新法算书卷八十一

新法算书卷八十一

钦定四库全书新法算书卷八十二。明。徐光启等。撰。八线表卷下。

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二><子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>增凡所设之弧过象限而求其正▯等线者，即以半周。内减之用，其较查表，即得所求。如设一百。三十度之弧，求其正▯即以一百八十度。减之余五十度，查五十度之正▯切割等。

线图説见前论乙丁为一百三十度之弧，其正▯为丁。己，其余丁、庚则丁己线为乙丙丁弧及丁。戊，两弧之正▯，他线类如此，则查表用五十度之弧，亦得一百三十度之▯等线数。

八线表代句股开方法一设股▯求句，用正余▯代【直角傍两腰各能当句股两名互用之同理】法以▯【外数】为一率，全数【十万】为二率，股【外数】为三率，如法求得第四率【即正▯内数】查八线表正▯相近而略少者取【其余▯以设】▯乗之得数，右减五位，即所求勾数。如▯为五十八，股为二十五，以全乗股，得二五○○○○○，以五十八除之，得正▯四三一○三，查表正弦与此数相近而略少，之余▯九○二三三，以设▯五十八乗之，得五二又三三五一四，为所求句外数。一，五十八【▯外数，设数】一，十万【▯内数，即全】二十万【全数】二五十八【▯外数】三二五○○○○○【股外数】三九○二三三【勾内数即余▯】四四三一○三【正▯内数】四五二又三三五一四【勾外数】二设勾▯求股【亦用正余▯代】法以▯外数为一率全数十万为二率勾外数为三率如法求得第四率【即勾内数正▯】查八线表正▯相近而略少者取其余▯以设▯乗之得数即所求股数如▯为一万二千九百四十五，勾为七千七百六十七。以全乗勾，得七七六七○○○○○。以▯一万二千九百五十四除之，得正▯六○○○○。查表正▯与此数相近而略少，之余▯八○○○三【去三作○】以设▯一万二千九百四十五乗之，得一○三五六，为所求股外数。一，一，二，九，四，五【▯外数】一，十，万【全数▯外数】二十万【全数】二一二九四五【▯外数】三七七六七○○○○○，三八○○○○。

四　六○○○○　　　　四　一○三五六三设勾股求▯用割切线代法以勾外数为一率，全数为二率，股外数为三率，如法求得第四率【即切线内数】查八线表，切线与此数相近者，取其割线，以句外数乗之。

得数右减五位即所求▯数如句设一百五十六股设四十七，以全乗股得四七○○○○○，以句一百五十六而一得三○一二八【即切线内数】查表切线与此数相近者之割线得一○四四四○，以句一百五十六乗之得一六二九二六四【即所求▯○】一一百五十六【句外数】一十万【全数】二，十万【全数】二，一百五十六【设句】三，四七○○○○○三，一○四四四○【割线内数】四三○一二八四一六二九二六四○新法算书卷八十二<子部,天文算法类,推步之属,新法算书》>钦定四库全书新法算书卷八十三。明。徐光启等。撰。防何要法。

防何总论防何家者，脱物体而空穷度数。数其截者，度其完者，度有三：曰线，曰面，曰体。线以度长短，面以度广狭，体以度厚薄。线自▯始，▯引为线，线展为面，面运为体。▯者无长，线者无广，面者无厚。▯为线之界，线为面之界，面为体之界。体不可为界，▯线面体防何之论起焉。

界说章第一【十六则】界者，一物之始终。解篇中所用名目，作界说。

第一界防何者度与数之府也第二界▯」者无分无长短广狭厚薄故无分如上图甲「▯」真圆□一真平相遇处止一防毕世积防不能结线【凡图十干为识干尽用十二支等字】

第三界线，止有长，无广，厚，如一平面。光照之，有光无光之间，不容一物，是线也。如上甲乙图，毕世积线，不能结面。

第四界面者，有长，有广，无厚。一体所见为面。凡体之影，极似于面，无厚之极也。如上甲乙丙丁图，毕世积面，不能结体。

第五界体有长，有广，有厚，如上甲乙丙丁戊己庚图。

第六界分者，防何之防？何也？小能度大而尽之，无赢不足者，以小为大之分。若小不能尽度大，当称防分。防何之防？如上甲乙四，与丙丁八，戊己十二等数，皆能尽分者，则甲乙四为丙丁八、戊己十二之分。若庚辛四与壬癸六一，即赢二，即不足，不能尽度者，不得正名为分，则称之为三分六之二【他数仿此】

