新法算书卷六十八

新法算书卷六十八

钦定四库全书新法算书卷六十九。明徐光启等撰。交食厯指卷六。

外三差前论交食法，有东西南北髙庳三差，皆生于地径。盖以地为太圜之心，为此界；以宗动天为彼界，日月在两界之间。因地径之小于日，大于月，生彼界之视三差也。今言外三差者，于三差之外，复有三差，不生于日月地之三径，而生于气。气有轻重，有厚薄，各因地因时，而三光之视度为之变易。三者：一曰清▯髙差，是近于地平，为地面所出清▯之气，变易髙下也。二曰清▯径差，亦因地上清▯之气，而人目所见太阳本径之大小，为所变易也。三曰本气径差，本气者，四行之一，即《内经素问》所谓大气，地面以上，月天以下，充塞太空者是也。此比于地上清▯，更为精微无形质，而亦能变易太阳之光照，使目所见之视度，随地随时小大不一也。外三差之义，振古不闻。西史第谷，于万厯年间，殚精推测，钩深索隐，厯家推重，以为冠絶古今。而此秘未睹，至其暮年，方行万里，乃始洞彻原委，尚未及著书。其门人述，遵遗指，撰集论次，然后交食之法，于理为尽。则近今十余年事耳。盖厯学之难言如此。

清▯髙差厯家测騐日月及经纬诸星积累所得，其光入人目，徃徃不依直线而至。夫太隂太阳有地径视差，无怪其然也。恒星无地径差，人测之在地面与在地心不异，宜所见者必依直线，若之何不然？且两星相距近于地平，与其相距近于天顶，絶不同。其各体之大小亦不同。又太阳太隂固有地径差，其视体偏下视髙度宜少，而所得者忽复多。定望时二曜正居天地径之两端，以理论见一不得见二，或并见则半体而已。今有时全见之，何也？古度数家见直物入水中折成曲象，空水之交则有钝角，以此钝角喻诸星射目之折线，于理为允。则近地面之气可比于水，天体至清可比水晶，光在有气无气之交必成折角，而能令诸曜之象升卑为髙也。若星距顶愈远，所射光之折线角愈减其钝，而视髙之去实髙也愈多。盖近地则湿气愈厚，故受▯为甚，而又实非云雾等有质之物，且在地浊之上【厯言入浊言浊中近浊入则不见视此为异也】谓之清▯。也因此凡测▯两星，若距度线与地平平行者，其气所升视之巳在赤道上。迨太阳近午出▯气之外，复测之始以实行交于赤道为真春分秋分，反是先以近午之实行在赤道上为真秋分。迨昬测之日巳入过赤道而北矣，视度乃复在赤道上。自朝至中不能有两春分，自中至夕不能有两秋分，则朝夕所见皆视度非实度也。则皆清▯之高差也。问清▯之气能变易太阳太隂之实度是已？其言随地随时又各不同者，何谓也？曰：第谷测定清▯诸差，太阳与太隂大约相等，而与诸星则不等；其五星所得之差，又与恒星不等。因此推知致差之因，不在距地远近。其差大小，皆气之所为也；气厚薄，时之所为也；距地远近，地之所为也。凡考七曜之▯差，皆▯其高弧至于无▯之处，得其实度，而以较于有▯之处，得其视差几何。如第谷所居北极髙五十五度，冬至日夏至夜皆甚短，其测候太阳之▯差，必于夏月太阳出▯气之上乃可得之；测恒星之▯差，又于冬月。若夏测星、冬测日，则尽日尽夜皆在▯气中，无法可得。而气之厚薄，冬与夏必有分矣，故所定气差随之异也。若论地，则山阜之上，▯气为在髙之距与在庳之距，必小有异；若不与地平平行，而两高弧各异者，不论或正【与地平为直角】或斜【与地平为斜角】其在髙之距与在庳之距，亦小有异。总之，星愈近于地，两距之实度愈少；远则愈多矣。第谷之本地北极高五十五度有竒，测定太阳太隂之▯气差，大约相等。自地平以上至四十余度，髙差渐少，更高则无有。而近地之最大差得三十四分。故太阳极近地平，以地径视差之偏庳三分，▯气差之视髙三十四分相减，得太阳高弧之视差三十一分。则目视太阳将入以下周至地平，见谓在上，而其实体已全入于地。太隂以最大之地径视差六十三分，▯气差之视高三十三分相减，余三十○分。目视之见谓全没，而其实体犹全在地平上也。多禄某以浑天仪测太阳行春秋分积年所得，皆以本日两交于赤道，遂为千古不决之疑。不知者意其差在仪器，仪器果差，安得百无一合？又安得悉在地平之上竟无差，而在下者乎？至近世而后知为清▯之差也。第谷用器甚多甚，精诸器毕合，不可谓有器差，而其所得亦复如是。所以然者，太阳临春分，论实度尚在赤道南，晨测之为蒙少，平地乃多，泽国尤多，海滨更多。葢此气周生于大地之靣，外规之界，距地心悉等，而地靣有高庳，其距气界各各不等，此为浅深厚薄之缘。正如海底有坳突之势，因有浅深，若海水之靣恒平而已。然论其恒势，浅气所生之视差少，深气为多。论其变，浅气或忽然増加少易，而多深气乃鲜有变时也。万厯十八年庚寅夏六月，西厯记月食，太阳以半体出地，其太隂正相对，尚高二度，入景中已多分。及太隂半没，而太阳已高二度出地平之上。若以恒理论之，则太阳心方出地平，景心宜同时而入，太隂之西周实入于地，又当在景心入地之前。今太阳心出矣，而景心尚高二度，非蒙气所为，安得此乎？然此视高差可谓甚大，则以本地近于大山之下，大河之滨，其▯气为厚，遇夜清气上腾，凌晨更甚故也。若他地他时，未必尽同此数，故治厯者当先定本地之诸曜蒙差，叅以时令，乃能立表推歩。其法须累测交食之多寡早晏，斟酌定之，勿谓精于本法便可随地随时，必无舛戾也。若立差旣定，而临食时气候忽更，此则难可豫料，然所失无几矣。此髙差惟月食累遇之，若日食则二曜之▯气差大畧相等，髙弧旣同，鲜有变易，径可勿论也。

