本【三卷三十六题】丙

本【三卷三十六题】丙

丁丁戊两线内矩形与己丁、丁壬两线内矩形等，又己丁、丁壬矩形及庚壬方并与庚丁方等，则以丙丁、丁戊矩形一三四○八一三九一○二，庚壬方【庚壬全数为一万】一万万并为积，开方得庚丁方之边为一一六二二六。次设庚丁全数为十万，变庚壬为八六○四，是为月天半径与小轮半径之比例，与前古法所得小异。次从庚心作丙戊之垂线，平分丙戊线于辛，截丙戊弧于癸，成庚辛丁直角形。此形有庚丁【一一六二二六】有辛丁【先得戊丁一○六七五一，又有丙戊一八八五二，半之为辛戊九四二六，以并戊丁为一一六一七七】求庚丁辛角，得一度三十九分，为未丑。又求辛庚丁角，得八十八度二十一分，为癸壬弧。并丙癸【先得戊乙丙弧一百四十度五十八分，其半为丙癸七十度二十九分】得一百五十八度五十○分，其余【以满半周】为丙己二十一度一十分，是第三食月距小轮最髙之自行度。第二食月在乙，乙己弧七十四度二十七分，为其距最髙之自行。第一食月在甲，甲乙己一百八十三度五十一分为其距最髙之自行又己丁丙角为未丑一度三十九分，月在平行之后，则第三食平行内应减未丑。丙丁乙角为午未二度五十九分，月在平行之后，则第二食平行内应减午未。两角并得午丑四度三十八分，为第一食应减之数。而甲丁乙角先得五度，因月在小轮下弧，则为应减之数。一加一减相准，余壬丁甲角为丑子弧○度二十二分，则第一食平行内应加丑子。末第一食月视行经度离降娄宫二十二度二十五分减丑子弧二十五分【视行内应减平行内应加】得平行为在降娄宫二十二度○三分。第二食月视行离娵訾宫二十二度一十二分加午丑弧四度三十八分得平行为在娵訾二十六度五十○分。第三食日视行离娵訾宫一十一度二十一分加己丁丙角一度三十九分得平行为在娵訾宫一十三度。皆食时之经度也。因上二论，以推加减立成表，如后卷。

试旧推平行率各术疎宻第八依前法，用太隂加减差表，定前后两防食之中积时，可得太隂之平行率。又用上论，求两食之本轮自行度。若此两率之距本轮最髙或最庳等，则所定平行率为确合。如前本篇第六所用第二防食为总积之四千八百四十七年，系汉顺帝阳嘉二年【多禄某所用】其各率见本章。又第七所用第二防食为总积之六千二百三十五年，系正徳六年【歌白尼所用】其各率见本章。其中积率为平年【三百六十五日】一千三百八十八年三百○二日一十四刻○四分，其间交防满一万七千一百六十六周，其自行本轮亦满全周，则为确合。今依上古法推【依巴谷在周显王时】减全周外余三百五十九度四十八分○七秒【转周不及交防一十一分五十三秒】依中古法推【多禄某在阳嘉年】减周外余三百五十九度三十七分四十九秒【转不及防二十二分一十一秒】依近世法推【歌白尼在正徳年】减周外余四分，则知近世之法视古为宻，葢测验推步一二千年积功力积智巧所定，诸法渐次加精故也。定太隂平行自行之厯元第九。厯元者，于某地之某年月日时刻，定某曜躔本天之某度分，为推步之根本。上遡既往，下迄将来，靡不准此。或加或减，以得随时所躔各度分也。今拟定崇祯元年戊辰天正冬至后子正初刻为厯元，其地则京师顺天府定为厯元之本，所厯元则上下推步略同古法。论地则自唐至元，有测验北极出地之法，是为地之纬度。若其东西经度，从古未有也。今立法以本府为根，其南北北极出地三十九度五十五分有竒，九服皆随地测验。东西则以本府为初度初分，九服依此为准，或加或减，推算各地本时本曜之各所求度，分别有本法本论【如后卷】右北极出地度通为四十○度四十九分有竒，中西二率悉与古法不合。葢前人未悟地半径差、▯气差于两至所测之髙应加应减，故也。说见《日躔厯指》。用厯元前一月食之嵗月日时及厯元之嵗月日时取其中积日求太隂之平行若干度分减朔防【一交防之全周】余度分为厯元之平行度分则朔应也又考月食时得自行若干度分亦算中积时之自行若干度分两数并得为【转应也】《新法算书》卷二十八】

厯元之自行度分则钦定四库全书新法算书卷二十九。明。徐光启等。撰。月离厯指卷二。

解第二均数第十如上论，因月有本轮自行度，以致不平不顺，定朔定望多寡不一。今用其自行度分，加减其平行视行，以定均数，则于定朔定望及交食之法，始无遗漏。乃厯家详测宻推，以为未足尽月行之理，故又立次轮一法，以定均数与本轮第一均数并用之。今解其义如左。古今测月行，审有自行度与平行不合，立为本轮法【或不同心】与自行加减以定朔望，以正交食。然其朔望之极大差不过五度，此本轮之半径也。是知定朔定望时，太隂恒在本轮之周矣。其在上下▯之差则不然。古厯于上下▯日，推太隂自行本轮之二限四限【左右两傍之尽处，所谓留际也。如此则为去最髙之极大差】又在黄道之九十度限【一名黄平象限，如此则无东西视差】以定本日之经度。若如本轮法，则此差止应得为五度。及用圆浑仪测候，或以距太阳求月之视行经度，或以恒星求其黄道上之视经度，得数乃与先推殊不合。论推算宜得五度，论测度则得七度四十分。从古至今累测皆如之。又测▯前后若干日，亦与推算不合，每日逺近所差不等。知月行止定朔定望日在小轮周，余日去离逺近多寡各有本行度分。因从其差数以立差法，仍定本轮周上复有次小一轮，循本轮右旋【与七政行同，与自行异】半月一周，因其行度作加减差，以定第二均数，列表【如后卷】

