辛，以此三边径推戊己辛。角为高弧交太隂纬弧之角，其余角。【前图】或交角【后图】为壬、己、庚角。假如依前算，戊己八十○度四十○分，得余割线一○。一三、四二太隂距南辛己四度三十八。

分余割线一二三七九四七，算得一二。五、四、五、六、○，为先得之数，以本两弧之较差七十六度○二分，得正矢七五八。六四戊辛弧七十六度一十五分三十○秒，得正矢七六二四五，以相减得二八一，为后得之数。又算得四七六○为戊己辛角之正矢，查得一十七度四十五分，日食掩地面几何。太阳有全食，或周边无光而昼晦、星见者；有全食而周显金环者；又有食不全，而此地见食之分多，彼地见食之分寡者。今欲求见全食之地几何广，见金环几何逺；自见全食之地至尽不见食之地几何？更求相距几何地，即见食渐差一分。此四者大概依视差推算，种种具有法焉。

全食不见光之地面依第谷测定，▯气之高距地面上约有九里。欲求全食时得人所共见里数若干，即以▯气高与太隂视径及太阳光气内曲之角定之。葢交防时，太隂当日目之中，掩太阳光，其视径必大于太阳视径，而人目所周之地平自无光矣。但日光从最通明处射地而来，一遇次通明之蒙气，即曲而斜照【见本厯指第一卷】必依气之高低渐渐聚合广狭不等。如气太高，则光不至地面而聚合可无满景；气太低，则光一曲即至地，月景反觉开展不止恒测之界。今设气高九里，以絶日光，必月景近地占千余里，必太隂视径大于太阳视径四分有余，乃可论食在天顶也。若食在下度，则月径可小，景或反大。图中▯气高。为甲丁，求甲乙丙，以定甲丙，不受光气。之拓界乙丁乙丙皆地半径约一万二千里则乙丁与全数若甲乙与甲乙丙。角之割线算得一○○○六○，查本表得一度五十九分，为甲乙丙角。又全数与本角之切线，若丙乙线与甲丙线，得里数为五百一十九，即太隂在顶满景之半径也。而全径则一千○三十八里。葢食距地平高三十度，即太隂视径大于太阳视径止一分，必满景径得千余里，视径加大里数亦多。然防气差表未译，故止以地半径差别求之。法日月两半径相减，以差数加太阳视差，即于表中本高度前后查太隂高下视差，与得数等，即以高度差前后各得满景半径。若视差与得数不等，即以中比例法求相应之高弧，加于高度差。如太阳行最高，得视半径一十五分；太隂行最庳，得视半径一十七分二十○秒，差数为二分二十○秒。试以食在天顶【广东广西等处夏至时是】下二度为八十八，以本度查太阳视差表得六秒，加两半径差数得二分二十六秒，于太隂视差表中以八十八度查二分一十四秒，所不及者为一十二秒，依比例算得一十一分，宜加于二度，即更下去顶愈逺也。故天顶正下为满景之心，前下二度一十一分景缺，即初见光，其界限约五百四十六里；后下高弧等得里数亦等，共得一千○九十二，即同食甚时同见食掩地面之广也。欲论先后时刻，自初见满景至复见生光，则日月并随宗动天行之度化为里数，所得见满景必不止数千里矣。若太阳行最高，太隂在高庳之正中，其差数加太阳视差共一分二十○秒，算食甚时得满景二度二十八分，为里数六百一十七。又太阳及太隂皆在最庳，得总差数一分五十三秒，算食甚时得八百四十二里为满景。至于两径相等，或太隂不甚大于太阳，即无满景，因▯气曲光内射故也。试食甚在下，度距地平七十○度，太隂在最庳，得视差二十一分四十六秒，更下二度，得视差二十三分四十九秒，差二分○三秒，至两半径差数余一十七秒，加太阳在最高，从七十至下二度强所变视差度○七秒，总得二十四秒，即以比例算应高弧二十四分，总得二度二十四分，化为里得六百，即地平上自中往后见满景之地也。若往前，设地平高七十二，太隂视差一十九分四十○秒，较于太隂高七十度之视差差二分○六秒，至两半径差余一十四秒，加太阳变视差七秒【上下加求太隂从太阳视差故】总得二十一秒，因以比例算得二十分，加于七十二度，化为里得五百八十三，即往前之满景前后相加总得一千一百八十三里，乃食甚同见满景之地也。依本法推算，食甚距天顶愈逺，得满景愈大，而自其中心论前后两半径必随高下度不等，如食甚距地平高四十○度，在前得三度二十三分，为八百四十六里【景之前应高度多查表求后景之后应高度少查表求前】在后得三度三十八分，为九百○八里，总七度○一分为一千七百五十四里。若食高二十○度，必前行一千四百八十三里，即五度五十六分，后行二千二百○八里，即八度五十○分，总三千六百九十一里为满景。因视差近地平变少，必度多，即得变数与两径差数等，径差少【或太阳在最庳或太隂距最庳畧逺】即高度进退亦少，里数亦减矣。

