新法算书卷九十六

新法算书卷九十六

钦定四库全书新法算书卷九十七。明。徐光启等。撰《新法厯引》。

厯学维新厯学有法，有用法者，测各重天之运行体势以审诸曜出入隠现以求本行轨道，以定凖则也。用者，取本法测定之分数，随方随时以推步日月五星次舍冲照交食凌犯顺逆等情也。二者阙一不可。然而立法难矣。语云：「毫厘之差，千里之谬在厯学为尤甚。中国自汉迄元，造厯者七十余軰，立法者仅十有三家，且皆不免乖违后人难凭致用有谓得一冬至之正时即为密近者，非也。测冬至之于厯术未及百分之一，闻一知百，世无其人。有谓得一歳实一朔实及转终交终等防为巳定者，非也。此皆诸曜平行之率，何由遽定？视行有谓测率四应可以无忒者，非也。此不过推算平行之界而已。有谓多测交食，稽其某法先天，某法后天，而后彚计筹防，折中取之者，亦非也。厯家法数繁▯，用以筭步交食不下四十余条究竟何项何欵可以折中取半者？因知古来修改门户虽岐，实则互相依傍，间有出一二新意，亦未必洞晓本元。迹其大端，犹不过截前至后通计所差，加减乘除分▯各歳之下，便谓修改己耳。即使仅合一时，岂能施诸久逺？后惟授时厯庶称精密，顾其法亦未尽善。在当日已有推食不食，食而失推之弊，何况沿袭至于今日哉？他若囘囘厯者，其厯元为西域所定，使非中厯先推太阳躔度，至春分之日，彼亦茫然无据以得支干，以合中国所用歳月也。况其厯元已厯千年，不可复用乎？兹惟新法，悉本之西洋治厯名家，曰多禄某，曰亚而封所，曰歌白泥，曰苐谷四人者。盖西国之于厯学师传曹习人自为家，而是四家者，首为后学之所推重。著述既繁，测验益密，立法致用俱臻至极旅軰采其精详究其奥▯，而又叅以独得，发所未发焉。更审今测以广古测必求合天，年世互考，中西名例半皆仍旧，合异归同。成书已进阙庭，新法已行。天下用彰，昭代厯典，度越前古，暨质诸来▯，虽亿万年，永永不爽云。

地球地在天之中心，常静不动，与天相较，不啻稊米之于乔岳也。其形浑圆，古谓方者，盖指其徳耳。凡居处地球者，其视日景之不同，分有五带。其中则自赤道，南北各以二十三度半为限【此即二极出地之髙】名为暖带。居其下者，午正立表揆日测景，必自射南射北，顾每歳必有二日，其表无景，即春秋二分，太阳正过其天顶之日也【此指正居赤道下者，春秋二分日中无景，过春分则景在南，过秋分则景在北】此带惟一。又于其南、其北各自二十三度半外，各截至六十六度半为限，名为温带。其下居南者，表景恒射南；居北者，表景恒射北，歳有一日，其景极短，然太阳则不经其天顶矣。此带有二。以上三带，皆太阳每日有出有入者也。又于南北二方，自六十六度半外各底其极，名为冷带。其下或表景周围旋转，有日太阳绕其地恒见；有日太阳绕其地恒隠隠见之▯，或久至半歳，或数月不等。此带亦二。是为大地共分五带之槩也。因此推知，距赤道之南北二方，其气侯必相反。如太阳躔星纪宫，向北之方为冬至，向南之方为夏至，春秋二分以及诸节，莫不皆然。又因此推知，地球为人所止，以天顶而分四方，亦可界为三百六十度，以合天行。东西为经测，以赤道南北为纬测，以子午【规名解见下篇】但测南北者，有二极以为之端。欲测东西，则湏先定一所以为起界【新厯悉以京师为起界，他方虽未亲测，亦据舆图以定其经纬】而后地之经纬皆可得而明焉。苟不谙此，则无以知幅▯相距之数，而诸方太阳节气、五星经度、凌犯、交食、时刻、日食分秒，悉无从推步矣【日食南北东西各不同，月食分数皆同，但东西不同时耳】且不惟是，即古测今测歳实之异，日出日入、昼夜永短之差，咸取准于地之纬度所系大矣。其可忽诸？

