第七节气线

第七节气线

一名正▯线分法，全数为一百，平分尺大，可作一千用。正▯表从心数各度之数毎十度加字　如三十度之正▯五十则五十数傍书三十二度之正▯五则五数傍书三简法第一平分线，可当此线为各有百平分？则一线两旁，一书分数字，一书度数字。用法一：半径内有设弧，求其正▯以半径为底，百为腰，置尺；次以设度为腰，取底，即其正▯用法二凡造简平仪、平浑、日晷等器，用此线甚简易。如简平仪之干盘周天圈，其赤道线左右，求作各节气线，先定赤道线为春秋分，次于弧上取赤道左右各二十三度半之弧，两弧相向作▯以其半▯为底，本线百数为腰，置尺次数各节气离春秋分两节之数，寻本线之相等数为腰，取底为度，移赤道线左右两旁作直线，与相对之节气相连为各节气线【或于赤道线上及二至线上定时刻线之相距若干亦可】如欲定立春、立冬、立夏、立秋【因四节离赤道之度等故为公度】法曰：立春至春分四十五度，则取本线四十五度内之防线，移于仪上春分线左右。若欲定小暑、小寒之线，离秋分、春分各七十五度，则取七十五度内之底线为度，移二分线左右，得小暑、小寒之线。

第八时刻线一名切线线分法，切线之数无限。为九十度之切割，两线皆平行无界，故今止用八十度。于本线立成表上查，八十度得。

五六七即本线作五六七平分次因各度数加字【一度至十五切线正▯微差尺上不显，可即用正▯】

第九表心线一名割线线分法此线亦止八十度依表查得五七五平分之其初防与四十五度之切线等【初防即全数故等】次依本表加之用法一有正弧或角欲求其切线或割线法以元圏之半径为底切线线四十五度之本数为腰割线线则以○度○分为腰置尺次以设度为腰取底为某度之切线割线反之有直线又有本弧之径欲求设线之弧若干度以半径为度以为底设弧之度数为腰置尺又设线为底求本线上等数即设线之弧用法二表度说，以表景长短求日轨髙度分。今作简法，用切线线。凡地平上立物，皆可当表。以表长为底本线，四十五度上数为腰，置尺。次取景长为底，求两腰之等数，即日轨髙度分。若用横表法，如前，但所得度分乃日离天顶之度分也。安表法，见本说。用法三《地平面上作日晷法》先作子午直线，卯酉横线，令直角相交从。交至横线端，为底，就切线线上之八。十二度半为腰置尺，次于本线七度。半防内取底为度，向卯酉线交处左。左各作识为第一时分，次逓加七度半，取底为度。如前逓作识为各时分【毎七度半者，加七度半，十五度，二十二度半，三十度，三十七度半，四十五度，五十二度半，六十度，六十七度半，七十五度，八十二度半】若求刻线，则逓隔三度四十五分而取底为度也。次于元切线上取四十五度线【四十五度之切线即全数】为底，割线初防为腰，置尺。次以本地北极髙度数为腰，于本线上取底为表长，于子午、卯酉两线之交正立之。又取北极髙之余度线为度，于子午线上从交防起向南得日晷心，从心向卯酉线上各时分防作线为时线，在子午线西者加午前字，如己、辰、卯，在子午线东者，加午后字，如未、申、酉。日晷图说。子午夘酉两线相交于。甲甲酉为度，以为底，以切线之八十。二度半，为腰，置尺，逓取七度半之底。向甲左右作识如甲乙，甲丙次取十。五度线之底作第二识，如甲丁、甲戊，毎识逓加七度半，毎识得二刻，则丁防为午初，戊为未初，余防如图。次取甲己线上四十五度之切线为底，割线之初防为腰，置尺，取北极髙余度【顺天府约五十】之割线为度，从甲向南取辛，辛为心，从心过乙丁等防为线，为时刻线。又割线上取北极髙度之线【顺天府约四十】为表长，即甲庚也，表与面为垂线【立表法，以表位甲为心，任作一圏，次立表，表末为心，又作圏，若两圏相合或平行，则表直矣】用法四先有表度，求作日晷，则以表长为底，割线上之北极髙度为腰，置尺；次以极髙余度为腰，取底为度，定日晷之心；次用元尺于切线上取毎七半度之线如前【凡言表长，以垂表为主，或垂线】用法五有立面向正南作日晷法，如前，但以北极髙度求晷心，以北极髙之余度为表长【又平晷之子午线为此之垂线，书时创以平晷之夘为此之酉，各反之】用法六若立面向正东正西，先用权线作垂线，定表处即晷心。从心作横线，与垂线为直角。若面正东，于横线下向北作象限弧；若面正西，于横线下向南作弧。弧上从下数北极髙之余度为界，从心过界作线为赤。道线又以表长为底，切线线上之四。十五度为腰置尺，逓取七度半之线。从心向外，于赤道上各作识，从各识。作线与赤道为直角，则时刻线也。其过心之线，向东晷为夘正线，向西晷为酉正线。若欲加入节气线法，以表长为度，从表位甲上取乙防为表心，从心取赤道上各时刻防为度，以为底，以切线线之四十五度为腰，置尺，又以二十三度半为小腰，取小底。

