新法筭书卷八十三

新法筭书卷八十三

钦定四库全书新法筭书卷八十四。明。徐光启等。撰。防何要法。

总説圜成于线。线有二种：为曲，为直。直线或单，或众。前卷已详之。众线或三而成三角形，或四而成方形，或多而成诸不等形。曲线或半，或全。半线有不等之用。全线或成圜形，或成卯形等角形及方形、卯形，详见后卷。今先论圜形。

界说章第一【十二则】

第一界圆形于平地居一界之间为圜第二界外圆线为圜之界第三界圜之中处为圜心第四界自圜之界作一直线，过中心至他界，为圜径，如上图甲。丁、乙、戊为圜界，丙为心，甲、乙为径。

第五界凡直线切圜界，过之而不与界交者，为切线。如上图，甲乙丙线是也。若先切圜界而引之入圜内，则谓之交线。如丁戊是也。

第六界凡两圜相切而不相交者，为切圜；相切而相入者，为交圜。加上图。

第七界凡直线形居他直线形内，而此形之各角切他形之各邉，为形内切形。如上图，丁戊己为甲乙丙形内切形。

第八界凡直线形居他直线形外，而此形之各邉切他形之各角，为形外切形，如前图，甲乙丙为丁戊己形外切形，其余各形仿此二例。

第九界直线形之各角，切圜之界，为圜内切形。如上图甲乙丙形之三角，各切圜界于甲，于乙，于丙，是也。圜之界切直线形之各角，为形外切。

圜同上图第十界直线形之各邉切圜之界，为圜外切形。如上甲乙丙形之三邉，切圜于丁，于己，于戊，是也。

第十一界一圜之界，切直线形之各邉，为形内切圜，如前图。

第十二界一直线之两界各抵圜界，为合圜线，如上图之甲乙线。

造规章第二【法有四】圜形以至圆为凖，至圆必出于规，规必欲极凖极顺，其用甚活，乃堪造厯。凡造规之法有四，详列于后。

第一法先以铜或鐡范成二股，上濶下窄，至末而鋭，近头小半截作凹凸状，令可相合。次以钉钉其圆头，贵寛▯得宜，任意可开收。规下半截为规髀，一规髀作墨池，如首卷第三章法以适用。凡欲造厯象，必须备规，其造式见后规图。

第二法凡规有三用，一画虚线则须铅条，当先以铜叶为管，虚其中，横开小路上套小铜圜，可上下松▯以出入铅条，末畧奓出以留小圜，如下甲图。一画墨线则当作墨路，如前章法，如下乙图。一画铜板线须以纯钢为末，如下丙图。右三髀俱另作不相连本规，其本规如前法造，但截去一髀，临截处长半寸许，作一小箱状，虚其中，亦令方可受规髀柄，如下图丁处。箱面作旋螺用，时任入一规髀，以铜消息如旋螺者贯定之，如下戊图，则任意可画线，而一规可具三用矣。此为第二法，如下图。

第三法造厯恒用规依比例法分线分圜，或以大形移变小形，或以小度移变大度。其分法稍难，今作一四髀规，或铜或鐡，畧如剪形，上下作四规髀，上短下长，令上凖下度，或半，或三之一，或十之一及种种不等。则作线圜时，或欲以大变小，先以下髀取度，次以上髀移度；或欲以小变大，先以上髀取度，次以下髀移度，则得所求。其或半，或三之一，或十之一，俱从髀之长短而分，下愈长则度愈大，上愈短则度愈促。

第四法前三种规长不逾尺，止堪小用。如欲造玑衡大噐，则当更变其式如下图。其规以铜范为极，方条上下如一。任作防尺于条左末，作锥垂下二三寸，以纯钢为之。更造一锥与前锥等，上方寸许，仍凿方孔令透，可受方条。任逺近可推移，方孔旁更凿圆孔。仍前法作旋螺贯定方条，使两锥坚定不爽分毫。可画大圜如下图。

