<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十一>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十一>

第一平分线分法。此线平分为一百，或二百，乃至一千量尺之大小也。分法如取一百，先平分之为二，又平分为四，又各五分之为二十。自此以上不容分矣。则用更分法，以元分四，复五分之；或以元分六，复五分之。如上图，甲乙线分丙丁戊为元分之四，今更五分之，得己庚辛壬。元分与次分之较为壬丙，为戊己，皆甲乙二十分之一，为元分五之一【毎数至十至百各书字识之】论曰：甲乙【四】与甲丙【一】若甲己【四】与甲壬【一】更之，甲乙。

【四】与甲己【四】若甲丙【一】与甲壬【一】甲己为甲乙五之四，即甲壬为甲丙五之四，壬丙为甲丙五之一。又甲丁为十，甲辛为八，辛丁为甲丁十之二，或丙丁五之二。戊庚为丁戊五之三。又壬丙为甲丙五之一，必为甲壬四之一【几何五卷】用法一凡设一直线，任欲作几分，假如四分，即以设线为度数，两尺之各一百以为腰，张尺以就度，令设线度为两腰之底，置尺数，两尺之各二十五以为腰，敛规取二十五两防间之度以为底，向线上简得若干数，即所求分数。凡言线者，皆直线，依几何原本大小两三角形之比例，则二十五与得线，若一百与设线也，更之，二十五与一百，得线与设线，皆若一与四也。若求极微分，如一百之一，如上以一百为腰，设线为底，置尺，次以九十九为腰，取底比设线，其较为百之一。若欲设线内取零数，如七之三，即以七十为腰，设线为底，置尺，次以三十为腰，敛规取底，即设线七之三【置尺者，置不复动，下仿此】用法二凡有线求几倍之，以十为腰，设线为底，置尺，如求七倍，以七十为腰，取底即元线之七倍，若求十四倍，则倍得线，或先取十倍，更取四倍，并之。用法三有两直线欲定其比例，以大线为尺末之数【尺百即百，千即千】置尺敛规，取小线度于尺上，进退就其等数。如大线为一百，小线为三十七，即两线之比例若一百与三十七。可约者约之【约法以两大数约为两小数，其比例不异，如一百与三十约为十与三】用法四乘法与倍法相通【乘者求设数之几倍也】如以七乘十三，于腰线取十三为度，七倍之，即所求数也。用法五设两线或两数【凡言数者，腰上取其分，或以数变为线，或以线变为数】

欲求一直线而与元设两线为连比例　若设大求小则以大设为两腰中设为底次以中设为两腰得小底即所求如甲乙甲丙尺之两腰所设两数为三十为十八欲求其小比例从心向两腰取三十如甲辛、甲己识之，敛规取十八为度，以为底。如辛己次，从心取十八。如甲丁、甲戊即丁戊为连比例之小率，得十一有竒。若设小求大，则反之。以中设为两腰，小设为底，置尺，以中设为度，进求其等数，以为底，从底向心，得数即所求。如甲丁、甲戊为两腰，丁戊为底，次以甲丁为度，引之至辛、至己，而等从辛、从己向心，得三十，即大率。论见几何六卷十一题【凡言等数者，皆两腰上纵心取两数等，下同】用法六凡有四率连比例，既有三率而求第四，或以前求后，则丁戊为第一率，辛己、甲丁、甲戊为第二，又为第三，而得辛甲为第四。若以后求前，则甲辛、甲己为第一，辛己、甲戊、甲丁为第二，又为第三，而得丁戊为第四【甲辛与辛己若甲丁与丁戊，故也】用法七有断比例之三率求第四，如一星行九日得一十一度，今行二十五度，日几何？即用三率法，以元得一十一度为两腰，元行九日为底，置尺，以二十五度为两腰，取大底腰上数之，得二十日【十一之五】为所求日【此正三率法，九章中名异乘同除也】用法八句股形有二边而求第三，法于一尺取三十为内句，一尺取四十为内股，更取五十为底，以为内▯，即腰间角为直角，置尺，若求▯，则以各相当之句股进退取数，各作识于所得防，两防相望得外▯。线以▯向尺上取数为外▯数【言内外者以先定之句股成式为内甲乙丙是以所设所得之他句股形为外甲戊己是】若求句于内股上取外股作识以设▯为度从识向句尺取外▯得防作识从次识向心数之得句求股亦如之【下有开方术为勾股本法可用】用法九若杂角形有一角及各傍两腰求余边，先以▯线法依设角作尺之腰间角，次用前法取之【见下二十一用四法】用法十有小图欲更画大几倍之图则尺上取元图之各线，加几倍如前作之。用法十一此线上宜定两数，其比例若径与周为七。