天道天体浑沦，穹然莫辨，必也相形酌理，判立界限以为依据，而后推测之功可施。则夫设立诸规，以着象数，为用甚大且急，较为厯家首务也。新法总有四大规：一曰地平，一曰赤道，一曰黄道，一曰子午。四规阙一不可。盖地平规者，从人足所附，极目四望之界而设也。人附地靣所可望见者，天之半耳，其半恒绕于地下，人不可得而见也。即此可见不可见之界，而诸曜由是而出入，明暗昼夜由是而分。因设此规，剖为四象，以应四方，象各限以九十度，是为地平经度，而各曜出入之方位以辨矣。又自地平上至天顶，设距等圈，以为地平纬度，而各曜渐升之度以明，各曜出地离赤道之纬度，并北极出地之数，皆可得而稽之矣。赤道规者，从南北二极相距正中之界而设也。古曰「天行健」，又曰「天左旋」，左旋而行健，则知南北必有其极矣。极也者，天体永久不动之两防，周天倚为环动之枢者也【极非星也，云极星者，盖指其最近极之星以命耳】如一极出地，必一极入地，其出入之度惟均。厯家乃于二极相距最中之界，设有赤道一规，平分天体为南北，南者为外为阳，而北者为内为隂。其亘于天中也，终古不易，推步者毕赖之为准则，无容置议也。本规列度三百有六十，辰十有二，刻九十有六，天体一日一周之运于是焉纪，昼夜刻分之永短于是焉定，黄道出入之广狭于是焉齐，春秋二分之晷景于是焉限，南北纬算于是焉起，大地全圆于是焉度。凡此皆其用也。黄道规者，从太阳旋周一歳之界而设也。盖太阳行天一歳所周轨迹，旋以成规，是名黄道。本规斜络于赤道，其半在南，最南界为冬至，其半在北，最北界为夏至。二道相交之两防为春秋分，以故四平分之为象限，限各九十度者，是即二分二至四正之限也。总计为三百六十度十二。剖之为宫二十四，剖之为节气七十二，剖之为▯，盖用以节七曜列宿之行，用以审日月交食之限，至较着也。子午规者，从诸曜升降度适中之界而设也。太阳一日旋天一周，见于东方，渐升至髙为正午，此地平以上，东半昼分；过午向西，渐底地平，是为西半昼分，乃谓之降。他曜皆然，于此升降度之中界，立有一规，名为子午。诸曜际此，谓为在子在午。是规透过赤道及地平各二极其，偕赤道地平而交为直角也。恒然不动，但人在地面南北迁，此规惟一东西迁，则随在各异也【与地平同】巳上四规，各有本用，所系非小。厯家测▯，欲求七政行度、会望等诸法，舍此无从措手。以此未言象数，先以详明诸规为首务也。一系赤道，有恒动、恒不动二用。恒不动者，以定各方时刻；恒动者，以相交相割于黄道也。俗谓赤道有二者，盖即指此二用，非实有二道也。二系赤道正居天顶，则两极适与地平相当。至若赤道斜交地平之所，则极出地度数，即赤道距天顶度数矣。其经度，即过极圈；纬度，即距等圈也。三系黄道与赤道斜交，故其极自有本极，谓之黄极。黄极者，恒星与太阳本行之枢也。论二道最逺之距【即南至北至之距】今古不同。今测定为天度二十三度三十一分三十秒，上古较多数十分，后此则渐减矣。四系周天诸道，用立多规，以便测验。但其为规也，非止旋周一线而已，盖一满平圆面也。面为各曜之所经行，故谓之道。某曜在某靣上，即谓之在某道云。

厯元所谓厯元者，乃以诸曜之平行同时而求各所厯数，厯家因之用为起算之根也。新法则以天聪戊辰前太阳过天正冬至后第一子正为厯元，其日干则己夘也。斯时太阳躔星纪宫初度五十三分，太隂在六宫初度五十分，他曜皆以此时行度为准，不用冬至时刻，与旧厯异縁冬至有正有平，最难得其真率也。夫厯元为诸算先资，稍有舛忒，即诸行皆谬矣。况诸曜终歳细行，莫不以子正起筭，又安用冬至时刻为哉？

厯算旧以周天判为三百六十五度又四分度之一，所谓日度也。盖以太阳之行，黄道日一度，度析百分，分析百秒，且又均之，分为宫次气▯。法用竒零，势难齐一。且天度者，歳实之日分也。中厯所用歳实，诸家多寡不等，是其分天非一定之术，而为游移之法，欲以是决定诸曜之行，岂不难乎？若夫新法之分周天厯度也，即于天度以三百六十平剖之，度析六十分，分析六十秒。盖六十者，半之则为三十三之一，则二十四之一，则十五余，任剖析皆为自然而然之分。往古厯纪未始繁载，但于测得之数，曰某度几何分之一而巳错综离合，其于厯算甚便也。请言厯算。夫厯之为数，祗就天行，无假淹贯九章，而其所须用者，加减乘除开方五法。古用觚棱，近便珠算，西法第资毫頴，今复有算筹之创，简防尤甚矣。所谓加法者，以类相比，倂多分以成全，如度倂度，分倂分，秒并秒，时刻倂时刻是也。此湏知定位及进位之法，如积六十秒为一分，积六十分为一度，秒进于分之位，分进于度之位，而与他度分秒并之。若加时刻，则以十五分进一刻，四刻进一时，二十四时进一日，二十四西法谓之小时也。此加法也。减与加反，用稽所余。其法先湏较数多寡，多中减寡，理数易明。若于少内减多，必立借法以通其变，如借度化分，借分化秒为本类以用之。乘法者，九九互积之义，有实数，有法数。凡单数乘度分秒不变位，若度乘度复生多度，分乘分以生秒，秒乘秒以生微，则皆变位【分秒相生皆指竒零而言】此不可不知也。除法者，以少剖多，分分除减意也。为法有二，或以单数商除亦不变位，苟分度不尽，即以余度化分除之，分秒亦然。开方者，以化法求其微数，用筹乗除，然后再受为度，或用三率法亦可。是五法者尽厯算矣。然而新厯之算，诸星经纬及交食。等项也。盖有二术：其一，取所图各宿曜本行规之半径，幷其所设某日平行【即本圈上之弧】用诸三角形法推演，乃可得经纬细行，或交食之分数时刻。此术最为缜密，果能精心于此，即诸天周行轨迹隠微，防不洞然。其二，以先所推定诸表握筭，设如某日某刻欲求太阳经度，则第用加减二法检表二三次以求，即可得其宫度。较之中厯节气求经朔之法，简便数倍。余如五星、太阴等曜，以及交食，皆各有表可稽。火星兼用乘除，他则但资加减。立法虽难，致用则易。然而一趋超径，万一操觚小失，恐幷迷昧元初之理。所以二术不可偏废，皆为推步家之所朝夕从事者也。

勾股勾股之术，从来尚矣。古《九章》《周髀》载之，究不过一三边直角形而巳垂线为股，横线为勾，斜线为▯。测量家立表代股，平圭代勾，而景为其▯。善斯术者，髙深广逺无不可求。而测天之为用尤大。然而旧法虽有三元五和、五较等用，不过设二求三，且泥于直角一形。若遇斜角、▯角，无以措用矣。新法变而通之，既名其公曰三角形，又审其平靣、球面、曲线、杂线、鋭角、钝角之别。即知天为圜体，宜测以弧；宿曜逺近诸道互交，宜测以多类之弧。遂生多类之三弧形。于是各形咸备，有三弧三角互设，三以求余三。是谓以圆齐圆，于法为善。故虽天道隠微，象数零杂，未有能遁焉者也。