第七界▯者」非防何故，不能为线，及诸防何之分。

第八界线非广狭之防，何故不能为面之分？

第九界面非厚薄之防，何故不能为体之分？

第十界线有曲直，线之一▯能遮两界，是直线。如上图，甲乙不遮，则不直。如下图，丙丁。

第十一界面之中间线能遮两界，不碍不空，是平面，如上图甲乙。丙丁不遮，则不平，如下图，戊己庚。

第十二界直线垂于横线之上，为横线之垂线。如上图，丁乙为甲。

丙之垂线第十三界两直线于同面行至无穷，不相离，亦不相逺，终不得相。遇者为平行线，如上甲乙丙丁两线。

第十四界两防何以防何相比之理为比例？两防何者？或两数，或两线，或两面，或两体，各以同类大小相比，谓之比例。若线与面，或数与线，此异类不为比例。若同类相比而不以防何，亦不为比例也。如白线与黑线，或有穷之线与无穷之线，虽则同类，实无比例。有穷之线，毕世倍之，不能及无穷之线，故也。凡比例有三种，有数之比例，有量法之比例，有乐律之比例。本卷论量法之比例。

第十五界比例相续不断为连比例，其中率与前后两率递相为比例，而中率既为前率之后，又为后率之前，如上图甲二与乙四比，乙四又与丙八比，是也。第十六界中率一取，不再用为断，比例如上图：甲四自与乙八比，丙六自与丁十二比，是也。

备噐章第二防何在厯家则多用图画。图必先备噐。噐有三：曰尺，曰规，曰矩。尺以画线，而贵直；规以画圜，而贵调；矩以画方，而贵凖。噐凖矣，不识用法，则茫无措手。今以用法着于篇。

审尺章第三画图首画线，线贵直线，界于尺，故先求尺直。如甲乙为尺面，丙丁为尺侧，一棱先以丙丁画一戊己线，丙合戊，丁合己；次转丙丁棱，画一己。戊线丙合，己丁合戊，不出不入，则尺直矣。不直，再当琢削。画线，章第四。尺既直矣，线可无曲。然画时又有法，须以鐡或铜铸笔，上长其柄，令可把；手下截濶出，复渐窄而下，其正面削。极平背令稍圆，去末寸许，作一小窝窝下渐细至末，用时以墨汁入。小窝以平面▯倚尺作线，则墨汁自就下。或恐墨污其地，将尺削去丙丁侧一棱，则墨线莹细如丝。即作于规末，亦得。

审平面章第五平面者诸方皆作直线法曰：如甲乙丙丁为面，欲审其平，即用直尺施于甲角，绕面运转，不碍不空，全合直尺，是平面也。

引线章第六有一短直线求平引长之法曰：如有甲乙线，欲平引长之，先以甲为心，以乙为界，画小半圜。以乙为心，任取一度，于小半圜上下各作规界线，为丙，为丁。次以丙、丁为心，任取一度，向前作短界线，相交为戊。末引甲乙线至戊，则得所求。若欲更引长仍依此法平分直线章第七【法有二】

有有界之线求两平分之第一法如有甲乙线，求两平分，先以甲为心，任用一度，但须长于甲乙线之半，愈长愈凖，向上向下各作一短界线，次用元度，以乙为心，亦如之，两界线交处即丙丁，末用尺作丙丁直线，即甲乙有界之线两平分于戊矣第二法若所分之线下面无地可作短界线，即于甲乙线上先画两短界线于丙，次或开或收规度，仍前从甲从乙向上又作两短界线于丁，规度愈相逺，画线愈凖，末以丙丁二交用尺。

如前画线则得所求作垂线章第八【法有四】有一直线，任于一▯上，求作垂线。

第一法甲乙直线，任指一防于丙，求丙上作垂线。先于丙▯左右，任用一度，愈逺愈凖，各截一界为丁，为戊。次以丁为心，任用一度，但须长于丙丁线，向丙上方作短界线，次用元度，以戊为心，亦如之，两界线交处为己，从己至丙，以尺画线，则得所求。

第二法于丙左右如上法截取丁与戊，即任用一度，以丁为心，于丙上下方各作短界线，次用元度，以戊为心，亦如之，则上交为己，下交为庚，末作己庚直线，视直线交于丙防，即得所求，若丙防在甲乙端上，则当暗引长甲乙线，后如前作，亦得。

