新法算书卷九十五

新法算书卷九十五

钦定四库全书新法算书卷九十六。明。徐光启等。撰。测量全义卷十。仪器图说。

古三直游仪第一【西古多禄某所造，以测七政地平上髙度，与下丈六环仪，皆彼中之鼻祖。后来増修其术，渐趋巧便，然非古莫因，故并存之】铸铜为方柱，名旋柱【或铁或木皆可权用】髙五六尺，广厚各二寸【更大更小任意作之】下端有轴，为台或架以入轴【台架或铜铁木石或定或移任意作之】左右旋转，令可周窥也。上施垂线，线末繋之垂权，取正焉。别造一直衡，曰窥衡。衡之长畧与柱等，其广其厚减三分之一。衡首为小圆形，形之心横穿圆孔为枢，以合于柱之上端左旁，令可髙下游移也。衡之下面，从枢心中出直线，名曰指线。衡之末向下斜剡之，为鋭边合。

于指线以指定度分，衡之上面两端不尽二寸许，各设一通光耳，耳各作二孔，一小一大，相等相向，直列之两孔相连之直线为指线上之垂线【窥衡或名窥管，通光耳或名窥表，通用】柱有二枢，上枢合于衡之上端，下枢与上枢相去如窥衡之长【凡言长者，皆以枢心、衡末之一防为度，不论全体】别造一直尺，曰▯尺。尺之长与衡之长，如七与五。方广与衡等。尺之一端亦为小圆形，形之心横穿圆孔，以合于柱之下枢。尺之上面，从枢心出直线，亦名曰指线。三物合之，成一三角形。独衡与尺之末，恒相离也。又欲其恒相切也，则于旋柱之上横穿圆孔，轴贯其中。轴之两端各加辘轳，系防于尺。引从辘轳而下，末加铅坠，以挂尺，令窥衡之锐边与▯尺之面恒相切。分尺法，干设旋柱之两枢间若干尺，当为一百平分，或一千平分【柱恒为全数，不必分度，分度者，▯尺耳。此言设分者何也？柱之长与窥衡等，则窥衡亦恒为全数。此两者恒为三角形之两腰，▯尺恒为底。用之则两腰准周天之半径，▯尺截分之外，想见为一截弧，而▯尺所得分恒为其截弧之通▯】▯尺之上，截一度与枢间等，亦百平分，或千平分之【必用全数者，以便推算。若一分中或二，或三四五六，任为小分】从尺之枢心起数，元度百千分之外有余地，依前度分之尽尺而止。用法三物既成，三角形，又左右上下斡运俯仰，可以旋观徧测，用以求日月星辰之髙度。先转柱，令衡与尺皆正向所测防【凡测皆言防者，星止一防，日月虽大，亦测其中心一防】举衡尺上下移就之，令日月光从通光前耳两窍中透照后耳之两窍，则本防与窥衡相叅直。若测星，则目从后耳窍中透前耳之窍而窥见星，即星与衡相叅直。次视窥衡之末锐所指▯尺得何度分，即某防距天顶之弧之通▯于八线表查得本弧之度分秒【查法，平分通▯于正▯表得所当半弧，倍之为全弧】论曰：如小图，甲乙为旋柱，甲丙为窥衡，其度等，乙戊丙。为▯尺甲丙衡，上下游移，成丙己乙。弧乙，戊丙尺切；甲乙半径，于乙切甲。丙半径于丙则为乙己丙弧之通▯有▯即有弧，则乙己丙为丁防，距天。顶之弧度分，以减一象限，得地平上之弧度分。按《元史》所载西域仪象，有测验周天星曜之器，其説与此畧同。而多禄某当汉光武建武间，己有之，则元人所用，亦古法也。此器体制颇简，造作良易，且可合可解，最便于四方行测。又二法以窥衡当半径为全数，以▯尺之长与全数以内之窥衡等者为通▯，平分通▯为若干全数【或百千万十万】数之旁，依八线表并列其相当度分，用时移窥衡就▯数若干，即得其度分若干，免查表。窥衡与▯尺宜相连，宜相切。其法用铜，如图作山口，山口之空如▯尺之厚，下安螺柱，上穿一轴，窥衡之末不尽半寸许作孔，以入轴。入▯尺于山口，以轴关之，▯尺在其空中可进退也。用时开螺柱入尺，移窥衡向日，转螺柱而固之，以进退取景而定度分。

