【用表算式新法算书卷四】

【用表算式新法算书卷四】

或测时过酉钦定四库全书新法算书卷四十一明徐光启等撰五纬厯指卷六【水星经度】水星乃五纬之一，其行与金星相似，而异于木、火、土，其形亦小于四星，故光不甚大，不越晨昏二时，且不尝见而尝伏，是以测其行与定其率及其应，古今皆以为难。昔西士多録某【厄日多国人】其本国地气清朗，得测水星之经纬最彻，惜其时所用仪器小，所分度数未为精细。至近世，谷白尼及第谷两家留心厯学，但其所居在北极高五十度有竒，为欹球之地，夏月不辨晨昏，冬月雨雪多而▯气盛，又甚寒冷，难于测歩。谷白尼因借他人之测以详其理，多未经目説，虽明而犹难确据。后来第谷及其门人深研此道，随在推测，不惮勤劳，既竭心思，又殚目力，而厯学始全。今新厯译其书以为法，详列于后。

水星本天象【第一章】水星以太阳平行处为本行之心，即以太阳之平行为自行之平行。如金星无二，然其两行之差，非太阳两行之差，则必有自行本圏而载其次轮。又此圈或圏上之行非平，有高有低，与他星等。何以知其然耶？曰：见其距太阳之大距度时有大小，因知其次轮必有逺近也。今以图略解其所测于左，后详释之【次轮亦名伏见轮】古图设甲为地心，任取甲乙某线，分为五平行。又以乙为心，取甲乙线五分之一为半径，作辛丙壬小圏，名曰均圏。又于小圏周上取丙▯为心，作己丁庚戊大圈。又作甲乙丁线为两心线，取丁▯作己癸庚圈，是名水星次轮【木、火、土三星名曰嵗轮，金、水不然，盖以其率非满一年而所差复逺，故名次轮，又名伏见轮】

行法甲丁线顺天平行每年一周如太阳平行无二其自载乙▯均轮心及丁次轮或伏见轮之心如丁心行丁庚戊本天圈一年一周其心在辛壬丙均轮上而行此本天之心有行之理，独水星如是，而他星不然。葢他星有定两心差之数，不加不减，故其嵗轮心【如丁】所行之迹，亦为浑圆圈【见本厯首卷】惟水星小轮心丁所行之迹，有如卵形，上寛下窄，故曰己丁庚。本圈之心于甲▯时近时逺，又时在乙甲线内，或时在外。如置丁心在两心线上，其行之心在辛极逺处。丁心行本天一周，必行辛壬丙小圈三次。丁心在戊最低，其行心在丙。系凡丁心在本轮上平行一周，即于小均轮上之行有三周，本轮上行一度，均轮上行三度【以一周与三次论之，则知一度三度】伏见轮心运行图説【第二章】丁乙甲戊各号如前，甲为心，任作午未申等图【用半图简法也】分为六，平分于未于申等，又作甲未、甲申等线。人在甲所见伏见轮心丁，距本天最高之度。又均圏往在辛▯为心，作丁弧【本天一弧】又因丁甲未角为三十度【先分午丑半周为六分】均轮上从极逺处辛顺天向壬，取其三倍即九十度止，壬。壬为心，用辛丁元半径，亦作寅一弧，截甲未线于寅。又以丙均圏极近处为心【丙辛半周乃午申六十度之三倍】作卯弧，以巳为心作辰弧，以辛为心作巳弧，以壬为心作子弧，末以丙为心作戌弧，共为七▯。即以曲线聨之得形如图【又于午丑半周细细分画作三十分，各有六度，又辛壬丙圈分二十分，各分有十八度，作甲寅等线，又小圈各▯为心作多弧，必可定丁心运行之迹】

右依前图，可解水星之诸行，并可齐其所行之异。新法亦有水星天本象，略引之。

新图用二小均圏如他星但辛壬丙载伏见圏心小轮之行为三倍于丁▯大圏上之行皆自行数如古图无二其乙心留行之迹亦与古图之卵形相似，算法亦同。丁心往，癸乙心往，戊辛心往，壬比乙。

及丁疾行为三倍，水星体在子往午未各满其周，择测水星以定其最高【第三章】金星厯》曰：凡朝夕测得金星距太阳平行，两大距度为等者，则于两测之两平行中度抄半，得为金星两心线之处。然其最高低之分尚未定也。今水星或有两大距度等者，乃若折半不得为两心线之处，觉测此星为难。古今厯家测得本天一周内伏见轮有多度，不见前后多测大距度之差，如距地无逺近等，故法曰：取用朝夕两大距等及前后多日各测之行相反，并平视两行有差，可知两测两平行中折半为两心之线所在。曰相反者，何？一测之行为盈，一测为缩，必知在两心线左右曰两行有差，言一测星，在此无近逺处，或测十日前后之行为等，因可知其引数为等。如图【字号如前】戊为最低，依各圏之行，若伏见轮心到子，到巳甲子甲巳，距地心两视线略等，不见近逺，故亦不见星距太阳大距度之有大小也。试作甲壬线，先求甲戊线若干分，置丙戊本天半径为十万，甲乙置为五六八五【后以测得算】乙丙为乙甲五分之一数之得一一三七，以减丙乙得四五四八，丙甲也。又以丙戊全数内减之得九五四五二，乃甲戊线也，为星最低距地心之数。又置伏见轮心丁在子，其心在壬【丁甲子角一百五度，从心往壬数其三倍得一周外有九十度，即在壬】先用甲乙壬直角形，夫形有乙甲乙壬【与乙丙等】两边之数，依法求甲壬边得五七九八【用句股法】又求乙甲壬角得十一度十九分。次用甲壬子形，夫形有壬子全数，有壬甲边及壬甲子角【先得乙甲壬，又先设丁甲子为一百五十度内减乙甲壬角十度有竒，余壬甲己为】一百三十八度四十一分，依法求甲子得九五六○六，比甲戊多为一四四，约为千分之一半。若置星在己，其心在辛，用辛甲己形，夫形有辛甲【于甲乙并加五之一得六八二二】辛己两边及辛甲己角【先设戊甲亦六十度，用其余以满半周】一百二十度，求甲巳得九六四○九，比甲戊多一○五七，约为百分之一，比在子差更大。系凡水星次轮心在戊最低左右【理同】三十度或四十度内，其距地不见大差，伏见轮视径亦无小大，其大距度亦如之，故星在此或左或右，不足以定最低之经度，分湏▯星在辰或在卯及其对▯，始可定也。