为度于各时刻线上从赤道向左向右各作识为冬夏至日景所至之界　如上图甲乙为夘酉正线以表长为度从甲取乙为表心以切线上之四十五度为腰，甲乙为底，置尺；又以二十三度半为小腰，取小底于本线上，从赤道甲向左、向右各作识，即夘酉正时冬夏至之景界。次从表心向卯酉初刻线取赤道之交丙，防为底，切线之四十五度为腰，置尺，以二十三度半为小腰，取小底于丙左右各作识，为本时冬夏至之景界。次于各时线，如上法各作二至景界讫，聨之为本晷上冬夏二至之景线。次作二至前后各节气线，以节气线之两至防为腰【即鹑首之次，西歴为巨蟹宫】以各时线上赤道至两至界为底，置尺；次以各节气为小腰，取小底为度，从各线之赤道左右作识，如前法。

第十五金线分法用下文各分率及分体线置金一度【下方所列者，先造诸色体，大小同度，权之得其轻重之差，以为比例】水银，一度又七十五分度之三十八。铅一度，又二十三分度之一十五。银一度又三十一分度之二十六。

铜二度又九分度之一鐡二度又八分度之三<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十一>锡二度又三十七分度之一先定金之立方体，其重一觔为一度，本线上从心向外任取一防为一度，即是金度。次以分体线第十防为腰，此度为底，置尺依各色之本率于分体线上取若干度分之线为底，从心取两等腰合于次底作防，即某色之度防。又法，取各率之分子，用通分法乘之。

得金四五九五九二五水银六九二四五二七铅八六二七四○○银八四三一二一二一七铜九○○一四○○鐡一○九一四○七五钖一一七九九○○○次以各率开【立方】求各色之根。

得金一六六弱水银一九一弱铅二○二银二○四铜二一三鐡二二二锡二二八若金立方重一斤，其根一百六十六弱，用各色之根率为边，成立方，即与金为同类【皆为立方】同重【皆为一斤】之体。今本线用此，以二二八为末，防如各率分各色之根数加号【石体轻重不等故不记其比例】用法一有某色某体之重，欲以他色作同类之体，而等重，求其大小。法以所设某色某体之一边为度，以为底，以本线本色防为腰，置尺；次以他色号防为腰，取底，即所求他体之边。用法二若等体等大，求其重法，以所设体之相似一边为度，以为底，置尺于他色号防，取其底两底并识之。次于分体线上，先以设体之重数为腰，以先设体之底为底，置尺，以次得他体之底为底，进退求相等数为腰，即他体之重。用法三，有异类之体，求其比例，先依更体线通为同【书卷二十一】

类次如前法新法算<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>钦定四库全书新法算书卷二十二。明。徐光启等。撰筹算。算数之学，大者画野经天，小者米盐凌杂，凡有形质有度数之物与事，靡不借为用焉。且从事此道者，步步蹠实，非如谈空说▯可欺人以口舌，明明布列，非如握槊夺标可欺人以强力，层层积累，非如繇旬刹那可欺人以荒诞也。而为术最繁，不有简法济之，即当年不能殚，恶暇更工他学哉？敝国以书算，其来逺矣。乃人之记函弱而心力柔，厌与昏每乘之，多有畏难而中辍者。后贤别立巧法，易之以筹，余为译之，简便数倍。以似好学者，皆喜以为此术之津梁也，遂梓行之。传不云：“不有博奕者乎？为之犹贤乎已是书稍贤于博奕，然旅人入来，未及他有论著，以此先之，不亦末乎？行复自哂曰：“小道可观，聊为之佐一筹而已。”崇祯戊辰暮春廿日，罗雅谷识。

