新法算书卷九十二

新法算书卷九十二

钦定四库全书新法算书卷九十三。明。徐光启等。撰。测量全义卷七。球面曲线形。

圏内线相当之理每弧毎角有八种线，曰正▯，曰正切线，曰正割线，曰正矢，曰余▯，曰余切线，曰余割线，曰余矢，幷全数为九种。诸线内各有相当之理，皆依三边形等角比例法【防何六卷四题】如上图，丙丁为正弧，甲丁为正▯。丙、辛为正切线，乙、辛为正割线，甲。丙为正矢，戊丁为余▯，己壬为余。切线乙壬为余，割线戊己为余，矢乙己，乙丁，乙丙皆全数也。即辛丙乙壬己乙两形相似？何者？己丙两直角，己乙辛丙为平行线，辛乙直线割两平行，即其相对两内角必等。既丙辛乙壬乙己两角等，即其对边相似。一、全数为正▯余割线两率之中率。如丙丁弧之正▯为甲丁全数，为丁、乙，余割线为乙壬，则甲丁与丁。乙若乙己与乙壬矣？丁乙，乙己皆全数必等，则甲丁与丁乙，若丁乙与乙壬也。又全数为余▯正割线之中率，如戊丁与丁乙，若丁乙【与乙丙等故】与乙辛。一系凡四率，全数为中率【或二，或三】若第一率为正▯，即弃正▯而变余割线为中率全。数为第一，省而一；若第一率为余▯，则变正割线为中率。若第一率为正割线，则变余▯若第一率为余割线，则变正▯凡所变者，皆以易全数，而使为第一率。论曰：凡有连比例之三率，一率与二【如二与六】若二率与三【如六与十八】别有二数，其比例若连理之一率与二【如八与二十四】即可代用；或连理之一率与二【如二与六】若他数与别数【八与二十四】可也；或连理之二率与三【六与十八】若他数与别数【八与二十四】亦可也，为其比例等故也【皆三之一】今连理之一率为甲【正▯】二率为乙【全数】三率为丙【余割线】次有断理之第三率丁，第四率戊，即可代用，谓一甲【正▯】与二乙【全数】若三丁与四戊，可也；谓二乙【全数】与三丙【余割线】若三丁与四戊，亦可也。是于连理之三率二比中，弃前比而用后比，初以全数为第二，余割为三；今以全数为一，余割为二也。如三十八度一十七分之正▯六一九五五与全数，若三十度之正▯与某数，常法二三率相乘，以一率为法而一得第四。今法用三十八度一十七分之余割线一六一四○七为二率，以易全数而为第一，以二三率相乘，即得第四。何者，正▯全数余割线为连比例故也。二系：凡四率中无全数，若第一率为正▯，则变余割线为第一率；若第一率为余▯，则变正割线为第一率。法用一二率相乘得数，以全为法，去后五位，所存若干位与全数等而一，又以乘第三率得数如前而一得四率【名为而一者再，皆以全数为法，止减末位，不难也。常法一乘一除，此用两乗，犹是防法】假如一十八度四十○分之正▯三二○○六，与二十五度三十七分之正▯四三二三一，若六十三度三十二分之切线二○○八六二，与某数。其常法二三率相乘，第一率而一。今用防法，取一十八度四十分之余割线三一二四三九，乘第二率四三二三一，得一三五○七○○○○○○为实，以全数为法而一，得一三五○七○。又以第三率一二四三二二乘之，得一六七九二二○○○○○，以全为法而一，得一六七九二二为四率。二三○七三五，六十四度十九分之正割线。

又假设三率如一二二三四一二三四三二第一率变取六十四度十九分之余，▯四三三四○，以乗第二率，得数减后五位，以所存乘第三率，得数又减。

后五位所存即第四率二全数为正余两切线之中率如上圗，辛丙与丙乙，若乙己与己壬。何者？丙乙、乙己皆全数，则辛丙、丙乙【或乙己】己壬为三率连比例。系凡四率断比例，全数为中率。若第一为正切线，变余切线为中率，以易全为第一。若第一为余切线，变正切线为中率，以易全为第一。三正▯与余▯若全数与余切线，余▯与正▯若全数与正切线。如前圗甲丁与丁戊【即甲乙故】若乙己与己壬戊丁【即甲乙故】与甲丁；若乙丙与丙辛。系四率断比例，若一、二率为正▯与余▯，变为全数与余切线；若为余▯与正▯，变为全数与正切线。四、凡两弧之正割线与其余▯，为互相视之线；两弧之余割线与其正▯，为互相视之线。如上圗，丙癸、丙丁两弧，丙癸弧之正。割线为乙，寅丙丁弧之正割线为乙。辛、丙、癸弧之余，▯为庚、癸、丙、丁弧之余▯为戊丁，则乙寅与乙辛若戊丁。

与癸庚论曰：全数在正弧【丙癸】为其正割线【乙寅】及其余▯【癸庚】之中率；在他弧【丙丁】亦为其正割线【乙辛】及其余▯【丁戊】之中率。两理之各前后矩内形，各与全数上方形等【各为其中率故】即两矩内形自相等，其边互相视【防何六卷十四】五、凡两弧之正切线与其余切线，为互相视之线。同上论卷中诸圏，皆以曲线当圎球之大圏，相交相截。人目视球曲面，或近或逺，或上或下，或左或右，所见不同。有时视曲线而为直线，即同是曲线，而形象不一。葢平面图球不能尽球之理，宜从论説中领其意义，乃得耳。圆球原本内借论题。古徳阿多西阿撰一大圏皆与球同心系大圏皆相等若从大圏分球过心必为两平分【一卷六】二两大圏于球上相交，各为两平分。三反之两圏于球上相分，为两平分，必两皆大圏【一卷十一、十二，如赤道、黄道等】四大圏过他圏之两极必相交为直角【一卷十五题，如子午圏过赤道极，则两圏交处皆为直角】五大圏与本极距一象限，九十度。六大圏交，两大圏若作直角，则元圏之极在两圏之交。如赤道与极至交圏，极分交圏为直角，则两圏之交在赤道极。七大圏，三百六十平分之小圏，亦然。但小圏去离大圏一分，其小圏之各分，必小于大圏之各分。八两大圏相交，其交角必等，或上或下，两角幷必等两直角。与直线相交，同理。九球上大圏不能相偕为平行弧，一心止一圏故也。若同心而能为多圏，则是距等小圏，非大圏矣。

分球上三角形之各类球上圏相交成三角形，若三皆大圏之弧，此形为大测之本【若有小圏之一弧，即未能定圏大小之数，安能定其弧数？明大测不用小圏之弧也】球上角形或三边等，其角必等边之度，若四之一【九十度】则角为直角，过四之一则钝角，不及则鋭角【如正球之赤道、地平、子午圏皆相交为直角，则各边俱九十度】或二边等，其对角亦等。若边过象限，为钝角；不及为鋭角。或各边不等，各角亦不等。球上角形或三直角，其边皆四之一，或两为直角，其两对边皆四之一，此二类自明，勿论。所论者，一为直角，余或钝或鋭，各有本法，如左。一圗外大圏内两大圏分皆相交为直角则各圏之极在他两圏之交【用号作十者指直角作○者指钝角作丨者指鋭角边云多者谓过四之一云少者谓不及四之一】二圗，两直角形，第三角或鋭，或钝【己上二圗俱不论】三圗甲乙丙形，甲为直角，余皆鋭。其边少，甲丙戊形，甲直角，丙钝，戊鋭。钝角之对边大，即甲已戊弧；鋭角之对边小，即甲丙弧。或一直角两钝角，如乙丙丁形，乙丙两钝角，其对边过四之一，即乙壬丁弧。凡两角或鋭或钝，若同▯其间所容弧不及四之一直线，三角形与球上曲线三角形异理。一直线形之三角，幷与两直角等；曲线形之三角，幷其数不定，但不能及四直角【四直角者，三百六十度也】二直线形，得两角，即得其三；曲线形否？三直线直角形，有两边，以句股开方法求其三。曲线形否？四直线形，有三角，不能求三边若干，但得其比例耳。曲形，设三角，可推三边若干。五直线形各边，能当全数曲线之各边否？六两直线形等角，即两形之边有比例；曲线等角形之边，必等。七直线形，但有一易法，以垂线分元形是也。曲形有六易法。八、直线形不过二种，一直角，二或钝或鋭角，其边虽有长短不变，其▯曲形，边有大小，其法不同。球上斜三角形，因各角各边不等，分为九种【或恒用，或否，俱见下文】第一，三角皆鋭，其边皆小于四之一【如第一图甲形】第二三角皆钝，其一边适足四之一，其二边大于四之一【后凡四之一皆言足，小于四之一者皆言少，大于四之一者皆言多，如第二圗乙形】第三三角皆钝，其两边多，一边少【如三图丙形】第四三角皆钝，其三边皆多【如四图丁形】第五，一角钝，两鋭，其三边皆少【如三圗戊形】第六，一角钝，两鋭，其两鋭间之一边多，钝角之两旁少【如四图己形】

第七一角钝两鋭一鋭角之对边少余皆多【如三图庚形】第八一、角钝两鋭，钝角之对边足，余皆少【如二图壬形】第九、一角钝两鋭，其边皆不等，一多一少一足【如二图辛形】

球上三角形相易其法有五第一甲乙丙直角形，甲为直角，于乙甲乙丙各引长之，满象限为乙丁，乙戊。又甲丙边引长之，作甲丙己象限。次聨丁戊引至己，亦作象限【乙丁乙戊俱象限，则丁戊己弧心为乙。又丙甲乙为直角，乙丁戊亦直角，则甲己丁己遇于己，而己为乙丁弧之心】得丙戊己直角形。若甲乙丙形，设甲乙乙丙两边若干。即有甲丁、丙戊两余弧，次丙戊己形，有戊直角，有丙戊边，即有己角【其弧甲丁】若元形有直角之对边及直角旁一边，即次形有直角旁一边及其对角【一图】若元形有二角，即次形有一角一边【二图】若元形有一角及直角之对边，即次形有直角旁两边。

【三图】第二甲乙丙直角形，于甲乙引长作乙丁象限弧，乙丙引至戊，甲丙引至己，皆满象限。次作丁戊己象弧，得丙戊己形。次丙戊引至庚，丙己至辛，戊己至癸，皆象弧。次作庚辛癸弧成辛己癸形，此形与元形甲乙丙相当。何者？元形有乙丙两角，即次形有两边【有乙角之弧戊丁，即有其余弧戊己；有戊己弧，卽有己癸边与乙角之数等；有丙角，即辛庚丙形之丙角弧为庚辛，其余弧为辛癸】元形之乙丙易为癸角【乙丙边余为丙戊，丙戊之余为戊庚，是癸角之度】元形之甲乙边易为辛己癸角【甲乙弧之余为甲丁，其对角为丁己，甲或辛己癸皆甲乙之余弧角】元形之丙甲边易为辛己边【甲丙弧之余为己丙，己丙弧之余为辛己，则辛己与甲丙等】第三斜角形【两腰等角或鋭或钝】两腰引长至半周，必相遇成他形，与元形相当。如图，甲乙、甲丙两腰引至丁，成丁乙丙他形。从乙丙作乙丙己，成全圏。引乙甲至己，丙甲至戊，又成甲戊己他形。此两他形者，皆与元形相当。何者？有甲乙边，自有其半周内之余乙丁，亦有其半。周内之余甲已即乙丙与戊己等【丙乙戊乙戊己皆半周故】又丁角与甲角等【凡两大圏相交为两角必等如黄赤二道相交于春秋分是也】丁乙丙为甲乙丙之余角乙丙丁为甲丙乙之余角甲戊己为乙丙甲之余角甲己戊为丙乙甲之余角则元形变易而生两形各相似相当问本用曰元形边大【多于象限】角钝易为次形边小角鋭三角形六问中所用也【六问详见后篇】第四甲乙丙三不等形从乙甲弧作甲辰戊全圏次甲角为心作丁、壬、辰大圏分乙，角为。心作戊、癸、寅大圏，分丙角为心作。己丑夘大圏分三圏分必相交成。癸寅丑形，此形与元形相当，而元形之边，易为角；角易为边。何者？甲。壬弧满一象限，丙午同之，减同用之，丙壬即午壬与丙。甲等壬午，弧限壬丑午角之度，其余角为癸丑寅又甲丁乙戊皆象。弧减同用之，乙丁即甲乙与丁戊。等丁、戊为寅、癸、丑交角之度，又乙。辛、丙子皆象弧减，同用之。丙辛即辛子与乙丙等，辛子弧即辛寅子角之度，则元形甲乙边易为次形之癸角，甲丙边易为癸丑寅余角，乙丙边易为寅角。元形之三边易为次形之三角【边易为角】又元形乙角之余易为癸寅边，甲角易为癸丑边，丙角易为寅丑边【角易为边】第五，凡斜角形，设一角二边，法从他角作垂弧至其对弧为直角，如一图【若不能，则引长其对弧，令受垂弧，如二图】若设二角一边，法从他边之对角作垂弧，如图。乙丁丙形有丙角，丙乙、丙丁两边，即作乙甲垂弧，分为两直角形。其甲丙乙形有一角一边，可求其余；甲丁乙直角形先得甲乙、甲丁两边，可求其余。凡底边两旁角为同类，垂弧在形内；若异类，垂弧在形外凡曲线三角形，如得实球，即指画易明。直角形直角之对边，名底。斜角形大角之，对边名底凡言直角，其边小于象限，则用之；大于象限，则依前法变为小而用之。