第三法若直线甲端上求立垂线，又甲防外无地可暗引线，则先以甲乙原线上方任取一防为丙以丙为心，甲为界，作大半圜，圜界与甲乙线相遇为丁，次自丁至丙，依前法作直线，引长之至戊，为戊丁线，戊丁与圜界相遇为己，末自己至甲作直线，即所求。

第四法若甲乙线所欲立垂线之防，乃在线末甲界上，甲外无余线可截，则于甲乙线上任取一防为丙，如前一二法，于丙上立丁丙垂线，次以甲丙丁角两平分之【分法在后三卷第四章】为己丙线。次以甲丙为度，于丁丙垂线上截戊丙线。又用元度，以戊为心，向己作短界线，为庚。末自庚至甲作直线，得所求立垂线。章第九【法有四】有无界直线，线外有一▯，求自彼▯作垂线至直线上。

第一法如，有甲乙无界直线，直线外有丙防求自丙防作垂线至甲乙线。先以丙为心，向直线两处各作小半圜，或两短界线，为甲，为乙。次仍用一度，以甲为心，向丙防相望处作短界线。又以乙为心，亦如之，两线相交处为丁，末自丙至丁作直线，截甲乙线于戊，则丙戊为垂线。

第二法于甲乙线上，近甲或乙，任取一防为心，以丙为界，作一圜，界于丙防及相望处，各稍引长之。次于甲乙线上，视前心或相望，如前图或进或退，如后图，任移一▯为心，以丙为界，作一圜，界与前圜交处，得丁。末自丙至丁作直线，得丙戊垂线。

第三法若丙防垂于甲乙线之界，不能于丙▯左右画圜，如前二图；又或不能暗引长甲乙线，则当以甲为心，于丙▯及相望处各作短界线，于丙于丁；又进以乙为心，以丙为界，仍相望作两短界线。末从丙丁二交处作直线，则得。

所求第四法若甲乙线在面之邉，且下无地可措规，如前四图，则当用前章第三法。或以丙为心，任指甲乙线上两▯为丁、为戊。次任取一度，以丁为心，向丙上作短界线。次用元度，以戊为心，仍向丙上作短界线，交于己。末自己至丙作直线，引长之至庚，得所求。又有便法，在后平行线中。

作平行线章第十【法有三】一▯求作直线与原设直线平行。

第一法于甲▯求作直线与乙丙线平行，先任作甲丁线与乙丙斜交，次以丁为心，任作戊己圜界，次用元度，以甲为心作庚辛圜界，稍长于戊己，次取戊己圜线为度，于庚辛圜界截取庚辛，末自甲至辛作直线，即所求。

第二法先以甲▯为心于乙丙线近乙处，任指一▯作短界线为丁。次任用一度，以丁为心，向丙截取一分，作短界线为戊。又用丁戊元度，以甲为心，对甲平行作短界线为己。次用甲丁元度以戊为心，对甲平行，作短界线于己末，自甲至己作直线，即所求。注曰：凡有不等度，须一度用一规。始元度不爽，如一规而数易其度，则元度永不复矣。此丁先生秘法。注曰：「以上二法，以甲防定逺近。若无甲防，任指所欲逺近为界，可当甲防。」

第三法此法比前法更简易，即西本防何亦未载，乃敝师伯先生所授。如有甲乙线，任逺近求作平行线，近甲取心向上，以所求逺近为度，作小半圜。次用元度，近乙取心向上，复作小半圜。末以尺依半圜为界，作直线，即所求。注曰：以上平行数法，可推用作沿邉直线之垂线。如有甲乙线，求乙线界上作一垂线，先以乙为心，向甲任取一防为丙。又用元度，以丙为心，向甲指一防为丁。又以乙为心，任取一度向上方作一短界线，愈逺愈凖。又以丁为心，用元度仍向上方作一短界线，与前界线相交于戊。次自戊至丙作垂线，末以前作平行线法。随用一法，以丙乙为度作平行线，正垂在乙防上，即得所求。求分一直线，任为若干平分章第十一【法有四】凡造厯，象数欲分直线为不等分，不谙其法，大费手力，抑且不凖，宜熟后法以便用。

第一法如甲乙线求五平分，先从甲任作甲丙线，为丙甲乙角。次从甲向丙任作五平度，为甲丁，丁戊，戊己，己庚，庚辛。次作辛乙直线，末用平行线法作丁壬，戊癸，己子，庚丑四线，皆与辛乙平行，即壬癸子丑与甲乙为五平分。