求次轮之比例第十一既论有次，小轮今论其大小，以定加减率。

如图丁为地心庚为本轮心甲乙丙为本轮周作庚丁过心线，作本轮之丁甲切线，即庚丁甲为五度角【视行平行之极大差】朔望时次，作庚甲戊线，作丁戊线，成庚丁戊角为七度四十○分【视平两行上▯下▯之大差】。次庚为心，戊为界，作戊巳圈，太隂在定朔定望时，必循甲乙丙本轮周左行，在两▯时，必循戊巳周左行。両▯前后半月间，则自甲向戊，戊向甲右旋，为次轮之自行。

若庚丁线为一万全数，即庚甲为八百七十二【五度之正▯】庚戊为一千三百三十四【七度四十分之正▯】相减得甲戊四百六十三。甲戊线平分于辛，庚为心，辛为界，作辛壬为负次轮圏【一曰带次轮】即甲辛为二百三十一，以并庚甲得庚辛一千一百○三，为负次轮辛癸圏之半径。则本轮次轮两半径为一一○三与二三一也。系有二小轮之比例，可解前一推一测异同之极大差，又可推朔望前后之视行，疑于无法而实有法【朔望前后三十八度，其视行絶异，故云疑于无法，详后论】如图，两圏为本次二轮。丁为地心，甲为本轮之最髙，丙为其心乙为次轮心作丙乙线为一一○三从乙心作次轮圏其半径二三一【如上两轮之比例】次从丙作丙戊、丙子线切次轮于戊、于子，成戊子两直角。设月体在戊，今论之。凡月行本轮周左旋【依宗动天自东而西】如图，庚为本轮心，甲乙为白道，丁为最髙，己为最庳。其平行则自甲向丙庚至乙，其自行则自丁而丙而己而戊而复于丁。从丁【即正半转，即最髙】入转行极迟。向丙【即中转亦留际】其迟日损，至丙而及平行度，谓之迟初限。从丙向己【即中半转即最庳】迟损疾益，至己而极疾，谓之迟末限。从己向戊【即正转亦留际】其疾日损，至戊而及平行度，谓之疾初限。从戊而复向丁，疾损迟益，至丁而极迟，谓之疾末限。最髙左右二限，谓之迟厯，逆经度行【逆七政经度也，后省曰逆行】最庳左右二限，谓之疾厯，顺经度行【后省曰顺行】二十七日有竒而周【即转周】若次轮，则如图，乙为其心，甲巳为本轮周，壬戊癸子为次轮周，壬为最近，癸为其最逺【本轮可言髙庳，次轮不得言髙庳，故言逺近，谓逺近于本轮心】其顺本轮左旋，则自甲向巳，其自行右旋【如七】【政自西而东】则自壬而戊，而癸，而子，而复于壬。从壬入，转至戊为迟初限；从戊至癸为迟末限；从癸至子为疾初限；从子至壬为疾末限。最近左右二限为迟厯逆行；最逺左右二限为疾厯顺行。十五日弱而周，谓之次转周。夫甲巳弧者，约太隂距太阳之半周也【朔与望相距之一百八十度】次轮心行甲巳，半周则月循次；轮行满一。周是月体，循本轮周行一度，即循次轮。周行二度，次轮心从甲至乙，月从壬至。戊比本轮上之两行皆在迟厯，皆逆行。一至戊切防，则为逆行之末，顺行之始。顺行则始疾，故戊切防为月行次轮顺逆两行之大差。今以数明之。作乙戊线，为切线之垂线，成乙戊丙形，戊为直角。此形有乙戊二三一，有乙丙一一○二，求丙角，得一十二度二。

十八分为次轮上月行之最大差是本轮心行度【甲乙】外应加应。

减之数乙丙戊角既一十二度二十八分戊乙丙角必七十七度三十二分壬戊弧也半之得二十八度四十六分，为甲乙弧【甲乙为壬戊之半】系凡次轮心距本轮最髙三十八度为大差之限，朔望前后各等。

论太隂次轮异名同理第十二前卷推月不平行之縁，为有本轮、次轮，因立两均数以定其实行【此歌白泥术】而首卷又有异名同理一章【第五】言用不同心圏立法，得数不异，是则止论本轮，未及次轮也。今并论两小轮与两不同心圏，亦复异名同理，得数无二【比马日诺术】如左如图是月本天之大圏平面也。本天中函有诸球体，有厚薄，行有顺逆迟速。此图平面亦函有诸圏，譬犹剖球为面，其中所有一一具见矣。内外凡六圏，甲为地心，亦为月本天之心。外第一圏为黄道，平分十二宫。次圏为交道【黄白经度畧等】己见前解第二。

第六总名为负太隂中距之天其第二之外规面第六之内规面则与地同心【甲也】其第二之内规面第六之外规面则与地不同心而以中距之心为心，两天各有厚薄不等，其厚薄处恒相反相对【此二天同一色绘之】此天平面之外圏斜交于黄道内，函月行诸圏为一体，顺经度行【右旋】每日六分四十○秒五十五防○六纤八，平年三百一十二日有竒而行天一周，周行无首尾，其起算之界用外规之最薄，即本天之最髙。第三，第五总名为太隂，中距天又名为正不同心天【上有二面同心，此四面不同心】其心为乙，距地心甲，以最外规【丁也】之半径【丁甲也】为度，十分之约得一有半为乙甲，求其厚得丁甲十五分之四为丁戊，此天内函月行之轨道为一体，顺经度行【右旋】其外虽为负距天所挈，一体顺行，又自有其行度，毎日二十四度二十二分五十三秒有竒，凡一十四日七十三刻○七分有竒而行天一周【在歌白泥法为次轮上月行之。