球上直角形各边角正▯等线之比例。

第一题直角形人数数【即直角之本数】与某角之正▯若底弧之正▯与某角对边之正▯欲明此论，宜以浑体解之。今权设浑象，以坚厚楮作一圆形，中心折作直角，半平者，其弧如赤道之半周也；半立者，其弧如极分交圏之半周也。又作一半周形，合于全形之直角，两径相切，共为半圏面。三一平，一立，一中居中者，其弧如黄道之半周也。中圏面上下防移，任作若干度角，如黄赤道之相距。又作九十度之两弧，上合下分，一置三半周之中，如极至交圏为定弧；一以下端防移平弧上，恒与平弧为直角，上割中弧而遇定弧于极防之上，谓之防弧。防弧之上，容中平二弧之距度；而此一定一防两弧者，皆如过极之经圏也，恒偕平弧为三弧两边等直角形。今于平面作图，拟彼圆象，用意推测，聊足可明其诸名义，亦借浑天以便识别也。如上图，乙丁寅圏为赤道，乙丙癸为黄道，乙寅为春秋分，癸为夏至，午辰为南北极，午癸丁辰为极至交圏，午丙甲为过极经圏，以限黄道。

之经度容赤黄二道之距度平置乙丁寅赤道圏从黄癸下垂线为极至圏上癸丁相距弧之正▯从赤丁上立垂线遇夘癸半径之引长线于戊得戊丁与癸己平行为癸丁弧之切线，夘戊其割线也。己夘则癸丁弧之余▯也。又从黄道若干度之防，如丙作两线，一丙辛垂线，为过极经圏上丙甲斜弧之正▯；辛壬【乙寅径之垂线】其余▯。一丙壬为寅乙极线之垂线，即丙乙黄弧之正▯。次从赤道过极两圏之交甲，立甲子直线。又于寅乙【黄赤交之对截线】上作甲丑垂线。次于乙丙癸圏黄平面上，从丑作丑子为乙寅之垂线。过甲子于子，子甲者过极圏上丙甲弧之切线也。而甲丑为甲乙赤弧之正▯，丑夘其余▯。则图中有直线直角形四：一癸己夘，二戊丁夘，三丙辛壬，四子甲丑。因夘壬丑三角等，故三形俱相似。题言：癸夘【全数】与癸己【癸乙丁角之正▯】若丙壬【丙乙底弧之正▯】与丙辛【丙甲为乙角之对边，丙辛其正▯】如上图甲乙丙形【凡称甲者恒为直角】全数【一率】与乙角之正▯【二率】若丙乙边之正▯【三率】与丙甲边之正▯【四率】此比例用防何五卷之六理。云更之则一与三若二与四，又反之，二与一若四与三，又反而更之，三与一若四与二。系若以大圏割本形作戊丁直角弧，则丁戊与甲丙，若乙戊与乙丙【俱用正▯】

第二题全数与某边【如甲丙】之余▯【即丙戊弧之正▯】若他边【甲乙】之余▯【即戊角之正▯】与底【直角之对弧如丙乙】之余▯【即丁丙弧之正▯】若直角形内有一钝角，或二钝角，其理同本题。

第三题直角形全数与某角【丙】之正▯【即丁丙戊角之正▯】若设角【丙】旁边【甲丙】之余▯【即戊丙底之正▯】与其边对角【乙】之余▯【即丁戊边之正▯】此题之丁丙戊形与一题之甲乙丙，皆有底有一角其理同也一系依相当第四法及此第一题显全数与乙角【乙丙角互用】之正▯，若角对边【甲丙】之余，割线与底弧【乙丙】之余割线【三四率各有正▯可用其余割线当之】二系依相当第四法及第一题显。全数与底【乙丙】之正▯若某边【甲丙】之余割线与对角【乙】之余割线【三四率有正▯互易为余割线】三系依相当第一法及此第一题显全数与某角【乙】之余割线，若对边【甲丙】之正▯与底【乙丙】之正▯【第一题之比例为角之正▯与全若角对边之正▯与底之正▯相当法则以正▯当余割线也】四系依相当第一法及此第一题显全数与底【乙丙】之余割线若边【甲丙】之正▯与对角【乙】之正▯【一题内底之正▯与全若边之正▯与角之正▯今易底之正▯为余割而居第二以全为第一】五系依相当法第四及第二题显全数与某边【甲丙】之余▯，若底【乙丙】之割线与他边之割线【二题云全与边之余▯若他边之余▯与底之余▯，此云底之割线与边之割线，葢以割线当余▯而为三四率也】六系依相当第一法及第二题显全与某边【甲乙】之割线，若底【乙丙】之余▯与他边【甲丙】之余▯【第二题之四率反用之为二与一，若四与三，则第一率为余▯，第二率为全数也。今依相当一法易之为全与割线】七系依第四相当法及三题显全数与角【乙】之正▯，若他角【丙】之割线与他角对边【甲乙】之割线【三题言全与角之正▯若设角旁边之余▯与他角之余▯，今用相当第四法反四率为三，三率为四，易余▯为割线，葢两弧之余▯与其正割线为互相视之线】八系依三题，第四相当法显全，与边【甲丙】之余▯，若边对角【乙】之割线，与他角【丙】之余割线【三题三四率，边旁角之正▯与他角之余▯，今互变边对角之割线与他角之余割线】九系依相当第一法及第三题之四率前后易之，显全数与角之余割线。若他角之余▯与其对边之余▯，十系三题之四率前后相易，用第一相当法，显全与边之割线。若边对角之余▯与他角之正▯。十一系因一系反理及相当一法，显全与角之割线若底之余割线，与角对边之余割线。十二系因上五系反用其率及相当一法显全与边【甲丙】之割线，若他边之割线与底之割线。十三系因九系反用其率，及相当一法，显全与角之余。割线若边之割线，与其对角之割线。

第四题曲线直角形，其全数与角【乙】之切线，若角旁边【甲乙】之正▯与角对边【甲丙】之切线【如前圗】

解用一题平面全图之甲乙丙形甲为直角戊丁为甲乙丙角之切线甲丑为甲乙边之正▯子甲为丙甲边之切线可见夘丁与乙角之切线丁戊，若乙角旁边甲乙之正▯甲丑，与乙角对边甲丙之切线甲子【三角形皆相似故见一题】系用相易，第一法则全与边【甲乙】之余切线【或丁甲弧之正切线，或戊己丙角之正切线】若边旁角乙之余▯【即戊己弧之正▯】与底之余切线【即丙戊之正切线】按本题第二率为乙角之切线，系易为丁戊之余弧，或己戊边；三率为角旁边【甲乙】之正▯，系易为边【戊己】旁角【己】或丁甲弧之余▯【即甲乙正▯】四率为角对边【甲丙】之切线，系易为底之余切线，或甲丙弧之正切线。二系全与底之余▯【或甲丙边之正▯】若角【丙】之切线【两形为交角】与他角【已】之余切线【即甲乙边之正切线】三系依相当五法，余切线能当正切线【二三率可互易】为全数与边之正▯若他边之余切线与其对角之余切线。四系若一二三四率反用，为二与一，若四与三，即变第一率切线为余切线，则为全数与角之余切线，若角对边之切线与他边之正▯向下诸系，皆用相当法及反理。省文不解。五全数与边之余切线，若他边之切线与其对角之切线。六全与角之余▯若底之切线与角旁边之切线。七全与边之切线，若底之余切线与角旁边之余▯八全与角之割线，若底之余切线与角旁边之余切线。九全与底之割线，若角之余割线与他角之切线。十全与角之余切线，若他角之余切线与底之正▯十一全与边之余割线，若边旁角之余切线与他边之余切线。十二全与边之余切线，若边对角之切线，与他边之余割线。十三、全与角之割线若角旁边之切线与底之切线。十四、全与底之切线若边之余切线与边旁角之割线。十五、全与角之切线若他角之切线与底之割线。因上四题，即每一设形有十二算法。今设甲乙丙一形，有乙丙底【三十度】及甲丙边【十一度三十一分】求乙角。一、为乙丙边之正▯【五○○○○】与全【十万分】若甲丙之正▯【一九九六五】与乙角之正▯【三九九一】【三】查得二十三度三十一分三十○抄。二为全【十万】与丙乙之正▯【五○○○○】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【二二○六一七】三为甲丙之余割线【五○○八六九】与全【十万】若丙乙之余割线【二○○○○○】与乙角之正▯【三九九一三】四为全【十万】与甲丙之正▯【一九九六五】若乙丙之余割线【二○○○○○】与乙角之正▯【三九九一三】五为乙丙之余割线【二○○○○○】与全【十万】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【三二○六一七】六为甲丙之正▯【一九九六五】与全【十万】若乙丙之正▯【五○○○】与乙角之余割线【二二○六一七】七为乙丙之余▯【八六六○三】与乙丙之余切线【一七三二○五】若甲丙之正▯【一九九六五】与乙角。

之正▯【三九九一三】八为乙丙之余切线【一七三二○五】与乙丙之余▯【八六六○三】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【二二○六一七】九为乙丙之正▯【五○○○○】与甲丙之切线【二○三七六】若甲丙之余▯【九七九八七】与乙角之正▯【三九九一三】十为甲丙之切线【二○三七六】与乙丙之正▯【五○○○○】若甲丙之正割线【一○二○五五】与乙角之余割线【二二○六一七】十一为甲丙之割线【一○二○五五】与乙丙之余割线【二○○○○○】若甲丙之切线【二○三七六】与乙角之正▯【三九九一三】十二为甲丙之正▯【一九九六五】与乙丙之切线【五七七三五】若乙丙之余▯【八六六○三】与乙角之余割线【二五○六一七】以上十二法俱可得乙角，因除法为繁，故约用乘法如下方。

球上直角形相求约法球上直角三边形，有三角三边，此六者有三可推，其余交互为三十，求各以乘法得之。第一设乙丙两角【凡甲皆直角乙丙或鋭或钝】一求甲乙边为全数，与乙角之正▯，若丙角之割线与甲乙边之割线，或全与乙角之余割线，若丙角之余▯与甲乙边之余▯，丙角定数。解曰：同类者，或皆过九十度，或皆不及。若丙角过九十度，则所求之边亦过九十；若丙角不及九十度，所求之弧亦不及。下仿此。二、求甲丙【甲丙，甲乙两边互用；乙丙两角亦互用】为全数，与丙角之正▯，若乙角之割线与甲丙边之割线；或全与丙角之余割线，若乙角之余▯与甲丙边之余▯。乙角定类。三、求丙乙【对直角之底】为全，与乙角之切线，若丙角之切线与乙丙边之割线；或全与乙角之余切线，若丙角之余切线，与乙丙边之余▯或乙或丙两角定类。凡定类有二号者，若二号为同类所得，为不足九十度；若两号为异类所得，为过九十度。第二设乙角及乙甲边，四求丙角，为全与乙角之余割线，若乙甲边之割线与丙角之割线；或全与乙甲边之余▯若乙角之正▯与丙角之余▯【直线直角形设一得二，取其较也，此与异者，曲直两线为异类故也】甲乙弧定类。五求甲丙边，为全与甲乙之正▯若乙角之切线与甲丙边之切线；或全与乙甲边之余割线，若乙角之余切线与甲丙边之余切线。