有圜求两平分之章第三【一法】如，有甲乙丙圜，求两平分。用尺，任以圜一处为界，正过心，画一直线，则圜体两平分矣。

有圜之分，求两平分之章，第四【一法】如有甲乙丙圜分，求两平分之。先于圜分两界作甲乙线，次两平分之于丁。从丁作丙丁，为甲乙之垂线【一卷第八章】即丙丁分甲乙圜分。为两平分，若有圜不露其心，又求两平分之，亦如此法。有圜，求四平分之。章第五【一法】

凡立天象，多用四分圜为周天四象限，故造法不可不凖。如有甲乙丙圜，求四平分，先以前法作甲乙线，过戊心两平分之。次依作垂线法，于戊心上自丙至丁作垂线，得所求。有圜求六平分之章第六【一法】凡厯家分周天度多用六数，或十二，或二十四。今详其法，如有一圜，求作六分，不用他法，惟以画圜之元规，周圜界六歩，则自然分为甲乙丙丁戊己六平分矣有圜求十二平分之章第七【一法】先以本卷五章法四平分于甲乙丙丁，次以画圜元规，从甲从乙上下各指一防，又从丙从丁左右各指一▯则得所求。若欲二十四分，毎分为两，则得所求矣。有圜求三百六十平分之章第八【一法】凡厯家所用，细分周天度，以三百六十为率，今详其法。如有甲乙丙圜，先依前法四平分之，为四象限，次以规元度依前法，十二平分为十二宫。就以所分十二宫各三分之，各包。十度次，毎十两平分之，各包五次。毎宫又五平分之，各包六。今用六。度之规至终不改，从子宫初一，度歩。起完一周，又次从初五度，初十度。十五度，二十度，二十五度，各歩完一周，则平分三百六十分矣。有圜之分，任截防度章第九【一法】如有甲乙圜之一分，欲取三十五度，如用常法，必须先求圜分之心，依后十一章法成圜，后均分三百六十，乃取三百六十之三十五分，其法颇繁。今有简妙法，先备一铜板，分一子丑寅象限为九十分，合极凖。设有甲乙圜之界，自甲起欲取三十五度之分，先从甲至圜心作甲丙半径线，如与子丑寅象限半径合，则移彼度，子卯至甲乙线上至庚，即得所求。如大小不合，则以规取子丑寅半径，以丙为心，或甲乙内或外作一圜分。若丁戊圜在外，则当引长甲丙线至丁，取子丑寅限三十五度，以丁为始，移于丁戊圜上至己。从丙心过己作一直线，截甲乙于庚，则甲庚为甲乙圜上三百六十分之三十五也。若所范铜板欲其用广，当从寅心重重作圜，与子丑平行。又自子丑外圜逐度引直线至寅心，后所欲取圜分之度。若其半径与子寅不等，或同于他子丑内圜之半径，则可径移其度于所分圜上。不尔，仍用前法。有圜求防其心章第十【一法】如有甲乙丙丁圜，欲求其心，先于圜之两界，任作一戊己直线，次以平分线法，作丙丁垂线，两平分之于庚，则庚为圜心。有圜之分，求成圜章第十一【一法】如有甲乙丙圜分，求成圜。先于圜分，任取三▯于甲，于乙，于丙。从甲至丙，丙至乙，各作一直线，各两平分于丁，于戊。次于丁、戊上各作垂线，相交处为己。末以己为心，以圜为界旋转，即得所。

求任设三防，不在一直线，求作一过三▯之圜。章第十二【法有二】

第一法如有甲乙丙三防，求作一圜贯之。先以甲为心，任取一度，向乙上下各作小圜分。又以乙为心，向甲，仍用元度，上下各作小圜分，相交处为丁，为戊。次又以甲为心，向丙上下作小圜分，如前。次以丙为心，亦如之，相交处为己，为庚。次从丁至戊，从己至庚，各作直线，相交处为辛。末以辛为心，任取一防为界，旋规成圜，即得所求。