造法一造筹或牙或骨或木或合楮俱可。其形长方，广为长六之一，厚约广五之一。诸筹相准，不得有短长广狭厚薄。须平正光洁，便于画方书字。凡筹数任意多寡，总之五筹两面可当一单数，说见定数条。十筹当十数，十五筹当百数，二十筹当千数，二十五筹当万数，三十筹当十万数。约以众筹之厚为一筹之长，便于作开方筹入匣也，详造匣条。

二分方每筹横平分为九，作九方筹。筹相等，横列之线，线相直。

方方相对三分角每方自左上至右下斜作一对角线，则每方成直角三边形二横列之则两筹对角线又成一斜直线其两直角三边形又合成一平行线方形四定数数自一至九并○共十位，筹有二面，五筹可满十数。其数以方数与筹上方数相乘，每方之中既以对角线分而为二，即每方各成二位。右位即零数，左位即十数。至第九筹，第九方，九九相承得八十一而止。

第一筹一面作零数九方对角线之上各画一圏一面作一数九方对角线之上顺书一二三四五六七八九数第二筹一面作二数第一方线右书二第二方线右书四二筹二方二二如四也第三方线右书六二筹三方二三得六也后推此则第四方线右书八，第五方线右书○，线左书一二筹，五方二五得十，故左位一，右位○，以当零数也。后推此则，第六方线右书二，线左书一；第七方线右书四，线左书一；第八方线右书六，线左书一；第九方线右书八，线左书一。一面作三数，第一方线右书三，第二方线右书六，第三方线右书九，第四方线右书二，线左书一；第五方线右书五，线左书一；第六方线右书八，线左书一；第七方线右书一，线左书二；第八方线右书四，线左书二；第九方线右书七，线左书二。

第三筹一面作四数第一方线右书四第二方线右书八第三方线右书二线左书一第四方线右书六线左书一第五方线右书○线左书二第六方线右书四线左书二，第七方线右书八线左书二，第八方线右书二线左书三，第九方线右书六线左书三。一面作五数，第一方线右书五，第二方线右书○线左书一，第三方线右书五线左书一，第四方线右书○线左书二，第五方线右书五线左书二，第六方线右书○线左书三，第七方线右书五线左书三，第八方线右书○线左书四，第九方线右书五线左书四。第四筹一面作六数，第一方线右书六，第二方线右书二线左书一第三方线右书八线左书一第四方线右书四线左书二第五方线右书○线左书三，第六方线右书六，线左书三，第七方线右书二，线左书四，第八方线右书八，线左书四，第九方线右书四，线左书五，一面作七数，第一方线右书七，第二方线右书四，线左书一，第三方线右书一，线左书二，第四方线右书八，线左书二，第五方线右书五，线左书三，第六方线右书二，线左书四，第七方线右书九，线左书四，第八方线右书六，线左书五，第九方线右书三，线左书六。

第五筹一面作八数第一方线右书八第二方线右书六线左书一第三方线右书四线左书二第四方线右书二线左书三第五方线右书○线左书四，第六方线右书八，线左书四，第七方线右书六，线左书五，第八方线右书四，线左书六，第九方线右书二，线左书七，一面作九数，第一方线右书九，第二方线右书八，线左书一，第三方线右书七，线左书二，第四方线右书六，线左书三，第五方线右书五，线左书四，第六方线右书四，线左书五，第七方线右书三，线左书六，第八方线右书二，线左书七，第九方线右书一，线左书八。

五定号号者，应于面之左右两旁厚处，露出匣外者，记本面数。

目○至九共十号其旁狭难书一二三四等字姑作横线如○则无线一则一横线也至五则结为一纵线以该之，如五则一纵，六则一纵一横，七则一纵二横也。各书本面之右，用时视其旁即可得之。

六平立方筹诸小筹之外，别作一大筹，长与诸筹等，广约长六分之。

二两面横分九方亦与诸筹等其一面平方筹纵作二行其右行九方书一至九之数为平方根其左行九方亦如小筹作对角线以平方根数自乘之各书根数之左，第一方线右书一，第二方线右书四，第三方线右书九，第四方线右书六线左书一，第五方线右书五线左书二，第六方线右书六线左书三，第七方线右书九线左书四，第八方线右书四线左书六，第九方线右书一线左书八。其一面立方筹纵作六分，右一分作一行九方，书一至九之数，为立方根中二分作一行九方，书一至九各自乘之数，与平方筹同。左三分作一行九方，每方止截左边三分之二，亦如小筹作对角线，是每方分为直角三边形、无法四边形各一也。而无法四边形之中，暗具一直角方形在右，一直角三边形在左。今止以左中右分之，以中行自乘之数再乘之，各书方数之左，名立方数。第一方右书一，第二方右书八，第三方右书七中书二，第四方右书四中书六，第五方右书五中书二左书一，第六方右书六中书一左书二，第七方右书三中书四左书三，第八方右书二中书一左书五，第九方右书九中书二左书七。