乙角定类六求乙丙边为全数，与乙角之割线若甲乙边之切线，与乙丙边之切线；或全数与乙角之余▯若甲乙边之余切线，与乙丙边之余切线。乙角或甲乙边定类，第三设乙角及甲丙边。七求丙角，为全数与甲丙边之割线，若乙角之余弦，与丙角之正▯或全数与甲丙边之余▯若乙角之割线。与丙角之余，割线；乙角或甲乙边，定类。八求甲乙为全数，与甲丙边之切线，若乙角之余切线，与甲乙边之正▯。或全数与甲丙边之余切线，若乙角之切线，与甲乙边之余割线。乙角或甲丙边定类。九求丙乙为全数，与乙角之余割线，若丙甲边之正▯，与丙乙边之正▯。或全数与乙角之正▯，若丙甲边之余割线，与丙乙边之余割线。乙角定类。第四设乙角及乙丙边，十求丙角：为全数与乙丙之割线，若乙角之余切线与丙角之切线；或全数与乙丙边之余▯若乙角之切线与丙角之余切线。乙角及乙丙定类。十一、求甲乙为全数，与乙角之余▯若丙乙边之切线，与甲乙边之切线；或全数与乙角之割线若乙丙边之余切线，与甲乙边之余切线。乙角及乙丙定类。十二、求甲丙为全数，与丙乙边之正▯若乙角之正▯，与甲丙边之正▯；或全数与丙乙边之余割线若乙角之余割线，与甲丙边之余割线。乙角定类。第五设丙角及甲乙边。十三、求乙角为全数，与甲乙边之割线若丙角之余▯，与乙角之正▯；或全数与甲乙边之余▯若丙角之割线，与乙角之余割线。丙角定类。十四、求甲丙边为全数，与甲乙边之切线，若丙角之余切线与甲丙边之正▯或全数与甲乙边之余切线，若丙角之切线与甲丙边之余割线。甲乙边定类。十五、求乙丙为全数，与丙角之余割线，若甲乙之正▯与乙丙边之正▯或全数与丙角之正▯若甲乙边之余割线与乙丙边之余割线。丙角定类。第六设丙角及甲丙边，十六求乙角，为全数与丙角之余割线，若甲丙边之割线与乙角之割线；或全数与甲丙边之余▯若丙角之正▯与乙角之余▯甲丙边定类十七、求甲乙边为全数，与甲丙边之正▯若丙角之切线与甲乙边之切线，或全数与甲丙边之余割线；若丙角之余切线与甲乙边之余切线，丙角定类。十八、求乙丙边为全数，与丙角之割线，若甲丙边之切线与乙丙边之切线；或全数与丙角之余▯若甲丙边之余切线与乙丙边之余切线。丙角及甲丙边定类。第七设丙角及丙乙边，十九求乙角：为全数与丙乙边之割线，若丙角之余切线与乙角之切线；或全数与丙乙边之余▯若丙角之切线与乙角之余切线。丙角及丙乙边定类。二十、求甲乙边，为全数与丙乙边之正▯，若丙角之正▯与甲乙边之正▯；或全数与乙丙边之余割线，若丙角之余割线与甲乙边之余割线。丙角定类。二十一、求甲丙边，为全数与丙角之余▯，若丙乙边之切线与甲丙边之切线；或全数与丙角之割线，若丙乙边之余切线与甲丙边之余切线。丙角及丙乙边定类。第八设甲乙，甲丙两边。二十二，求乙角：为全数与甲乙边之余割线，若甲丙边之切线与乙角之切线；或全数与甲乙边之正▯若甲丙边之余切线与乙角之余切线，甲丙边定类二十三，求丙角为全数与甲丙边之余割线，若甲乙边之切线与丙角之切线；或全数与甲丙边之正▯，若甲乙边之余切线与丙角之余切线。甲乙边定类二十四，求乙丙边为全数与甲乙边之割线，若甲丙边之割线与乙丙边之割线；或全数与甲乙之余▯，若甲丙之余▯与乙丙之余▯。甲乙、甲丙定类第九，设甲乙、乙丙两边，二十五，求乙角为全数与丙乙边之切线，若甲乙边之余切线与乙角之割线；或全数与乙丙边之余切线若甲乙边之切线与乙角之余▯，甲乙及乙丙定类二十六，求丙角为全数与乙丙边之余割线，若甲乙边之正▯与丙角之正▯；或全数与丙乙边之正▯，若甲乙边之余割线与丙角之余割线。乙角定类二十七，求甲丙边为全数与甲乙边之余▯，若乙丙边之割线与甲丙边之割线；或全数与甲乙之割线，若乙丙之余▯与甲丙之余▯。甲乙及乙丙定类第十，设甲丙、乙丙两边，二十八，求乙角为全数与丙乙边之余割线，若甲丙边之正▯与乙角之正▯；或全数与乙丙边之正▯，若甲丙边之余割线与乙角之余割线。甲丙边定类。二十九，求丙角为全数，与乙丙边之切线，若甲丙边之余切线，与丙角之割线；或全数与乙丙边之余切线，若甲丙边之切线，与丙角之余▯　甲丙及丙乙定类三十求甲乙边为全数，与甲丙边之余▯若乙丙边之割线，与甲乙边之割线；或全数与甲丙边之割线若丙乙边之余▯，与甲乙边之余▯。甲丙及丙乙定类。

球上斜角形各边角正▯等线之比例。

第一题各角之正▯与其对边之正▯皆为同比例。若形是直角，则借彼第一题为全数【甲】与某角【乙】之正▯；若底弧【乙丙】之正▯，与某角【乙】对边【甲丙】之正▯，则用更理：为甲角全数，与其对边乙丙，若乙角与甲丙，或若丙角与甲乙。用反理，亦然【凡不言某线者，皆正▯也。下仿此】若斜角形借相易第五法，如丙丁乙形，从乙、从丁、从丙，作乙甲、丁戊、丙壬各垂弧至其对边为直角，因前论甲乙丙角与甲丙边，甲乙丁角。与甲丁边为同比例，合之丙乙丁角之正▯与丙丁边之正▯若乙丁丙角之正▯与乙丙边之正▯【若戊为直角，则戊丁丙角与戊丙边若戊乙丁角与戊乙边，合之乙丁丙角与丙乙边若某角与某边，或用壬直角，其理不异】若甲直角在形外，其理亦同。如乙丙甲、乙甲丁两角对乙甲、乙丁两边，乙丁甲、乙甲丙两角对甲乙、乙丙两边，各减共用之甲直角，即丙。对甲乙、乙丁两边，丁对甲乙、乙丙两边，又各减共用之甲乙，则丁角之正▯与乙丙边之正▯，若丙角之正▯与乙丁边之正▯；乙角与丁丙边，同理。

第二题四率断比例，若第一率为全数，则全数上方与二、三率之矩内形，若第一率与第四率。解曰：甲乙全数线上方【数与线两类相当互解】丙丁、丙戊为二三率之矩内方，己方形之容与丁戊矩方等。又甲乙、丁丙、丙戊、壬四线为断比例题，言甲乙上方与丁戊矩方，若甲乙线【一率】与壬线【四率】论曰：因防何【六卷十】甲乙、壬两率矩内形与丁戊两中率矩内形等，或与已方形等，即甲乙、己、壬三线为连比例。第一率上方与第二率上方，若第一率与三率等【六卷十七】则全数【甲乙】上方与二、三率之矩内方【丁丙、丙戊矩丙形，或已形】若甲乙线【一率】与壬线【四率】系若二三率为切线，或割线，或正▯即相乘以全数除之，得第四率。

第三题球上斜角形全数，上方形与两腰之正▯矩内形。若两腰间角之矢，与两矢之较。两矢者，其一为底弧【即角对边】之之矢，其一为两腰较弧之矢。圗説：乙丙丁斜角形，于乙丙、乙丁引长之，各满半周，遇于戊。其极线为戊己，乙己为心，戊丙、乙己为平面上半。

圈戊丁乙为斜面半圈两半圈各平分于辛于寅作己辛己寅已丙皆半径又作寅辛弧即乙角之弧也，其正▯为寅庚，其矢为庚辛。又取乙壬弧与乙丁腰等，作丁壬小圏之弧。次从丁作丁甲，从壬作壬甲，各为戊乙之垂线，则小圏之半径亦为乙丁腰之正▯【即丁戊弧之正▯】次从丁作丁酉，即丁壬小圏弧之正▯其矢为酉壬。又取丙癸弧与底弧丁丙等，又从乙、从壬、从癸向丙己半径作乙辰、壬夘、癸午各垂线。末从酉向壬夘作酉子垂线。解曰：乙辰为乙丙小腰之正▯，其矢辰丙寅庚为乙角【亦寅辛弧】之正▯，其矢庚辛午夘为两腰较弧【壬丙】之正▯，其矢夘丙癸午为底【丁丙亦丙癸】之正▯其矢午丙午夘【酉子同】为两腰较弧【壬丙】之矢【夘丙】与底弧【丁丙或丙癸】之矢【午丙】之较，矢丁甲【壬甲同】为乙丁大腰之正▯题合全数【乙己丙己之类】上方形与乙辰偕壬甲两正▯矩内形，若辛庚【乙角之矢】与两矢之较午夘。论曰：丁甲、酉寅、己庚两形相似【酉与庚皆直角，甲己两角之腰平行，又同在两靣内，即等】则寅己全数【辛己同】与庚己若乙丁弧之正▯，丁甲【壬甲同】与酉甲，或辛己【寅己同】与庚己若壬甲【丁甲同】与酉甲，依防何【五卷十九】之论，辛己与辛庚若壬甲与壬酉【全与全两所截取之分比例等，则两截取之余分必等】或辛己【全数】与壬甲【乙丁大腰之正▯】若辛庚【乙角之矢，亦寅辛弧之矢】与壬酉【丁壬弧之矢】又乙己、辰、壬、子、酉两直角形相似【壬夘、乙辰两线平行，即壬甲乙三角幷为一形之角，而甲壬夘为辰乙己角之余，又辰己乙角为乙角之余，则与夘壬甲角必等】则乙己【全数】与乙辰【乙丙小腰之正▯】若壬酉【丁壬弧之矢】与子酉【两矢之较也，午夘同】同乘理之法，两理【前两比例】之第一率【一辛巳、一乙己】相乘，得全数上方形。两理之第二率【一乙丁大腰之正▯壬甲、一乙丙小腰之正▯乙辰】相乘，得两弧之正▯矩内形。依合理【防何五卷】为若乙角之矢辛庚【一理之第三率】与两矢之较子酉【二理之第四率】系斜角形全数与所得之第四率【第四率者，如上题全数为一率，两腰之正▯为二、三率，用三率法乗除所得，则第四率也】若两腰间角之矢与某矢【某矢者，两矢之较，两矢者，一为底弧之矢，一为两腰较弧之矢】二系斜角形全数上方形与两角之两正▯矩内形【或全数与第四率】若两角内边之矢与某矢【某矢者，两矢之较；两矢者，一为边对角之矢，一为两角较角之矢】解用第四相易法，设角易为边，即两弧之正▯矩内形与两角之正▯矩内形必等，或两腰内角之矢与两角内边之矢必等。

第四题全数上方形为两腰【或两角】两正▯矩内形及两腰两余割线矩内形之中率。解曰：乙【正▯】与丙【全数】若丙与丁【余割线】如有两正▯，两全数，两余割线，各以类相乗，其形依合理为比例等，反之或用余▯矩内形。

及正割线矩内形亦同系若两正▯两余割线各以类相乘【或用余▯及正割线】以全数除之，所得两数亦全数为中率。假如乙丙丁形【乙丁边五十四度五十分，丁丙边五十八度】求其正▯其余割线相乘，以全数除之，从尾截去若干位，所存如全数之位，则【五十四度五十分之正▯八一七四八五】【十八度之正▯八四八○五】相乘得六九三二六三九一四○【五十四度五十分之余割线一二二三二七五十八度之余割线一一七九一八】相乘得一四四二四五五五一八六全数为两数之中率试之一全数上方积为实所得第一率为法除之或用减九数法亦可二系两弧之正▯余割线互乘所得两数亦全数上方形为中率【或用余▯正割线理同】如前系一弧之正▯全数与其余割线作三率连比例为第一理。一弧之余割线全数与其正▯作三率连比例为第二理。用合理以两理之第一率相乘得数，二三亦如之，所得三数之比例与前同理。则一弧之正▯他弧之余割线矩内形全数，上方形一弧之余割线他弧之正▯矩内形为三率连比例形【如前法试之】若三率形皆以全数除之，比例如前，则一弧之正▯他弧之余割线相乘以全除之所得为一率，全数为二率，一弧之余割线他弧之正▯相乘以全除之所得为三率。三系两弧之正切线矩内形，两弧之两余切线矩内形，亦全数上方形为中率【如图，戊正切与己全若丙全与丁余切，用合理如前】若三率形皆以全数除之，所得三数之比例如前系。四系若一弧之正切线乘他弧之余切线，或一弧之余切线乘他弧之正切线，亦全数上方形为中率。若三率形皆以全数除之，比例亦然。五系一弧之正切线，他弧之正▯矩内形，又一弧之余切线，他弧之余割线矩内形，亦全数上方形为中率【如上系戊正切，全数丁余切为连比例，反之则丁与丙，丙与戊用合理如前】若三率形以全数除之，比例亦然。六系：一弧之余切线，他弧之正▯矩内形；一弧之正切线，他弧之余割线矩内形，亦全数上方为中率。七系：一弧之正切线，他弧之余▯矩内形；一弧之余切线，他弧之正割线矩内形，亦全数上方为中率。八系：一弧之余切线，他弧之余▯矩内形；一弧之正切线，他弧之正割线矩内形，亦全数上方为中率。若各三率形，各以全数除之，比例皆同。