与二十二或七十一与二百二十三即二十八数上书径八十六上书周有圈求周径法，以元周为腰，设周为底，次于元两径，取小底，得所求径。反之，以径求周，径为腰，如前用法。十二此线上定两数求为理分中末之比例，则七十二与四十二又三之一不尽为大分其小分为二十四又三之二弱　有一直线欲分中末分，则以设线为度，依前数取之【几何六卷三十题】

第二分面线今为一百不平分分法有二，一以算，一以量。以算分。筭法者，以枢心为心，任定一度为甲乙，十平分之，自之得积一百。今求加倍，则倍元积得二百，其方根为十四又十四之九，即于甲乙十分线加四分半强，而得甲丙为倍面之边。求三倍，则开三百之根，得十七有半，为甲丁。求五六。七倍以上，边法同【用方根表，甚简易】以量分，任取甲乙度为直角方形之一边，求倍则于甲乙引至丁，截乙丁倍于甲乙，次平分甲丁于戊，戊心甲界作半圈，从乙作乙己垂线，截圏于己，即己乙线为二。百容形之一边【六卷二十六増】求三倍则乙丁三倍于甲乙，四倍以上，法同于尺上，从心取甲乙，又从心取乙己等线，成分面线。试法。元线为一正方【直角方形，省曰正方】之边，倍之，得四倍容方之边否？即不合。三倍之，得九倍容方之边；四倍得十六，五倍二十五。又取三倍之边，倍之得十二；再加倍得二十七倍之边；再加倍得四十八倍之边；再加倍得七十五倍之边。若五倍容形之边，倍之得二十倍容形之边；再加倍得四十五倍容形之边；再加倍得八十倍容形之边【本边之论，见《几何》六卷十三】用法一有同类之几形【方圆三边多边等形】容与容之比例，若边与边，其理具几何诸题】欲并而成。一同类之形，其容与元几形并之容。等如正方大小四形求作一大方其容与四形并等，第一形之容为二二。形之容为三，三形之容为四有半，四。形之容为六，又四之三，其法从心至。

第二防为两腰以第一小形之边为底置尺次，并四形之容，得十六又四。之一以为，两腰取其底，为大形边，其容与四形之容并等，若无容积之比例但设边如甲乙丙丁四方形，其法从心至，尺之第一防为两腰小形。甲边为底，置尺；次以乙形边为度，进。退取等数，得第二防外，又四分之三。即书二又四之三次丙形边为度得。三又五之一，丁形边得四又六之五，并诸数及甲形一，得十又二十之十九。向元定尺上进退取等数为底，即所设四形同类等容之一大形边【此加形之法】用法二：设一形，求作他形，大于元形几倍法？曰：元形。边为底，从心至第一防为腰，引至所求。倍数，防为大腰，取大底，即大形之边【此乘形之法】用法三若于元形求几分之几以元形边为底，命分数为腰，退至所求数为。腰取小底即得，如正方一形求别作。一正方，其容为元形四之三，以大形边为底，第四防为腰【即命分数】次以第三防为腰【即得分数】得小底，即小形边【此除形之法，若设一形之积大而求其若干倍小，而求其若干分，则以原积当单数用，第一线求之】用法四有同类两形，求其较，或求其多寡，或求其比例，若干法。曰：小形边为底，为一，防为腰。置尺，以大形之边为度，进退就两等数以为腰，得两形比例之数。次于得数减一，所余为同类他形之一边，此他形为两元形之较。如前图，小形边为一，大形边为六，其比例为一与六，则从一至六为较形边【此减形之法】用法五有一形求作同类之他形，但云两形之容积若所设之比例。法曰：设形边为底，比例之相当率为腰，次他率为腰，取其底为他形之边。用法六有两数求其中比例之数法。曰：「先以大数变为线，变线者于分度线。」上取其分与数等为度也，以为底，以本。线上之本数，为腰置尺，次于小数上取。其底线变为数变数者，于分度线上查。得若干分也，此数为两元数中比例之数如前图二与八为两元数，先变八为线，以为底，以本线之第八防为腰，置尺次于第二防上，取其底线变为四数，则二与四，若四与八也。若设两线不知其分，先于分度数线上查几分法，如前。用法七有长方求作正方，其积于元形等，法曰：长方两边变，两数求其中比例之数，变作线。

即正方之一边与元形等积用法八有数求其方根，设数或大或小若大如一千三百二十五，先于度数上取十分为度，以为底，以本线一防为腰，即一正方之边，其积一百。次求一百与设数之比例，得十三倍又四之一。以本线十三防强为腰，取其底于度线上查分，得三十五强为设数之根。

