新法算书卷五十五

新法算书卷五十五

钦定四库全书新法算书卷五十六明徐光启等撰《恒星厯指》卷一测恒星法第一　　一章凢治厯以七政经纬度分为本，欲知七政经纬度分，以恒星度分为本，欲察恒星得其所居定处，必用测星之法。测星之法有三：其一用太隂，用太隂者，令太隂居太阳恒星之间，早测则太阳未出先测星与太隂之距度，既出即测太隂与太阳之距度；晚测则太阳未入先测隂阳之距度，既入即测太隂与星之距度，各以两测合推之，得恒星度分也。其二用器，器者水漏、自鸣钟等一切定时之器，细考恒星过子午线时刻，并测其高，又别求太阳所躔本度，因得恒星经纬度也。其三用太白，用太白者略同前太隂法，早则先测恒星太白之距，次测太白太阳之距；晚则反是，亦各以二距推得恒星度分也。问此三法孰愈？曰太白为愈。用太隂者古法也，而未尽善者有三：太隂之体大，欲测其中防甚难，欲测其边亦复未易，一也；本行疾速，先与太阳同测，次与恒星同测，两测之间所过时刻，又自有经行度分，二也；太阴有视差，早晚间高度愈寡，差度愈多，三也。用器者近世之法，若人器俱精，多能巧合，顾其用法繁细，而又多风尘寒热之变，亦难保其必合也。若用太白，则近岁之法较前二为胜者，其体小，测以窥筩则全见之，行度迟缓，两测之间迁变甚少，又视差絶防，通无乖悮之缘也。测法曰：午后太阳未入得并见太白时，即测其两相距度分，器用纪限大仪，一人从通光定耳中窥太白之体，一人从通光防耳上取太阳之景，次数仪邉两距即日星之距，又同时用浑仪求其出地平上之两高弧及其距赤道之两纬度，次于日入后既见恒星，更依前法求太白与恒星之距度及其两高弧两距赤纬度，仍并识两测相距之时刻，推两测间太白经行分秒加减之，即得三曜之各定度分，即得太白左右太阳与恒星相距之定度分也。既得此星所纒赤道经度，又先已测得距赤纬度，因推得其黄道经纬度。又用此一星徧测余星，其经纬度分悉可得矣。西土士第谷七八年精习此法，度越伦軰每连日比测，又早晚并测，必求太阳与太白晚测所居高、所居纬度及离地逺近，比次日早测所得，一一符合乃已。何者，高度同则视差亦同，以东补西，即不必计视差故也。

独测恒星法第二　五章以太白居中，左右测恒星、太阳之距度，必用两测：一求太白距太阳，一求太白距恒星也。然湏连日比测，湏早晚并测者，欲以相等之两视差相补，可不论视差，此简法也。今不用比测、并测，或早或晚一测即得，故名独测。此则必论视差，本法也。

求太阳经度万厯十年壬午西二月二十六日申初二刻苐谷用纪限大仪测太白太阳之距得四十六度一十○分三十○秒，又用浑仪得太白在赤道北一十五度二十一分四十○秒。于时太阳在地平上一十五度一十分，太白高四十八度三十分【二测亦用浑仪或象限仪】因考太阳经度，查本表得娵訾一十七度四十九分四十二秒，是其实躔；而今求视躔，于法减太阳之东西差二分一十一秒，为在本宫一十七度四十七分三十一秒。其视经总度得三百四十八度四十七分三十秒【总度皆从春分起筭】次查本表得其纬度分，依法以视差相加，得视纬偏南四度五十二分一十五秒。更有太白前见测视纬度及与太阳相离经度，则得所求二总经度差如下文。求太白高下视差【从地半径所得，故为高下视差】欲推太阳与太白之经度差，必先求太白之东西视差。然太白之视差有二：一为高下差，一为东西差。又先从高下差以得东西，差如图。太白居本天，为甲。地心为丙，地靣为乙，成甲乙丙三角形。次引长甲乙至丁，从丙作丁丙垂线成。乙丙丁三角形，此形有乙丙为地半径。全数丁为直角，乙内与乙外两角等【乙内者，丁乙丙角也；乙外者，甲乙戊角也。乙外角为太白高之余弧角】依三角形法，得丙丁线为六六二六二【全数十万】又甲丙丁三角形内之甲丙线为太白离地心，其相距以地半径为度，得八百一十五为半径，全数。又先有丁直角及丙丁线，即推得甲小角二分四十八秒，为太白之高下视差。求太白东西视差【即经度视差】既得高下差，因以之求东西差【亦名经度视差】如图，甲为天顶，亦为地平辛壬之极。已庚为赤道，其极乙。太白在戊，其高下视差为丙戊弧。即有甲乙戊三角形，其甲乙为地平赤道。两极之差，于本地为三十四度○五分。一十五秒，是其北极出地度之余弧也。戊甲为太白出地平高度之余弧四十。一度三十○分，乙戊为太白在赤道北。纬度之余弧七十四度三十八分二十○秒，以曲线三角形之法，因其三边求其角，得本三角形之戊角为九度四十八分。又于视差丙向丁作垂线，成丙丁戊小三角形，有丁直角，有戊锐角，又有先所得丙戊视差弧二分四十八秒，依此用曲线三角形法，得其两角与对角之一线，可推其余边余角，得所求丙丁线三十二秒，为太白之经度视差【丙丁线小圏弧也，与黄道平行】

求太白与太阳经度差视差既定，次求经度差。如图，甲为赤道极，甲乙、甲戊俱过。北极之大圏弧，乙为太阳，丁为太白，乙。丁为两视处之距，弧丙乙，丁戊为各距。赤道之度，即成甲、乙、丁曲线三角形也。今欲求甲角，以得赤道之经度差丙戊。依前法，用三边求角。三边者，甲丁为太白距赤道之余度，甲乙为太阳距赤道之纬度，带一象限，乙丁为二测之距度。即三边具，而因以求得甲角，知太白离太阳之赤道经四十一度五十四分五十八秒。更加入太阳之视经总度【从春分起算为三百四十八度四十七分三十○秒】及太白之视经重差【重差者，一为黄道径差三十二秒，一为赤道差三十秒】则自春分起数减周，得太白所在为实经三十○度四十三分三十○秒【加减视差讫，乃得实经】

求毕宿大星赤道经纬度本日戍初初刻，测毕宿大星，其西距太白三十○度五十九分，其赤道纬一十五度三十六分，太白高二十七度三十○分，在赤道北一十五度二十五分一十○秒。今求两距之赤道经度差，如图：丁戊为赤道，甲为赤道极，乙为太白，丙为毕大星，甲乙为太白纬度之余弧，甲丙为毕大星。纬度之余弧，乙丙其两测之距弧，依上。法得甲角三十二度一十一分，○六秒。两星之经度差也，又依此时刻定太白。之本行为是日合行五十七分，先后两测间得八分一十八秒，以加太白之实经度。又以后测之高下视差，再用前高下差图求得三分四十五秒，以求东西视差。亦再用前东西差图求得二分○七秒，以减太白之实经度，共得春分至太白之视经三十○度四十九分四十一秒。以加太白距毕大星之视经三十二度一十一分○六秒，得此星离春分六十三度○○四十七秒。

重测恒星法第三　四章前法因视差之烦，恐有悮，不如早晚左右测之，两得数相除相补，简而易就，所谓重测也。

求娄宿北星赤道经纬度万厯十四年丙戌西十二月二十六日申初二刻，第谷测得太白距太阳四十六度三十○分，太白在赤道南一十一度一十五分三十○秒，高二十三度正，太阳高三度，其距赤道，查本表得在南二十二度四十一分三十○秒，躔星纪一十四度五十一分五十三秒，总经得二百八十六。度○八分四十二秒【春分起算】如图，甲为赤道南极乙为太白，丙为太阳，甲乙为太白距南之余弧七十八度四十四分三十○秒，甲丙为太阳距南之余弧，六十七度一十八分三十○秒，乙丙为两测之度差。依三角形法推得甲角四十七度二十一分○五秒，为太白距太阳之经度差。其总经为三百三十三度二十九分四十七秒。再于本日申正三刻，求娄宿北星距太白经度差，得五十二度二十一分。太白高二十○度三十○分，两测间太白之本行四分五十四秒，以加经度差，总得太白经度三百三十三度三十四分四十一秒。以加二星经度差，减周约，存娄宿北星赤道视经二十五度五十五分四十一秒。