古六环仪第二【亦多禄某所造，以测七政经纬度】冶铜为六环，外内相次，而逓结于黄赤二道之南北极。故敛之则自黄道一圈而外，皆合为圆平面；展之成浑球焉。外第一甲圏，包括内仪，而侧立于半空球之架，平分三百六十度。从天顶起算，南北各去顶一象限，即为地平。此圏恒定不移，以象静天，亦名天元子午圏。次内二乙，为子午圏外规面，切甲圏两旁，合为平面，可以南北移，不能左右旋。从心出庚辛直线，平分圏体线之两端，则赤道南北极也。各为圆孔，以受次内丙圏之轴。查本地赤道极出地之度，以极线上下游移，俾合于甲圏之本度分。如顺天府北极出地四十度弱，从甲圏地平起上数至四十度，以北极切本度分，则定为本地之仪，故又名载极圏也。次内三丙圏，平分圏体线之两端，各施小轴入于乙圏之庚辛二孔，左右环行，是为宗赤道极而过，冬夏二至，名为极至交圏也。圏之上去赤道二十三度五十一分【多禄某时两道相距之度，后世不然，此举其成法，故仍之】仍作小圆孔以受内圏之黄道极。次内四丁圏，平分设壬癸二轴，两端出内外规面，外入于丙圏，内入于戊圏。三圏同轴者，同宗黄道极也，亦同去赤道极二十三度有竒，而旋绕环行。此圏限黄道之经度，容黄道之纬度，故名黄道经限圏也。本圏去本极前后各九十度，设一黄道圏，周分十二宫三百六十度，其大与丁圏等，而纵横置之，相交为直角，两交之处为冬夏二至。从黄极视之为平行，从赤极视之则冬南而夏北也。去交最远之两防为两分。次内五戊圏，与丁圏同极，亦平分三百六十度，为黄道纬度圏。次内六已圏，切戊圏两切之内外规面，一为渠，一为牡，相入焉，可前后移，两旁偕为平面。若一甲与二乙平分圏，设两窥表相向。用法测日躔经度，因甲乙圏巳定本方极出地度分，转黄道丁圏向日，见黄道圏以内无光，知仪上黄道必当天上黄道【上弧揜下弧，故无光，则知日与上弧、下弧叅相直】次定仪独转黄纬戊圏，纵横加于黄道之下，此为黄道极上所出过太阳之圏也，此圏以内亦无光，查黄道圏得两圏所交某宫某度，为本日本时之日躔经度测月与测日同法。若月光▯昧，用测星法如左：以月测星之黄道上经纬度，于日将入时，依前法定黄道上之太阳经度。又转戊圏，以己圏之窥表向月轮，令月与二表叅直，即得月离经度。日入后，又转黄道圏，以己圏之窥表向月，用元定黄道，独转戊圏，以己圏之窥表向星，则戊圏所定黄道一防为星之定经度。先有日月之黄道上定经度，今有星之定经度，可推某星之经度。定纬度则以己圏之窥表向星依星或南或北从戊圏上定本星之纬度。按此仪与浑仪同法，故多禄某依巴谷皆用之。不言广袤者，自咫尺以至寻丈，无不可也。但诸圏一一宻切制造匪易，时时张翕分秒或爽，不若浑仪之一成不易，测候为便。若狭小制度以供行测，则亦未可废耳。

古象运全仪圗古象运全仪第三【西中古日白耳所造】仪有十二物，方版二，句股形版四，圎盘三，半周盘一，窥衡二。首定置甲乙方版为仪之底，名地平版。从版心作子午线，依本方赤道髙作乙丙丁句股形版二，定置子午线之两旁，与平行股向南更作乙戊方版，定置句股版之上，与底版相切于乙，以铰具聨之。作角为本方赤道距地平之角。次于赤道版上，亦依地平版作子年线，平分子午为心，版边为界，作圏圈一寸以内，更作一同心圈，两圏间平。

分三百六十度，从子午起算，版之心立枢轴，与版为直角，贯以庚己游盘。盘之大与内圏等，盘中作两径线，盘周分十二宫。盘边之外，依冬至线作度，指以定赤道经度，是名赤道盘。赤道游盘上定置辛壬句股版二，其角二十三度三十○分【两道相距之度】与两至线平行，股向夏至。次于辛壬句股版之▯上定置辛癸圆盘，是名黄道盘，周分十二宫，三百六十度，从两道之极远处起数，为夏至，从盘心立枢轴，与盘面为直角，贯以丑寅窥衡，衡之两端各设一窥表。窥衡之上，定立卯辰等四柱【或侧板】与衡为直角，附柱侧立己午，定圏平分三百六十度，从本圏之横径起数，其直径线为黄道之垂线，是名黄道纬圏。圏之心立枢轴，与圏为直角，贯以未申，窥衡。衡之两端各设一窥表，未申之上各定置一短横柱，与衡为直角，曰未酉，曰申戌。两柱之端各穿圆窍，别作一方衡，两端为圆枘，贯入窍中。方衡之上定置一半周盘，平分百八十度，因酉戌轴之利转，恒下垂也。半周之心出一垂线，末系垂权。据此仪物以配▯象，则甲乙平版地平也，乙戊欹版赤道也。若运赤道盘，必挈黄道盘以上与偕行。于时辛壬股在南者，即黄道盘政当天上之夏至午正时；若辛壬股在北者，即黄道盘政当天上之冬至午正时。黄道纬圏偕丑寅衡同转，即定黄道之经度。若以未申衡向某星，即定黄道之纬度【纬圏之直径与黄道盘为直角，横径为平行，则平行径之上之下可定黄道之南北纬度】因以垂线所至定此星出地平之髙，测地平上之髙度，转丑寅衡或未申衡向日与叅直视，权线所至去离半周径之度，即日躔距天顶之度。测月若星亦如之。测日躔经度，运赤道盘至黄道盘之上，下面俱无光，此为日与盘之上下弧叅直也。定黄道盘独转丑寅衡至纬圏之前，后面俱无光，此为日与圏之上下弧叅直也。即丑寅衡所指黄道之某宫度，是本时之日躔经度。测星之经纬度，因日月光，再测如前仪法。按此仪重规叠矩，纒连累积，测候所须，亦略备矣。第其展转欹倾，崔嵬摇飏，体过大则作用俱艰，体或小则分数未宻，故后来名厯，姑舍是焉。<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷九十六>古弧矢仪第四仪有七物：干一，衡一，管一，窥表四。干之长，约六尺，方广各七分，冶铜为之【或用铁，若用木则加大】衡之长，当干之长二十分之九，方广减于干四之一。干与衡各先为一管，四分衡之长，以其一为管之长。管之空，干与干等，衡与衡等，入之宻而不濇，则甘苦衷也。既成，干管置下，衡管置上，各以其一端纵横相切。镕金合之【如图】干管之上端加窥表一【此表止一方铜版，不作窍，下同】横之两端各定置一窥表，别作一游表，加于衡，可离可合，转移用之。

