新法算书卷八十六

新法算书卷八十六

钦定四库全书新法算书卷八十七。明。徐光启等。撰。测量全义叙目。测量全义十卷，前九卷属法原，后一卷属法器。法原者，法之所以然也。凡事不明于所以然，则其已然者茫茫，不知所来；其当然者昧昧，不知所徃。即使沿其流，齐其末，穷智极虑，求法之确然不易，弗可得已。况天之髙，星辰之逺，厯数之▯且隠也，而不究其原，可乎？旋观徃代，如二十一史所载，汉以后诸家之厯详矣。大都专求法数，罕言名理。即才士间出，亦各窥一二，莫覩大全。杂以易卦乐律，益增迷瞀。何恠乎千八百年而未有定法也？夫厯法之原有二，其一则象纬之原也，天事也；其一则推测之原也，人事也。象纬之原，如测天约说所论，百中之一二耳。其他散见于七政本论，防而通之，聊足着明矣。此书所论，则推测之原也。古今言推测者又有二，其可以形察、可以度审者，谓之叀术；不可以形察、不可以度审者，谓之缀术。此所论者，又缀术也。缀术之用又有二，其一总物以为度，论其几何大，曰量法也；其一截物以为数，论其几何众，曰算法也。厯象之家兼用二法，如鸟之傅两翼也，则无所不可之矣。凡几何之属有四，曰防，曰线，曰靣，曰体。▯引为线，线展为靣，靣积为体。究此四者，诸有形有质之物，细若纎芥，钜若大圜，悉可极其数而尽其变，所以能范围不过，曲成不遗也。▯不可为度，线不可为形，必三线交始成三角形焉。凡度与数不用此形，即巧厯无从布算。故三角者，虽形体之始基，实测量之纲要。诸卷中当首论者，此也。凡言度数，必通大小，通近逺者也。三角形繇两视线，一径线。径线者，所测物之广也。径之两端出两直线，入交于目睛之最中而成形。如分寸咫尺为近小之形，乃至大圜七政为逺大之形。形絶不等，然其为三角等，则比例必等。因而用小推大，用近推逺，亡不合者。故曰通大小，通逺近也。夫学难者必自近也，学微者必自显也最难，且微莫如天之三光，最易且显，莫如地之百物。次卷所测，测地与物，以此故也。然而测一物之髙，一山之髙，与测日月星辰去地之髙也，无以异，则亦通大小，通逺近者也。其次进而测靣，靣者，平方、平圆之类，其变不可胜穷也。然而测物之靣与测地景之靣，测日月星之靣，其理一也。又进而测体，体者，立方、立圆之类，其变不可胜穷也。然而测物之容与测地之容，日月星之容，其理一也。是皆逺近大小通焉者也。既曰通焉，而不言逺大，先言近小者，则所以习之也。习之奈何？习手与目，以求其贯也；习心与意，以求其信也。不习不贯，未有能信者也。习且贯，未有不信者也。

故习小习近，言逺大者之所求也。夫论度数至于测体，深矣，微矣。然而皆平靣直线也。天则圆体，其靣圆靣，其线曲线也。测圆靣之难，十倍平靣；测曲线之难，十倍直线。盖圆与曲谓之弧，而测弧无法，于无法中求有法，其势不得不难。世有传弧矢算术、测圆术者，皆非术也。其本术稍见于大测，其为数则割圆八线表，而此书第七至第九则言其理与法也。盖以弧背求▯矢，用测曲线三角形，展转推求，展转变易。凡周天众规相交相距，所以经纬七政运行，四时推迁，运防者上下百千万年可知也。诸天诸曜，种种运行，悉无一定之法，其为纷▯，莫可胜原。此弧▯诸法则何以能追求至尽乎？盖所论者，非诸曜自行之度数，而宗动天之度数也。宗动者，不依七政，而能为七政之凖则，厯家谓之天元道、天元极、天元分，至终古无变易也。因此推歩，是以有恒御无恒。厯家之立法最难在此，其用法最易亦在此矣。终之以法器何也？曰：器之用大矣。智者非器不作，明者非器不述，差者非器不改，合者非器不验，教者非器无以措其辞，学者非器莫能领其意，巧者非器未繇见其长拙。者，非器有所匿其短，是以唐虞钦若，首在玑衡。厯代以还，屡更其制。据今所有，则浑天仪、简仪、立运仪、浑天象四器也。而年逾数百，久阙缮治，地址倾垫，枢轴锈蚀，浑天一仪不复运动，简仪、立运犹似堪用，复少黄道规环，且测▯多端，止慿一器，架柱森列，多成映蔽，均赋辰度，尚未精宻，刻定宿度，则又元时所测，非今测也。此卷中分列诸器，择其最急，畧有五种：曰测髙仪，曰距度仪，曰地平经纬仪，曰赤道经纬仪，曰黄道经纬仪。有此诸仪相袭并用，彼碍则此通，可以无求不得矣。更求宻测，责以分秒无差，则一式又湏三器，三器俱列用相参较，三测并合，则制器精工，安置如式，测验得法，灼然具见矣。有不合者，可以推究病源，更求厘正，厘正之后，测复参差，则择其同者用之。若止据一器有得，即真，乌从知其然不然？可不可乎？且旧仪大环径止五尺二寸，度止十分，今拟新式，用半径者六尺，则三倍大也，度得百分，则十倍细也。用全径亦六尺，度可六十分，亦六倍细也。夫今之改宪，欲求倍胜于古，非倍胜之器，谅无从得之矣。或疑法器重大，取数复多，即用物必奢，是又不然。今之旧仪不能揣知轻重，大都唐宋以来，考诸史志，约畧相等。宋史言东都浑仪四座，每座约铜二万余斤，今拟诸式槩从轻省，若得宋元一仪之费，足以尽造诸器，有余矣。且每式三器，诚不可少，若宛转相就，则经纬仪可以得距，地平仪可以得髙，一倍本数亦能通用。