古测算水星最高【第四章】多禄某总积四千八百五十一年，为汉永和三年戊寅【西厯】六月初四夕，测得水星经度为鹑首宫七度【用轩辕大星北】当时太阳平行为实沈宫十度半，即水星距太阳为二十六度半。次测为总积四千八百五十四年，为永和六年辛巳【西厯】二月初二日辰，测水星在星纪宫十三度半【用心宿大星比】当时太阳平行为▯枵宫十度，大距度为二十六度半。如上测以前后两测，两平行折半得寿星宫十度十五分，或降娄宫十度十五分，乃两心线之处也。右多禄某所测，姑举其二，以证所定之处。其所多记亲测，每以古测相比，因谓水星天最高行，一百年一度，与恒星等。及后来再加细测，积年既乆，觉当时所谓犹非也。谷白尼记总积六千二百○四年为大明▯治三年庚戌【西厯】九月初九日，瓦而得【厯学名士】晨测水星经度在鹑尾宫十三度半，纬北一度五十分。当时太阳平行在鹑尾宫二十六度四十七分【用谷白尼表算】得星距太阳平行十三度十七分。此非大距之测，故又记曰：「此时水星将伏，前此数日测见顺行于日，更近可知，水星当时在次轮之上弧。」次测总积六千二百一十七年，▯治十七年甲子【西厯】正月初九【本方】卯正二刻，大火宫十度在天顶，测得水星经在星纪宫三度二十分，时太阳平行在星纪宫二十七度七分，算得星距太阳二十三度四十七分。又记本年三月十八日夕，测得星经度在降娄宫二十六度六分，太阳平行在本宫五度三十九分，星距太阳二十七度一十七分。依上二测，谷白尼算得水星最高线本世【总积六千二百十七年前后，防年不碍算】在大火宫二十八度半，最低在其冲，即大梁宫同度。记今测十端以定厯元【第五章】此地谷及其门人所记，比古测精细，因用为新厯之本。第一测总积六千二百九十八年，为万厯十三年乙酉中厯十月初四日未初【西厯】为十一月十四日卯正四刻，测得水星视经在大火宫十三度四分，纬北二度十八分，时太阳平行为析木宫四度○分十五秒【新法算】星距日为二十度五十六分一十五秒，依多测再算得本年最髙行在析木宫初度三十分，以平行减之得引数为三度半，次轮行为八宫十六度二十二分二十秒，推算星视经度得大火宫十二度五十七分，比所测少七分二测比前测后九日辰初二十分，测得星经度在大火宫二十五度三分，纬北一度二十五分。时太阳平行在析木宫十二度五十三分二十秒，引数为○宫十二度二十三分，小轮行为九宫十四度二十二分半，算得大火宫二十四度五十八分，比测少五分。三测总积六千二百九十九年，为万厯十四年丙戌十月二十四日辰初十分【中为九月二十日未正十分】测得星经度在寿星宫二十二度三十二分，纬未记，太阳平行为大火宫十三度四分半，引数为十一宫十二度三十四分，次轮行八宫五度六分半，以算视行比测少七分。

四测比三测后四日，见星在寿星宫二十六度三十二分，纬北二度十七分，平行为大火宫十六度四十九分半，引数为十一宫十六度二十九分，次轮行八宫十七度二十七分，用算比测少五分。五测总积六千三百年，为万厯十五年丁亥正月初九日申正五十分【中厯为十四年十二月十一日】测得星在▯枵宫十七度四十八分，纬北○度一分，太阳平行为星纪宫二十八度二十二分五十秒，引数一宫十六度五十二分，次轮行四宫二度二十八分二十秒，用算比测少一分。六测总积六千三百三，年为万厯十八年庚寅三月初六日酉正五十分【中厯二月十二日丑时】测星在降娄宫十三度四十四分，纬北一度四十二分，太阳平行为娵訾宫二十三度，引数为三宫二十三度二十分，次轮行三宫十一度四十一分十秒，用算少测数八分。七测总积六千三百五，年为万厯二十年壬辰二月初三日酉初四十分【中厯正月初一日子正四十分】测星得娵訾宫十二度二十分，纬北○度四十七分。太阳平行为▯枵宫二十二度五十分四十五秒，引数二宫二十二度十五分，次轮行三宫二十三度八分三十秒。用算比测盈九分。八测总积六千三百六年，为万厯二十一年癸巳五月十一日亥初二刻【中厯四月二十二日寅正二刻】测星在实沈宫二十三度十六分，纬北二度○分。太阳平行在娵訾宫二十九度二十三分，引数五宫二十八度五十一分，次轮行三宫二十二度四分。依算少测十二分。九测总积六千三百二十年，为万厯三十五年丁未四月十五日亥初【中厯四月初一日寅正】测星在大梁宫二十一度五分，纬北一度四十分，平行为大梁宫三度二十分五十秒，引数五宫二度十八分，次轮行二宫十五度五十分六秒，推算盈所测七分。十测总积六千三百二十三年，为万厯三十八年庚戌十二月初五日戌初【中厯十一月初一日未正】测星在析木宫二度四十二分，纬未纪，太阳平行在析木宫二十四度四十分，引数初宫二十三度三十四分，次轮行八宫十度十一分，推算少测七分。右十测如法推算，盈缩大较不过十二分，其差甚防，非若右表未经亲测者真可用为水星厯元之测。又本方向北，凡星纬在南，难见难测，故上不测皆纬北焉，定最高处及其行【第六章】总积六千二百九十八年，为万厯十三年乙酉，第谷测算精宻，定本年最髙在析木宫初度三十分。以古测总积四千四百四十九年【多禄某所记】为周赧王五十年丙申【西厯】十一月十五日晨见，水星在大火宫二度三十五分，太阳平行大火宫十九度五十六分半【用古表】纬南为二度二十分。依此测及后屡测【多禄某所记，本世距周赧王四百年后有多测多算，今不详译省文也】得水星当时最高在寿星宫六度五分。