七造匣匣合纸或木为之，其形短方，其空广如筹之长，空厚如筹之广。匣有盖，以筹长五分之三为匣之深，其二为葢之深，使筹入匣而旁号露于匣口之上，以便抽取也。小筹比立匣中，方根筹侧于小筹之旁，下切匣口，上切盖顶，正相容也。若盖之外径等于匣之外径，则匣口必出笋以入盖。夫方根筹之广与匣之深并，尚不及小筹之长，以其不及为笋之高，则匣与盖外切，筹与盖匣内切矣。若匣之外径等于盖之内径，则匣自为笋，盖冒之可无庸笋也。

赖用算法【凡三条】算家加减二法，并命分法，亦用筹，所赖故各具一则。

一加法加者多小几何，并为一大几何也。亦谓之计，先以第一小数从左向右横列于上，次以第二小数如前横列于下。从视之，则零对零，十对十，百对百也。分、钱、两及寸、尺、丈俱依此推。次视零位，若成十成十，则进一位；又视十位若干百，则进一位。千万以上俱依此推。假如有银九万一千七百六十一两，又八万二千○七十八两，又四千五百二十两，又九万○六百五十。四两俱横列，则视末位有一八○四。并得十三本位，书三进位，加一与六。七二五，并得二十一本位书，一进位。加二与七五六并得二十本位作○进位加二与一二四并得九，本位书九，首位九，八九并得二十六，本位书六，进位书二，得二十六万九千○一十三两。如物数是斤两，则十六两成一斤，进位尺、步、亩之类，俱依此推。

二减法减者，一大几何，减去一小几何，余几何也？亦谓之除：以大数书于上，应减数书于下，亦零对零，十对十，百对百也。次于每位对除之，若除数多于原数，则借前位一以除之。盖前位之一，即本位之十也。除完则得余数。假如有银三十○万○一百七十六。两三钱四分内，除去二十九万八千。六百四十三两八钱五分，从左首位。起，上数三，下数二，三除二，存一次位。上数○下数九，借前一成一○除九。存一三位上数○下数八借前一成一○除八存二四位上数一下数六借前一成一一除六存五五位上数七下数四七除四存三六位上数六下数三六除三存三七位上数三下数八借前一成一三除八存五八位上数四下数五借前一成一四除五存九该存一千五百三十二两四钱九分三命分二法命分者，一大几何？已分几何？尚余几何？今应命此余者为几何分之几何也。又所余之小几何，再分得几何？今应命此得者为几何分之几何也。前解曰：法数为母，余数为子。如法数一六八，余数四九，即命为一百六十八分之四十九。后解曰：得数为子，得数前位为母。如得数一位，则前位为十，得数六，即命为十分之六；得数二位，则前位为百，得数三、四，即命为百分之三十四；得数三位，则前位为千，得数二、八、三，即命为千分之二百八十三；得数四五位以上，推此第前位定于一数十则一十，百则一百，千则一千万则一万【前一法即九章之命分法，亦即几何原本之命比例法；后一法即九章之小数，如衡有钱分厘毫，量有尺寸分厘，厯有分秒微纤也】

用法【凡四条】

一乘法乘数有实有法，先将实数依号查筹，从左向右齐列。其两筹相并所成平行线斜方形，合成一位方形内之数，并为一数矣。次以筹之方位为法数，如法数是五，则视两筹第五方；是九，则视两筹第九方，即得数矣。若法有二数，则先查法尾所得数横列之，次查法首所得数进一位横列之，末用加法并之，得数。法有三数以上，依此推显。解曰：乘者陞也。九九陞积之义也。数有二，一为实，一为法，可互用。大畧以位数多者为实可也。用筹，则如实数列筹，自左而右，次视法数，依筹之同数格上横取之，并得啇数，列书之。更视次法，如前得次啇数，进一位书初啇之下。三以上仿此。啇毕，并诸啇数，即乘得之数。假如八十三为实，以四乘之，先列八三两筹，视其第四格八号筹下左半斜方有三两筹，合一斜方有二，一并作三，三号筹下右半斜方有二，并为三百三十二也。又如，毎银一钱籴米九升五合，今有银三两五钱，问？