两管之旁各作螺柱，每移管至其所欲至，则旋螺而止之。分法横之一面二百平分之【或二千平分用比例规尤便】用元度以加于干之同方面四百平分之。从一端起算则为干首，末位所加为干尾。尾有余地，亦用元度分之尽干而止。干与衡之数，遇十百皆刻而识之。干之一面既为平分，其对面则以度分分之。分度法有二：一法作版与干等长广，为衡之半【用几亦可】案依长边作长线，依衡边【一百】作衡线，两线为直角。衡线之末为心，角为界，作象限弧，分九十度【若细分度，或二或三四五六量用】用尺从心过弧上各度分至长线作短界，遇五书识之。次依长线上度分移分干面，从干首向下起数，遇五刻识之。干尾亦向上起数，则八十【正数】与一十【倒数】七十与二，十六十与三，十五十与四，十四十与五，十三十与六，十二十与七，十一十与八十。初分与九十度俱同线。其向下度分至八十而止者，切线渐远则无数。若至九十与衡之上端平行矣。故凡切线皆止八十度，干长加一二焉。二法半衡为全数，查八线表各度分之切线数，向干之分数面考其相当数之各度分，各作度分线刻识之。用法此仪之用有二：一以测日月星之髙度距度，厯学所用；一以测髙深广远，地学所用【测地法畧见第三卷増题】今所解者测天之用法也。一测日月星之髙度距度法，正立干干，首居上，管加其首，贯衡于衡管之中，左右出等，旋螺固之，权防取直，次转向所测，令衡端之景揜干之分度面，视所得度分，即日月之距天顶度分，以减象限，得地平上髙度分。论曰：如图，衡之甲端为心，半衡甲乙之百分为半径，乙丁干四百为切线，甲乙既为横表，则甲端之景至干面。为戊倒景也。此戊景所得，实日体下。边辛上之景，谓之视景。若日、心、庚所。出景当从甲至己为正景，其较为日。体之半径【日体约三十分半之约十五分】则所得距天顶之数，应减十五分？何者为庚之？距顶近于辛也，所得地平髙度应加。十五分，何者？庚之距地远于辛也，如？是为所求之正度分也。若用壬癸正表则寅为直景，实日体上边子上之。视景而日，心庚所出正景为丑，则所得距天顶之度应加十五分；为庚之距远于子，故所得地平髙之度应减十五分；为庚之髙近于子，故【因上论知，古来圭表测景未有景符，不能定太阳之实髙，盖直景失加，倒景失减，故也。然加减各十五分，以论圆仪则可。若圭上十五分之寅丑差，近表愈少，远表愈多；倒景则反是，安所得定数而加减之？是知圭表测天，实为未确】若横置干以当地平，加垂权衡上，取直半衡之未，景物干得度分为日月之地平髙度分。

二测星之髙度，横置干，直置半衡，目切干首，迁管于衡，进退之，令干首之角，衡首之窥表与星为直线，得干。

面度分为星之地平髙度分向先以衡居干首，半衡为全数，干上得切线数之推定，度分。今衡不居干首，而居中身，何以均为全数，干上度均为切线度？曰：如图，乙甲半衡居干首，甲丁丙半衡居衡中，丙以丁乙直线聨两衡之末，成甲丁长。方形四皆直角，即甲丁乙丙两对角线必等。则目在甲，从丁测；目在丙，从乙测。依句股法，甲丙与丙甲两切线必等，而甲丙所当之丙己弧，丙甲所当之甲戊弧亦等。即与天上之距弧俱相似，其余弧庚己辛戊与天上之地平髙弧亦相似。三测两星相距之度。欲测甲乙两星之距度，用仪倚他物为安，目在干首之上，角丙向衡首丁表之上边，测甲星；又向衡中戊表之上边，测乙星。执管移衡进退之，至目与两表、两星俱叅直，视衡所截干上度分为两星相距度分。若两星相距太远，用衡端之丁己而表测之，进退衡令两叅直，得干度分，倍之为两星相距之度分。若星距甚近，用游表简，衡上数去干面【此不用度分面，用平分面】十分置之，如前进退，测两星令叅直以衡之十分为全数，干上所得为切线查表得度分为星距四测日月之径分，衡在干尾，日在干首，加游表衡上，向衡中表左右移测之，令目过两表见径之两端，俱叅直，得两表间之衡上分四而一【干数四百故】即百为全数，所得为切线，查表得所当分秒，为二曜之径分秒。问太阳光大，目不可正视，当用何法可测？曰：轻云薄露时可测，日出入时可测。又问：日出入时，方之午正时，其体较大，何以得其定分？曰：日体安得以早晏大小？盖出入时因清▯之气映小为大【论见日躔厯指】人目自讹，日体不变也。试观近地平两星元测有定距度分，其出入时相距之势必甚大于午正时【此星之午正时】然地平周三百六十度，两距出入时果大于正中时，则徧测地平上一周之星合并距度，当较三百六十而赢，不赢则安得变两距之度分？今以日径之两端当两星星之出入与其正中也无异度分，日安得有异分？按此仪于地学中用测髙深广远为径捷法，若以测天，微成乖迕。所以然者有数端焉：仪体过大，即度分宻矣，而日景虚淡；体小景直，即度分不宻。一也。所分度数，或依切线表，或以规二法不同，皆以直求曲，则为异类。二也。目视两物，成两直线来至于目，相遇作角，其角当在目睛最中之处，外轮己非，何况轮外干首之角，殆非真角。角既非真，边之比例亦当小异。三也。目视手运，微有振动。四也。一时用目兼测两星，其间度分必难确合。五也。竿与衡应成直角，乃两管交互相合焉，保无差？差之甚微，其失甚钜。六也。今厯家知此六讹，不复施用，别作新弧矢仪如左。