见金环之地面太阳在最高，其视径较太隂在最高之视径畧小，较在中或最庳愈小无比。故全食之食甚不显余光，而周无金环明矣。其在中距，与太隂在最高之视径等，虽因▯气可显金环，然以大小之故不能毕露，且▯气所生大小随时随处不一，则亦无从可定耳。自中距以下，太阳视径渐大，较太隂在最高至最庳，即大三十○秒矣。设食甚在天顶，因周大一十五秒，得四围去中心逺四分度之一，而可见金环者约有六十二里，乃全径则一百二十五里，为此时所同见。至先后可见之地者又不止此。若食甚距天顶愈逺，得金环愈大，假如距四十度【高弧五十度】依前一十五秒应得二十分，全径则四十余分。以三十度高弧应得全径一度，二十度高弧应得一度半，一十○度应得四度，化为里约一千里。何也？因视差近地平变少得度多故也。若论▯气愈加，得金环愈大。因此第谷居北方，设月朔半径大于望半径，亦此意也。总见食之地面。求满景及金环，俱以日月视径为主。如太隂大于太阳，则生满景；太阳反大，即为金环。此一定之理也。今欲得满与缺之景，防何？或从见满景地面【食既是】至渐不见景地面【复圎是】即以两曜最高最庳之行求之。葢日月皆在最高，见食地面少；皆在最庳，见食地面反多【因正在高庳故，倘相距渐逺，其食景大小亦渐变易】一在高，一在庳，则见食多寡均矣。论天顶全食法，加日月两半径以总数，查表所得数或等或小，加此两数之差，更加太阳视差，复得总数，复查表其旁所得高度，即自景中心至不见食之界也【总数不正合髙度，用中比例法求之】假如日月皆在最高，加其半径总得三十○分一十五秒，查表太隂距地最逺之方所对六十高度得三十○分○六秒，较两半径总数差九秒，太阳视差○一分二十七秒，三数并加共得三十一分四十二秒，在高度五十九及五十八间【自顶往下故】以中比例推得四十六分，乃自天顶至周界得三十一度四十六分，为总见食地面之半径，而全径则六十三度三十二分，化为里共得一万五千八百八十三。使日月皆在最库，两半径数并得三十二分五十○秒，查表本方内得相对高度五十九，依前法推得不止五十八度，即见食之界距顶三十二度五十○分，共六十五度四十分，为里一万六千四百一十七。若太阳在最高，太隂在最庳，总得六十四度一十八分，即一万六千零七十五里。使太隂在最高，太阳在最庳，算得六十四度五十二分，为里一万六千二百一十七。若论全食，在下度，食愈低，其景愈大。但地面不全受景，则人目在地面同见食之广，不全依高低度。何云食愈低，其景愈大？视日月两轮大小约等，以中心与目正对，皆居一直线上，虽相距实逺，目视之若同为一轮，同在一度。