割圆割圜古法，亦即以圜求圜之意。但古法设弧以求▯矢，欵目四十余项，颇为艰繁。新法易之以表，开卷即得。盖因圜形之弧与角，总代以直线数种，稽其数名，为八线表云。夫圜形半径为本，规六平分之通▯，若二半径各自乘之并而开方可得。本规四平分之通▯，用几何诸法，又可得各度分之通▯。其各弧及其通▯折半，乃得正▯正弧。有▯弧即有其矢矣，故矢不另立表也。通▯之外，有切线、割线。通▯全在规内，切线全在规外。线从规心出于规周之外，则为割线。然而弧有正有余，▯矢切割四者，因亦各有正余。如一象限为本表之限，或于限内取几何度，谓为正弧。其或逾九十度者，即谓之余矣。正余各有▯矢、割切四线，都为八线也。

恒星恒星亦名，列星亦名，经星。云恒者，谓其象终古不易也。云经者，以别于五纬南北行之义。其数甚伙，莫能穷尽。就中有光体▯微，非目可及，非仪可测者，畧而不录。其在等第之内，已经新法测定者，南北二极共一千七百二十有五。星稽其大小，分为六等。第一等，大星如五帝座、织女类者，一十有七。二等如帝星、开阳类者，五十有七。三等如太子、少衞类者，八十有五四等如上将、柱使类者，三百八十有九。五等如上相、虎贲类者，三百二十有三。六等如天皇、大帝后宫类者，二百九十有五。此皆有名之星，计共一千一百六十有六。余皆无名者矣。至于天汉斜络天体，古昔多谬解。迩来窥以逺镜，知是无算小星接攅一带。即如积尸气等，亦小星攅聚以成。第非人目所能辨，遂作如是观耳。小者不足论，论其大者。古厯以周天诸星分为三垣、二十八宿，各定有名位座次。每座每宿星数多寡不齐。顾其所谓宿者，盖取七曜经行止宿之义，且用以便测算经度。又为其各能主施徳也。西古厯亦列二十八舍，所定二十八距星，皆与中古脗合。第觜距西用天闗为小异耳。此二十八宿者，各以一字命名，分注每日之下。内以房、虚、星、▯四宿为属太阳之日，心、危、毕、张为属太阴之日。此外五纬各属四宿，每以七日为期，每日各属一宿。西厯亦然。西经传，上古有一大师，名诺厄者，广宣厯理，以遍万国，则亦有所本也。一系星之命名，多系借义，非可过泥。虚名便谓实有其验，比如贯索一星中，以其象囹圄，名以贯索；西以其象冠冕，名以冠冕。一吉一防，全由人意，岂天星实然乎？至谓诸星情性不同，旉施互异，是又理所必然，不得槩置弗论也。故总图于某星属某纬者，咸附注之。二系图星之法有二：一浑球有南北二极，有地平、子午诸规界，判黄赤二道，运之能肖天体旋转，以审各星经纬度分，以辨星中出没，以测夜时，甚便也。一面平图，虽乏以上诸用，然诸星位置宫度，了若视掌，为用亦大。因有多种之分：曰见界图，以北极为心，其最南隠于地中星极，非此方人目可见者，则截出之。一曰赤道图、黄道图，二者各以其极为心，其道为界，盖皆以天之南北平剖为二图者也。曰分星图，依黄道分天为二十图，均赋经纬，署以维辰，按图指陈天象，莫晰于此。外有浑盖所用天盘，以极为心，截冬至规为界，亦图星于仪上，肖天运动，以觇诸星出没升降。又有平仪，从二极剖天为南六宫、北六宫二靣，亦绘辰宿，可代浑仪旋转。至若古传星经图、步天歌等，虽亦分有宿座，便于观览，而经纬度分悉皆茫然，挂漏于测候，无用也。

星中出没太阳右旋，一日一度，终歳行天一周，必复与某恒星合，又必有某星与之冲。厯家无从测其合者，测得其冲者，谓为歳差所从来矣。然由本方极出地度，恒星有出没者，亦有不出不没者。如京师北极出地四十度，则星距极四十度以外皆为恒见，而距南极四十度以内者，在京皆不能见矣。至论恒星见伏，亦由太阳右旋至某宿度，附近之星光为日夺，故不能见。迨太阳去离渐逺，则此星光渐升东方，见而不伏矣。缘是而升至午防，即曰中星。此其星中出没，在立象学为用甚钜，而厯家但于中夜资之以定时刻而已。

日轨太阳之行黄道也，论其积歳平分之数，新法以天度计为五十九分八秒有竒，所谓平行度分是也。然平行齐而实行则固非齐矣，冬盈而夏缩矣。所以然者，盖縁黄道圈与日轮天不同心，而黄道之心即地球心，是日轮天与地球不同心也。心既不同，则日行距地近逺不等，距近即行疾，疾则所行之度过于平行而为盈，每冬月一日计行一度一分有竒，以较平行盈二分矣。距逺即行迟，迟则所行之度不及平行而为缩，每夏月一日计行五十七分有竒，以较平行则缩二分矣。盈缩相差若此，岂可谓之齐乎？终歳之间，但逢最髙限、最卑限二日，平实二行度数惟一，此外两行之较，日日不等。新法因其或过或不及也，故有加分减分，谓之加减差。盖以有恒率之平行为根，而以加减差定之，然后差而不差，非齐而齐矣。至论太阳之入某宫次以分节气也，亦有平实二算。盖算平行十五日二十一刻有竒为一节气，乃一歳二十四平分之一耳。若用躔度之日以算，则冬夏不齐，冬一节气为十四日八十四刻有竒，夏一节气为十五日七十二刻有竒，总由夏迟冬疾故其差如此，皆非旧厯之所解也。系太阳天距地极逺之防，谓之最髙极；近之防，谓之最髙冲【亦名最卑】此二防者，乃盈缩二行之界。古法于冬夏二至，谓其恒在一防，其实非也。按古今诸测，皆各不齐。古测最髙在夏至前数度，今则在后六度矣。以此推知，一年之内太阳自行四十五秒也。