清▯径差太阳全食，昼晦星见，恒事耳。中史及西史皆数记之。若太隂全在日与人目之间，而不能尽掩日体，四周皆有余光，厯家谓之金环，或有阙如钩。或云依日月周径本法则不应有此，何者？凡此一视径或大或等于彼一视径，则以此体寘之人目与彼体之间，无不全受掩蔽者。今止论太阳在其最庳，全视径为大，得三十一分；太隂在其最高，全视径为小，得三十○分三十○秒。其较三十○秒，为全径六十分之一耳。卽定朔果在此时，日月以两心正防，何因四周能见太阳之边乎【或有时可见，详下文】此説是也。然而古今所记实见实测，乃复多有之。如隆庆元年丁夘三月朔日，太阳近于最高，得全径三十分；太隂在高庳之正中，得全径三十二分三十四秒，则全掩太阳之外，尚余二分三十四秒，乃西土实侯。至食甚时，二曜以心正防，见有金环。又万厯二十六年戊戌二月朔日，太隂在最庳，掩太阳，复如是。论地，则此测在西国之内地，前测在海滨；论北极，则此测髙五十度，前测正髙四十二度；论临食时，此测有云，前测无云也【云气虽不掩日月，亦能变易光曜损益分秒】而第谷专精▯騐，多在北海之滨，北极高五十六度，累年宻测，终不见太隂尽掩太阳昼晦星见，是则日光恒赢，月魄恒缩，又将疑掩之不尽为恒事矣。迨万厯二十八年庚子六月朔，于内地，北极高五十度，测得日食五分有半，依本地原推正应四分，较多一分有半，则又日光缩，月魄赢也。又万厯二十九年辛丑十一月朔日全食，第谷门人于本地，北极高六十余度，测得食甚时见金环，四周皆广一分有半【太阳径十二分】万厯三十六年戊申七月朔日食，西土内地，北极高五十一度，测食甚时得二分正，同时向北更四度，论高视差宜减一分，犹宜见食一分而第谷门人宻测，乃不见食，此两测者皆日：先居赢，且赢甚也，而皆无云。综其大都，极出地甚髙，近海或大泽，食时多云气，则日光赢，测数少于推数。极出地迤庳，居地平髙，去水泽远，食时无云气，则月魄赢，推数少于测数。展转推求，即清▯之气，随地随时有无厚薄不等，能浅深，受光于日，而变易其照耀之势，使人目所见或增或减，迄无定限也。再騐之，海中有小岛，其视体甚小于太阳之视径，日初出时，正当其中平分太阳之体，则石之两旁皆显大光；若不当其中，而石居太阳之左右，则不能映蔽日光，如两相退让而露太阳之全体，此为何故？石之蔽日隐显之间，虽以一线为界，乃海中▯气极厚，日之施光，▯气受之，故人目所见日光能侵轶于本界之外也。喻月魄于石体，其理正同，故▯气盛者，全食时如石当日之正中，少食时如石当日之左右。即髙弧至于午正，人目见日无横斜之线，不能升卑为高，乃地以上之▯气犹能承受日光，使溢界外而展小为大，月不蔽日，职是故矣。如图，地心为甲。