两测中积为一千八百四十九年，计两测中积最高之行为五十四度二十五分【析木宫初度半内减去寿星宫六度五分得数】以中积最高度分化秒为实，以积年数为法除之，得一年最高行为一分四十五秒有竒。有一年则百年、千年俱有成表，如以万厯十三年之行加之，得崇祯元年最高行之应，以平行内减去最高得引数，説见后。水星伏见轮半径大小【第七章】古多禄某用二测，其一为总积四千八百四十七年十月初三日晨，测得水星伏见轮心在本天最高，算求距太阳大距度为十九度○三分，太阳平行在寿星宫九度十五分，多禄某时最高在大火宫二度，此测未到最高，少二十三度，因水星天之象最高及其冲前后一宫于地不见，逺近大差，见上文。其二夕测【为次年四月初五】水星次轮心在最高冲大距度为二十三度十五分平行为降娄宫十一度五分此测亦未到高冲少二十一度与上测相对系凡大距度为小者，其次轮心必在载圏之高；若距度为大者，其心必低。先定两心线，如上测星在降娄，距大在寿星，距小。如图，甲地心，壬本天心，戊为最高，丙为其冲，次轮心在。

戊最高星在巳为戊甲巳距平行极大角【人在甲见星在巳视】【星距戊平行之度数】上测得十九度○三分。又次轮心在丙最高冲视距太阳平行大距度为庚甲丙角，依上测得二十三度十五分。作戊己丙庚各线于甲己、甲庚成直角。依三角形法，甲戊己为直角形，有己直角，有甲角大距度，自亦有戊角己甲戊之余，即为七十度五十七分。有三角求戊己、戊甲之比例，设戊甲十万，戊己即为十万分之三二六二九【正▯数也】又甲丙庚形有三角【因直角形之理有甲乙角自有丙角】求甲丙、丙庚两腰之比例。设甲丙十万，丙庚为十万分之三九四七四【甲角之正▯】先定丙庚戊己两圏半径为等者【以上下两次轮无二】今以三率法通之。设甲戊十万，戊己或丙庚为二三六二九，丙甲为八二六二五。戊甲甲丙并之，折半得九一三四二，即戊壬线也。今有戊、壬、戊、甲、戊、己同类之三线，又设戊壬本天半径为十万全数，求他线之数。以法得戊甲为一○九四七九，减戊壬全数，余九四七九，乃壬甲两心差之数也。又壬甲数以六除之，得一五八○，乃载本天心小轮之半径，説见《水星本天象论》。戊己为三五七二，乃伏见轮半径也。多禄某依亲测得水星各圏比例如此，然所记载测数中有可疑【恒星及太阳之行各不精细】第谷及其门人因加宻测宻算，依上记十测设，戊壬全数戊己为三八五○○【丁庚同数】壬甲为六八二二。取壬甲六之一，即一一三七为壬心所行圏之半周。系水星近于地，为本天十万分之五四六七二，极逺为一四五三二一。算水星经度，用三角形试法【第八章】用上所记第五测时刻，以三角形及上定各圏之数，求水星经度【用新图】当时查表得太阳平行在星纪宫二十八度二十二分半，水星最髙在析木宫初度二十九分半。两数相减，得引数为五十七度五十三分，图上为庚乙己丙两弧之度【绘图及其行之数见上二章】此引数三倍之，得一百七十三度三十九分，为戊丁弧。丁乃伏见轮心，作壬次轮圏，从壬极逺顺算得一百二十二度二十八分至辛。丁丙乙形有丁丙乙角【戊丁弧以满半周去之余】六度二十一分，有丙乙【上定两心差六分之五即五六八五】及丙丁【两心差六分之一即一一三七】两邉，求丙乙丁角得一度三十五分，又求丁乙邉得四五五一二。甲乙丁形有甲乙丁角【己丙弧或己乙丙角内减去丙丁乙角余丁乙己其余为】一百二十三度四十二分【凡引】数为六十度以下，用减六十度；至一百二十度，用加一百。二十度至一百八十度，用减；一百八十度至二百四十度。用加，又自二百四十至三百度，用减三百至三百六十度。用加】又有甲乙全数【半径】及丁乙。【上得数】两邉求乙，甲丁角为二。