年月纪年者，何？太阳随列宿东行旋天一周之期也。太阳之行界二：其一，从某宫次度分行天一周而复于元度，其数为三百六十五日二十四刻二十一分有竒；其一为太阳防于列宿，天之某星行天一周而复与元星会，但其星每嵗有本行，故湏加本行以定歳，而其所湏加者，新法定为五十一秒，所谓歳差也。然而日厯纪年，惟以全日推算，不用小余。如以太阳十二次会合太阴为歳，也为三百五十四日，每二年、三年而闰一月，中厯是已。如以太阳周十二宫次为歳，也为三百六十五日，每四年而闰一日，西厯是已。此纪年之槩也。纪月有二：或因太阴会朔一次以定，谓太阴之月；或因太阳行一宫次以定，谓太阳之月。顾其十二分年之一分则一也。一月之终分有大尽、小尽者，比如初朔子正，苟二朔者过二十九日外而不及第三十日之子正，则谓之小；过子正则谓之大。大则二朔同一天干，小则不同矣，故有三十日弱时刻不及者，厯家不得名大；或二十九日强而时刻巳逾者，厯家仍不得名小也。且宇内地度不同，而月之大小因以互异。比如京师第二朔在子初二刻未到子正，其月为小；而西安此朔则己在子正初刻，又当为大尽矣。地度愈逺，时刻愈差，非可强而同之也。月有闰者，太阳躔一宫之时与月会合二次以成者也。其月因无中气，故谓之闰。但古法置闰用平节气，而新法用太阳所躔天度节气，故闰有合有否，或先后一月不等也。

昼夜晨昏太阳随宗动天西行一周而复于元界，谓之一日。东升西降，循环无端。其在厯家起算判定一界以为依据，则恒以太阳在子在午为凖也。论从子午起算之日，每歳实行度分，日日不等差，较一刻有余。盖縁黄道夏迟冬疾，差余四分，而黄赤二道又广狭异距，则率度必不同分，此其所当审者也。今论昼夜，太阳在地平上，人目可得而覩，谓之昼。太阳渐隐地平之下，人目无见，则谓之夜。是昼夜者，全由人居以分，随方【极出地若干】随时【太阳躔某宫】其昼夜刻分皆可依法推算焉。然而法算与目见恒异，盖太阳体大，算法皆以体心出地为昼始，而人目以一见日轮即为昼始。又日出没升降度有斜正不同，又地平各曜出没之界受清▯气有变，凡此皆非人目能辨，故厯家立有视差法也。一昼一夜平分为十二时，时各八刻，一日十二时共刻九十有六，此恒率也。其昼夜永短逓迁之故，则不但日行南陆北陆不同而已，亦由北极出地髙卑互异而永短因焉。比如赤道正过天顶之地，两极合于地平，其昼夜均停，絶无永短。又极在天顶，赤道与地平平行，其下昼夜亦无长短之较，但太阳百八十日恒见，百八十日恒隠耳。此外诸方各有永短，顾其一歳之中昼夜均停者四日，握算者引而伸之，据四日之一日逐渐加减，因得九十日之昼夜长短，随可以推终歳之数也。再论晨昏，是分昼分夜之二界也。太阳将出未出数刻之前，其光东发，星光渐为所夺，是名为晨。太阳已入，回光返照，亦经数刻始逌然灭尽，是名为昏。其久暂分数亦因冬夏而分短长。新法以日在地平下十八度内为晨昏之限，但太阳行此十八度，又各方各宫不等，因有五刻、七刻、十刻之别。若论极髙七十二度以上之处，则夏月晨昏相切，虽至丙夜无甚黯黑也。

太阴太阴之行参错不一，推歩筹算为力倍艰，苟或分秒乖违，交食岂能密合？故必细审其行度所以然而后可立法致用也。盖月较诸曜，本旋之外行复多种，第一曰平行，一日十三度有竒，但此行之界凡四，一界是从某宫次度分起算，此界定而不动；二界为本天之最髙，此非定界，每日自顺天右行七分有竒，是月距本天最髙一日为十三度三分有竒也。故其平行二十七日三十刻有竒为一周，已复于宫次元度，又必再行二十三刻有竒，为二十七日五十三刻始能及于本天之最髙，此行新法谓之月自行。中厯于此周谓之转周，满一周谓之转终，其最髙则行八年有竒而周天，谓之月孛。三界为黄白二道相交之所，所谓正交、中交，此界亦自有行，乃逆行也【自东而西】每日三分有竒，则月平行距正交一日为十三度十三分有竒，至二十七日二十七刻减交行之一度二十三分，得二十七日十五刻有竒，月乃回于元界，厯谓之交终。四界是与太阳去离，太阳一日约行一度，则太阴距太阳为十二度十分有竒，至二十九日五十三刻有竒逐及太阳，复与之会，厯谓朔防是也。凡上四行总归第一平行，其第二行曰小轮，每一朔内行满轮周二次，每日为二十四度有竒【若以不同心圈论，此即太阴中距圈也】因有此行复生第二损益加减分云。第二者盖于朔朢所用加减分外再加再减故也，此行中厯所无。以上太阴诸行，新法定其轨辙不外三者，均圈一，不同心圈一，小轮一。然不同心圈与小轮名异而理实同，厯家资以推算，两用互推所得之数正等也。一系月道惟一。古谓月行九道者，乃白道正交行及四正阴阳二厯各异命之，因有八名，加以公名，共有九耳，非真有九道也。白道两交黄道，论最逺之距，谓为五度，此系二厯未甚大差之数。新法测得凡朔望外相距皆过五度，上下二▯则为五度一十七分三十秒。推知二道相交之角非定而不动者，要其广狭之行，恒以十五日为限也。二系合朔后，月夕西见，迟疾不一，甚有差至三日者。其故有三：一因月视行度，视行为疾，叚则疾见，迟叚则迟见；一因黄道升降，或斜或正，正必疾见，斜必迟见；一因白道在纬南、纬北，凡在阴厯疾见，阳厯迟见也。此外，又有极出地之不同，朦胧分与炁差诸异，所以迟疾难齐也。