周】其起算之界为最近地心之处【已也如上次轮法】本表目其本。

行度为日月相距之倍度是为次引数凡月朔望间必行一、周故朔望时月恒在于最近，即无此圈行度，亦不用次均数，皆与前法所论次轮同理。此圏又名为引数之圏，以其函负月轨圏为定均数之根。第四名为月轨圏，葢太隂自行之轨道也。与第三、第五正不同心之天，又不同心。其心丙，故又名次不同心之天。乙丙两心相距，以中距天【即第三、第五】之全径【外规过心相距】为度，六十平分之得，其一分半弱。次不同心之心，丙旋绕正不同心之心，乙作一小圏。月体循第四天行，虽最外为负距天所挈，一体顺行；又为中距天所挈，一体顺行。其自行则又逆经度左旋。譬之负距天如流水中，距天如舟，月体如人。水自顺地势东行，有水之行度；舟亦顺水势东行，又自有舟之行度；人却从船首向船尾西行，又自有人之行度也。其起算以自天之最髙为界，日逆行一十一度一十八分五十九秒有竒，三十一日七十八刻有竒而行天一周。其在前解，则自行本轮也。前解定次轮上【或正不同心圏理同】太隂一日顺行二十四度有竒，今减本轮上【或次不同心圏理同】逆行一十一度一十八分有竒，余一十三度○三分有竒。因两行相背，故相减所得较数为前引数。两不同心圏，各有最髙最庳【前解在次轮者为最逺最近，此解亦名最髙最庳】则太隂所至有逺近四限，与前解同。其数以中距天之半径丁乙为度，半径六十，则极逺距地心为六十八次。

逺为六十五分○九秒次近为五十四分五十一秒极近为五十二分【皆歌白泥所测也】第二图次不同心之心在丙。

其最髙在丁正不同心之最髙在戊【中名月孛，西名平最髙】甲乙戊线定黄道上月孛之经度，甲丙巳线定已为正最髙之经度【甲丙巳线过甲丙两心，则己为月轨距地之极逺】乙丙丁线定月轨道最髙之经度，从巳至月前，解名为月自行，古史各有本表，今用前两轮解，已作表，不复备着。右二法外，第谷及其门人，又有别解，更细更宻，特为竒玅，以步月离，倍胜前法，特防眇难见，以步交食，精粗判然，今并论如左。第谷宻测月离，觉月自行在朔望时遇初宫或六宫及左右平距【最髙庳之左右其距地等】即自行四限【髙庳左右】但依古法用一均数一本轮自行，足以齐太隂之不平行矣。自非然者，即用古法多见参差。因依古步五星法，于月离法中亦加一均轮。均轮者，古推步五星自行用两不用心圏，一为负本轮心之圏，一为均行之圏【均行圈者与本轮心圏又不同心而出入其内外，古推五星但依本轮心圏未能悉合，别依此圏推步然后度分不谬，故名均行之圈，或用均轮也。歌白泥谓月离法中可省此，第谷觉有未合，复用之，乃合】其解于五星厯中详之，今月离亦用之，是为新法。依此作五轮月行全图如左方。如图，甲为地心，取甲乙线为半径【前法为次轮之半径】乙为心，甲为界，作甲丁丙圏【前法为次轮】从圏周任取丁为心，作戊己癸圏，其半径丁戊是为月与地之平距【平距者最髙庳之间】即五十六地半径也【前法为月本天半径或负本轮圈之半径】若丁戊为全数十万即甲乙为二千一百七十分右为二三一，又于戊、巳、癸周任取癸防为心，取癸辛线五千八百分为半径，作午辛辰本轮。又取辛庚线二千九百分为半径，作庚壬子均轮。得癸庚线【两小轮之两半径并】八千七百。此八千七百者，于前法为本轮之半径。但前用一本轮以齐太隂朔望之行，此析为二，析为二者，以前法之本轮半径三平分之，二为新本轮之半径，一为均轮之半径。新本轮之半径者，月朔望时近逺之实半较也。凡月之定朔定望时，丁心与地心甲合为一防。丁心右旋【顺经度行】循甲丙丁圈【从甲向丙而丁而复于甲】半月而周【此圏以当前法之次轮，故如前月体循次轮周半月而复】则甲丙丁周上之弧为月距太阳之倍数。本轮之癸心循戊癸未圏【从戊向癸而未而复于戊】右旋【顺经度行】二十七日有竒而周。均轮庚子之心辛循本轮周左旋【违经度行，从辰向辛而壬而午而复于辰】亦二十七日有竒而周。即辰辛戊癸两弧之行恒为等度分，而此两圏皆当前法之一本轮，其行周皆转终分也。月体则循均轮周右旋【顺经度行，从子向壬向庚而复于子】十三日有竒而周【是转终之倍数】凡朔望时，丁心必在甲。若自行为初宫初度，则如一图。癸心在戊，辛心在辰，月体在子，无均数。自行为六宫，则如后图。癸心在未，辛心在午，月体亦在子，亦无均数。朔望图见交食厯。朔望之外，依图用三角形法推算则得月离之宫度分可无用表依新法则戊为月孛葢最髙也甲丁巳所指为平最髙今以二法较论同异则月与地之中距【五十六地半径】两家防异【前后为本轮心距地新法亦然皆丁戊也】若自行初宫初度，则月距地比于中距，前法盈十万之八千五百分，新法盈二千九百分，是损三分之二也【此第谷所定也，以视差及宻测月髙庳法得之】若自行三宫，则两家所定最大差为小异，其以次小轮【前为次轮，今为均轮】为自行之倍数，新旧一也。今用合图明之合图説【实线为前论歌白泥法，半虚线为第谷新法】不论次轮，前法次轮在上，新法次轮在下，其理不二故也【五纬厯中见其论】前法，丁地心亦为戊寅，庚夘圏心戊丁，其半径戊本轮心，以平行右旋厯丑寅庚夘等防，月从丙自行左旋向乙，设戊平行三十度至丑，月左旋从丙至乙自行二十九度一十三分【每平行一度自行五十九分四十六秒故】平行六十度至寅，即自行五十八度二十六分，亦从丙至乙【丙乙恒为自行弧】又至庚，至夘，等皆同此推。若依丁戊线，从丁向戊，取丁申。线与戊丙等申为心丙为界作圏，必遇各乙，▯是名过乙圏，亦为髙庳圏【不同心圏】新法丁戊半径戊寅庚夘圏同前，别取戊午线为戊丙三分之二，戊为心，午为界，作本轮【较旧本轮之径减三分之一】次平分戊午于己，午为心，巳为界，作均轮【得旧本轮径三分之一】月体在己，设戊心平行至丑，即戊乙、戊丙两线开展【午心循子午本轮左旋为各子午弧】如张箑之势【丁戊丙直线，戊午乙过两小轮心线，若自行初宫初度，即两线合为一线，后渐展开至三宫九十度成直角，至六宫复合为一】己月从最近酉【最近本轮心也】