该米若干则以三五为实九五为法先查实数二筹齐列次视法尾五查二筹第五横行内数是一七五另列再视法首九查二筹第九横行内数有三一五进一位列于前得数之下，并之，得三三二五。该米三石三斗二升五合。又如，有米一斗，卖钱一百二十五文。今有米一十八，石三斗问该钱若干则以一八三为实一二五为法先查实数三筹齐列次视法尾五查三筹第五横行内数是九一五另列次视法次二查三筹第二横行内数是三六六进一位，列于前得数之下，次视法首一，查三筹第一横行内数是一八三，又进一位，列于前得二数之下，并之得二二八七五，该钱二万二千八百七十五文。如法数有○，则径作一○以当其位，再查法数如前，如六八三为实，三○○为法，则作二○，乃查三筹之第三横行内数，从二○左进书之余，放此。

二除法除法有实有法有啇，先将法数依号查筹，从左向右齐列。次于诸筹，从上至下查横行内连数之等于实数或畧少于实数者，在第几行即是初啇数。如在第一行，即得数是一；在第九行，即得数是九也。次以查得之数减其实数，如已尽则止，知有初啇未尽，则知宜有再啇也。有再啇者，即再查横行内数之等于存实或畧少于存实者，在第几行即是再啇数。又以查得之数减其存数，如前。又未尽，则更有三啇，亦如上法。三以上仿此。若初得已除实数未尽，乃实数次位无实，则知当有○位，即作一○以当次啇。或三位俱无，则知得有二○，即又作一○以当三啇。乃从后数查之。若虽有余数，而其数小于法数，是为不尽。法法之数，用命分法。解曰：除法者，分率之法也。有实，有法，先列实，次以法数平分之。故古九章法名为「实如法而一」，或省曰「而一」也。除法有二：一归除，一啇除。啇除者，古法；归除则后来捷法，珠算可任用之。若书算、筹算，必独用啇除也。用筹则先如法数列筹，自左而右，别列实数，简筹之某格与实数相合者，或畧少于实数者，以减实，即初啇数也。若未尽，即如前再啇，三啇以上皆如之。又未尽，则以法命之。假如列实一百○八，以三十六为法除之，简三六两筹列之，视其第三格六号筹下右半斜方有八，中各斜方有一、九，共十，进一位成百，即一百○八除实尽也。又如，有米九升五合，价银一钱。今有米三石三斗二。

升五合问该银若干以三三二五为实九五为法先以法数二筹齐列次于各行横数内求三三二有则径减实数无则取其田　者二八五以二八五减三三二，余四七五，为实。而此二八五数，乃在第三行，即三为初啇数。次视第五行，有四七五，正与余实相等，减尽，即五为次啇数。是三五为得数也。该银三两五钱。又如，每钱三百七十四文买米一斗，今有钱八万七千一百四十二文，问该米若干？以八七一四二为实，三七四为法。先以法数三筹齐列，次视各行横数内求八七一，无则取其畧少者七四八，以七四八减八七一，余一二三四二为实，而此七四八乃在第二行。

即二为初啇数次视各行中无一二三四及畧少者惟第三行有一一二二以一一二二减一二三四余一一二二为实即三为次啇数次视第三行有一一二二正与余实相等除尽即三为三啇数该米二十三石三斗若积数为八七二四八，尚有一○六为余实，再欲细分，即用命分第一法，以余数一○六为子，法数三七四为母，即命为三百七十四分之一百○六。或用命分第二法，于余实一○六，后加一○，依上法再分之，得二，又加一○，再分之，得八，又加一○，再分之，得三，得数为二八三，凡三位，即命为一千之二百八十三。