新仪器解天体为立圆，面为环周，线为弧曲。圆与方，曲与直，则异类也。异类相求，亘古无相等之率。凡圭表、弧矢等仪所得度数，不能全与天行相当相准。致差之根，殆非一二【见圭表说，揆日订讹，右弧矢仪说】是以此等皆属权法，而古今名厯大都以圆仪为正。用论其殊致，畧有四端：仪之体正，同天体截为度分，正合天之度分；平仪则否【如圭表测景，日髙景短，一度得一寸；日低景长，一度得二三寸】一也。圆仪用窥衡、窥表、景箫等窍，止容针通光极细，所求分秒毫芒不失；平仪不能得此。二也。圎仪举手得数，即是度分；平仪尚须立成表推算。三也。圆仪七政共用，一当三四；平仪止堪本用。四也。下文并着圗法，以待用器者择焉。仪器之用有六：一、测日月星地平髙之纬度；二、测地平东西南北之经度；三、测日月星各两防相距之度分；四、测日月星赤道上之经度纬度；五、测日月星黄道上之经度纬度；六、测定时刻。古今仪器造法百变，综而论之，其形体则大仪胜小仪，其材质则铜仪胜铁仪、木仪，其置顿则恒仪胜游仪。何者？仪大则分画愈细，可得分秒；小则每度仅容分许，古称若干度半者是也，或分四，古称半及少半、太半者是也；或分五，则称二十四、十是也。故曰大胜小也。铜仪不受侵蚀，永无渝变；铁多锈损，雕锼更难；木多欹斜，易致毁折。故曰铜胜他材也【或用铜铁杂，或用铜木杂，随宜造之；或杂锡木者，则应猝小器，易于雕刻，亦便屡更，皆属权法，不堪久用。铜亦宜纯黄色，须铜多鍮少；若出山铜纯赤，则起防杂锡，则太坚，亦不可用】恒仪定方向，置之永久不易，恒与天行相准；游仪动荡，得数未真。故曰恒胜游也。诸仪为用，皆以求七政恒星分画之界域，躔离之期限，运行之体势。其功力所必资者，则分与窥，其大端也。分欲极细，欲极均；窥欲极宻，欲极确。此二者，厯学之资用，仪器之权舆。古今名史，咸究心焉。今先具两公法首端，向后诸器，悉此取资，无烦备载。一窥法。窥法之用器有二：一曰窥衡，一曰窥表。窥衡者，即古之窥管、窥箫也。管孔大，即测騐未真。今欲造一管，其孔仅大于黍米，或小于芥子，长数尺，欲以之从上照而得日景，以之从下觑而见星体，则无法可作。故用窥衡焉。测日之衡，长与仪等，广与定度平分其广，去其半而不尽。其一端所不尽者，其长与广之元度等，是为衡首。衡首之制，剡为圆形，形之心，是为衡之心，亦即为仪之心。从心出线至于衡之末，依半衡之边作一直线，名曰指线。近衡之两端，各立一铜版，其形长方，广四则，髙六可也。

是名窥表。立表与衡之平面为直角，表之两面各取中，作指线之垂线，名曰心线。两心线之上去衡面等各作一防，是为表心。表之近衡心者，曰上表。上表从心作圆孔，最大者无过一分【宁用周尺，勿用市尺，若仪大孔】【小二表之相去逺，日光必淡，孔大距远则光愈大，非下表可容。若仪小则表小孔亦小，为距近得光易】其在衡末者曰下表，表心不作孔，从心作大小数平行，距心圏务令上表之孔，下表之心俱与指线相直，而去衡之平面等髙。次剡薄木板为方管，三中管之广如衡首之广，其长如衡三之二，两端之管小于中管，其长如中管二之一，其广无度。既成，入之中管，宻而不濇，可也。中管之中，相去尺余，为螺旋之柱二三，以合于衡面。小管入于中管，出入之各切其所当之表，即两表间无容光之隙，故三表之总名曰景箫。景箫者，承上表所受之光束而致之下表也。下管之切下表不尽，五分刻方孔，令从旁得见下表之面。用时加管受光，因表间之黝黒，即下表之受景也。真【日体正圆，孔圎所受之景亦圎】次令景之圈合表面之距，心圏转仪及衡左右下上之必合乃止。次视指线之末所当度分即所求之度分若不用衡，则从表向仪心之线为指线。盖圆仪之弧上所定度分，皆宗仪心故。测星之窥衡，则异前法。上表之髙广各若干，下表倍之。下表之面作方形，三线与上表等。线外三面作方孔，孔之长稍杀于中方之长，其广无过一分。用时，目居下表之后，令中方揜星，从三孔察上表之同方边，各见星即目。与两表与星皆叅直，或两表各依心线，一左一右，各去其四之一，令星居两阙间一线之上，亦得。目与表与星相叅直，若不用衡，则以圎柱代上表，其髙广与之等【用衡者，上下两表恒平行；不用衡，则下表依弧迁，而上表不与偕迁，即不得为平行。代以圎柱，则随所至与上表等广，不失为平行】表或柱若在大仪，宜得一寸以下，恐暮夜不可得见也。凢仪不用，窥衡即为游表，置之▯上以当下表游表之制，或用翕版，或用螺柱。以合于弧如圗，甲乙为表，版丙丁，乙戊。二版与甲乙为直角，以夹▯而稍寛，戊乙版上别加一刚铁薄版，其广与戊乙等，其长三倍之。己庚两端稍昂起，按之则下令两夹入于▯边，弛之复起，即庚己两端急合于弧，令抱而不脱，故庚己名翕版也。或不用庚己，而于戊乙版心作螺旋之孔为辛，以螺柱从下转入之，渐转之，亦急合于弧。一分法凢平圎面从心出四线四平分之每分为一象限分度者或以全或以一象限其分法有二一旧法一新法旧法用象限平面直角为心弧边为界自外而内作四十五距等平行圏外一圏分九十次内二分八十九次三分八十八次四分八十七如是逓减一分以至四十五弧为四十五分每弧之端识以命弧之数每弧之分遇十遇五各识之加窥衡加权线以架承之用法凡测日月星之髙用权线或窥衡之指线必切一弧之一分若切外一圏之一分因弧为九十度即所切为所求正度若切向内某弧之一分则以本弧之若干分为一率以所截某分为二率以九十为三率推第四率得度不尽以六十乘之以本弧分数除之得分又不尽又如前乘之除之得秒又不尽又如前乘之除之得微假如截第二十圏之四十分，本弧之分数为七十。