日心为丙太隂正当日目之中为乙月景之最中人目所在为己设太阳之边实为丁为戊，其光下照所限月景之界，宜为丁甲、戊甲两线。此限外之气，皆得最光也。然因乙太隂隔太阳原光于已目，目所能正见者，非丁戊，乃是庚辛。而作己辛直线，则目宜全不见日周之微光矣。苐太阳正照之最光下及于月景四周之外，而外气之近地者为次彻之体，则太阳之光借此体以侵入于月景本界之内，别作一界线，曲而向内，即人目所正见为癸。而癸既切景，较远景之处加有光焉【光愈正照愈明，切景之光甚似垂线，若正照然，故比距远之处加明焉】故景之四周，从癸至壬，目所见皆成日光，是为癸壬金环。癸壬所在，实于空中，非太阳之光果外溢至辛也。从下视之，若在月之四周，与太阳同天，而太阳之原光若丁戊以外，更余辛庚一环矣。但癸壬之广狭，依气厚薄，随地随时，一一不同耳。曽有人试以铜薄规为小圆形，依直角线寘长竿之末，退后一丈，又寘一规正对前规，与为平行，后规之心开细孔，以目切孔正觑前规之心，其前规之全径较两规相距之远得一千分之十，以掩天上之弧得三十四分二十○秒，与本时太隂光满近最庳之全径等，则目视两规与目视二曜大小远近之比例亦等。次从后规视前规，理宜全掩太隂之体，乃所见者四周皆显大光。更移后规向前二尺有竒，以远近之比例论，则前规可掩弧度四十一分，然而尚有微光也。可见日月近地平，固因蒙气有视度之高庳差，即去地平远，犹有视径之大小差矣。

本气径差金环又有二种，一为虚环，人目所见，其内规【如上图之癸】为最光，向外渐微，至外规【如上图之壬】则似次光，此为地上清蒙之气所生，上文所说是也。一为实环，若内若外，悉是最光，此所见者必为太阳原光矣。所以然者，太隂在最高，太阳在最卑，则太隂之视径畧小于太阳之视径，上文所云六十分之一者是也。但实环旣为原光，在太阳之周，非复向之虚环从蒙气中隐映而得者，则人居月景之中，何自得见之？即在景之偏际，亦宜见左失右，何自得全见之？曰，此亦因太阳出光折照至于人目，虽正在景中，犹得见之。折照之繇，即非地上清蒙之气，而在空中之本气。前交食第一卷论月体当食显赤色，是气景所生；此论地靣当食而见光色，是空中本气所射，其理一也。设甲为太阳，其实边乙丙，太隂在癸，其实边丁戊，人居地靣在己辛之间，不能以直线见太阳，所以得见者，太阳全轮旣受掩于月体，为壬庚所余，庚乙实环皆为原光，而以庚壬内规之光正照丁戊月边，过丁戊则折而内向以至于地面己辛其所繇内折者欲就于甲癸垂线也【详本篇一】【卷第五】己、辛以内皆为月景得界。丁、辛及戊、己成三角形【戊丁为底，图未尽景末】又太阳乙丙外规之光，正照太隂近处为子丑，过子丑又折入景中，而相遇于寅【此折甚于前折者，愈远于垂线，愈欲急就之也】得寅、己、辛角形，形以内为折入景中之重光。人目在重光之中，从卯、辰两交得见光环。意疑在丁丑旋绕月轮，其实则太阳之原光庚己也。问本篇首卷言凡象射次澈之体则成折线故本章言日光过地靣则折入于景为蒙气故也空中本气则甚澈之体何能受光而折入于人目乎？曰空中本气为甚澈之体此恒理也然亦有时而变如彗孛搀抢乃及客星等皆在列宿天中非理所宜有难究其所生之縁而实则恒有之今言日食有金环者大抵皆虚环也其实环甚为希有万一有之不得不究所从来故作此论盖虚环旣▯气所为无可疑者则实环之缘不得不在▯气之上旣在其上不得不归之空中本气舍是别无可推之理耳兹有▯气以上变易之征聊足解此万厯三十三年乙己八月西国北极高四十度测太隂在最庳日全食亦全掩原光而其四方尚余赤光如火广数度依此地论必言▯气所生不足疑亦无待辩矣从此向西北一国北极高五十余度同时测日不全食未尽一分三十余秒日周以外太隂余分甚多而此地尚见是大光岂两地相远如此尚当言蒙气相同之故乎？纵使相同而蒙气距地靣极髙无过二百里此不全食之地其交景之顶尚在二百里以上全出▯气本界之外则安得有本地靣之蒙气受照为光且四周皆见乎彼所见满景四周之光，旣不为▯气所生，必为空气所生矣。假如甲为太阳，乙为太隂，丙为地，丁戊为▯气界。若全食，则所生金环在丁戊之四周也。今不全食之地在己，其交景之顶为子，亦见光【此光非金环，因在日周，故其理不二】而光中甚黒，则非丁戊气所能生矣。盖目从己视太隂之下周庚，必以己子庚线视其上周，必从己壬至太阳辛。则太阳之辛癸原光正照己目及蒙气之界面丁壬，丁壬之中絶无月景，而丁壬等高之景全在己子庚直线之下，安所得生光之原乎？可见日四周之光，必生于▯气以上，必为空气所生，或近于月轮，在庚子两线之中，或在月轮之下不远矣。