第五题无直角形，从一角向其对边为垂弧，分元形为二直角形。各直角对边之余▯，若底弧【受垂弧者为底】两分之余▯。解乙丙丁形，从丙作丙甲垂弧，甲为直角。则丙丁弧之余▯与丙乙弧之余▯，若丁甲之余▯与甲乙弧之余▯。又两边之割线若两分之割线论曰：依前直角形第二题，为全【一】与某边之余▯【二】若他边之余▯【三】与底之余▯。今用更理，二率与一，若四率与三。以论甲丙丁形，则甲丁边之余▯【一】与全【二】若丙丁【直角形之底，即直角之对边】之余▯【三】与丙甲之余▯【四】以论甲丙乙形，则甲乙【一】与全【二】若丙乙【三】与甲丙【四】此二理平之，则甲丁与甲乙【两理之两一率】若丙丁与丙乙【两理之第三率】各弧之余▯成。割线其理皆同【为丙丁边之割线与全若甲丁边之割线与甲丙边之余▯，又丙乙割线与全若甲乙割线与甲丙边之余▯，今用两理平之，则一丙丁与一丙乙若三甲丁与三甲乙各弧之割线】第六题垂弧旁两角之正▯若他两角之余▯解甲丙丁、甲丙乙两角之正▯，若丁乙两角之余▯，又丙上两分角之余割线，若丁乙两角之正割线。解依直角第三题，甲丙丁角之正▯【一】与全【二】若丁角之余▯【三】与丙甲边【四】又曰，全【一】与甲丙乙角之正▯【二】若丙甲边之余▯与乙角之余▯。今以第二理更之，为二与一，若四与三。又以二理平之，一与一，若三与三。则甲丙丁角【一】与甲丙乙角【一】若丁角【三】与乙角【三】又用三题十三系，可算割线之比例。

第七题垂弧旁两弧之余，切线若垂弧旁两角之余。解丙甲，垂弧遇丙丁，丙乙两边于丙，即丁丙甲角之余切线与甲丙乙角之余切线，若丙丁边之余▯与丙乙边之余▯。

用直角第四题依前论试之又两弧之正切线，若两角之正割线。亦用四题之系及十三系试之。

第八题垂弧旁，两弧之余割线，若垂弧相对两角之正▯又两弧之正▯若两角之余割线。解丙甲，垂弧旁两弧为丙丁，丙乙，又丙甲垂弧之对角为丁，为乙。用直角三题试之。

第九题垂弧分底为二，两分之正▯若垂弧相对两角之切线；又两分之余割线，若两角之正切线；又两分之正割线，若两对边之正切线；又两分之余切线，若两对角之余切线。右各题之理，皆从直角形之理出。前解已明，今不赘。

斜角形相求约法凡所设为异类【或边与角，或角与边】用第五易分两直角形法，见前。凡形之弧或角过九十度，用三、四易得相似形，其弧不及一象限。设三边若二边等，即用垂弧分为两直角等形。各形有元形之一边，有元底之半，求其角。解丙乙、丙丁两弧等，丙甲垂弧分乙丁底及乙丙丁角各两平分。依圆球原本第一卷二十一题，知两形必等。

若三边各不等求某角有三法其一，以本角旁两腰之正▯相乘，以全除之，得数名初得数。又以两腰之正矢相乘，以全除之，得数名次得数。以次得数与角对边之▯或相加或相减【解见下文】得数以全乘之，以初得数除之，得某角之余▯解：凡角之对边大，以象限而角之两腰同类【同类者，或皆大于象限，或皆小】则两数相加【所求之角为钝】角若异类，则两数相减。其次得数为实【大而受减者为实】则角鋭；次得数为法【小而以减者为法】则角钝。凡角之对边小于象限而两腰同类，则两数相减，其次得数为实，即角钝；次得数为法，即角鋭。若异类，则两数相加，角为鋭角。其二，角两腰之【余割】线相乗，以全除之，得初数。又两腰之【余▯】相乗，以全除之，得次数。以次数与角对边之【余▯】或加或减，如前法，以所得数乗第一得数，以全除之【得角之余▯】三法用前斜角三题全圗解：为全数与一腰之正▯若他腰之正▯与初得数；又初得数与两矢之较【两矢者，两腰较弧之矢及底弧之矢，此名次得数】若全数与角之矢。球上三角形比类法，见《宗动天》诸问，向上诸篇，皆先言其理【诸问见本篇八卷】上法之外，尚多别法。或用实球，从球面界画诸圏测之；或用平立环浑仪测之；或用平浑仪测之；或用比例规；或用宗动天之象限；或用规于平面画圗，以缀术算之；或先算成各度分之数，而列为立成表。俱有本书、本论、本防法。然方之前法，则踈而不宻，故近来厯家舍置不用也。古法用▯数以推步七政，必湏句股开平立三乘方等术，至繁而易紊，用力多而见功少，今悉置不用，独用乘除，简矣。此卷中幷除法不用，而独用乘法，更简也。又有加减术，幷乘除俱不用，然其理必繇乘除而出，故先用本卷之法。此法既明，用之既熟，然后用加减取径防焉。三角形有三边求角，三法。假如丙丁边十九度三十分，丙戊边十五度五十八分，戊丁边十二度九分，求戊角。第一法，两腰【戊丙戊丁】正▯【丙戊为二七五○八戊丁】【为二一○四七】相乘以全除之初得五七八九又余▯，相乘以全除之【丙戊为九六一四二，丙丁为九七七六○】次得九三九八八，丙丁边余▯为九四二六四，比次得数为大【因两腰同类，其三为小】即戊角为鋭，其较为二七六，加五○以初得数除之，得四七六七为角之余▯，查表得八十七度十六分。二法，两腰余割线【丙戊三六三五三三，丙丁四七五一二三】相乗以全除之初得一七一七二二九，其余▯如上法，次得九三九八八与第三边余▯相减得较，以较乗初得数以全除之，得如前，此法更便可免除法。三法，两腰正▯如上，两矢较如前解，求两腰之较度得三度四十八分，其矢为二二一，又对边之矢为五七三六，两数相减得五五一五为实。【得角之矢为九五二三一，其度如上《新法算书》卷九】

【十】

【三】

加五○以初数除之钦定四库全书新法算书卷九十四。明徐光启等撰。测量全义卷八。解正球上大圏相交之度分。正球之大圏有三种，一为赤道，二为斜截赤道之圏【如黄道等】三为直截赤道之圏【直截赤道者，截赤道为直角，其极如正球之地平圏、各处午圏、时圏等】三者相交相距，是生多种三角形。如己、甲、庚为赤道，丁、丙、寅为黄道，相交于丙，为斜角。戊为己、庚，赤道圏之一极【极者，球面上大圏之心。凡分球，宜用球体之心，体之心不可得，而以大圏之心当之，故不名心】【名极亦即轴之两端也】从戊极作戊甲乙辛圏，辛为赤道之又一极。戊甲辛弧截赤道于甲，为直角，亦截黄道于乙，成甲乙丙直角曲线形也。此形之乙至丙为黄道之经度，丙至甲为赤道之经度，乙甲为乙防距赤道之度【即赤道之纬度】丙为赤黄二道之交角，乙为过两极圏与黄道之交角，甲为过极圏与赤道之交角【即直角】一形有三角三边凡六种，先有三可求其余。一题凡有两道极相距之度分【交角之度分同】及一道之经度分，求其余。如丙角为二十三度三十一分三十○秒，丙乙为黄道经三十度【如大梁等一宫】求其纬度。乙甲【过极圏之一弧】此为直角形，有丙角及直角之对边丙乙，求其余三。一求黄道若干度之赤道纬度【即乙甲边】法【见本篇七卷直角形防法第七设】为全数与丙角之正▯【三九九一六】若乙丙弧之正▯【五○○○○】与乙甲弧之正▯【一九九五七】查得一十一度三十○分四十秒，即黄道经三十度之赤道纬度。二、求正球同升之度。甲丙【若甲乙边为正球之地平弧，即丙甲、丙乙两弧必同出入，名正球同升之弧也。又若甲乙为子午圏，即丙甲、丙乙为同过子午圏之两防，名虽不同，其理无二，详见左方】法为全数与丙角之余▯【九一】【六九○○】若乙丙之正切线【五七七三五】与甲丙边之正切线【五二九三○】查得二十七度五十三分四十三秒。三求乙角【即黄道与子午等过极圏之交角】法为全数与乙丙之割线，若丙角之余切线与乙角之切线【若知黄白二道交角之度及太隂之本行经度，可知其去离南北之度，而定食限之度，见月离厯及】

【本表】用上三法，可作两道各度分相距之纬度表，又可作每度之同直升表，又可作每度与过极圏之交角表。三者其用甚大，为推歩日食根本。又因第一求，可定月及五星距黄道之度。

附同升解黄赤二道交于春秋二分，必相截爲两平分。若别大圏截两道，其交角从本圏之体势，直斜不一。其一，大圏过两道之两极，必与两道相交为直角。则从两道之交至大圏之交，其两道之▯必等。此大圏为极至交圏也。因过赤黄两道之极，与两道为直角，则从春分迄夏至，两道之▯必等，为九十度也。其二，大圏独过一道之两极【如过北极，则赤道极也】此大圏与所过极之本圏必相交为直角，若与所不过之道则否。从春分至过极圏之交所，截黄赤两道之▯必不等【盖两道与过极圏交而作角，必有钝有锐，为异类故也】而此两道之两▯【从春分起数】名正球同升或同降之度【正球内升降之度必等，盖地平为过极之一圏也，欹球则否】亦名同过子午圏之度【盖子午圏亦过赤道之极】如过极圏，截黄道大梁初度【去离春分三十经度】截赤道二十八度弱，或正球黄道大梁初度与赤道二十八度弱同升同降，或同过子午圏，反之亦谓正球赤道二十八度弱与黄道三十度同升同降，同过子午圏，其理皆同。若春分迄夏至，于黄道第一象限顺数之，秋分遡夏至则否。用所得赤道升度以减象限所存数，又加一象限九十度，得黄道某防之正升度。如鹑尾初度，距秋分三十度，从秋分算得赤道同升之度二十八，以减夏秋九十度，得六十二，以加春夏一象限，得一百五十二，为鹑尾初从春分起与赤道同升之度。若秋分迄冬至，用所得赤道升度与春秋二象限一百八十度并，得黄道从春分至某防之正升度。如大火初，距秋分三十度，从秋分算，得升度二十八，以加春秋一百八十度，得二百○八度，爲大火初，从春分起与赤道同升之度。若从春分遡冬至，则用所得赤道升度以减象限，得数与春分迄春分三象限二百七十度并，得黄道从春分至某防之正升度。如娵訾初距春分三十度，从春分算得升度二十八，以减春夏九十度，得六十二，以加春分迄春分二百七十二度，得三百三十二度，为娵訾初，从春分起与赤道同升之度。其三大圏不过两道之极，如欹球地平大圏截黄赤二道，皆爲斜角。因赤道髙下作角，必不等。其三角形之腰亦不等，则从春分计某地两道同升之两▯数，名欹球同升之度。如顺天府赤道约高五十度，设大梁初度从地平上升，因本法推赤道上之同升度一十八【从春分起数】则大梁初度及赤道一十八度爲某欹球同升之两防。若欲定其斜入，则倒球取之。用彼球之卯，当此球之酉；用彼球之升，爲此球之降。则某防为彼球之斜同升，即此球之斜同入。如顺天府北极出地约四十度，有夏至同升之度，欲求其同降，则用南极出地五十度之彼球。以彼球之冬至为此球之夏至，则彼球冬至之同升度，即此方夏至之同降度。巳上言正球有正升度，欹球有斜升度，此两数相减之较，名两升之差。如大梁初度之正，同升二十八度，顺天府大梁初度之斜，同升一十八度，其较十度，即顺天府大梁初度之升差。

已上所説用浑球解之则易明二题：有黄道经纬度，求两道交角之度。如上，有直角之对边乙丙，及其旁边甲乙，而求丙角，求乙角，求赤道之▯甲丙，俱用。本书七卷，十设因设，数难定，不须详别。三题设两道交角之度及黄道某防之纬度，而求其防之黄道经度。如丙为交角，丁甲其对边之纬，▯求丙甲赤道之▯【见七卷三设】爲全与丙角之余切线。若甲丁▯之切线与甲丙边之正▯【此即赤道经度，凡经纬二数恒相连】求丙丁黄道之▯为全，与丙角之余割线；若甲丁边之正▯与丙丁边之正▯【丙丁为黄道经，即两圏上之两防，丁甲恒相对，同升于地平，同过于子午等圏】求丁交角为全，与甲丁边之割线；若丙角之正▯与丁角之正▯【三角形各形有十设】【各设三求，今约取其必用者解之】四题有丙交角【丙恒为交角】及甲丙赤道之▯，求丁角【黄道与过极圏之交角】求丁丙【黄道同升之▯】求甲丁【黄道上某防之纬度，法见七卷第二设】