三开平方法开平方，有积数，有啇数。啇有方法，有廉法，隅法。置积为实，从末位下作一防，向前隔一位作一防。每一防当作一啇。次视平方筹内自乘之数，有与实首相等者，即除之。若无相等，则取其相近之畧少者除之。但实首以左第一防为主。若防前无位，则自乘止于零数，如一四九是也。若防前有一位，则自乘应有十数，如十六至八十一是也。而此乘数在第几格，则第几数即初啇数。如所用数是九九为三之自乘，在第三格，即三为啇数也。若有二防者，即以初啇数倍之，如一倍为二，三倍为六也。即查所倍之筹，列于方筹之左。如四倍为八，即取第八筹；九倍为十八，即取第一、第八两筹也。次视诸筹横行内数之与存实相等者除之。而此数在第几格，则第几数即次啇数。如在第五格，即五为次啇数也。不尽以法命之。三防以上，仿此。解曰：开平方者，即自乘还原也。而法实相同，无从置算，故以积求形，必用方、廉、隅三法啇除之。如有积一百，啇其根【根者，一边之数，四边皆同】十即尽实。此独用方法，无用廉隅矣。若一百二十一，初啇十，除实百余二十一，则倍初啇方根为廉法【任加于初啇实一角之旁，两边故曰廉，两廉故倍初啇根】次啇一，以乘廉得二十，以一为隅法，实尽则百二十一之积，开其根得十一也。在筹则右行自一至九者，即方根数也。左二行即方根自乘之数，自乘之数止于二位，故隔一位作防，查实下作几防，知方根当几位也。法先于左第一防上一位或二位为乘数，平行求得其根适足则已，不合则用其少者，余实以待次啇也。左防或一位或二位者，防在实首，则乘数为单数。防在实首之次位，则乘数为十数也。如上图，先以第一防求初啇根为方法，乙为方积也。不尽为二防之实，以初啇根倍之为廉法，甲丙之长边也。次啇若干，即以为隅法，丁方之一边也。并二廉一隅法以除实，甲乙丙丁平方也。不尽三啇之啇，而不尽者以法命之。其筹法，先列本筹，得初啇；次啇则列廉法筹于本筹之左，本筹之自乘数即隅积也。其根，隅法也。次查所列筹何格中，平行并数可当廉法之几倍及隅方积，得其根以除实，即得。设实下有二防，则左一防之根为十数，右一防之根为单数，故廉法筹为十数，本筹数为单数也。三防以上，仿此。假如有积六百二十五，别列为实，从末位五向前隔。

一位各作一防即知啇二位也防在实首六为单数视方筹内自乘之数无六其下九过实用其上四实之近少数也平行向右取二为方法【即方】

根】另列之为初啇即以四百减六【百】存二【百】以并次防之。实得二二五，为余实，次倍初啇根，得四，为廉法【廉有二，故倍方根】取四号筹，列方筹左，于列筹内并数，取其合余。

实或近少于余实者至五格适合即五为廉次率为隅法为次啇而本方之根得二十五又如积四千四百八十九别列为实从末位九向前作二防知啇二位防在次位则实首四为十数也视筹内自乘无四四，近少为三六平方，取六为方法，为初啇即以三六减四四，存八，以并次防之实，得八八九为余实。次倍初根得十二，为廉法。取一二号两筹，列方筹左于列筹，并数得八八九，在第七格，除实尽，即七为廉次率，为隅法，为次啇而本方之根得六十七。又如，有积三万二千○四十一列为实，从末向前隔。

一位作一防得三防知啇三位防在实首三为单数视筹自乘无三近少为一平行取一为方法为初啇即以一减三存二以并次防实得二二○为余实次倍初根得廉法二取二号筹列左筹方于列筹并数得近少者一八九在第七格即七为隅法为次啇列初啇之右以一八九减余实得三一以并三防之实得三一四一为次余实次倍前根十七得三四为次廉法，取三四两筹列方筹左，于列筹并数得三一四一，在第九格适尽，即九为三，啇为隅法，列次啇之右，而本方之根得一百七十九。又如，有积六十五万一千二百四十九，列为实，从末位九向前隔一位作一防得三防知啇三位防在次位则实首六为实数也视筹自乘无六五近少为六四平行取八为方法为初啇以六四减六五存一以并次防实得一一二为余实次倍初根得廉法一六取一六两筹列方筹左于列筹并数查无一一二亦无近小数即知次啇为○也则于八下加○以当次啇而以一一二并三防之实得一一二四九为次余实次倍前根八得一六进一位得一六○为次廉法，取○筹，列一六两筹之右，于列筹并数得一一二四九，在第七格适尽，即七为三啇，为隅法，列前二啇之下，而本方之根得八○七。其啇而不尽者，以法命之，则有二术。其一，如前第一。

六十六万二千七百四十九如前三啇得根八百一十四余积一百五十三更啇一当倍廉加隅得一千六百二十八今不足则命为未尽者一千六百二十八，之一百五十三也。法曰：凡开方不尽，实其命分法，倍前啇数【二廉也】加一【立隅】为母【续啇之】余实为子，依法命之。然终不能尽，如设积六十，求开方，初啇七，余十一，倍七加一得十五为母，十一为子，可命六十之根为七又一十五之一十一。而缩试并初啇及分数，自之得四十九又二二五之二四三一，约之为一十一是二二五之一八一，以并四十九得五十九又二二五之一八一，不及元积。若倍初啇不加一为母，命为十四之十一，试自之得六十○又一九六之一四一，过元积而盈。其一，欲得其小分，则通为小数，如前第二法更开之，当于余积之右加两圏【是原积之一化为百也】如法开之，得根数，当命为一十分之几分也，或加四圏【是原积之化为万也】