右旋【顺经度行】至己为自行之倍数，如戊行至丑，两心线为丑酉、午乙，月在己，则酉巳弧倍于丙乙弧，或午子弧【丙乙、午子与戊丑等，而乙丑、乙寅等线恒与戊丁平行】余悉同此【酉巳弧行倍于丙乙】次依丁戊线，从丁取十万分之二千九百为未，未为心，已为界，作圏过各己防，是为均行之圏。两法至▯▯即相近，依前法推加减表，则用丁丑乙一三角形求丁角。新法用午己丑及丑己丁两形，求丑丁巳角。两得数之差，自行十五度为四分三十三秒，自行三十度为八分○九秒，自行四十五度为九分五十六秒，自行六十度为九分三十二秒，自行七十五度为七分○三秒，自行九十度为三分○六秒。前法以自行九十五度为大差之限，则四度五十六分一十九秒。新法以自行九十一度为大差之限，则四度五十八分二十七秒。两得数之差，随在皆乙丁巳角，而最髙左右均数，新法比前法为大，最髙冲左右，新法比旧法为小。

凡月离诸表今皆依新法推算推太隂之实经度第十三前论因本轮之自行度加减立第一均数，以得定朔定望，朔周转周。又因两▯之自行差与朔望异用，次轮之自行加减立第二均数，于理为尽。从是可得太隂之视行实经度，今论次如左。查平行表，简得太隂、太阳之相距度分，及月距本轮最髙度分，用平面三角形法，可得其实经度【用古法解之】第一法，西古史依巴谷，在罗徳岛【地中海岛，北极出地三十六度】于总积之四千五百八十七年，为汉武帝元朔二年甲寅三月【建寅之月】初七日，子正后八十四刻一十四分【顺天府时刻】用浑仪测得月距太阳为四十八度○六分。于时日视行躔鹑首一十○度四十○分，即月视行度必在鹑火二十八度三十七分。此时此地为午正后一十二刻，依正升斜升表算得月凖在黄平象限，无东西差。今用月离表试之，依表是时太阳之平行为鹑首一十二度○三分，均数为一度二十三分。当时太阳最髙在实沈宫初，以减四十八度○六分，得四十六度四十三分，为太隂距太阳之平行度【此于实距内减均数而得平行，葢太阳在最髙后平大视小，用减法；若在最髙冲平小视大，用加法】查表于时太隂自行为三百三十三度，又平行距太阳为四十五度○五分，视平两行之较为一度三十八分，更用两小轮图试之。

从自行之最髙甲左旋过己至乙得三百三十三度乙为心，作次轮圏，作乙丙聨两心线，割次轮于壬，从壬至戊为日月相距之倍数，九十○度一十分。次作乙戊、戊丁、戊丙三线，成戊乙丙三角形。形有丙乙一一○三，有乙戊二三一，有乙角【壬戊弧九十○度一十分】求丙戊边及戊丙乙角【乙为钝角，宜引长丙乙边，作戊子垂线，成戊乙子直角形。有乙戊边二三一，有戊乙子角一十分。戊乙子角者，戊乙丙过九十之余也。先求戊子得二五七弱。

次求乙子得○○一以并丙乙得一一○四戊子子丙各自之并而开方得一】【一二五不尽为戊丙，又子丙与全数，若戊子与丙角之切线，得一十二度一十○分，为乙辛弧】次以甲巳乙弧并乙辛，得三百四十五度一十一分，其余弧一十四度四十九分，为甲辛，或甲丙辛角。次戊丙丁形，有戊丙，一，一，二，五，有戊丙丁角【戊丙甲角之余】一百六十五度一十一分，丙丁为全数，求戊丁丙角【引长丁丙边，从戊作戊子垂线，戊子丙直角形，有角有边，求戊子为二八七，子丙为一○八五。子戊丁直角形，有两边，求第三。丁戊得一○一八五，为月距地心。次求丁角，为】【子丁边数与全若戊子边数与丁角之切线二八四查表】得一度三十八分，如上所测数为确合。第二法「太阳经二百六十九度○四分，太隂经二百五十七度四十三分，太隂自行为一百二十二度四十九分，日月相距为一十一度二十一分，倍之为二十四度四十二分。如图，甲乙为太隂自行度，壬戊为倍数，丙乙戊」

形有丙乙乙戊两边有乙角壬戊弧之角求丙，角得五度五十二分，为辛乙弧。求丙戊边，得五十六分。以乙辛减乙甲【自行不过半周，故应减】余一百一十六度五十三分，为甲辛弧。其余六十三度○七分，即辛丙丁角。次丙戊丁形，有丙戊、丙丁两边，有丙角，求丁角，得四度四十二分，为白道上之庚癸弧。因在自行前半周，以减平行，得二百五十三度五十七分，是太隂本时之实经度【从春分起算】篇中屡言黄平象限者，是黄道在地平以上之九十度限也。两道在地平上下皆半周，赤道恒定不易，其半周上之九十度限恒在午正线，黄道斜迤，时时不一，其九十度限，时东时西，又随地多寡。若极出地四十度，则差多者至距午二十五度，惟南北二至乃与午线同度分耳。其法其表详载交食厯，今略举如左：法欲求本地本时之黄平象限，于本月日时简本地本宫之黄平限表，其第一直行本日之月离宫度也，第二、第三、四行为其时分秒，第五、第六为其月离象限度分。先约得月离经度若干，极四十度表有时之秒，他极减之而少一行，查表取其横相对时分【子正起算】得某时月在黄平象限。更以本时简月表求月离经度，得某宫某度分，又对取其时分为月在象限之正时。假如崇祯四年八月十四日，求本日何时月在黄平象限，先约月在娵訾宫六度，本表求时得二十一时○一分五十三秒，以此时查月表求月经度，得本宫七度一十分，查时得二十一时三分五十三秒为月在黄平限之时，可测其髙。欲宻合更以此时求经度，更求时。系凡月生明或生魄，作直线聨两角，此线若过天顶，为地平上之垂线，即太隂必在黄平限▯上，而此直线亦与白道为直角，引长之必过黄道之极【黄白二道在太隂厯中每作一道论其差甚防故】此线直过天顶及黄道极，必分地平上之黄道弧为两平分【此两圏相交有细解，其本论见《球圏原本】月望时，无从得角，从月驳定月体之南北两极，如前直线用之，知其过黄道极及在黄平象限之上。

