【卷九十一】

【卷九十一】

此外别形尚多各钦定四库全书新法算书卷九十二。明徐光启等撰。测量全义卷六。

论体厯家所重，全在测量。所当测者，略有三事：一曰线测，其长短；二曰面测，其长短、广狭；三曰体测，其长短、广狭、厚薄。所以测体者，何也？即如交食一法，日与月各有不同心本天，各有最髙度、最髙冲度，其去人逺近也，恒不等，其自相去之逺近，恒不等，人目所见二曜之体大小，恒不等。若此者，必于地体推之，故有日与月与地三大之比例【别有本书】不用此比例，何繇知交食之歳月日时？地影【即闇虚】比于月体小大之数几何乎？不因地月之比例，何从推日轮之视体几何大？去人几何逺乎？则何繇知日食旣之有无、金环乎？何繇知月食过分之闇虚几何大乎？何繇定食限之几何时刻乎？不知地球之大，何繇定东西相去几何里？即交食前后相去几何时刻？南北相去几何里？即日食应有应无有则几何分秒乎？则安得不讲于量体之法乎？然则测线、测面者，何也？曰：体者，诸面之积也。未能测面，安能测体？面者，又诸线之积也。未能测线，安能测面？又测候七政行度，皆以句股、弧▯诸法，诸法则皆线也。诸线之积为面，不知面理，则亦不能晰线之体势。故三测为并重也。虽然，测天皆曲线、曲面也，直线与平面何为乎？曰：曲线法从直线出也，曲面法从平面出也，犹圆体法从方体出也。故繇线而面而体，繇直线而曲线、平面而曲面、方体而圆体。譬之跬步，前步未行，后步不可得进也。是测量之全义也。体者，面之积。或实，如金、木、土、石等；或空，如盘、池、陶、穹等。俱同理，同法。其界为面，面居体之周【面截面生棱如线，遇线生角也。又棱为两面之共界】一面之体，如球，如卵。

二面之体，如半球，半卵，圆角，圆堆。

三面之体如剖球卵之一分四面之体，如三面角体，而四面等。即三面角体，第因各面俱等，故属四面。

五面之体如四面角体【因角体之面无定数故左方不列其名】六面之体如立方、正立方、斜立方。

八面之体八面俱等十二面之体十二面俱等二十面之体，二十面俱等【自四、六、八、十二、二十面之外，不能为等面，胥无法之体也】公量如斗、如升，皆足为体之量。总之以立方为本，如用尺寸分为度，而一尺之体，其长、其广、其袤各一尺，八俱直棱，八俱直角。乘法一千实寸为一实尺，一千实分为一实寸，则以立方之体再自之耳。此为物数均齐，推算简易者也。几何原本》一十一卷详解，其理今略引一二如左：有法之体二，其上者各面俱等，盖设一边，即知其面，其容也；其次则对面为平行面，或同类之体有公法，如角体者是也。球亦有法之体，盖其径，其周，其外面，其容之比例恒相等，第以比例无尽分之数，亦属次焉。第一体名立面体如正立方斜立方多边立体正立圆体扁圆体【因其上下为平行面亦属等面】公法以高乘底之积得其容【高深两名互用】其高之度则垂线也几何原本》十二卷七增题曰：两平行面内之体，或同高两体，其比例为体与体，若底与底。但取同类相求，以正高为据，不论体势直与不直。

又本卷三十二题曰：同类之体与体【凡比体者，皆以其容积相比】为其边与边三加之比例，解曰：三加之比例者，四几何为同理之连比例，则一与二为一加，与三为再加，与四为三加也【五卷十界】此云三加者，谓体之一与二，若其边之一与四也。如二，四，八，十六为四几何同理之连比例，其首二，尾十六为三加之比例。则小体之边二，大体之边四，其小体之容与大体之容，若小边之二与大边之十六也。系凡同类数体测定一体之容即其容与他体之容为其边与边三加之比例设有立方体其边八其容五一二又设次体其边十二即八与十二再加之得十八三加之得二七【其超法为一身有半】则初体与次体若八与二十七或用三率法八与二十七若五一二与一七二六或以四率连比例之第二率再自之得数同第二体名角体，底广上锐，如堆垜、锥、亭、峰之类，其法同也。几何十二卷七题之系曰：同底同高之角体与平行面体【即同高体】之比例，若一与三。法曰：如方锥之底边设九，则底积八十一；设髙十八，以乘底积得一四五八，以三为法而一，得四八六，方锥之容也。又如圆堆之底周设十二尺，设高五尺，则先求周之径，得三又十一之九，相乗得四五又十一之九，以四为法而一，得十一又十一之五，底积也。以高乗之，得五七实尺又十一之三，以三为法而一，得十九又十一之一，为圆堆之容【系凡委粟及▯垣等角体皆求立体之容，三除之为角体之容】