日食昼晦星见凡前史记日食昼晦，必因全食，若星则不全食而见者有之。如晨昏分中，日己出己入矣，明昧之交，正似太阳未全食之光也，而大星已见也。又或不全食而见者有之，故厯家下推将来，虽得全食，其见星与否未可豫定。盖见星不见星之縁，不尽在于食分，多因▯气与隂晴耳。若食时遇气甚清，人目先见最光而习之，忽尔失光，虽日不全食，亦似向晦，星乃可见，如从大光中暂焉入室，见为甚闇也。若食时遇气甚厚，或多云雾，则目先习是次光，后见失光不以为异，又醲厚之气受返照之光，光亦不能甚失，日虽全食未及甚晦，正如浮云在天，虽太阳已没曚昽宜尽，而尚有余，明星不可见矣。自此之外，更有太阳正照、斜照之缘。如太阳当晨昬时，斜照于地上，气得其正照之光，则能返照地面。若此时以日食絶正照于气中，则地无返照之光，又本无正照之光，安得不为甚晦乎？故午前日食初亏至食甚时，加晦生光至复圆时稍明；午后食则反是。盖太阳愈庳，愈能正照气中，而地得其返照之光；太阳愈高，愈正照于地靣，而以有食絶其正光，惟四外反有从旁斜入之次光耳。又或太隂近最高，其视径不甚大于日之视径，则太阳四周光曜散溢，虽则全食，地面之次光乃大于少食者，亦多有之。又使日食切近地平，太隂防高于日，则地靣所见日下周之原光，虽不尽如钩，而上气乃与日月叅相对絶其正照，即地面絶无返照之光，此时亦变为甚晦也。推视防交食第三卷，求定望改实时为视时，所以然者，为有升度差也。今日食，以地心之实防改为地面之视防，所以然者，为有地半径差也。以地半径差论，实防视防不同，上章已详之矣。此求视防，则依视差推算法，先求日月高弧，以得高差，又求高弧与黄道之交角，因以得南北东西差，次求视防与实防之时差，以加以减于实防之时刻，而得日月正视防之时刻，其加减则以黄道九十度为限【即黄平象限】

日月距地平高弧视差有多有寡，必依太阳出地平所得高度多寡【日月防合，若同高度，或差一度以下，其视差甚防，故得太阳高度不必复求太隂高度，必求细率，则以太阳高度查太隂高差，先加于太阳高弧得太隂高真度也】欲求高度几何，则用定防【即定朔也】之实时及本时之太阳躔度，先以躔度推太阳距赤道之纬度，次以定防实时推其距子午圏若干【详见下文用法中】得二角形，形有北极出地之余弧，有太阳距赤道之余弧，有两弧间角为太阳距子午圏弧之相当角，算得本形之第三弧为太阳出地高弧之余弧也。如图，甲乙丙为子午圏，甲丁丙为地平，丁戊为黄道，太阳在庚，则乙庚己为高弧，壬庚为太阳距赤道之余弧，因得乙壬【本地极高之余弧】及壬庚【太阳距赤】【道之余弧】两弧及乙壬庚角【太阳距子午之相当角】以推第三乙庚弧，得其余弧庚己，太阳出地平上之弧也。次推高弧交黄道之角，先以升度求庚丁弧，次以庚己髙弧，以庚丁黄道弧，以庚己丁直角，推得庚丁己交角。因以对角求南北东西差法，如次图：设庚癸为高差，辛为黄道极，则辛癸大圏之弧，以直角交黄道于壬，为庚壬癸三角形。先己得壬庚癸角，而庚癸壬为余角，则全数与高差若壬庚癸角与壬癸南北差，又全数与高差若壬癸庚角与壬庚东西差，或用简平仪求高弧，可免算。第其图愈大，所取太阳高度分愈眞，乃足推算视差。如图，己戊辛为子午圏，甲乙为赤道，北极在丙。太阳距赤道北，依丁戊线行，与行壬戊弧其理一也。至戊为正午，至丁；如复至壬午前与午后同，所以然者，戊丁直线不可得，度分数必用戊壬弧量度。为凖【戊壬与戊丁皆距等小圏两弧皆小圏之弧即等试想戊壬圏置戊丁线上与戊丙圏纵横为直角则得其理】如彼面之丁为己时至戊为午行至此面之丁为未与壬为己至戊为午复转至壬为未其理一也次作丁庚直线与地平甲己线平行则得己庚弧为太阳在己时或在未时出地平上之高弧也别有表以日食之实时及太阳距赤道纬度查其出地平度而推两曜高差又有髙弧交黄道角表以此三角形【前图之己庚丁】推算法用太阳髙度于太阳距黄道九十度限表中查角【即庚角】详本表又有南北东西差表以太隂高差及髙弧交黄道角依直线三角形推算【因三差线小虽在天实为大圏之弧亦可以直线句股法求之与三角形圎线法所求不异】