求角宿距星赤道经纬度又戊子年西十二月十五日巳初初刻测得太白距太阳四十六度三十六分，出地平高二十度，居赤道之南十四度○四分，太阳高三度，躔星纪三度五十三分四十一秒，在赤道南二十三度二十八分○二秒，其总经二百七十四度一十四分四十九秒，如图，甲为南。极乙为太白，丙为太阳，丙甲为太阳纬。度之余六十六度三十二分，乙甲为太。白纬度之余七十五度五十六分，乙丙为两测之距四十六度三十六分，依法推得乙丙距之经度差为丁戊四十八度二十六分一十八秒，以减太阳经度，余二百二十五度四十八分三十一秒，为太白之总经度。本日辰初三刻，先测太白距角宿距星二十九度三十三分三十秒，居赤道南一十四度○二分，出地平上一十九度。今依前图，乙为角距星，丙为太白，余同上。乙甲为角距星纬度之余弧八十一度○二分四十五秒，丙甲为太白。纬度之余弧七十五度五十八分，乙丙。为两星相距二十九度三十三分三十。秒依法推得甲角二十九度四十四分。二十一秒为两星之经度差，又两测间太白赤道度三分四十七秒，以减前太白之总经度，得二百二十五度四十四分四十四秒，再减角距星与太白经度之差，得总经一百九十六度○分二十三秒。

更求角宿距星赤道经度前借西土所测三星之度，仍用三角形证之，百简其二三以明法之宻合。其法再取角距星以较两年所测，而定其凖数。如前丙戌年测娄北星，得二十五经度五十五分四十一秒，若加娄角二星元经度之差一百六十九度五十一分五十一秒，即丙戌年角距星之经度，共得一百九十五度四十七分三十二秒。此比戊子年所得之一百九十六度○分二十三秒，差一十一分一十一秒。论赤道经度之星，差两年间不得有此，所以然者，因当日所测之星及太阳皆居赤道南，与地平相近，其视差为多，繇有清▯之差、地半径之差，其视差愈多故也。虽然其东西两测之高度既同，距度又同，若以前差分秒平分之，减多益少，即得平矣。故于戊子年减恒星差五十秒以进一周，丙戌年反加之以退一周，折中为丁亥年冬至之后角距星之经度，有一百九十五度五十三分五十八秒，与前独测毕大星之经度正相合。何者？彼所得六十三度○分五十三秒，而本星距角距之元经为一百三十二度四十八分一十○秒，两测之相距六年，更加经五分【恒星东行每年五十一秒，六年得五分○六秒，赤经略同】并之得角宿距星丙戌年两测为俱在同度同分，仅隔五秒矣。

证独测不如重测之便测恒星之经度，向所云独测为本法，重测为简法，其大端矣。重测之为简法者，独测之求视差甚难，重测则不论视差也。所以不论视差者，先于西边测太阳之高度，后于东边测太阳之高度，两高度既同，即其距赤道两率不甚相逺，而太白之两高度与其两距度亦然，即有偏斜微细难推，可勿论也。此两测所得数若有赢缩，则两视差所为矣。而两测之高同纬同，则视差必同。若依本法推论视差所得数于两测，一宜减，一宜加，今以赢缩之总率平分之，加一于此，减一于彼，损有余补不足，适得其平，与两推视差何异焉？故曰重测则不论视差。苐谷之新法甚为简防者也。以赤道之周度察恒星之经度，第四二章。近黄赤两道有大星，任定若干为距星，用前测法，或自西而东，或自东而西，求其两测之距度，及其距赤道之纬度，即用三角形法推得其经度差。如是相连缀求之，以迄一周，所得各赤道经度，总之合于赤道周，即如所测各距星之经度俱为宻合，用此距星为众星之界，测量推算，鲜不合也。

先右旋求四大距星之经度今借用万厯十三年乙酉苐谷所测之星以为法，如图甲。乙丙为极，分交圏；乙丙为赤道，甲为。赤道极庚为角宿，距星距河鼓中星。已九十七度五十○分，在赤道南八。度五十六分二十○秒，河鼓已距娄。宿北星丁九十○度一十五分，在赤道北七度五十一分三十○秒。娄北丁距北河东星戊七十四度四十五分三十○秒，在赤道北二十一度二十八分三十○秒。北河东戊又距角距星九十○度四十六分二十○秒，距赤道二十八度五十七分。左旋一周，连缀测得各星之经度，总之合于赤道周，即各测俱不谬，而可用为距星以测众星矣。依前法，先推甲巳庚三角形，其第一边甲巳为河鼓中星纬度之余八十二度○八分三十○秒，第二邉甲庚为北极至赤道南之角大星共九十八度五十六分二十○秒，第三边庚巳为两星之距度，依上测为九十七度五十○分。用三角形法推得九十六度四十五分○九秒，为甲角之弧，即两星相距之赤道经度也。次推甲巳丁三角形，有第一甲巳边，有第二甲丁为北极至娄北得六十八度三十一分三十秒，第三巳丁河鼓中娄北之距依上测为九十○度○十五分，依法推得甲角之赤道弧九十三度二十二分五十八秒。又转推甲丁戊在左，甲戊庚在右两三角形，其甲戊六十一度○三分为同用边，余边皆见上文，依法推甲角左对弧八十三度五十七分三十三秒，右对弧八十五度五十四分一十八秒。此四星相距之各经度差，并之得三百五十九度五十九分五十八秒，以较赤道全周止差二秒。若以秋分为界，则于半周减一十五度五十二分一十八秒，为秋分与角太星之距度。次加各星之经度差以合于全周。

后左旋求六大距星之经度上文随恒星之本行自西而东测得其经度，此自东还西反测之，以证其宻合，亦用角宿距星为首。依万厯乙酉所测赤道，与前解不异，所得诸星距度及赤道经纬度，若数一二于眉睫之下也。六大星距赤道度分秒相距度分秒乙角宿距星南八五十六二十五十四二○丙轩辕大星北十三五十八○五十四三十三四十五丁井宿距星北二十二三十八三十五十八二十二○戊娄宿大星北二十一二十八三十三十四三十七十五已室宿大星北十三○四十四十七四十九二十庚河鼓中星北七五十一二十九十七五十○六距星用大三角形辏甲者六角其第一乙甲丙形从甲过赤道至乙，共九十八度五十六分。二十○秒，甲丙为轩辕大星，距赤道。之余七十六度，○二分，乙丙为二星。之距五十四度○二分，推得甲角对。二星之经度差四十九度一十九分。二十○秒，第二丙甲丁形，先有甲丙，其甲丁为井宿距星，距赤道之余六十七度二十一分三十秒，丙丁为二星之距五十四度三十三分四十五秒，推得甲角弧五十七度○四分一十○秒。第三丁甲戊形，先有甲丁，其甲戊为娄宿北星，距赤道之余六十八度三十一分三十秒，丁戊为二星之距五十八度二十二分，推得甲角弧六十三度二十八分三十秒。第四戊甲巳形，先有甲戊，其甲巳为室宿距星，距赤道之余七十六度五十九分二十○秒，戊巳为二星之距三十四度三十七分一十五秒，推得甲角弧四十四度五十八分。第五巳甲庚形，光有甲巳，其甲庚为河皷中星纬度之余八十二度○八分四十○秒，巳庚为二星之距四十七度四十九分，得甲角弧四十八度二十五分。第六庚甲乙形，先有两腰，其庚乙为二星之距九十七度五十○分，得甲角弧九十六度四十五分一十○秒。已上所得六经度差并之，得三百六十度，即赤道周。若从二分起算，则先定近分，第一星近分之度以加减前测所得不异。今依上述万厯乙酉所测春分以后总经度如左：星名赤道经度分秒赤道纬度分秒娄宿大星二十六○三十二十一二十八三十；毕宿大星六十三三四十五十五三十六十五；井宿距星八十九二十九一十二十二三十八三十；北河东星一百九五十八○二十八五十七四十五；轩辕大星一百四十六三十二四十五一十三五十七四十五；角宿距星一百九十五五十二一十八八五十六二十；河鼔中星二百九十二三十七二十七五十一二十；室宿距星三百四十一二三十一十三○二十。以恒星赤道经纬度求其黄道经纬度第五六章。前定赤道上之恒星经纬度，可用以推考七政矣。欲求备法，湏更求黄道上经纬度也。盖黄道上恒星之纬度终古不易，其经度虽随时变易，而每星相距之经度差亦终古如一，无相离，无相就也。所以然者，恒星本行之极，即是黄道之极，故用赤道者，为其与天元宻合；用黄道者，为其与本行宻合。二道、二极、两经、两纬，兼而用之，七政逺近，灼然不爽矣。欲推其理，非三角形无繇得之。今更依前所测诸星，申明此法如左。