若不知其正高，但知其底及棱，则先求其正高。法曰：若棱为偶数，如上图得四甲乙。丙丁为底之四边，各八又半，甲丙对。角线十二，弱戊为角顶，戊甲，戊乙，戊。丁、戊、丙为四棱，各十而求次图之中。长线戊己【次图何物？如上图戊甲丁丙乙为全体。若从戊顶向甲丙对角线平分之为二，即所截之两面各成戊甲丙三角形，甲丙底十】【二、弱、戊、甲、戊、丙、各、十，以此三边求中长线戊已，即角体之高】法以半底甲已自之得三十六【句方】以减腰方一百【▯方】余六十四【股方】开方得甲已八，为角体之正高，余如前。若棱为竒数，如五底之各边为十二，棱之度为二十，则先求一面之中长线【各体有底有面有棱，底之边随体无定数，面则恒各为三边形，形之底线即底之一边，两腰即棱也】依句股法，半底边得六【为句】自之得三十六【句方】棱度自之得四百【▯方】相减得三百六十四。【股方】开方得一十九又一十三之一【即股即面形之中长线】次求底形之中长线，用正▯法，以五【底之边数】为法，三百六十【全圈之周】为实【几何论，凡有法之形，形外可作圈切形之各角，形内可作圈切形之各边】而一得七十二度为一边之弧，半弧之正▯【即底之半边】为五八七七九，第一率也【内】半边之数六为二率【外】半弧之余▯八○九○二为三率【内】算得八又四之一不尽【外】为五边底形从心所出之中垂线又正▯【内】与半边【外】若全数【内】与半径【外】得一十又五之一强【形外圈之半径】两数并得一十八又二十之九强为五边形之中长线，次以面形之中长线，底形之中长线及一棱之度三线相遇成一三角形【平分全体所分之两面】有三边之数求中长线，得一十六又半不尽为所求元体之正高底之周六十半之得三十，以中垂线乗之，得五七二又十三之四，为底积；以正高乗之，得九四三八三，而一为元体之容，得三一四六也。若棱之度，长短不等，则用最长之棱及其对面之中长线，求体之正高。论曰：角体为立面体三之一者，何也？如正立方体，自上而下对角平分之，为两堑堵，毎一堑堵得正立方二之一。又于堑堵之两方面，自上而下对角平分之，成大小二分，大者为阳马，得堑堵三之二；小者为鼈臑，得堑堵三之一。则一正立方分之为堑堵，得二阳马，则三鼈臑则六。角体者，阳马也，故得立面体三之一也【说见《九章算】