今欲见其两心相离，不正在一线，则自此地至彼地势若横行然。葢高度全食前后左右皆于日月为横行，愈高愈横，得景亦少。若全食在下度，或前或后【以髙弧及同见为主，前后非东西南北可定，必随日月所居方并过目圏为是】多为对行而非横行，愈下愈对，必行之多始得其体之离。惟多行故迟出景外，所以食在下度愈低得景愈广矣。何云不全受景？见日食即因日月目并居一直线上【此论以体相对，虽心不正在一直线，防合亦无妨】今全食在高度，或前或后行，凡日月目直线可对者，自正以心相对，惟去离渐逺，至以边相对，则以见食至复圆为止。若全食在下度，目少进即见食渐高，至两曜以边居直线上，亦能尽见其复圆。使目退行少许，见食渐低，两曜先至地平，不及以边居线上，因而体虽尚对，而所余食分为目所不见矣。纵使更退，亦不得见复圆。故地面所受之景乃地景【日巳没故】非日食之景耳。推下度全食之景法，日月两半径并与食甚高度，太隂之视差顺表相减，余数加太阳视差总数，复查表得数等，其旁所遇高度即为前行见食之界。若不等，以中比例求相应之高度，与表两半径并加太隂视差，更加太阳自食甚高度至夲总数相应高度所变视差，而末所得总数必应高度，即后行见食之界。如日月皆在最高，两半径并得三十○分一十五秒，设食甚高八十○度，太隂视差在此为一十○分二十九秒，两分数相减余一十九分四十六秒，约应高度七十一，得太阳视差五十。六秒以加总得二十○分四十二秒，乃又应高弧六十九度五十五分，即前行至日月过顶二十○度○五分而见食地面，共为三十○度○五分。若后行两分数，宜加得四十○分四十四秒，约应高弧四十七度。太阳视差自八十至此变一分二十九秒，以加总得四十二分一十三秒，应四十五度一十六分，即日月高相离之界，共为三十四度四十四分，乃后行见食地面之径也。设食甚高为六十○度，依本法算得前行见界距三十○度○九分，过天顶较前径畧长，后行则景长无比，必行六十度始见下地平。其未见复圎者八十余秒，而前后地面见景为九十余度。设食甚高四十度，必前行三十四度一十四分，后行四十度，乃下地平尚见食五分八十余秒，总见景者七十四度。设高二十度，往前得四十三度二十分，往后行二十度止得见复光约一分，总度六十三度有余，愈下愈见少。即此可知同见食之广不全依高低度，因地面不全受景故也。若日月皆在最庳，得半径并最大数为三十二分五十○秒。设高八十度，必前行三十一度，后行三十六度，共六十七度所同见食，较前畧广。设高六十○度，即前行三十一度，后行六十度，未可见复圆。

葢所少为一分二十秒耳。大概依余日月半径及余高度，求同见食之地面，皆仿此算，而以度数更求里数。论先后见食，则以总食之时及时气两视差细求之可也。

见食进退一分应地面几何太阳任在本轮高庳，距天顶逺近，及在四方偏正，俱分一十平分而见食。地面则依高弧取前后，以定其径。葢径之大小依高度前后不能为同。即前所云，较食在下度与食在高度自得更大。乃论满景之公公论也。今又设为全食，如前行，即太阳从下生光渐至上复圆；若后行，即从上生光至下复圆。总进退间止在一十分内。欲算法于度数之分所应任取之径分，加太阳视差及日月各半径不等之分秒总数，查表其旁所对高度，即本径分之景界，化为里得见本食之地面矣。假如日月皆在最高，食甚在天顶，设生光为一径分【食退是】求所应之度，即十径分与三十○分【太阳全径度数之分】若一径分与三度数之分，以本三分入表查太阳视差九秒，更有日月两半径不等之一十五秒，总得三分二十四秒，应三度一十三分，即去顶生光之界共八百零四里。若生光得太阳半径，即五径分，当一十五度数之分，加太阳视差四十五秒及两半径不等之一十五秒，共得一十六分，应一十五度二十四分，距顶之界。试以复圆即三十○分，查太阳视差一分二十七秒，加半径不等之秒总得三十一分四十二秒，应三十一度四十六分，乃与前求总景之数正合。若食若在下度，如高六十○度，求一径分相应之高弧，即以三度数之分如本六十高度太隂视差得三十三分○六秒，约对五十七高度。因至此太阳变视差八秒宜加，且更加两半径不等之秒，总得三十三分二十九秒，应五十六度一十○分，即自食甚至一径分生光得三度五十分，较前算自顶退一径分多得三十七分为一百五十余里。若求五径分应几何，即于六十度太隂视差加一十五分得四十五分○六秒，对四十一度查太阳变视差四十四秒，加两半径不等之秒。总得四十六分○五秒，应四十○度四十五秒，自食甚至半径，生光得一十九度一十五分，较前多三度五十一分。若日月在本圏别度，得视径大小较最高不同，必先求径分所应度数之分几何，然后依本法算，而进食之分与生光之分亦同一理也。

日食掩地面总图甲为太阳，乙为太隂，丙为目，三者于食甚时皆居一直线上，以心相正对也。设太阳视径小于太隂视径为丁戊，即地面得满景为壬辛，必自中心丙至壬至辛乃可见丁戊日轮之边耳。设太阳视径大于太隂视径为庚癸，而目在中心丙，以丙巳、丙子直线见太阳庚癸边，必周得金环；倘退至壬或进至辛，即不见之矣。论满景总为丑卯，自中心丙进前至卯，即以卯丁直线见日轮复圆；退后至丑，即以丑戊直线亦见复圆。径之大小在高度低度，其理一也。