星居两道之北如图，外周为极至交圏。丁巳为赤道，戊庚为黄道，乙为赤道极，丙为黄道极，甲为娄宿北星之本位。今设赤道距度甲丁，经度辛丁，以求黄道经度辛戊，纬度甲戊。其法用甲乙丙三角形，有乙丙边【两极相距】有甲乙【赤道纬度之余】有乙角【对边丁辛巳、丁、辛为赤道经度，辛为春分，辛巳为象限】依三角形法先求得甲丙八十度○三分为黄道。纬度之余，次求得丙角，其弧戊壬，得。五十八度○六分五十○秒，为黄道。经度之余，壬夏至也，辛春分也。以戊壬减壬辛象限，得戊辛三十一度五十三分一十○秒，为黄道经度。又以甲丙减丙戊象限，得甲戊九度五十七分，为黄道纬度。求余星仿此，其居黄赤道南北左右位置不同，别用三角形求之。今畧举如左。

星居两道之中如甲为毕宿大星，有赤道纬度，甲丁依前用甲乙丙三角形，求得丙极出弧，过黄道戊至甲共九十五度三十○分五十一秒，即象限外五度三十○分五十一秒，为黄道之南距纬度，而丙角之弧戊壬二十六度○二分，以减象限。得戊辛六十三度五十八分，为毕大。星之黄道经度，又如甲防为井宿距。星其甲乙丙三角形，求甲丙法，以乙丙、乙、甲两边及乙角，推得甲丙九十。度五十二分五十七秒为南距纬度，其在黄道南者止五十二分五十七秒，其丙角亦止二十八分四十○秒，其余辛甲即本星之黄道经度也。

星居两道之南如角宿距星居黄赤二道之南，图中甲乙丙三角形与上相似，即推法亦同。但乙丙则南极耳，形之甲丙弧八十八。度○一分，即甲星在黄道南一度五。十九分是其纬度，而丙角之对弧庚。戊七十一度五十六分五十○秒，即黄道经度，自戊至秋分辛，得一十八。

度○三分一十○秒星居两道相交之左此图则辛为春分，辛巳为黄道，辛庚为赤道，冬至移左，夏至移右，而经度亦从左起算，故甲乙丙三角形与上第一图正相反。上求甲丙，此则甲乙；上求丙角，此乙角也。如甲为河鼓中星，依法求得乙极至甲六十○度三十八分三十秒即甲丁二十九度二十一分三十。秒为黄道纬度，而乙角之弧丁巳一百。五十四度○四分，减象限巳辛，得辛丁。六十四度○四分，为距春分之黄道经。度若甲为室宿距星，依法求得乙极至甲七十○度三十四分，即甲丁一十九度二十六分，为黄道纬度，而乙角丁巳一百○七度有竒，可推其距春分之经度。

星居两道相交之右此图则辛又为秋分，余皆如前一二图，而甲星在秋分辛。夏至、癸之间，即其经度必过一象限，如甲为北河东星，依法求得甲丙，八十三。度○二分○八秒，即纬度在黄道北六度五十七分五十二秒，而丙角于一象。限外加一十七度三十○分二十六秒，为其黄道经度。若甲为轩辕大星，即甲丙之余，甲戊在黄道北，止二十六分三十○秒，为其纬度。而丙角之弧，于夏至癸一象限外加五十四度○四分四十○秒，为其黄道经度。星名，黄道经度，分，秒，黄道纬度，分，秒。娄宿北星三十一五十三○北九五十七○毕宿大星六十四○○南五三十一○井宿距星八十九三十一二十南○五十三○北河东星一百七三十三十南五五十八○轩辕大星一百四四四四十北○二十六三十角宿距星一百九八三○南一五十九○河鼓中星二百九五五十六○北二十九二十一三十室宿距星三百四七四十四○北十九二十九○以恒星测恒星第六二章前以太白求恒星简，知太阳所在，因是推定各星度数，其理着明矣。今既得恒星为界，即不必以太阳与距星比测，直以星相比，可得其实躔度数也。

测近赤道之恒星凡恒星近赤道四十度以下，借仪噐测之，聊可省功。太逺即不可，葢浑仪中圏正合天元赤道，乃至地平、过极等圏，皆切对其所当度分，所以近赤道诸星，不论在何方向，即可指本星之赤道经度差及其距度也。但湏用二星左右同见，先得其逺近度差，依法求得第三星之真经度【真经度者，从降娄起算至本星】若彼此分秒相符，即为宻合；若有微差，则平分其较，以多益寡。假如测井宿南第二星，得赤道北纬一十六度四十○分，左有轩辕大星，其北纬一十三度五十七分四十五秒，相距五十一度一十一分，即所求经度差为五十三度○八分三十秒，此应减于先得之轩辕经度，而存九十三度二十四分一十五秒，为是井二星之经度也【春分起算】右有毕宿大星，其北纬一十五度三十六分一十五秒，相距二十九度○九分，即所求经度差三十度二十一分一十五秒，应加于毕宿大星之本经度，乃得井二星之经九十三度二十五分也。两测相比，则右方所得数较余四十五秒，减半以益左，得九十三度二十四分三十六秒，为井二星赤道上真经度矣。今更求黄道经纬度，即以所得赤道经纬度，依前第五题。法即得井二星，甲之经度在鹑首三度。一十八分五十○秒，其南纬六度四十八分三十○秒，居黄赤二道之间，其余。星各依本方、本向，或南、或北，各依三角形法推算，俱仿此。

测近两极之恒星隆庆六年壬申，有客星甚大，在防星东北，甚近。苐谷详究其经纬度，先测定四周诸星，然后与本星两两相比，即得其实所。今先用所测王良西星，以明其法。按王良西星距娄北星四十一度二十○分四十五秒。距北河，南星七十七度二十五分，如上。图甲为娄北星，乙为北河，丙为王良，西。星从黄道极丁出弧，过各星至戊，至已，至庚，成甲乙丁、甲乙丙、乙丙丁三三角形。今所求者，为王良西星距黄道之余弧丁丙及丁角，以得黄道上之戊庚弧，定其经度也。先论甲乙丁三角形，其两腰弧为二星距极之弧，即其距黄道之余弧也。一为八十○度○三分，一为八十三度二十二分。其乙丁甲角之弧戊巳，则二星之黄道经度差为七十五度三十七分。如前法得甲乙底七十四度四十五分○八秒，又得乙角八十一度二十七分一十五秒。次论甲乙丙三角形，其腰线即王良西星与二星之距，而底线即上甲乙，因推甲乙丙角四十二度三十四分一十八秒，而存丙乙丁外角三十八度五十二分五十七秒【下文用此】末论乙丙丁三角形，前已得乙丙，乙丁，丙弧及乙角，因推。得丙丁弧三十八度四十五分二十二。秒其余弧丙庚为王良西星距黄道之纬度又推得丁角七十八度○八分三。十○秒是王良西星与北河南星之黄道经度差，真经度所出也。若更求其赤道经纬度，即因所得度分，如上图之甲丙线及丙角，依前第五题法，即得本星之赤道经三百五十六度四十三分二十○秒，其北纬五十六度四十八分三十○秒。余星皆依此法。

测恒星之资第七　一章测恒星，测七政，▯度公理也。而有四资：一曰测噐，二曰子午线，三曰北极出地度分，四曰视差。四资既具，非其时又不可测焉。测噐者，何也？凡测星有三求：一求其出地平上度分，二求其互相距度分，三求其距黄赤二道之何方何度分。所用噐亦有三：一为过天顶之圈，如▯限仪、立运仪等，此为测地平高度之噐；一为纪限仪，此为测两距度之噐；一为浑天仪，南北观▯台所有，即是，是为兼测二道经纬之噐。今所用测星者，则纪限、浑天二仪，而非大不得凖，非坚固不得凖，非界画均平、安置停穏、垂线与闚筩景尺一一如法，亦不得凖也。子午线者，七政行度升之极而降之始也。北极出地者，凡用仪必以仪之极与本地之高极【高极者，出地上之极也】相当，而后各经纬皆相当，乃始展转测▯焉。若无子午以正东西升降，无高极以正南北高下，即一切缀算之法无从得用，故二者测天之本也。视差者，何也？凡七政之视差有二：一为地半径差，一为清防气差。地半径差，月最大，日、金、水次之，火、木、土则渐逺渐消，恒星天最逺，地居其中，止于一▯，故絶无地半径差，而独有清防之差。清防地气去人甚近，故不论天体近逺，但以高卑为限。星去地平未逺，人目望之星为此气所防，不能直射人目，必成折照乃能见之。一经转折，人之见星必不在其实所，即星体在地平之下，人所目见乃在其上矣【▯见日纒厯指】迨升度既高，防气已絶，则直射人目，是为正照。虽星月之间微有湿气，不能为差也。试用一星于地平近处，测其去北极之度，迨至子午圈上，又测之，即两测必不合。或用两星于地平近处，测其距度，迨至子午圈上，又测之，即两测亦必不合，此其证也。此气晴明时有之，人目所不见而能曲折相照，升卑为高，故名清防。若云雾等浊防。直是难测，不论视差矣。苐谷累年测▯，妙悟此理，剙立差分。恒星视差比日▯视差更弱，止近地平二十度以下乃能觉之。表如下方。