度七分又求甲丁邉得一○二六○○三丁辛、甲形有丁辛，次轮半径【前所定三八五○○】有甲丁丙邉及辛丁甲角【次轮为癸辛弧加壬癸弧，或壬丁癸角，或丁甲乙角，皆为同得壬辛弧，其余辛午】五十五度二十五分，求乙甲辛角，得二十一度二十九分，乃次均数，次轮之视差也。因次轮行在前半周，法宜用加，得▯枵宫十七度四十五分，比所测缩三分。若以测法求丁辛次轮半径，亦可得之。则于丁辛甲形中，设丁甲邉，丁甲辛角【以表得乙甲庚引数角，内减丁甲乙本天均数，得丁甲庚角，以测得辛甲庚角，相减得丁甲辛视差之角】及壬辛弧，或辛丁甲角，依法求之。若以引数及各圏半径，从小轮上水星本行处，用下图各三角形之法，亦得算癸丁辛角。有假如【见十章】水星平行率【用古今二测第九章】以测求伏见轮上之行，宜择星近太阳非留行或大距度之处。葢留时伏见轮上之行人，自觉其大距度多日不变，然星更行，故测以得近太阳者为确。古多禄某所记总积四千四百四十九年，为周赧王五十年丙申【西厯】十一月十五日卯初，在本方测得水星经度为大火宫二度三十五分，纬南为二度二十分。当时太阳平行在大火宫十九度五十六分半，时水星最髙在寿星宫六度五分。两数相减得四十三度五十一分半，乃水星之引数也。又平行视行相减得十七度二十一分半。设引数及各圏之半径与星视行距太阳之平行，求水星体在伏见圏之度分【星体距伏见轮极逺之处若干】用新图诸号如上。一庚乙，己丙两弧各为引数之度，戊丁弧为引数之三倍，一百三十一度四十九分三十秒。二丙丁乙形有丙丁丙乙两边各圏半径及丁丙乙角【戊丁弧以满半周之余】四十八度十分求丁乙边得十万分之【全数】五○○二又求丙乙丁角得九度四十五分三己丙弧或己乙丙角内减去丁乙丙角余丁乙己为三十四度五十六分半其余以满半周为丁乙甲角是为一百四十五度四十八分半四丁，乙甲形有甲乙【全数】乙丁【前所】【算】两腰及丁乙甲角，求丁甲边，为一○三九○二。又求丁甲乙角，得一度三十三分，乃均数之度分也。其号为减【引数未过半周】减之得丁甲庚角，为四十二度二十四分。又以最髙之宫度加之，得丁▯【次轮心】在大火宫十八度二十四分。先测水星在本宫二度三十五分，相减得较为十五度四十九分，乃次轮之视差也，均数也。图上为丁甲辛角，测为晨刻，则水星在太阳后次轮右边。五丁辛甲形有丁甲【先所算】丁辛【先所设】两边及辛甲丁角【次轮视角】求辛丁甲角，得三十一度三十三分，乃辛丁午角，或辛午弧，水星体距小轮极近处午▯之度分，又加半周【一百八十度】得二百一十一度有竒，即壬午辛弧，然所定次轮极逺，非逺于地心，乃比平行为逺【故图中命作癸午线与巳甲平行，而壬丁癸角恒于乙甲丁均角为等】则因先均数类亦均之，若加加之，若减减之，今减得癸午辛弧为二百一十度○分，乃当时水星次轮上之行。本章多禄某所记及前第五章所记，第谷十测中第五测两测相比，中积为一千八百五十一年又五十五日十一小时，依法化年为日【总积平年为三百六十五日，第四年闰一日为三百六十六日】得六十七万六千一百三十二日为法。两测次轮之行相减得较为八十三度二十五分，因今测小则以遡到古测，或满全周少八十三度有竒，或满全周外多二百七十六度三十五分；中积时水星行满次轮全周为五千八百三十六转外二百七十六度有竒，化作秒得七五六四四九七○○○为实，以前法入实而一，得一日之行为一一一八四秒为竒，约之得水星次轮上一日之行为三度六分二十四秒有竒【欲穷其数，各再化作忽算之】有一日可得一年百年之行，又以分法可算一时一分之行。

水星一小时行七分四十六秒一日行三度六分二十四秒一平年行三全周，外有五十三度五十三分三十二秒。一闰年三全周，外行五十七度三分五十六秒。一百一十五日二十一小时三分二十二秒，行小轮一周。