又外切圈之半径为句，棱数为▯，用句股法求股，即元体之正高【此法甚简易，但须各棱俱等乃可，非公法也】截圆角体法有五：从其轴平分直截之所，截两平面为三角形，一也；横截之，与底平行，截面为平圆形，二也；斜截之，与边平行，截面为圭窦形【顶不锐，近底之两腰稍平行】三也；直截之与轴平行，截面为陶邱形【顶曲渐下渐直，底两旁为锐角】四也，无平行，任斜截之，截面为撱圆形。五也，内第一、第二、第五。【有本】论第三，第四，其面皆为一直线，一曲。线两界之面所截体之一分皆为两平。面一曲，面三界之体，亚竒黙徳备论其量法然非测量所必须，又各截面皆有。底有轴【即中长线】有曲线若转轴环行，即径。线为平底界，曲线为曲面界，生二界之体其边，名曰平曲之边。平曲者，从曲顶。而下渐趋平也。若以此体为空体，则皆造作燧鉴之法。以其浅深为光心之逺近，亦非测天所用，未及详焉。第三名斗体，古名方窖、圆窖等，其上下两面不等而相似，盖角体之截分也。引长其棱，即相遇而成全角之体【凡置斗体，大面居下，本角体之截分；角体欲自立底，必在下也。其置截分亦然】法曰：若知本角体之高，即先求本。角体之容，后求所阙，截分之容，相。减余为元体之容，假如斗体之底。长方一边得八，一边得九，则其积。七十二，以全高二十四乗之，得一七二八，以三为法而一，得五七六，全角体之容也。次置斗体上面之一边四，一边四，又半其积十八【即阙分之底】以阙分之高十二乗之，得二一六，以三为法而一，得七二，阙分之容也。以减全角体，其较五○四，斗体之容也。若不知全角体之高，则截体分求之。法曰：如甲乙丙丁斗体之大面也，边。各二十四，戊已庚辛，小面也，边各一。十八用垂线截斗体，从戊已边向下。至午未底，分元体为二，从辛庚边向下，至申酉底，从庚已至戍亥，从辛戊至子丑，皆如之。分元体为九，一居中，成立面体，四边四体为堑堵【正二面，一立一斜侧二面为句股】四隅四体为阳马【即角体，亦名方锥】各以本法求其容，并为斗体之容【堑堵以高乗底积二而一，阳马以高乗底积三而一】立面体上下两面等，各边十八，其积为三二四，以高十五乗之，得四八六○。堑堵【一名句股体】其底长方辛子三【两面之较六，折半得】【三】辛庚为十八，乗得五十四，为底积；以正高乗之，得八。一、二为法，而一得四○五，四倍之得一。六二○【四边四体故】阳马其底各三，其积九。以正高乗之，得一三五，以三为法而一。

得五四四倍之得一八○若斗面为多边形，而无法或其棱不等，亦用次法从上。边向下截成众体，如图甲，皆为堑堵。乙，皆为阳马，其中间无法之形，则以形为底分之中，作一立面体，余为四。三边形，各形有棱有高，可知其容，又公法【上二法遇圆体而穷】设上下面之边与正高与两面之积法曰上下两面积各开方两根相乗得数并入两面积以正高乗之得数三而一为斗体之容如斗体各率同前下面各边二四其积为五七六上面之各边一八其积为三二四两根相乗得四三二与前两积并以高一五乗之得一九九八○，以三除之得六六六○，斗体之容也。又便法【小差而不逺】并两面之边，半之，自乗得数，以高乗之，得斗之容，如前数。上面边一八，下面边二四，并得四二，半之得二一，自之得四四一，以高一五乗之，得六六一五，比前少四五，其差为一四七之一耳。凡有法之体五，其面其棱皆等，其大小相容相抱，与球相似【几何十一、十二、十二、十四卷极论此理，今稍引用为比例之法】一曰：四面体，各面为三边等形，用坚楮依图裁而合之。

成一全体有六棱四隅设各边一百因前法求其容为一一七四七二半。此下五则皆名法体，求容凡同类之体，皆依此为例，以显推隐。故下文称例体，例边。二曰六面体，立方也。各面各棱等，有十二棱，八隅其面。

为正方形设各边一百因前法求其容为十万三曰：八面等之体，各面为三边等形，有十二棱，六隅各。

边设一百因几何求其容为四七一四二五有竒四曰：十二面等之体，各面为五边等形，有三十棱，二十隅边设一百其容为七六八六三八九五曰：「二十面等之体，各面为三边等形，有三十棱，十二」

隅边设一百其容为五二三八○九依几何之説，得一体之容，可推同类【同类者，同若干面数也】万体之容。盖同类两体之容之比例，与两体边上立方之比例等。假如置四面两体，大者边设一百，小者边设五十，两数各再自之，得一百万与一二五○○○。此两数为两体之容之比例，而以大不等为一百万之一二五○○○，约为八之一。用三率法则，命分数为一率，得分数为三率，前所立例体之容为二率，得四率为所求他体之容。如前数，欲知五十边上小体之容，以例体大边上立方一百万为一率，以所求小体边上立方为二率，以大体之容为三率，用法得一四六八四又四之一为小体之容【第三率大体之容于前法体求容五例内简其同类者即用之】