二十八宿距度第十四中西古今厯法，理同数异，大同小异。理大同者，共戴一天。

同资七政也，数小异者，如周天有平度、日度，度法有用六、用十之类，会而通之，罔或弗合，亦无害其大同也。独恒星宫次中，厯依赤道为二十八宿，北为三垣，南方无垣，则附见于诸宿；西厯依黄道为十二象，通计南北为五十二象，此即大不相侔矣。以故回回厯翻译并存，今恒星厯各注黄赤经纬度分、星名位次，皆按中厯更定，免致凌杂；而间考西古太隂厯，则亦有二十八舍，译谓月所宿留之处，即又与宿次同义，且二十八距星亦皆脗合。其不合者，独觜宿距星不用觜，用天闗耳，竟不知其何繇而同。若疑上古相通，则此法之外，又何以毕无一合？亦一竒也。其诸法义图表俱见《恒星厯指》。今欲推太隂宫宿度，仍用本表，先定黄道所离经度，依表求得本时刻太隂所离某宿某度。法曰：表中求月所离之宫度数，内减去近小宿数，所余者为本宿之度分。假如月离鹑火二十八度三十七分，本宫近小数为星宿二十二度○九分，相减之得六度二十八分，乃月在星宿六度有竒。宿距星在宫次，度，分。宿，宫次，度，分。

择月食以定交周第十五。如上论定朔望转周实经度讫，次当定交周度分。其法亦用两月食。两食者，须太阳之距最髙等，须太隂自行度等，须食分等，须食在阳厯或在隂厯亦等，乃可推月行交道满若干周而复还于故处。第旧史不载食分，亦不载隂阳厯，无凭推步。即西古多禄某【汉顺帝时】亦未觉太阳之最髙随天运行【顺七政右旋，每百年约行一度】故所择两月食见黄道上之经度等，即谓太阳之距最髙亦等，而实则不等。兵法亦不可用。至近世歌白泥【正徳间】择用两食于法为合，但所用两食，一在阳厯，一在隂厯，虽内外不等，而度分之对待相等。如日月之在朔望，皆名交会，不害为可用也。第一食总积之四千五百四十年，为汉文帝六年，日躔大梁宫六度四分，五月【酉月也，实建申之月】初二日，子正后三十一刻【顺天府时刻，不见食甚】月食十二分之七，在阳厯中交，即月在南初亏，东北于时，月自行，为一百六十。三度三十三分【多禄某歌白泥两算同】均数为一。度二十三分【未满半周，一百八十度，故用减法】第二食【歌白泥所记】六千二百二十二年为正徳四年己巳，日躔实沈宫二十一度，六月【实建酉之月】初二日，子正后二十四刻一分【顺天府时刻不见食甚】月食十二分之八，在隂厯正交，即月在北，初亏东南，于时月自行为一百五十九度五十五分。两食时，月自行差止三度半，可勿论其日躔前后相距不等。然多禄某所测太阳最髙为实沈六度，所用食时日躔在最髙前三十度弱。歌白泥时，最髙在鹑首五度，所用食时日躔在最髙前十四度。两距之较虽十六度，以最髙旁近度距地心之数为差防，即地景大小无二，亦可勿论。今论两食时之月自行畧等，太隂距地心之度分畧等，则所差者在食分也，为十二分之一。计两食之中积为平年【三百六十五日】一千六百八十三年八十八日九十刻○五分，或六十一万四千三百八十三日九十刻○五分，得交会【即朔望】二万○八百○五会。交终则二万二千五百七十二周外余一百七十九度二十四分【后食大于前食为十二分之一，月体之径于天度畧为三十分，则食差为二分三十秒。交前后之纬距二分三十秒，其经度为三十分。次食既大于前食，即近交其较半度，则未满丰周之较为三十分。查表求两食之两均数，一加一减，其较二十一分，以减三十分，得九分为不及半周之数。实余一百七十九度五十一分】上文推定【依巴谷及多禄某先后推定，见本篇第四】月交会五千四百五十八，则交终五千九百二十三。依此用三率法，以交会率【二十九日有竒】为法，中积日为实，而一，得二万○八百○五会。再用三率法，以交终为法，而一，得二万二千五百七十七交半。置交数【二二五七七半】以三百六十乘之，以会数【二○八○五】而一，得一会时【二十九日有竒】交行之度分。又以会数【五四五八】为一率，交数【五丸二三】为二率，一日之太隂平行【一十二度一十一分二十七秒】为三率，求得一十三度一十三分四十六秒为一日交行之度，以日求月，求年凖此法论交行第十六交行有二：一顺经度行，一逆经度行。顺行者，月平行一日一十三度一十三分四十六秒，是为月行距交之度，则以交为界。又如前定月平行一日一十三度一十分三十五秒○五防，是为月行距宫次或节气之度，则以宫次或节气为界。两数之较，得三分一十一秒。是则两交一日逆行之数，所谓罗计行度也。顺行者如七政右旋，自西而东；逆行者如宗动左旋，自东而西。右旋者先降娄次大梁，左旋者先▯枵次星纪。故月行两界，一为定界，一为不定界。定者，宫次如娵訾等，节气如冬至等；不定者，谓正中二交也。两界则两数，其较则为不定界之行分。不定界之数大于定界之数，故累积其较，则与月行相背矣。交有平行，又有自行，与日月相似。自行有迟有疾，黄白二道之相距，亦时多时少。古来未觉有此，第谷累年宻测，得交行惟朔望时无加减【与日在最髙最髙冲同理】恒得五度弱，过此渐加至两▯而极，而此自行恒半月满一周【与太隂次轮行度同理】