则七十与四十，若九十与某数，算得五十一，不尽三十。六十乘之，七十除之，得二十五，不尽五十○。再乘再除，得四十二，不尽六十。再乘再除，得五十一。总之得五十一度二十五分四十二秒五十一微。如取数欲宻，如前再乘除之；欲简，视所余满半收为一，不满去之。右法有本论，有分图，本法西儒丁氏所创，能于一线所至悉得度分秒微，可谓巧思絶人矣。然而分圏己繁，悉分诸圏则又繁，每求一率，当乘除数四则，又繁。埀线所至交于多分，遇有二三疑似，亦难辨决。且仪面平实，体质过重，以彼材物造为空中之仪，岂不倍大？故近来名史改用后法焉。

新法一象限分九十度，每度又当为六十分，一度之弧不容分矣。今以直角为心，边为界作弧，次内复作一弧，两弧相距为五十分，半径之一约，每两度两弧之间各成甲乙丙丁方形。又从心作线六平分之，成戊丁庚己。等六长方形各形作戊丁等对角线每线十平分之仪，大则二十平分之是一小分，为六十分度之一，一分也。或为百。二十分度之一，三十秒也。因戊丁对角。线大于丁己弧，则其小分亦大于弧上之小分。

论曰：凡直线方形之对角线，任为若干分，从各分作线与两腰平行，必分底，而底之分与▯之分比例等【几何六卷十题】今从心所出之甲丁、乙丙两腰，非直线形之两腰，即甲乙丁丙两底不等，或疑以为难用，不知仪大弧小【六分度之一五千四百○分象弧之一】以较。直线形所差极微，或言度数之学在于慎小，一秒之差，独非差乎？曰：然，姑以数。计之则所差者，非目所能见，亦非推算所及用也。试如本书四卷所推，半径为十万，全周为六二九一五五，三百六十度为用，六乗之得全周之分弧，如丁己者二一六○，以除全周得二九一又四之一，不尽，丁己所得周数也。又于半径减五十分之一，得九八○○○，从心至甲至乙之径也，求其周得六三○二八六，以二一六○除之得二九六又三之一，不尽，甲戊所得周数也。两数之较五，即丁己弧大于甲戊弧之数，约为六十分之一，则十秒也。又各十分之，则两小分小大之较一秒也。若所求数为一度，则最后小分之较三千六百秒之一秒也；十度则三万六千秒之一秒也。岂目力所及见，推算所及用哉？

新法测髙仪第一　凡六式一式曰象限悬仪，作象限直角为心，旁一边定置窥表二。分弧为九十度，又细分如前法，从窥表。边起算仪，心为枢，倚柱。柱之下端为圆。轴以入于架，从枢以髙下举，从柱以左。右旋可周窥也，从枢心出，垂线加权。用测日月星之髙，转仪向所测垂线，所加度分即距天顶度分【或日月星近地平，近天顶，仪体过重难举，亦可仪中作枢，不必定在直角】二式曰：平面悬仪，作平圎面，顶有连环，随所在悬之，自为垂线，从心作横直线为地平，周分三百六十度，仪小依。几何法【三卷二十题】分一百八十。每分当二度又六十分之如前法仪周作两平行圏以容度分内弧之上从顶左右各取二十二度半作圎孔，各加转表一【或止用一】【表】转表者，依表之心线为枘，以入于仪周之孔，其端外出，以螺旋止之。仪心为枢，贯以窥衡。衡之首，依指线作度指，以取度分。衡之末稍短，勿及于弧周之表。又须订取其重心，令左右平【凡物皆有重心，以为机轴，则易转。如衡之枢，两端置等重之物，订之而平，则枢为重心。説见造形法】衡首之指线交于内弧之一防，作孔，亦加转表，与仪边之转表同居内弧一线之上也。仪边表从心向上，每五度、十度刻识之，至九十度而止。若二表则各向上交错，并识之。用测日月星转衡，令两表与某防叅直，转表令平行【两表上两孔相对即平行】则度指所当度分为地平上之髙度分，如图，甲丁为仪上之两表，其距天顶等，即甲丁线为地平丙乙为窥衡乙为衡首之转表乙从甲向日得光相叅直即丁乙弧为地平上之日轨髙何者丁丙乙为在心分圏角乗丁乙弧丁甲乙为在界负圏角亦乗丁乙弧几何？言两角所乗之弧等则分圏角倍大于负圏角【三卷二十】今丁乙为六十度弧【三百六十分之】即丁丙乙为六十度之角。丁丙乙半之，即三十度之角【甲防止论负圏不论在分圏角之内外】元分周以一百八十度，今从丁起算至乙得三十度，是丁甲乙角之弧【元设以二当一】三式曰：「象限立运仪，造象限分度如前法，订取重心，置轴。」与立边平行轴之两端，加以铁枢。上下各以架受枢，平边在上加窥。衡权线如常法，下架有立柱，柱之端为铁环以承下枢，环之径三倍。于枢之径，环之三面各加螺柱，横入于环出，入展缩以进退，枢令就合于垂线也。四式曰：象限座，正仪如前造。象限纵横木为架，架底之四。隅加螺柱三，展缩髙下以取平，令合于垂线五式曰象限大仪，木造，大象限，锻铜为分弧之边，为窥衡之面，为表，半径长十尺以外，细分弧可得至十秒，此仪体质重大，运动惟艰，可依正子午线倚台墙定置之，以测日月星午正时之赤道纬度。六式曰：「三直游仪」，见旧法第一章。