作此表者，其本方极出地之度与此方不等，且视差亦随天气各有多寡厚薄。但数既宻微，测得其时，则此表可共用之。所谓时者，如云霞雾霿，无论已即，使晴明时日，而二十度以下防气乃所必有。若所测两星俱在二十度以上，即可不论视差。若一在二十度上与防气相絶，一在二十度下居防气之中，则近地平之星必升卑为高而成视差，两星之经度非真率矣。至若日躔▯枵，于时为立春，于▯为东风解冻，湿气尤盛，此际测星其视差必多于他时，更宜消息加减之也。此四资者，为测星所须，举其大畧。若全理全用，具载本论。

测恒星之噐第八　二章测量全义之末篇，论诸测噐畧备矣。此所系独测▯恒星二噐者，因上文每言测法，必先明噐理，然后能通其言意也。

测恒星相距之噐如前图，甲乙丙为全圏六分之一，名纪限仪者。厯家以六十为纪法，以别于四分一之象限也。甲为全圏之心，乙丙为纪限之弧，分六十度，度分六分十二，或三十。任仪大小作之，仪愈大，分愈细，即愈善耳。甲丁尺为度尺，树圆表于甲，以为尺枢，其末丁游移弧上，以定度分。切度分之处，剡其半为中线，以直当甲心之一防。丁上立一通光耳，耳上于中线两旁各作一罅，各与中线平行。两罅之间与甲表之径等，是耳随尺游移，故名通光游耳。又于乙上立一耳。

常定不移，是名通光定耳。又别作一耳，用则加之，否则去之，是名通光设耳。三耳之用不同，其制一也。又于已上立一小表，弧之上去乙二十度为戊，去乙丙各三十度为庚。巳戊线与甲庚平行使，从戊闚已，从庚闚甲，其度分等而通光设耳之本所则戊也。全噐以架承之，或为圆球架，或为三枢架，令上下左右偏正无所不可以便展转测诸曜之距度分。测法先定所测之二星，顺其正斜之势，以仪靣承之，以搘杖支之。次令一人从定耳之一罅窥甲表同方之一边，令目与表与第一星相叅直。又一人从游耳窥第二星，亦如之。次视两耳下两中线之间弧上距度分，即两星之距度分也。若两距度分绝少，难容两人并测，即加设耳于戊，以戊巳当乙甲，向已表窥第一星，而丁甲度尺对第二星如前，从庚右数之，即所测之距度。因戊巳与庚甲为平行线故也。凡测日与月，月与星，星与日，皆仿此。但日光照耀，表景多虚淡不明，宜用展缩木筩一具加度尺之上，以束光聚影，则灼然易见矣。

测恒星赤道经纬度之噐如前图，乙为子午圏，周分三百六十度。游移架上以就本方北极出地之高，平分其周而设之轴，平分其轴而设之表，当天顶而设之垂线，下置垂权至于壬而止，以取平也。架之下设螺转之▯四，以为足，展转视垂权而高下之，以取平也。轴之两端入于乙圏之凿，欲其利转也。其交于己圏也，己圏之交于丙丁圏也，持之欲其固也。丙丁圏者，赤道也，平分两极而居于己圏之中界，故又名中圏也。已与丙丁两圏为一体，旋转相从，而两圏之内又设为戊辛之圏戊辛与外圏同轴自为旋运不交于外圏而丙丁戊辛两圏之上各设两游耳游耳者可离可合百游无定之通光耳也两圏之各两靣皆平分为三百六十以定度分其测星也用赤道圏求经度法以两通光耳一定焉一游焉一人从定耳窥轴心之甲表与第一星叅直一人移游耳展转迁就窥甲表与第二星叅直两耳间之度分即两星之真经度差也用戊辛圏求纬度亦以通光耳迁就焉若测向北纬度即设耳于赤道南测向南纬度即设耳于赤道北皆凖诸轴心之甲表令目与表与所测星叅直乃止次简游耳下本圏之度分在赤道圏或南或北凡若干即本星之距赤道南北度分新法算书巻五十六<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>钦定四库全书新法算书卷五十七明徐光启等撰恒星歴指卷二恒星本行第一　五章前卷所借西史测星之法，为恒星厯之基本，此卷应凖前法，仍借旧测诸星经纬度立表，以待推算。然旧测在万歴十三四年，今相去四十余载，不复可用，宜作新表。又须先明新旧所以异同之故，不得不论其本行次，乃定时下各星之经纬度表。

恒星本行之征七政之运行也，时相防，时相对。其与恒星也，时相近，时相远。其本曜之光，时消时长【月有晦朔▯望，近论大白辰星荧惑皆有之】其东西出没于卯酉也，时南时北。其过子午圏也，时高时下。人目所见，变动不居。故从古迄今，人人知其自有运动，因生各曜推步之法，无可疑者。若恒星则无先相防后相望，无先相近后相远。其光不消不长，其东西出没，其过子午圏，虽百数十年，无从觉其有差，安知其有本运动乎？夫恒星移运，非一世之事。前古厯家既已测其定度，欲更得其转移之数，必百年数十年，谁能待之？是故一人之身，絶无能觉之缘也。后来学者传受先贤所测度数，复身试测之，往往见其不合。先人所见与四节相近者，后人测之渐远，又后之人测之又渐远。从是推知恒星有本行之实度分，及其移易之所以然也。如角宿大星，古地未恰于周赧王二十年丙寅测得其经度，在秋分前鹑尾宫二十二度。后多禄某于汉顺帝永和三年戊寅测在鹑尾宫二十七度。后尼谷老于嘉靖四年乙酉测得过秋分，在寿星宫一十七度。后第谷于万厯十三年乙酉测在寿星宫一十八度。轩辕星亦如之。周赧王丙寅在鹑首宫二十七度，汉永和戊寅在鹑火宫三度三十分，今测在鹑火宫二十四度四十分。余星皆如之。是以帝尧之世，日中星鸟，谓春分则初昏时鹑火中也。而周末在井，今在参矣。尧时冬至日在虚，汉唐在斗，今在箕矣。非其自有本行，安得冬至离虚宿而西，鸟离子午而东乎？

恒星本行之极十政本行，以黄道为道，以黄道极为极，终古恒然。何繇知之？葢人目所见，出没于地平之卯酉，南北不一；过午之高度，多寡不一。又有时离赤道而南，有时复还于赤道之北，以此知其行必非循赤道行，以此知其极必非宗赤道极也。然七政之循黄道，或浃旬可得，或周嵗可得；恒星之循黄道，必上下古今然后可得。何者？上古有测，中古有测，今时有测，乃恒星出没地平之处，今非中古之处，中古非上古之处。其过午之轨高亦然而恒移不定者，赤道之距度；恒定不移者，黄道之距度也。以此推知其循黄道行，宗黄道极，与七政同理，灼然无疑矣。更征实论之，凡恒星距赤道之度，从星纪迄鹑首，则在赤道之南者，必古多而今渐少；在赤道之北者，必古少而今渐多。不似七政之行，从冬至逾春分而夏至，自南趋北乎？从鹑首迄星纪，则在赤道之南者，必古少而今渐多；在赤道之北者，必古多而今渐少。不似七政之行，从夏至逾秋分而冬至，自北趋南乎？如外屏第二星，尧时在赤道南十二度强，因此时入娵訾宫，故距度渐减，至多禄某尚在南二度四十九分，后渐过赤道以北，今北距五度矣。井宿距星，尧时在赤道北一十四度弱，因入实沈宫，故距度渐加，至多禄某得二十度正，今北距二十三度，与夏至圏相近也。又轩辕大星，尧时距赤道北二十四度，因入鹑火宫，故距度渐减，至多禄某得一十九度三十分，今止一十三度三十分。角宿大星，尧时距赤道北十度，因入鹑尾宫，故距度渐减以至于尽，尽而复加，至多禄某过赤道距南三十分，而今渐远，距南得九度一十分。以此三四星为征，余者尽然，知其不随赤道而循黄道行，宗黄道极也。且七政皆右行，而恒星亦右行，以此推之，尤着明矣。