一率　一百万二率　　一二五○○三率，一七七四七二半，为前例所立大体之容；四率得一四六八四又四之一，为所求小体之容。又欲知十二面体之容各边二五法，以同类之例体边再自之，得一百万。所设体之边亦再自之，得一五六二五，如前推之。

一率　　一百万二率　　一五六二五三率，七六八六三八九，为前例所立十二面体之容；四率，得一二○○九九，为所求十二面体之容。又设一体之容，欲知其边若干，因此容与他容，若此边上立方与他边上立方，其法以例体之容为一率，设体之容为二率，例体边上之立方数为三率，得设体边上之立方为四率，开方得根，即所求边也。如有一四六八四又四之一，为今设四面等之容，求其边若干，查前例其同类之体，边一百，其容一一七四七二又半，依三率法得立方根为五十，即所求设体边数。一率，一一七四七二半【例容】二率，一四六八四又四之一【设容】

三率　一百万【例边】四率得一，二五○○○，为所求边。上立方开得五十，为所求设体之边。

量圆球之容圆球之全体，见亚竒黙徳《圆球圆柱书》，并见《几何》一十四卷。兹借数题明之。

第一题球上大平圜之积为本球圜面积四之一【此亚竒黙徳之一卷三十一题也。大平圜者，从大圏过心剖球体为二，所分两平面是也。圜面积者，全球大曲面之平积也】系凡周乗径生球圆面之积，亦生大平圜积之四倍。大圜周线上方形与球圆面之比例，若大圜之周线与其径解曰：如图，甲乙丙丁球上之大平圜也。甲丙其径【与球径等】己辛与圜之周线等，上成己壬方形。形之庚辛与甲丙径等，而己壬方形外复成庚戊方形。题言己庚矩形为大平圜之四倍，壬戊矩形与庚、己矩形等，盖壬、辛、己、辛同为矩方。形之一边，戊辛，辛庚，亦同为矩方形。之一边则两矩方形必等，夫己壬周。线上之方形也，壬戊为大平圜之四倍，而与球之圆面等，则其比例如己辛与辛戊矣【五卷二，周与径比例之数为二二三之七一，或二十二之七】又大圜径上方形与球之圆面，若圜之径与其周。盖己庚矩方形与球之圆面等，庚戊为径上之方形，则两形之比例必若己辛周与辛戊径矣。二系，球径上方形与球之圆面为一与三又七一之十，或一与三又七之一。

第二题径三之二乗大平圜之积生球容之数【亚竒黙徳之一卷三十二题】解曰设大平圜之周一【凡大测当以全数为母则易推故设周为一自之再自之恒为一】其大径为二二三之七一其半为四四六之七一以半周二之一乗之得八九二之七一此大平圜之盈积也又以六六九之一四二【此大径三分之二】乗之约之为二九八三七四之五○四一得球容之数又大平圜之周，再自之恒为一，知大圜周上立方与球容之比例？何者全数为母【即一几何，谓之命分数】是周上之立方也。子数【几何之得分数】为球容，则球容与大圜周上立方之比例，若五○四一与二九八三七四而盈。用小径之数，得四九与二九○四。又球径上立方与球容之比例若二十一与一十一而盈若四二六与二二三而朒。法置球径一，大平圜之大积为十四分径上方之十一，以径三之二乗之，得四十二之二十二，约之得二十一之十一，为球之容。又球径上立方为一则其与球容之比例为二十一与十一而盈，或用朒法则大平圜之小积得四二六与二二三，亦径上立方与球容之比例也【右径上立方与球容之比例】因前论，置球之径一，求球之圜面，以二十二乗径数，以七除之，以所得之径乗之，得圆面之积【用二十二与七而盈，用二二三与七十一则朒】一求球之容，以二十二乗径，以七除之，得数以径三之二乘之，得球之容【右以径求圜面积及球之容】又径上立方与球之容若二一与一一而盈，若四二六与二二三则朒。置大圜之周，大圜周上之立方与球容若二九八三七四与五○四一而盈，若二九四与四九则朒。置径，置球之圆面相乗，六而一。置径【四之一乗圆面三之二三之一乘圆面二之一】乗大圜之积三而二，或径乗积三分之二，或径三分之二乗积，俱得球之容。或半径乗大圜积三分之二，所得为球容之半；或大圜半积乘径三分之二，所得亦半。