解欹球上大圏相交之度分正球上大圏有三种，欹球则有四种。地平圏一也，天顶圏二也，地平左右之次舍侣圏三也，日出入之时圏四也。与正球之三而七矣。七圏者，相交相距，其理甚繁，其用甚大。一题有赤道与地平交角之度【子午圏过天顶亦过赤道极则交角之度与极出地平上之余度必等】又有黄道某防之纬，若某防或升或降在地平，求黄道与地平交角之度。如图，癸丙甲为地平，壬寅戊为赤道，丁。丙、庚为黄道，己为二道之交，丙爲黄道。地平之交，从赤道极乙防过丙，至赤道。上寅防作乙丙寅▯，即丙寅▯定黄道。丙防之纬度，丙乙其余也。即甲丙乙直角形之丙角，为过极圏与地平之交角。又丁丙乙爲黄道与过极圏之交角，两角并得丁丙甲角。用前正球一题第三，求得乙丙丁角【彼云乙角】次甲丙乙形，甲乙爲极出地之髙若干度，乙丙爲寅丙纬之余度，用第九设第二求得之【此问日食算中所必用，故详解之，仍须作立成表】如有大梁初度【即黄道经三十度为乙丙边】又有两道之交角【丙角二十三度三十一分半】而求过极圏【甲乙】与黄道之交角【乙】法爲全数与乙丙之割线【一一五四三○】若丙角之余切线【二二九七○○】与乙角之切线【二六五一四二】查得六十九度二十分有竒次求甲丙乙角【即前本图上形】爲全数，与乙丙边之余割线【大梁初度之纬十一度三十一分，其数五○○八六九】若甲乙边之正▯【如顺天府北极出地三十九度五十分，其正▯六四○五六】与乙角之正▯【五四三六七】查得三十二度五十六分。先得六十九度二十分有竒，次得三十二度五十六分，并得一百○二度一十六分有竒，即本图甲丙丁角之度。若巳交角【即黄赤交】与丙【即黄道地平之交】同防，即黄道极必在子午圏内，或巳爲春交在东，则以黄赤距度减赤道高，即黄道地平交角之度；或巳爲秋交亦在东，即以距度加赤道髙；或巳为春交在西，亦加；爲秋交在西，亦减【用浑球明之】二题有黄道某防之纬度及北极出地之度求本防出入地平之濶度【濶度者地平之经度各防出入于卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二分出入于正卯正酉若在黄道北六宫出入皆在正卯酉之北若在黄道南六宫出入皆在正卯酉之南】如图丁庚戊爲子午圏丁丙戊为地平庚乙己为赤道交地平于乙辛丙壬为赤道南距等圏交地平于丙从天顶子【地平圏之极】作子甲乙为地平第一经圏，乙防即正卯酉，此圏分则出入南北之中界也。次从赤道极癸作癸丙过极经圏而成甲乙丙直角形，形之甲丙边为某防距等圏之纬度，甲乙丙角【庚戊▯也】为赤道出地之度【北极出地之余】甲为直角【从赤道极癸出线而截赤道于甲故也】乙丙爲黄道某防之濶度，求法用三设之第三求，为全数与乙角之余割线若甲丙边之正▯与丙乙边之正▯假如顺天府赤道高五十度五分，乙角也。

其余割线【一三○二二三】甲丙边冬至之纬度也，为二十三度三十一分半，其正▯【三九九○二】算得乙丙边之正▯【五一九六一】查得三十一度一十九分。因乙防为正卯酉，癸爲北极，则丙在正卯酉之南。若夏至理亦同此，但丙在正卯酉之北，甲乙丙形在地平下，而乙角【丁己▯也】爲赤道入地之度，如上图。三题有北极出地度及黄道之某防，求昼夜长短【即各欹球黄赤道同升之防】解曰：凡测时以赤道为主，何者？日十二时九十六刻终古常然，不以冬夏为永短。赤道亦半出地上，半入地下，卯正至午正，午正至酉正，恒各满一象限，不与黄道偕盈缩。二相配合，则赤道过一宫而爲一时，过三度四分度之三而爲一刻。故赤道为各种日晷之宗法，测时候之公本原也。其在欹球，独春秋分日，赤道一象限恒在午圏地平圏之内，两道过子午圏及出入地平常是同防，则从午至酉，赤道过子午圏而西者为九十度，得二十四刻也。过此以徃，日躔积渐南北，昼夜亦积渐永短，赤道在午正左。右之第九十度，亦积渐出地上，或入地下，则定昼夜分者，当求赤道与日躔过极圈交防之度。其法从北极过日体作过极圏之一▯，为癸丙甲，或癸甲丙，定甲赤道之防。其赤黄两道之两防庚辛，同过子午等圏，转浑令辛防到地平如丙，即庚防必至甲。若太阳在北六宫，庚防必过地平如癸丙甲；在南六宫，庚防必不到地平如癸甲丙。此或过或不及之差，名两升之差【一是正球过子午圏，一是欹球过子午圏】亦谓之昼夜长短之根。今欲测辛防从午至入地平之刻分，必先定庚甲【庚甲大圏之▯度与辛丙小圏之▯度同，在癸甲、癸庚两过极圏内必等，若得庚甲，自得辛丙。辛丙小圏无法，必用庚甲测之】而庚乙必九十度，须知甲乙，然后或加或减，可得甲庚，即半昼分。倍之得昼夜，以加减四十八刻，得半夜分。如上图，甲、乙、丙形，有乙角为赤道与地平之交角，有甲丙为某防之距度，求甲乙，则全数与甲丙边之切线，若乙角之余切线与甲乙边之正▯如甲丙爲冬至之距纬二十三度有竒，其切线四三五三○，乙角赤道之高五十度有竒，其余切线八三四一五，算得三六五一一为甲乙边之正▯查得二十一度二十五分，以减九十度，得六十八度三十五分，算时刻得一十八刻四分【每刻十五分】二十抄【每分六十秒】为顺天府之冬至半昼分，倍之得三十六刻○八分四十○秒为昼长以减九十六刻，得五十九刻○六分二十○秒爲夜长因上法可作诸方半昼分立成表【见别卷】四题有赤道之高，及太阳出入之濶度，可得黄道本防之纬度，亦自有其经度。即用上图，有乙角爲赤道之高，丙乙爲大阳出入之濶，求黄道之纬度，甲丙亦求欹。

球同升之差，甲乙【见七卷第四设】若有赤道之高，及丙角，亦可求其余【见七卷第一设】若置半昼分及赤道之高可得黄道本防之纬度及太阳出入之濶度【若半昼分为时刻则以本法易为度分以加减九十度所得数为甲乙边】五题有黄道某防及北极出地之度，求欹球同升之度，如上图，求得黄道某防之正升甲，及两升之差甲乙，以此两数或相加【在北六宫内】或相减，得某地面黄赤两道同升【从春分起算】之两▯如顺天府析木初度正升为二百三十七度四十八分○七秒，其斜升之差为一十八度，两数相加得二百五十五度四十八分○七秒，则黄道▯爲二百四十度【从春分起算】赤道弧为二百二十五度四十八分○七秒，为本地面两弧同斜升之度。若求其同降之度，则用黄道上对防求其斜升，加一百八十度。如析木之对为实沈，求实沈之斜升，得三十九度四十九分，加一百八十得二百一十九度四十九分，即析木偕赤道同降之度。升降三类【正球同升一，斜球同升二，正斜升之差三】其用甚大。如定昼夜长短，及太阳与某星相距之度，及夜以星定时刻之属，皆所必须，故须详讲之，熟习之【另卷有本表及其用，免算】六题有极出地之度及赤道之升度【从所近交起算】求黄道同升之经度。如图，己癸为地平，午丙辛为赤道，戊丁庚为黄道，交地平于乙，两道之交成丁丙乙斜角形，丁为两道之交角，丁丙边为赤道上升度【从所近交起算】丁丙乙为赤道高，丁丙癸之余角求黄。道弧丁乙，其法从丙角作丙甲垂弧，分元形为二。其甲丙丁形，有丁角，有丁丙边。用直角第四设，求丁丙甲角、丙甲边、丁甲边。次于丁丙乙角内减丁丙甲角，余甲丙乙角，即甲丙乙。形有丙角及丙甲边，用直角。第二设，求甲乙，以并丁甲，得丁乙弧。上法为是，丁乙黄道在北六宫，若在南六宫，即丁乙丙。

斜角形有丁丙边有丁丙两角从乙角作乙甲垂弧分元形为二先于甲乙丁形求甲乙甲丁次甲乙丙形，有丙角，甲乙边，求甲丙，以并甲丁，得丁丙边。七题有极出地之度，分多于两道相距之余度，分求此地周歳中太阳恒见、恒隐之日数。解曰：正球之赤道及其距等圏皆与地平为直角，故昼夜恒等。其在欹球，极高六十六度半弱【两道距二十三度半强之余度】以下者，太阳日日有出入，周嵗中日日有昼夜。依上第三题求其昼夜分。若极高六十六度半弱以上，即周嵗中太阳有时恒见不隐，每日周遭地平之上；有时恒隐不见，每日周遭地平之下。以法求得其▯见之日数。然此所得者实隠见也，又因清蒙之气，入恒迟，出恒早，此为视隠见。説见《厯指》一卷。其法以赤道之髙【极出地之余度】当太阳之纬度，因纬度求其经度【从春分或秋分起数】取经度之余度【即太阳去离夏至或冬至】倍之约一度为一日，得本地太阳恒见恒隠之日数。如上图，癸己为地平，午辛为赤道，乙丙为夏至，壬庚为冬至，乙庚为黄道，子丑为两极。若太阳在夏至乙，从乙转丙，丙复转乙。不割癸己地平，即常见。若太阳至丁己距圏，从丁转己，已复转丁，虽切地平于已，而不割，亦常见。假如极出地七十六度，赤道髙十四度，即以当太阳之十四纬度，求经得三十七度二十分，其经余五十二度四十分，倍之得一百○五度二十分，约一度为一日，得一百○五十有竒。太阳日日周行地平之上，并为一昼。若太阳躔南六宫，则日日周行地平之下，并为一夜。第因清防之气，即视见恒在真见之前，视隐恒在真隐之后，各有日数，因本地之▯气厚薄，以为多寡。八题有黄道交子午圏之防，及极之髙，求黄道之九十度限。从地平以上数至黄道之九十度，名为黄平象限。此推算日食所必需也。黄道大圏，半恒在地平上，半恒在下，而黄道极多不在子午圏中。故上半周任交于子午圏，其九十度限亦多不在子午圏也。若极在东，则从地平西右数至子午圏黄道之度，恒过九十；从地平东左数至子午圏黄道之度，恒不及九十。若极在西，则反是。故春分前后六宫，从冬至迄夏至交于子午，则黄平限在东；秋分前后六宫，从夏至迄冬至交于子午，则黄平限在西。今所求者，此九十度限之一防，去离天顶若干度分也。其用法详《日食本论》。法有黄道交午圏之防，求九十度限，即先求正球上在午防之同升赤道防，加赤道从午至地平九十度，得总数，定仪求本地欹球上之黄道同升防，于黄道在午至地平数内减九十度，得黄道去离地平之九十度限也。如大梁初度在午，其正同升为赤道二十八度强，加九十度，得一百一十八度；次求本地欹球【顺天府极出地四十度弱】上之黄道同升，得鹑火出地平一十一度弱，于黄道从午至地平数内减九十度，得大梁十一度弱，为黄道九十度限在东。

又如黄道▯枵初度在午，其正同升为赤道三百○二度强，加九十得三百九十二【凡度数满全周用其余，此三百九十二减三百六十即总数为三十二】次求本地欹球上之斜同升，得大梁出地平一十二度，于黄道从午至地平数内减九十度，得▯枵一十二度，为黄平象限，亦在东。系有在午之防及九十度限，其较为午防至九十度限之黄道一▯。如上第二设，九十度限为▯枵一十二度，午上之防为▯枵初度，则其相距为一十二度。反之有黄道之出地度，求在午之防及九十度限，法曰：有地平上黄道防，求其本地欹球上之赤道同升防，减九十度，得数求正同升之黄道上度，为在午之防。又于本防去离地平数内减九十度，得黄平象限。如大梁初度在地平，本欹球之斜同升为一十八度，减九十【凡实数小，法数大，借全周三百六十并而减之】得二百八十八度，求其正同升之黄道上度，得▯枵一十七度强，为九十度限距午之度。又，黄道大梁初度在地平，于地平距午数内减九十度，得▯枵初度，为九十度限。九题有黄道交子午圏之防，及极之髙求九十度限，而不用同升度。如图，丁丙戊爲子午圏，乙甲丁为黄道，乙防为某宫某度分，丙为天顶，甲为九十度限，从丙过甲作丙甲己地平经圏，成甲乙。丙形甲为直角，乙爲黄道交于子午圏之角【见正球説有本表】丙乙为黄道某防距天顶之度【若某防系南六宫，求其纬以减赤道髙；若系北六宫，求其纬以加赤道髙，各得丙乙】而求甲乙边法，为全与乙角之余▯，若丙乙之切线与甲乙之切线【另卷有表，又见交食厯】假如乙防是大梁初度，则乙角为六十九度二十一分【法见正球四题】其余▯爲三五二六六，其纬一十一度三十分，以加赤道髙得六十一度四十分，其余为二十八度一十分，丙乙也其切线为五三五四五，算得一十度四十八分，为甲乙弧【上题用同升表一十一度弱，今亦用表数云一十度四十八分，因上题弃去零数，故也】十题有黄道交于子午圏之防，及极之髙而求九十度限距天顶之度。如前图求丙甲弧法，为全与丙乙之正▯【四七四六○】若乙角之正▯【九三五七五】与甲丙边之正▯【四三四一九】算得二十五度四十四分，为甲丙弧。因甲庚、庚己各九十度，则甲己爲庚角之弧，其角为黄道截地平之角，即上第五题图之丁乙丙角。十一题，有在地平防之濶度，及在午防之距天顶度，而求黄平象限距天顶度。如前图，从天顶丙作地平经初度丙壬，黄道截地平于庚，成庚甲己形。甲己为两直角【丙己经圏过地平之极，故己为直角；甲分地平上黄道为两平分，即过地平之极，亦过黄道之极，故甲为直角】则相对之两腰必等。