得根数命为一百分之几分也或加六圏【一化为百万】得根命。

数为一千分之几分或加十圏【一化为百万万】得根命为十万。

分之几分也如图，原积六六二七四九，已啇得八一四，不尽者一五三，欲得其细分，加六圏【是一百五十三化为一万五千三百○十○万○千○百○十○也】更开得数为○九三，因空位六，则命为一千分之○百九十三也，欲更细，更加空位，终不能尽，何故？六十者，本无根之方也。

四开立方法开立方，亦有积数，有啇数，啇有方法，有平廉法，长廉法，隅法。置积为实，从末位向前隔二位作防，每一防有一啇。次视立方筹内再乘之数，有与实首相等者，即除之；若无相等，则取其近少者除之。但实首以左第一防为主，若防前无位，则再乘止于零数，如一如八是也。若防前有一位，则再乘应有十数，如二七如六四是也。若防前有二位，则再乘应有百数，如一二五至七二九是也。而此乘数在第几格，则第几数即初啇数，如所用数是八八，为二之再乘，在第二格，即二为初啇也。若有二防者，以初啇数自乘而三倍之，如二之自乘得四，四之三倍为一十二，为平廉法。以初啇数三倍之，如二之三倍得六，为长廉法。次以平廉法数查筹，列立方筹左，又以长廉法数查筹，列立方筹右。次视左筹与方筹并之横行内数啇，其少于余实者平行取数为约数，即以此数为次啇，如在五格，即次啇五也。次以次啇自乘之数与长廉法数相乘，进一位书于约数之下，以此二数并之，除其余实，即得立方根。不尽者，以法命之。三防以上，仿此。解曰：立方形者，六方面积为一实体也。每面等，每边每角各等。立方积者，一数自乘再乘之所积也。线有长，面有长有广，体有长有广有高。所谓一乘作面，再乘作体，是也。开立方者，亦以积求形之术。其异于平方者，平方为面，面有四等线，开之求得四线之一为方根也。立方为体，体有十二等线，开之求得十二线。