恒星本行古测多禄某见恒星距赤游移不一，先以上古所测星之赤道距度、黄道距度及其两道相距度，依三角形法测得其黄道经度。后以自测之赤道距度，如前求所当之黄道经度，以两距时之经度差得中积之本行。假如地末恰在其前四百三十二年所测角宿大星，距赤道北一度二十四分，距黄道南二度正。此时之两道相距为二十三度五十一分，因推其黄道经度在鹑尾宫二十二度二十分。后自测其黄道距度，已过赤道而南三十分，其黄道距度及两道相距如前，因得本星黄道经度在鹑尾宫二十六度三十八分。以较地末恰所测，差四度一十八分。以四百三十二年分之约，得一百余年而行一度。此多禄某所定为恒星本行也。泥谷老后多禄某一千三百八十六年，又以时史所记恒星距赤道度及所自测，以推其本行渐次戚速。葢从多禄某至巴徳倪七百四十一年，共得本行一十一度二十六分，为六十五年而一度，又六百四十五年至见测时，行九度一十一分，是为六十一年而一度。以是论，恒星之本行有迟速，初无恒度可为常定不易之法也。因立为迟疾加减法，今畧解之云：凡恒星去离四节，有两説。或云恒星离四节【二分二至】而右行，毎六七十年进一度；或四节离恒星而左行，毎六七十年退一度。其理则同，此所用者左行而退度也。如图甲戊子大圏为黄道。甲为天元，春分古时合于娄宿南星。后来春分去，离天元甲而积渐西移。以至于戊，乃其行迟疾不一，故推步。之法，以从甲至戊之本行为春分去。天元之平行，以戊为心，作午子巳小平面圏，帖合于圆球面上。以子未全径指量，平行与视行【视行即实行也】之差度，其癸己辛边上为自行度，立加减法。若在巳未午半圏，则减于甲戊之平行，以得其实行；若在午子巳半圏，即加于甲戊之平行，以得实行也。依此所求有三：一、求春分节戊随时去离天元甲若干为平行；二、求小圏之▯远巳随时向辛未行若干为自行；三、求子未小圏半径内加减度所当小圏边之自行度，即显恒星实本行之度也。

恒星本行今测从古厯家既知恒星自有本行，后相去二千余年，其所行度尚未及周天十二分之一【三十○度】其迟如此，乃欲借此推测全周，欲定其运行体势，厯嵗多寡，譬如隙中窥豹，所见一斑，而遽欲槩其全体，何从取证乎？故古来诸家所定，或六十年，或七八十年，或百年而行一度，各不相合。若于诸家所定长短不齐之中立为别法，又甚繁而未必是也。第谷精思累年，用前贤之成法，展转防订，始信恒星运动常是平行。虽从前诸测不无差殊，究所从来，各有因起，穷极理势，终归一致。其説先以泥谷老所测角宿距星试之，于正徳九年甲戌测得赤道南距八度三十六分。第谷疑前测地面其北极出地高度尚非真率，使人用大器密测，实得彼所用高度尚差二分四十五秒，因辨角距星距度中宜减二分四十五秒为北极不及之度。又以所自测本星之黄道南距一度五十九分，及此时之两道相距二十三度三十一分三十秒，依前卷三角形法，改泥谷老时所测黄道经应得过秋分一十七度○三分三十○秒。又自于万厯甲申年测算得十八度○三分，两测时相距七十年，而角南星行五十九分三十秒，即一年得五十一秒，为恒星本行之恒数也。又疑七十年时，日太少，不足以推验全周。再引系巴科于汉武帝元朔六年戊午所测轩辕大星，在鹑首宫二十九度五十分；至自测时，逾一千七百一十三年，乃在鹑火宫二十四度○五分。即所行二十四度一十五分，以距年而一，亦得五十一秒为一年之本行。凡七十年又七阅月而行一度，可为定率矣。又因此距太远，复引巴徳倪在系巴科后一千○六年，为唐僖宗中和四年甲辰所测轩辕大星，得其黄道经度在鹑火宫一十四度○五分，比元朔戊午嬴一十四度一十五分，迄第谷时，越七百○五年而差一十度正，防其比例，又得五十一秒为一年之本行，且无迟速若兹，防伍知千年、数百年，此率犹当未变也。或问：「前言古名厯，若地末恰、若多禄某，各有测验。第谷时曷不用此二家之説，并加防伍乎？」曰：「依地末恰、多禄某测法，即二家所得本行先自不合。用之防伍，将何从而可乎？试简彼两测角距星：地末恰测在鹑尾宫二十二度二十○分，越一千八百七十九年，而第谷测得经度东行二十五度四十三分，即一年平行仅得四十九秒一十五微；多禄某测在鹑尾宫二十六度四十○分，越一千四百四十六年，而第谷测得东行二十一度二十三分，即一年平行五十三秒一十五微。何从而可乎？若损有余补不足，亦宜以五十一秒为正。何况有系巴科、巴徳、倪第谷三测并较，并无乖舛，安得舎此之密合，而从彼之纷纭哉！」又问：古者测验，何故多有不合？而今所当用，全属第谷之新法乎？曰：第谷测星，非得其分秒不用；非三四器、三四人同时并测，而所并得在一分以内不用。故其法为独密也。古法寛疎，或仪器未善，或未觉知天行变易之详，所测度数差在数分之内，自谓足矣，安得如新法之精乎？又第谷于恒星一一测▯，皆躬亲为之，又苦心数十年，乃得就此。若古测不能遍及诸星，又皆远借系巴科所遗之经纬度表，加以后来行度，率尔立法，未如第谷之实测实见，确有据依，可以信今传后也。若泥谷老所立恒星测法，设平行自行，以迟疾加减，求得实行，当其时诚为密合；今以测星法细考之，已觉稍远，将来愈久愈远。后有作者，当自得之，不待繁称也。

恒星本行表因列宿本行恒平分无迟速，可用加减法于厯元以前、厯元以后，时时推得黄道经度所在也。若因黄道距度稍有变易，恒星本行亦当小差，此在数百载之后随时测定。若经度分即数百年后亦当未变，况第谷所测近在四十年间，今借用之，岂非濵河汲水甚易而实是乎？崇贞元年戊辰为厯元下推应加上推应减【分秒法俱六十】加【毎年五十一秒】减【同上】加【同上】减【同上】加【同上】减【同上】戊辰【分○○秒○○】戊辰丁丑【○七三九】已未丙戌【一五一八】庚戌已已【分○○秒五一】丁卯戊寅【○八三○】戊午丁亥【一六○九】已酉庚午【分○一秒四二】丙寅巳卯【○九二一】丁巳戊子【一七○○】戊申辛未【分○二秒三三】乙丑庚辰【一○一二】丙辰已丑【一七五一】丁未壬申【分○三秒二四】甲子辛巳【一一○三】乙卯庚寅【一八四二】丙午癸酉【分○四秒一五】癸亥壬午【一一五四】甲寅辛卯【一九三三】乙巳甲戌【分○五秒○六】壬戌癸未【一二四五】癸丑壬辰【二○二四】甲辰乙亥【分○五秒五七】辛酉甲申【一三三六】壬子癸巳【二一一五】癸卯丙子【分○六秒四八】庚申乙酉【一四二七】辛亥甲午【二二○六】壬寅加【毎年五十一秒】减【同上】加【同上】减【同上】加【同上】减【同上】乙未【分二二秒五七】辛丑，庚戌【三五四二】丙戌，乙丑【四八二七】辛未丙申【分二三秒四八】庚子，辛亥【三六三三】乙酉，丙寅【四九一八】庚午丁酉【分二四秒三九】已亥，壬子【三七二四】甲申，丁卯【五○○九】已已戊戌【分二五秒三○】戊戌，癸丑【三八一五】癸未，戊辰【五一○○】戊辰巳亥【分二六秒二一】丁酉，甲寅【三九○六】壬午，已已【五一五一】丁卯庚子【分二七秒一二】丙申，乙卯【三九五七】辛巳，庚午【五二四二】丙寅辛丑【分二八秒○三】乙未，丙辰【四○四八】庚辰，辛未【五三三三】乙丑壬寅【分二八秒五四】甲午，丁巳【四一三九】巳卯，壬申【五四二四】甲子癸卯【分二九秒四五】癸已，戊午【四二三○】戊寅，癸酉【五五一五】癸亥甲辰【分三○秒三六】壬辰，已未【四三二一】丁丑，甲戌【五六○六】壬戌乙巳【分三一秒二七】辛卯，庚申【四四一二】丙子，乙亥【五六五七】辛酉丙午【分三二秒一八】庚寅，辛酉【四五○三】乙亥，丙子【五七四八】庚申丁未【分三三秒○九】已丑，壬戌【四五五四】甲戌，丁丑【五八三九】巳未戊申【分三四秒○○】戊子，癸亥【四六四五】癸酉，戊寅【五九三○】戊午已酉【分三四秒五一】丁亥，甲子【四七三六】壬申，巳卯，丁巳嵗差第二嵗之有差，亦多故矣。一因太阳▯高行度，一因太阳本圈心去离地心渐次不等，此二者为自差之根。或因测验未合，或因北极出地之高度未真，此二者为偶差之根。若无北四缘，即太阳所成嵗周终古若一，何难之有哉？然而太阳▯高地心去离，皆缘古今测▯灼然无爽，故当依彼自差剙意立法。若恒星行度叅错短长，既未能▯见其所繇，而平行一法又千数百年来的有可据则短长之因，亦宜断归于偶差而巳何必强定为自差？揣摩臆度，定为防差之法，并向下诸天亦与之为防差牵率，天行憗从彼管窥未定之説。▯今依实测实理，则恒星经嵗之间，其东行实得三百六十五日二十四刻○九分二十六秒四十三微，常有定率，絶无多寡。以较日▯定用嵗实，实赢一刻○五分四十二秒，以变经度得五十一秒，为恒星周嵗离四节而东行之经度。