第二法先以三防作三直线相聨成甲乙丙三角形，次平分两线于丁，于戊，次于丁戊上各作垂线，合相遇于己，末以己为心，甲为界作圜，即得所求。

有圜，求作合圜线，与所设线等。此设线不大于圜之径线。章第十三【一法】如有甲乙丙圜，求作合线与所设丁线等。其丁线不大于圜之径线，径为圜内之最大线，更大不可合。先作甲乙圜，径为乙丙。若乙丙与丁等者，即是合线。若丁小于径者，即于乙丙上截取乙戊与丁等，次以乙为心，戊为界，作甲戊圜，交甲乙丙圜于甲末，作甲乙合线，即与丁等。何者？甲乙与乙戊等，则与丁等。三角形求作形外切圜章第十四【一法】甲乙丙角形，求作形外切圜。先平分两邉于丁，于戊。次于丁戊上各作垂线，为己丁，己戊，而相遇于己。末以己为心，甲为界，作圜，必切甲乙丙，而为三角形之形外切圜。三角形求作形内切圜章第十五【一法】甲乙丙角形，求作形内切圜。先以甲乙丙角、甲丙乙角各两平分之，作乙丁、丙丁两直线，相遇于丁。次自丁至角形之三邉各作垂线，为丁己、丁庚、丁戊。末以丁为心，戊为界，作圜，即过庚、己。为戊、庚、己圜，而切角形之甲乙、乙丙、丙甲三邉于戊，于己，于庚。此为形内切圜。有圜，求作圜内三角切形，与所设三角形等角。章第十六甲乙丙圜，求作圜内三角切形。其三角与所设丁戊己形之三角各等。先作庚辛线切圜于甲，次作庚甲乙角与设形之己角等，次作辛甲丙角与设形之戊角等，末作乙丙线，即圜内三角切形与所设丁戊己形等角。

有圜，求作圜外三角切形，与所设三角形等角。章第十七甲乙丙圜，求作圜外三角切形，其三角与所设丁戊己形之三角各等。先于戊己邉各引长之为庚辛，次于圜界抵心作甲壬线，次作甲壬乙角与丁戊庚等，次作乙壬丙角与丁己辛等。末于甲乙丙上作癸子、子丑、丑癸三垂线，此三线各切圜于甲、于乙、于丙，而相遇于子、于丑、于癸【若作甲丙线，即癸甲丙、癸丙甲两角小于两直角，而子癸、丑癸两线必相遇，余仿此】此癸子丑三角与所设丁戊己三角各等。有圜，求作内切圜直角方形章第十八。有甲乙丙丁圜，求作内切圜直角方形。先作甲丙、乙丁两径线，以直角相交于戊。次作甲乙、乙丙、丙丁、丁甲四线，即甲乙丙丁为内切圜直角方形。有圜求作外切圜直角方形章第十九【法有二】第一法。甲乙丙丁，圜其心，戊求外切圜直角方形。先作甲丙、乙丁两径线，以直角相交于戊。次于甲乙、丙丁作庚己、己辛、辛壬、壬庚四线，为两径末界之垂线，而相遇于己，于辛，于壬，于庚，即己庚壬。

辛为外形第二法以戊甲为度，依平行线法，作己庚、辛壬上下两线，与乙丁平行；次用元度，作己辛、庚壬左右两线，与甲丙平行，即得所求，同前图。有直角方形，求作形内切圜。章第二十。甲乙丙丁直角方形，求作形内切圜。先以四邉各两平分，于戊，于己，于庚，于辛，而作辛己、戊庚两线，相交于壬。末以壬为心，戊为界，作圜，必过戊、己、庚、辛，而切甲丁、丁丙、丙乙、乙甲四邉。是为。