第二法如甲乙线求五平分，即从乙任作乙丙线，为丙乙甲角。次于乙丙任取一防为丁，作丁戊线与甲乙平行。次从丁向戊任作五平分为丁己，己庚，庚辛，辛壬，壬癸，而丁癸线令小于甲乙次从甲过癸作甲子线，遇乙丙于子末，从子作子壬、子辛、子庚、子己四线，各引长之，而分甲乙于丑、于寅、于卯、于辰为五平分。

第三法如甲乙线求五平分，即从甲从乙作甲丁、乙丙两平行线。次从乙任作戊己庚辛四平分，次用元度从甲作壬癸子丑四平分。末作戊丑、己子、庚癸、辛壬四线相聨，即分甲乙于己、于辰、于卯、于寅为五平分。

第四法此法极简，极神。可分百千不等之线，与百千不等之分。

先作一噐如丙丁戊己为平行线任平分为若干格噐愈大格愈宻其用愈广格毎分作平行线相聨今欲分甲乙为五平分，即规取甲乙之度，以一规髀任抵戊丙线上，一规髀抵第五庚辛线上，如不在庚辛者，即渐移之至线界而止，既至壬，即戊壬之分为甲乙之分。又如，有甲乙线，求十七平分，先以规取甲乙之度，以一规髀抵戊丙线一处以一规髀抵此噐庚辛第十七格为壬次从戊至壬画一直线，次取所过两格相距之度，以此为凖，分甲乙直线，则得十七分矣。或图小而所分者大，欲广其用，则逓倍之。如图一尺欲分一丈为十九分，须取一丈十分之一为一尺，用前法为十九分，后以尺逓十倍之，则一丈己分为一百九十分矣。毎十分作识，如所求余，以此推之。一直线求截所取之分章第十二【法有二】

第一法如有甲乙直线，求截取三分之一。先从甲任作一甲丙线，为丙甲乙角。次从甲向丙任作所命三分之平度，如甲丁、丁戊、戊己为三分也。次作乙己直线，末作丁庚线与己乙平行，即甲庚为甲乙三分之一也第二法如甲乙直线，求截取七分之三，先以前章法分甲乙线为七分，后取其三于庚，则得所求。如欲截取十分之七、十四分之九等不均之数，亦如之。有一直线，求截各分，如所设之分。章第十三【一法】法曰：甲乙线求截各分，如所设甲丙任分之，丁戊者，谓甲乙所分各分之比例，若甲丁、丁戊、戊丙也。先以甲乙、甲丙两线相聨于甲，任作丙甲乙角，次作丙乙线相聨。末从丁、从戊作丁己、戊庚两线，皆与丙乙平行，即分甲乙线于己、于庚，若甲丙分于丁、戊焉。有直线，求两分之，而两分之比例，若所设两线之比例，章第十四【一法】法曰：如甲乙线，求两分之，而两分之比例若所设丙与丁。先从甲任作甲庚线，为庚甲乙角。次截取甲己与丙等，己庚与丁等。次作庚乙线聨之末，作己辛线与庚乙平行，即分甲乙于辛，而甲辛与辛乙之比例若丙与丁。有两直线，求别作一线相与为连比例。章第十五【法有二】

第一法有甲乙、甲丙两线，求别作一线相与为连比例者。任合两甲乙、甲丙为甲角，而甲乙与甲丙之比例，若甲丙与所求他线也。先于甲乙引长之为乙丁，与甲丙等。次作乙丙线相聨。次从丁作丁戊线与丙乙平行，末于甲丙引长之，遇于戊，即丙戊为所求线【若以甲丙为前率，仿此】

第二法以甲乙、乙丙两线聨作甲乙丙直角，次以甲丙线聨之，而甲乙引长之末，从丙作丙丁为甲丙之垂线，遇引长线于丁，即乙丁为所求。

线三直线求别作一线相与为断比例章第十六。法曰：甲乙、乙丙、甲丁三直线，求别作一线相与为断比例者，谓甲丁与他线之比例，若甲乙与乙丙也。先以甲乙、乙丙作直线为甲丙，次以甲丁线合甲丙，任作甲角，次作丁乙线相聨，次从丙作丙戊线与丁乙平行，末自甲丁引长之，遇丙戊于戊，即丁戊为所求线。两直线求别作一线为连比例之中率章第十七法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平分于戊次，以戊为心，甲丙为界，作甲丁丙半圜。末从乙至圜界，作乙丁垂线，即乙丁为甲乙、乙丙之中率。