量球一分之曲面凡截球面，过心，其一分为全球之若干？量法与全球无。异【或半球或四之一或五之一俱同法】若截球面不过心为直，面而曲面，界为球上之圏。

则借天球之界以明之解曰：甲、丁、己、辛为子午圏，甲比己南。丁、辛为夏至之圏，从夏至圏截之，甲至丁作直线，用此线为半径，作甲丁别圏。亚竒黙徳之一卷四十题曰：「甲丁别圏之积与丁甲辛球分之曲面等。」又从巳至丁作直线，为他圏之半径，其圏之积亦与丁己辛球分之曲面等。若曲面非全球之若干。

分则为无法之形量球一分之容取球之一分，截面过心，其曲面之界为圏。亚竒黙德曰：「想圆角体，其底之圏几何，与所截凸面之一分等，其高为球之半径，此体之容与今所解之球分等。」如甲丁己辛，球丁甲辛庚为截分，丁甲辛为凸面，丁庚辛庚截面过心，则先求丁甲半径，倍之以二，二乗之以七除之，所得之。半以半径乗之，为凸面之积；次以甲庚半径乗之，三而一，为丁甲辛庚球分之容。若截为直面，不过心如甲丁辛之一分，而求其容，则先求甲丁辛凸面之积，以径乗之，六而一，为丁甲辛庚体之容。次丁辛截面至心，则想丁辛庚圆角体，求其容，以减丁甲辛庚体之容，余为丁甲辛球分之容。

量撱圆体之容撱圆亦有法之体也。又次于圆球。其为体则长圆形之长径为轴旋转所生。如一防直行生线，一线横行生面，一面上行生体。平圆面以径为轴转轴环行，是生圆球。长圆面则有二径，一长一短。以长径为轴转轴环行，是生撱圆之体；以短径为轴转轴环行，是生扁圆之体。撱圆之体，或名为卵体，非也。凡乌卵一端大，一端小，是为无法之体。撱圆体则两端等。亚竒黙徳之第一卷，备解此体及分角体之理，今略述之。凡截圆球，生两圆面，成两圏。若平分之，即过心。过心之截分，恒相等。若撱圆体，从小径横截之，生两平圆面。因小径过心，故若从其长径直截之，生两长圆面，即元体之长圆也。若横截与小径平行，亦成平圆面。若斜截之，则其面皆不等，皆成长圆形。凡圆角体，其底之径为撱圆体之小径，其高半长径，则其体之容为撱圆体四之一。

如甲乙为长径丙丁为小径即丙戊丁甲半撱圆体倍大于甲丙丁角体解曰：小径以二十二乗之，七而一小径之周也。得数以乗小径，四而一小径之平圆面积也。得数以乗半长径，圆柱之容也。三而一角体之容也。得数四之撱圆半体。

之容也若截面与小径平行如庚己壬求撱圆分体如庚甲壬之容黙徳法曰：先求庚壬甲角体之容，次用三率法。己乙【大分之轴线】与戊乙【半长径线】甲己【小分之轴线】并。若角体甲庚壬之容，与撱圆小分庚己壬甲之容。

若求大分之容先求角体庚壬乙之容次用三率法甲己【小分之轴线】与甲乙【长径】戊乙【半长径】并若角体，庚壬乙之容与撱圆，大分庚己壬乙之容。

量无法之体解曰：以锡为正方椟，各边一尺，或五寸。若用木，则以三和灰涂其罅，令不漏，实之以水，投所量物其中，则水溢；取出物，量水减几？何得物之容如减一寸，而椟边设一？尺则得一百寸，为物之容，盖各边一。尺上面积为一百寸，水减一寸，则为一百寸，若水减不及寸，或过焉，则量若干分，以面积乘之，得物之容。