庚甲九十度，庚己亦九十度，而壬戊亦自为九十。若减同用之壬己，即所余庚壬与己戊等。己戊弧定甲丙乙角之度，故甲丙乙形有丙乙及丙角【或己戊或壬庚濶升度】可得甲丙法为全与濶。升度之余，▯若丙乙边之切线与丙甲边之切线。十二题，有午上之防，求在地平防之阔，升度。即庚、壬，或己、戊，或甲、丙、乙角法为全，与丙、乙边之余割线，若甲、乙边之正▯，与丙角之正▯【或庚、壬濶▯之正▯】十三题有午正前后时刻之度分【时刻之度分者，以时刻易为度分也。每四刻为一十五度，一刻为三度四十五分。刻之一分为度之四分之一，刻之一秒为度之四秒】及太阳之经度，求在午之度，因求黄平象限度。法如时在午前，即以太阳经度求其正同升之度，减时刻之度，得赤道数，以求黄道正同升之度，即在午之度。如太阳躔大梁初度，于己正初刻求在午之度，即查大梁三十度之正同升为赤道二十八度，减去三十度【己正初刻之度】余三百五十八【实少于法借全周】查其正同升之黄道度得娵訾二十八，为在午之防次于赤道数，加九十得八十八【满全周去之】求本地欹球同升之度得鹑首一十七【零数省文去之】为黄道本球本时出地平之度，减去九十度得降娄一十七，为黄道九十度限。若时在午后，则用加法。如未正初刻，则于二十八度【大梁之正同升】加三十【时度】得赤道五十八，查其正同升，得实沈初度，为在午之防。次于赤道五十八加九十，得一百四十八度，求本欹球之同升，得鹑尾五度半，为黄道本时本球之出地度。减去九十度，得实沈五度半，为黄道九十度限。十四题，有太阳躔度及时刻度，求太阳地平上之髙度，其法有四：或太阳在赤道上【春秋分第一圏】或时度过九十【二图】或在北六宫【三图】或在南六宫【四图】第一图，己戊丁壬为子午圏，戊丙庚为赤道，太阳在乙，从天顶丁作丁乙甲弧，过太阳至地平为直角，成甲乙丙直角形，此形。有乙内边【戊乙时度之余】有丙角【赤道之高度】求甲乙为全与乙丙边之正▯【己正初至午正既三十度，乙丙必六十度，其正▯八六六○三】若丙角之正▯【顺天府赤道髙五十度，则丙角五十度，其正▯七六六○四】与乙甲边之正▯【六六三四一】算得四十一度四十七分，为太阳本时之髙。第二图时度过九十，即从北极辛作辛乙午▯交地平于癸，成癸午丙三角形，午为直角，有午丙为时度过九十之较，有癸丙午为赤道与地平之交角，求午癸边及午癸丙角【午癸丙角】【为过极圏或时圏与地平之交角求法见第七卷直角形之用法】次以午癸与午乙或加或减得癸乙▯【用二图时度过九十即相减。

若不过九十者，如三图太阳在北六宫即相加。如四图太阳在南六宫即相减。所并所余皆为癸乙▯】次乙甲癸形，甲为直角，有先加减所得之癸乙边，有乙【癸甲】角，可得太阳之髙乙甲。如三图日躔大梁初度，其纬得一十一度三十分半，乙午也。巳正时，戊午得三十度，即午丙必六十度。本地赤道髙，戊己五十度○五分【或午丙癸角】次以午丙癸形之午丙六十度，丙角五十度○五分，求午癸边法：为全与午丙之正▯【八六六○三】若丙角之切。线【一一九八八二】与午癸之切线【一○三八五五】算得四十六度○五分【因大梁在北六宫故】次加太阳之纬度一十一度三十一分三十秒，得五十七度三十六分三十秒，癸乙弧也。又于此形求癸角，法为全与丙角之余割线【一三○二二三】若午丙弧之正割线【二○○○○○】与癸角之正割线【二六○四一七】算得六十七度二十四分，癸角也。次癸乙甲形甲为直角，有癸角及癸乙边，求甲乙。法为全与乙癸弧之正▯【八四四五三】若癸角之正▯【九二三二一】与甲乙边之正▯【七七九五二】算得五十一度一十三分，甲乙也。是为本地本时黄道某度地平上之日轨髙若太阳躔南六宫，如双鱼初度，其纬亦一十一度三十○分三十秒，则如第四图之癸午边，减乙午，得三十四度三十四分，为乙癸边，其正▯【五六七三六】乗癸角之正▯【九二三四三】得三十一度三十六分。十五题，有太阳之纬度，有日轨髙，有极出地度，求时刻，如上题第一图【太阳乙在赤道】甲乙丙形，有日轨髙甲乙，有乙丙甲角为赤道高，求乙丙边【戊乙之余】法为全与丙角之余割线【丙角五十度○五分】【其余割线一三○一九二】若甲乙弧之正▯【甲乙日轨髙三十度其正▯五○○○○】与乙丙之正▯【六五三二○】算得四十度三十七分，乙丙也。戊乙其余为四十九度二十三分，易为时得午前或午后一十三刻○二分三十二秒。又如上题第二、三、四图，用辛丁乙形【太阳在乙】有乙辛为太阳距极度【若乙在北六宫，则乙辛为纬度之余；若在南六宫，则于纬度加九十得乙辛】有丁乙为日轨髙之余。度有丁辛为北极距天顶之度【北极髙之余】求辛角【辛为赤道极，丁辛乙角之▯为戊午，戊是午正，则以戊午定午前后时刻之数】法见第七卷斜角形用法，今解之：如辛丁为五十度一十分，丁乙【日轨髙之余】六十度，辛乙八十度【太阳纬午乙十度，其余得八十度】法以辛角旁两腰之正▯相乗【五十度一十分之正▯七六七九一，八十度之正▯九八四八一】以全除之得【七五六二○】名初得数。又以两腰之余▯相乗【五十度一十分之余▯六四二七九，八十度之余▯一七三六五】以全除之得【一一○六九】名次得数。

以次得数与角对边之余▯【六十度之余▯为五○○○○】相减【丁乙边小，又两腰同类故也】所存。【三八九三九】以全乗之，以初得数【七五六二○】除之，得辛角之余▯【五一六九○】算得五十八度五十三分，易为时得一十五刻一十三分四十二秒。又如辛丁丁乙如前而辛乙为一百度【日在南六宫距度十】则以丁辛之正▯【七六七九一】辛乙之正▯【九八四九一百度而用八十度之正▯者大▯过象限则用其余弧之▯】相乗得【七五八三一】以全除之为初得数又以两弧之余▯【丁辛之余▯为六四○五六辛乙之余▯为一七三六五】相乗以全除之得【一一一二三】爲次得数以加角对边丁乙之余▯【丁乙边小又两腰为异类故】得数【六一一二三】加五位为实以初得数为法除之得【八○六○四】为辛角之余▯查得三十六度一十七分易为时得九刻一十分○八秒如上法，或用月之髙，求月时则用月之纬度；或用星之高，求星时则用星之纬度。十六题有极出地之高，有日轨高及其纬度，求地平经度【地平经度者，或从卯酉正，或从子午正起算，皆得】如前图，辛、丁、戊为子午圏，丁为天顶，丁乙甲为本时日躔【天顶经圏】今求壬甲弧【或壬丁甲角】或甲己弧【或甲丁己角】宜用辛丁乙角形求角。列数如上题【丁辛五十度一十分辛乙八十度丁乙六十度】法以辛丁、丁乙两弧之正▯相乗，以全除之，先得【六六六八六】又两弧之余▯相乗，以全除之，次得【三二○二八】加乙辛之余▯【一七三六五】于次得数，共【四九三九三】加五位【以全乗之故】为实，以先得数除之，得【七四○六即丁角之余▯】查正▯表得四十七度四十七分，为乙丁戊角【即甲己弧】辛丁乙之余角也。辛丁乙系钝角【因对角边乙辛小于九十度，两腰为同类故相】【加次得数大于乙辛底之余▯故所得为钝角】故乙丁戊角之余为四十二度一十三分，更加九十度，得一百三十二度一十三分，为太阳之本顶圏距北向南之度，壬甲也【此系太阳在北六宫】亦名地平之经度【造日晷法内用之】又如辛乙为一百一十三度三十一分半【太阳在南六宫躔星纪】丁乙为七十度。求丁角法，两腰之正▯相乗【丁辛之正▯为七六七九一，丁乙之正▯为九三九】【六九】以全除之，先得【七二一五八】以两弧之余▯相乗【丁辛为六四○五六，丁乙为三四二○二】以全除之，次得【二一九○九】以乙辛之余▯【三九九○二】加次得数，共【六一八一一】加五位为实，以先得为法除之，得【八五六六六】即丁角之余▯，查得五十八度五十六分，为乙丁戊角，因丁为钝角【角之对边辛乙大于九十度，两腰为同类，故相加，又次得数小于乙辛底之余▯，故丁为钝角】故加九十，得一百四十八度五十六分，为辛丁乙角之度【即壬甲弧】是太阳本顶圏距北向南之度若用余角则从南起算巳至甲得三十一度○四分戊丁乙角也【余者一百四十八度五十六分之余】十七题，有时度，有日轨髙及极出地之度，求太阳之纬度，又求地平之经度。

如前图，辛乙丁斜角形，辛乙边为太阳本日距等圏，距北极之度，此形有辛角【即戊午弧】时度也，有丁辛弧极髙之余也，有丁乙弧日轨髙之余也，而求太阳距北极之纬度，辛乙即如次图，从丁角作丁甲垂弧，其甲丁辛直角形，有丁辛腰，辛角，求丁甲及甲辛【用七卷直角形第四设二三求】次甲乙丁形，先有丁乙，今得丁甲，求甲乙【用七卷第八设】【之三求】乙甲甲辛并得所求，乙辛次求地平经度【乙丁辛角也】则丁辛甲形求甲丁及甲丁辛角，又甲乙丁形求甲丁乙角，并之得所求乙丁辛角【若辛为钝角，即乙丁辛为鋭角；若辛为鋭角，即乙丁辛为钝角】

新法算书卷九十四<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>钦定四库全书新法▯书卷九十五明徐光启等撰测量全义卷九测星太阳行度止于黄道带中间一线，终古不易。故日躔厯中所用，止黄道、赤道、过极、天顶、地平五大圈而已。若恒星及五纬不然，各有黄道之纬度【一名广度】恒星则终古不易，五纬则随时不同也。各有黄道之经度【一名长度】恒星则东行，每百年一度二十五分；五纬自有其本行也。各有赤道之纬度【一名距度】则恒星纬星皆随时不同也。各有赤道之经度，恒星则为黄道之同升度【或名同过极圏之度，非赤道本圏之上度】五纬自有其本行，亦皆随时不同也。盖二种星四种度，其不易者止一恒星之黄道纬，余皆时时变易矣。欲测经纬各星之本度，法用仪器定赤道上之经纬度，可推得黄道上之经纬度；或先测得黄道上经纬度，可推得赤道上经纬度。又以法求各欹球上之各星升降时刻，见上卷。其测星之器之法及行度各论各表，见别卷第一题。有某星之黄道上经纬度，求其赤道上经纬度【星者，通称也，或恒星，或五纬，或客星、彗孛，皆是，后论仿此】凡星之经度皆从春分或左或右起算。厯家兼用二分，葢皆两道之交，无纬度，但取其距近者为便耳。如河鼓中星，其黄道经二百九十六度有竒，以满全周少六十三度有竒，即用春分向右起算，为相距未及一象限。故黄道分四象限：春分迄夏至九十度为一限，夏至迄秋分一百八十度为二限，秋分迄冬至二百七十度为三限，冬至迄春分满三百六十度为四限。凡论星之经度，先定在黄道某象限之或左或右，相距近则易测【图说如左】若论星之纬度，或在二道之北，或在二道之南，或在二道之间【或在黄之南赤之北，或在黄之北赤之南】亦如后图。图说，丁戊庚寅为极至交圏【南北圏过二道、二极，亦过二至】壬为心，戊壬寅为黄道。丁、壬、辛为赤道交于壬为春秋两分戊为夏至，寅为冬至，已为赤道。极庚为黄道极，从春壬向夏戊转。秋壬至冬寅为四象限之弧也。今设一星如乙，从黄道极庚【或北极或南极与纬度同理】作象限弧过乙至黄道之子防，子乙即黄道上本星之纬度也。次从赤道极已过乙作己乙甲象限弧，乙甲即赤道距本星之纬度也。又定本星经度距交分之度为甲壬，今欲求本星之赤道纬度甲乙及其赤道经，其法有二：一用己庚乙斜角形，此形有两极之相距己庚，有黄道纬乙子之余弧乙庚，有对戊子弧之庚角【庚角之子戊弧即本星距交分之余弧，亦即其距至之弧】求乙己庚角【其余乙己午角为甲丁▯之角，即本星赤道上距至之弧】法用七卷第五易，以庚己弧引长之，从乙作乙午，垂弧成乙庚午直角形。