恒星嵗实古今定嵗实之法有二，一为星嵗，恒星行周嵗而复于故处是也；一为节嵗，日行周嵗而复于故处是也。近古厯家专用节嵗者多矣。尼谷老于正徳年间欲复用星嵗，其説引恒星之嵗实三：一上古之实为三百六十五日二十四刻一十一分，其一中古之实为三百六十五日二十四刻○九分一十二秒，又自行测验约畧改定为三百六十五日二十四刻○九分四十秒。以先后三率较之，所差仅一分四十八秒，以为密亲。又用古今所测节嵗相较，二千年以来有差至八九分者，以为疎远。此其复用星嵗之本意也。然第谷更密考之，并恒星嵗实所得日数亦复小异。其法取多禄某所测太阳及恒星度分，以较所自测度分，又除去▯高差不同心差，专求太阳从娄西星平行之度【上古春分节密合于娄西星，后节渐违星而西，星渐违节而东。推步者从天元春分以迄娄西，定为若干度分，是名嵗差根也】自多禄某以迄自测得两距之中积度分，用中积嵗而一，为毎年之嵗实也。按多禄某于汉顺帝永和三年戊寅测得天正秋分，第谷于万厯十六年戊子亦如之。次加两测地之东西差【两测地有东西差，即中积嵗之率有多有寡，加之者令两测之中积嵗等】得中积距一千四百五十五年三百五十三日五十九刻一十○分。依此查太阳平行得若干周如左。多禄某测太阳在秋分节，其▯高在实沈宫五度三十分，其本圏心距地心之度为六十分，本圏半径之二分二十九秒三十微。如图，甲为防高，丙为▯高心，戊为地心，甲乙为太阳离▯高之弧，弧之对甲戊乙与丙戊乙同角，则乙丙戊。三角形内，有乙丙为本圏之半径，有丙戊为本圏心离地心之远，有丙戊乙角对太阳去▯高之远，可推得丙乙戊角为中处【日平行所至】与实数【以见测视行依法加减讫即实行】之差，因在夏后冬前，宜以中实差加于实处【若冬后夏前则以减于实处】即太阳实处改为中处，而离春分得六宫二度一十分，当时嵗差根止六度三十六分【因此时测得角距星距赤道三十○分，推得其黄道经度距春分为一百七十六度三十六分，内减角距娄西之本距一百七十度正，余六度三十六分为此时之嵗差根】以减太阳距节平行度六宫二度一十分，得太阳距娄西星平行度五宫二十五度三十四分，为阳嘉元年壬申之太阳平行根。后第谷亦测太阳在秋分此时▯高移至鹑首宫五度三十○分，如图，甲为▯高，丙为太阳本圏心，戊为地心，二心之距丙戊为六十分，本圏半径之二分○九秒，乙为太阳之实处。【见测之数已经加减讫】距▯高八十四度三十○分，所对甲戊乙与丙戊乙同角，即乙丙戊三角形内有乙丙、丙戊两边有戊角，可推丙乙戊角为中处与实处之差，得二度二分三十○秒，以加实处得中处六宫○二度○二分三十○秒，为太阳距春分之平行度也。内减此时之嵗差根二十八度○五分三十○秒，得太阳去离娄西星平行五宫○三度五十七分，以较前多禄某所测五宫二十五度三十四分，所差二十一度三十七分，为太阳中积年间之平行，以恒星之中积度分推太阳之右旋，得一千四百五十五周三百三十八度二十三分，以四率比例推得日行度五十九分○八秒一十一微二十七纎一十四芒二十六末五十四尘，一年行一十一宫二十九度四十四分四十九秒四十○微四十二纎五十三芒三十八末三十○尘，为恒星嵗实较尼谷老所定实少一十三秒一十六微三十○纎，变时得三百六十五日二十四刻九分二十六秒四十三微三十○纎，自多禄某以来至于今恒如是。问：星嵗无差，而有定算，如此，何近古厯家不复用之？曰：欲立嵗限，以定处为主，节嵗于纒道有定处，于四节有定处，于天气寒暑有定处。若星嵗虽有定算，而无定限，随恒星右旋，若随火、木、土而已，以此较彼，将孰愈也？其余尚有他故，《厯指》详之。

恒星变易度　第三向言恒星有本行，足明其黄道经度，日日变迁，且有定率矣。若用此以推赤道经纬度及黄道纬度，可否移易？及其经度差，互相近，互相远，俱未及详也。今论次如左。

恒星赤道经纬度变易定恒星向赤道之度，必从赤道起算，右行则为经度，而去离南北则距度也。若从赤道两极出大圏，过春分，名极分交圏，乃为界首经度所始，而星居其上者，不论在赤道之或南或北，皆无经度分，因在初度初分故也。一离此圏，不论左右远近，皆名正升度之圏【是从黄道上行而与赤道同出地平同入地平者，名升度圏，其在正球处名正升，在欹球处名斜升，然止论赤道度则皆用正升】乃以限赤道之经度，容赤道之纬度也。又赤道大圏为南北距度所始，星居其上则无纬度。一离此圏，不论南北远近，乃至两极，皆名距等圏【或云赤道纬圏】乃以限赤道之纬度，容赤道之经度也。但赤道既斜交于黄道，而恒星依黄道有本行，必与赤道纬圈皆以斜角相交相过，即星虽在赤道纬圏上得限距度，而以迤行故，即黄赤两距圏毎相违远矣。故星之升度圏能得黄赤经度合一不离者，独有二：一为同在极至交圏，一为同在两道交之两▯。自此而外，更不可得。虽行黄道经度均平如一，其行赤道经度时时变动，所以然者，赤道之升度圏与黄道极所出圏相遇有疎有密，随在不等故也。如图赤道极乙所出。

升度圏乙午乙子乙癸等黄道极甲所出圏甲庚未甲丑未等若星在黄道纬之丙己圏行近于黄道即黄赤两极所出两圏相去畧等其经度，或赤道，或黄道，东。行亦畧等，若星距黄道远，在戊丁圏，从戊至庚设一十五度，即星厯黄道经圏若干时，得戊庚十五度，而厯赤道升度圏亦若干时，所过乙壬、乙癸【各十五度】将及乙甲几四十度矣。所以然者，甲庚未弧限黄道经度至戊庚己稍寛，而乙壬、乙癸等弧限赤道经度至此尚密，所以星行厯黄道经度少，厯赤道经度多也。又使有星在黄道纬之辛丁圏上行，即乙午、乙子等弧限赤道经度者反寛，而甲辛未等弧限黄道者反密，则星行时所厯黄道经度反多，厯赤道经度反寡矣。总言之，为星行二道之经度恒自不等。再论星厯赤道纬度亦常不等，如图甲为星在赤道南二十三度三。十○分，若行一周，必至分节乙，即无距度，然随黄道行，必过赤道而北极远处，又在北二十三度三十。○分矣，又丙为星，行一周即离赤道圏，丙渐至己，行愈远，去赤道亦愈远，至丁，必离四十七度。若更在戊，距赤道丙己向北二十度，过庚，行愈远，距亦愈远，至壬，为本圏距赤防远之界，更加二十度，总为六十七度矣。余皆仿此。葢左边距赤之度，毎多于右边距赤之度，如庚之距乙，多于戊之距丙也。至北极癸，即左满九十度，若过极，即周行皆在癸丙九十度间，戊辛之间加一度，即癸辛之间减一度【减者减癸丙九十度也】若至黄道极辛，即其距度终古不易矣。