新法算书巻四十一钦定四库全书新法算书卷四十二明徐光启等撰《五纬厯指》卷七【五纬纬度】太阳乃万曜之君，其所行之道为直道。凡天上诸星，悉繇以定其行。左右距太阳之道，谓之纬。而土、木、火、金、水五星，尝在太阳之左右，不能直行，故名曰五纬。太隂之行，亦斜交太阳之道，竝可名纬。古测未觉月亦有纬，南北二行直谓之离。然其南北之离，比五星更纯无多纬之杂，其差甚防，故仍其名也。厯家非以定日月之行为足，又湏兼齐五纬而七政始全。其五星经行业详着各厯指然，以明理适用，则某星随时所在躔次，及某时应防某星并同，某星出入与凌犯近逺见伏诸类必明晰详尽始全其学若不知纬行南北多寡，无从得其凖。故第谷名士深心攷究，制为多仪宻测宻算，定其进退之两限，南北之距度，立为成表，皆务得各星之眞路，本道之行限，详解纬图盖以止晰经行，不能全定其处也。新厯按古今厯家两测之论，以明五星纬行之理，各有数端。其一为本天轮，其一为嵗圈轮。此二根五星皆同，若夫金水别有纬行之根，异于土木。共著论八条，古测纬行【第一章】王寳翰【距今百五十年】曰：五星纬行，前古未有识者，迄多禄某始觉其理，而明其法，测騐功深，乃得立成而布算【前人但以经度为本，未觉纬行之所以然，多禄某宻测精求，因防何元本等书，以定星行之率，始得纬道立成诸法】一觉五星之纬，各有天半周；恒纬黄道南，有半周；恒纬黄道北。一觉此南北之交处，非一时，六宫在南，六宫在北，或时七宫南，五宫北，盖此南北之行，非繇视行，以所测视行求实行，末得各星黄道某宫度，以实行到此，或南变北，或北变南。三测各星极大纬，而得其距交度约三宫。曰：星所行非黄道，乃各星有本道，而斜交于黄道。再测得土木二星凢近寿星宫，火星近鹑火宫者，皆距黄道北极大纬度。若三星在其冲之处【土木为降娄宫，火星为▯枵宫】则距黄道更南。四用本图不同心圈及小轮择各星在南北大纬或在极近合伏太阳之处【凡星在嵗轮极逺者其心防合太阳不能窥测惟越前后多日方得其凖】或在极近冲日之处或在中距迟留之近处各有异相比测未得星在极近加本纬之度数【本纬乃从本道加加纬度繇于嵗轮下平加纬上半减纬】在极逺减本纬之度数若在中距者无大差所云加纬度者如在近处星道向南则加南纬向北则加北纬详见下文细究纬形之故，古者借图形解之，曰：日月五星之本行，更顺更平，各有全圈。各圈置一平靣。盖圈者，乃圆形之外周；而面者，乃圆形外周内所容之积也。不曰积而曰面者，以积有厚之形，靣乃无厚之形也【见防何界説】凡曰黄道白道相交，宜想两圆形相容相割，如东西两堵墙相遇不止而过。此两靣相割之处为一直线，如黄赤两道以春秋两分之一线上割之，两分谓之两道之交，即两面相割之限。五星本道及小轮相交，各圈之靣相割，若以楮为圈之像，可明其理。一系置多禄某所言各星有本道之靣及小轮之靣，曰：凡年嵗小轮之径线【从人目过小轮之心则近逺两处之线】全在黄道之外，而不相割相交。凡负小轮圈在黄道或南或北，则小轮全体亦在或南或北。二系见星纬，黄道或南或北，则知星之本道交于黄道。今见小轮或加或减本道之纬，必小轮交于本轮两靣相割，不则在一平靣，何能置其加减乎？又五星之纬，古来未有名界，即借太隂用之。凡各星本道纬，向北者谓之隂厯，向南者谓之阳厯。从南徃北之交谓正交，从北徃南谓中交。凡小轮在其近半周者谓之外，盖恒向黄道本道之外而加；凡在其逺半周者谓之内，盖恒在黄道本道之中而减。又择小轮心【即算时所得实行】在黄道、本道两交之上，及星距日天周四之一【如其时星在小轮近逺之中】测得星在黄道下，则无纬度分。又凡小轮心在黄道下，各星在小轮上，不拘度分【于太阳或近或逺】星恒不见纬度。三系小轮心在交上，无纬度者，其平靣与黄道平靣相合为一。多禄某曰：土木火三星，本天【即不同心圈】之靣斜割黄道靣，可定其斜交之角【如赤黄二道斜相割，其交角为二十三度半】又曰：割小轮靣而交本天为不定之角，其小轮近逺两限中，有一直线于近逺线，在两交之中为直角，与在交上相合为一，乃于两交线恒为平行，分小轮上下两平分。此线当小轮之枢，因之转动，其上半极逺之▯，若在黄道北，则在本道南；若在黄道南，则在本道北。盖小轮恒于黄道为平行面故也。黄道本道交角【第二章】黄道星道两平靣相割一直线上【靣割交靣生一线如线交线生一▯名曰交防防之两端生四角相对相等而两靣亦生相交割一直线亦生四角等】曰同交线此线通黄道之心即地心也系交线割星道靣不平分，盖星道不过黄道之心，不同心圈故也。其大半【六宫以上】向北，其小半【六宫以下】向南。大半在北，则北纬比南纬更大。如图，丁地心作丙乙戊甲黄道圈【圈或靣互用】又任取己为某星天之心，作庚甲壬乙圈，又作甲丁乙同交线，分黄道为平分，分星道则任分。多禄某曰：「此交线以异角交各天两心之线，今如法。」

土星两心线【即最髙】在析木宫二十七度六分【甲子年所算为厯元之本见本表】其正交在鹑首宫二十度三十九分，相距一百六十五度二十七分，中交在其冲。木星最髙在寿星宫八度五十四分，其正交在鹑首七度八分，相距为八十九度十四分，中交在其冲。火星最髙在鹑火宫二十九度二十六分，其正交在大梁宫一十七度，相距一百○二度二十六分，中交在其冲。金星正交在本天最髙前十六度，此时在实沈宫十四度【金水二星差数防免绘图】水星正交于最髙，为一，此时在析木宫一度。系因图可见，各星交线之异，任分本天，凡两心线及交线之交角近于直角者，其两任分之较更大；若交角甚鋭者，两任分之较更小。如木星本天交线上之弧比土星交线上之弧更大，观图可见。二系各星本行【即平行】时，行周天向北之弧，比行南弧更多。弧之多寡，与行时多寡相应，故也。问南北两弧若干？曰：用上各星之图，从己至正交、中交两处作线，成己丁、正己丁中两形。夫形为加减均数之形，以视行角己丁中求平行角丁己中之余，即髙中弧之度。用加减表求之，相并得土星北弧。胜南弧为五度二十分，木星北弧。胜南弧为五度五十四分，火星北。弧胜南弧，为二十一度五十六分。依上，多禄某所定黄道、本道正交、中交之角，上见星在此，恒无纬度，又纬类从此变，或以南徃北，或自北徃南，取星在两交之中，测其纬，得上三星，凡在小轮极逺者，纬度少，在小轮近者，纬度多，以多寡之较，求小轮之心，或本道距黄道若干，得数如左。土星本道交黄道角【或一圆球上两大圈相交之角，或两道之平靣相割各用之】为二度二十六分，小轮平靣割本天面交角，小轮在两交之中为四度半。凡在正交或中交之上者，交角为二度二十六分，乃两道之角也。星木道交黄道角为一度二十四分，小轮交本道为二度三十分。火星本天交黄道角为一度○分，小轮交本天为二度十一分。依上论，小轮髙庳，则视纬有多寡。如加减表，凡引数在髙者，均数少；在低者，均数多。如图【依视法，凡对周防一平面或圜形者，所见之形为一直线。如简平仪诸线为直线，即当圜形曲线。今两道及小轮各对周防成直线，两线交角当两靣之交角】