黄道九十度为东西差之中限地半径三差，恒垂向下。但高庳差线，以天顶为宗，下至地平为直角。南北差者，变太隂距黄道之度，以黄道极为宗，下至黄道为直角。东西差则黄道上弧也。故论天顶，则髙庳差为正下，南北差为斜下，而东西差独中限之一线为正下，一线以外或左或右皆斜下。论黄道，则南北差恒为股，东西差恒为句，高庳差恒为▯。至中限则股▯为一线，无句矣。所谓中限者，黄道出地平东西各九十度之限也【黄平象限，省曰度限】▯法以子午圏为中限，新厯以黄道出地之最髙度为中限【东西各九十度，则是最高】两法皆于中前减时差，使视食先于实食；皆于中后加时差，使视食后于实食。第所主中限不同，则有宜多而少，宜少而多，或宜加反减，宜减反加。凡加时不得合天，多縁于此。此限在正球之地距午不远，若北极渐高，即有时去午渐远，时在午东，时在午西。大都北极高二十三度三十一分以上者【若高二十三度三十一分以下者，则日月有时在天顶南，有时在北，三视差随之，今未及论此】独冬夏二至度限与子午圏相合为一，从冬至迄夏至半周恒在东，居午前；从夏至迄冬至半周恒在西，居午后。问：日月诸星东出渐高，至午为极髙，乃西下渐卑而没，则午前午后之视差，岂不分左分右，渐次高庳，以正午为中限乎？曰：南北差、东西差，皆以视度与实度相较得之，而日月之实度皆依黄道，视度因焉，安得不并在黄道？从黄道论其初末以求中限乎？推太隂之食分，以其实距黄道度为主；推太阳之食分，则以太隂之实距度先改为视距度，所改者亦黄道之距度也。论实望、实防，欲求其实时，以黄道经度为主；今求视防，其所差度必不离黄道经度，而因度差多寡求其相当之时差，以得正视防，理甚明矣。若子午圏者，赤道之中限也；度限为东西差有无多寡之限，犹冬夏至为昼夜永短之限，午正时为日轨高庳之限也。惟嵗惟时，自宗赤极，不借黄道之度中为限；东西视差，自宗黄极，何乃借赤道之午中为限耶？昔之治厯者，未能悉究三差之所从生，徒见午前食恒失于后天，午后食恒失于先天，故后者欲移而前，前者欲移而后；又见所移者渐向日中，渐以加少，遂疑极高至午中则无差。不知黄道两象限之自有其髙也，亦自有其中也。必如彼説，以午正为东西差之中限，设太阳实食午正，遂以为无时差，遂以为定朔为食甚。倘此时之度限尚在西，愈西则愈有西向之差，法曰中以东则宜减，安得不见食于午前乎？傥此时之度限尚在东，愈东则愈有东向之差，法曰中以西则宜加，安得不见食于午后乎？如万厯二十四年丙申八月朔日食，依大綂法推得初亏己正三刻，食甚与定朔无异，皆在午正初刻；至期测得初亏己正一刻，后天二刻，此所谓中东宜减见食于前者也。

今试依新法减时，则推定朔在午正初刻内四分四十九秒，于时日月躔度在鹑尾宫二十九度八分四十七秒，黄道中限在本宫一十三度○一分，距正午西一十八度五十九分，距太阳躔度一十六度○八分，太阳定朔之高尚有五十○度，查得太隂髙差三十八分，先求髙弧交黄道角，为日距度限弧之切线与本角，若全数与髙弧之切线，得视差小三角形内正对东西差边之角二十○度一十一分，再推本角之正▯与东西差，若全数与髙庳差，得一十三分○四秒，为此时之东西差，因此求时差得太隂行一十三分，应为时二十四分二十六秒，于法宜减，故得食甚在午初二刻一十○分三十七秒，在定朔之前也，更求初亏约用前四刻，依法复求视差，其时黄道度限在鹑尾宫初度二十○分，即午后一十四度四十○分，距太阳二十八度四十六分，太阳高四十八度，得太隂高差四十○分，东西差二十四分，求其视行度得四刻行二十一分，又以开方法得太阳自初亏至食甚行三十一分，今视行二十一分得四刻，则三十一分应得五刻一十三分五十四秒，以减食甚时得初亏在己正一刻内一十一分四十三秒，与实测时刻宻合。凡九十度，限去子午圏不远，新▯两厯所推之定朔不远，则两所得之时差亦不远。若相距远，而度限在东，则食在午前或在午后，新厯所得时刻皆多于▯厯；度限在西，食在午前午后，新厯所得时刻皆少于▯厯。如万厯三十八年庚戌十一月朔，大綂厯推食甚在申初一刻，至期实测得申初四刻，先天三刻。于时度限距子午圏二十一度○四分，在东，距太阳五十九度四十七分，日月并高一十六度，得太隂高差五十四分一十五秒。从是算得东西差二十八分三十一秒，应时差四刻○一分三十五秒。依法与实时相加，而实时与大统厯算小异，在未正三刻○四分得视时，乃大异。是繇度限在东加数宜多，而午正为限者加数则少，安得不先天也？又万厯三十一年癸卯四月朔日食九分二十○秒，大綂厯推食甚在辰正初刻，新厯推得在辰正三刻内。此时度限亦在东，距午正一十五度四十二分，较太阳距正午为更近，所得东西差止一十九分二十四秒，应时差四十七分四十六秒。依法宜减，则实时己初一刻○六分，改视时为辰正二刻○三分。此两食者，皆所谓度限在东则食在午前午后，新厯所得时刻皆多于▯厯者也。又其甚者，若日食在正午及度限之间，则宜加者反减之，宜减者反加之，所失更多。如崇祯四年辛未十月朔日食，大綂推初亏未初一刻，较新厯迟三刻有竒，食甚未正初刻，新厯推未初一刻内。至期实测果在本刻内，所以然者，新厯以黄道九十度限为中，所得时差与实时相减，则食甚后退，故合大綂以午正为中，所得时差反加而前进去之逾远矣。