二十八宿各宿度变易或问：「二十八宿有次第？葢日月五星各以本行，先厯角宿，至亢，至氐，房，心等。古昔如此，今世不然。所见先入参度，而后过觜度，自余不觉者，宿度寛也。其实皆有之，何故？」曰：「二十八宿不以赤道极为本行之极，而以黄道极为极。故其行度时近时远于赤道极。行渐近极，即北极所出赤道经圏渐密，七政过之，其行则疾；渐远极，即赤道经圏渐疎，七政过之，其行则迟。七政行度疾于恒星远甚。其逐及于近极之恒星，在古觉速，在今觉迟；其逐及于远极之恒星，在古觉迟，在今觉速。皆缘二道二极能使其然，非七政有异行，亦非恒星有易位也。」如图，赤道、南北极甲上所出各圏，相去皆设一十度，黄道两极乙上所出各圏亦如之有星为丁即限其赤道经度者为甲丁癸圏而星却不依赤道行乃依黄道自丁向戊行约毎七百年行一十度也又一星为己原设在丁前一十度其限赤度者为甲己子圏，而所行亦依黄道，自己向庚七百年十度。因是己星依黄道至壬时，丁星亦依黄道至辛己壬。以黄道算得十经度，而丁辛亦正对寅卯，为黄道之十经度也。然以赤道算之，则黄己壬所对赤子丑一十度之弧，而黄丁辛所对不止赤癸子一十度之弧，更过赤道子而近丑，将及二十度。即丁星先在己星之后十度，而渐向前行至逐及于甲丑圏上，即两星同经度矣。过丑则丁反在前矣。假令日循黄道，亦于丁戊线上行，何得不于七百载之先至卯入丁宿度，前距己未及数度，而七百载之后乃至壬并入丁己二宿同经之度乎？此非行有疾迟，皆因度有广狭故也。度之所以广狭者，分宿度以赤道所出经圏为限，而步七政以黄道所出经圏为限也。但此设丁己二星，一近北极，一近黄道，相去稍远者，欲令此理灼然易见。若设两星距度不远，即不必七百年能超逾十度，或进一二度，亦此理耳。若古时七政所歴先后不相越者，正当黄赤二度广狭相等故也。

考赤道宿度差中厯古分宿度，以相并或不成一周天，今用之不合天度。因自授时以来如上所説宿度变易故也。法宜先求今之实宿度，以究极古今异同之故，仍立法以求古之实宿度。如尧时冬至，相传日在虚七度，或在初分，或在末分，皆不可知。今折中设在六度三十○分，即所用虚宿距星定在析木宫二十三度三十○分。为其赤道经度，则其距黄道之纬度必八度四十二分。以此经纬度依三角形法推其黄道经度，所得与赤道经度不远亦在本宫二十三度三十八分。所以然者，两星之黄经度差终古不易。依诸距星今相离黄道经度，可以定古黄道各宿度，而更以黄经纬度覆求各距星之赤道经度及各宿本度也。其术俱用三角形法。古赤道积宿度【今算定】今赤道积宿度。角一百四十六度三十一分【春分起算】一百九十六度二十六分，亢一百五十九度○五分，二百○八度一十分，氐一百六十八度四十四分，二百一十七度二十九分，房一百八十一度四十五分，二百三十四度一十分，心一百八十七度二十五分，二百三十九度三十八分，尾一百八十九度二十○分，二百四十五度四十七分，箕二百○七十度○五分，二百六十五度○五分，斗二百一十七度二十七分，二百七十五度三十九分，牛二百四十二度四十六分，三百○○度○三分，女二百五十○度○十○分，三百○六度五十三分，虚二百六十三度三十○分，三百一十八度○○分，危二百七十二度三十七分，三百二十六度四十一分，室二百九十一度二十四分，三百四十一度三十四分，壁三百○七度二十四分，三百五十八度三十四分。奎三百一十九度五十三分，六度五十七分。娄三百三十三度四十六分，二十三度三十二分。胃三百四十四度二十分，三十五度三十六分。昴三百五十九度二十二分，五十○度十六分。毕一十○度二十二分，六十一度四十五分。觜二十八度二十五分。参七十八度二十九分。参二十○度五十五分。觜七十八度四十三分。井三十五度一十七分，九十○度○七分。鬼六十五度○八分，一百二十二度二十一分。柳七十二度三十三分，一百二十四度三十○分。星八十八度五十四分，一百三十七度二十一分。张九十六度二十四分，一百四十三度○九分。翼一百一十三度○三分，一百六十度二十八分。轸一百三十度○二分，一百七十九度○六分。亦道古各宿度，今各宿度，依三百六十五度四分度之算。角十二度三十四分，十一度四十四分，十一度九十分四十四秒；亢九度三十九分，九度十九分，九度四十五分二十六秒；氐十三度○一分，十六度四十一分，十六度九十二分六十六秒；房五度四十分，五度二十八分，五度五十四分六十四秒；心一度五十五分，六度九分，六度二十三分九十七秒；尾十七度四十五分，一十九度一十八分，十九度三十分○秒；箕十度二十二分，十度三十四分，十度五十六分六十六秒；斗二十五度十九分，二十四度二十四分，二十四度七十五分五十八秒；牛七度二十四分，六度五十分，六度九十三分六十一秒；女十三度二十二分，十一度○七分，十一度二十七分五十七秒；虚九度七分，八度四十一分，八度八十一分○秒；危十八度四十七分，十四度五十三分，十五度十分四秒；室十六度○○，十七度○○，十七度二十四分七十九秒；壁十二度二十九分，八度二十三分，八度四十四分五十六秒；奎十三度五十三分，十六度三十五分，十六度八十一分六十三秒；娄十度三十四分，十二度四分，十二度二十四分二十六秒；胃十五度○二分，十四度三十分，十四度七十分五十八秒；昴十一度○○，十一度二十九分，十一度八十一分○二秒；毕十八度○三分，十六度三十四分，十六度八十分八十二秒；觜二度三十分；参○度二十四分，○度四十分○秒；参四度二十二分；觜十一度二十四分，十一度五十六分○二秒；井二十九度五十一分，三十二度四十九分，三十三度二十九分五十三秒；鬼七度二十五分，二度○九分，二度一十五分○秒；柳十六度二十一分，十二度五十一分。十二度八十五分○秒，星○七度三十分；五度四十八分，五度八十八分四十六秒。张十六度三十九分，十七度一十九分，十七度五十六分九十二秒。翼十六度五十九分，一十八度三十八分，十八度六十三分三十三秒。轸十六度二十九分，十七度二十分，十七度三十三分三十三秒。《恒星黄道经纬度变易》第四。前论赤道星度，设大圏过南北两极及赤道上，以定诸星赤道经度。又赤道左右设不等小圏，至两极横割子午圏，以定赤道纬度。今论黄道，以定其经纬度，亦如之，但不从赤道南北极论，而以黄道南北极论。一切行度及行度之有变易，皆主此。今论其纬度变易与否，及其经度差与诸星相近相远，以尽黄道星度之理。

恒星黄道纬度变易第谷测星数十年，得其黄纬度，以较多禄某所记，微不合。且极至交圏侧近之星，比于极分交圏侧近之星，其纬度所差尤多。反覆研究，以古黄经度及赤纬度究其所当黄纬度，明其实然。又欲定诸星之古时经度，宜得一起算之界，故先求角宿距星经度【此为近于极分交圈者，其黄赤距当不易】依前三角形法求其纬度，按地末恰所测角距星，距赤道北一度二十四分，系巴科所测止距三十六分。后多禄某测得其距度在赤道南三十○分，其黄道南距度因此时离秋节不远，故恒为二度不变。因推得黄经度于地末恰时在鹑尾二十一度五十三分，后系巴科时在本宫二十三度五十三分，多禄某时至二十六度三十八分。繇是以角南为距星，先测近二至之星试之，然后以测分至两间之星，各得其纬度分，知诸星之距黄纬度渐近二至，渐有变易焉。非星位之有变易也，而黄道之时远时近于赤道也。北河，西星距角距星之黄经差九十三度三十五分，而在左【此为近于极至交圏，可验黄赤距度变易之数】地末恰时，其经度在实沈宫一十八度一十八分，与夏至近，其赤道距度三十三度正。后系巴科时稍前，在本宫二十○度一十八分，赤距度三十三度一十○分。又多禄某时更前，在二十三度。○三分而赤纬度三十三度二十四。分因是可求其黄纬度各时所当焉。如图，外圈为极至交圈，甲丙为赤道。甲乙为黄道，丁为北河，西星甲己为黄经度庚己为过黄道极及本星之弧，其赤道纬度三史所测，皆设为丁戊，今所求为丁己黄道距度也。丁辛庚三角形内，有丁辛边为本星距赤道戊丁之余弧【在地末恰时为五十七度，盖三十三度之余也】有庚辛边【黄赤二道▯远之距于时为二十三度五十一分二十○秒】有辛庚丁角【甲己黄经七十八度一十八分，余己乙一十一度四十二分为辛庚丁角之弧】以求庚丁第三边，得其余弧即本星之黄纬度丁己。法从辛至壬下垂线，成两直角形。一为壬辛庚，一为壬辛丁。先壬辛庚内，有庚辛边，有庚角，有壬直角，以求壬辛边，得四度四十二分一十五秒。又求壬庚，得二十三度二十五分。次壬辛丁内，有壬直角，有壬辛、辛丁二边，以求壬丁边，得五十六度五十二分十五秒。以并先得之壬庚边，共八十○度一十七分一十五秒为丁。庚边是黄道纬度，丁己之余弧，即当时北河西星离黄道极庚之度，而其余九度四十二分四十五秒，为本星距黄道之度。依系巴科所测赤纬度如前，其丁辛边则五十六度五十○分【三十三度一十○分之余】两极相距辛庚仍前二十三度五十一分二十秒，辛庚丁角九度四十二分【黄经甲己八十○度一十八分之余】推壬辛边三度五十四分三十○秒，壬庚二十三度三十三分，壬丁五十六度四十四分四十五秒，并得丁庚八十度一十八分，即北河西星黄道之北，距丁己九度四十二分。