丁地心戊丁亥线当黄道己为某星天之心作庚己壬线当某星本道置庚丁戊角为两道交角【数见上】又从己心取己庚、己壬等线，壬庚为小轮心，作午庚、未乙、壬甲两线于黄道平行，亦两线相等。未庚己为小轮及本天之交角，上下无二。从丁【人目所在】作丁甲、丁未视线，定髙庳两处，未丁、戊甲、丁亥两纬角。题言在最髙，未丁戊角为小，在髙冲，甲丁亥角为大。甲壬、丁庚、丁未两形各有等底，甲壬庚、未又有壬庚两角等，庚丁邉比壬丁邉更大，则其对角未比甲角亦大。又其余各反之，则庚丁未角小，甲丁壬角大。大角恒于大腰相照，几何之言也。若作丁午、丁乙两线定星，在极逺午、乙两处，必壬丁、乙为大，午丁、庚为小。今述多禄某定各星所在大纬于左：土星小轮心在两交之北，星若在小轮上，如庚线者，纬度为二度三分；若在下，如未线者，纬度为三度二分。小轮在两交之南，若星在上，如乙处，纬度为二度二分；在下，如甲，纬度为三度五分。木星小轮若在北，星在上者，纬度为一度六分；在下者，为二度四分。小轮若在南，星在上者，纬度为一度五分；在下者，得二度七分。火星小轮若在北，星在上者，纬度为○度五分；在下者，为四度三十分。小轮若在南，星在上者，为○度四分；在下者，为六度五十分。

金水二星下有本解上三星诸轮图説【第三章】星之所行，为全圆圈。人目或在其心，或近其心时，见如直线；又时见扁圈线。以视学论之，设上诸图：如人目在天外，对黄道之周而防，则圈形如直线；若人目在南北二极而防，则见如全圆形。然某平靣于某平靣，或平，或相切，或相距，不能分别。故视学因置人目在黄道及其极之中，若可见各圈相距近逺，如左二图：一目在极，正视；一目在黄道及本极之中，而斜视。图上外圈为黄道，第一、第四同心，函中不同心圈，此一四。

两圈于黄道平靣二三两圈为不同心又于黄道非平靣如第二图其中有均圈指小轮图画如一平靣然非一平靣者亦如下图上三星本道切割黄道图外大圈为两至两极圈指黄道黄道圈上列有宫次其内有同靣同色之圈于前图为一四其轴为甲乙其斜切宻作防虚靣为星圈即不同心圈中有均圈为白圈轴为丙丁此间有小轮亦斜切异心圈然平行于黄道如前上图可见本轮或行或留之迹皆为圆形其黄道本道两轴相切及小轮轴于黄道轴为平行其本轮为直线者视法也眞圆靣也三图指各星各防所行留之迹，各圈有本名。但眞一直线有名曰本轮靣，因对周天而防法，以圆平靣变为一直线，乃视法。若觧此诸圈之理，须用浑天仪。此仪有赤黄二道，有冬夏二至及二极，乃为明畅。四图説：甲乙丁线为黄道，本道相交之线【因相近相逺必有相交之一线】甲丙乙戊为本圈【今用不同心圈及小轮觧説更易】丙戊二处，极距两交为九十度，乃两道大相距之两处也。甲为正交【本天向黄道北隂厯初】乙为中交【本天向黄道南阳厯初】置小轮甲在乙等处，从人目丁作丁庚、丁戊等线，名近逺线。又作子午诸线，皆过小轮心而于甲乙交线为平行此子午己庚二线相交之角非一小轮在两交上二线合而为一小轮在大距处丙戊两线相交成直角　午子线当小轮之枢上半下半繇枢而运盖以本天从南徃北，从北徃南，尝尝活动。须得黄道之平距为本，故斜交本天之角于本天，斜交黄道之角，尝为等。如小轮在甲或乙两交上，即一体合于黄道。若在丙隂厯，本天距黄道北，大距处，则小轮下半子巳午向本道北，在两道外；上半向本道南，在两道内。若在戊阳厯，本天距黄道南，大距处，则小轮下半午巳子向本道北，在两道内；上半向本道南，在两道外。从丙到乙有九十度，在丙在戊两线为直角，在己近处为本道大距，即大纬度，徐行徃乙，则己丙子甲更小，己距黄道之度亦更小，至乙而尽。系小轮在丙，在戊，或合伏太阳如庚，或冲太阳如巳。时星有大纬度，盖星距太阳九十度，则庚子弧在枢线及本道上。但有本道之纬，若小轮到辛，距交四十五度，两线交角亦为四十五度。或合伏如庚，或冲如己，非大纬度。盖庚己比壬癸二处为小【距子午枢线为象限，故大距度在此不在己】上图金、水二星亦可用，其详见下。