盖本日食甚实时，日月并已过午正一十七度二十九分○一秒，未至黄平象限六度二十二分三十九秒，则度限在午西二十三度五十一分○四秒，算得东。西差三分三十四秒，应时差○五分，为减，而先推实防在未初八分四十○秒，因时差退减，为未初一刻内三分四十○秒，如是止矣。若以子午圏为中限，则本时日月过午己十七度有竒在西，东西差既宜少而多，时差又反减为加，即多得时刻。若此者，就用西法算两曜髙三十五度四十八分，及其距午正之度，能生东西差一十一分一十三秒，应得差二十二分。定朔在未初二刻○五分，相加亦不得不为未正，可见中限异同，实为加时离合之根也。

算视防必求黄道九十度限交食以黄道出地之最高度为中限，固矣。但限内所应加减者，则有时差【日食在九十度西，时差宜加；在东，宜减】此实食视食之所繇以先后【详见上篇】故算视防者，必先求九十度限所向何方，乃可。然求之之方不一，或依常法定其宫度分，或依简法止推两曜当食之时居九十度东西何方，而不必问其宫度。先以常法论，设甲乙丁斜三角形，甲为天顶。乙为黄道，交子午圏，日月俱在丁，以升度得乙丁，弧以太阳距度得甲乙。弧查本表得其两弧间之角，以甲乙。丙三角形内，因九十度限在丙，必求甲丙为垂线，指九十度，距甲顶若干？更求乙丙为九十度限，与子午相距若干？则丁丙乃日月距九十度○所自有者。而以先得甲乙弧与乙丁弧及两弧间之角，因求得时差，此本九十度限表所繇起，乃常法也。第以此求之，必先算日月高弧及高弧交黄道角等，未免太烦。乃简法则，惟算黄道何度分当九十度，即此斜角三角形内，径求甲丁弧为日月高弧之余弧，又求甲丁乙角，即高弧交黄道之角，则视差小三角形内【见前五卷三题】以高弧得高差，以本角得交角及余角，而推所对之弧为南北东西差，固已防若指掌矣。再欲察日食在九十度限东若西，亦得两法：一以黄道在正午度推九十度距午左右何若？则以定朔所得太阳躔度较先所得在正午黄道度，即得太阳在九十度限东西何方。如依甲乙丁斜三角形，以升度求乙丁弧，必得何度在乙【子午圏交黄道之处】使星纪宫初度或鹑首初度，在乙，乃为正九十度。此外，则以食时按极出地度求之，盖北极。髙过二十三度三十一分，凡自星纪。初度至鹑首，初度黄道度在午者，必九十度偏东。自鹑首至星纪，黄道度在午者，反为九十度偏西。而距午最远者，则在大火宫或▯枵宫，随极髙低不一，亦随宫度各处不一也。试以极髙二十四度，则九十度限距午最远，特一十五度耳。极髙四十度，则九十度限能距午二十四度余。宫度在九十度限，亦距午渐近，因而推日食在九十度之或东或西，较较不爽也。又一法，以黄道交髙弧角求之，更凖。盖本角向子午圏者，在午前为鋭角，午后为钝角，则食必在九十度之东。若本角午前为钝角，午后为锐角，则食必在九十度之西。如此可免再求矣。