交食凡日月之行，二十九日有竒而东西同度，谓之会。朔至若日行在黄道近交，人视为与日同经同纬，是人目与月日相参直，而月魄正隔日光于人目，则为日食。日食者，非日失其光，光为月掩耳。凡太阴距太阳百八十度而正与之冲，谓之朢。若当冲时，月行近于两交，必入地景而为闇虚，此乃月日同在一线而地居其中间，日光为地所阻，不能射照月体，则月失其光而为月食。此日月二食者，躔度有恒，持筹推步，分秒确然，而厯家各法之踈密于此更难掩也。试言其畧：黄白二道相交之二所，名正交、中交。凡日月行及二交为同度，同度则有食矣。然而论交，又湏论限，及交而在限内则食，限外则不食，此不可不审也。顾限度诸方不一，盖太阳于诸方之地平髙度不同，而阴阳二厯之各限亦异。论暖带下之地，二厯互相受变，如白道向南极半周，有时在天顶及黄道之中，势必反谓为阴厯；白道向北半周，是时在黄道外，势必反谓为阳厯。故其下日食之限，莫得而定之也。他域更近于北，必阴厯限多，阳厯限少；更近于南，必阳厯限多，阴厯限少。比如京师近北约算，阳厯八度，阴厯二十一度，则知日月相会，凡在阳厯近二交八度，在阴厯近二交二十一度，其下必见日食；而过此限以往则否。即北可以推南，莫不以逺近分多寡矣。然而二厯食限之度有异者，其故盖在月轮。月轮比日最近于地，而月又小于地，人目见月之所又在地靣，不在地心，故以月天论，地平虽天与地球皆为平分直过其心，而人在地靣髙，所以视天地之两界，则似地球与月天非平分也，少半在上，多半在下，而差约一度。故以本法推算，月己出正地平，其于人目所视之地平尚少一度，此其较谓之视差。盖惟月在天顶，正地平与视地平之极，皆以一直线合于天顶，无有视差过此，左右不免有差。愈逺天顶，愈近地平，差必愈甚。夫视差无他，恒降下月体数十分耳。设令日月同度，同在近交之南，又因同度，并在正地平上，髙二十度，则太阳于视地平为十九度五十八分，祗降二分；太阴于视地平为十九度，直降一度矣。而日月二差之较为五十八分，故以算论，虽二曜同髙同度，而人目视之，太阴恒下于太阳一度弱，不掩日光则不食。若二曜在地平上髙七十度，则太阳无视差，太阴视差止二十分，其降于太阳亦止二十分，势必相切，或至掩数分而成食。若二曜在交北，又当以太阴算在太阳之上，庶因视差所降而掩阳光以为食也。顾此二地平之差，又分二类：一加减交食分数，谓之气差；一加减时刻，谓之时差。厯算之艰且剧，莫过于此，所最当究心者也。系日食之全与不全，其故有二：一由天上之行，一由食时地平上髙弧之度。故均一食也，有见全食者，有见食多寡不等者，有全不见食者。就南北论，见食地界，设如北京见全食，其南北各距四十五度之地为万一千有余里，皆见有食，然而多寡不等。就东西论，各距六十度为万五千有余里，各见食而分数多寡亦不等焉。即月食时刻，南北亦有不同，而东西为甚也。

三余三余旧加紫气，名为四余，亦谓之四隠曜。然详求天行，实无紫气，且絶无当于推步之术，故西法弃而不录，第取三余，一罗防，一计都，一月孛。罗防即白道之正交，计都即中交也。月道自南遡北，以交于黄道之一防，此防有本行，每日左旋三分有竒，而罗防正对之防，即为计都。盖两规斜络，其两交之二防，必正相对也。月孛是月所行圈极髙极逺之防，谓月离于是，其行极迟，其体见极小。盖孛云者，指其交转两行相悖之义，故其平行右旋，每日七分有竒。是三防者，土木火诸星本圈亦有之，名义皆同，苐其各行不同耳。古厯悉所未谙，悉置不推不录。新法用算五星之纬，故于本厯各详其名数云。独惜日者之流，以罗、计、月孛等名，皆指为星，谓其所躔宿度各有吉凶，用以推人禄命。不知周天诸道诸防，皆人所设，以便揆算其行度耳，并非实物，何与吉凶？至紫气一曜，或谓生于闰余，或谓土木相会，或谓古人以是纪直年宿，故二十八年而一周天，都无义理可考。故《月离厯指》详论其必无是曜也。

五纬异行土木火金水五曜，名为纬星者，谓其日有近南近北之行，与恒星异也。夫五纬之行，各有二种，其一为本行，如填星约三十年行天一周，日二分；歳星约十二年一周天，日五分；荧惑将满二年一周天，日三十五分；太白、辰星皆随太阳，每年旋天一周，各有盈缩，各有加减分，各有本天之最髙与最冲，即其最髙，又各有本行。论其行界，亦分四种，非若囘囘厯总一最髙也。其二在于本行之外，西法称为歳行，盖各星会太阳一次成一周，也因此歳行之规【亦名小轮】推知各星顺逆留疾诸情，故依新法图，五纬各有一不同心圈，一均圈，一小轮。凡星在小轮极逺之所，必合太阳，其行顺而疾，其体见小；凡在小轮极近之所，其行逆而疾，其体见大。土木火行逆则冲太阳，金水行逆夕伏而合，行顺晨伏而合。其各顺行转逆、逆行转顺之两中界为留，留非不行，乃际于极迟行之所也。留叚前后，或顺或逆，皆有迟行。其土木火行逆即冲太阳，而金水则否者，縁土木火之本天大，皆以太阳为心，而包地，得与太阳冲；而金水之本天虽亦以太阳为心，而不包地，不能冲太阳也。金水不能冲太阳而能与之离，金离太阳四十八度，水离二十四度。