形内切圜有直角方形，求作形外切圜。章第二十一。甲乙丙丁直角方形，求作外切圜。先作对角两线，为甲丙、乙丁，而交于戊。末以戊为心，甲为界，作圜，必过乙、丙、丁、甲，而为形外切圜。有圜，求作圜内五邉切形，其形等邉等角。章第二十二。如有甲乙丙丁戊圜，求作五邉内切圜形，等邉等角。先作己庚辛两邉等角形，而庚辛两角各倍大于己角。次于圜内作甲丙丁角形，与己庚辛角形各等角。次以甲丙丁、甲丁丙两角各两平分，作丙戊、丁乙两线。末作甲乙。乙丙丙丁丁戊戊甲五线相聨，即甲乙丙丁戊为五邉内切圜形，而五邉五角俱自相等。有一圜求作内切圜五邉及十邉形章二十三如有甲乙丙圜，心为丁，先作甲丙过心线，次作乙丁垂线，次平分丁丙线于戊，作乙戊线，次取戊乙度，移于径线为戊己，次作乙己直线。盖乙己为甲乙丙圜五分之一，以此为度，可作内切。圜五邉形，丁己度可作内切圜十邉形。有圜，求作圜外五邉切形，其形等邉等角。章第二十四。甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角，先依前章法作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形，次乃从己心作己甲，己乙，己丙，己丁，己戊五线，次从此五线作庚辛，辛壬，壬癸，癸子，子庚五垂线相遇于庚，于辛，于壬，于癸，于子。五垂线既切圜，即成外切圜，五邉形而等邉等角。五邉等邉等角形求作形内切圜章第二十五甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜，先分乙甲戊、甲乙丙两角各两平分，其线为己甲、己乙，而相遇于己。自己作己丙、己丁、己戊三线次，从己向各邉作己庚、己辛、己壬、己癸、己子五垂线，末作圜，以己为心，庚为界，必过辛、壬、癸、子、庚，而为甲乙丙丁戊五邉形之内切圜。五邉等邉等角形求作形外切圜章第二十六甲、乙、丙、丁、戊五邉等邉等角形，求作外切圜。先分乙甲、戊甲、乙丙两角各两平分，其线为己甲、己乙，而相遇于己。次从己作己丙、己丁、己戊三线，与己甲、己乙俱等。末以己为心，甲为界，作圜。

必过乙丙丁戊甲即得所求求作圜内六邉切形，其形等邉等角。章二十七。如有甲乙丙丁戊己圜其心庚，求作六邉内切圜形，等邉等角。先作甲丁径线，次以丁为心，庚为界作圜，两圜相交于丙，于戊。次从庚心作丙庚、戊庚两线，各引长之为丙己、戊乙。末作甲乙。乙丙，丙丁，丁戊，戊己，己甲六线相联，即得所求。求作圜内十五邉切形，其形等邉等角。章第二十八。如有甲乙丙圜，求作十五邉内切圜形，等邉等角。先作甲乙丙内切圜平邉三角形，即各邉当圜十五分之五。次从甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形，等角，各邉当圜十五分之三，而戊乙得。十五分之二次，以戊乙圜分取乙己度，两平分于壬，则壬乙得十五分之一次。作壬乙线，依壬乙共作十五合圜线，即得所求【以此为例，推用逓分，可作无量数形】圜内有同心圜，求作一多邉形，切大圜，不至小圜。其多邉为偶数，而等章第二十九。如，有甲、乙、丙、丁、戊两圜，同以己为心，求于甲、乙、丙大圜内作多边切形，不至戊、丁小圜。其多邉为偶数而等，先从己心作甲丙径线，截丁戊圜于戊也。次从戊作庚辛为甲戊之垂线，即庚辛线切丁戊圜于戊也。次以甲丙两平分于乙。乙丙两平分于壬，以壬丙两平分于癸，则丙癸圜分必小于丙庚，而作丙癸合圜线，即丙癸为所求切圜形之一邉也。次以癸丙为度，递分一圜，各作合圜线，得所求形。