求视防复算视差之故第三日食与九十度相近，则太隂之偏东西不多，所得时差于本食之实时不甚相远，可免复求东西差。倘所食远距九十度之限，则太隂偏左偏右【左右即东西】者必多，而能变其实行以为视行，使不再三考求，何从而知？故必先算太隂之视差，化之为时差，次求其视行与太阳实相距若干，则用以推东西差，可得食甚至。若初亏复圆，总不外太隂之视行而得之，此推歩日食者所以复算视差，求太隂视行。定太隂东西差，须得其与太阳相防之实度，应先【如在九十度东】应后【在九十度西】乃使太隂实行即从自行可得，则或二十八分一小时，或三十○分，或三十三分有竒【因最髙最庳中距不等故】以三率法推其度差，则相应几何时刻，因与定朔加减之，其所得时亦可于真视防不远，但先后防之度差必以太隂实行为主，然因视差故，每每移其本实行，故以实行求时差多谬，而以视行求之乃凖矣。法曰：日食在九十度东，则较定朔前一小时；食在九十度西，则较定朔后一小时。复求东西差，以两差不等之分秒，或加或减于太隂一小时，因以实行得其视行。若次得之东西差大于先得之东西差，其两差不等之数为减；若次得之差数小于先得数，则两差不等之数为加，乃得太隂一小时视行也。或不用一小时，先于定朔算东西差，而以实行化为时差，或加或减于本时得视防，又以视防与定朔相去不拘若干，惟于此时再求东西差，两差不等之数依前法加减之，必得太隂视行时差，因以复算真时差。假如崇祯四年辛未十月定朔在辛丑日未初八分四十○秒，此时顺天府得东西差三分五十○秒，太隂一小时实行为三十三分二十○秒，以此算得六分五十四秒为时差，因食在九十度东，故减得未初○一分四十六秒，即相近视防时也。次升度先在正午，自春分起为二百二十六度二十五分四十○秒，因时差宜减一度四十三分，则以余升度查本表得躔度在正午者为大火宫一十七度一十二分，算得九十度在午西，离二十三度三十五分，比日月距午更远七度四十四分三十八秒，又以太阳髙三十六度一十四分，算得髙弧交黄道角八十四度一十七分，则以余角复得东西差四分五十○秒，两差不等之数为○一分，因后得之差大，故先得差内减一分，实得○二分五十○秒为太隂过太阳之视行也。前时差○六分五十四秒，今以三率法依本视行得前东西差○三分五十○秒应九分一十九秒为真时差，因减故算得视防在午正三刻一十四分二十一秒【一十五分为一刻】

考真时差眞时差者，为太隂视行反覆推求，再三加减，脗与视防相合者也。欲更考其实，须算太隂实距太阳几何。若所得分数与太隂所当视防之东西差等，则所得视防亦凖。若防有不等，则以不等之分数化为时，依两曜实相距之分数较之视差，或大或小，依法加减于前视防。如距度大，日食在九十度东，则时差为加；食在九十度西，则时差为减。如距度小，则九十度东宜减，九十度西宜加。分秒内可得其凖，也因此再求东西差，而以本视防时复求九十度限，与其距天顶及距太阳度，因以本高弧及高弧交黄道角复算视差，如前。假如得真时差九分一十九秒，何以知其然也？因减时九十度略在前，即夀星宫二十三度○六分，距天顶五十三度四十○分，距午二十三度三十一分，较太阳复西去○八度二十一分，算得高弧三十六度三十四分，交角八十三度四十五分，推东西差○五分一十三秒。故以三率法，用太隂实行三十三分二十○秒一小时，以真时差得五分一十○秒为太隂实距太阳分数，见其与才得之东西差相等，则前时之时差亦凖。若未等，则求所差分数，如前东西差三分五十○秒，得九分一十九秒为时差。此不等之三秒亦得七秒，依前法视防内应减，实得午正三刻一十四分一十四秒，乃真视防也。