之一为方根也三乘方以上亦皆十二线有等有不等而皆求其最初第一面之一界线为方根也今解立方廉隅法姑作分合图论之若截木或镕蜡作八体分合解之尤易晓矣　其一作六方面形一事诸面线角皆相等此名方法体即上图甲乙丙丁立方体是也　其二作六面扁方体三事其上下面各与方法等旁四面之高少于方法之高【任意多寡开讫乃得】而四棱线皆等，此名平廉法体，即上图戊己庚辛是也。其三作六面长方体，三事，其上下左右四面与平廉之旁面等，两端之四界线皆与平廉之高等，此名长廉法体，即上图壬癸是也。其四作六面小立方体，一事，六面之广袤皆与长廉之两端等，此名隅法体，即上图子丑是也。右度数家以度理解数学【度者，防线面体量法也；数者，一十百千等算法也】亦以数理解度学，如鸟两翼，交相待而为用也。今依此借数以明立方之体如初方体之边各四则一面之积为一六其容积六四平廉之两大面亦一六其高设五相乘得容积八○长廉之长亦四其两端之高广各五，则其容积一○○。立隅之边各五，则其容一二五。此八体并之，以三平廉合于初方之甲丙乙，丙丙丁三面，以三长廉补三平廉三阙，以立隅补三长廉之阙，即成一总立方也。又算法，单数乘单数生单数【如四乘六为二四，是为六者，四积为二十四，而其根四乃单数也】单数乘十数生十数【如四乘三十为一二是为三十者，四积为一百二十，而其根二乃十数也】十数乘十数生百数【如三十乘八十为二四是为八十者，三十积为二千四百，而其根四乃四百也】推之则十乘百生千，百乘百生万也。今依此推前总立方，以四十五为全根，其初方之一边为四十，其面则为四十者四十是一千六百也，是十乘十生百也，其容积为一千六百者四十是六万四千也，是十乘百生千也。其平廉之两大面与初方之面等，亦一千六百，其高五是单数，以乘百得八十者，百是八千也，是单乘百生百也。立廉三，三倍之得二万四千也。长廉之高广皆与平廉之高等为五，是单数，其面为二五，单根也，其长与初方等为四十，相乘得四十者二十五是为一百者十则一千也，是单乘十生十也。长廉三，三倍之得三千也。立隅体与平廉之高等为五，是单数，自乘得二五，亦单数也，再乘得一二五，亦单数也，是单乘单生单数也。已上共得九万一千一百二十五为两啇之总立方积，其根四十五。右以数明立体之理，其在筹则右行自一至九者立方根数也，左三行自一至七二九者即方根自乘再乘之数也。自乘再乘止于三位，如三自乘再乘为二十七，九自乘再乘为七百二十九，故列实下隔二位作防，查实下几防知立方根当几位也。法先于第一防以上查实简筹，或适足或畧少者即初啇之立方体，平行求得其根也。次初啇根自乘得平廉面，与初啇之体等。三倍者，三平廉也。平廉之筹，列立方筹之左者，立方筹之右，行为单数，中行为十，左行为百。平廉筹右行之号，亦百数也，以合于立筹之左行，共为几百也。次平廉之面积，三偕初啇之根，三并为分率数，以求六廉一隅之高。于立筹平筹上求余实之近少数【不欲太少，为尚有长廉之容故也】约可用者，平行取根，即次啇也。不言隅法者，次啇之再乘，即是立隅筹上所自有也。又平行取次啇之平方积，乘长廉筹之数，得长廉之容，长廉之号为十数，以列于约数之下，进一位作十数。次求七体之总积，初体之外有平廉三，长廉三，立隅一。其定位，立隅在本筹之上为单数，次啇与三长廉法相乘得数，为三长廉之实，此数之号为十数。三平廉之筹加于立筹之外，其号为百数，通并之以除余实未尽，而原实有三防者，以先两啇之总方为初体，复如前法。三啇之亦并八体为一总体，不及啇为一者，依法命之。同文算指》曰：先得之根【初啇也】乘于三十，今曰三之【长廉法也】所得之号为十数也。又曰：先根之方【初体之面】乘于三百，今曰三之【平廉法也】所得之号为百数也。一也。假如有积四千九百一十三，别列为实。从末位三向前隔二位各作一防，即知啇二位也。防在实首四，为单数，视立方筹内再乘之数，无四下八，过实用其上一实之近少数也。平行向右取一为方法【即方根】另列之为初啇。即以一【千】减四【千】存三【千】以并次防之实，得三九一三为余实。次用初啇一自乘【为平廉面】而三倍之【三平廉故】得三百为平廉法【亦名倍方数】取三号筹列立方。

筹左又以初啇一十三倍之【一者长廉边三长廉故三倍】得三为长廉。法【亦名倍根数】取三号筹，列立方。筹右于列筹【立方筹与平廉筹也】内并。

数取其少于余实者为约数第其中有长廉之实不得过少又不得多多者如第九格遇三四二九以为约数近少矣另列之向右平筹自乘数内平行取八十一，乘于长廉法三，得二百四十三，列近少数【三四二九】下，进一位，并得五八五九，则多于余实也。至第七格，遇二四四三，以为约数，另列之。向右平筹自乘数，平行取四十九，以乘长廉法三，得一百四十九，列近少数【二四四三】下，进一位，并得三九一三，除实尽【平廉筹之二千一百，平廉实也；立方筹之三百四十三，立隅积也；平方筹之四十九，长廉两端之面也；以乘长廉法三十，得一四七，长廉积也。诸筹之上，一一分明】平行求其根，得七，即七为次啇也。得总立方之根一十七。又如积九百一十五万九千八百九十九，别列为实。从末位九向前，隔二位作一防，凡三防，当啇三位也。防在实首，九为单数，视立方筹内再乘之数，无九下二七，过实用其上八，实之近少数也。平行向右取二。

为方法另列为初啇即以八减九存一以并下位得一一五九为余实次用初啇二自乘而三倍之得一十二为平廉法取一号二号两筹列立方筹左又以初啇二三倍之得六为长廉法取六号筹列立方筹右于列筹【立方与平廉共三筹】内并数，取其少于余实者为约数试之，而无有【最少者为第一格之一二○一】则知啇有空位于初啇。

下作圏以当次啇复开第三防之余实为一一五九八九九前二啇二○【百十也】自乘之。得四○○【四万也】三倍之为一。二○○【一千二百】依数取四筹为。

平廉法列立方筹左前啇二