新法地平经纬仪第二　凡一式地平经度者，分地平圏为三百六十。从天顶向各度作一百八十过心大圏，以限地平之经度，容地平之纬度也。从午正向东、向西各起算，或从北、从东西皆可。仪法作全圏，循周为渠，以注水【或用准平之器】弧分三百六十度，每度任细分之。中心为圎孔，定置之，去地二尺余，与地平平行，承以六础，或以台架。别作象限，其半径与平圏之全径等，平分其径，与平边为直角，而傅之轴，轴之下端入于平圏之孔，即象限侧。

立于平圏之上，相与为直角，而环行不滞，可周窥也。平边之下，依正线【过平圏心之线，亦过轴心之线】为衡，左右出。其一端居仪之背，立斜柱以支仪；一端居仪面，作指线为度指，以取平圏之度。其窥衡等如前法。用法定仪，依子午线取正，水准取平【求子午线诸法，见厯指一卷，指南针此地徧东无定度，难可为据】测日或星【各用本测窥表】转象仪向本防升降，窥衡取叅直，即得地平上之髙，为纬度，度指所当平弧之度分，距子午或卯酉，为地平之经度，依此经纬度，可推赤道经纬度，可推日月五星之视差，地半经差，清▯气差等。详论造法：为移动之仪，宜三足，足下以螺柱取平。大仪难运，则其底切地盘处，加两辘轳之轴。仪髙恐摇▯不直，则长其轴上切于仪背，下入于架之底，架之底为铁窽以承之。轴欲粗，或仪背作一句股形，其股切仪，其句合于地盘枎柱以取直也。窥衡欲广，欲厚细而薄，则挠而不直，以定髙下前后不相应。衡之末为钩以止之，仪之后螺旋以固之。窥表宜为二具，一测日，一测星。

新法距度仪第三　凡三式测日月星两防相距，别有二法：一、同时测两防之地平经纬度，以推其相距度；一、用赤道仪求其赤道上经纬度，以推距度。俱见本书第六卷。今用仪器三式测得之，省算。

弧矢新仪圗一式曰：弧矢新仪，畧如旧式。一干二衡，干长四五尺，大衡之长与之等，小衡之长为干二之一。平分两衡之中，而为凿干之两端，俱为方枘，入之各左右为支柱，凡四。支柱之两端各以两螺柱固之，不用可解而散也。凡螺柱十六，两衡之交于干也，左右各为直角，前后各为平面。干与衡之方广，用木则三四寸，用铜铁则周尺一寸以下。其表，小衡上有三，皆圆柱定置之。大衡二一定一游，分法：干之一面为一百平分，或一千平分，仍以元度分。大衡【细分可用对角线，如前分法】其对面则依前旧仪法分度数。干之度数从干首起算，干首者近大衡之一端也。衡之度数从衡心起算，左右分列之。小衡之分，用切线之数，左右分列之，各至十度而止。小衡之定表三，中一，左右各一，皆圎柱也【表之径线合十度之线】别作窥表二，则于大衡之上游移用之。又定置一窥表，居大衡之心。仪之全体，订取其重心，以为仪心，刻识之为架，以承仪。架有柱，为山口，以合于仪心，螺旋固之。柱与架为三运之枢轴，左之，右之，髙之下之，平之，侧之。惟所用之【三运之法，山口之下为横轴，以髙下运；横轴之下为鹤膝，以平侧运；鹤膝之下为立轴，以左右运，又名六合之纽】用法：测两星相距，置仪于架，一人从大横之中表过小中表，窥某星叅直定仪，一人用游表于大衡之上，进退之，过小中表，窥他星，令叅直，次取大中表至游表之指线所定度分，即两星之距度分。若两星太近，难容并测，则一人置游表于大衡之左十度，向小左表对某星；一人置游表于大衡之右，向小中表游移之，与他星取直。则大衡心至右表之度，分为两星之距度分。何者？左两表之视线与中两表平行，两线与右表之视线各作角，必等。若两星距远，过仪之度限，非前法可测。则置游表于大衡之左十度，一人从大左表向小右表，一人用大右表游移向小左表，交测之，得大衡之两表距，以加小衡之两表距【定为二十度】为两星相距远之度。解曰：甲乙为干，丙乙己为大衡，丁甲戊为小衡，甲丁乙丙各十度，己为游表目。从丙【大左表】过戊【小右表】见星，作丙戊视线；从己【大右表】过丁【小左表】见星，作己丁视线。两视线遇于庚，成丙庚己角，即两星相距之角。何者？试从丙作丙丁线与甲乙平行，成丙丁戊形，丁。戊为丙角之切线【定为二十度角】又成丙丁。己角丙，己其切，线则丁为大衡，两表。之距度角，而丙丁两角之度并之为丁戊、丙己两线之数，夫己庚丙角为丁庚丙三角形之外角，必与丁丙两对角等【几何一卷十六】故曰丙己丁戊两线数并为两星相距度者，丙庚己角也。二式曰：弩仪。仪一干一弧。干之长为弧之半径。弧之通▯，其长与干等。左右为支柱各一。弧之中设，定表一旁用。