五纬纬行太阳之行，因黄道斜交于赤道，故其距赤道之纬，南纬北也，各二十三度有半，以成二至。是黄道者，太阳之轨迹也。太阴本道，又斜交于黄道，最逺之距为五度，以生阴阳二厯。五星之道，虽相距纬度各异，而其斜络黄道，则与月道同理，故皆借月道诸名名之。其两交之所，亦谓正交、中交。其在南在北两半周，亦谓阴阳二厯。审是，而五星纬行庶可详求矣。盖各本道外之歳行小轮，恒与黄道为平行，而又斜交于本道。其上半恒在黄、本二道中，凡星躔于此，则减本道之纬；其下半恒在本道外，星躔于此，则加其纬。然此小轮之纬向则恒不变。如土星三十年行天一周，其在正中二交之下，必无纬度分；十五年恒北，十五年恒南耳。凡冲太阳，因在小轮下半，即加本道纬度；凡会太阳，因在小轮上半，即减纬度。他星亦犹是也。其或行近于地，小轮加纬益多。太白至夕伏合之际，因其近地，其纬几及八度矣。中厯不谙纬行之原，一见金星在纬南北七八九度，即詑谓本星失行，岂非诬乎？又中厯亦有五星南北纬行图，亦界以黄道、本道，似矣。但其逆行之迹，恒作一斜方形，此甚非也。五纬不行直线，安得方形？以此新法图分二种：一设人在地仰观天上进退诸行，故于上三星冲太阳，下二星夕伏时，第作一仅似之圆形。凡冲太阳如在本道交上，则不作圆形，即彷佛一之字形而已。一各星近逺于地之图，要皆旧厯所未谙也。

五星伏见五星之光与日相较，譬犹萤火之于庭燎，光本非灭，第为大光所夺，人莫能睹耳。旧厯亦晓此理，故用黄道距度以定诸星伏见。如谓太阳在降娄初度，歳星在十五度，即以为见限，似矣。然而诸星各有纬南纬北之分，黄道有正斜升降之势，各宫不同，何得泥距度以定限乎？新法定限，惟以地平为主，縁地平障蔽日光，能使星或伏或见耳。夫日之下于地平，其光渐杀，所谓晨昏，此晨昏光之久暂，四时不等，即防漠等矣。而星见时刻又自不等，所以然者，太阳由黄道而下地平，或十度，或十五度，或至三十度有竒，原自不等。而星在黄道南，相距必多数度；在北相距必少数度，其限岂可泥乎？大畧土木火三星，较太阳行迟行后，太阳夕伏晨见；金水二星顺天东旋，较太阳行疾行先，太阳晨伏夕见，逆行反是。其与太阳遇也，亦夕伏晨见。太阴行较太阳更疾，晨伏夕见。至于金星之纬不及八度，则凡逆行合太阳于寿星、大火二宫，而其纬又在北七度以上，虽与日合，其光不伏，一日晨夕皆可见之。水星之纬惟四度余，若其纬向南，合太阳于寿星，此后去离夕必不见；合太阳于降娄，此后去离晨必不见。金合而不伏，水离而不见，此二故者，浑仪解之。他如恒星，亦有夕伏晨见者，一因黄道之经纬度，一因其小大等第，即为见伏之限，故亦可推也。

测太阳诸曜森罗，太阳其宗主也。或推或测，必首太阳。顾其应测之行，不外三种：一曰盈缩之限，一曰盈缩细行，一曰盈初缩末之所中。厯之测太阳，未尝及此三行，即所测止冬夏二至，犹未尽善也。其法立八尺表，用星符器，于冬至前后三四日测定三景，因以三景之较数，求太阳到冬至时刻。其法未尝不是，所以为未尽善者，盖表景短长乃太阳行南行北所生。论其近二至之候，南北之行极微，计一日所行天度有分半者，有一分者，有半分者，乃于冬至近期建表寻丈，而其所得二景差为一分二厘【量度则云分秒，量景则云丈尺分厘】厘为八刻，而此一二厘间相差甚微，彼景符曷能定之？况景符光线恒占数厘，或更稍为进退，其失弥甚，是恒差数十刻也。若测夏至则倍难矣。今新法用八线表法，查古所遗之数，以用于推步，庻称密近耳。然又不但用表，亦时用别法以相济也。比如春秋二分，太阳之南北行较大，日行天度二十四分，乃于其前后数日，先测极出地度，得赤道髙次，用象限仪测日轨髙，不免相差一分，而其于本算日轨入交防时刻则约差四刻耳。较之以寻丈表测冬至差厘数而乖违数十刻者，岂不大相逺哉？且新法于太阳实躔宫度分秒逐日可测，而旧法于二至外推步遂穷，何也？又新法本测曰：太阳从春分底立夏行黄道四十五度，厯四十六日十刻十分；又从立秋底秋分亦四十五度，而所厯则四十六日三十八刻十分。是逐日刻数不等，所谓春行盈，秋行缩也。故定此盈缩初末之界，非在二至防也，乃在二至之后六度【古今不同】若如旧法谓恒在二至，则是前后行度等也，何为所厯之期日刻数不等乎？此率古称盈末缩初，新法称为最髙，因有此最髙，遂晰太阳之行为一不同心规也。其行迟者在最髙，行疾者在最髙之冲，此最髙本行，亦犹太阴之有月孛云。