此形有庚角，有庚乙边，求午乙，又求午庚【二求法见下第一假如】以己庚减午庚，得午己。次午己乙直角形，有午乙，有午己，求己乙。求午己乙，午己乙者，甲丁弧之角，甲丁者，所求赤道经壬甲之余弧，己乙者，所求赤道纬甲乙之余弧也。假如乙为句陈大星【西名小熊尾第一】天啓甲子年黄道经为八十三度二十三分，壬子也。其黄道。北纬度为六十六度○二分子乙也。因经度不过九十，故在第一象限内。从春壬向夏戊，遇子即从庚过乙作。庚乙子象限弧次，从北极已【纬度在北】过乙，作己乙甲象限弧，成己乙庚形。此形有乙庚、庚己及庚角。从乙作乙午垂弧，成午乙庚直角形。此形有乙庚二十三度五十八分【黄纬之余】有庚角六度三十三分。求午乙边，法为全与乙庚之正▯【四○六二一】若庚角之正▯【一一四○七】与午乙边之正▯【四五三三】查得二度三十六分。又求午庚边，法为全与庚角之余▯【九九三四七】若庚乙之切线【四四四五三】与午庚之切线【四四一六四】查得二十三度四十九分三十秒。次以己庚减午庚，得午己弧○度一十八分。次午己乙形有午乙、午己两边，求乙己，法为全与午己之余▯【九九九九九】若午乙之余▯【九九八九七】与乙己之余▯【九九八九三】查得二度三十九分。为句陈大星与己北极之距余八十七度二十一分，为本星赤道北之纬度，又求午己乙角为全，与午己之正▯【五二四】若午乙之余切线【二二○二一七一】与己角。之余切线【一一五三八】查得八十三度二。十五分为午、己、乙、角之甲、丁弧，则甲壬得六度三十五分，为本星赤道上之经度。又假如乙为南河东星【西名小犬大星】甲子年黄道经度为一百一十○度二十七分三十○秒，其南纬度为一十六度○十分，因经度过九十，故在第二象限内，从戊数限。外得二十○度二十七分，为戊子，从。黄南极庚作，庚子象弧，其纬度为子。乙因，乙星在赤道北，从赤北极作己。乙甲弧成，庚乙己大三角形，此形有庚角【子戊也，黄道经之余弧】有庚乙边【黄道纬之余弧】又有己庚大弧【庚戊象限九十度，戊己为黄道夏至距赤道极六十六度二十八分三十秒，得一百五十六度二十八分三十秒】求己乙边及己角。从乙角作乙午垂弧在形内【为己庚边过象限，又己庚两皆锐角】其庚乙午直角形有庚角，有庚乙边，求庚午得七十二度四十九分四十○秒，又求乙午得一十九度三十三分一十四秒，次以午庚减。己、庚余八十三度三十八分五十○。秒为午，己次午，己乙直角形，有己午。午、乙求己，乙得八十四度○一分为。赤道纬度之余，即纬度甲乙为五度五十九分，次求巳角之对弧甲丁，得二十一度二十一分三十○秒，因在第二象限，加九十度，得一百一十一度二十一分三十○秒，为赤道上经度【加九十度者，从壬起算，越丁而转至甲故也】或从赤南极，巳作己，甲乙弧成乙庚己【南极】形，乙庚边引。

长之又从己角作己午垂弧成庚。己午，形此形有己，庚午角与戊庚。子角等【相对交角】有己庚【两极之距】求午己。午、庚两边及午、己、庚角次、午、乙、己。形有午己、午乙【午庚、庚乙并】求己乙为某星距南极之度【减己甲九十度余为赤道北之纬度，甲乙】次求午己乙角内减午己庚角，余庚己乙角，其对弧甲丁即某星之赤道上经度也。假如河鼓中星、天啓甲子年黄道经二百九十六度二十八分三十三秒，其黄纬为二十九。度二十一分三十○秒，求赤道上经。纬度如图，春壬、夏戊为黄道初限【九十度】夏戊秋壬为黄道二限【百八十度】秋壬冬寅为黄道三限【二百七十度】冬寅春壬为黄道四限【全周】星之经度二百九十六，即在寅壬四限内，于经数内减三限【二百七十度】余二十六度二十八分三十三秒，为从寅起算至子之经度。次从黄北极庚至子作庚子象限，从子向北计其黄二十九度二十一分三十○秒，为子乙。次从北极巳过乙作己乙甲象限弧，成庚己乙形。此形有庚己【黄赤距二十三度三十一分三十○秒】有乙庚【黄度之余六十○度三十八分三十○秒】及己庚乙角【或子庚寅角之余为一百五十三度三十一分三十○秒】用七卷相易法，从乙作乙午垂弧至己庚辛弧上，成庚乙午直角形，有庚乙边，有乙庚午角，求午乙法为全与庚乙边之正▯【八七一五七】若庚角之正▯【四四五七九】与午乙边之正▯【三八九二三】查得二十二度五十四分三十○秒为乙午边。次求庚午法为全与庚角之余▯【八九四七四】若庚乙之切线【一七七七二三】与午庚之切线【一五九○一四】查得五十七度五十○分加庚己【二十三度三十一分三十○秒】得己。午八十一度二十一分三十○秒次乙己午，直角形，有己午，有午乙，求己。乙法为全与己午之余▯【一五○二六】若午乙之余▯【九二一一○九】与己乙之余▯【一三五四九】查得八十二度一十三分为己乙，其余七度四十○分为乙甲，是河鼓中星在赤道北之纬度。又求乙己午角法，为全与午己之正▯【九八五七○】若午乙之余切线【二三六六三六】与己角之余切线【二三四三二】查得二十三度○八分为己角，即甲辛弧为从辛起算之赤道上经度也。因在第四限，加二百七十度，得二百九十三度○八分为河鼔中星之赤道上经度。其二，法用前图庚子象，弧交赤道于丑，上下有壬子丑。乙甲丑两直角形，而求乙甲【乙星之赤道纬】及甲丁【己角之弧星经距至之弧】或甲壬【星距交分之弧】其壬子丑形，有子直角，有丑壬子角。【两道之交角】有壬子边【星黄道距交分之弧】求丑子。丑壬及子丑壬角次，以乙子丑子或相加或相减【丑在乙子之间则减，子在乙丑之间则加】得乙丑次。

乙丑甲形，有甲直角，有乙丑边，有乙丑甲角【子丑壬之交角】求丑甲，加丑壬，得乙星赤道上距壬交之经度。又求得甲乙为乙星之赤道上纬度。如乙为娄中星，黄道经三十二度二。十六分三十○秒，壬子也。其北纬九度五十七分，子乙也，求赤道经纬度。其壬子丑形有子，直角有壬子【黄道经】及壬角【黄赤距弧】求子丑法为全与子壬之正▯【五三六四六】若壬角之切线【四三五三三】与子丑之切线【二三三五三】查得一十三度○八分四十○秒。次求壬丑法为全与壬角之割线【一○九○六四】若壬子之切线【六三五六一】与丑壬之切线【六九三二一】查得三十四度四十三分五十七秒。次求丑角为全与壬角之余割线【二五○五二○】若子丑之割线【一一八四九一】与丑角之割线【二九六八四三】查得七十○度一十八分五十二秒。并乙子【星之黄道纬九度五十七分】子丑【本形初求一十三度○八分四十○秒】得二十三度○五分四十○秒。又乙丑甲形有乙丑及丑角，求乙甲边为全与乙丑之正▯【三九二二七】若丑角之正▯【九四一六六】与乙甲之正▯【三六九六四】查得二十一度四十○分三十○秒，赤道之纬度也。又求丑甲为全与丑角之余▯【三三六九一】若乙丑之切线【四二六四一】与丑甲之切线【一四三六五】查得八度一十○分三十○秒，以减先得之丑壬，余二十六度三十三分二十七秒，为本星赤道之经度。第二题有某星之赤道上经纬度，求其黄道上经纬度。如前图，用己乙庚形。此形有乙己【甲乙赤道纬度之余】有乙己庚角【其余为甲己丁角，先有赤道经度壬甲，即有甲丁弧，或甲己丁角】有己庚【两极距度】求黄道经度之庚角。

或子戊弧【壬子之余】或用第二法，引长乙甲弧，交黄道于卯，成卯甲壬直角。

形有壬角【两极距度】有壬甲【赤道经度】求甲卯及甲卯壬角以乙甲甲卯或相加或相减得卯乙，次卯乙子形，有卯乙，有乙卯子角【先为甲卯壬角】求乙子为黄道之纬度，亦求卯子壬、卯卯子，或加或减得壬子为本星距交之黄道经度【星在黄道南北，如上图在两道间，如下图】第三题有某星，黄道、赤道上之经纬度，求两道之距度。法用上图，乙己庚形，有庚己两角【两道之经度】有庚乙或乙己边，求庚己边。

第四题有某星之黄道经度、赤道纬度，而求赤道经度、黄道纬度。法用上图乙己庚形，有庚角【黄道经度】有己乙【赤道纬度之余】求己角【赤道经度】及庚乙边【黄道纬度之余】

第五题有某星之地平经纬度及极出地之度，求其赤道纬度。如图，丙丁己为子午圏，丙壬辛为地。平庚为天顶，己为北极，丁壬为赤道。星在乙，从己作己，戊乙弧定，戊乙为。星距赤道之度，从庚作庚乙甲弧定。甲乙为地平之纬度，又定甲庚丙角【即甲丙弧】为地平之经度【从南起算】成庚乙己形。有己庚边【极出地之余】有乙庚【地平纬之余】有乙庚己角【即甲辛弧之角】求乙己，减九十度得戊乙为星距。

赤道之纬度若有星之赤道纬度及其地平经纬。度而求极，出地之度如图，庚乙己形。有己，乙乙庚两边，有庚角，求己庚弧。为极距天顶度【即极出地之余】若有赤道上丁防【在子午圏】之经度，可知某星之赤道经度。如图，求乙己庚角，其弧为丁戊，则以丁防或加或减于丁戊，得星之赤道经度。

第六题有某星之赤道经度，地平纬度，北极出地之度，求时刻【时者，赤道过子午圏之平度分也。太阳赤道上经度，某防过子午圏三十度，即成八刻，是太阳之时也。在星亦然。凡星之赤道上经度，某防在午正线，即为某星之午正时。更过三十度，即某星之午后八刻。若以某星之时刻求太阳之夜时刻，即先求太阳及星之赤道上两经度，以加减得太阳时刻法，见下文】如上图，丁戊弧求某星之距午时刻。【即庚己乙角】其地平纬度为甲乙，即有乙。庚赤道纬度为戊乙，即有乙己【若星纬向北则以戊乙减戊己九十度，若向南则加之，各得乙己弧】庚己为本地北极高之余，是乙庚己斜角形，有三边，求己角【本书七卷】法曰：庚己，乙己，为所求角【己】旁之两。弧以此两弧之度分相加为总，相减。为较查总较数之两余▯，若总数过。九十，即以两余▯相加，不及即相减，得数半之为先得数。次以乙己、己庚相减，得较弧，求其矢与庚乙边【所求己角之对边】之矢相减，存数为实，末加五位，以先得数而一，得己角之矢【即丁戊弧之矢，查表得丁戊弧】假如河鼔中星，天啓甲子年，在赤道北七度五十五分三十○秒，乙戊也。余乙己，必八十二度○四分三十秒，地平高三十五度，甲乙也。余乙庚，必五十五度，庚己五十○度○十分【顺天府北极距天顶】是庚乙己形有三边，而求己角。法以所求角【己】之两腰【庚己五十度○十分，己乙八十二度○四分】相加得总数【一百三十二度一十四分】相减得较数【三十一度五十四分】查两得数之余▯【百三十二度一十四分以比半周少四十七度四十六分求其正▯为六七九八六，总数之余▯也，又八四三三九为较数之余▯】因总数过九十，应相加得【一五二三二五】半之为【七六一六二】则先得数也。两腰之较弧为三十二度三十○分，其矢为【一五六六○】己角对边庚乙之矢为【四二六四二】两矢相减余【二六九四二】为实加末五位，以先得数而一，得【三六九一一】查得丁戊弧五十○度五十三分，变时得三小时二十三分三十○秒。若星在午线右，则为午后星之本时；若在午线左，则以减半日十二时，得子后星时为八时三十六分三十○秒。若有星时，求太阳时，其法以星之赤道上经度去减太阳之赤道上经度，其较为星与日之距度也，变为时，加减以星之时，得太阳之正时。若太阳经度小于星之经度，亦相减得星日之距，但以距度变时，加入于星时。如图，外圏为时刻，内圏为赤道，设星在。鹑火初度【设经为一百二十二度有竒】设太阳在析。木初度【设经为二百三十七度有竒】又设星时为己。正初刻【午前八刻，或子后四十刻】两经相减，得日星。