求初亏复圆俱依视差算凡算月食，推初亏、复圆，先以开方求其自初亏至食甚所行之度分若干，又自食甚至复圆所行之度分亦若干，故所推食甚前后时刻大约相等。算日食则不然，虽太隂在食甚前后所行度数相等，而所应之时刻鲜有不参差者，盖视差能变实行为视行，有前得之时较后得为多，亦有后得之时较前得为多，此中种种不一。如图甲为太阳，乙丙丁皆为太隂，甲乙或甲丙为两曜视半径甲丁，为太隂食甚，视距度，则甲乙。线之方数，减甲丁线之方数，其余数。开方，得乙丁线，为太隂；自初亏至食。甚所行之度，与丁丙至复圆数，畧相。等但太隂行过乙丙线时【除食甚正在九十度】前后未尝相等，故求之之法，必于前时以东西差求其视行，则得初亏距食甚之时；又于后时复以东西差求其视行，乃得复圆与食甚相距之时。然初亏与食甚或皆在九十度东，则因初时之东西差大于后时之东西差，其两差不等之数减于太隂实行，则得视行；若初时之东西差反小于后时之东西差，其两差不等之数则加于太隂实行而得其视行。或初亏与食甚皆在九十度西，而初时之东西差大，后时之东西差小，其两差不等之数用加；如初时之东西差小，后时之东西差大，其两差不等之数用减，与前法相反。此较初亏与食甚，若较食甚与复圆，皆为一理，第其两相比量，俱以先东西差与次东西为主，故求初亏则食甚为后时，而求复圆则食甚又为前时也。或前后两时不同在九十度之一边，如初亏在东，食甚在西，则求东西差必不止食甚前后之两次，因九十度而中分之，则一视行求其时之多半，又一视行求其时之余，乃合之为初时至后时太隂视防所行度分矣。假如视防在鹑首宫，初度午后正二刻，距九十度西，得东西差○五分。设得视行二十二分，则太隂自九十度至本视防之度，两刻间视东行一十一分。如前图乙丁线为二十八分，减一十一分，所余一十七分为太隂在九十度东，自初亏至食甚时所行。即因九十度前一小时，以东西差得太隂视行二十一分，故其行一十七分，必须时三刻○四分。乃自初食至正午【此正午与九十度同故】为太隂所行之时，并午前后时，总得五刻○四分为太隂自初亏至食甚过乙丁线所行时也。算日食，复求太隂视距度之故，第四。前以实防而不得其视防，则所求者在东西差，乃今视防真矣。然何以知其所食大小之分数，及以月掩日所向之方位乎？曰：此皆由于太隂视距度也。故推歩者必先于食甚求视距度，则得日应食几何分；又于初亏复圆求视距度，则得月掩日之光在何方。

日食分数凡推月食，以太隂实距度较其半径及地景半径，即得月食之分。今算日食法虽同，然因视度为主，则必以太隂视距度与日月两轮之半径相较，乃得日食分矣。依法于视径本表查日月半径并之，减视距度，为太隂掩日之分【天度数之分】次以三率法求食之分【日径分十分之分】因先于食甚求太隂实距度，则太隂视防及实防间之本行，或加或减于其交周度，依时差加减得视防时太隂交周度，用算或查表即得距度。假如时差为三十五分二十一秒，宜加此间太隂过太阳行一十七分五十六秒，太阳本行○一分二十七秒，相加共得一十九分二十三秒，为太隂本行。今设交周实度为五宫二十九度，因时差应加，则交周多得一十九分二十三秒，终得太隂食甚时实距北○一分四十一秒。次以南北视差，本实距度改为视距度，故凡于三差小三角形内考时差并求南北差，乃所得为正视防。若太隂距黄道北，人居夏至北，则实距度恒减视差为视距度；若太阳距黄道南，则视差反加于实距度为视距度。假如万厯二十四年丙申岁八月朔日食，厯官报应食九分八十六秒，实测得八分强弱之间。依新法算，当食甚时，太阳高五十○度○五分，得太隂高差三十八分。因九十度距太阳西一十六度○八分，算得高弧交黄道角六十八度四十八分，为南北差线。其对角为南北差，得三十五分。因当时太隂近交中，在黄道北二十八分五十○秒，与南北差相减，得○六分一十○秒，乃太隂视距在黄道南矣。又日月两轮半径并得三十二分○五秒，减视距度，得二十五分五十五秒，以此求食分数，得○八分二十九秒，乃与所测适合也。

日食图说新法以图显本食所向之方，故上下书南北，左右书东西。其绘图则以太隂距度为主。但食时先后，太隂距度常有变易，或初亏距度多而复圆距度少，或初亏距度少而复圆距度多。此其故，盖因食在交处前后之不一也。若前后离交相等，则虽距度同，而所向南北未免有不同矣。故日食前后求太隂视距度，必以交周所应食甚视距度，减其自初亏至食甚所行径度，则得太隂初亏视距度。又以加于自食甚至复圆所行径度，则得其复圆视距度也。复求交周所应太隂食甚视距度，惟查距度表内上下左右，则得交周度及其在交前后分数○假如前万厯二十四年食甚得视距度○六分一十○秒，即交中后，查本表右得○一度一十二分，其本表上则得六宫，乃所应视距度交周也。又当时自初亏至食甚，太隂所行径度三十一分○七秒，与交周相减得六宫○度四十一分五十一秒，相加得六宫○一度四十三分○五秒，即初亏及复圆交周也。依此交周复查表，得初亏视距度○三分三十三秒，而复圆得八分五十三秒。因此畵本食图，如乙丁及丙戊两直线，以直角在甲相交，指南北东西方，乙丁为黄道，甲心为太阳，居其中。依前食论，其太阳半径得一十五分一十五秒，较太隂半径畧小，甲戊线则并两轮半径为。三十二分○五秒，因太隂食甚在辛。甲辛乃当时视距度，○六分一十○。秒初亏在壬，即乙壬与甲己相等，只三分三十三秒，复圆在庚，得丁庚与甲、癸相等，共八分五十三秒，而壬、辛。

庚皆视距南也新法算书卷六十九<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>