测恒星测星之法，不一。大要以太阳为主，而以太阴或太白或歳星为中次，任取某星为界，互相测度，即得其度。法于太阳将入之时，测月或太白或歳星，其距太阳度分若干。日既没，再测月或太白或歳星，其与某星相距度分若干。合两测，即得太阳与此星之距。然后查太阳本日躔某宫度，则知此星所在宫度矣。测一星之经度如此，他星可以类推。于是又测此星出地平之最髙，即其距极、距赤道之纬度，并可得也。然而恒星之经纬度分有二：其一以黄极为枢，每歳东行五十一秒有竒，而其距本极之纬度则亘古无变；其一则因赤道以算其经纬，南北星位古今大异。如尧时外屛星全座在赤道南，今则在北；角宿古在北者，今亦在南。星纬变易，类多如此。至以赤道论，各宿距度亦有异者，如觜宿距星，上古为三度，厯代逓减，今且侵入参宿二十四分。他宿互有损益，距度各各不同。因知赤极非恒星之极，而其经纬之度亦非赤道之经纬度分也。由是观之，象数精微，弥测弥明。彼自画者流，輙谓循古已足，岂其然哉？

测太阴太阴行度，所当测定者五：一迟疾之限，一迟疾初末，一月孛行，一每日细行，一交行。五测有一不详，月离之违合难齐矣。又月有气差、时差【即地半径所生】所测之经纬度分于正度分，复有相较，以此测月于七政中为最难。旧厯用表，于午正测定三景以求之，越四载而得一次，测验之时九载而复推定，疑太拙矣。新法用三会食推算，其法以食甚正对太阳，得月经度，以食甚分秒得距交若干，以各食中积时日刻数不等，并得天上所行不等度分。于是用本法以求月天之孛，或最髙【即极迟之行】亦遂得平视二行相较之度，以简御繁，法莫善于此矣。其测上下二▯经度，亦有本法，盖▯乃太阴实距太阳，或东或西九十度，即周天四分之一也。先以本仪测定某限，次用法算其平行，因其加分恒与所测差二度余，赖有二三均数测算，乃合。又▯时去离南北所测与算，亦较天度差四分之一，缘白道斜交黄道，相距度分各广狭不同故也。至太阴之掩恒星，测其出入，亦可以知月离度分，但湏先以地半径差均之。

测五纬上三星为土、木、火，与太阳相冲会。然于冲会之二时，各无歳行加减分，縁其会太阳即在歳行圈之最髙，而冲之即在其最卑，于实行为合故也。湏知实行与平行不同，平行百千万年维均，各星本天各有迟疾【即最髙最卑】然而星合太阳无从可测，毎于其冲测之【测其对太阳用恒星各经度或太阳躔度推算】得此冲经度，即有中积天度日数，及本星随日数之平行，而后用此三率以求各星本天最髙之所，于是又得其盈缩大差，因幷得冲时各星以平行距冬至之界若干矣。下二星为金、水，以其不能冲太阳也，测之较难。法先于或晨或昏，求其与太阳距度者数次，然后依法测算，即可得其本天诸情也。凡歳行之测，以二留为本，二留之限各星不同，即所躔天度亦不同。然而星在二留，非冲太阳，乃折中之度，故本之以测歳行也。下三星亦然，又二留之际，因无歳圈纬度，故可得其本天之纬，其或在日之冲，距纬极逺，又可得歳圈之本纬矣。五星之天皆斜交黄道，与白道同，但其相距之纬各多寡不等。又白道交行右旋，而五星左旋，此其异也。

测器夫测器之在厯家，犹之工师之凖绳规矩，不可湏臾离也。盖宿曜运行，樊然不齐，苟欲齐之，非器不可矣。然而简便是求，制作未能尽善，虽欲齐，乌得齐？古厯所纪原有数种，而今灵台所存止有圭表、景符、简仪、浑象等器耳。新法所增置曰：象限仪、百游仪、地平仪、弩仪、天环、天球、纪限仪、浑盖简平仪、黄赤全仪、日星等晷诸器，或用推诸曜，或用审经纬，或用测极，或用求时。是诸仪者，皆为厯学名家酌量增修，精加研审，多厯年所，始趋巧便。此外尚有多种，以其不堪大用，置弗录。而其最竒巧者，则近时所制逺镜，尤为窥天要具。用之能详日食分秒，能见太白有上下▯，能见歳星旁四小星，又填星为撱形，旁附有两小星，昴宿星三十余，鬼宿中之积尸气，以至光体微渺之星，用此奚啻多数十倍？抑且界限分明，光耀璀璨。噫！造器至此，异甚矣。

时晷凡日月交食，会合五星，凌厯犯守，其时刻所由取凖者，赖有时晷也。然而大地之广，时非合一古法，不分方土，第用时牌揆景以定者，非也。新法制晷，但湏预定本方北极出地之度，随在随处，虽垣墙正侧，皆可制造，能于一晷之靣视太阳所躔节气宫次度分，及定日之髙度，并黄道各时出没。其称最者，则地平晷、立晷、百游晷、通光晷数种。他若柱晷、瓦晷、碗晷、十字晷等，不下数十余种。而此外又有星晷与测月之器，以为夜中测时之需云。若遇阴雨，则又有自鸣钟、沙水等漏之制。水漏与古壶漏异，古或以水入壶而时箭浮，新制以水出壶而时牌转，壶体并不开孔，似为胜之。

新法算书卷九十七<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>钦定四库全书新法算书卷九十八。明徐光启等撰。厯法西传。

引说凡学非能骤成，莫不始于格物，以致其知，而后从而推广，从而精详焉。以故古人因目所见，心悟顿啓，纪而騐之，接续成书，以诏来世，乃成一学。卽厯学亦然矣。其初所悟者，防不岀日月交食及冬夏四正、五纬凌犯等触目易见者数事，因而再求之，然后乃知月有本道焉，交食有期有率焉。又因而推广之，精详之，以及他数他理，而厯学始为大全。此如原泉一脉，涓涓流而为壑，浸假而百川彚集，由湖由江以入于海，浩浩乎无涯际矣。后有好学者，留思古人之学，叅以己见，曽无防许，而附以传世，是为坐收其成，岂可擅称超悟，屈抑前功哉？余着厯书百卷，大要取之古人，而又括以厯引。今复为此编，先明西厯古书大指，而次则遂及余书。盖一则着新法，非一人之法，非近创之法，良由博古深思，叅互考订，以得一真，无容妄议；一则令后之人便于循习，晓畅数百年后测审差数，推徃知来，善于变通也。或疑中西异法，如格碍何？余谓天行无隐，君命非私，厯至今日，中人亦西学矣。且即就中厯而论，其根亦本于西，如列宿距星皆同，又列宿有属太阳者四，属太阴者四，亦同。是知根本既同，而清其枝干，通其脉络，有成书在，展卷研求，无不可见，岂足相难哉？学者勉之可也。