之距弧丑己变为时若星日俱在东则以星时加入距时为太阳之午前时【如一图】若一在西，一在东，则以星之时去减于距时，得太阳时【如一图】若星日俱在西，则以星时加入距时，得太阳时【如三图】第七题有某星之赤道纬度及北极出地度，求地平上时刻【太阳为昼】法与求太阳之昼时同。如图，丁壬为赤道，己为极星，或北或南出入地在乙，从已极作己乙，截赤道于甲，成甲乙壬直角形，有甲乙【星之纬度】有甲壬乙角【赤道高弧之角】求甲壬弧。若星在北，以甲壬加壬丁九十度，得星之半昼；星在南，以甲壬减壬丁，得星半昼。若星之近出极纬度小于极出地之度，即此星常见不▯；若近入极纬度小于极入地之度，即此星常隐不见【满剌加以北则北为出极，南为入极】

第八题有星之经纬度，以定出入之濶度。

如上图之壬乙边是也反之，有某星出入之濶及极出地之高，求其纬度及其昼时，皆于本图内展转得之。

第九题有两星同在一天顶圏内，测其高。若一星有赤道之纬度，即可推他星之纬度及两星之赤道经度差。如图，丙庚辛为子午圏丁壬为赤道。巳为极，庚为天顶，两星，一在乙，一在。子测得甲子、甲乙两星之高，若知乙。星之纬度，乙戊可推，子星之纬度，子。丑及两星之经度差，丑戊法用庚己乙形，有庚己【极高之余】有庚乙【乙星高之余】有乙己【乙星距极之度】三边，以求庚乙己角。次乙己子形，有乙己【乙星距极】有乙子【两星高之差】有己乙子角【庚乙己角之余】求己子边，以比九十度，其较为子星之纬度。又求乙己子角，其弧戊丑为两星之经度差。若有两星同在一天顶圏内，而各有其经纬度，可推极出地之度。如上图，先用子乙己形，有子己及己乙【两星纬之余】有己角【两经度之差】求乙角。次庚己乙形，有己乙、庚乙及庚乙己角，求庚己为极距天顶之度。若先知两星之经纬度，又测其高，可推恒星之清蒙差。但恒星极逺，蒙差极微，则法须极准极细乃可。

第十题有两星之地平经纬度【经者，距地平南北圏；纬者，地平上高】若知一星之赤道经纬，可推他星之赤道经纬【两星须俱在东，或俱在西】图圏如前，但从天顶庚作庚子卯象。限弧定子星之高，卯子【地平纬】亦定子。星距北之弧，卯辛【地平经】又甲辛弧为乙星距北之经，自得卯甲弧【或卯庚甲角】为两星之地平经差。今论先知乙星之赤道经纬，则用庚乙己形。有庚己边【极距天顶】有庚乙【乙星地平纬之余】有乙己弧【乙星距极】依法求得己庚两角。次于乙庚己角，用卯庚甲角或加之或减之，得子庚己角。又己乙弧【乙星过极之圏】交庚卯弧【子星之天顶圏】于酉。其庚酉己形，有庚己边，又得己庚两角，依法求得庚酉、酉已两边及酉角。次酉子己形，有酉子【庚子为子星高之余，内减庚酉，存酉子】有己酉子角【庚酉己角之余】又有酉己边，依法求得酉己子角。其弧戊丑即两星之经度差。又求子已即子星距极之度。若先知子，则用子庚己形，有庚己、庚子、子己，求得己庚两角，次于己庚子角，加乙庚子角，得乙庚己全角。次庚乙己形，有庚己、庚乙及庚角，求得乙己边，即乙星距极之弧。又求庚己乙角，以减庚己子角，余乙己子角，其弧。

戊丑即两星之经差若一星在午圏上，即午己丁己合为一弧不成三角形，无从考其度分，不用此法若一星在东，一星在西，即戊己极圏不能割庚卯天顶圏，亦不成三角形，不用此法。

第十一题有两星之黄道经纬度，求两星之距度。如图，丙戊为两星，己壬为黄道之一弧，丁为极，己丙为丙星之纬，丙丁其余，戊壬为戊星之纬，戊丁其余，己丁壬角为两星之经度差，求距度丙戊法，以大圏弧聨两星，成戊丙丁斜角形，有丙丁、丁戊两边有丁角，次从戊【从丙亦可】作戊甲，垂弧，依法求得戊甲、甲丁，又甲丙、戊形，求丙戊，即两星之距【若地球上有两方之经纬度，可推其距度，如丁为北极，丙丁、戊丁为北极之两高，丙丁戊角为东西里差，丙戊为两方大圏上相距之度分，以里法二百五十里通之，得丙戊斜相距之里】

第十二题有两星，正午上之高及相距度，求其赤道上经度差。如图，丁为北极，己壬为赤道，丙戊为两星，丙丁戊形。有丙丁戊，丁为两星距北极之度【正午高之余各加北极距天顶之度得星距北极之度】及丙戊边，求丁角。法为丁丙、丁戊两腰相加得总数，相减得较数，各求其余▯。若总数过九十者，即两余▯相加；不及即相减，得数半之为先得数。次以两腰弧较之矢及丙戊底之矢相加、相减【几底过九十合为总，不及九十减为较】所得或总或较为实，以先得数为法而一，得丁角之矢。

第十三题有新星【未知其经纬度，即恒星亦名新星、客星及彗孛同】测得其去两旧星之各距度，而先知两旧之经纬度，以推新星之经纬度【三星所居之纬度有三类：或俱在北，或俱在南，如一图；或一南一北，或一南二北，一北二南，如二图；或三距周绕一极，如三图。言经纬度者，或赤道，或黄道，皆用此，葢以二求一，其理同也】如一图，丁角为极，己辛壬为对角之弧，丙戊为两旧星，乙为新星。从丁极作丁丙、己丁乙、辛丁戊、壬三象弧，又以大圏弧聨三星，如丙乙、乙戊、戊丙。今先求两旧星之弧。丙戊用丙戊丁角形，有丁丙、丁戊两边【两星纬度之余】及丙丁戊角【两星之经度差】依法求丙戊边，亦求丙戊丁角。次丙乙戊形，有三边【先测乙丙、乙戊，今得丙戊】依法求丙戊乙角。末乙戊丁形，有戊丁【戊星纬度之余】有乙戊【两星相距之弧】及乙戊丁角【丙戊丁、丙戊乙两角并】求乙丁边，即新星乙纬度之余，又求乙丁戊角【即辛壬弧】先己知己壬弧度分【两星之经度】今得辛壬弧，即知辛防所在，为乙星之经度差。二图用戊、乙、丙形及丙、乙、丁形，求得如前法。三图极在乙戊丙形内【星纬之余小于相距度，则近极，故极在形内】先用丙。

戊丁形求丙戊边及丙戊丁角次丙乙戊全形求丙戊乙全角于全角减丁戊丙角得其余丁戊乙角次，丁乙戊形，求丁角及丁乙边。今借用西史旧测一则为例【二北一南】如万厯十九年辛卯，太阳近夏至逺西马日诺测，北极出地四十五度有竒，中西里差一百。○二度三十○分，用象限仪测火星【荧惑，也为乙新星】得其距河鼓中星丙四十四度○三分为丙乙其距心大星戊二十一度五十一分求火星之经纬度法用河鼔中丙本年之经纬度【经为二百九十六度○一分己防是北纬二十九度二十一分丙己是】及心中戊本年之经纬度【经为二百四十四度○五分壬防是南纬四度二十七分戊壬是加丁壬九十度得戊丁】两经相减得较为经差己壬五十一度五十六分【己上用上图己下用下图】次丙戊丁形有丙丁丁戊两边有丁角从丁丙边引长之从戊作甲戊垂弧成戊甲丁直角形求戊甲【全与戊丁之正▯若丁角之正▯与戊甲】得四十三度二十○分又求丁甲【全与丁角之余▯若戊丁之切线与丁甲之切线】得四十七度三十八分次以丁甲丁丙相减余四十六度四十九分甲丙也次丙甲戊直角形有甲丙四十七度有竒有甲戊四十三度有竒求丙戊【全与甲丙之余▯若甲戊之余▯与戊丙之余▯】得六十度○九分次二求丁丙戊角则先求甲丙戊角【全与甲丙之余割线若甲戊之切线与丙角之切线】得五十二度一十八分其余【并上以满半周】一百二十七度四十二分即丁丙戊角【以求丙戊丁角亦同】次三丙乙戊形【此下复用上图】先有丙乙乙戊【两星距新星之度】今得丙戊边求乙丙戊角【见斜角形本法】以丁丙戊乙丙戊两角相减余乙丙丁为八十九度三十六分三十○秒次四丁丙乙形有丁丙【六十○度三十九分】丙乙【四十四度○三分】两边及乙丙丁角【八十九度三十】【六分】求乙丁边，依法得八十六度○四分四十○秒，其余三度三十五分二十○秒为新星之北纬度。乙辛，又求乙丁丙角，得其经度差己辛为二十一度五十四分。第十四题有新星，求其经纬度，不用仪器，从本星之四隅取四旧星，成十字形，可以四星之经纬度推新星之经纬度【法用直边之尺，望新星与其相近二星，皆切尺边成纵直线，次又望三星切尺边成横直线，即五星成十字形，不论逺近上下前后，随其位置，以诸三角形推算如下文】如图乙为黄道极【二道俱可推此以黄为例】子辛。壬为黄道弧，丙丁己庚为旧星，戊为新星从乙极过，诸星各作象，弧为乙。丙子，乙丁卯，乙戊寅，乙己辛，乙庚壬。从乙定各旧星纬度之余，子卯为丙丁两星之经差，卯寅为丁戊两星之经差，寅辛为戊己两星之经差，辛壬。

为己庚两星之经差今求新星戊之经纬度有丙戊庚三星成一直线【即三】【星在一大圏上】从丙戊庚弧引长，遇黄道于丑【若星在南，则先遇丑】又丁戊己三星成一直线，从丁戊己弧引长，遇黄道于亥。先用丙庚乙形，有乙丙【丙星纬之余】有乙庚【庚星纬之余】有丙乙庚角【丙庚两星之经差】求得丙角。次二丁乙己形，有丁乙己乙【两星纬之余】及丁乙己角【两星之经度差】求得乙己丁角。次二丙子丑直角形，有丙子【丙星之纬】有子丙丑角【乙丙庚角之余】求得丑角【过两星圏遇黄道所作角】次四求得丑子弧【既知丙星之经度在子防，可知黄道上之经差丑子】次五己亥辛直角形，有己角【乙己丁角之余】及己辛【己星之纬】求得亥角。次六又求得亥辛弧【既知己星之经度在辛防，可知黄道上之经度亥辛】次七亥戊丑形，有亥丑两角及亥丑弧【知亥丑两防黄道上之经度，因知其距度】求得亥戊边。次八亥戊寅直角形，有亥角及亥戊边，求得亥寅边为戊星黄道上距交防之经度，又求得戊寅为戊星之纬度。

第十五题有过午圏赤道之防，及某星地平经纬度，求其赤道上经纬度。如图，戊、壬、丙为地平，丁、壬、寅为赤道，从。天顶庚【地平极】作庚乙子象限弧子乙为星之地平纬度，子丙为其经度【从北圏丙起算】又从己极作己乙甲象限弧，得星距极。之弧乙己【纬度之余】成庚乙己形，形有庚乙【星地平纬之余】有庚己【极距天顶】有己庚乙角【丙子弧之角】求得己角【赤道弧丁甲之角】即星距午上赤道防之角，又求得己乙边为星距极之度，即纬度之余。

第十六题有新星之赤道上纬度【测得午正之高以加减赤道高得纬度】及距一旧星之度【有其经纬度】求新星之经纬度。子为旧星，乙为新星，己为赤道极，辛丙为赤道弧。其己乙子形，有己子【旧星纬之余】有己乙【新星纬之余】及乙子【两星之距度】求得己角为新。

星赤道上距子星之经度差第十七题一新星，两旧星，作直线。若测得新星距一旧星之度，可推新星之经纬度。丁丙为二旧星，乙为新星。己丁丙形有己丁，己丙两边及丙己丁角【两旧星之经度差】求得丁丙边及己丁丙角。又己丁乙形有己丁，丁乙【即丁丙丙乙】求己乙边，即新星纬度之余，又求丁己乙角，即辛庚弧，为乙丁两星之经度差。