游表各一干之末弧之心也定置窥表一两人并测如上法三式曰纪限仪【纪限者，六十度也】其弧为全圏六分之一，两旁各作一半径，成三角等腰杂形。以坚木为之中，多説輄纵横以为固。锻铜加于弧之边，依法作细度分。弧之心测星，用圎柱；测日用窥表。更置之弧上，设两游表，订取重。

心依重心为三运之枢以架承之或以台承之用法一人从弧上一表过圆柱见某星一人从他表过圆柱见他星两游表间度分为星距度分，三运法仪，背加两环，圆轴入之，又依圆轴为径，作半周圈，架心立圆柱，可周转柱上为山口，以容周与径，容周。之处空而利转，容径之处为小圆轴。以聨之三运处，宁苦无甘，寛则难定也。

新法赤道经纬仪第四　凡二式测赤道纬度别法，星在正午圏，测其地平纬度【即地平上髙】得数内减赤道髙度，为某星之赤道纬度。若星在天顶北，测其北髙内减北极髙度，为星距北极之纬度。若星在子午圏外，则测地平经纬度，可推赤道纬度，此借法也。其本法，当用本仪。

【赤道经纬简仪图】

一式曰赤道经纬简仪，用全周圏、一半周圏一全圏之用，在其外弧设纵横诸輄，以固其内；半圏之用，在其内防设正斜支柱，以安其外。当全圏之心而设轴，与圏面平行，轴之两端为两极，设架北髙南下，各为圆窍，以受极其髙下之较，本地北极出地之度分也。是为过极经圏，半圏者仰仪也。内防向上斜置之，为赤道之地下半周，与全圏为直角。转全圏则切其内防面而过之。分法，全圏从极起算，又从赤道起算，交互识之；半圏从子午线起算，分识之。全圏之上设游表，轴之心设柱表，如前图，甲乙丙丁为全圏，甲丙为两极，乙戊丁为赤道，乙己丁为半圏，庚辛为架底。于庚辛架上，从癸别作一横底，两端立柱，以承半圏之丁乙定置之；半圏之己亦定置于元架之壬。转全圏则乙戊丁赤道切半圏环行。用法，转仪用游表左右进退过柱表而见星，即从弧上行星距赤道南北之纬度分，或距北极之纬度分。又全圏切半圏得赤道上星距子午圏之经度差。

赤道经纬全仪图二式曰：赤道经纬全仪，用四全圏。外第一甲圏，分三百六十度，如本方北极出地之度，斜入于半圏之架，定置之，是为子午圏。次内二乙圏，乙之外规面与甲之内规面，宻相切而结于南北两极，是为过极圏，亦名载赤道圏。次三丙，是为赤道圏，纵横合于乙圏，两交处皆作直角，又各作凹以相入，令两圏之内外皆为平面也。次内四丁，亦结于两极，为过极圏，以容赤道之纬度，又名赤道纬圏，与乙丙二圏宻相切。两过极圏贯以一轴，而合于甲三游圏之各两侧面，皆依法为细度分，亦作游表数。

具于各弧之上，游移用之轴心立圎柱表架之上，两端准地平以定极出入之度，置仪依子午线以取正，加垂权以取直。凡聚圏为仪，欲极圆令规面相切，宻而不碍枢轴，欲正傅轴，勿于规面，于侧面，轴之心与侧面为一防，刻面为半圆而合之，加伏▯以受之，何故为度分之界？指线所切，窥表所及，皆在侧面，故。用法，以测两星赤道经度差。一人用游表于纬圏，向中柱表对星；又一人用游表于载赤道圏，向中柱对他星。即两过极圏所限赤道圏上度分，为两星之经度差。又两圏上两游表相距度分，即两星距赤道南北之纬度分。

新法黄道经纬仪第五　凡一式黄道经纬度仪与赤道经纬仪畧同，用四全圏。外第一甲圏斜入于架，查本地北极出地度定置之，为子午圏。次内二乙圏外切甲而结于赤道，两极为过极圏，距赤极二十三度三十一分三十○秒，为黄道极。距黄极九十度，横置。次三丙圏，曰黄道圏，与过极圏交为斜角【即六十六度二十八分三十秒之角】故乙圏又名载黄道圏也。乙丙之交为凹，以相入，令内外规皆平面。次内四丁圏宗黄道极，外切于黄道圏，是名黄道纬度圏。中设黄道轴，轴中心立圆。

柱表作游表用，架用权线等，与赤道同法。用法求某星之黄道经纬度，一人于黄道圏上查，先得某星之经度分【测黄道度必以显推隠，显者为先得之某星，隠者为今所求，先得之初星必用日月太白逓求之法，见《恒星厯指】加游表其上，过柱表对星定仪。又一人用游表于纬圏上，过柱表对星游移取直，即纬圏上游表之指线定某星之纬度。又定仪查黄道圏与某圏相距度分，即某星之经度差。右黄赤二仪用法，详见《恒星厯指》。