如图甲为月天球上之黄道一极人目在他极外斜看黄道面戊庚己为黄道圏去甲五度○八分得乙乙为心作戊癸己球上大圏为平白道两圏相遇，各平分于己，于戊为两交。庚癸相距之限，五度○八分，是为两交相距之中数【两相距之小数为四度五十八分三十秒，大数为五度一十七分三十秒，相减得较，半之以并小数，得五度○八分，相距之中数也】而己戊为两交平行之处。次乙为心作丁丙小圏，其径为大小两数之较，一十九分。小圏之周恒负正白道之心【如黄极绕赤极作一圏，名极圏；又白极绕黄极作一圏，名白极圏。此小圏与之同理，正白道之心如丙丑、丁寅皆是也】半月【十四日有竒，半朔策也】行一周。若正白道之心在丑【最近黄道极惟朔望则然】以丑为心作球上大圏，如辰辛子辛为正白道【若球上作大圏过白黄两极宜为乙丑庚弧今依视法作直线】其距黄道为辛庚【本大圏之一弧】辛癸为中白道，正白道之差而正白道两交黄道于辰于子，则辰子为两道【朔望时】之正交，是交食所用之两交也。若正白道之心在寅【两▯时】以寅为心，作夘壬未大圏定。

癸壬为中白道正白道之差而庚壬得五度一十七分三十○秒是为黄白二道相距之极逺【寅心距甲心为极逺故】则夘未。

为两逺交距戊巳两平交为戊夘未巳，距夘未两近交为夘辰未子【逺近者两▯之交，近交者朔望之交，平交者半▯策之交】凡正白道心在寅之上【两▯前后】丑之下【朔望前后】若干度分，则中正两白道之大距【相距之最逺】在壬之上，辛之下，亦若干度分，而两交在夘未之上，辰子之下，亦若干度分。若正白道心或在丙，或在丁，则正中两道之大距相合于癸弧之上，而丁甲癸或丙甲癸为两象限，两交则在辰夘子未之间，戊巳之左右。本厯表中有正交之加减，有正白道与黄道相距之度分，其原葢出于此。如图，正白道为辰辛子，即有辛辰庚角，可推正白道之各度分距黄道若干【与黄赤二道距度同法】若在癸，在壬，俱仿此。若正白道在辛癸壬之外【在辛壬限内而不在三防之上】则先求丁之上下距甲若干，以得癸之上下距▯若干。葢丁甲癸为一象限，甲癸庚亦一象限，甲丁大，癸庚亦大。若小亦小，其加减率及用法见本厯表。

定交行之厯元第十七上文言择两月食以定交周，因其经时若干而满周，以知交终及歳月日时交行之数。然止用两食相对较勘多寡，不知其距交几何度分。今欲审某时距交若干，以定交应，亦须两月食。其距太阳之逺近等，两食分等，两食之在隂厯、阳厯、正交、中交等。既诸率各等，则距交必等，因而析取中数，则得本时正交所躔度分【此歌白泥法】第一食【多禄某所记，即前第六章定本轮所用第二食】总积之四千八百四十七年，为汉顺帝阳嘉三年甲戌十月【建戌之月】二十四日，子正后一十七刻【顺天府时刻】一十分月食十二分之十，在黄道南，初亏东北，于时太阳躔夀星宫二十五度一十分，月自行为六十四度三十○分，用减法得均数为四度二十○分。第二食【歌白泥所测】总期之六千二百一十三年为▯治十三年庚申十一月某日子正后三十一刻正【顺天府时刻】月食十二分之十在黄道南初亏东北日躔大火宫二十三度一十一分【两食之中积时为一千三百六十六年其间太阳行最髙一十六度有竒以减日躔两度差二十八度得一十二度为前后日距最髙之差日在最髙旁近其距地之差甚防地景无二与无差同】月自行为二百九十一度三十五分用加法得均数为四度二十八分两食时，月本轮最髙前后等距【前过最髙六十四度，后未至最髙六十九度，其较五度，距地之差甚防，与无差同】食分大小等，初亏方位等，则两食之月距交等度【中积为一千三百六十六平年三百五十八日一十七刻九分】此时自行满交周外，其距交为一百五十九度五十五分。如图，甲乙丙丁为白道，乙丁为正中，二交甲为北，为内，为上，为隂厯；丙为南，为外，为下，为阳厯。乙戊己丁为距交等之两弧，是。两食时，月体一过交，一不及交之度。戊在乙交之前，已在丁交之后。前食用减法，得均数四度二十○分【减者，月在自行之前半周，依表平交行为甲乙庚，减庚戊得甲乙戊，戊为月所至之实处】取戊庚，后食用加法，得均数四度二十八分【加者，月在自行之后半周，依表平交行为甲丙辛，加辛巳得甲丙己，巳为月所至之实处】取己辛，庚辛为两食中积，月距交之平行一百五十九度，并戊庚辛巳得戊丙巳两距之实行一百六十八。度四十三分，其余一十一度一十七分，为乙戊、丁巳两弧并半之，得五度三十九分，为两食时月距交之度。乙庚得九度五十九分，若半交甲为界，则甲乙庚得九十九度五十九分，是第一食时之交行根，所谓交应也。若他时他处求交应，依此加减之。今拟崇祯元年戊辰天正冬至为厯元，顺天府为厯元本所。如日躔表推算，本曜恒年表【如后卷】交行两界，任用但月，体行度多端，差数繁曲。既成加减均齐，则或用定界，从宫次节气起算；或用不定界，从罗计起算，所得正等。