依多禄某所测，其两极距如前本星赤道纬三十三度二十四分，即丁辛边为五十六度三十六分，黄道经八十三度○三分，即辛庚丁角六度五十七分，以推壬辛边得二度四十八分二十秒，壬庚二十三度四十二分，以加壬丁五十六度三十三分一十五秒，并得黄纬之余弧庚丁八十度一十五分一十五秒，其纬度稍强于前两测，为九度四十四分四十五秒，总三史所推折中为九度四十三分，以较今测北河西星之距黄道一十○度○二分，实差一十九分，为三史时至今黄赤相距之度渐次改易，自远而近也。又河鼓中星角距星之经差九十七度五十二分，在右边【亦近于极至交圈可验黄赤距变易】地末恰时在析木宫二十九度五十○分，距赤道北五度四十八分。后稍前至星纪宫一度五十分，其距赤纬亦五度四十八分。及多禄某时更前至本宫四度三十五分，其距赤纬五度五十分。此时此星在冬至左右不远，故以黄赤二道相距▯远之度加三测之本星赤纬度，即得黄纬度二十九度四十○分。为其切近于极至交圏，与其在圏也畧等，故不用三角形法。乃今河鼓中星距黄道二十九度二十一分三十○秒，以此证近至之黄赤距度，昔远今近，极着明矣。前用二星者，为其一近冬至，一近夏至，皆在黄道北，必一増一减，其黄纬度，随黄道所，两至之处测，其违离南北几何，得其渐近于赤道也。若考星居分至之间者，则其差亦在多寡之间矣。如昴宿东第二星，地未恰以太阴测之，得其北距黄道三度四十○分，在降娄三十度后，在大梁三度。亚仁诺所测未移纬度，而今测在本宫二十四度四十五分，恒得距黄道三度五十五分，较古测强一十五分，为此处变易黄道之度也。又房宿北星与昴宿为对照，地末恰所测在大火宫二度，距北一度二十○分，后在本宫六度。黙聂老所测未移度，而今测乃前至二十三度二十分，距黄道止一度○五分，较古测差一十五分，即此时黄道近就于赤道亦一十五分矣。或疑黄赤二道之距，既能自远而近，则邃古之时必更远，远于何止乎？曰：▯古之距无从取证，何可妄为之説？但近古三史皆以二十三度五十一分为二至距赤之限，且测非一人，人非一测，又皆以太阳二至之高下得之，岂有悮乎？今世之测验更细更详，比昔就近，实为三分度之一，尤无可疑者。但自今以后，当复更近，近何时已近极？或当复远，复在何时？此则人灵微▯，无能穷天载之无穷耳。或问：「前所求虚宿等距星，上古之经度也，而用今之黄纬度，能无谬乎？」曰：「用今世之纬度，微不同千古之纬度，但以之推南北度，亦微差；以求东西经度，即无缘致误矣。」恒星黄道经度不变易。

前以恒星之有本行，征其赤道经纬度随时变易者，为诸星循黄道行，斜交于赤道故也。今论诸星循黄道行，互相视有迟速乎？曰：否。借有迟有速者，必有违有就，位置有违就者，形象必有改革。乃自上古以来，氐恒似斗，尾恒如钩，天津如弓，箕宿向冬至行，四千年得五十四度。虚宿之过冬至也，四千年亦五十四度，余皆若此。歴数千年，形像如故，运行如故，迟速如故，知黄道经度决无变易矣。系巴科于二千年前述古记以遗后世，论黄道周绕数星，或居一直线上，或别成形象。多禄某在后更测之，仍如是迄今不改。如当时娄宿自西一二星与天大将军南二星作一直线，天关星偕毕大星，天廪南二星同在大梁宫，亦如之。北河二大星与五诸侯中星为三等边三角形，鹑火宫内御女与轩辕向北第二第四第六星皆相距等远，次相星与角宿北星，亢宿北二星在鹑尾宫皆作一直线。虚宿二星相距之广，同危宿南北二星相距之广也。此皆古系巴科所传，与今所见一一不爽。试用尺度向地平二十度以上，既离▯气之处，一一量度，甚易见也。此以知恒星各相距或远或近，穷古今恒如是矣。

考黄道宿度差星自循黄道上行，而分别宿度之过极经圏，乃从赤道极上出，故以黄道之星厯赤道之度，迤行斜过，疎密疾迟，变迁不一。出黄极者，诸星依之运动，相距远近，行度迟速，终古如一也。故当有诸恒星之黄道经度，法先以尧时冬至日躔虚六度三十○分，用三角形法推得其正丽黄经度二百六十三度三十八分，而以经度差定率厯推古今之黄道各宿积度，各宿本度并列于左。黄道宿古积度，黄道宿今积度【平度】角一百四十四度○三分，一百九十八度三十九分。亢一百五十四度三十八分，二百○九度一十四分。氐一百六十五度一十八分，二百一十九度五十四分。房一百八十三度一十二分，二百三十七度四十八分。心一百八十七度五十八分，二百四十二度三十四分。尾一百九十五度三十一分，二百五十○度○七分。箕二百一十一度○七分，二百六十五度四十三分。斗二百二十○度二十七分，二百七十五度○三分。牛二百四十四度一十八分，二百九十八度五十四分。女二百五十一度五十九分，三百○六度三十五分。虚二百六十三度三十八分，三百一十八度一十四分。危二百七十三度三十七分，三百二十八度一十三分。室二百九十三度四十四分，三百四十八度二十分。壁三百○九度二十五分，○四度○一分。奎三百二十○度五十六分，○一十五度三十二分。娄三百三十四度一十分，○二十八度四十六分。胃三百四十七度一十分，○四十一度四十六分。昴三百五十九度○一分，○五十三度三十七分。毕○八度四十分，○六十三度一十六分。参○二十二度三十八分，○七十七度一十四分。觜○二十三度五十九分，○七十八度三十五分。井○三十五度三十二分，○九十度○八分。鬼○六十五度五十七分，一百二十度三十三分。柳○七十○度三十三分，一百二十五度○九分。星○八十七度三十三分，一百四十二度○九分。张○九十五度五十六分，一百五十度三十二分。翼一百一十四度○○分，一百六十八度三十六分。轸一百三十一度○○分，一百八十五度三十六分。右黄道积度，是各宿离春分东行之度。其十二次度分表，见后方。各宿黄道本度，依三百六十五度四分度之一分，各宿度。角一十度三十五分，一十度七十三分七十六秒。亢一十度四十○分，一十度八十二分二十二秒。氐一十七度五十四分，一十八度一十六分一十秒。房四度四十六分，四度八十三分六十二秒。心七度三十三分，七度六十六分○一秒，尾一十五度三十六分，一十五度八十二分七十六秒。箕九度二十○分，九度四十六分九十五秒。斗二十三度五十一分，二十四度一十九分七十八秒。牛七度四十一分，七度六十三分五十四秒。女一十一度三十九分，一十度九十七分九十九秒。虚九度五十九分，一十度一十二分九十秒。危二十度○七分，二十度四十一分○一秒。室一十五度四十一分，一十五度九十一分二十一秒。壁一十一度三十一分，一十一度六十七分六十七秒。奎一十三度一十四分，一十三度四十二分二十六秒。娄一十三度○○分，一十三度一十八分九十六秒。胃一十一度五十一分，一十一度九十六分一十六秒。昴九度三十九分，九度七十八分一十一秒；毕一十三度五十八分，一十四度一十七分○四秒。参一度一十一分，○一度三十五分，○秒觜一十一度三十三分，一十一度七十一分，○二秒井三十度二十五分，三十度八十六分，○二秒。鬼四度三十六分，四度六十五分八十二秒。柳一十七度○○分，一十七度二十四分七十五秒。星八度二十三分，八度五十分五十六秒。张一十八度○四分，一十八度三十三分○一秒。翼一十七度○○分，一十七度二十四分七十九秒。轸一十三度○三分，一十三度二十四分○三秒。