新测上三星纬【第四章】本厯总论曰：「以齐五星诸行，或用两心法及小轮，以地为诸行之心，又或以太阳为星行之心，理可通用。新法乃以太阳为心，为近于正。因上译古多禄某纬行之论，以地为心，今依本法举各星之纬，再详觧之。」第谷依本法测得各星黄道纬大数【古法曰星任小轮下】土星北纬二度四十八分，南纬二度四十九分；木星北纬一度三十八分，南纬一度四十九分；火星北纬四度三十三分，纬南六度四十二分。土木二星，其不同心差为少，又更髙逺，小轮【见小】故南北差亦少。火星近小轮大，故其差亦多。金水益多，下详之。各星两交中有南北两▯及距最髙度分，用三角形法可推小轮心及星体距各天之心，亦可得各星年嵗图半径，依法【见各星厯指】南北两防距最髙乃引数，求距心若干法用三角形算】得土星南▯为降娄宫二十度三十八分，距心为【全数十万】九七五九三，年嵗圈半径为一○四二六。木星南▯在降娄宫七度八分，距心为九五二三，○年嵗圈半径为一九三四九。火星南▯在▯枵宫十八度七分，距星为八九○九，○年嵗圈半径为六五○九五。置前推得数，求各星天距交黄道若干如图甲地心丁甲卯为黄道庚甲丑为本道辛巳为小轮前测，有己甲戊大南纬角，求庚甲乙本天距黄道【省文绘图与前一致】用庚己甲形，夫形有庚甲邉【星距心各数见上】有庚巳邉【小轮半径】及庚己甲角【辛巳线引长到壬，作甲己壬直角，辛巳小轮面与黄道平行，则己甲戊角大纬度与甲乙壬等，庚己甲为其余】用法则邉与邉若角正▯与角正▯，以庚己乗己角正▯，以庚甲除之，得己甲庚角，以减于己甲戊数，得庚甲乙角，乃两道之交角也。又辛庚甲形，夫形有庚甲、庚辛两邉，及辛庚甲角【即庚甲乙之余，或庚己甲、己庚甲两角之总】求庚甲辛角，乃星在上之纬角，下图仿此。若用太阳为五星之心，置甲为地心，丁、戊为太阳之天，日在丁，星在辛；日在戊，星在己。若日在丁者，则日在人目。

甲及星辛之中谓之星防日若日在戊则人目甲在日戊星己之中，谓之星冲日两法，以乙甲己角为黄道纬之大角，推算各角之法与前法同【丁戊圈乃太阳之圈，但用丁戊线，如辛己小轮亦但用一直线视法也】

算各星纬度用三角形法【第五章】如总积六千三百六年，为万厯二十一年癸巳，西厯八月初十日丑初三刻时，第谷推算太阳及火星诸数于左：太阳实引数【距最髙实行】为五十二度，视行在鹑火宫二十七度三十八分；火星实引数为二百度二十分，视行在娵訾宫二度四十二分，距心为八八九○○年，嵗圈半径为六四九二八，距太阳为一百七十四度【逆算其余为顺天算】五十六分；火星体距本天正交【正交在实沈宫十八度○分】为七十五度十八分。

图説乙地心甲太阳天乙甲为太阳天半之径即火星年嵗图平径也丁己为黄道一弧戊丁为火星本道一弧与黄道相交于丁则丁为正交戊丁为星距正交若干【上有数】作甲己，火星距。

心之线作甲戊戊己又作乙己火星距地线作乙戊线成戊乙己角乃视纬角也，所求之度分也。一、戊丁己三角曲线形，有丁角【先定本天交黄道为一度五十分】有丁戊己直角【己戊弧因测纬度必为直角于戊】求戊己弧【置全数甲己本天半径为百万】得三○四九五【若用度为一度四十六分余，今用分数可比于别直线，故戊己为如直线非如弧，弧小圈大于直线，其差甚防】二先推星在己距甲心为八八九○○○用法通戊己【则二线为一全数之分法日百万得八八九○○○今三○四九五应得若干用乗除算之】得二七五一○【甲己己戊两数之比例也】三戊己甲直线三角形，有己甲、己戊两邉，又有戊甲己角【戊己弧一度四十六分四十三秒】求戊甲邉，得八八五七三。四戊乙甲形有戊甲【先得数】及甲乙【嵗圈半径】戊甲乙角【火星黄道上未冲日之数即距太阳以满半周之余】五度四分，求乙戊得四八五一七。五戊乙己直角形，有戊乙、戊己，求戊乙己角，得六度十九分，乃人目在乙见己火星距戊黄道纬之度分也。系凡有某星距交及距太阳两数，可推其纬度。若用图，亦可算图説乙人目也乙戊为黄道靣之线乙庚为星本天靣之线，戊庚上图，为戊己弧，乃小轮心，庚距黄道，丁丙小轮靣线，丁己丙为小轮圈。夫图有丁己弧，为星距太阳之度数，作己辛垂线于丁丙小轮径线【辛径上，当己周上曲线球上之理也】又作辛乙、丙乙、庚乙等线。一、以前图戊丁己形，求戊己弧。本图为庚乙戊角。二、以夲法求庚乙星距地【各星本厯有均角形，可求距地之分数】三庚丙乙形，有庚乙、庚丙两邉，又有丙庚乙角【小轮交本天】求庚丙乙角，又求丙乙邉，以此庚乙丙角亦有其数【丙庚两角所并余数】四辛丙乙形有丙辛【丁己乃辛距日己丙其余庚辛为己丙弧之余▯説见八线表】有丙乙边及辛丙乙角求丙乙辛角五先有戊乙庚，又有庚乙丙两角，并之减辛乙丙角，其余为辛乙戊，乃星在己视距黄道之角也【丁己丙圈立春，以庚丙戊面为直角，其轴线为丁丙，星在己或在辛，无二】