测黄道白道相距度分第十八西史多禄某【汉光武时】其地为北极髙三十○度五十八分，用三直仪【测髙仪皆可用】测得月轨极北距天顶二度○七分，以减北极出地度，得二十八度五十一分，为月距赤道度分。于时黄赤距度为二十三度五十一分【黄赤距古逺今近，説见日躔厯指】以减太隂距赤度，余五度正，为黄白相距之度。此测因月近天顶，地半径差极防，可以勿论。又轨度最髙在清蒙限外，亦无差分。若在近浊，测月轨髙不先定地半径差、清▯差以为加减，即所得者非实度分。西古史多言黄白距五度正，上古则云四度五十八分，回囘厯则五度○二分，皆不逺。近世第谷【万厯间】宻测详推，功倍古人。其言曰：朔望时，古测仅少一分半；若上下两▯，则五度一十七分。本书有测法，有算数，今略举如左。总积四千八百○○年，为汉章帝章和元年丁亥八月【建未之月】十八日【本地】午正后二十九刻一十分，月在正午时为上▯，依本表算得距交八十六度一十七分，于时测得月距黄道【地半径蒙气二差俱加减讫外】为五度一十三分【右二则所言度分通为日度，则五度一分半者当为五度九分八十二秒，五度一十七分者当为五度三十六分，五度一十三分者当为五度二十九分】大统以前诸厯，黄白相距俱六度正，通为平度，则是五度五十五分，距度恒大于西术，以推算月食，往往小于天验，殆縁于此。西术定黄白距度，求月轨极髙，得距赤度分，去减黄赤距度，余为黄白距度，此古今通法。但多禄某当汉光武时，去今一千四百余年，于时黄赤距为二十三度五十一分，所减大，所余必小；今时则二十三度三十一分半，所减小，所余必大。故今之黄白距较古为大【是黄赤渐近而黄白不移，其所以然难可窥度】又《恒星厯》言：近至之恒星，古今纬度不一。在冬至，则南纬度小，北纬度大；在夏至，反是。亦黄赤渐近之徴也。今推黄白距度列表，略同黄赤距度法【见日躔厯指及测量八卷】其用法见月离表。

论月视差第十九日躔厯指论，地球半径与月天半径为比例。若本天视地为逺为髙，则比例为小；若为近为庳，则比例为大【两数相近，其比例名谓大；相逺名为小】凡视差有三【清蒙不与】一曰地平纬差，二曰黄道经差，三曰去极纬差。其根则一地球之半径是也。葢推算之地平纬恒与地心为对，人目所见之地平纬恒与地面为对，故因地之半径而生视差。若日月星在天顶，即实行与视行为一线，即测騐与推算为一率。自此而外，七政皆有视差，但以去地逺近、出地髙庳分别大小耳。今所论者，地平纬差也【余二差详见交食厯指】前史谓之南北差，因曜实在北，所见在南，故立此名。今通称之。求月视差法，依表算得月在极南【即冬至，但此论经度非时也，故称南至以别之】近冬至十度以内，又在两交之中【正半交，中半交，黄白相距极逺之际】又在黄平象限之上，测其地平以上之髙，是为视髙；次用赤道出地度，南至距赤纬度，太隂距黄纬度，推得月在地平以上之髙，是为实髙；次以视髙减实髙，其较为地半径之视差。若不用南至，任以恒日，依表推月过子午线或黄平象限上，求其黄道上经度及其距交经度，距黄纬度，得地平以上之实髙，亦测其视髙，两数之较为地半径之视差。此法古今累测所得数无异，略举如左。总积四千八百四十八年，为汉顺帝阳嘉四年乙亥十月【建酉之月】初三日，西史多禄某在本地极髙三十○度五十八分，太阳躔夀星宫五度二十八分，月在子午线，亦为黄平象限【凡两至在黄平象限与子午线同度】推其经度为星纪宫三度○九分，月距交为七十四度四十○分，其距黄纬度为四度五十九分，计本地赤道髙五十九度○二分，星纪三度九分之距赤纬于时为二十三度四十八分，以减赤道髙，得纬度髙为三十五度一。十四分【黄道某度地平上髙】加月距黄纬度。【在黄道北故加】得四十○度一十三分为太隂之实髙次，测得三十九度○五分，为视髙一推，一测，其较一度。八分，为地半径视差。又总积六千二百三十五年为嘉靖元年壬午九月【建申之月】二十七日午正后二十二刻一十分，西史歌白泥测得月轨视髙七度一十分。于时日躔夀星一十三度二十九分，月自行得三百五十八度，为本轮之最髙。推黄道经为在星纪一十二度三十二分，距交七十二度五十二分，距黄纬为四度四十七分。因推得月距赤道二十七度四十一分，本地赤道髙三十五度三十八分，减去月距赤道度，余七度五十七分，为月在地平上之实髙。一测一推之较为四十四分，即月在最髙地半径视差。右两术所推太隂之地半径差，各依本法论定。太隂出入地平时，若在本轮之最髙，则多禄某为○度五十三分，歌白泥为五十分。若在最髙冲，则多禄某为一度一十九分，歌白泥为六十六分。异同若此，将何适从？所以然者，縁两史测月时，未悟月近地平有清蒙一差故也【説见日躔厯指】清蒙映物，能升卑为髙。凡测月之地平髙所得数，乃所见之视髙【与人目平行】非月行之实髙【与地心平行】以地半径差减实髙，则为视髙。又以清蒙差加视髙，则为真视髙。近世第谷依此法推得太隂出入地平时，在最髙为五十六分二十一秒，在最庳为六十六分○六秒。其各逺近之差，在多禄某为二十六分，歌白泥为一十六分，第谷为一十分。三家皆有地半径差表。今以第谷【新术为正】以地半径大差求月距地心第二十如图，甲为地心，乙丙为视地平，乙甲为地半径，丙角为视差【用第谷之大数】六十六分○六秒，乙为直角，乙甲半径为度【为度者恒呼为一以上累加之】求月距地心之甲丙法：为全数【内】与乙甲【外】若丙角之余割线【内】与甲丙，得五十二又十万之二万一千○二十五，是月极近地为五十二。地半径有竒，若用小数五十六分二十一秒推得六十一又十万之二千七百八十二。系既定甲乙乙丙之比例，若有月距天顶之戊丁弧，或称戊乙丁角，或称丁乙甲之余角，任髙任下，皆用甲乙丁形，有乙甲，甲丁，有丁乙甲角，求乙丁甲角，恒为地半径之角。如前论，月本天本轮次轮各半径之比例为十万，为一，一○二，为二，二一，并之得地心至太隂极逺【最髙】之线一一三三三，次用变率法一一三三三，得六十一地半径，又十万之二千七百八十二，则本轮之半径一一○二得若干，次轮之半径二三一得若干，依此推之。