第三更面线分法如有正方形欲作圆形与元形之积等，置公类之容积四三二九六四，以开方得六五八，正方边也。以开三边形之根得一千，为三边等形之一边。开五边之根得五○二，六边形之根为四○八，七边形之根为三。

四五八边形之根为二九九九边形之根为二六○十边形之根为二三七十一边形之根为二一，四十二边形之根为一九七，圆形之径为七四二。以本线为千平分，而取各类之数，从心至末，取各数加本类之号【言平形者，冇法之形，各边各角俱等】用法一：有异类之形欲相并，先以本线各形之边为度，以为底，以本类之号为腰，置尺取正方号之底线，别书之。末以各正方之边于分面线上取数，合之而得总。

边　假如甲乙丙三异类形欲相并先以三边号为腰甲，一边为底。置尺，取正方号四，防内之底，向分。面线上用十数，为腰正方，底为底。于甲形内作方底线，书十次，五边。号为腰乙，一边为底，如前取正方。底向分面线得二十一，半即于乙。形内作方，底线书之，次圆号为腰。径为底，如前得十六弱，并得四十七半弱。若欲相减，则先通类，如前法，次于分面线上相减【用上图】用法二有一类之形求变为他类之形，同积以元形边为度，以为底，从心至本号防为腰，置尺；次以所求变形之号为腰，得底，即变形边。用法三凡设数求开各类之根，先于分面线求正方之根，次以方根度为底本线，正方号为腰，置尺，则所求形之号之底线，即元数某类之根【有法之平形，其边可名为根，与方根相似】用法四若异类形欲得其比例与其较，则先变成正方，依分面线求之。

第四分体线线不平分，分法有二：一以算，一以量。以筭分，从尺心任定一度为甲乙十平分，自之又自。

之得积一千即定其线为一千即体之根今求加一倍积体之根倍元积得二千，开立方根得十二又三之一，即于甲乙加二又三之一为甲丙，乃倍体之边，求三倍开三千数之立方根，以上同。又捷法，取甲乙元体之边，四分之一，加于甲乙元边，得甲丙，即倍体边。又取甲丙七分之一，加于甲丙，得甲丁，乃三倍体之边。取甲丁十分之一，加于甲丁，得甲戊，乃四倍体之边。再分再加，如图。

试置元体之边二十八四之一，得七，以加之，得三十五。法曰：两根之实数，即用再自之数为一与二不逺。葢二十八之立实为二一九五二，倍之为四三九○四，比于三十五倍体边之实四二八七五，其差才○一○二九，约之为一千四百五十二分之一，不足为差。若用三十六之四六六五六，其差为逺。又加倍体七之一，得再倍体之边三十五又七之一，七之一者五也，以加之，得四十。其实为六四○○○元积，再倍之数为六五八五六，较差才○一八五六，或三十五之一，可不入算也。若用四十一根之实六八九二一，其差为逺。又试倍边上之体为体之八倍，即依图计零数至第八位，为五之四、八之七、十一之十、十四之十三、十七之十六、二十之十九、二十三之二十二，用合分法合之，得一二○四二八○之六○八六○八，约之为一○七五○之五四三四，与二之一不逺，则法亦不逺。右两则皆用开立方之法，不尽数难为定法。以量分，先如图求四率连比例线之第二。葢元体之边与倍体之边为三加之比例也。今求第二几何法，曰：第二线上之体与第一线上之体，若四率连比例线之第四与第一。假如丙乙元体之边，求倍体之边，则倍丙。乙得甲丁，以甲丁乙丙作壬己辛庚矩。形于壬角之两腰，引长之以形心为心。如戊作圏分截引长线于子，于午渐试。之必令子午直线切矩形之辛角，乃止。即乙丙【即辛庚】午庚，子己，甲丁【即壬庚】为四率连比例线。用第二率午庚为次体之一边，其体倍大于元体【详双中率论】若甲丁为乙丙之三倍，四倍，即午庚边上之体大于元体，亦三、四倍以上，仿此。用前法则，元体之边倍之，得八倍体之边；若三之，得二十七倍体之边；四之，得六十四倍体之边；五之，得一百二十五倍体之边。又取二倍体边，倍之得十六，再倍得一二八倍体之边。本线上量，体任用其边，其根，其面，其对角线，其轴皆可用。法一：设一体，求作同类体大于元体几倍？法以元体边为底，从心至第一防为腰，置尺；次以所求倍数为腰，得大底，即所求大体边。若设零数，如元体设三，求作七，以三防为初腰，七防为次腰，如上法【此乘体之法】用法二：有体求作小体，得元体之几分，如四分之一，四分之三等。法以元体之边为底，命分数之防为腰，置尺，退至得分数为小腰，得小底，是所求分体边【此分体之法】用法三：有两体，求其比例。以小体边为底，第一防为腰，置尺；次以大体边为底，就等数得比例之数也。不尽则引小体边于二防以下，以大边就等数，两得数乃上可得比例之全数，而省零数。