西古厯法西庠之学，其大者有五科：一、道科，二、治科，三、理科，四、医科，五、文科。而理科中旁出一支，为度数之学。此一支又分为七家：曰数学家，曰防何家，曰视学家，曰音律家，曰轻重家，曰厯学家，曰地理家。七家俱统于度数，要皆师传曹习，确有根据者也。若多禄某，即西洋厯学名师，在郭守敬前一千百有余年，汉顺帝永建时人，著书一部，计十有三卷。

第一卷详证厯学大指，如诸星运行，天体浑圆，地与海共为一球，地居天与空气之正中，地较天大不过一防等项。次着角理，不但以句股测直线之长短，且用曲线三角形量天，是为以圆齐圆，所得诸星相距度分最凖。又求二至相距几何度分，在赤道内外防何度分，并二曜相离最远为防何度分，设黄道纬度，求赤道相应经度，设黄道经度，求赤道相应纬度。

第二卷论宗动天设，黄道在地平上之防，求其距赤道之地平弧，设日之高，求正侧各景之长短，又求黄道各防之半昼▯，解正仪昼夜等，众星常见之故，偏仪二至规下岁一次，无景，距赤道愈远，昼夜愈不等，而两极下毎岁为一昼夜。

第三卷考太阳行，求二分时刻，辩二至气至时难求，时刻求岁实与毎日太阳平行，乃作平行立成表。又推论日行，用同心规及小轮，或同心及不同心合一之理，推地心与日规相距防何远，随求太阳最远防【亦名最髙】定太阳厯元及太阳行度毎日不等之数。

第四卷论太阴行证，求太阴真行度，即月食可考。月有迟疾，平三行乃求月平行，并月每日纬度，即以齐月诸行。或用同心圏及小轮，或不用同心圏，二法同理。设三月食，求同心规及小轮两半径，以定月诸行厯元。又求月行正交、中交之时，推二交逆行之数。

第五卷解月自行以求月经纬度，必用小轮推月加减立成表，求月之更大纬度与月之地半径差度，复求日月二轮与地球半径之比例，及日月与地景之似径【地景其形如角，所求之径乃月所过截地景之处】又求月半径及景半径与地半径之比例，求日真径，求日远于地，求景之长大【以上三求皆以地半径为度】求日月地之比例【原书称三大▯日月与地】设日月之远，求地半径差，推视差立成表，比日月两视差分，月视差有三种。

第六卷解日月合防，求日月平朔、平望，并定朔、定望时及其宫度分，求地景及月半径，定日月食限。论日月半年中能再食，月食后五阅月中能再食，七阅月中不再食。日于五阅月中各地能两食，七阅月中一地能两食，日于三十日中一地不能再食。更求月正纬度，设月真所在，求视所在，求月正会前后四刻之视行及日月似防【卽日食】▯求日食初亏、食甚、复圆三时，定日食分秒。

第七卷论诸恒星远近，终古如一，证其昼夜行外，别有他行。论其顺天经行，以黄道极为本极，定岁差度。设三星相距，以二星经纬度求第三星经纬度，详测星法。

第八卷论天汉起没，详天汉中大星所在，及众星拱向，并其出入，设黄道经纬度，求赤道纬度等。

第九卷求五星每年及每日平行，解五星大小轮理，求水星之本行，求水星最高，求水星大小圏半径比例，又求水星小轮上平行，以求水星各行厯元。

第十卷解金水二星之行，求金星最高及不同心轮与小轮半径比例，设时定金星诸行厯元，求土木火三星之小轮及小轮之本行【亦名岁行】设火星三处求其最高，测从地心至不同心圏其远防何，求火星小轮之半径，推火星平行，定火星诸行之厯元。

第十一卷解土木二星之理，即求地心与木星本心之差，及木星本轮与小轮之半径，并其平行，定木星之厯元。后设土星三次舍，以求其最高，求土星小轮之半径，而定其厯元。设五星之平行，求其实经度。

第十二卷解五政行度，有退、留、疾等之故，即求其留界及逆行之半弧，更求金星左右距日之极大弧度，并水星与日最远度。

第十三卷论齐五星纬度之法，求火、木、土三星各本圏及黄道交角，并定其纬度。论五星伏见，先求火、木、土三星伏见相距之时次，求金、水二星伏见及其相距之时。以上十三卷属多禄某所着，除右引各目外，尚有三百余欵，可为厯算之纲维，推歩之宗祖也。但其辞句太古，浅学罕能习之，故诸名家更互演译，各有论著，今不及叙。后又有亚而封所，乃极西宝祐时人，身居王位，自谙厯学，捐数万金钱，访求四方知厯之人，务依先师所着，创立成表，以佐推算诸曜之法，其功不在多禄某下，缘属祖述成书，故今亦不及叙。又其后四百年，有歌白尼騐多禄某法，虽全备，微欠晓明，乃别作新图，著书六卷，今为序次之如左，第一卷。

天动以圆解第二卷天并七曜图解，众星各及其次舍解。

第三卷论岁差，而证其行较古有异。论岁实，求太阳最远防，及随年日时太阳躔度。

第四卷取古今月食各三度，求月小轮之径，求大轮、小轮之比例，并月经纬度，推日月交食。

第五卷求五星平行，用古今各三测经度，求大小两轮之比例等终，求其正经宫度分。