系如图得丁戊【月距地心十万分之几】若干数亦可得月距地心若干地半径数有表【图説见前】二系地半径差，月距地心恒互推。三系若定，地半径若干里，亦可得月近逺若干里【有本解】论太隂清蒙气，第二十一。日躔厯指，有论有法，以测清蒙差度分，因之列表。凡测太隂，得其视髙，则求地半径差，加之，得数，又以清蒙气差减之，为其实髙。凡推太隂，得其实髙，则以地半径差减之，得数，又以清▯气差加之，为其视髙。但清蒙之差，因地因时，所在各异，今表其折▯通用之率也。必求本地本时之确数，宜随处所积歳月，累测以定之。

测月径地景径第二十二测日月径度，西古史有本。用仪器，今以月食立法，则厯家之正术也。总积四千○九十三年，为周襄王三十一年▯子月日子正后【顺天府时刻，下同】四十一刻○五分，月食十二分之三，约为四之一。于时日躔降娄宫二十七度○五分，月离夀星二十七度○五分，月自行为三百四十○度○五分，月距交九度二十分，距黄道北四十八分半【依表算】又总积四千一百九十一年为周景王二十二年戊寅月日子正后一十四刻○五分月食十二分之六约为半径于时日躔星纪一十八度一十二分月离鹑首一十八度一十二分月自行二十八度五十四分【前食月距本轮最髙二十度弱两食之较八度有竒俱在本轮上弧不能变逺近之数】月距交七度四十八分距黄道南四十分四十秒如图，日光照地面，即地背生景，形如角，体渐小以趋尽月。

过交入地景【一名闇虚】有髙庳食分为之大小今两食时同在最髙之左右，其距地等，食分一为半径，一为四之一，其较为四之一，距黄道一为四十分四十秒，一为四十八分三十秒，其较七分五十秒，依法算月径四之一得七分五十秒，依法四之得三十一分二十秒，是月距最髙二十度之似径也。

测月径度法详见三圜比例説系凡食分，为月之半径，即月距黄道为景之半径，因上数当食时，地影半径为四十分四十秒。二系若食时能测定食分，又推算得躔离、自行、距交、距黄等诸率，可得月径及景径，不必用古两食法。

日月距地，率日月实径，率地景长，率总论第二十三。如图，乙、甲、丙为日，已、丁、戊为地。日光照地，以两光线从乙过己，从丙过戊，而遇于丑，是生已、戊、丑角。体之景次从乙从丙至地心，作乙丁、丙丁二线，又作甲丁丑线过日地两心。次从地心丁上下取月距地心之数【地半径为度，如上文所定】为丁庚，为丁寅两距等。作庚辛、壬巳、戊寅、子线皆平行。其太阳似径之度为三十一分二十○秒【欲解其义，先定太阳之似径，此在三圜説有各种法，今用者古多禄某所定也。又太阳行最髙、最庳不等，似径亦不等，本章所用者，日在最髙之似径也。论月亦在小轮之最髙，如下文】庚辛丁直角形，有庚丁【月距地】六十四又六之一，有丁角【甲丙庚】一十五分四十○秒，求庚辛法：为全【内】与丁庚六十四又六之一【外】若丁角之切线四五五【内】与某数【外】得地半径十万分之二万九千一百九十六。次求寅子【▯壬丑三角形内有庚壬丁戊寅子三线相距等，用递加法三率之第一第三井为第二率之倍数】庚辛为月最髙半径度，依多禄某説，约与日半径度等。又寅子为地景之半径四十分四十秒，即两数之比例【庚辛十五分四十秒，寅子四十分四十秒】为若五与十三。先得庚辛二九一九六，用三率法得寅子为地半径十万分之七万五千九百○九，以并▯辛得一十○万五千一百○五，以满丁戊之倍数二十万为不足，地半径十万分之九万四千八百九十五为辛壬【丁戊倍之为二十万，与▯壬寅子并等于倍数内减▯辛寅子井所余为辛壬】

次丙戊、戊丁两线所作戊角拟为直角【实非直角，其差极防，非算所及】丙戊、甲丁两线亦拟为平行【实非平行，以差防故】用几何法【第六卷第二题】为戊丙与壬丙若丁丙与辛丙，又丁甲与庚甲若戊丁【地半径十万】与壬辛【九四八九五】既丁甲与庚甲若戊丁与壬辛，则甲丁为十万【若戊丁】庚甲为九四八九五【若壬辛】所余之庚丁必为○○五千一百○五。先定▯丁为六十四地半径又六之一，依变率法求甲丁得一二一○，是日距地心如地之半径者一千二百一十也。以上系古法，后世累代宻推。有亚巴徳于总积五千六百○四年，为唐昭宗大顺二年辛亥，推得一千一百四十六倍。歌白泥于正徳间，推得一千一百七十九倍。第谷于万厯间，推得一千一百八十二倍。此差列数至微，推算极难。或日径月径加减以分计，则其差以数百倍计。故名厯家于此殚思竭虑焉。今时所用，大都歌白泥之率也。一系依上论，丁戊地半径为一万分，庚辛月半径为一万分之二千九百二十六，是为地月之两实径。用此比例，可推两体之比例。二系甲、丙、丁、庚、辛、丁两形相似，则庚丁与庚辛，若丁甲与甲丙，推得日实径与月实径之比例。三系可得甲丙与丁戊日地两实径之比例。以上三系详见《三圜説》。四系置日距地度，及日与地之比例，又距月行本轮距地度【于上图为丁寅】可得月所过地景之径，列表其引数为月本轮自行之数，然图説所设者，日在最髙，若去最髙即复异此，故表有本行名地景差，其引数为太阳之引数，以所得之分与引数相减即得【无加法】葢日在髙景大，在庳景小，故也月距地视差视径三家异率第二十四。

汉章帝时西史多禄某术月距诸率为地半径，地半径视差，月视径十单又十分【六十为半径】度，十分【天度】十分十秒。

正徳间西史歌白泥术万厯间西史第谷术【刻尔白改之法，今所用，又测太阳视径】

【为冬至三十一分半夏至】