用法四　有几同类之体求并作一总体　若有各体之比例则以比例之数合为总数，以小体边为底一。防以上为腰置尺于总数防内得大。底即总体边，若不知其比例，先求之次用前法【此加体之法】如图，甲、乙、丙三立方体，求并作一大。立方体，其甲根一，乙三又四之三，丙。六并得十又四之三，以甲边为底本线，一防以上为腰，置尺向外，求十又四之三为腰，取底为度，即所求总体之根。用法五大内咸小所存求成一同类之体先求其比例，次以小体边为底，比例之小率，防以上为腰，置尺；次以比例两率较数，防上为腰，得较底，即较体之边【此减体之法】用法六有同质同类之两体，得一体之重，知他体之重。葢重与重，若容与容。先求两体之比例，次用三率法。某容得某重若千，求某容得某重若干【同质者金铅银铜等，同体者方圆长立等】用法七有积数欲开立方之根置积与一千数求其比例次于平分线上取十分为底本线一防以上为腰置尺次比例之大率以上为腰得大底于平分线上取其分为所设数之立方根如设四万则四万与一千之比例为四十与一如法于四十防内得大底线变为分得三十四强若所设积小不及千则以一分为底一防或半防或四之一等数为腰置尺设数内求底而定其分若用半防用所设数之一半用四之一亦用设数四之一葢筭法通变或倍或分不变比例之理用法八有两线求其双中率【线数同理】如三为第一率二十四为第四率求其比例之中两率法求两率之约数得一与八以小线为底一防以上为腰置尺次八防以上为腰取大底即第二率有第二第四依平分线求第三第五变体线变体者，如有一球体，求别作立方，其容与之等，分法：置公积百万，依筭法开各类之根，则立方之根为一百，四等面体之根为二○四，八等面体之根为一二八，半十二等面体之根为五十二，十等面体之根为。

七六　圆球之径为一二六　因诸体中独四等面体之变最大故本线用二百○四分平分之，从心数各类之根至本数加字【开根法见测量全义六卷】用法一有异类之体，求相加，以各体之边为度，以为底本线，本类之防，以上为腰，置尺，次从立方防内取底，别书之，各书讫，依分体线法合之。用法二有异类之几体，求其容之比例。先以各体变而求同容之立方边，次于分体线求其比例，乃所设体之比例。若知一体之容数，因三率法求他体之容数。

第六分▯线亦曰分圏线　分法有二一法，别作象限圏，分令半径与本线等长，分弧为九。

十度名作识从一角向各识取度移入尺线从尺心起度各依所取度作识加字，若尺身大加半度之防，可作一百八十○度，若身小可六十度或九十度止。乂法，用正▯数表取度分数半之，求其正▯倍之，本线上从心数之识之【如求三十度▯，即其半十五度之正▯为二五九，倍之得千分之五一九，为三十度之▯，从心识之】用法一有圏径设若干之弧求其▯，以半径为底，六十度为腰，置尺；次以设度为腰，取底，即其▯，移试元圏上合其弧。反之有定度之▯求元圏径，以设弧之▯为底，设度为腰，置尺；次取六十度为腰，取底，即圏之半径。用法二有全圏求作若干分法，以半径为底，六十度【其▯即半径也】为腰，置尺，命分数为法，全圏为实，而一得数为腰，取底试元圏上合所求分【此分圏之法】约法本线上先定各分之防，如百二十为三之一，九十为四之一，七十二为五之一，六十为六之一，五十一又七之三为七之一，四十五为八之一，四十为九之一，三十六为十之一，三十二又十一之八为十一之一，三十为十二之一各加字。用法三凡作有法之平形，先作圏，以半径为底，六十度为腰，置尺；次本形之号为腰，取底，移圏上得分。用法四有直线角，求其度，以角为心，任作圏，两腰间之弧度即其对角之度【有半径有弧求度，如左】用法五有半径设弧不知其度，法以半径为底，六十度为腰，置尺次以弧为度，就等数作底，其等数即弧度，反之设角度不知其径及弧，求作图，其法先作直线一界为心任作圏分以截线为底六十度之▯线为腰置尺次于本线取设度之▯线为腰，得底以为度，从截圏防取圏分，即设度之弧，再作线到心，即半径，成直线角，如所求，因此有两法可解三角形，省布数详测量全义首卷。