定五星本天交行【第六章】月离有白道，交行乃逆行也【右行】先降娄，次娵訾，次▯枵星之交行，不然首降娄，次大梁，次实沈，顺天而左行。故五星纬行引数，比本行数少。太隂纬离行之引数，比自行数多。古多禄某所测定五星正交之宫度比今所测非一有行有冲【测各星正交处见上文】如多禄某于汉顺帝永建时测得火星大距处及其最髙同度正交在降娄宫二十五度五十一分【用夲数以日躔细行及恒星眞行相较所差不逺】今第谷于万厯年间测得火星正交在大梁宫一十六度五十三分两测中积为一千四百六十四年其差为二十一度○二分则以差数为实以中积为法除之得一年之行为五十二秒五十七防比恒星多一秒五十七防【名嵗差】古者有作同行木星正交行，古测得鹑首宫一度二十一分，今测在本宫六度五十三分，两数之较为五度三十二分，为实，如前中积数为法，得一年之行为十三秒三十六防【其行甚防】古有曰不行。土星交行，古测得鹑首宫三度二十一分，今测在本宫二十度二十三分，两数之较为十七度二分，为实，以前中积为法，得一年之行为四十一秒五十三防，于太阳最髙约为同行，而少三秒。金星交行于最髙，约为同行，但恒在最髙前，逆行为十六度。水星交行于最髙，为同行，同处无异。古今测乃万厯二十八年所定也。以法求之，得新法厯元之数，以定其应及年交行率，作立成表【见各星二百恒年表】土星厯元正交为六宫二十度三十九分四十秒【从冬至起算】木星正交为六宫七度八分一十三秒。火星正交为四宫十七度二十分二十九秒。金星正交为五宫十四度十六分○六秒。水星正交为十一宫，○一度二十五分四十二秒。一年行成前后之表【平年閠年不论】

金水二星前纬説【第七章】上三星之纬，其故有二：本天斜交黄道一也，小轮亦斜交本道二也。金、水二星不然，其本道于黄道皆在一平靣【如大小多环在一平靣上旋转，各有本行，不相撞遇】无纬南纬北，其纬全从小轮而生【曰小轮伏见轮，异名同理，详见下文】二星本天有相冲二处，小轮心到此星纬恒变，或以南徃北，或以北徃南，而交黄道。古者此二▯亦名为正交、中交。金星正交在本道最髙前十六度，即实沈宫十四度；中交在其冲。析木宫水星二交，即与最髙、最庳为一。最髙在实沈宫初度，最庳在其冲。金星过正交，在最髙后五宫余，行缩厯时纬即向北，以满半周，其半周行盈厯时纬恒在南。水星反是，其在缩厯时纬向南，盈厯时纬向北。

右论乃古今从天宻测所得上三星小轮交本道有一线，名曰枢线，恒于两道交线为平行。小轮上半如向南，则下半向北。金、水二星小轮亦有枢线，亦于两交线为平行，分小轮上下二半，又有近逺线。若金星小轮心在两交之中，星在近逺线之上，其黄道距纬为一度二分；若星在近逺线之下，其纬更多至九度二分。若小轮心在交线上，星在枢线上，则无前纬之数。若水星小轮心在两交之中，星在小轮之上，其黄道纬为一度三十四分；如星在小轮之下，其纬为三度三十三分。若心在两交上及近逺二处，无前纬数。金、水二星后纬説【第八章】上言此二星有二纬，皆从小轮生。前纬业已觧之，今借第三章四图以明后纬之理。图上小轮子午线，恒于交线。平行为上，三星小轮纬行之枢，此。线上三星，从本天与黄道为近，为。逺又凡星在两交之中，子午枢线。之极，皆在本道。甲小轮心，距大距。处子午枢线，两极不能在本道上。盖先所定小轮靣恒于黄道平行，则本轮于黄道两交中处之外二▯不能为平行，故子午线因以得小轮靣恒为黄道平行，必不能在本天之上。如甲心在本天上，子向如南，午向如北。上三星本道离黄道不多，则子午枢线两极离本道亦不多，故其差可不算。乃金水二星本道与黄道为一靣，而子午两枢离黄道有大纬数。若星在两交中之处，子午两极不离黄道。金星若在交上，或南或北，则离黄道为二度三分。若星距最逺，即为一百三十七度，则大离数为二度三十三分。水星在交上，而小轮在枢线上九十度，距极逺处得为一度三十分，其大离数在一百一十二度，从极逺起则为一度四十八分。系五星小轮，或嵗轮、伏见轮之心，钉于本天靣上。小轮上下二半，繇枢线活动。如下半向南，则上半向北，为纬之原。又以枢线之直角线【庚己线也，三星图上为壬癸线】为轴。若子徃本天左而北，则午徃本天右而南，彼此相反。二系如甲心在两交外及在交中处之外，或星在庚子之中如酉，则星有二纬之类。置庚在本道南，置子在本道北。星在酉，因子庚午上半向南，星亦有南纬；因庚子巳下半向北，星亦有北纬。法曰：以两纬异类数相减，所余存为实数。上所定数，皆从实测，乃第谷及其门人所説以便算则于表上用中分及纬限其法与经度加减表中有中分较分同类不再译。