或五大既全，稍从狭小以为副贰，兼用精铁以省铜材，固无不可，则所计一仪之费，尚可损其半也。惟是旧仪欲将脩改，则一器止堪一用，其脩改之费，恐过于造作，计不当为之耳。惟浑天象止以测到度分，量度经纬在于施用，未为闗切，今体制完美，无烦再造矣。

界说二十三则第一界正弧全圏，四分之一，或大焉，或小焉。如图，甲乙丁为全圈之半，乙丙丁为四分之一，是名一象限，九十度正弧之大，无过于此。若甲乙丙则大于象限，丙丁则小于象限，但小者皆名正弧，而大者则名过弧。

第二界余弧正弧之剰分如庚、己正，弧庚乙为余弧，是正小于己。乙也，如庚丁过弧，则大于丁乙，而庚乙。

为过弧之余弧也第三界通▯者，通弧之相当线，分圏为两分【相当线，亦名对线】如庚丙线与庚乙丙弧相当，又与庚己子丙弧相当。第四界圏内线极大过心者为圏径如己戊丁是第五界正▯▯之半如丙甲庚▯半之为丙甲正▯，当丙乙弧，又丙辛子▯半之为丙辛正▯，当丙丁弧。或曰正▯者，从圏上一防作垂线至己丁径上，则丙辛为丙丁弧相当之正▯。第六界。

余▯余弧之正▯如丁丙，正弧则丙乙，其余弧丙甲为丙乙之正▯，丙丁之余▯。

第七界倒▯者，余▯与半径之较，亦名矢。如丙甲余▯与辛戊线等，以辛戊减丁。戊半径，存辛丁为丙丁弧之倒▯，亦为丙丁弧之矢第八界全▯径之半象限弧之正▯第九界直线角在圏心或大或小皆居对弧两腰间【相当弧亦曰对弧】如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧，则角生于丙戊丁、戊两腰间。

第十界余角者，余弧之正角【对角，亦名正角，亦名相当角】如丙、戊、乙、角，为丙丁正弧之余角，即丙乙余弧之正角。第十一界。切线者，圏径界之垂线，亦名切圈线，在圏外【如下界之丙甲线】第十二界。割线者，直角之对线，亦名交线，亦名截线。在圏之内外，如甲戊丙形，甲直角【凡言甲角，当九十度，弧之直角】戊为心，丙戊交圏于乙，割线也。此线限心上角。限甲乙弧，则角与弧胥生于甲戊、戊丙两腰间。又曰正割线者，正弧之割线如甲乙正弧，则戊丙正割线也。第十三界。

余切线者余弧之切线第十四界余割线者余弧之割线如戊丁，余弧乙己为割线，是甲戊弧之余割线。

第十五界全圏三百六十度半径之全数十万平分【或用一万或用百万千万皆可】第十六界设弧者，任取全圏之一分【凡言设者，先有定数也，或称有，或称得】如甲戊丙角形，戊为心，甲乙丁，其象限弧也。取甲乙一，分四十度，则甲乙为设弧也。

第十七界设角者设弧之角如戊、心、甲、戊、戊、乙两腰弧，甲、乙则因弧而称，甲戊乙角，言角之度分，即对弧之度分。

第十八界设正▯如丁戊半径，十万分，先言丙辛若干分，则所设丙丁弧之正▯。

第十九界设切线如甲乙全数，先言甲丙若干数，则所设切线。

第二十界设割线如甲乙全数，先言乙丙若干数，则所设割线。

第二十一界设邉线如甲乙丙角形，先言甲乙四丈，或乙丙五丈，或甲丙三丈，俱所设邉线。

第二十二界方数者方形邉自乗之数如正方邉四自之得一十六，方之各邉俱等。方形根者，开方所得方形一邉之数。

第二十三界平形有方有矩【方者直角方形，矩者矩内直角形】矩形邉两两自相等，有一邉有实用算得所求，他邉开方法有本论，本书今别撮为图，欲求根一简即得，省布算焉，简法见筹算。