西史第谷所用仪器总目【附】近四十年前，西史第谷覃精星厯，四十年中，朝夕候验，无间寒暑，诸方行测，不远数千里，有门下髙足十余人，所用仪器甚多，皆酌量古法，精加研审，多所创造出人意表，体制极大，分限极精，勘验极确，尝自选厯器，解其造法用法，著书一卷，近来厯学推为名宿，于器于法多宗用之，今畧叙其器目如左。

测髙象限　计六式一式铜版，为象限，半径一尺五寸，中平面刻先儒丁氏分弧法，有铁座，有立枢，有垂权，座之四隅有螺柱以取平。二式裁铜为二，径一弧，合成仪中虚，则体轻。三式冶铜为大，象限半径八尺，倚墙南向，定置之。其细分可至五秒，用游表测七政过午正度分。四式，以木为径，弧铜版为弧面，有游表，有枢轴，有架，旋转周测，半径七尺。五式铁为象限，外有矩度，下有地平圏，以测地平经纬度，其半径八尺。各有度分，小衡用柱表，小弧用游表，可测相近两星之距。度分下设三运之枢，余如常法。三式为防仪，冶铜为两股，长七尺，上端为枢，心有弧，入于股之下端，开阖之两腰间，加螺旋之弧，随弧开阖，欲止则以两螺圏固之，枢心立柱，表弧上设游表。

黄赤道经纬度仪　计四式一式为赤道简仪，一全周，一半周，径一丈一尺；二式为三圈仪，即赤道圏载赤道圏子午圏径七尺；三式为赤道四圏仪，径七尺。

四式为黄道四圏仪径七尺浑球大仪　计一式作实圆球，内木，外铜，径一丈，十年乃成。上定各星经纬度，诸道诸圏无不备具，可量度宗动天之度数。球外有子午全圏，地平全圏，地平纬象限弧等。此外有古弧矢、平浑环仪等，体制既小，分数未宻，止堪行测，不为大用。别有图说，兹未备载。

圭表仪【附】用圭表以测日髙，见表度说有五题，今引用之，详见本篇。一、地球在天之中【云“天中者，在恒星天宗动之中也”，七政则否，说见《厯指】二、日轮随本天周动，下向地平，其环转皆平行，故地体之上立表取景，亦平行【日有最髙、最髙冲，不得为平行，此之然者，以测日髙所差甚防，可置弗论耳】三地、球小于日轮，从日轮下视地球，上于一防【若细测细推，则地与日有比例，有地半径差，非大圆仪测候不可得算，此聊畧取景，不能及此说见厯指】四地本圆体【山髙海深，或疑非圆，不知髙深甚微，如一大圆，径数十丈，加之一芥，损之毫末，不害为圆】五表端为地心【以此测恒星则可，若日月五星则以地平距地心之半径为差，测七政本天距地之度分，安得弃而不用乎？特所差甚微，此姑不用可耳】分表用全数，或百分，或千分，欲得其度分数，从八线表取之。造表有二法，一为直表，以取正景，表直则为平圭；一为横表，以取倒景，表横则为立圭。其法畧同。凡圭与表必相与为直角，直角者，从表末施垂线，系以末锐之权，下至表面所切圭面之一防，即以起算是直角也【取景以表末为主，不论表之体势】圭欲极平，立圭欲极直。平圭者，或为渠以水准之，或为准平之器以定之。立圭则以垂权正之。分圭之度，即用分表之度。圭之长倍表极，愈下表当加长量作之。日升表前，即表后得景，则表、圭、日光成三角形，表为股，圭为句，日光为▯。表为半径，全数，圭为切线，日光为割线【见本书一卷论直角形法】查八线表切线数得度分，即日躔天顶度分，以减象限得日髙度分。按《元史》言：表短则分秒难别，表长则景虚而淡。又以表端测晷，所得者日体上边之景，实非中景。郭守敬辈创为景符，今台官遵用之。郭氏此法，既得实景，复得中景，可谓思致▯通，度越前人矣。其制以铜叶，博二寸，长加博之二，中穿一窍，若针芥然。以方閵为跌，一端设为机轴，令可开阖。搘以一端，使其势斜倚，北髙南下，往来迁就于虚景之中。窍达日光，仅如米许，隠然见横梁于中。令台官以方木代铜，便于旋转；以隙缝代圆窍，易于得景。其理则同。或问：景符之得实景，则从隙孔透光至于圭面，不至散越，其理甚明矣。若用景符而得中景，其理谓何？曰：此属度数家之视学也，具有本论。今畧借五题解之一：曰，有光之体自发光，必以直线射光至所照之物；二曰，有光之多体同照，光复者必深，而各体之本光不乱；三曰，有大光体中有暗体，分光体为二，即一光体为有光之两体。四曰：光体射光，过小圆孔，若所照不远，则光仍如本光体之形。五曰：两光体各射光过小孔，反照之上，体之光在下，下体之光在上，右在左，左在右。用横梁暗体也，分日轮为上下二分，即成两光体。两体之两光过隙，则日上分之光在下，下分之光在上。横梁在上下之间，实得中景。塔影倒垂，义同于此。若不用梁用表末而欲得中景，即定用郭氏旧式，用圆孔迁就于虚景之中，令见半圏之光。此半光者，▯必在下，弧必在上，而其▯则表末之景也。盖日轮半在表末之上，半在表末之下，而上下相易，故。